Đang tải... (xem toàn văn)
cã nghiÖm, h·y t×m mét hÖ thøc gi÷a c¸c nghiÖm kh«ng phô thuéc vµo tham sè m.. BiÕt thêi gian xu«i dßng s«ng nhiÒu h¬n thêi gian ngîc dßng lµ 2 giê vµ vËn tèc khi xu«i dßng h¬n vËn tèc k[r]
(1)Môc lôc
Môc lôc
Phần I: đại số (24 tiết)
Chủ đề 1: Căn thức – Biến đổi thức.(4 tiết) 2
Dạng 1: Tìm điều kiện để biểu thức có chứa thức có nghĩa 2
Dạng 2: Biến đổi đơn giản thức 2
D¹ng 3: Bài toán tổng hợp kiến thức kỹ tÝnh to¸n 3
Chủ đề 2: Phơng trình bậc hai định lí Viét (6 tiết) 5
D¹ng 1: Giải phơng trình bậc hai 5
Dạng 2: Chứng minh phơng trình có nghiệm, vô nghiệm 5
Dạng 3: Tính giá trị biểu thức đối xứng, lập phơng trình bậc hai nhờ nghiệm phơng trình bậc hai cho trớc 6
Dạng 4: Tìm điều kiện tham số để phơng trình có nghiệm, có nghiệm kép, vô nghiệm 7
Dạng 5: Xác định tham số để nghiệm phơng trình ax2 + bx + c = thoả mãn điều kiện cho trc 8
Dạng 6: So sánh nghiệm phơng trình bậc hai với số 8
Dạng 7: Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm phơng trình bậc hai không phụ thuộc tham số 9
Dạng 8: Mối quan hệ nghiệm hai phơng trình bậc hai 9
Chủ đề 3: Hệ phơng trình (4 tiết) 11
Dạng 1: Giải hệ phơng trình đa đợc dạng 11
Dạng 2: Giải hệ phơng pháp đặt ẩn phụ 11
Dạng 3: Xác định giá trị tham số để hệ có nghiệm thoả mãn điều kiện cho trớc 12
Dạng 1: Hệ đối xứng loại I 13
Dạng 2: Hệ đối xứng loại II 13
Dạng 3: Hệ bậc hai giải phơng pháp cộng đại số 14
Chủ đề 4: Hàm số đồ thị (3 tiết) 14
Dạng 1: Vẽ đồ thị hàm số 14
Dạng 2: Viết phơng trình đờng thẳng 14
Dạng 3: Vị trí tơng đối đờng thẳng parabol 15
Chủ đề 5: Giải tốn cách lập phơng trình, hệ phơng trình (4 tiết) 16
Dạng 1: Chuyển động (trên đờng bộ, đờng sơng có tính đến dũng nc chy) 16
Dạng 2: Toán làm chung riêng (toán vòi nớc) 16
Dng 3: Toán liên quan đến tỉ lệ phần trăm 16
Dạng 4: Toán có nội dung hình học 17
Dạng 5: Toán tìm số 17
Ch 6: Phơng trình quy phơng trình bậc hai (3 tit) 17
Dạng 1: Phơng trình có ẩn số mẫu 17
Dạng 2: Phơng trình chứa thøc 17
Dạng 3: Phơng trình chứa dấu giá tr tuyt i 18
Dạng 4: Phơng trình trùng phơng 18
Dạng 5: Phơng trình bậc cao 18
Phần II: Hình học (16 tiết) 18
Ch đề 1: Nhận biết hình, tìm điều kiện hình 19
Chủ đề 2: Chứng minh tứ giác nội tiếp, chứng minh nhiều điểm nằm đờng tròn 19
Chủ đề 3: Chứng minh điểm thẳng hàng, đờng thẳng đồng quy 22
Chủ đề 4: Chứng minh điểm cố định 22
Chủ đề 5: Chứng minh hai tam giác đồng dạng chứng minh đẳng thức hình học 23
Chủ đề 6: Các tốn tính số đo góc số đo diện tích 24
Chủ đề 7: Tốn quỹ tích 24
Chủ đề 8: Một số tốn mở đầu hình học khơng gian 24
Phần I: đại số (24 tiết) Chủ đề 1: Căn thức – Biến đổi thức.(4 tiết) Dạng 1: Tìm điều kiện để biểu thức có chứa thức có nghĩa. Bài 1: Tìm x để biểu thức sau có nghĩa.( Tìm ĐKXĐ biểu thức sau) ¿ 1√3x−1 8¿ √x2+3¿2¿ √5−2x 9¿ √x2−2¿3¿
√7x−14 10¿ √x
2−3x +7¿4¿ √2x−1 11¿ √2x2−5x+3¿5¿ √3− x √7x+2 12¿
1 √x2−5x +6 ¿6¿ √x+3 7− x 13¿
1
√x −3+ 3x
√5− x¿7¿
√2x− x2 14¿ √6x−1+√x+3¿
(2)a¿ 5√
5
3; b¿ x√
x(víi x>0); c¿ x√
2
5; d¿ (x −5)√
x
25− x2; e¿ x√
7
x2
Bµi 2: Thùc hiƯn phÐp tÝnh
¿
0,4
√2−3√¿
a(√28−2√14+√7)⋅√7+7√8; d¿ √6+2√5+√6−2√5;¿b¿ (√8−3√2+√10)(¿; e) √11+6√2−√11−6√2¿c¿ (15√50+5√200−3√450):√10 ; f¿ √35√2+7−√35√2−7¿g¿ √320+14√2+3;√20−14√2 ; h¿ √326+15√3−√326−15√3¿
Bµi 3: Thùc hiƯn phÐp tÝnh a¿ (2√3−√6
√8−2 −
√216 )⋅
1
√6 b¿
√14−√7 1−√2 +
√15−√5 1−√3 ¿:
1
√7−√5 c¿
√5−2√6+√8−2√15
√7+2√10 Bµi 4: Thùc hiƯn phÐp tÝnh
¿
6
√10−√¿
5 3−√¿
¿
5 3+√¿
a(4+√15)(¿√4−√15 b) (¿√3+√5+(√3−√5¿c) √3+√5−√3−√5−√2 d) √4−√7−√4+√7+√7¿e¿ 6,5+12+6,512+26
Bài 5: Rút gọn biểu thức sau:
¿
a
√7−√24+1−
√7+√24+1 b¿
√3
√√3+1−1−
√3
√√3−1+1¿c¿ √
5+2√6 5−√6 +√
5−2√6
5+√6 d¿ √ 3+√5 3−√5+√
3−√5 3+√5 ¿ Bµi 6: Rót gän biĨu thøc:
¿
a6+2√5−√13+√48 b¿√4+√5√3+5√48−10√7+4√3¿ c¿
1+√2+
√2+√3+
√3+√4+ +
√99+√100¿ Bµi 7: Rót gän biĨu thøc sau:
¿
aa√b+b√a
√ab :
1
√a −√b, víi a>0, b>0 vµ a≠ b.¿b¿ (1+ a+√a
√a+1)(1− a −√a
√a −1), víi a>0 vµ a≠1 ¿c¿
a√a −8+2a−4√a
a −4 ;¿d¿
2a−1⋅√5a
4
(1−4a+4a2)¿e¿
x2− y2⋅√
3x2
+6xy+3y2
4
Bài 8: Tính giá trị cđa biĨu thøc
¿
a=x2−3x√y+2y, x=
√5−2;y=
9+4√5¿b¿ B=x
3
+12x−8 víi x=√34(√5+1)−√34(√5−1);¿c¿ C=x+y , biÕt (x+√x2+3)(y+√y2+3)=0;¿d¿ D=√16−2x+x2+√9−2x+x2 , biÕt √16−2x+x2−√9−2x+x2=1 e E=x1+y2+y1+x2 , biết xy+(1+x2)(1+y2)=a.
Dạng 3: Bài toán tổng hợp kiến thức kỹ tính toán. Bài 1: Cho biÓu thøc P= x −3
√x −1−√2 a) Rút gọn P
b) Tính giá trị P nÕu x = 4(2 - √3 )
c) Tính giá trị nhỏ P Bài 2: Xét biÓu thøc A= a
2
+√a a −√a+1−
2a+√a
√a +1 a) Rót gän A
b) BiÕt a > 1, h·y so s¸nh A víi |A|
c) Tìm a để A =
d) Tìm giá trị nhỏ A Bµi 3: Cho biĨu thøc C=
2√x −2− 2x+2+
(3)b) Tính giá trị cđa C víi x=4
c) Tính giá trị x để |C|=1
3 Bµi 4: Cho biÓu thøc M= a
√a2− b2−(1+ a √a2− b2):
b a −√a2−b2 a) Rót gän M
b) Tính giá trị M a
b=
c) Tìm điều kiện a, b để M < Bài 5: Xét biểu thức
1− x¿2 ¿ ¿
P=(√x −2 x −1 − √
x+2 x+2√x+1)⋅¿ a) Rót gän P
b) Chøng minh r»ng nÕu < x < th× P > c) Tìm giá trị lơn P
Bµi 6: XÐt biĨu thøc Q= 2√x −9 x −5√x+6−
√x+3
√x −2−
2√x+1 3−√x a) Rót gän Q
b) Tìm giá trị x để Q <
c) Tìm giá trị nguyên x để giá trị tơng ứng Q số nguyên Bài 7: Xét biểu thức H=( x − y
√x −√y−
√x3−√y3 x − y ):
(√x −√y)2+√xy
√x+√y a) Rót gän H
b) Chøng minh H ≥
c) So sánh H với H
Bài 8: XÐt biÓu thøc A=(1+ √a a+1):(
1
√a −1−
2√a
a√a+√a −a −1) a) Rót gän A
b) Tìm giá trị a cho A >
c) Tính giá trị cđa A nÕu a=2007−2√2006
Bµi 9: XÐt biĨu thøc M=3x+√9x−3 x+√x −2 −
√x+1
√x+2+
√x −2 1−√x a) Rót gän M
b) Tìm giá trị nguyên x để giá trị tơng ứng M số nguyên Bài 10: Xét biểu thức P=15√x −11
x+2√x −3+
3√x −2 1−√x −
2√x+3
√x+3 a) Rót gän P
b) Tìm giá trị x cho P=1
2
c) So s¸nh P víi
3
Chủ đề 2: Phơng trình bậc hai định lí Viét (6 tiết) Dạng 1: Gii phng trỡnh bc hai.
Bài 1: Giải phơng trình
1) x2 6x + 14 = ; 2) 4x2 – 8x + = ;
3) 3x2 + 5x + = ; 4) -30x2 + 30x – 7,5 = ;
(4)7) x2 + 2
√2 x + = 3(x + √2 ) ; 8) √2 x2 + x + =
√3 (x +
1) ;
9) x2 – 2(
√3 - 1)x - √3 =
Bài 2: Giải phơng trình sau cách nhÈm nghiÖm:
1) 3x2 – 11x + = ; 2) 5x2 – 17x + 12 = ;
3) x2 – (1 +
√3 )x + √3 = ; 4) (1 - √2 )x2 – 2(1 +
√2 )x + +
3 √2 = ;
5) 3x2 – 19x – 22 = ; 6) 5x2 + 24x + 19 = ;
7) ( √3 + 1)x2 + 2
√3 x + √3 - = ; 8) x2 – 11x + 30 = ;
9) x2 – 12x + 27 = ; 10) x2 – 10x + 21 = 0.
Dạng 2: Chứng minh phơng trình có nghiệm, vô nghiệm. Bài 1: Chứng minh phơng trình sau có nghiệm
1) x2 2(m - 1)x – – m = ; 2) x2 + (m + 1)x + m = ;
3) x2 – (2m – 3)x + m2 – 3m = ; 4) x2 + 2(m + 2)x – 4m – 12 =
0 ;
5) x2 – (2m + 3)x + m2 + 3m + = ; 6) x2 – 2x – (m – 1)(m – 3) = ;
7) x2 – 2mx – m2 – = ; 8) (m + 1)x2 – (2m – 1)x –
+ m = ;
9) ax2 + (ab + 1)x + b = 0.
Bµi 2:
Chøng minh r»ng víi a, b , c số thực phơng trình sau lu«n cã nghiƯm: (x – a)(x – b) + (x – b)(x – c) + (x – c)(x – a) =
Chøng minh r»ng víi ba sè thøc a, b , c phân biệt phơng trình sau cã hai nghiƯm
ph©n biÕt:
x −a+ x − b+
1
x − c=0 (ẩn x)
Chứng minh phơng trình: c2x2 + (a2 – b2 – c2)x + b2 = v« nghiƯm víi a, b, c lµ
độ dài ba cạnh tam giác
Chøng minh r»ng phơng trình bậc hai:
(a + b)2x2 (a – b)(a2 – b2)x – 2ab(a2 + b2) = có hai nghiệm phân biệt.
Bài 3:
Chứng minh phơng trình bậc hai sau có nghiệm: ax2 + 2bx + c = (1)
bx2 + 2cx + a = (2)
cx2 + 2ax + b = (3)
Cho ph¬ng tr×nh (Èn x) sau:
x2 + 2ax + 4b2 = (1)
x2 - 2bx + 4a2 = (2)
x2 - 4ax + b2 = (3)
x2 + 4bx + a2 = (4)
Chøng minh r»ng c¸c phơng trình có phơng trình có nghiệm Cho phơng trình (ẩn x sau):
ax22bb+c b+c x+
1
c+a=0 (1) bx2−2c√c+a
c+a x+
a+b=0 (2) cx2−2a√a+b
a+b x+
b+c=0 (3) víi a, b, c số dơng cho trớc
Chứng minh phơng trình có phơng trình có nghiệm Bài 4:
Cho phơng trình ax2 + bx + c = 0.
Biết a ≠ 5a + 4b + 6c = 0, chứng minh phơng trình cho cú hai nghim
b) Chứng minh phơng trình ax2 + bx + c = ( a ≠ 0) cã hai nghiÖm nÕu mét trong
hai điều kiện sau đợc thoả mãn: a(a + 2b + 4c) < ;
(5)Dạng 3: Tính giá trị biểu thức đối xứng, lập phơng trình bậc hai nhờ nghiệm phơng trình bậc hai cho trớc.
Bµi 1: Gäi x1 ; x2 lµ nghiệm phơng trình: x2 3x =
TÝnh:
A=x12+x22; B=|x1− x2|;
C=
x1−1
+ x2−1
; D=(3x1+x2) (3x2+x1);
E=x13+x23; F=x14+x24
LËp ph¬ng trình bậc hai có nghiệm x
1−1
vµ x2−1
Bµi 2: Gọi x1 ; x2 hai nghiệm phơng trình: 5x2 3x = Không giải phơng
trình, tính giá trị biểu thức sau:
A=2x13−3x12x2+2x23−3x1x22;
B=x1 x2
+ x1 x2+1
+x2 x1
+ x2 x1+1
−( x1
− x2)
2 ; C=3x1
2+5x1x2+3x22
4x1x22+4x12x2
Bµi 3:
a) Gäi p q nghiệm phơng trình bậc hai: 3x2 + 7x + = Không giải phơng
trình hÃy thành lập phơng trình bậc hai với hệ số số mà nghiệm lµ p
q −1 vµ q p −1
b) Lập phơng trình bậc hai có nghiệm lµ
10−√72 vµ 10+6√2 Bµi 4: Cho phơng trình x2 2(m -1)x m = 0.
a) Chứng minh phơng trình luôn cã hai nghiƯm x1 ; x2 víi mäi m
b) Với m 0, lập phơng trình ẩn y thoả mÃn y1=x1+
1
x2 y2=x2+
1 x1
Bài 5: Không giải phơng trình 3x2 + 5x – = H·y tÝnh gi¸ trị biểu thức sau:
A=(3x12x2) (3x22x1); B= x1 x2−1
+ x2 x1−1
; C=|x1− x2|; D=
x1+2
x1 + x2+2
x2 Bài 6: Cho phơng trình 2x2 4x 10 = cã hai nghiÖm x
1 ; x2 Không giải phơng trình
hÃy thiết lập phơng trình Èn y cã hai nghiƯm y1 ; y2 tho¶ m·n: y1 = 2x1 – x2 ; y2 = 2x2 –
x1
Bài 7: Cho phơng trình 2x2 3x – = cã hai nghiÖm x
1 ; x2 HÃy thiết lập phơng trình
ẩn y cã hai nghiƯm y1 ; y2 tho¶ m·n:
¿
a¿y1=x1+2¿y2=x2+2¿ b¿ ¿ ¿y1=
x12
x2 ¿y2=
x22
x1 ¿ ¿{¿ Bµi 8: Cho phơng trình x2 + x = cã hai nghiÖm x
1 ; x2 H·y thiÕt lập phơng trình ẩn
y có hai nghiệm y1 ; y2 tho¶ m·n:
¿
a¿y1+y2=x1 x2+
x2
x1¿ y1
y2+ y2
y1=3x1+3x2¿ ; b¿ ¿ ¿y1+y2=x12+x22¿y12+y22+5x1+5x2=0 ¿ ¿{¿
Bµi 9: Cho phơng trình 2x2 + 4ax a = (a tham sè, a ≠ 0) cã hai nghiÖm x
1 ; x2 HÃy
lập phơng trình ẩn y cã hai nghiƯm y1 ; y2 tho¶ m·n:
y1+y2=1 x1+
1 x2 vµ
1 y1+
1
y2=x1+x2
Dạng 4: Tìm điều kiện tham số để phơng trình có nghiệm, có nghiệm kép, vơ nghim.
(6)a) Cho phơng trình (m – 1)x2 + 2(m – 1)x – m = (Èn x).
Xác định m để phơng trình có nghiệm kép Tính nghiệm kép
b) Cho phơng trình (2m 1)x2 2(m + 4)x + 5m + =
Tìm m để phng trỡnh cú nghim
c) Cho phơng trình: (m – 1)x2 – 2mx + m – = 0.
- Tìm điều kiện m để phơng trình có nghiệm
- Tìm điều kiện m để phơng trình có nghiệm kép Tính nghiệm kép
d) Cho phơng trình: (a 3)x2 2(a 1)x + a – = 0.
Tìm a để phơng trình có hai nghiệm phân biệt Bài 2:
a) Cho phơng trình: 4x
2
x4+2x2+1
2(2m−1)x x2+1 +m
2− m−6
=0 Xác định m để phơng trình
cã Ýt nhÊt mét nghiƯm
b) Cho phơng trình: (m2 + m – 2)(x2 + 4)2 – 4(2m + 1)x(x2 + 4) + 16x2 = Xác định
m để phơng trình có nghiệm
Dạng 5: Xác định tham số để nghiệm phơng trình ax2 + bx + c = thoả mãn
điều kiện cho trớc.
Bài 1: Cho phơng trình: x2 – 2(m + 1)x + 4m = 0
1) Xác định m để phơng trình có nghiệm kép Tìm nghiệm kép
2) Xác định m để phơng trình có nghiệm Tính nghiệm cịn lại 3) Với điều kiện m phơng trình có hai nghiệm dấu (trái dấu) 4) Với điều kiện m phơng trình có hai nghiệm dơng (cùng âm) 5) Định m để phơng trình có hai nghiệm cho nghiệm gấp đơi nghiệm
6) Định m để phơng trình có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn 2x1 – x2 = -
7) Định m để phơng trình có hai nghiệm x1 ; x2 cho A = 2x12 + 2x22 x1x2 nhn
giá trị nhỏ nhÊt
Bài 2: Định m để phơng trình có nghiệm thoả mãn hệ thức ra:
a) (m + 1)x2 – 2(m + 1)x + m – = ; (4x
1 + 1)(4x2 + 1) = 18
b) mx2 – (m – 4)x + 2m = ; 2(x
12 + x22) = 5x1x2
c) (m – 1)x2 – 2mx + m + = ; 4(x
12 + x22) = 5x12x22
d) x2 – (2m + 1)x + m2 + = ; 3x
1x2 – 5(x1 + x2) + =
Bài 3: Định m để phơng trình có nghiệm thoả mãn hệ thức ra:
a) x2 + 2mx – 3m – = ; 2x
1 – 3x2 =
b) x2 – 4mx + 4m2 – m = ; x
1 = 3x2
c) mx2 + 2mx + m – = ; 2x
1 + x2 + =
d) x2 – (3m – 1)x + 2m2 – m = ; x
1 = x22
e) x2 + (2m – 8)x + 8m3 = ; x
1 = x22
f) x2 – 4x + m2 + 3m = ; x
12 + x2 =
Bµi 4:
a) Cho phơnmg trình: (m + 2)x2 – (2m – 1)x – + m = Tìm điều kiện m để
phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 cho nghiệm gấp đôi nghiệm
b) Ch phơng trình bậc hai: x2 – mx + m – = Tìm m để phơng trình có hai
nghiƯm x1 ; x2 cho biĨu thøc R=
2x1x2+3
x12+x22+2(1+x1x2)
đạt giá trị lớn Tìm giá trị lớn
c) Định m để hiệu hai nghiệm phơng trình sau
mx2 – (m + 3)x + 2m + = 0.
Bµi 5: Cho phơng trình: ax2 + bx + c = (a ≠ 0).
Chứng minh điều kiện cần đủ để phơng trình có hai nghiệm mà nghiệm gấp
đôi nghiệm 9ac = 2b2.
Bài 6: Cho phơng trình bậc hai: ax2 + bx + c = (a ≠ 0) Chøng minh điều kiện cần
v phng trình có hai nghiệm mà nghiệm gấp k lần nghiệm (k > 0) : kb2 = (k + 1)2.ac
(7)a) Cho phơng trình x2 – (2m – 3)x + m2 – 3m = Xác định m để phơng trình có
hai nghiƯm x1 ; x2 tho¶ m·n < x1 < x2 <
b) Cho phơng trình 2x2 + (2m – 1)x + m – = Xác định m để phơng trình có hai
nghiệm phân biệt x1 ; x2 thoả mÃn: - < x1 < x2 <
Bµi 2: Cho f(x) = x2 – 2(m + 2)x + 6m + 1.
a) Chứng minh phơng trình f(x) = cã nghiƯm víi mäi m
b) Đặt x = t + Tính f(x) theo t, từ tìm điều kiện m để phơng trình f(x) = có hai nghiệm lớn
Bµi 3: Cho phơng trình bậc hai: x2 + 2(a + 3)x + 4(a + 3) = 0.
a) Với giá trị tham số a, phơng trình có nghiệm kép Tính nghiệm kép b) Xác định a để phơng trình có hai nghiệm phân biệt lớn
Bài 4: Cho phơng trình: x2 + 2(m – 1)x – (m + 1) = 0.
a) Tìm giá trị m để phơng trình có nghiệm nhỏ nghiệm lớn
b) Tìm giá trị m để phơng trình có hai nghiệm nhỏ Bài 5: Tìm m để phơng trình: x2 – mx + m = có nghiệm thoả mãn x
1≤ - x2
Dạng 7: Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm phơng trình bậc hai không phụ thuéc tham sè.
Bµi 1:
a) Cho phơng trình: x2 mx + 2m = Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm
phơng trình không phụ thuộc vào tham số m
b) Cho phơng trình bậc hai: (m – 2)x2 – 2(m + 2)x + 2(m – 1) = Khi phơng trình
có nghiệm, hÃy tìm hệ thức nghiệm không phụ thuộc vµo tham sè m
c) Cho phơng trình: 8x2 – 4(m – 2)x + m(m – 4) = Định m để phơng trình có hai
nghiệm x1 ; x2 Tìm hệ thức hai nghiệm độc lập với m, suy vị trí
nghiệm hai số –
Bài 2: Cho phơng trình bậc hai: (m 1)2x2 – (m – 1)(m + 2)x + m = Khi phơng trình
có nghiệm, hÃy tìm hệ thức nghiệm không phụ thuộc vào tham số m Bài 3: Cho phơng trình: x2 2mx m2 – = 0.
a) Chøng minh r»ng phơng trình có hai nghiệm x1 , x2 với m
b) Tìm biểu thức liên hệ x1 ; x2 không phụ thuộc vào m
c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn:
x1 x2
+x2 x1
=5
Bài 4: Cho phơng trình: (m – 1)x2 – 2(m + 1)x + m = 0.
a) Giải biện luận phơng trình theo m
b) Khi phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2:
- Tìm hệ thức x1 ; x2 độc lập với m
- T×m m cho |x1 – x2| ≥
Bµi 5: Cho phơng trình (m 4)x2 2(m 2)x + m – = Chøng minh r»ng
ph-ơng trình có hai nghiệm x1 ; x2 th×: 4x1x2 – 3(x1 + x2) + =
Dạng 8: Mối quan hệ nghiệm hai phơng trình bậc hai. Kiến thức cần nhớ:
1/ Định giá trị tham số để phơng trình có nghiệm k (k ≠ 0) ln mt
nghiệm phơng trình kia: Xét hai phơng trình:
ax2 + bx + c = (1)
a’x2 + b’x + c’ = (2)
trong hệ số a, b, c, a’, b’, c’ phụ thuộc vào tham số m
Định m để cho phơng trình (2) có nghiệm k (k ≠ 0) lần nghiệm
ph-ơng trình (1), ta làm nh sau:
i) Giả sử x0 nghiệm phơng trình (1) kx0 nghiệm phơng trình
(8)¿
ax02+bx0+c=0
a'k2x
02+b'kx0+c'=0
(∗)
¿{
¿
Giải hệ phơng trình phơng pháp cộng đại số để tìm m
ii) Thay giá trị m vừa tìm đợc vào hai phơng trình (1) (2) để kiểm tra lại
2/ Định giá trị tham số m để hai phơng trình bậc hai tơng đơng với Xét hai phơng trình:
ax2 + bx + c = (a ≠ 0) (3)
a’x2 + b’x + c’ = (a’ ≠ 0) (4)
Hai phơng trình (3) (4) tơng đơng với hai phơng trình có tập nghiệm (kể tập nghiệm rỗng)
Do đó, muỗn xác định giá trị tham số để hai phơng trình bậc hai tơng đơng với ta xét hai trờng hợp sau:
i) Trờng hợp hai phơng trinhg cuùng vô nghiệm, tøc lµ:
¿
Δ(3)<0 Δ(4)<0
¿{
¿
Giải hệ ta tịm đợc giá trị tham số
ii) Trờng hợp hai phơng trình có nghiệm, ta giải hệ sau:
¿
Δ(3)≥0 Δ(4)≥0 S(3)=S(4) P(3)=P(4)
¿{ { {
¿
Chú ý: Bằng cách đặt y = x2 hệ phơng trình (*) đa hệ phơng trình bậc ẩn
nh sau:
¿
bx+ay=−c b'x+a'y=−c'
¿{
¿
§Ĩ giải tiếp toán, ta làm nh sau:
- Tìm điều kiện để hệ có nghiệm tính nghiệm (x ; y) theo m
- T×m m thoả mÃn y = x2.
- Kiểm tra lại kÕt qu¶
Bài 1: Tìm m để hai phơng trình sau có nghiệm chung:
2x2 – (3m + 2)x + 12 = 0
4x2 – (9m – 2)x + 36 = 0
Bài 2: Với giá trị m hai phơng trình sau có nghiệm chung Tìm nghiệm chung đó:
a) 2x2 + (3m + 1)x – = 0; 6x2 + (7m – 1)x – 19 = 0.
b) 2x2 + mx – = 0; mx2 – x + = 0.
c) x2 – mx + 2m + = 0; mx2 – (2m + 1)x = 0.
Bài 3: Xét phơng trình sau:
ax2 + bx + c = (1)
cx2 + bx + a = (2)
Tìm hệ thức a, b, c điều kiện cần đủ để hai phơng trình có nghiệm chung
Bµi 4: Cho hai phơng trình:
x2 2mx + 4m = (1)
(9)Tìm giá trị tham số m để phơng trình (2) có nghiệm hai lần nghiệm phơng trỡnh (1)
Bài 5: Cho hai phơng trình:
x2 + x + a = 0
x2 + ax + = 0
a) Tìm giá trị a hai phơng trình có nghiệm chung b) Với giá trị a hai phơng trình tơng đơng
Bài 6: Cho hai phơng trình:
x2 + mx + = (1)
x2 + 2x + m = (2)
a) Định m để hai phơng trình có nghiệm chung b) Định m để hai phơng trình tơng đơng
c) Xác định m để phơng trình (x2 + mx + 2)(x2 + 2x + m) = có nghiệm phõn bit
Bài 7: Cho phơng trình:
x2 – 5x + k = (1)
x2 – 7x + 2k = (2)
Xác định k để nghiệm phơng trình (2) lớn gấp lần nghiệm phơng trình (1)
Chủ đề 3: Hệ phơng trình (4 tit)
Hệ hai phơng trình bậc hai ẩn.
Dạng 1: Giải hệ phơng trình đa đợc dạng bản Bài 1: Giải hệ phơng trình
¿
1¿3x−2y=4¿2x+y=5¿; 2¿ ¿ ¿4x−2y=3¿6x−3y=5¿; 3¿ ¿ ¿2x+3y=5¿4x+6y=10¿ ¿ ¿4¿ ¿3x−4y+2=0¿5x+2y=14¿; 5¿ ¿ ¿2x+5y=3¿3x−2y=14¿; 6¿ ¿ ¿4x−6y=9¿10x−15y=18¿ ¿ ¿ ¿{¿
Bài 2: Giải hệ phơng trình sau:
¿
1¿(3x+2) (2y−3)=6xy¿(4x+5)(y −5)=4xy¿; 2¿ ¿ ¿(2x-3) (2y+4)=4x(y −3)+54¿(x+1) (3y−3)=3y(x+1)−12¿; ¿ ¿ ¿ ¿ 3¿ ¿2y-5x +5=
y+27 −2x¿
x+1 +y=
6y−5x
7 ¿; 4¿ ¿ ¿
7x+5y-2
x+3y =−8¿
6x-3y+10
5x+6y =5¿ ¿ ¿{¿ ¿
Dạng 2: Giải hệ phơng pháp đặt ẩn phụ Giải hệ phơng trình sau
¿ 1¿
x+2y+
y+2x=3¿
x+2y−
y+2x=1¿; 2¿ ¿ ¿ 3x
x+1−
y+4=4¿ 2x
x+1−
y+4=9¿; 3¿ ¿ ¿ x+1 x −1+
3y
y+2=7¿
x −1−
y+2=4¿;¿ ¿ ¿ ¿4¿ ¿2(x
−2x)+√y+1=0¿3(x2−2x)−2√y+1+7=0¿; 5¿ ¿ ¿5|x −1|−3|y+2|=7¿2√4x2−8x+4+5√y2+4y+4=13 ¿ ¿ ¿{¿ ¿
Dạng 3: Xác định giá trị tham số để hệ có nghiệm thoả mãn điều kiện cho trớc Bài 1:
Định m n để hệ phơng trình sau có nghiệm (2 ; - 1)
¿
2mx−(n+1)y=m −n (m+2)x+3ny=2m−3
{
Định a b biết phơng trình: ax2 - 2bx + = có hai nghiƯm lµ x = vµ x = -2.
Bài 2: Định m để đờng thẳng sau đồng quy:
a) 2x – y = m ; x = y = 2m ; mx – (m – 1)y = 2m –
b) mx + y = m2 + ; (m + 2)x – (3m + 5)y = m – ; (2 - m)x – 2y = - m2 + 2m –
2
Bài 3: Cho hệ phơng trình
¿
mx+4y=10−m x+my=4 (m lµ tham sè)
{
(10)a) Giải hệ phơng trình m = 2 b) Giải biện luận hÖ theo m
c) Xác định giá tri nguyên m để hệ có nghiệm (x ; y) cho x > 0, y >
d) Với giá trị nguyên m hƯ cã nghiƯm (x ; y) víi x, y lµ số nguyên d-ơng
e) nh m h có nghiệm (x ; y) cho S = x2 – y2 đạt giá trị nhỏ
(câu hỏi tơng tự với S = xy)
f) Chứng minh hệ có nghiệm (x ; y) điểm M(x ; y) ln nằm đờng thẳng cố định m nhận giỏ tr khỏc
Bài 4: Cho hệ phơng tr×nh:
¿
(m−1)x −my=3m−1 2x− y=m+5
¿{
Giải biện luận hệ theo m
Với giá trị nguyên m hÖ cã nghiÖm nhÊt (x ; y) cho x > 0, y <
Định m để hệ có nghiệm (x ; y) mà P = x2 + y2 đạt giá trị nhỏ nhất.
Xác định m để hệ có nghiệm (x ; y) thoả mãn x2 + 2y = (Hoặc: cho M
(x ; y) n»m trªn parabol y = - 0,5x2).
Chứng minh hệ có nghiệm (x ; y) điểm D(x ; y) luôn nằm đờng thẳng cố định m nhận giá trị khác
Bài 5: Cho hệ phơng trình:
x+my=2 mx2y=1
{
Giải hệ phơng trình m =
Tỡm cỏc s nguyên m để hệ có nghiệm (x ; y) mà x > y <
Tìm số ngun m để hệ có nghiệm (x ; y) mà x, y số ngun Tìm m để hệ có nghiệm (x ; y) mà S = x – y đạt giá trị lớn
Một số hệ bậc hai đơn giản:
Dạng 1: Hệ đối xứng loại I Ví dụ: Giải hệ phơng trình
¿
x+y+xy=11 x2+y2+3(x+y)=28
{
Bài tập tơng tự:
Giải hệ phơng trình sau:
1x2+y2+x+y=8x2+y2+xy=7 2¿ ¿ ¿x2+xy+y2=4¿x+xy+y=2¿ ¿ ¿3¿ ¿ ¿xy+x+y=19¿x2y+xy2=84¿ 4¿ ¿ ¿x2−3xy+y2=−1¿3x2−xy+3y2=13¿ ¿ ¿5¿ ¿ ¿(x+1) (y+1)=8¿x(x+1)+y(y+1)+xy=17¿ 6¿ ¿ ¿(x2+1)(y2+1)=10¿(x+y)(xy−1)=3¿ ¿ ¿7¿ ¿ ¿x+xy+y=2+3√2¿x2+y2=6¿ 8¿ ¿ ¿x2+xy+y2=19(x − y)2¿x2−xy+y2=7(x − y)¿ ¿ ¿9¿ ¿ ¿(x − y)2−(x − y)=6¿5(x2+y2)=5xy¿ 10¿ ¿ ¿ ¿{¿ ¿
Dạng 2: Hệ đối xứng loại II Ví dụ: Giải hệ phơng trình
¿
x3+1=2y y3
+1=2x
¿{
Bài tập tơng tự:
Giải hệ phơng trình sau:
1x2+1=3yy2+1=3x ¿ ¿x2y+2=y2¿xy2+2=x2¿ ¿ ¿3¿ ¿ ¿x3=2x+y¿y3=2y+x¿ 4¿ ¿ ¿x2+xy+y=1¿x+xy+y2=1¿ ¿ ¿5¿ ¿ ¿x2−2y2=2x+y¿y2−2x2=2y+x¿ 6¿ ¿ ¿x −3y=4 y
x¿y −3x=4 x
y¿ ¿¿7¿ ¿ ¿2x+
1
y=
3
x¿2y+
1
x=
3
y¿ 8¿ ¿ ¿x
=3x+8y¿y3=3y+8x¿ ¿ ¿9¿ ¿ ¿x2−3x=y¿y2−3y=x¿ 10¿ ¿ ¿ ¿{¿ ¿
Dạng 3: Hệ bậc hai giải phơng pháp cộng đại số Giải hệ phơng trình sau:
¿
(11)Chủ đề 4: Hàm số đồ thị (3 tiết) Dạng 1: Vẽ đồ thị hàm số
Bài 1: Vẽ đồ thị hàm số sau:
a) y = 2x – ; b) y = - 0,5x +
Bài 2: Vẽ đồ thị hàm số y = ax2 khi:
a) a = ; b) a = -
Dạng 2: Viết phơng trình đờng thẳng Bìa 1: Viết phơng trình đờng thẳng (d) bit:
(d) qua A(1 ; 2) B(- ; - 5)
(d) qua M(3 ; 2) song song với đờng thẳng () : y = 2x – 1/5
(d) qua N(1 ; - 5) vng góc với đờng thẳng (d’): y = -1/2x +
(d) ®i qua D(1 ; 3) tạo với chiều dơng trục Ox góc 300.
(d) qua E(0 ; 4) đồng quy với hai đờng thẳng
(): y = 2x – 3; (’): y = – 3x t¹i mét ®iÓm
(d) qua K(6 ; - 4) cách gốc O khoảng 12/5 (đơn vị dài) Bài 2: Gọi (d) đờng thẳng y = (2k – 1)x + k – với k tham số
a) Định k để (d) qua điểm (1 ; 6)
b) Định k để (d) song song với đờng thẳng 2x + 3y – = c) Định k để (d) vng góc với đờng thẳng x + 2y =
d) Chứng minh khơng có đờng thẳng (d) qua điểm A(-1/2 ; 1)
e) Chứng minh k thay đổi, đờng thẳng (d) qua điểm cố định Dạng 3: Vị trí tơng đối đờng thẳng parabol
Bµi 1:
a) Biết đồ thị hàm số y = ax2 qua điểm (- ; -1) Hãy tìm a vẽ đồ thị (P) đó.
b) Gọi A B hai điểm lần lợt (P) có hồnh độ lần lợt - Tìm toạ độ A B từ suy phơng trình đờng thẳng AB
Bµi 2: Cho hµm sè y=−1 2x
2
a) Khảo sát vẽ đồ thị (P) hàm số
b) Lập phơng trình đờng thẳng (d) qua A(- 2; - 2) tiếp xúc với (P) Bài 3:
Trong cïng hƯ trơc vu«ng gãc, cho parabol (P): y=−1
4x
2
đờng thẳng (D): y = mx - 2m -
a) Vẽ độ thị (P)
b) T×m m cho (D) tiÕp xóc víi (P)
c) Chứng tỏ (D) qua điểm cố định A thuộc (P) Bài 4: Cho hàm số y=−1
2x
2
a) Vẽ đồ thị (P) hàm số
b) Trên (P) lấy hai điểm M N lần lợt có hồnh độ - 2; Viết phơng trình đờng thẳng MN
c) Xác định hàm số y = ax + b biết đồ thị (D) song song với đờng thẳng MN cắt (P) điểm
Bµi 5:
Trong hệ trục toạ độ, cho Parabol (P): y = ax2 (a 0) đờng thẳng (D): y = kx + b.
1) Tìm k b cho biết (D) qua hai điểm A(1; 0) B(0; - 1) 2) Tìm a biết (P) tiếp xúc với (D) vừa tìm đợc câu 1) 3)Vẽ (D) (P) vừa tìm đợc câu 1) câu 2)
4) Gọi (d) đờng thẳng qua điểm C(3
2;−1) có hệ số góc m
a) Viết phơng tr×nh cđa (d)
(12)Chủ đề 5: Giải tốn cách lập phơng trình, hệ phơng trình (4 tiết). Dạng 1: Chuyển động (trên đờng bộ, đờng sơng có tính đến dịng nớc chảy) Bài 1:
Một ôtô từ A đến B thời gian định Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h đến chậm Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h đến sớm Tính quãng đờng AB thời gian dự định lúc đầu
Bµi 2:
Một ngời xe máy từ A đến B cách 120 km với vận tốc dự định tr ớc Sau
đợc
3 quãng đờng AB ngời tăng vận tốc thêm 10 km/h quãng đờng cịn lại Tìm
vận tốc dự định thời gian xe lăn bánh đờng, biết ngời đến B sớm dự định 24 phút
Bµi 3:
Một canô xuôi từ bến sông A đến bến sơng B với vận tốc 30 km/h, sau lại ngợc từ B trở A Thời gian xuôi thời gian ngợc 20 phút Tính khoảng cách hai bến A B Biết vận tốc dòng nớc km/h vận tốc riêng canô lúc xuôi lúc ngợc
Bài 4:
Một canô xuôi khúc sông dài 90 km ngợc 36 km Biết thời gian xuôi dòng sông nhiều thời gian ngợc dòng vận tốc xuôi dòng vận tốc ngợc dòng km/h Hỏi vận tốc canô lúc xuôi lúc ngợc dòng
Dạng 2: Toán làm chung riêng (toán vòi níc) Bµi 1:
Hai ngời thợ làm chung cơng việc 12 phút xong Nừu ngời thứ làm ngời thứ hai làm hai ngời làm đợc ắ công việc Hỏi làm công việc xong?
Bµi 2:
Nếu vòi A chảy vòi B chảy đợc
5 hå Nếu vòi A chảy
gi v vũi B chảy 30 phút đợc
2 hồ Hỏi chảy mỗI vòi
chảy đầy hồ Bài 3:
Hai vòi nớc chảy vào bể sau đầy bể Nếu vòi chảy cho đầy bể vòi II cần nhiều thời gian vòi I Tính thời gian vòi chảy đầy bể?
Dng 3: Toán liên quan đến tỉ lệ phần trăm. Bài 1:
Trong tháng giêng hai tổ sản xuất đợc 720 chi tiết máy Trong tháng hai, tổ I vợt mức 15%, tổ II vợt mức 12% nên sản xuất đợc 819 chi tiết máy Tính xem tháng giêng tổ sản xuất đợc chi tiết máy?
Bài 2:
Năm ngoái tổng số dân hai tỉnh A B triệu ngời Dân số tỉnh A năm tăng 1,2%, tỉnh B tăng 1,1% Tổng số dân hai tỉnh năm 045 000 ngời Tính số dân tỉnh năm ngoái năm nay?
Dạng 4: Toán có nội dung hình học. Bài 1:
Mt khu vờn hình chữ nhật có chu vi 280 m Ngời ta làm lối xung quanh vờn (thuộc đất vờn) rộng m Tính kích thớc vờn, biết đất lại vờn để trồng trọt 4256 m2.
Bµi 2:
Cho hình chữ nhật Nếu tăng chiều dài lên 10 m, tăng chiều rộng lên m diện tích
tăng 500 m2 Nếu giảm chiều dài 15 m giảm chiều rộng m diện tích giảm 600 m2
(13)Bµi 3:
Cho tam giác vuông Nếu tăng cạnh góc vuông lên cm cm diện tích tam
giác tăng 50 cm2 Nếu giảm hai cạnh cm diện tích giảm 32 cm2 Tính hai
cạnh góc vuông
Dạng 5: Toán tìm số. Bài 1:
Tìm số tự nhiên có hai chữ số, tổng chữ số 11, đổi chỗ hai chữ số hàng chục hàng đơn vị cho số tăng thêm 27 đơn vị
Bµi 2:
Tìm số có hai chữ số, biết số gấp lần chữ số hàng đơn vị số cần tìm chia cho tổng chữ số đợc thơng số d
Bµi 3:
Nếu tử số phân số đợc tăng gấp đơi mẫu số thêm giá trị phân số
4 NÕu tö số thêm mẫu số tăng gấp giá trị phân số
5
24 Tìm phân số
ú Bi 4:
Nếu thêm vào tử mẫu phân số giá trị phân số giảm Nếu bớt vào
cả tử mẫu, phân số tăng
2 Tìm phân số
Chủ đề 6: Phơng trình quy phơng trình bậc hai (3 tiết) Dạng 1: Phơng trình có ẩn số mẫu.
Giải phơng trình sau:
a x
x −2+ x+3
x −1=6¿b¿ 2x−1
x +3= x+3
2x−1¿c¿ t2
t −1+t= 2t2
+5t t+1 Dạng 2: Phơng trình chứa thøc.
¿
Lo¹i √A=√B⇔
A ≥0 (hayB≥0) A=B
¿
Lo¹i √A=B⇔
B ≥0 A=B2
{
Giải phơng trình sau:
¿
a√2x2−3x−11=√x2−1 b¿ √(x+2)2=√3x2−5x+14¿c¿ √2x2+3x−5=x+1 d¿ √(x −1)(2x−3)=− x −9¿e¿ (x −1)√x2−3x¿
Dạng 3: Phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối. Giải phơng trình sau:
¿
a|x −1|+x2=x+3 b¿ |x+2|2x+1=x2+2x+3c |x4+2x2+2|+x2+x=x44x d |x2+1|x24x+4=3x
Dạng 4: Phơng trình trùng phơng. Giải phơng trình sau:
a) 4x4 + 7x2 – = ; b) x4 – 13x2 + 36 = 0;
c) 2x4 + 5x2 + = ; d) (2x + 1)4 – 8(2x + 1)2 – = 0.
D¹ng 5: Phơng trình bậc cao.
Gii cỏc phng trỡnh sau cách đa dạng tích đặt ẩn phụ đa phơng trình bậc hai:
Bµi 1:
a) 2x3 – 7x2 + 5x = ; b) 2x3 – x2 – 6x + = ;
c) x4 + x3 – 2x2 – x + = ; d) x4 = (2x2 – 4x + 1)2.
(14)a) (x2 – 2x)2 – 2(x2 – 2x) – = ; c) (x2 + 4x + 2)2 +4x2 + 16x + 11 =
0 ;
¿
c x¿2− x+2√x2− x+3=0 d¿ 4(x2+
x2)−16(x+
x)+23=0¿e¿
x2+x −5
x +
3x
x2+x −5+4=0 f¿ 21
x2−4x+10− x
2
+4x−6=0¿g¿ 3(2x2+3x−1)2−5(2x2+3x+3)+24=0 h¿ x
2
3 − 48
x2−10( x 3−
4
x)=0¿i¿ 2x
2x2−5x+3+ 13x
2x2+x+3=6 k¿√x
2
−3x+5+x2=3x+7 ¿
Bµi 3:
a) 6x5 – 29x4 + 27x3 + 27x2 – 29x +6 = 0
b) 10x4 – 77x3 + 105x2 – 77x + 10 = 0
c) (x – 4,5)4 + (x – 5,5)4 = 1
d) (x2 – x +1)4 – 10x2(x2 – x + 1)2 + 9x4 = 0
Phần II: Hình học (16 tiÕt)
Chủ đề 1: Nhận biết hình, tìm điều kiện hình Bài 1:
Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn tâm O D E lần lợt điểm cung AB AC DE cắt AB I cắt AC L
a) Chøng minh DI = IL = LE
b) Chøng minh tø gi¸c BCED hình chử nhật
c) Chứng minh tứ giác ADOE hình thoi tính góc hình nµy Bµi 2:
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đờng trịn có đờng chéo vng góc với I
a) Chứng minh từ I ta hạ đờng vng góc xuống cạnh tứ giác đờng vng góc qua trung điểm cạnh đối diện cạnh
b) Gọi M, N, R, S trung điểm cạnh tứ giác cho Chứng minh MNRS hình chữ nhật
c) Chứng minh đờng trịn ngoại tiếp hình chữ nhật qua chân đờng vng góc hạ từ I xuống cạnh tứ giác
Bµi 3:
Cho tam giác vng ABC ( A = 1v) có AH đờng cao Hai đờng trịn đờng kính AB
AC có tâm O1 O2 Một cát tuyến biến đổi qua A cắt đờng trịn (O1) (O2) lần lợt
t¹i M N
a) Chứng minh tam giác MHN tam giác vuông b) Tứ giác MBCN hình g×?
c) Gọi F, E, G lần lợt trung điểm O1O2, MN, BC Chứng minh F cách điểm E,
G, A, H
d) Khi cát tuyến MAN quay xung quanh điểm A E vạch đờng nh nào? Bài 4:
Cho hình vng ABCD Lấy B làm tâm, bán kính AB, vẽ 1/4 đờng trịn phía hình vng.Lấy AB làm đờng kính , vẽ 1/2 đờng trịn phía hình vng Gọi P điểm tuỳ ý cung AC ( không trùng với A C) H K lần lợt hình chiếu P AB AD, PA PB cắt nửa đờng tròn lần lợt I M
a) Chứng minh I trung điểm AP b) Chứng minh PH, BI, AM đồng qui c) Chứng minh PM = PK = AH
d) Chứng minh tứ giác APMH hình thang c©n
đ) Tìm vị trí điểm P cung AC để tam giác APB
Chủ đề 2: Chứng minh tứ giác nội tiếp, chứng minh nhiều điểm nằm trên đờng tròn.
Bµi 1: (Bµi 1.5/53 – Ngun TiÕn Quang)
Cho hai đờng tròn (O), (O') cắt A, B Các tiếp tuyến A (O), (O') cắt (O'), (O) lần lợt điểm E, F Gọi I tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác EAF
a) Chứng minh tứ giác OAO'I hình bình hành OO'//BI b) Chứng minh bốn điểm O, B, I, O' thuộc đờng tròn
(15)Cho tam giác ABC Hai đờng cao BE CF cắt H.Gọi D điểm đối xứng H qua trung điểm M BC
a) Chứng minh tứ giác ABDC nội tiếp đợc đờng trịn.Xác định tâm O đờng trịn
b) Đờng thẳng DH cắt đờng tròn (O) điểm thứ I Chứng minh điểm A, I, F, H, E nằm đờng tròn
Bài 3: (Bài 66/52 - Ôn tập kiểm tra h×nh häc 9)
Cho hai đờng trịn (O) (O') cắt A B Tia OA cắt đờng tròn (O') C, tia O'A cắt đờng tròn (O) D Chứng minh rằng:
a) Tø gi¸c OO'CD néi tiÕp
b) Tứ giác OBO'C nội tiếp, từ suy năm điểm O, O', B, C, D nằm đờng trịn
Bµi 4: (Bài 67/53 - Ôn tập kiểm tra hình học 9)
Cho tứ giác ABCD nội tiếp nửa đờng trịn đờng kính AD Hai đờng chéo AC BD cắt E Vẽ EF vng góc AD Gọi M trung điểm DE Chứng minh rằng: a) Các tứ giác ABEF, DCEF nội tiếp đợc
b) Tia CA tia phân giác góc BCF c)* Tứ giác BCMF nội tiếp đợc
Bµi 5: (Bµi 69/53 - Ôn tập kiểm tra hình học 9)
Từ điểm M bên ngồi đờng trịn (O) ta vẽ hai tiếp tuyến MA, MB với đờng trũn
Trên cung nhỏ AB lấy điểm C VÏ CD AB, CE MA, CF MB
Gọi I giao điểm AC DE, K giao điểm BC DF Chứng minh rằng: a) Các tứ giác AECD, BFCD nội tiếp đợc
b) CD2 = CE CF
c)* IK // AB
Bài 6: (Bài 78/57 - Ôn tập kiĨm tra h×nh häc 9)
Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O) Từ A vẽ tiếp tuyến xy với đờng tròn Vẽ hai đ-ờng cao BD CE
a) Chứng minh bốn điểm B, C, D, E nằm đờng tròn
b) Chứng minh xy// DE, từ suy OA DE
Bài 7: (Bài 79/57 - Ôn tập kiểm tra hình học 9)
Cho tam giỏc ABC nội tiếp đờng tròn (O) Trên cung nhỏ AB lấy điểm M Đờng thẳng qua A song song với BM cắt CM N
a) Chứng minh tam giác AMN tam giác b) Chứng minh MA + MB = MC
c)* Gọi D giao điểm AB CM Chứng minh r»ng:
AM +
1
MB =
1 MD
Bµi 8: (Bµi 131/100 - Ôn tập kiểm tra hình học 9)
Cho ba điểm A, B, C cố định với B nằm A C Một đờng tròn (O) thay đổi qua B C Vẽ đờng kính MN vng góc với BC D ( M nằm cung nhỏ BC).Tia AN cắt đ-ờng tròn (O) Tại điểm thứ hai F Hai dây BC MF cắt E Chứng minh rằng:
a) Tứ giác DEFN nội tiếp đợc b) AD AE = AF AN
c) Đờng thẳng MF qua điểm cố nh
Bài 9: (Bài 133/100 - Ôn tập kiĨm tra h×nh häc 9)
Từ điểm A bên ngồi đờng trịn ( O; R) vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đờng tròn Gọi M trung điểm AB Tia CM cắt đờng tròn điểm N Tia AN cắt đờng tròn điểm D
a) Chøng minh r»ng MB2 = MC MN
b) Chøng minh r»ng AB// CD
c) Tìm điều kiện điểm A tứ giác ABDC hình thoi Tính diện tích cử hình thoi
Bài 10: (Bài 134/101 - Ôn tập kiểm tra h×nh häc 9)
Cho đờng trịn (O) dây AB Gọi M điểm cung nhỏ AB Vẽ đ-ờng kính MN Cắt AB I Gọi D điểm thuộc dây AB Tia MD cắt đđ-ờng tròn (O) C
a) Chứng minh tứ giác CDIN nội tiếp đợc
(16)c) Gọi O' tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ACD Chứng minh MAB =
2 AO'D
d) Chứng minh ba điểm A, O', N thẳng hàng MA tiếp tuyến đờng tròn ngoại tiếp tam giác ACD
Bài 11: (Bài 2- Đề 1/102 - Ôn tập kiĨm tra h×nh häc 9)
Cho tam giác ABC vuông A ( AB < AC), đờng cao AH Trên đoạn thẳng HC lấy D
sao cho HD = HB VÏ CE vu«ng gãc víi AD ( E AD)
a) Chøng minh r»ng AHEC lµ tø gi¸c néi tiÕp
b) Chứng minh AB tiếp tuyến đờng tròn ngoại tiếp tứ giác AHEC c) Chứng minh CH tia phân giác góc ACE
d) Tính diện tích hình giới hạn đoạn thẳng CA CH cung nhỏ AH ng
tròn nói biết AC= 6cm, ACB = 300.
Bài 12: (Bài 2- Đề 2/102 - Ôn tập kiểm tra hình học 9)
Cho ng trịn tâm O có đờng kính BC Gọi A Một điểm thuộc cung BC ( AB < AC), D điểm thuộc bán kính OC Đờng vng góc với BC D cắt AC E, cắt tia BA F
a) Chøng minh r»ng ADCF lµ tø giác nội tiếp
b) Gọi M trung điểm cña EF Chøng minh r»ng AME = ACB
c) Chứng minh AM tiếp tuyến đờng trịn (O)
d) Tính diện tích hình giới hạn đoạn thẳng BC, BA cung nhỏ AC đờng
trßn (O) biÕt BC= 8cm, ABC = 600.
Bài 13: (Bài - Đề 3/103 - Ôn tập kiểm tra hình học 9)
Cho nửa đờng trịn tâm O, đờng kính AB = 2R Điểm M thuộc nửa đờng tròn Vẽ đờng tròn tâm M tiếp xúc với AB ( H tiếp điểm) Kẻ tiếp tuyến AC, BD với đờng tròn (M) ( C, D tiếp điểm)
a) Chøng minh C, M, D thẳng hàng
b) Chng minh CD tiếp tuyến đờng tròn (O) c) Tính tổng AC + BD theo R
d) TÝnh diƯn tÝch tø gi¸c ABDC biÕt AOM = 600.
Bài 14: (Bài 173/121 Luyện giải toán hình học 9)
Cho tam giác vuông cân ABC (A = 900), trung điểm I cạnh BC Xét điểm D
trên tia AC Vẽ đờng tròn (O) tiếp xúc với cạnh AB, BD, DA điểm tơng ứng M, N, P
a) Chứng minh điểm B, M, O, I, N nằm đờng tròn b) Chứng minh ba điểm N, I, P thẳng hàng
c) Gäi giao ®iĨm cđa tia BO với MN, NP lần lợt H, K Tam giác HNK tam giác gì, sao?
d) Tìm tập hợp điểm K điểm D thay đổi vị trí tia AC
Chủ đề 3: Chứng minh điểm thẳng hàng, đờng thẳng đồng quy. Bài 1:
Cho hai đờng tròn (O) (O') cắt hai điểm A B Đờng thẳng AO cắt đờng tròn (O) (O') lần lợt C C' Đờng thẳng AO' cắt đờng tròn (O) (O') lần lợt D D'
a) Chứng minh C, B, D' thẳng hàng b) Chứng minh tø gi¸c ODC'O' néi tiÕp
c) Đờng thẳng CD đờng thẳng D'C' cắt M Chứng minh tứ giác MCBC' nội tiếp
Bµi 2: (Bµi 5.2/79 – NguyÔn TiÕn Quang)
Từ điểm C ngồi đờng trịn ( O) kể cát tuyến CBA Gọi IJ đờng kính vng góc với AB Các đờng thẳng CI, CJ theo thứ tự cắt đờng tròn (O) M, N
a) Chứng minh IN, JM AB đồng quy điểm D
b) Chứng minh tiếp tuyến đờng tròn (O) M, N qua trung điểm E CD
Bµi 3: (Bµi 5.4/81 – Ngun TiÕn Quang)
Cho hai đờng tròn ( O; R) ( O'; R' ) tiếp xúc A ( R> R' ) Đờng nối tâm OO' cắt đờng tròn (O) (O') theo thứ tự B C ( B C khác A) EF dây cung đờng trịn (O) vng góc với BC trung điểm I BC, EC cắt đờng tròn (O') D
(17)b) Chøng minh ba ®iĨm A, D, F thẳng hàng
c) CF ct ng trũn (O’) G Chứng minh ba đờng EG, DF CI đồng quy d) Chứng minh ID tiếp xúc với đờng trịn (O’)
Bµi 4: (Bµi 3/48 – Hµ Huy B»ng)
Cho đờng tròn (O) (O’) tiếp xúc ngồi C AC BC đờng kính (O)
(O’), DE lµ tiÕp tuyÕn chung (D (O), E (O)) AD cắt BE M
a) Tam giác MAB tam giác gì?
b) Chứng minh MC tiếp tuyến chung cđa (O) vµ (O’)
c) Kẻ Ex, By vng góc với AE, AB Ex cắt By N Chứng minh D, N, C thẳng hàng d) Về phía nửa mặt phẳng bờ AB, vẽ nửa đờng tròn đờng kính AB OO’ Đ-ờng thẳng qua C cắt hai nửa đĐ-ờng tòn I, K Chứng minh OI // AK
Chủ đề 4: Chứng minh điểm cố định Bài 1: (Bài 3/13 – Hà Huy Bằng)
Cho đờng tròn (O ; R) Đờng thẳng d cắt (O) A, B C thuộc d (O) Từ điểm P cung lớn AB kẻ đờng kính PQ cắt AB D CP cắt (O) điểm thứ hai I, AB cắt IQ K
a) Chøng minh tø gi¸c PDKI néi tiÕp b) Chøng minh: CI.CP = CK.CD
c) Chøng minh IC phân giác tam giác AIB
d) A, B, C cố định, (O) thay đổi nhng qua A, B Chứng minh IQ qua điểm cố định
Bµi 2: (Bµi 3/16 – Hµ Huy B»ng)
Cho tam giác ABC nội tiếp (O ; R) M di động AB N di động tia đối tia CA cho BM = CN
a) Đờng tròn ngoại tiếp tam giác AMN cắt (O) A D Chứng minh D cố định b) Tính góc MDN
c) MN cắt BC K Chứng minh DK vuông góc với MN d) Đặt AM = x Tính x để diện tích tam giác AMN lớn Bài 3: (Bài 3/24 – Hà Huy Bằng)
Cho (O ; R) Điểm M cố định (O) Cát tuyến qua M cắt (O) A B Tiếp tuyến (O) A B cắt C
a) Chứng minh tứ giác OACB nội tiếp đờng tròn tâm K
b) Chứng minh: (K) qua hai điểm cố định O H cát tuyến quay quanh M c) CH cắt AB N, I trung điểm AB Chứng minh MA.MB = MI.MN
d) Chøng minh: IM.IN = IA2.
Bµi 4: (Bµi 3/31 – Hµ Huy B»ng)
Cho nửa đờng trịn đờng kính AB tâm O C điểm cung AB M di động cung nhỏ AC Lấy N thuộc BM cho AM = BN
a) So sánh tam giác AMC BCN b) Tam giác CMN tam giác gì?
c) Kẻ dây AE//MC Chứng minh tứ giác BECN hình bình hành
d) Đờng thẳng d qua N vuông góc với BM Chứng minh d ln qua điểm cố định
Bµi 5: (Bµi 3/102 – Hµ Huy B»ng)
Cho đờng tròn (O ; R), đờng thẳng d cắt (O) hai điểm C D Điểm M tuỳ ý d, kẻ tiếp tuyến MA, MB I trung điểm CD
a) Chứng minh điểm M, A, I, O, B thuộc đờng tròn b) Gọi H trực tâm tam giác MAB, tứ giác OAHB hình gì? c) Khi M di đồng d Chứng minh AB qua im c nh
d) Đờng thẳng qua C vuông góc với OA cắt AB, AD lần lợt E vµ K Chøng minh EC = EK
Chủ đề 5: Chứng minh hai tam giác đồng dạng chứng minh đẳng thức hình học.
(18)Cho đờng tròn (O) dây AB M điểm cung AB C thuộc AB, dây MD qua C
a) Chøng minh MA2 = MC.MD.
b) Chøng minh MB.BD = BC.MD
c) Chứng minh đờng tròn ngoại tiếp tam giác BCD tiếp xúc với MB B
d) Gọi R1, R2 bán kính đờng trịn ngoại tiếp tam giác BCD ACD Chứng minh
R1 + R2 không đổi C di động AB
Bµi 2: (Bµi 2/156 Hà Thúc Quả)
Cho na ng trũn tõm O, đờng kính AB = 2R điểm M nửa đờng tròn (M khác A, B) Tiếp tuyến M nửa đờng tròn cắt tiếp tuyến A, B lần lợt C E
a) Chøng minh r»ng CE = AC + BE
b) Chøng minh AC.BE = R2.
c) Chứng minh tam giác AMB đồng dạng với tam giác COE
d) Xét trờng hợp hai đờng thẳng AB CE cắt F Gọi H hình chiếu vng góc M AB
+ Chøng minh r»ng: HA
HB = FA FB
+ Chứng minh tích OH.OF khơng đổi M di động nửa đờng tròn Bài 3: (Bài 6/161 – Hà Thúc Quả)
Trên cung BC đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC lấy điểm P Cỏc ng
thẳng AP BC cắt Q Chøng minh r»ng:
PQ= PB+
1 PC Bµi 4: (Bµi 11/166 – Hµ Thóc Qu¶)
Cho góc vng xOy Trên tia Ox đặt đoạn OA = a Dựng đờng tròn (I ; R) tiếp xúc với Ox A cắt Oy hai điểm B, C Chứng minh hệ thức:
a)
AB2+ AC2=
1 a2 b) AB2 + AC2 = 4R2.
Chủ đề 6: Các tốn tính số đo góc số đo diện tích.
Chủ đề 7: Tốn quỹ tích
Chủ đề 8: Một số toán mở đầu hình học khơng gian. Bài 1:
Cho hình hộp chữ nhật ABCDA’B’C’D’ Biết AB = cm; AC = cm A’C = 13 cm Tính thể tích diện tích xung quanh hình hộp chữ nht ú
Bài 2:
Cho hình lập phơng ABCDA’B’C’D’ cã diƯn tÝch mỈt chÐo ACC’A’ b»ng 25 √2 cm2
Tính thể tích diện tích tồn phần hình lập phơng Bài 3:
Cho h×nh hép chø nhËt ABCDA’B’C’D’ BiÕt AB = 15 cm, AC’ = 20 cm vµ gãc A’AC’
bằng 600 Tính thể tích diện tích tồn phần hình hộp chữ nhật đó.
Bµi 4:
Cho lăng trụ đứng tam giác ABCA’B’C’ Tính diện tích xung quanh thể tích
biết cạnh đáy dài cm góc AA’B 300.
Bµi 5:
Cho tam giác ABC cạnh a Đờng thẳng d vng góc với mặt phẳng (ABC) trọng tâm G tam giác ABC Trên đờng thẳng d lấy điểm S Nối SA, SB, SC
a) Chøng minh r»ng SA = SB = SC
b) Tính diện tích toàn phần thể tích hình chóp S.ABC, cho biết SG = 2a Bài 6:
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a đờng cao a√2
2
(19)Bµi 7:
Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy cạnh bên a a) Tính diện tích tốn phần hình chóp
b) TÝnh thĨ tÝch cđa h×nh chãp Bµi 8:
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có chiếu cao 15 cm thể tích 1280 cm3.
a) Tính độ dài cạnh đáy
b) Tính diện tích xung quanh hình chóp Bài 9:
Một hình chóp cụt diện tích đáy nhỏ 75 cm2, diện tích đáy lớn gấp lần diện tích đáy
nhỏ chiều cao cm Tính thể tích hình chóp cụt Bài 10:
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA = a SA vng góc với mặt phẳng đáy (ABCD)
a) TÝnh thĨ tÝch h×nh chãp
b) Chøng minh bốn mặt bên tam giác vuông a) Tính diện tích xung quanh hình chóp
Bài 11:
Một hình trụ có đờng cao đờng kính đáy Biết thể tích hình trụ 128 cm3, tính diện
tÝch xung quanh cđa nã Bµi 12:
Một hình nón có bán kính đáy cm diện tích xung quanh 65 cm2 Tính thể
tích hình nón Bài 13:
Cho hình nón cụt, bán kính đáy lớn cm, đờng cao 12 cm đờng sinh 13 cm
a) Tính bán kính đáy nhỏ
b) Tính diện tích xung quanh thể tích hình nón cụt Bài 14: