[r]
(1)Phần khoảng cách:
Khong cỏch t điểm M(x0 ; y0) đến đờng thẳng ():
Nếu () // 0x có phơng trình dạng y = a khoảng cách từ M đến () d = |y0−a| Nếu () // 0y có phơng trình dạng x = b khoảng cách từ M đến () d = |x0− a| Nếu () có phơng trình: ax + by + c = khoảng cách từ M đến () là:
d = |ax0+by0+c| √a2+b2
bµi tËp:
1) Tìm điểm đồ thị hàm số: y=x
2+2x+2
x+1 cho khoảng cách từ điểm
ú n trc hồnh hai lần khoảng cách từ điểm đến trục tung 2) Tìm điểm M đồ thị hàm số: y=x
2
+2x −2
x −1 cho khoảng cách từ M đến giao
điểm hai đờng tiệm cận nhỏ
3) Tìm hai điểm A, B hai nhánh khác đồ thị hàm số: y=x+
x −1
cho AB ng¾n nhÊt
4) Tìm điểm thuộc đồ thị hàm số: y=x
2
+4x+5
x+2 cho khoảng cách từ điểm đến
đờng thẳng: 3x + y + = nhỏ 5) Tìm đồ thị hàm số: y=x+2
x −2 điểm cách hai trục toạ độ
6) Tìm hai điểm A, B hai nhánh khác đồ thị hàm số: y=x
2
+x −5
x −2
cho AB ng¾n nhÊt
7) Tìm đồ thị hàm số: y=x
2
+x −1
x −1 điểm cách hai trục toạ độ
8) Tìm hai điểm A, B hai nhánh khác đồ thị hàm số: y=x
2
+3x+3
x+1
cho AB ng¾n nhÊt
9) Tìm điểm đồ thị hàm số: y=x −2
x −1 cách hai điểm A(0; 0) B(2;
2)
10) Tìm điểm đồ thị hàm số: y=x
− x+1
x −1 có tổng khoảng cách đến hai
®-êng tiƯm cËn lµ nhá nhÊt
11) Tìm điểm đồ thị hàm số: y=2x+1
x −3 có tổng khoảng cách đến hai đờng
tiƯm cËn lµ nhá nhÊt
Tâm đối xứng - trục đối xứng:
đn tâm đối xứng: Điểm A(a; b) tâm đối xứng đồ thị hàm số y=f(x) với phép biến đổi trục toạ độ:
¿ x=X+a
y=Y+b
¿{
¿
hµm sè Y = F(X+a) - b hàm số lẻ
Bi toỏn i: Chứng minh đồ thi ham số: y=f(x) nhận A(a; b) làm tâm đối xứng
Bµi lµm:
Thùc hiƯn theo c¸c bíc sau:
Bớc 1: Với phép biến đổi tạo độ: ¿ x=X+a
y=Y+b
¿{
hàm số có dạng: Y = F(X+a) - b (1)
Bớc 2: Để đồ thị hàm số nhận A làm tâm đối xứng hàm số (1) phải hàm số lẻ Bớc 3: KL
(2)đối xứng
Bµi lµm:
Thùc hiƯn theo c¸c bíc sau:
Bớc 1: Với phép biến đổi tạo độ: ¿ x=X+a
y=Y+b
{
hàm số có dạng: Y = F(X+a) - b (1)
Bớc 2: Để đồ thị hàm số nhận A làm tâm đối xứng hàm số (1) phải hàm số lẻ, tham số
Bíc 3: KL Bµi tËp:
1) Tìm m để đồ thị hàm số: y=2x
+(m−4)x −2m+1
x −2 nhận điểm I(2; 1) làm tâm đối xứng
2) Tìm m để đồ thị hàm số: y=− x3+3 mx2−2 mx+1 nhận điểm I(1; 1) làm tâm đối xứng
Bài tốn iii: Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị hàm số: y=f(x) đối xứng với qua điểm I(a; b)
Bµi lµm:
Thùc hiƯn theo c¸c bíc sau:
Bớc 1: Lấy hai điểm A(xA; y(xA)) & B(xB; y(xB)) thuộc đồ thị hàm số
Bớc 2: Hai điểm A & B đối xứng với qua điểm I(a; b)
¿ xA+xB=2a yA+yB=2b
¿{
¿
ta suy
toạ độ điểm A & B Bài tập:
1) Xác định m để đồ thị hàm số: y=x
2+2m2x
+m2
x+1 có hai điểm đối xứng với
qua gốc toạ độ
2) Xác định m để đồ thị hàm số: y=x
2
−4 mx+5m
x −2 có hai điểm đối xứng với
qua gốc toạ độ
3) Xác định m để đồ thị hàm số: y=x
−mx+m2
x −1 có hai điểm đối xứng với qua
gốc toạ độ
4) Xác định m để đồ thị hàm số: y=x3
+mx2+9x+4 có hai điểm đối xứng với qua gốc toạ độ
5) Xác định m để đồ thị hàm số: y=x3−3 mx2+3(m2−1)x+1− m2 có hai điểm đối xứng với qua gốc toạ độ
đn trục đối xứng: Đờng thẳng x = a trục đối xứng đồ thị hàm số: số y=f(x)
với phép biến đổi trục toạ độ: ¿
x=X+a
y=Y
¿{
¿
hµm sè Y = F(X+a) lµ hµm sè ch½n
Bài tốn i: Chứng minh đồ thi ham số: y=f(x) nhận đờng thẳng x = a làm trục đối xứng
Bµi lµm:
Thùc hiƯn theo c¸c bíc sau:
Bớc 1: Với phép biến đổi tạo độ: ¿ x=X+a
y=Y
¿{
¿
hàm số có dạng: Y = F(X+a) (1)
Bớc 2: Để đồ thị hàm số nhận đờng thẳng x = a làm trục đối xứng hàm số (1) phải hàm số chẵn
Bíc 3: KL VD
:
(3)2) CMR đồ thị hàm số: y = x4 + 4x3 + 5x2 + 2x +9 có trục đối xứng. 3) CMR đồ thị hàm số: y = x4 - 4x3 - 2x2 + 12x -1 có trục đối xứng.
Bài tốn ii: Tìm tham số để đồ thi ham số: y=f(x) nhận đờng thẳng x = a làm trục đối xứng
Bµi lµm:
Thùc hiƯn theo c¸c bíc sau:
Bớc 1: Với phép biến đổi tạo độ: ¿ x=X+a
y=Y
¿{
¿
hàm số có dạng: Y = F(X+a) (1)
Bớc 2: Để đồ thị hàm số nhận đờng thẳng x = a làm trục đối xứng hàm số (1) phải hàm số chẵn
Bíc 3: KL BµI tËp :
1) Xác định m để đồ thị hàm số: y = x4 + 4mx3 - 2x2 - 12mx có trục đối xứng // 0y. 2) Định m để đồ thị hàm số: y = x4 + 4mx3 - 2(m - 1)x2 - 2mx + có trục đối xứng // 0y. 3) Xác định m để đồ thị hàm số: y = x4 + 4x3 + mx2 có trục đối xứng // 0y.
Bài toán iii: Chứng minh đồ thi ham số: y=f(x) nhận đờng thẳng (d) y = ax + b làm trục đối xứng
Bµi lµm:
Thùc hiƯn theo c¸c bíc sau:
Bớc 1: Gọi (d0) (d) phơng trình đờng thẳng (d0): y=−1
ax+m
Bớc 2: Giã sử (d0) cắt đồ thị hàm số hai điểm A & B Khi hồnh độ A & B
nghiƯm ph¬ng tr×nh: f(x)=¿ −1
ax+m Sư dơng viÐt: ¿ xA+xB
xAxB ¿{
¿
Bíc 3: Gäi I trung điểm AB, ta có:
¿ xI=
xA+xB
2
yI=−1 axI+m ¿{
¿ Thay toạ độ I vào phơng trình (d) nhận xét I (d) Bớc 4: KL
BµI tËp:
1) CMR đồ thị hàm số: y=x −1
x+1 nhận đờng thẳng y = x + làm trục đối xứng
2) CMR đồ thị hàm số: y=2x −1
x −1 nhận đờng thẳng y = x + y = - x + làm trục
đối xứng
Bài toán iv:Tìm hai điểm A & B thuộc đồ thị hàm số: y=f(x) đối xứng với qua đ-ờng
thẳng (d) có phơng trình: y = ax + b
Bài làm:
Thực theo bớc sau:
Bớc 1: Tìm miền xác định D hàm số: y=f(x)
Bớc 2: Gọi (d0) (d) phơng trình đờng thẳng (d0): y=−1
ax+m
Bớc 3: Giã sử (d0) cắt đồ thị hàm số hai điểm A & B Khi hồnh độ A & B nghiệm phơng trình: f(x)=¿ 1
ax+m (1)
Để tồn A & B phơng trình (1) phải có hai nghiệm ph©n biƯt thc D tham sè
Sử dụng viét ta đợc: ¿ xA+xB
xAxB ¿{
(4)Bớc 4: Gọi I trung điểm cña AB, ta cã:
¿ xI=xA+xB
2
yI=−1axI+m ¿{
¿
- Hai điểm A & B đối xứng với qua đờng thẳng (d) I (d) m
- Thay m vào (1) ta có đợc hồnh độ A & B
- Khi suy điểm A & B cần tìm Bớc 5: KL
BµI tËp:
1) Tìm hai điểm A & B thuộc đồ thị hàm số: y= x
2
x −1 đối xứng với qua đờng
th¼ng (d) cã phơng trình: y = x -
2) Tỡm hai điểm A & B thuộc đồ thị hàm số: y= x
x+1 đối xứng với qua ng
thẳng (d) có phơng trình: y = x +
3) Tìm hai điểm A & B thuộc đồ thị hàm số: y=x
2
+x+1
x −2 đối xứng với qua
đờng thẳng (d) có phơng trình: y = x +
4) Tìm hai điểm A & B thuộc đồ thị hàm số: y=x
2
−3x+4
2x −2 đối xứng với qua
đờng thẳng (d) có phơng trình: y = x
5) Tìm m để đồ thị hàm số: y =2x3 - 3(2m + 1)x2 + 6m(m + 1)x + có hai điểm cực trị đối xứng với qua đờng thẳng (d): y = x +
Sự t ơng giao đồ thị hàm số:
I - Sự tơng giao hai đồ thị hàm số: y=f(x) y=g(x)
Bµi lµm:
Ta thùc hiƯn theo c¸c bíc sau: Bíc 1: TXD: D = Df∩ Dg
Bớc 2: Phơng trình hoành độ giao điểm hai đồ thị hàm số là: f(x)=g(x) (*) Bớc 3: Biện luận số nghiệ phơng trình (*)