Xác định vị trí điểm M để diện tích tam giác ABH lớn nhất... Vậy quĩ tích điểm[r]
(1)ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI KHỐI 11 – NĂM HỌC 2008 – 2009. MƠN: TỐN
Thời gian 120 phút.
Câu 1: (2 điểm )
1 Giải phương trình :
3sin sin 2sin
3 6
x x x
.
2 Tính góc ABC biết
3
sin sin sin
2 2
A A C A B
Câu 2: (2 điểm )
Cho dãy số (Un) có
1
2
1
n n n
U
U U n
Tìm nlim Un.
Tìm
2 3
lim x
x x
x
x x
Câu 3: ( điểm)
Trên đoạn [0; 1], phương trình 2x x2 8x4 8x2 1 1 có nghiệm? Câu 4: ( điểm)
Cho ba số x, y, z dương thoả mãn x2 y2 z2 xyz
Tìm giá trị lớn biểu thức 2
x y z
A
x yz y xz z xy
.
Chứng minh
1
2 2
n n
n n n n
n
C C C n C
( n N , n1 ).
Câu 5: ( điểm)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA = h vng góc mặt phẳng (ABCD), M điểm thay đổi CD Kẻ SH vng góc với BM
Tìm tập điểm H M thay đổi CD
Xác định vị trí điểm M để diện tích tam giác ABH lớn
(2)ĐÁP ÁN THI HỌC SINH GIỎI LỚP 11 (Năm học 2008 – 2009)
CÂU Ý NỘI DUNG ĐIỂM
1
Do
sin cos
6
x x
nên pt cho trở thành:
3sin cos 2sin
3
x x x
sin x cos6 cos x sin 2sin 5x
sin sin
2
x x
2sin cos
6
x x
sin
6
cos
3 x
x
k Z 18
l Z 12
k x
l x
0.25
0.25
0.25
0.25
2
Do
3
sin cos
2 2
A A
nên toán trở thành :
2
2 2
3
cos 2sin cos
2 4
3 3
1- 2sin 2sin cos
4 4 4
3 1
2 sin sin cos cos cos
4 4 4 4 2
A A B C B C
A A B C
A A B C B C B C
2
2
3 1
2 sin cos sin (*)
4 4
A B C B C
Do
2
3
sin cos
4 4
A B C
;
2
sin
4 B C
nên VT (*) không âm
Suy (*) xảy dấu “=”
sin
4
3
sin cos
4 4
B C
A B C
0.25
0.25
0.25
(3)Giải hệ phương trình ta 0 100 40 A B C Do 1
n n n
U U
nên
2
1
1
n n n
U U
với n 1
Khi
2 2
2
3 2
2 1 2
n n n
U U
U U
U U Suy 2
1
2
1 1
2 2
1 1
= 1+
2 2
n n n n U U Vậy
lim lim 2
2
n n
n U n
0.25 0.25 0.25 0.25 Đặt y
x Do x + nên y Bài toán trở thành
3 2 2 2
0 3
2
0 3
1 lim
1 lim
12
lim
1 (1 ) 12
4 lim
1 (1 ) 1 2 1 6 1 2 12 y y y y y y I y
y y y y
y y
y y
y
y y y y y y y y
y
y y y y y y
2
0.25
0.25
0.25
0.25
Do x0;1 nên đặt xsint, suy t 0;2
Pt (1) cho trở thành:
8sin 2sint t 8sin t 8sin t1 1
8sin cos2 cos4t t t (2)
Nhận thấy cost = khơng phải nghiệm, ta có: (2) 8cos sin cos2 cos4t t t t cos t
sin8t cost
0.25
(4)
2
, k Z 18
2
, l Z 14
k t
l t
Vì
0; t
k= 0, k = 1, l = 0, l = thoả mãn.
Mặt khác: số nghiệm pt (2) với
0; t
số nghiệm pt (1)
với x0;1
Vậy, đoạn 0;1 pt (1) c0s bốn nghiệm
5
sin ; sin ; sin ; sin
18 18 14 18
x x x x
0.25
0.25
4
1 *Với x y z, , ta có: x2 y2 z2 xy yz zx .(1) Đẳng thức xảy x = y = z
*Áp dụng BĐT Côsi BĐT (1), kết hợp giả thiết x2 y2 z2 xyz, ta có
2 2
2 2
2
1 1
2
1 1 1
2
1
2
x y z
A
x yz y xz z xy
y z z x x y
yz zx xy
x y z xyz
x y z xyz
Nhận thấy
3
A x y z
Vậy
1
max
2
A x y z
0.25
0.25
0.25
0.25
Ta thấy
2 1 3 5 2 1
2 2
1 n n 2( n )
n n n n
x x C C C C
.
Lấy đạo hàm hai vế :
2 2
1 2
2 2
2[ n x n ]= n n
n n n n
C C x C x n C 2n x n x
Cho x = 1, ta
1 2
2 2
1
2 2
2
3
2
[ ]=
[ ]=
n n
n n n n
n n
n n n n
C C C n C 2n.2
n
C C C n C .4
0.25
0.25
0.25 0.25
(5)K
H A
D
B C
S
M
Do SA (ABCD) nên AH hình chiếu SH (ABCD),
mà BM AH (gt) BM AH
N nhìn AB góc vng tập hợp điểm H đường trịn
đường kính AB thuộc mp(ABCD)
Giới hạn tập hợp: Khi M C H B (chứng minh BC
(SAB), M D H O ( O tâm hv ABCD) Vậy quĩ tích điểm
H cung BO đường trịn nói Phần đảo :
0.25 0.5
0.5 0.25 Gọi K hình chiếu H AB
Diện tích tam giác ABH
S AB HK Smax HK max
Trong AHB gọi ABM ( 0 900) Khi
.sin cos sin
2
AH BH AB AB
HK
AB AB
AB AB
Nhận thấy ax sin
AB
HKm
= 45
Vậy diện tích tam giác ABH lớn M D
0.25
0.75