Đang tải... (xem toàn văn)
Trên đường thẳng vuông góc với AC tại C lấy điểm E sao cho CE = AG và đoạn thẳng GE không cắt đường thẳng CD... Hai đường chéo AC và BD[r]
(1)SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG TRỊ
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP THCS Năm học 2008 – 2009
Mơn : Tốn
Thời gian làm 150 phút (Không kể thời gian giao đề ) Bài (5 điểm)
Cho biểu thức
2
5
x x x
A
x x x x
a) Tìm điều kiện x để biểu thức A có nghĩa b) Rút gọn biểu thức A
Bài (4 điểm)
Giả sử x1 ; x2 nghiệm phương trình : x2 + 2kx + =
Tìm tất giá trị k cho có bất đẳng thức :
2
1
2
3
x x
x x
Bài (3 điểm)
Cho x3 + y3 + 3(x2 +y2) +4(x + y) + = xy >
Tìm giá trị lớn biểu thức :
1 M
x y
Bài (2 điểm)
Cho phương trình :
2
2
2 2
x x
x x
a) Tìm điều kiện x để phương trình có nghĩa b) Giải phương trình
Bài (6 điểm)
Cho hình thang ABCD (CD > AB) với AB // CD ABBD Hai đường chéo AC BD
cắt G Trên đường thẳng vng góc với AC C lấy điểm E cho CE = AG đoạn thẳng GE không cắt đường thẳng CD Trên đoạn thẳng DC lấy điểm F cho DF = GB
a) Chứng minh FDG đồng dạng với ECG
b) Chứng minh GF EF
HẾT
(2)Giải Bài (5 điểm)
Cho biểu thức
2
5
x x x
A
x x x x
c) Tìm điều kiện x để biểu thức A có nghĩa d) Rút gọn biểu thức A
Điều kiện : x0;x4;x9
2
5
2
=
2
3
2 3 2
=
3
2 9
= 2 =
3
x x x
A
x x x x
x x x
x x
x x
x x x x x
x x
x x x x x
x x
x x
x x x
x
x x x x
Bài (4 điểm)
Giả sử x1 ; x2 nghiệm phương trình : x2 + 2kx + =
Tìm tất giá trị k cho có bất đẳng thức :
2 2 x x x x
Phương trình : x2 + 2kx + = có hai nghiệm x ; x2
, k2 4 0 k2 4(*)
Khi ta có :
1
1
2
x x k
x x
Vậy :
2
2 2 2 2
1 2
1 2
2 1 2
2 2 2 2 2
3 3
2
4
3
4 2 3
2 (**)
2
x x x x
x x x x
x x x x x x
k k k k k k
Kết hợp (*) (**) ta có :
2 4
2 k k k
Vậy để phương trình : x2 + 2kx + = có hai nghiệm x
1 ; x2 thỏa :
2 2 x x x x
:
2
x x2
Bài (3 điểm)
Cho x3 + y3 + 3(x2 +y2) +4(x + y) + = xy >
Tìm giá trị lớn biểu thức :
1 M
x y
(3)Ta có : x3 + y3 + 3(x2 +y2) +4(x + y) + =
x3 + 3x2 + 3x +1 + y3 + 3y2 + 3y + + x + y + = 0
(x + 1)3 + (y + 1)3 + (x + y + 2) = 0
(x + y + 2)[(x + 1)2 – (x + 1)(y + 1) + (y + 1)2 + 1] = (*)
2
2
2
V x – x y y 1
1
= 1 1
2
ì
x y y
Nên (*) x + y + = x + y = -
1
Ta c : ó M x y
x y xy xy
2
4 4
x y xy xy
xy xy
Vậy MaxM = -2 x = y = -1
Bài (2 điểm)
Cho phương trình :
2
2
2 2
x x
x x
a) Tìm điều kiện x để phương trình có nghĩa b) Giải phương trình
a) điều kiện : 0x4
2
b)
2 2
2
(1)
2 2
x x x x x x x x
Đặt 2 x = a ; 2 x = b ( a ; b 0)
2 2 2 2 2 2 Ta c :
2
2
8
2
8
4
8
(I)
2
a b
ó a b
a b
a b
a b ab a b a b ab
a b
a b ab ab
a b
a b ab
Vì ab + > nên : 2 2 2 2 2
2 2
1 (loai v a 0)
3
3 4 2 3 1
ab
a b ab
I
a b a b
b
b b a
a a
a
a a a
a a ì
(4)Bài (6 điểm)
Cho hình thang ABCD (CD > AB) với AB // CD ABBD Hai đường chéo AC BD
cắt G Trên đường thẳng vng góc với AC C lấy điểm E cho CE = AG đoạn thẳng GE không cắt đường thẳng CD Trên đoạn thẳng DC lấy điểm F cho DF = GB
c) Chứng minh FDG đồng dạng với ECG
d) Chứng minh GF EF
ABCD : AB // CD ; CD > AB ;
ABBD
ABBD; AG = CE ; BG = DF
Chứng minh :
a) FDG ~ ECG.
b) GF EF
Chứng minh : a) Ta có AB // CD
BG GD
AG GC
, mà AG = CE ; BG = DF
DF GD
CE GC
Xét FDG và ECG có :
; 90
DF GD
GDF GCE
CE GC FDG ~ ECG ( c-g-c)
b) Ta có FDG ~ ECG GFD GEC GFCE nội tiếp GCE GFE chắn GE
mà GCE 900 GFE 900 GF FE
\\ // X
X F
E
D C