Đang tải... (xem toàn văn)
[r]
(1)ÐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2009 Mơn thi : TỐN
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH Câu I (2,0 điểm)
Cho hàm số y = x4 – (3m + 2)x2 + 3m có đồ thị (Cm), m tham số
Khảo sát biến thiên vẽđồ thị hàm sốđã cho m =
Tìm m để đường thẳng y = -1 cắt đồ thị (Cm) điểm phân biệt có hồnh
độ nhỏ Câu II (2,0 điểm)
Giải phương trình cos5x 2sin 3x cos 2x sin x 0− − = Giải hệ phương trình
2 x(x y 1)
5
(x y)
x + + − = ⎧⎪
⎨ + − + =
⎪⎩ (x, y ∈ R)
Câu III (1,0 điểm). Tính tích phân
x
dx I
e =
−
∫
Câu IV (1,0 điểm) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông B, AB = a, AA’ = 2a, A’C = 3a Gọi M trung điểm đoạn thẳng A’C’, I giao điểm AM A’C Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC khoảng cách từđiểm A đến mặt phẳng (IBC)
Câu V (1,0 điểm).Cho số thực không âm x, y thay đổi thỏa mãn x + y = Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức S = (4x2 + 3y)(4y2 + 3x) + 25xy PHẦN RIÊNG (3,0 điểm)
Thí sinh làm hai phần (phần A B) A Theo chương trình Chuẩn
Câu VI.a (2,0 điểm)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có M (2; 0) trung điểm cạnh AB Đường trung tuyến đường cao qua đỉnh A có phương trình 7x – 2y – = 6x – y – = Viết phương trình đường thẳng AC
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A (2; 1; 0), B(1;2;2), C(1;1;0) mặt phẳng (P): x + y + z – 20 = Xác định tọa độ điểm D thuộc đường thẳng AB cho đường thẳng CD song song với mặt phẳng (P) Câu VII.a (1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn
số phức z thỏa mãn điều kiện ⎜z – (3 – 4i)⎜= B Theo chương trình Nâng cao
Câu VI.b (2,0 điểm)
1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) : (x – 1)2 + y2 = Gọi I tâm (C) Xác định tọa độđiểm M thuộc (C) cho IMOn= 300
2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng Δ: x y z
1 1
+ = − =
− mặt phẳng (P): x + 2y – 3z + = Viết phương trình đường thẳng d nằm (P) cho d cắt vng góc với đường thẳng Δ
Câu VII.b (1,0 điểm)
Tìm giá trị tham số m để đường thẳng y = -2x + m cắt đồ thị hàm số
x x y
x + −
= hai điểm phân biệt A, B cho trung điểm đoạn thẳng AB thuộc trục tung
(2)y’ = 4x3 – 4x; y’ = ⇔ x = ∨ x = ±1;
xlim→±∞= +∞ x −∞ −1 +∞ y' − + − + y +∞ +∞
−1 CĐ −1 CT CT y đồng biến (-1; 0); (1; +∞)
y nghịch biến (-∞; -1); (0; 1) y đạt cực đại x = y đạt cực tiểu -1 x = ±1
Giao điểm đồ thị với trục tung (0; 0)
Giao điểm đồ thị với trục hoành (0; 0); (± 2;0)
2 Phương trình hồnh độ giao điểm (Cm) đường thẳng y = -1
x4 – (3m + 2)x2 + 3m = -1
⇔ x4 – (3m + 2)x2 + 3m + = ⇔ x = ±1 hay x2 = 3m + (*)
Đường thẳng y = -1 cắt (Cm) điểm phân biệt có hồnh độ nhỏ
khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác ±1 < ⇔ 3m ⇔
3m 1 < + < ⎧
⎨ + ≠
⎩
1
m
m ⎧− < < ⎪
⎨ ⎪ ≠ ⎩ Câu II 1) Phương trình tương đương :
3 cos5x (sin 5x sin x) sin x 0− + − = ⇔ cos5x sin 5x 2sin x− = ⇔ 3cos5x 1sin 5x sin x
2 −2 = ⇔ sin 5x sin x π
⎛ − ⎞=
⎜ ⎟
⎝ ⎠
⇔ 5x x k2
π− = + π hay
5x x k2
3
π− = π − + π
⇔ 6x k2
3 π
= − π hay 4x k2 k2
3
π π
= − π − π = − − π
⇔ x k
18 π
= − π hay x
6 k2
π π
= − − (k ∈ Z)
2) Hệ phương trình tương đương :
2 2
2
2 x(x y 1)
x(x y) x
x (x y) x (x y)
x + + =
⎧ ⎧ + + =
⎪ ⇔
⎨ ⎨ + + =
+ + = ⎩
⎪⎩ ĐK : x ≠
Đặt t=x(x + y) Hệ trở thành:
t x 32 2 t x 32 t x t x t x (t x) 2tx tx x t
⎧ ⎧
+ = + = + = ⎧ = =
⎧ ⇔⎪ ⇔⎪ ⇔ ⎧
⎨ + = ⎨ + − = ⎨ = ⎨ = =
⎩ ⎪⎩ ⎪⎩ ⎩ ∨ ⎨⎩
Vậy
3
x(x y) x(x y) y y
2
x x x
x ⎧
+ = ∨ + = ⇔⎪ = − ∨⎧ =
⎨ ⎨
= = =
⎩ ⎩ ⎪ =⎩ ⎩
⎧ ⎧
⎨ ⎨
Câu III :
3 x x 3 x
3 x
x x 1
1 1
1 e e e
I dx dx dx ln e
e e
− +
= = − + = − +
− −
∫ ∫ ∫ −1
3
2 ln(e 1) ln(e 1) ln(e e 1)
= − + − − − = − + + +
−1 x
y
(3)Câu IV
2 9 4 5
AC = a − a = a ⇒AC a= 2 5 2 4
BC = a −a = a ⇒BC= a
H hình chiếu I xuống mặt ABC Ta có IH ⊥AC
/ /
/
1
2
4
IA A M IH
IH IC = AC = ⇒ AA = ⇒ =
a
1 1
2
3 3
IABC ABC
a a V = S IH = a a× × =
9 (đvtt)
Tam giác A’BC vuông B
Nên SA’BC=1 52 5
2a a a=
Xét tam giác A’BC IBC, Đáy /
/
2 2
5 IBC A BC
IC= A C⇒S = S = a
Vaäy d(A,IBC) 34 23 2
9 5
IABC
IBC
V a a a
S a
= = = =
Câu V S = (4x2 + 3y)(4y2 + 3x) + 25xy = 16x2y2 + 12(x3 + y3) + 34xy
= 16x2y2 + 12[(x + y)3 – 3xy(x + y)] + 34xy = 16x2y2 + 12(1 – 3xy) + 34xy = 16x2y2 – 2xy + 12
Đặt t = x.y, x, y ≥ x + y = nên ≤ t ≤ ¼ Khi S = 16t2 – 2t + 12
S’ = 32t – ; S’ = ⇔ t = 16
S(0) = 12; S(¼) = 25
2 ; S ( 16) =
191
16 Vì S liên tục [0; ¼ ] nên :
Max S = 25
2 x = y =
Min S = 191
16
2 x
4 y
4
⎧ +
= ⎪⎪
⎨ −
⎪ = ⎪⎩
hay
2 x
4 y
4
⎧ −
= ⎪⎪
⎨ +
⎪ = ⎪⎩ PHẦN RIÊNG
Câu VI.a
1) Gọi đường cao AH : 6x – y – = đường trung tuyến AD : 7x – 2y – = A = AH ∩ AD ⇒ A (1;2)
M trung điểm AB ⇒ B (3; -2)
BC qua B vng góc với AH ⇒ BC : 1(x – 3) + 6(y + 2) = ⇔ x + 6y + = D = BC ∩ AD ⇒ D (0 ;
2 − ) D trung điểm BC ⇒ C (- 3; - 1) AC qua A (1; 2) có VTCP AC ( 4; 3)JJJG= − −
= + ∈
⎪ = ⎩
\
nên AC: 3(x –1)– 4(y – 2) = ⇔ 3x – 4y + =
2) AB qua A có VTCP AB ( 1;1; 2)JJJG = − nên có phương trình : ⎪⎨
x t
y t (t ) z 2t
= − ⎧
D ∈ AB ⇔ D (2 – t; + t; 2t)
/ A
A
C I
M
B
H
(4)Vì C ∉ (P) nên :
CD (1 t; t ; 2t)JJJG= − CD //(P)⇔CD⊥n( P)
JJJG G
1 1(1 t) 1.t 1.2t t
2
⇔ − + + = ⇔ = − Vậy : D 1; ;
2
⎛ − ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
Câu VI.b 1 (x – 1)2 + y2 = Tâm I (1; 0); R = Ta có IMOn = 300, ΔOIM cân I ⇒ MOIn = 300
⇒ OM có hệ số góc k = ±tg300 = ±
+ k = ±
3 ⇒ pt OM : y=± x
3 vào pt (C) ⇒
2
2 x
x 2x
3
− + =
⇔ x= (loại) hay x
= Vậy M 3; 2
⎛ ⎞
±
⎜ ⎟
⎝ ⎠
Cách khác:
Ta giải hình học phẳng
OI=1, IOMn=IMOn =300, đối xứng ta có
2 điểm đáp án đối xứng với Ox H hình chiếu M xuống OX Tam giác OM H1 nửa tam giác
OI=1 => 3 , 3
2 OM HM
= ⇒ = = =
M1
2
O I
OH
Vaäy 1 3, , 2 3,
2 2
M ⎛⎜ ⎞⎟ M ⎛⎜ −
⎝ ⎠ ⎝
⎞ ⎟ ⎠
G
)
M
H
2 GJJọi A = Δ∩ (P) ⇒ A(-3;1;1)
;
aΔ =(1;1; 1)− nJJJG( P)=(1;2; 3−
1)
d đđi qua A có VTCP ad =⎡⎣a , nΔ (P)⎤⎦= −( 1;2; nên pt d : JJG JJG JJJG
x y z
1
+ − −
= =
−
Câu VII.a. Gọi z = x + yi Ta có z – (3 – 4i) = x – + (y + 4)i
Vậy ⎟z – (3 – 4i)⎟ = ⇔ (x 3)− 2+(y 4)+ =2 ⇔ (x – 3)2 + (y + 4)2 =
Do đđó tập hợp biểu diễn số phức z mp Oxy đường tròn tâm I (3; -4) bán kính R =
Câu VII.b. pt hoành độ giao điểm :
x x
2x m x
+ − = − + (1) ⇔ x2 + x – = x(– 2x + m) (vì x = không nghiệm của (1))
⇔ 3x2 + (1 – m)x – =
phương trình có a.c < với m nên có nghiệm phân biệt với m Ycbt ⇔ S = x1 + x2 = b
a