- Trong bài làm, nếu ở một bước nào đó bị sai thì các phần sau có sử dụng kết quả sai đó không được điểm. - Trong lời giải câu 7,8 nếu thí sinh không vẽ hình thì không cho điểm.[r]
(1)PHỊNG GD&ĐT TAM DƯƠNG KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2020-2021
ĐỀ THI MƠN: TỐN
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề thi gồm 01 trang
Lưu ý: Thí sinh khơng sử dụng máy tính cầm tay
Câu (3,0 điểm) Cho biểu thức:
1
x Q
x
a) Tìm x để Q xác định rút gọn Q
b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = Q + x
Câu (2,0 điểm) Cho x 6 4cos 45 3 2 3 18 16sin 45 tan 600 Tính giá trị biểu thức: T 20x198211x112020
Câu (2,0 điểm) Tìm giá trị m để nghiệm phương trình 1 m
m x
(với m tham số) số dương
Câu (2,0 điểm)Giải phương trình: 2x 1 x 3 5x11 0
Câu (1,5 điểm)Tìm số tự nhiên n để A số nguyên tố, biết A n 3n2 n 2 Câu (1,5 điểm) Tìm số tự nhiên có hai chữ số ab thỏa mãn: a b ab
a b
Câu (2,0 điểm) Cho tam giác ABC, biết AB = c; BC = a; CA = b Vẽ phân giác AD (D thuộc BC) Chứng minh rằng: AD 2bc
b c
Câu (3,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH, C (α < 450)
a) Tìm giá trị α để CH = 3BH
b) Chứng minh rằng: sin 22sin cos
Câu (1,5 điểm) Cho số thực x, y, z thay đổi cho 3x y z 12 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: M 5x23y2z22xy2yz6x6y14.
Câu 10 (1,5 điểm) Cho năm số nguyên dương đôi phân biệt cho số chúng ước nguyên tố khác Chứng minh năm số tồn hai số mà tích chúng số phương
-HẾT - Cán coi thi khơng giải thích thêm
Họ tên thí sinh: , SBD: , Phịng thi:
(2)PHỊNG GD&ĐT TAM DƯƠNG HƯỚNG DẪN CHẤM – ĐÁP ÁN
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2020-2021
ĐỀ THI MƠN: TỐN HƯỚNG DẪN CHẤM
I LƯU Ý CHUNG:
- Đáp án trình bày cách giải bao gồm ý bắt buộc phải có làm thí sinh Khi chấm thí sinh bỏ qua bước khơng cho điểm bước
- Nếu thí sinh giải cách khác, giám khảo ý đáp án điểm - Thí sinh sử dụng kết phần trước để làm phần sau
- Trong làm, bước bị sai phần sau có sử dụng kết sai khơng điểm
- Trong lời giải câu 7,8 thí sinh khơng vẽ hình khơng cho điểm - Điểm tồn tính đến 0,25 khơng làm tròn
II ĐÁP ÁN:
Câu Ý Nội dung trình bày Điểm
Câu (3,0 điểm)
a)
Q xác định 1
3
1 2
x x x
x
x x
0.5 Với x ≥1; x ≠ ta có
1
x Q
x
0.25
13 2 12 2
x x
x x
0.25
2
3
1
x x
x
0.25
3 2
1
x x
x
0.25
x 1
0.25 Với x ≥1; x ≠ Q x 1 0.25
b)
Với x ≥1; x ≠ 3, ta có P Q x x x 1
Vì x ≥1; x ≠ 3 x 1 0.25
nên P x x 1 1 0.25
Dấu “=” xảy x = 0.25
Vậy Pmin 1 2 x 0.25
Câu (2,0 điểm)
Ta có
0 0
6 4cos 45 2 18 16sin 45 tan 60
2
6 2 18 16
2
x
(3)6 2 2 18
0.25
2
6 2 2
0.25
6 2 3
2 3 1 2 0.25
6 2 3 3
0.25
2
6 3 3
0.25
2
3
0.25
Thay x = vào T, ta
T = 20.11982 + 11.111 + 2020 = 2051 0.25
Vậy T = 2051 0.25
Câu (2,0 điểm)
ĐKXĐ: 0.25
Đưa phương trình dạng (1-m)x=2 0.25 Nếu m=1 phương trình vơ nghiệm 0.25 Nếu
1 x
m
0.25
Để x
m
nghiệm phương trình x 1 m 0.25 Vậy nghiệm phương trình
1 x
m
với m 1 0.25
Phương trình có nghiệm dương
1 1 1
2 1 1
0
m m m
m m
m
0.25 Vậy với m1; m 1 phương trình có nghiệm dương 0.25
Câu (2,0 điểm)
Giải phương trình 2x 1 x 3 5x11 0 ĐKXĐ:
2
x 0.25
2x 1 x 3 5x11 0 0.25 2x x 5x 11
0.25
2
9x 2x 5x 5x 11
0.25
2
2x 5x 3 x
0.25
2
3
2 x
x x x x
(4)2
11 12 x
x x
1 12 x x
0.25
Đối chiếu điều kiện ta x1 nghiệm phương trình 0.25
Câu (1,5 điểm)
Ta có, A n 3n2 n 2
n32n2n22n n 2 0.25 n2n2 n 1 0.25 Do n 2 n2 n 1, với n N 0.25 Vậy A số nguyên tố n 1 n2 n 1 số nguyên tố 0.25
3
n
đóA 13 (thỏa mãn) 0.25 Vậy n = 3, A số nguyên tố 0.25
Câu (1,5 điểm)
Ta có, với a b N, * a b ab a b3 ab a b3 ab a b
, nên
a + b số phương
0.25
Vì 1 a b 18nên a b 1;4;9;16 0.25
+ Với a + b = ta có ab1 (loại) 0.25 + Với a + b = ta có ab8 (loại) 0.25 + Với a + b = ta có ab27 (thỏa mãn) 0.25 + Với a + b = 16 ta có ab64 (loại)
Vậy số tự nhiên cần tìm 27 0.25
Câu (2,0 điểm)
Qua D kẻ DE song song với AB, E ∈ AC 0.25
Chứng minh ∆EAD cân E Suy AE =ED 0.25 Áp dụng hệ định lý Ta-lét vào ∆ABC ta có: ED EC
AB AC 0.25 Suy ra: AE ED EC AE
AC AB AC CA 0.25
hay AE(1 1) AE bc
b c b c 0.25
Trong tam giác ADE có AD < AE + ED 0.25 AD 2AE (đpcm) 0.25 AD 2bc
b c
0.25
Câu
(3,0 a
E
D C
B
A
(5)điểm)
Xét tam giác ABH vng H, ta có BH = AH.cotB = AH.tanα 0.25 Xét tam giác ACH vuông H, ta có CH = AH.cotα 0.25
3 cot tan
CH BHAH AH 0.25
1 3tan
tan
0.25
2
tan
3
0.25
0 30
, Vậy 300 CH = 3BH 0.25 b Kẻ trung tuyến AM
Vì C = α < 450 nên C < B AB < AC H nằm B M 0.25
theo tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền tam giác vng ta
có,
2
AM MB MC BC, suy tam giác AMC cân M AMB 2 C 2
0.25
Tam giác ABC vuông A, ta có sin AB; cos AC
BC BC
0.25
Tam giác AHM vuông H, ta có sin AH (1) AM
0.25
Ta có 2sin cos .2 (2)
AB AC AH BC AH AH
BC BC BC AM AM
0.25
Từ (1) (2) suy sin2α = 2sinαcosα 0.25
Câu (1,5 điểm)
Ta có M 4x24xy y 2y22yz z 2x2y2 9 2xy6x6y5
(2x y )2(y z )2x2y2 32 2xy2.3x2.3.y5 0.25
2
2 2
2
2
(2 ) ( ) ( 3) 5 5
1 1 1
(3 3)
5
x y y z x y x y y + z x y
x y z
0.25 Theo giả thiết, ta có
3x y z 123x y z 3 9 (3x y z 3)2 81. Suy M 32
0.25
Dấu xảy :
3
3
x y y z y z x y
x y z
0.25
2
3
3 12
x y z x
x z y
x y z z
0.25
Vậy Mmin 32 x y 3,z0 0.25
(6)Câu 10 (1,5 điểm)
Gợi số cho a a a a a1, , , , 2 3 4 5 số khơng có ước số ngun tố khác nên số có dạng 3xi yi
i
a với xi, yi số tự
nhiên
0.25 Xét cặp số x y1; 1 ; x y2; 2 ; x y3; 3 ; x y4; 4 ; x y5; 5 cặp số nhận giá trị
một bốn trường hợp sau: (số chắn; số chẵn), (số chẵn; số lẻ), (số lẻ; số chẵn), (số lẻ; số lẻ)
0.25 Nên theo ngun lí Dirichlet có cặp số nhận dạng
giá trị 0.25
Khơng tính tổng qt giả sử x y1; 1 ; x y2; 2cùng nhận giá trị dạng (số
chẵn; số lẻ) 0.25
Khi x1x y2; 1y2 số chẵn nên 0.25
1 2 2
1 2 3 x y x y x x y y
a a số phương Do ta có điều phải
chứng minh 0.25
