GV: Đỗ Chí Công dccthd@gmail.com Các dạng bài toán vectơ trong hình học phẳng A/ Kiến thức cần nhớ - Một số qui tắc 1/ I là trung điểm AB 0IA IB⇔ + = uur uur r 2/ I là trung điểm AB, với mọi điểm M 2MA MB MI⇔ + = uuur uuur uuur 3/ G là trọng tâm tam giác ABC 0GA GB GC⇔ + + = uuur uuur uuur r 4/ G là trọng tâm tam giác ABC, với mọi điểm M MA MB MC MG⇔ + + = uuur uuur uuuur uuuur 5/ Qui tắc 3 điểm ( Qui tắc tam giác) AB BC AC⇔ + = uuur uuur uuur hay AB MB MA= − uuur uuur uuur 6/ Qui tắc hình bình hành : ABCD là hình bình hành AB AD AC⇔ + = uuur uuur uuur hay AD BC hay AB DC= = uuur uuur uuur uuur 7/ Hai vectơ ;a b r r không cùng phương và vectơ 0c ≠ r r 2 2 ! , ( 0)k l k l⇔ ∃ + ≠ sao cho c ka lb= + r r r Giải hệ phương trình tìm bộ số duy nhất k, l. 8/ Hai vectơ ;a b r r cùng phương ! 0k ⇔ ∃ ≠ sao cho a kb= r r ( trong đó k>0: hai vectơ cùng hướng; k<0: hai vectơ ngược hướng) 9/ Chứng minh hệ thức vectơ cho trước dùng phương pháp chèn 1 hoặc nhiều điểm vào đẳng thức vectơ và dùng các qui tắc trên để biến đổi thành một đẳng thức đúng. VD: Cho hai tam giác ABC và A’B’C’ có trọng tâm lần lượt là G và G’. Chứng minh: ' ' ' 3 'AA BB CC GG+ + = uuur uuur uuuur uuuur . Giải: Chèn G và G’ vào vế trái. Ta có: VT = (ĐPCM) (Do ( ) 0AG BG CG GA GB GC+ + = − + + = uuur uuur uuur uuur uuur uuur r vì G là trọng tâm tam giác ABC; Do ' ' ' ' ' ' 0G A G B G C+ + = uuuuur uuuuur uuuuur r vì G’ là trọng tâm tam giác A’B’C’) 10/ Tìm vectơ và độ dài của chúng: + Dựa vào các qui tắc để biểu diễn vectơ cần tìm theo các vectơ đã biết. + Dùng các qui tắc, công thức trong hình học phẳng để tính độ dài của chúng. 11/ Dùng định nghĩa ; cung huonga b a b a b = ⇔ = r r r r r r 12/ Nếu a b= r r và b c= r r thì a c= r r B/ Cho ( ) ( ) 1 2 1 2 ; , ;u u u v v v= = r r . Khi đó: ( ) 1 1 2 2 ;u v u v u v+ = + + r r ( ) 1 1 2 2 ;u v u v u v− = − − r r ( ) 1 2 ; ;ku ku ku k= ∈ r ¡ 1 1 2 2 u v u v u v = = ⇔ = r r C/ Cho 3 đểm ( ) ( ) ( ) ( ) ; ; ; ; ; ; ; A A B B C C D D A x y B x y C x y D x y 1/ Tọa độ vectơ ( ) ; B A B A AB x x y y= − − uuur 2/ Tọa độ I là trung điểm AB: 2 ; ( ; ) 2 A B I I I A B I x x x I x y y y y + = + = 1 GV: Đỗ Chí Công dccthd@gmail.com 3/ Tọa độ G là trọng tâm tam giác ABC: 3 ; ( ; ) 3 A B C G G G A B C G x x x x G x y y y y y + + = + + = 4/ Chứng minh A, B, C không thẳng hàng ⇔ A, B, C lập thành một tam giác ⇔ ;AB AC uuur uuur không cùng phương: ; B A B A C A C A x x y y AB k AC k x x y y − − ≠ ∀ ⇔ ≠ − − uuur uuur . 5/ Chứng minh A, B, C thẳng hàng ⇔ đường thẳng qua A, B đi qua C ⇔ ;AB AC uuur uuur cùng phương: 0 : B A B A C A C A x x y y k AB k AC x x y y − − ∃ ≠ ∈ = ⇔ = − − uuur uuur ¡ hay tìm B để A, B, C thẳng hàng. 6/ Tọa độ điểm ( ;0)M Ox M a∈ ⇔ Tọa độ điểm (0; )M Oy M b∈ ⇔ Tọa độ điểm M tổng quát ( ; ) M M M x y 7/ a/ Đường thẳng đi qua A, B và cắt Ox tại M, tìm tọa độ M : Do ( ;0)M Ox M a∈ ⇔ Mà M thuộc đường thẳng qua A; B ⇔ A, M, B thẳng hàng ⇔ 0 M A M A A A B A B A B A B A x x y y a x y x x y y x x y y − − − − = ⇔ = − − − − . Tìm a ( ;0)M a⇒ b/ Đường thẳng đi qua A, B và cắt Oy tại N, tìm tọa độ N : Do (0; )M Oy M b∈ ⇔ Mà N thuộc đường thẳng qua A; B ⇔ A, N, B thẳng hàng ⇔ 0 N A N A A A B A B A B A B A x x y y x b y x x y y x x y y − − − − = ⇔ = − − − − . Tìm b (0; )M b⇒ c/ Đường thẳng đi qua A, B cắt đường thẳng đi qua C, D tại M, tìm tọa độ M: Gọi ( ; ) M M M x y + A, M, B thẳng hàng ⇔ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 M A M A B A M B A M B A A B A A B A B A x x y y y y x x x y y y x x x y x x y y − − = ⇔ − − − = − − − − − . + C, M, D thẳng hàng ⇔ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 M C M C D C M D C M D C C D C C D C D C x x y y y y x x x y y y x x x y x x y y − − = ⇔ − − − = − − − − − . Giải hệ phương trình (1) và (2) Tìm tọa độ ( ; ) M M M x y 8/ Tìm tọa độ D sao cho ABCD là hình bình hành ( , ) D A C B D D D A C B x x x x AD BC D x y y y y y − = − ⇔ = ⇔ ⇔ − = − uuur uuur 9/ Tìm tọa độ điểm M thỏa mãn hệ thức vectơ 0MA MB MC α β γ ⇔ + + = uuur uuur uuuur r ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0 A M B M C M A M B M C M x x x x x x y y y y y y α β γ α β γ − + − + − = ⇔ − + − + − = A B C M A B C M x x x x y y y y α β γ α β γ α β γ α β γ + + = + + ⇔ + + = + + ( ; ) M M M x y⇔ 10/ Chứng minh hai đường thẳng đi qua A, B và đường thẳng đi qua C, D song song hay ABCD là hình thang, ta chứng minh ;AB CD uuur uuur cùng phương và ;AB AC uuur uuur không cùng phương hay D C D C B A B A C A C A B A B A x x y y x x y y x x y y x x y y − − = − − − − ≠ − − 11/ Cho điểm ( ) 0 0 ,M x y . Ta có ( ) 0 0 ,A x y− đối xứng M qua Ox; ( ) 0 0 ,B x y− đối xứng M qua Oy; ( ) 0 0 ,C x y− − đối xứng M qua O. 2 GV: Đỗ Chí Công dccthd@gmail.com BÀI TẬP 1/ Cho 2 hình bình hành ABCD và ABEF, dựng các vectơ ;EH FG uuur uuur bằng vectơ AD uuur CMR: CDGH là hình bình hành. 2/ Cho hình bình hành ABCD. Gọi P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. a/ Chứng minh: PQRS là hình bình hành. b/ Cho AB = BC. Chứng minh: PQRS là hình chữ nhật 3/ Cho tam giác ABC, M và N lần lượt là trung điểm của AB, AC. Vẽ ;ME BC NF BC⊥ ⊥ . Chứng minh: ME NF= uuur uuur 4/ Cho tứ giác ABCD không phải là hình bình hành, AC cắt BD tại O, OB = OD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD; cắt AC tại I. Chứng minh: MI IN= uuur uur . 5/ Cho hình thang ABCD có đáy AB và CD với AB = 2CD. Từ C vẽ CI DA= uur uuur . Chứng minh: a/ I là trung điểm AB. b/ BC ID= uuur uur 6/ Cho tam giác ABC. Gọi H là trực tâm và I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. A’ là điểm đối xứng của A qua I. Chứng minh: a/ 'BH A C= uuur uuuur b/ 'BA HC= uuur uuur 7/ Cho tam giác ABC cân tại A, trên AB lấy điểm D không trùng với A, B. Trên tia đối của tia CA lấy điểm E sao cho BD = CE, DE cắt BC tại F. Chứng minh: DF FE= uuur uuur 8/ Cho hai tam giác ABC và AEF có chung trung tuyến AM. Chứng minh: CE FB= uuur uuur . NC 9/ Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O. Gọi H là trực tâm tam giác ABC và B’ là điểm đối xứng với B qua tâm O. Chứng minh: ' '; 'AH B C AB HC= = uuur uuuuur uuuur uuur 10/ Chứng minh rằng với hai vectơ ,a b r r không cùng phương. Ta có a b a b a b− < + < + r r r r r r (HD: áp dụng bất đẳng thức tam giác) 11/ Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của BC và G là trọng tâm tam giác. Kéo dài GM một đoạn MD = GM. Chứng minh: ;BD GC BG DC= = uuur uuur uuur uuur . 12/ Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi H là trực tâm tam giác. AH cắt BC tại I và cắt đường tròn tại M khác A. a/ Chứng minh: HI IM= uuur uuur b/ Gọi K là trung điểm của BC. Chứng minh ;AM OK uuuur uuur cùng phương c/ HK cắt đường tròn tại D, chứng minh BH DC= uuur uuur và BD HC= uuur uuur . 3 GV: Đỗ Chí Công dccthd@gmail.com 13/ Cho ABC∆ . Tìm M sao cho a/ 2 3 0MA MB MC+ + = uuur uuur uuuur r b/ 2 3 0MA MB MC+ − = uuur uuur uuuur r 14/ Cho tứ giác ABCD. Tìm M sao cho a/ 2 2 0MA MB MC MD+ − + = uuur uuur uuuur uuuur r b/ 2 5 2 0MA MB MC MD+ − + = uuur uuur uuuur uuuur r 15/ Cho 2 vectơ ,a b r r không cùng phương a/ Chứng minh 1/ 2u a b= − r r r ; 3 4v a b= + r r r 2/ u a b= + r r r ; v a b= + r r r 3/ 2u a b= − r r r ; 2v a b= + r r r b/ Tìm x để hai vectơ ,u v r r : 1/ ( 2)u x a b= − + r r r ; (2 1)v x a b= + − r r r cùng phương 2/ (2 1)u a x b= + − r r r ; v xa b= + r r r cùng hướng 3/ 3u a xb= + r r r ; 2 (1 ) 3 v x a b= − − r r r ngược hướng Hệ trục tọa độ 1. Trong mặt phẳng Oxy cho 3 điểm A(1;-2); B(3;2); C(0;4). Tìm tọa độ M trong mỗi trường hợp sau: a/ 2 3CM AB AC= − uuuur uuur uuur b/ 2 4AM BM CM+ = uuuur uuuur uuuur c/ ABCM là hình bình hành. 2. Trong mặt phẳng Oxy cho 3 điểm A(1;4); B(3;1); C(-1;2).Tìm tọa độ M trong mỗi trường hợp sau: a/ 2 5AM BM CM+ = uuuur uuuur uuuur b/ 2 3 0MA MB− = uuur uuur r c/ ABMC là hình bình hành. 3. Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác A(1;1); B(2;4); C(3;2). a/ Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC. b/ Tìm tọa độ trung điểm M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, AB, AC. 4. Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác A(6;-3); B(1;0); C(3;2). a/ Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC. b/ Tìm tọa độ trung điểm M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, AB, AC. c/ Tìm D để ABCD là hình bình hành. Tìm tọa độ tâm I của hình bình hành đó. 5. Trong mặt phẳng Oxy cho 3 điểm A(-2;1); B(0;2); C(4;4). a/ Chứng minh rằng 3 điểm A, B, C thẳng hàng. b/ Tìm tọa độ giao điểm D của đường thẳng AB và trục Ox. c/ Tìm tọa độ giao điểm E của đường thẳng AB và trục Oy. 4 GV: Đỗ Chí Công dccthd@gmail.com 6. Trong mặt phẳng Oxy cho A(3;4); B(2;5). a/ Tìm a để C(a;1) thuộc đường thẳng AB. b/ Tìm M để C là trung điểm AM. 7. Trong mặt phẳng Oxy cho A(1;3); B(0;1); C(0;3); D(2;7). Chứng minh AB // CD. 8. Trong mặt phẳng Oxy cho A(-1;1); B(1;3); C(-2;0) a/ Chứng minh C nằm trên đường thẳng đi qua A, B. b/ Tìm giao điểm của đường thẳng AB và trục Oy. c/ Chứng minh: A, B, O không thẳng hàng. 9. Trong mặt phẳng Oxy cho A(1;-1); B(3;1); C(y;2). a/ Tìm y để A, B, C thẳng hàng. b/ Tìm giao điểm giữa AB và Ox. c/ Tìm giao điểm AB và Oy. 10.Trong mặt phẳng Oxy cho B(4;5); C(-2;1) a/ Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn BC b/ Chứng minh: O, B, C không thẳng hàng. c/ Tìm M để OBMC là hình bình hành. 11.Cho A(-1;5) , B(3;-3) a/ Tìm tọa độ trung điểm M của AB. b/ Tìm tọa độ N sao cho A là trung điểm NB. c/ Tìm tọa độ P sao cho B là trung điểm AP. d/ Đường thẳng đi qua A, B cắt Ox tại K. Tìm tọa độ K. e/ Đường thẳng đi qua A, B cắt Oy tại L. Tìm tọa độ L. f/ Tìm tọa độ điểm C sao cho OC AB= uuur uuur . g/ Tìm tọa độ D sao cho 3DA DB AB− = uuur uuur uuur 12.Cho A(1,2); B(2; 4); C(3,-3) a/ Chứng minh rằng A, B, C lập thành một tam giác. b/ Xác định trọng tâm G của tam giác ABC. c/ Tìm tọa độ E sao cho O là trọng tâm tam giác ABE. d/ Tìm tọa độ D để ABCD là hình bình hành. e/ Tìm tọa độ F sao cho OABF là hình bình hành. f/ Cho H(a, 1). Xác định tọa độ H để B, C, H thẳng hàng. g/ Xác định K Ox ∈ để ABKC là hình thang. h/ Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng đi qua A,B và đường thẳng đi qua O,C. 13.Cho các điểm A’(-2;1); B’(4;2); C’(-1;-2) lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC. Tìm tọa độ các định của tam giác ABC. Chứng minh rằng trọng tâm tam giác ABC và A’B’C’ trùng nhau. 14.Cho (3;1)a = r ; (1; 1)b = − r . Hãy biểu diễn vectơ (6; 2)c = − r theo hai vectơ ;a b r r 15. Cho (2; 3); (5;1); ( 3;2)a b c= − = = − r r r . a/ Tìm tọa độ của vectơ 2 3 4u a b c= + − r r r r b/ Tìm tọa độ vectơ x r sao cho 2x a b c+ = − r r r r c/ Tìm các số h và k sao cho c ha kb= + r r r 5 . biết. + Dùng các qui tắc, công thức trong hình học phẳng để tính độ dài của chúng. 11/ Dùng định nghĩa ; cung huonga b a b a b = ⇔ = r r r r. y⇔ 10/ Chứng minh hai đường thẳng đi qua A, B và đường thẳng đi qua C, D song song hay ABCD là hình thang, ta chứng minh ;AB CD uuur uuur cùng phương và