De tham khao thi tuyen sinh lop 10 3

Chøng minh c¸c tam gi¸c BAN vµ MCN c©n.[r]

Đề 3

Bài 1: Cho biểu thøc:

√x+√y

P= x

(√x+√y)(1−√y)−

y

¿(√x+1)¿−

xy

(√x+1)(1−√y)

a) Tìm điều kiện x y để P xác định Rút gọn P b) Tìm x,y nguyên thỏa mãn phơng trình P =

Bài 2: Cho parabol (P) : y = -x2 đờng thẳng (d) có hệ số góc m qua điểm M(-1 ; -2)

a) Chøng minh r»ng víi mäi giá trị m (d) cắt (P) hai ®iĨm A , B ph©n biƯt

b) Xác định m để A,B nằm hai phía trục tung Bài 3: Giải hệ phơng trình :

¿

x+y+z=9

1 x+

1 y+

1 z=1 xy+yz+zx=27

¿{ {

¿

Bài 4: Cho đờng trịn (O) đờng kính AB = 2R C điểm thuộc đờng tròn (C ≠ A ;C ≠ B) Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm C , kẻ tia Ax

tiếp xúc với đờng tròn (O), gọi M điểm cung nhỏ AC Tia BC cắt Ax Q , tia AM cắt BC N

a) Chøng minh c¸c tam gi¸c BAN MCN cân b) Khi MB = MQ , tÝnh BC theo R

Bµi 5: Cho x , y , z∈R tháa m·n : x+

1 y+

1 z=

1 x+y+z

HÃy tính giá trị biểu thức : M =

4 + (x8 – y8)(y9 + z9)(z10 x10) Đáp án

Bi 1: a) Điều kiện để P xác định :; x ≥0; y ≥0; y ≠1; x+y ≠0

*) Rót gän P:

 

     

(1 ) (1 )

1

x x y y xy x y

P

x y x y

    



  

   

     

( )

1

x y x x y y xy x y

x y x y

    



  

   

  1  1 

x y x y x xy y xy

x y x y

     



  

       

   

1 1

1

x x y x y x x

x y

     



Q

N

M

O C

B A

1 

x y y y x

y

  





     

 

1 1

1

x y y y y

y

   



  x  xy  y.

VËy P = √x+√xy−√y b) P = ⇔ √x+√xy−√y = ⇔√x(1+√y)−(√y+1)=1

⇔(√x −1) (1+√y)=1

Ta cã: + y 1  x 1  0 x  x = 0; 1; 2; ; 4 Thay vào ta cócác cặp giá trị (4; 0) (2 ; 2) thoả mÃn

Bi 2: a) Đờng thẳng (d) có hệ số góc m qua điểm M(-1 ; -2) Nên ph-ơng trình đờng thẳng (d) : y = mx + m –

Hoành độ giao điểm (d) (P) nghiệm phơng trình: - x2 = mx + m –

⇔ x2 + mx + m – = (*)

Vì phơng trình (*) có =m24m+8=(m2)2+4>0m nên phơng tr×nh (*)

ln có hai nghiệm phân biệt , (d) (P) ln cắt hai điểm phân biệt A B

b) A vµ B n»m vỊ hai phÝa cđa trơc tung ⇔ ph¬ng tr×nh : x2 + mx + m – = cã hai nghiƯm tr¸i dÊu ⇔ m – < ⇔ m <

Bµi :

¿ x+y+z=9(1)

1

x+

1

y+

1

z=1(2)

xy+yz+xz=27(3)

¿{ {

¿

§KX§ : x ≠0, y ≠0, z≠0

   

 

   

2 2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2

2 2

81 81

81 27

2( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

x y z x y z xy yz zx

x y z xy yz zx x y z

x y z xy yz zx x y z xy yz zx

x y y z z x

x y x y

y z y z x y z

z x z x

          

          

            

      

    

 

        

  

  



Thay vµo (1) => x = y = z =

Ta thÊy x = y = z = thõa mÃn hệ phơng trình Vậy hệ phơng trình có nghiệm x = y = z =

Bµi 4:

a) XÐt ΔABM vµ ΔNBM

Ta có: AB đờng kính đờng trịn (O) nên :AMB = NMB = 90o

=> ΔBAN cân đỉnh B Tứ giác AMCB nội tiếp

=> BAM = MCN ( bù với góc MCB) => MCN = MNC ( góc BAM) => Tam giác MCN cân đỉnh M

b) XÐt ΔMCB vµ ΔMNQ cã :

MC = MN (theo cm MNC cân ) ; MB = MQ ( theo gt)

 BMC = MNQ ( v× : MCB = MNC ; MBC = MQN ).

=> ΔMCB=ΔMNQ(c.g.c) => BC = NQ

XÐt tam gi¸c vu«ng ABQ cã AC⊥BQ⇒ AB2 = BC BQ = BC(BN + NQ) => AB2 = BC ( AB + BC) = BC( BC + 2R)

=> 4R2 = BC( BC + 2R) => BC =

(√5−1)R

Bµi 5: Tõ :

x+ y+

1 z=

1

x+y+z =>

1 x+

1 y+

1 z−

1 x+y+z=0

=> x+y xy +

x+y+z− z

z(x+y+z)=0

⇒(z+y)(

xy+

z(x+y+z))=0

⇒(x+y)(zx+zy+z

2

+xy

xyz(x+y+z) )=0

⇒(x+y)(y+z)(z+x)=0

Ta cã : x8 – y8 = (x + y)(x-y)(x2+y2)(x4 + y4).= y9 + z9 = (y + z)(y8 – y7z + y6z2 - + z8) z10- x10 = (z + x)(z4 – z3x + z2x2 – zx3 + x4)(z5 - x5) VËy M =