Đang tải... (xem toàn văn)
Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d và đi qua 2 điểm A, B. Câu 5b.[r]
(1)TR
ƯỜNG THPT BẮC YÊN THÀNH
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN I NĂM 2009 Mơn: Tốn - Khối A Thời gian làm bài: 180 phút A Phần dành chung cho tất thí sinh:
Câu 1 Cho hàm số y = x3 (m + 1)x + m2. 1) Khảo sát hàm số m = 2;
2) Tìm m để đồ thị hàm số có điểm cực đại điểm cực tiểu, đồng thời điểm cực đại, cực tiểu điểm I(0 ; 4) thẳng hàng.
Câu 2 1) Giải phương trình:
tan 2 cos cos
4 x x x
2) Giải hệ phương trình:
x y y x 25 x y 11
Câu 3 1) Tính tích phân: I =
0
2 x
dx 1 2x
.
2) Cho x, y, z số không âm thay đổi thoả mãn điều kiện x + y + z = Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ biểu thức: A = xy + yz + zx 27xyz.
Câu 4 Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’, đáy ABCD hình thoi cạnh a,
3 '
3 a AA
và
' ' 600
BAD BAA DAA Tính thể tích hình hộp theo a. B Phần dành riêng cho ban:
Câu 5a (Dành cho thí sinh thi theo chương trình chuẩn) 1) Giải phương trình:
2
2 1
2
log log ( x 1 x) log log ( x 1 x) .
2) Trong không gian Oxyz cho điểm A(1 ; 2; 2), B(3 ; 2; 0) mặt phẳng () có phương trình 2x 2y z + = 0.
a) Viết phương trình mặt phẳng () qua điểm A, B vng góc với ();
b) Gọi d giao tuyến () () Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d qua 2 điểm A, B.
Câu 5b (Dành cho thí sinh thi theo chương trình nâng cao) 1) Giải phương trình: log (42 1) log (22 6)
x x x
2) Trong khơng gian Oxyz cho hình chóp S.OACB có S(0; 0; 2), đáy OACB hình vng và A(1; 0; 0), B(0; 1; 0) Gọi A’, B’, C’ hình chiếu O SA, SB, SC.
a) Viết phương trình mặt phẳng qua điểm A’, B’, C’;
b) Chứng minh điểm O, A, B, C, A’, B’, C’ thuộc mặt cầu Viết phương trình mặt cầu đó.
(2)Họ tên thí sinh: Số báo danh:
ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN NĂM 20082009.KHỐI A
A Phần dành chung cho tất thí sinh:
Câu ý Nội dung Điểm
1(2đ) 1(1đ) Khảo sát hàm số m = 2
Khi m = 2, hàm số trở thành: y = x3 3x + 1
1) TXĐ: R 2) SBT
•Giới hạn: xlim y ; limx y
0,25 •BBT:
Có y’ = 3x2 = x = 1
x 1 1 +
y’ + +
y
3
1
+
Hàm số ĐB ( ; 1) (1 ; +), nghịch biến (1 ; 1)
0,25
Hàm số đạt cực đại x = 1, yCĐ = y(1) = 3;
Hàm số đạt cực tiểu x = 1, yCT = y(1) = 1
0,25 3) Đồ thị:
Giao với Oy: (0 ; 1) Đi qua: (2 ; 3), (2 ; 1)
Tâm đối xứng: (0 ; 1) 0,25
2(1đ) Tìm m
Có y’ = 3x2 (m + 1) Hàm số có CĐ, CT y’ = có nghiệm phân biệt
3(m + 1) > m > 1 (*) 0,25
y” = 6x = x = Đồ thị có tâm đối xứng U(0 ; m2) 0,25
CĐ, CT đồ thị U thẳng hàng 0,25
Từ giả thiết suy I trùng U m2 = m = (do (*)) 0,25
2(2đ) 1(1đ) Giải phương trình
ĐK: x ≠ l (l ) 0,25
PT tanx = cosx(sinx + cosx) sinx = cos2x(sinx + cosx) 0,25 sinx(sin2x + cos2x) = cos2x(sinx + cosx) 0,25 sin3x = cos3x sinx = cosx
x k
(k ) (Thoả mãn)
0,25 2(1đ) Giải hệ PT
Đặt x 1 u 0; y 1 v
Ta có hệ mới:
2
2
( 1) ( 1) 25 1 11
v u u v
u v
( 1)( ) 25 ( ) 13
uv u v
u v uv
0,25
Đặt u + v = S, uv = P, ta có:
( 1) 25 13
S P
S P
2 13
1 25
S
S
S3 15S 50 = 0
0,25
(S 5)(S2 + 5S + 10) = S = P = 0,25
Từ tìm được: u = 2, v = u = 3, v = Suy nghiệm hệ cho là:
3
x y
8
x y
0,25 3 (2đ) 1(1đ) Tính tích phân
Đặt 1 2x u dx = (u 1)du; u(0) = 1, u(2) = 3 0,25
2
-2 -1
1 x
3
-1 -2
y
(3) I =
3
1
1
2 ( 1)
u
u du
u
=
1
1 ( 1)( 1)
u u
du u
0,25
=
1
1
2 u u du
=
3
1
1
ln (4 ln 3)
2
u u
0,5 2(1đ) Tìm giá nhỏ giá trị lớn
+) Với x, y, z > ta có
1 1
(x y z)
x y z
1 1
x yz xy + yz + zx ≥ 9xyz BĐT xyz =
Do đó: x, y, z ≥ 0, A ≥ 18xyz
0,25
Mặt khác, x + y + z = nên
1 27
xyz
Từ suy ra:
18 27
A
Hơn x = y = z = 1/3 A = 2/3 Vậy A = 2/3
0,25
+) Ta có: x2 ≥ x2 - (y - z)2 = (x + y - z)(x - y + z) = (1 - 2y)(1 - 2z) (1)
Tương tự : y2 ≥ (1 2z)(1 2x) (2) ; z2 ≥ (1 2x)(1 2y) (3)
Từ (1), (2), (3) suy xyz ≤ (1 2x)(1 2y)(1 2z) xyz ≥ 2(x + y + z) + 4(xy + yz + zx) xyz
4(xy + yz + zx) ≤ + 9xyz xy+yz+zx≤1+9 xyz 4
A ≤1
4− 99 xyz
4 ≤ 1 4
0,25
Mặt khác x = 0, y = z = ẵ thỡ A = ẳ Vy max A = ¼ 0,25 4(1đ) Tính thể tích hình hộp
Hạ đường cao A’H Gọi E, F hình chiếu H AB, AD Theo định lý đường vng góc suy A’E AB,
A’F AD vuông A’AE vng
A’AF (A’A chung góc A’AE góc A’AF) HE = HF H thuộc đường phân
giác góc BAD H AC
0,25
Từ A’AE
3
a
AE
, '
a
A E
Từ AHE HE = AE.tan300 = a
2 2
'
4 36
a a a
A H
0,25
Diện tích ABCD 3
2
a
Suy thể tích hộp:
3 6
a
V
0,25 B Phần dành riêng cho ban:
Câu ý Nội dung Điểm
5a(3đ) 1(1đ) Giải PT
Đặt log (3 x2 1 x)t
2
log ( x 1 x)t 0,25
Ta có PT: 12 log tlog t
log2tlog2t log2t0 t =
0,25 Vậy: log (3 x2 1 x) 1 x2 1 x 0,25
2 1 3
x x 2
3
1 (3 )
x
x x
4
x
.
0,25
2(2đ) a) Viết phương trình mp()
F E H
C'
C A
B B' A'
(4)mp() có vectơ pháp tuyến n (2; 2; 1)
; AB(4;0; 2)
0,25
mp() có vectơ pháp tuyến n n AB(4;0;8)
phương trình mp(): x + 2z =
0,75
b) Viết phương trình mặt cầu
Gọi () mp trung trực AB ()đi qua trung điểm M(1 ; ; 1) AB
và có vectơ pháp tuyến AB(4;0; 2)
PT mp(): 2x z = 0,25
Gọi I tâm mặt cầu I giao điểm mặt phẳng (), (), () toạ độ I nghiệm hệ:
2
2
2
x y z
x z
x z
I(1 ; ; 1).
0,5
Bán kính mặt cầu R IA PT mặt cầu:
(x 1)2 + (y 1)2 + (z 1)2 = 0,25
5b(3đ) 1(1đ) Giải phương trình PT
2
2
log (4x1) log (2 x x 6)
4x 1 (2x 2x3 6) 0,25 Đặt 2x = t > 0, ta có PT: t2 + = t(8t2 6) = 0
8t3 t2 6t = (t 1)(8t2 + 7t + 1) = t =
0,5
Vậy 2x = x = 0 0,25
2(2đ) a) Viết phương trình mặt phẳng
Có AC OA, AC SO AC (SOA) AC OA’, lại OA’ SA nên
OA’ (SAC) OA’ SC
Tương tự OB’ SC
Vậy OA’, OB’, OC’ vng góc với SC chúng thuộc mặt phẳng qua O
và vng góc với SC A’, B’, C’ thuộc
mặt phẳng qua O vng góc với SC
0,5
Vì OABC hình vng nên C(1 ; 1; 0) SC(1;1; 2)
PT mặt phẳng cần tìm: x + y 2z =
0,5
b) Chứng minh Viết PT mặt cầu
Vì OA’ (SAC) nên OA’ A’C Tương tự: OB’ B’C
Như vậy: điểm A, B, A’, B’, C’ nhìn đoạn AC góc vng O,
A, B, C, A’, B’, C’ thuộc mặt cầu (S) đường kính OC
0,5
Tâm I mặt cầu (S) trung điểm OC
1 ; ;0 2
I
Bán kính (S):
1
2
R OC
Vậy phương trình mặt cầu (S):
2
2
1 1
2 2
x y z
.
0,5
C’
I B’
C B
O A
S