b/ Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm C (2,1) và vuông góc với AB.. Tính hoành độ giao điểm theo m.[r]
(1)PHẦN :ĐẠI SỐ CHUYÊN ĐÊ
PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ I/ Phương pháp đặt nhân tử chung
AB + AC = A (B + C)
II/Phương pháp dùng đẳng thức 1/ 10x -25 –x2
2/ 8x3 +12x2y +6xy2 +y3 3/ -x3 + 9x2-27x +27
III/Phương pháp nhóm hạng tử 1/ 3x2 - 3xy-5x+5y
2/ x2 + 4x-y2 +4 3/ 3x2 +6xy +3y2 – 3z2 4/ x2 -2xy +y2 –z2+2zt –t2 IV/ Phương pháp tách
( Tách hạng tử thành hai hay nhiều hạng tử thích hợp) Vd: hân tích đa thức sau thành nhân tử
a/ 2x2 – 7xy + 5y2 = 2x2 – 2xy – 5xy+5y2 = ( 2x2-2xy) – (5xy- 5y2) = 2x(x-y) -5y(x-y) = (x-y) (2x – 5y)
b/ 2x2 3x – 27 = 2x2 – 6x + 9x -27 = 2x(x-3) + (x-3) = (x-3).(2x + 9) c/ x2 –x -12 = x2 + 3x -4x -12 = x(x+3) -4 (x + 3) = (x+3) (x-4)
d/ x3 -7x + 6= x3 – x2 + x2 –x -6x +6 = x2 (x-1) + x (x-1) -6 (x-1) = (x-1) (x2 +x -6) = ( x-1)[ x2 +3x-2x-6]
=(x-1)[x(x+3) -2(x +3)] = (x-1)(x+3)(x-2) Baì tập tự giải: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
1/ x2 + 8x + 15 2/ x2 + 7x +12 3/ x3 + 2x -3
4/ 2x2+ x -3 5/2x2 – 5xy +3y2 6/3x2 – 5x +2
7/ xy(x-y)- xz(x+z) +yz(2x-y+z) 8/ x3 + y3 + z3 -3xy
V/ Phương pháp thêm bớt hạng tử Ví dụ:Phân tích đa thức sau thành nhân tử
1/ a4 + = a4 +4a2 + - 4a2= (a2+2)2 – (2a)2 =( a2 +2a +2)( a2 -2a +2)
2/ x5 +x – = x5 + x2 – x2+x – = x2(x3+ 1) –( x2-x + 1) = x2(x+ 1)( x2-x + 1) –( x2-x + 1) = ( x2-x + 1)[ x2(x+ 1)-1] = (x2-x + 1)(x3+x2-1)
VI/ Phương pháp đổi biến (Đặt ẩn phụ) Ví dụ:Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = (x2 + 2x +8)2+3x(x2 + 2x +8) + 2x2 Đặt y = x2 + 2x +8; Ta có:
y2 +3xy+2x2 = y2 +xy+2xy+ 2x2 = y(x+y) +2x(x+y) = (x+y)(y+2x) = (x+ x2 + 2x +8)( x2 + 2x +8 +2x) =(x2+3x+8)( x2+4x+8)
BÀI TẬP TỔNG HỢP Phân tích đa thức sau thành nhân tử
(2)2/ x3 +7x -6
3/ 2x3 –x2-4x +3 = 2x3 – 2x2+x2-x-3x+3 = 2x2(x-1) +x(x-1) -3(x-1) =(x-1)(2x2 +x-3) = (x-1)(x-1)(2x+3) = (x-1)2(2x+3)
2 2 2
1/ x 5x / x 5x 3/ x 7x 12 / x 7x 12 / x x 12
2 2
6 / x x 12 / x 9x 20 / x 9x 20 / x x 20 10 / x x 20
2 2 2 2 2
21/ x xy 2y 22 / x xy 2y 23/ x 3xy 2y 24 / x xy 6y 25 / 2x 3xy 2y
2 2
26 / 6x xy y 27 / 2x 5xy y
2 2 2 2 2
11/ 2x 3x 12 / 3x x 13/ 4x 7x 14 / 4x 5x 15 / 4x 15x 16 / 3x 10x 17 / 6x 7x 18 / 5x 14x 19 / 5x 18x 20 / 6x 7x
2 2 2 2 2 2 2 2 2
31/ x x xy 2y 2y 32 / x 2y 3xy x 2y 33/ x x xy 2y y 34 / x 4xy x 3y 3y 35 / x 4xy 2x 3y 6y 36 / 6x xy 7x 2y 7y 37 / 6a ab 2b a 4b 38 / 3x 22xy 4x 8y 7y 39 / 2x 5x 12y 12y 10
2 xy 40 / 2a 5ab 3b 7b 2
2
2
2
2
2
41/ 2x 7xy x 3y 3y 42 / 6x xy y 3x 2y 43/ 4x 4xy 3y 2x 3y 44 / 2x 3xy 4x 9y 6y 45 / 3x 5xy 2y 4x 4y
Bài 6: Tìm x y, biết:
2 2 2 2 2 2 2 2 2
1/ x 2x y 4y / 4x y 20x 2y 26 3/ x 4y 13 6x 8y / 4x 4x 6y 9y / x y 6x 10y 34 / 25x 10x 9y 12y / x 9y 10x 12y 29 / 9x 12x 4y 8y / 4x 9y 20x 6y
2 26 10 / 3x 3y 6x 12y 15
CHUYÊN ĐỀ
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẤT PHƯƠNG TRÌNH I/ Phương trình bậc ẩn
Dạng tổng quát: ax +b = (a ) Phương trình có nghiệm x = -b/a II/ Phương trình đưa dạng ax+b=0
Giải phương trình: 1/ x3+x
8− 2=¿
x+5
8 +
19 24
2/ 3(x-5) + 2x = 5x – 3/ 58x+1+x+2
57 =
x+3
56 +
x+4
55
(3)Cách giải
* ĐKXĐ
* Tìm MTC
* Quy đồng khử mẫu giải phương trình * Kết hợp với ĐKXĐ để chọn nghiệm Ví dụ:
Giải phương trình: 1/ 2 x
(x −3)+ x
2(x+1)=
2x
(x+1)(x −3) 2/ x+2 x+1+
3
x −2=
x2− x −2+1
3/ x −x+11−x −1
x+1=3x(1− x −1
x+1) 4/
3x −1
x −1 − 2x+5
x+3 +
4
x2+2x −3=1 5/
1−4x+
8+6x
16x2−1= 4x+1
Giải 1/ 2 x
(x −3)+ x
2(x+1)=
2x
(x+1)(x −3) (1) ĐKXĐ:
¿
x ≠3
x ≠ −1
¿{
¿
2x=0
¿
x −3=0
¿
x=0
¿
x=3(loai)
¿ ¿ ¿
⇔¿ ¿ ¿
¿
(1)⇔ x.(x+1)
2(x −3)(x+1)+
x.(x −3)
2(x+1).(x −3)=
2x.2 2.(x+1)(x −3) ⇔x.(x+1)+x.(x −3)=4x
⇔x2
+x+x2−3x=4x ⇔2x2−6x=0 ⇔2x.(x −3)=0
⇔
¿
Vậy tập nghiệm phương trình là: S = {0 } IV/Phương trình tích
(4)Cách giải :A(x).B(x)… =
⇔ A(x)=0
¿
B(x)=0
¿
=0
¿ ¿ ¿ ¿ ¿
Ví dụ : Giải phương trình (5x+3)(2x-1) = (4x +2)(2x-1)
⇔ (5x+3)(2x-1) - (4x +2)(2x-1)=0 ⇔ (2x-1)[(5x+3)- (4x +2)] =0 (2x-1 )[5x+3-4x -2] =0 (2x-1)(x+1) = 0
⇔
2x −1=0
¿
x+1=0
¿ ¿ ¿ ¿
⇔ x=1
2
¿
x=−1
¿ ¿ ¿ ¿ ¿
Vậy tập nghiệm phương trình S = { 12 ;-1} Bài tập
Giải phương trình sau 1/x(x+1)(x2+x+1)= 42
2/( x2 -5x)2+10(x2-5x) +24 = 0 3/(x
2 +x+1).(x2 +x+2) = 12 4/(x-1)(x-3)(x+5)(x+7)=2 V/Bất phương trình
Giải bất phương trình sau:
1/3x −5>2(x −1)+x x −2¿2≥8x −2
¿
3/3(4x+1)−2(5x+2)≤4(x+1)
¿
4/3x −1
4 −
3(x −2)
8 −1≥
5−3x
2
¿
5/1+x −x −3
4 ≥
x+1
4 −
x −2
¿
6/x2−4x ≥0
¿
7/x2−5x+6≤0
¿
3x −2¿2 ¿ ¿3 ¿x+2¿2−¿
¿ ¿
(5)VI/ Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối Giải phương trình:
1/2x1 = +5x (1)
Nếu 2x-10 x 0,5 thì: 2x1= 2x-1 (1) 2x-1 = +5x -3x = 4
x =
-4 3 ( loại) Nếu 2x-1 <0 ⇔ x<0,5 thì: 2x1= 1-2x (1) 1-2x = +5x - 2x- 5x = 3-1 - 7x = 2
x = -
7 (nhận) Vậy pt có nghiệm : x= - 72 2/ |1−3x| = - x (2)
3/ |x+1|+|x+2|+|x+3|=3 (3)
Bảng xét dấu: x -3 -2 -
x+1 - ↓ - ↓ - +
x+2 - ↓ - + ↓ +
x+3 - + ↓ + ↓ +
* Nếu x −3 (3) ⇔ -(x+1)-(x+2)-(x+3) = ⇔ -3x-6 = ⇔ x =-3(nhận) * Nếu -3 x ≤ −2 (3) ⇔ - (x+1) –(x+2)+(x+3) = ⇔ -x =3 ⇔ x=-3(loại) * Nếu -2 x ≤ −1 (3) ⇔ -(x+1)+x+2 x+3 =3 ⇔x+4=3⇔x=−1 (nhận) * Nếu x −1 (3) ⇔ x+1+x+2+x+3 =3 ⇔3x=−3⇔x=−1 (loại)
Vậy pt có nghiệm x=-1hoặc x=-3 BÀI TẬP:
Giải phương trình sau: 1/ |2x+1|=|x −1|+2 2/ |2x −4|+x −3=|2x −1|
3/ |x −3|+|11− x|=8
4/ |x −2|−2|x+1|+x −1=0 5/ |x+93|−|x −4|
9 =
1 2−
x+5
36
6/|3x −1|+2|x −1|=|5x+3| ¿7/4|x+1|−|x −2|−3|x+2|=0
(6)VII/ Phương trình vơ tỉ 1/ Dạng 1: A = B Cách giải:
¿
A ≥0
B ≥0
A=B2
¿{ {
¿
2/Dạng 2: A B C hoặc : √A −√B=C
Cách giải: Bình phương hai vế khơng âm phương trình đưa dạng (1) Ví dụ : Giải phương trình:
√2x+5 - √3x −5 =2 ⇔ √2x+5 = + √3x −5 (1)
ĐK:
¿
2x+5≥0
3x −5≥0
⇔
¿x ≥−5
2
x ≥5
3
⇔x ≥5
3
¿{
¿
Bình phương hai vế (1)ta được: 2x +5 = +3x – 5+4 √3x −5 ⇔ √3x −5 = -x +6 ⇔
x ≤6
16(3x −5)=x2−12x+36
¿{
⇔ x ≤6
x2−60x
+116=0
¿{
⇔ x ≤6
¿x=2
¿x=58(loai)
¿{
(nhận)
Kết hợp với ĐK đầu x=2(thõa)
Vậy tập nghiệm phương trình là:S={2} 3/ Dạng 3: Đặt ẩn phụ:
¿
14/√x+3+4√x −1+√x+8−6√x −1=5
15/√x −5− x −14
3+√x −5=3
16/√x
+2x −3 √x −1 =3+x
17/ x
3
√4− x2+x
−4=0
(7)21/ √1+√x+√7−√x=4
ĐKXĐ :0≤ x ≤49
Đặt u = √1+√x ;v√7−√x ta có hệ phương trình
¿
u+v=4 u2
+v2=8 ⇒x=9
¿{
¿
Chuyên đề 3: Tìm GTNN-GTLN I/Tìm GTNN:
1/ y = √x2−2x+5 =
x+1¿2+4
¿ ¿ √¿
Miny = x = -1 2/ y = √x2
4 −
x
6+1
3/ y = 2+ √x2−4x +5 4/ y = √x2+6x+10−3 5/ y = √x2
9 +2x+10 6/ y =
−3
√x2
8−2x+17
7/ y = x2
4 +x −1
8/ y = x
+2x+2 x2
+2x+3 =
1-1
x2
+2x+3
=1-x+1¿2+2
¿
1
¿
Miny = 1- 12=1
2 Khi x=-1
9/ g(x,y) = 3(x-y)2 + ( x−
1
y¿
14/ y = √x −2√x −3
15/ y= x2-6x +10
10/A=
x −2005¿2 ¿ ¿
x2−2x+2005
x2 =¿
Vậy minA= 20042005 x = 2004 11/ A = a
√b+ b √c+
c
√a với a,b,c Và a+b+c 12/ Y = √x −1−2√x −2+√x+7−6√x −2
13/ Cho x,y,z số thực thỗ x2+y2+z2=1 Tìm GTNN A = 2xy +yz +zx
II/ Tìm GTLN
(8)4/ y = x+1
x3− x2+2x+4 5/ A = √4x − x
+√x+x3 Với x ≤2 6/ B = 3x
+9x+17
3x2
+9x+7
( x= -3/2) 7/ A= -(x-1)2 + 2 |x −1|+3 Đặt: t= t −1¿
2 +4≤4
|x −1|⇒A=− t2+2t+3=−¿
Vậy MaxA = t=1 ⇒ |x −1|=1 ⇒ x = x = 8/ y = x
2−6x +11 x2−6x+10 III/ Tìm GTNN GTLN
1/ A = √9− x2 2/ B = √x − x 3/ y = − x2 +x+1 4/ M = x
2 +x+1 x2− x
+1 Ta có (x+1)
0⇔2x2+4x+2≥0⇔3x2+3x+3≥ x2− x+1⇔3(x2+x+1)≥ x2− x −1⇔ x
+x+1 x2− x+1≥
1
Do đó: MinM = 13(1) Mặt khát:
x −1¿2≥0⇔2x2−4x+2≥0⇔3x2−3x+3≥ x2+x+1⇔ x
+x+1 x2− x+1≤3
¿ ¿ ¿
Hay Max M = (2)Từ (1) (2) ⇒1
3≤ M ≤3
Chuyên đề 4: ĐỒ THỊ VÀ HÀM SỐ A/Lý thuyết
1/ Phương trình đường thẳng (d) qua A(x0 ,y0) song song trùng với đường thẳng y = ax y- y0 = a(x- x0) hay y = a(x- x0) + y0
2/ Phương trình đường thẳng (d) có hệ số góc k :y = kx +b
Ví dụ: Lập phương trình đường thẳng (d) qua A(-1,-1) có hệ số góc Đường thẳng (d) có hệ số góc có phương trình : y = 3x + b
Vì A(-1,-1) thuộc (d) nên : -1 = 3.(-1) + b ⇔ b =2
Vậy phương trình đường thẳng (d) có dạng y = 3x +2
3/ Phương trình đường thẳng qua điểm A(x0,y0); B(x1,y1) có dạng:
y − y0 y1− y0
= x − x0 x1− x0 Hoặc : Gọi phương trình quát đường thẳng AB là: y = a.x +b
Vì A AB nên tọa độ A thỏa mãn phương trình đường thẳng AB Do ta có y0 = a.x0 + b (1)
Vì B AB nên tọa độ B thỏa mãn phương trình đường thẳng AB Do ta có y1 = a.x1 + b (2)
Từ (1) (2) Giải hệ phương trình tìm a b ⇒ phương trình đường thẳng AB cần tìm 4/ Lập phương trình đường thẳng qua điểm vng góc với đường thẳng khác
Ví dụ: Lập phương trình đường thẳng qua A(1,2) vng góc với đường thẳng (d): y = -2.x + Giải:
(9)Vì (D) (d) nên a a’ = -1 ⇔ a (-2) = -1 ⇔a=1
2 ⇒ (D) có dạng: y =
2 x+b
Vì A(1,2) (D) nên : 2= 12.1+b⇒b=3
2
Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là: y = 12 x + 32 4/ Sự tương giao hai đường thẳng :
Cho đường thẳng
(d) : y = ax +b (d’) : y = a’x+b’ , ta có kết sau: * (d) (d’) ⇔a=a',b=b '
(d) song song (d’) ⇔a=a',b ≠ b ' *(d) (d ')⇔a ≠ a '
*(d) (d ')⇔a.a'=−1
Hoặc Cho hai đường thẳng: (d): ax + by = c
(d’): a’x+ b’y = c’ Hai đường thẳng cắt : a'a ≠b 'b Hai đường thẳng song song nếu: a'a = b
b '≠ c c ' Hai đường thẳng trùng nếu: a'a = b
b '= c c '
5/ Khoảng cách h từ gốc toạ độ đến đường thẳng ax+by = c h = |c|
√a2 +b2
6/ Khoảng cách từ O đến A với : A(0,yA) OA = |yA|
A(xA,0) OA = |xA| A(xA,yA) OA = √xA
+y2A
7/ Khoảng cách hai điểm A(x,y); B(x’,y’) mặt phẳng toạ độ: AB =
y ' − y¿2
x ' − x¿2+¿ ¿ √¿
8/ Trung điểm M đoạn thẳng AB có toạ độ : M( x+2x '; y+y '
2 ¿
B/ BÀI TẬP
1/ Cho A(2,3); B(5,8) thuộc đường thẳng d a/ Tính hệ số góc d
b/ Xác định đường thẳng d
2/ Cho (d) : y = 2x+1 (d’): y = x+1
a/ CMR (d) cắt (d’) Xác định toạ độ I chúng
b/ Lập phương trình đường thẳng (d) qua I có hệ số góc -4
c Lập phương trình đường thẳng (d’) qua I song song với đướng thẳng y = 0,5x +9 3/ Cho họ đường thẳng (dm) có phương trình: y=
m−1 2m−3 x+
m+1
2m−3 Xác định m để:
a/ (dm) qua A(2,1)
b/ (dm) có hướng lên( hàm số đồng biến) “hệ số góc dương” c/ (dm) song song với dường thẳng (D):x - 2y + 12 =
(10)Giải
d/ (dm) viết lại : (dm): (m-1)x + (2m-3)y – m-1 =
Giả sử M(xo,yo) điểm cố định mà (dm) ln qua, (m-1)xo + (2m-3)yo – m-1 = 0,với m
⇔ (xo +2yo -1)m –xo-3yo -1 = , với m
¿
x0+2y0−1=0 x0+3y0+1=0
⇔
¿x0=5 y0=−2
¿{
¿
Vậy (dm) qua điểm cố định M(5,-2) 4/ Cho hàm số y = x +2
a/ Vẽ đồ thị hàm số
b/ Tìm phương trình đường thẳng qua K(0,1) vng góc với y = x +2 c/ Tìm khoảng cách từ O đến đường thẳng y = x +
5/ Viết phương trình đường thẳng qua A( 2,1) vng góc với y = 0,5 +1 6/ cho hai đường thẳng y= (m2 +2)x +m (d
1) y = 3x +1(d2) Xác định m để:
a/Hai đường thẳng cắt b/ Hai đường thẳng trùng
c/ Hai đường thẳng song song với d/ Hai đường thẳng vng góc với
7/ Cho hai đường thẳng y= 3x +1(d1) y = -x +2(d2) Viết phương trình đường thẳng (d3) biết: a/ (d3) song song với (d1) (d3) cắt (d2) điểm có hồnh độ
b/ (d3) vng góc vời (d2) (d3) cắt (d1) điểm có tung độ
8/ Chứng minh : y = 2x +4 , y = 3x + , y = -2x qua điểm 9/ Cho A(3,4) ; B(12,5) ; C( 2,-1)
a/ Vẽ tam giác ABC mặt phẳng tọa độ
b/ Tính khoảng cách từ A đến O; B đến O ;C đến O 10/ CMR:
a/ (d) : y = (m-2)x –m +4 b/ y = mx +m-2
c/ y = - 13mx+m −1
qua điểm cố định?
11/ Cho A(0,5) ; B(-3,0) ; C(1,1) ; M(-4,5) CMR: a/A,B,M thẳng hàng
(11)a/ Tìm hệ số góc đường thẳng AB
b/ Lập phương trình đường thẳng qua điểm C (2,1) vng góc với AB 13/ Xác định hệ số góc k đường thẳng y = kx +3 – k trường hợp a/Đường thẳng song song với đồ thị y = 2/3x
b/Cắt trục tung điểm có tung độ c/ Cắt trục hoành điểm có hồnh độ 14/ Cho đường thẳng y` = (m2 -1)x + (m2-5) (d
1) ; y = x+1 ; y = -x +3 a/ CMR m thay đổi (d1) ln qua điểm cố định
b/ Xác định m để đường thẳng đồng quy
15/CMR đường : y = -3x ; y = 2x +5 ; y = x +4 đồng quy
16/Tìm m để đường thẳng y = x-4 ; y = -2x-1 ; y = mx +2 đồng quy 17/ Cho (d) : y = 4mx – (m+5), (d1) : y = (3m2 +1)x + m2 -4.
a/ CMR m thay đổi (d) ln qua điểm cố định A,đường thẳng (d1) qua điểm cố định B
b/ Tính khoảng cách AB
c/ Với giá trị m (d) cắt (d1) Tìm tọa độ giao điểm m =2 18/ Lập phương trình đường thẳng (D) biết :
a/ (D) song song với y = -2x+1 cắt trục hồnh điểm có hoành độ b/ (D) song song với đường thẳng y = x cắt đường thẳng y = 2x -1
điểm có hồnh độ -2
Chuyên đề 5: RÚT GỌN CĂN THỨC BẬC HAI 1/ Cho y = x
2 +√x x −√x+1+1−
2x+√x √x a/ Rút gọn y
b/ Tìm x để y =
c/ G/S x=1.Chứng minh y- |y|=0 d/ Tìm GTNN y
2/ Cho A = √
x+2−4√x −2+√x+2+4√x −2
√
x2−
4
x+1 a/ Rút gọn A
b/ Tìm x để A thuộc Z 3/ P = ( xx −√x+11− x+1
√x −1¿:(√x+
√x √x −1)
a/ Rút gọn P b/ Tìm x để P=-3 4/ B = ( √a −2
√a+2− √a+2
√a −2¿.(√a −
(12)5/ Rút gọn Q = ( 1+x 1− x−
1− x
1+x−
4x2 x2−1¿:
4(x2−3)
x(1− x) ( HSG 05-06)
6/ Rút gọn M = (
1−√a
1−a ¿
2
1− a√a
1−√a +√a¿ ¿ 7/ Rút gọn B = x2−√x
x+√x+1−
x2+√x x −√x+1 8/ M = (1+ a+√a
√a+1¿(1− a−√a
√a −1);a≻0
9/ CMR : Q = √
x −√y¿2+4√xy
¿ ¿ ¿
không phụ thuộc vào x 10/ C = (1-x2):[( 1− x√x
1−√x +√x¿(
1+x√x
1+√x −√x)¿+1 11/ A =
x2−√x:
√x+1 x√x+x+√x a Tìm x để A có nghĩa b Rút gọn A
c Tìm x để A thuộc Z
12/ D =
x2−2
¿2+8x2
¿ ¿x2
¿
x+2¿2−8x ¿ ¿ √¿
a/ Rút gọn A b/ Tìm x để a Z 13/A = [ √a+b −√ab
√a+√b¿:[ a √ab+b+
b √ab− a−
a+b √ab ]
14/ Cho B = ( 2x+1
√x3−1− √x x+√x+1¿(
1+√x3
1+√x −√x), x ≥0; x ≠1 a/ Rút gọn B
b/ Tìm x để B = 15/ Cho Q = (
√a −1−
√a¿:( √a+1 √a −2−
√a+2 √a −1)
a/ Rút gọn Q
b/ Tìm giá trị a để Q dương 16/ Cho C = ( √x
3+√x+ x+9
9− x¿:(
3√x+1 x −3√x−
1
√x); x≻0, x ≠9 a/ Rút gọn C
(13)17/ Cho P = ( √x −1−
1
√x¿:( √x+1 √x −2−
√x+2 √x −1)
a/ Tìm ĐKXĐ P b/ Rút gọn P
c/ Tìm x để P = 14 18/ Cho C = √a+3
2√a −6−
3−√a
2√a+6 a/ Rút gọn C
b/ Tìm a để C = 19/ A = ( x+2
x√x+1+ √x x+√x+1+
1 1−√x¿:(
√x −1
2 )
a/ Rút gọn A b/ CMR : A≺2 20/ P = [(x4 –x + x −3
x3+1¿
(x3−2x2+2x −1)(x+1)
x9+x7−3x2−3 +1−
2(x+6)
x2+1 ¿.[ 4x2
+4x+1 (x+3)(4− x)] a/ Rút gọn P
b/ CMR : -5 P≤0
Chuyên đề 6: RÚT GỌN NHỮNG BIỂU THỨC CÓ DẠNG √S+2√P Hay √S −2√P
( Với S tổng hai số P tích hai số cần tìm) Hai số cần tìm nghiệm phương trình X2 – SX +P=0 Ví dụ : Rút gọn biểu thức sau:
1/ A= √5+2√6 Ta có tổng hai số tích hai số Vậy hai cần tìm
Do A = √3 +√2¿2
¿ ¿ √¿
2/ B = √8−2√15 Ta có S = 8, P = 15 Vậy hai só cần tìm
Do B =
(14)3/ C =
√41+√24¿2 ¿ ¿
√65+2√984=√¿
4/ D =
√25−√24¿2 ¿ ¿
√49−2√600=√¿
BÀI TẬP NÂNG CAO
√20−√9¿2 ¿ ¿ ¿
¿√√5−√3−√20+√9
¿
√5−√1¿2 ¿ ¿
3−√¿
√5−√¿ ¿
1/A=√√5−√3−√29−12√5=√√5−√3−√29−2√180=√¿
2/ B = √66536+192√14168
3/√20+2√96
¿4/√110+2√1261
¿5/√46−6√5−√29−12√5
¿6/√13−√160−√53+4√90
¿7/√15−6√6+√35−12√6
¿8/√2+2√5+√13−√48
¿9/√6−2√√2+√12+√18−√128
¿10/√5√3+5√48−10√7+4√3
Chuyên đề 7: Parabol đường thẳng 1/ Cho (P) : y = 0,5.x2 (d) : y = x +b
a/ Với giá trị b (d) cắt (P) hai điểm phân biệt b/ Khi b = tìm toạ độ A,B tính khoảng cách AB 2/ Cho (P): y = 4x2 (d): y = mx – m +4
(15)3/ Cho hàm số y = ax2+bx +c
a/ Xác định a,b,c biết đồ thị qua A(0,-1); B(1,0); C(-1,2)
b/ Với giá trị m y = mx -1 tiếp xúc với đồ thị hàm số vừa tìm 4/ Trên mp toạ độ cho (P): y = x2-3x +2 (d):y = k(x-1)
a/ CMR với k (d0 vá(P) ln có điểm chung b/ Khi (d) tiếp xúc với (P) Tìm toạ độ tiếp điểm 5/Cho (P): y = x2
4 (d) qua I(
2, −1¿ có hệ số góc m
a/ Vẽ (P) viết phương trình (d) b/ Tìm m để (P) tiếp xúc với (d)
c/ Tìm m để (P) (d) có hai điểm chung phân biệt 6/Trong mp toạ độ cho đường thẳng có phương trình:
y = 0,5x +4; y = 2; y = (k+1)x +k Tìm k để đường thẳng đồng quy 7/ Cho (P):y = x2 (d):y = -x +2
a/ Viết pt (d’) qua M(0,m) song song với (d) b/ Với giá trị m :
1/( d’) cắt (P) hai điể phân biệt 2/ (d’) không cắt (P)
3/ (d’) tiếp xúc với (P)
8/ Cho P có đỉnh O qua A(1,- 14¿
a/ Viết phương trình (P)
b/ Viết phương trình (d) song song với x +2y =1và qua B(0,m)
c/ Với giá trị m (d) cắt (P) hai điểm có hồnh độ x1,x2 cho 3x1 +5x2 = 9/Cho (P): y = ax2 (d): y = mx +n Tìm m n biết (d) qua A(2,-1) ; B(0,1)
10/ Cho hàm số y = ax2 +2(a-2)x -3a +1 CMR với a đồ thị hàm số qua hai điểm cố định Giải:
Gọi B(xo,yo) điểm mà đồ thị ln qua với a
Ta có phương trình: yo = axo2 +2(a-2)xo -3a +1 có nghiệm với a Hay pt : (xo2 +2xo -3)a +( 1-4xo –yo) = có vơ sơ nghiệm
¿
x02+2x0−3=0
1−4x0− y0=0 ⇔
¿x0=1;x0=−3
1−4x0− y0=0
¿{
¿
* Với xo = yo = -3 ⇒ A(1,-3) * Với xo = -3 yo = 13 ⇒ B(-3,13)
11/ Cho (P): y = x2 và (d) qua điểm I(0,1) có hệ số góc m
a/ Viết phương trình đường thẳng (d) CMR (d) ln ln cắt (P) hai điểm phân biệt b/Gọi x1,x2 hoành độ hai giao điểm CMR |x1− x2|≥2
(16)a/ Xác định a vẽ đồ thị tìm ,biết đồ thị qua M( −21,−1
4 ¿
b/ Vẽ (d) qua N(2,-3) song song với trục hoành cắt (P) hai điểm A B.Tìm toạ độ A,B (biết hồnh độ A số dương)
13/ Cho (P): y = mx2
a/ Tìm m để (P) qua A(-1,-2)
b/ cho (d) : y = |x| - Vẽ (P) (d) mp toạ độ
c/ Tìm toạ độ giao điểm (P) (d) phương pháp đại số 14/ Cho (P): y = ax2+bx+c
a/ Tìm a,b,c biết (P) qua A(1,0); B(3,0); C(0,3)
b/ Tìm giá trị k để (d): y = kx +2 tiếp xúc với (P).Tìm toạ độ tiếp điểm Chuyên đề : Giải biện luận phương trình bậc hai
Ứng dụng định lí vi ét thuận vào phươnh trình bậc hai ax2 +bx +c =0 Khi sữ dụng định lí vi-ét cần nhớ điều kiện:
¿
a ≠0
Δ≥0
¿{
¿
BÀI TẬP 1/ Gọi x1,x2 nghiệm phương trình bậc hai x2-x-1 =0 a/ Tính x12 +x22
b/ CMR: Q = (x12+x22 +x14 +x24) chia hết cho Giải
a/Ta có Δ=¿5≻
¿ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt
Theo định lí vi-ét ta có x1 +x2 =1 x1.x2 =-1 Ta có x12 +x22 = (x1 +x2)2 -2x1.x2 = +2 =3
b/ Q = (x12 +x22) + (x12 +x22)2 -2x2.x22 = +32 -2.(-1)2 = 10 Vậy Q chia hết cho
(Ta chứng minh Q= x12001 +x22001 +x12003 +x22003 chia hết cho 5) 2/ Giả sử x1,x2 nghiệm phương trình x2 –(m+1).x- m2- 2m +2 =0 Tìm m để F = x12 +x22 đạt GTNN
Giải Ta có m+1¿2−4(m2−2m+2)=−3m2+10m−7
Δ=¿
Để PT có hai nghiệm Δ≥0⇔−3m2+10m−7≥0⇔1≤ m≤7
3
Theo định lí ta – lét ta có
x1+x2 = m +1 x1.x2 = m2-2m +2
Do F = x22 +x22 = (x1+x2)2 – 2x1.x2 = (m+1)2 -2(m2- 2m +2) = -(m-3)2 +6
Với
m−3¿2+6≤50
9
m −3¿2≤−
9⇔2≤ −¿
m −3¿2≤4⇔−4≤ −¿
1≤ m≤7
3⇔−2≤m −3≤
−2
3 ⇔
4 9≤¿
(17)3/ Tìm số nguyên m cho phương trình : mx2 -2(m+3)x +m+2 = có hai nghiệm x 1,x2 thoã F = x1
1 +
x2 số nguyên
4/ Cho phương trình x2 – (m+3)x +2m -5 =0 Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm phân biệt mà hệ thức khơng phụ thuộc vào m
Ta có m−1Δ¿2+13≻0
=¿ với m
Vậy phương trình ln có hai nghiệm phân biệt Theo định lí ta-lét ta có
¿
x1+x2=m+3 x1.x2=2m−5
⇔
¿2(x1+x2)=2m+6 x1.x2=2m−5 ⇒2(x1+x2)− x1.x2=11
¿{
¿
Vậy hệ thức khơng phụ thuộc vào m
5/Tìm m để phương trình x2- mx +m2-7 =0 có nghiệm gấp đơi nghiệm kia. 6/ Tìm m để phương trình x2 – mx +m2-3 =0 có hai nghiệm dương phân biệt 7/ Cho PT x2-2(m+1).x+m2+3m +2 = 0
a/ Tìm m để PT có hai nghiệm thỗ mãn x12+ x22 = 12 b/ Tìm hệ thức liên hệ x1 x2 không phụ thuộc vào m 8/ Cho PT (m+1)x2 -2(m-1)x +m -2 =0
a/ Tìm m để PT có hai nghiệm phân biệt
b/ Tìm m để PT có nghiệm tình nghiệm c/ Tìm m để PT có hai nghiệm cho x1
1 +
x2=
7
9/ Cho PT x2-2(m-1)x +m – =0
a/ CMR Với m PT có hai nghiệm phân biệt
b/ Gọi x1,x2 hai nghiệm PT cho Tìm hệ thức liên hệ x1 x2 độc lập với m 10/ Cho PT 2x2 -6x +m =0 Với giá trị m PT có
a/ Hai nghiệm dương
b/ Hai nghiệm x1, x2 cho x1 x2+
x2 x1=3
11/ Cho PT x2 -2(m-1)x –m-5 =0 thõ mãn hệ thức x
12+x22 14 12/Cho PT : x2-2(m+1)x +2m +10 =0
a/ Tìm m để PT có nghiệm
b/ Cho P = 6x1.x2 +x12 +x22 Tìm m để Pmin tính giá trị 13/ Cho PT : (m +1)x2 – 2( m-1)x +m -3 =0
a./ CMR PT có hai nghiệm phân biệt với m b/ Gọi x1, x2 nghiệm PT Tìm m để x1.x2 0, x1=2x2 14/ Cho PT : 2x2 – 2mx +m2 -2 =0 Tìm m để PT có a/ Hai nghiệm dương phân biệt
b/ Hai nghiệm phân biệt x1, x2 cho x13+x23= 52
c/ G/S PT có hai nghiệm khơng âm Tìm m để nghiệm dương đạt GTLN 15/ Cho PT: (m+3)x2 -2 (m2 +3m )x +m3 +12 =
a/ Tìm số nguyên m nhỏ để PT có hai nghiệm phân biệt
(18)( HSG 07-08)
16/ Cho PT; x2-(m-2)x+m(m-3) = 0
a/ Tìm m để PT có nghiệm Tìm nghiệm cịn lại b/ Tìm m để PT có hai nghiệm x1,x2 thỗ x13+x23=0
17/ Cho phương trình x2-2(m-1)x +m2-2m =0 a/ CMR phương trình ln có nghiệm với m b/ Tìm m để phươnh trình có nghiệm
18/ Cho PT; x2-2mx +2m +8 =0 Tìm m sau cho phương trình : a/ Có nghiệm Tính nghiệm
b/ Có hai nghiệm phân biệt c/ Thoã xx1
2
+x2
x1
=−2
19/Tìm giá trị m để phương trình (m-3)x2-2mx+5m = có hai nghiệm dương Chuyên đề 9: Giải hệ phương trình
I/ Giải hệ phương trình phương pháp cộng đại số Ví dụ: Giải hệ phương trình
¿
5x+3y=1
2x+y=−1 ⇔
¿5x+3y=1
6x+3y=−3 ⇔
¿x=−4
5x+3y=1 ⇔
¿x=−4 y=7
¿{
¿
II/ Giải hệ phương trình phương pháp Ví dụ: Giải hệ phương trình
¿
2x − y=6
3x+y=9 ⇔
¿y=2x −6
3x+(2x −6)=9 ⇔
¿y=2x −6
5x=15 ⇔
¿x=3 y=0
¿{
¿
(19)1/
¿
2x x+1+
y y+1=3 x
x+1+
3y y+1=−1
¿{
¿
Đặt u = xx +1, v=
y
y+1 Hệ phương trình trở thành
2u+v=3
¿
u+3v=−1 ⇔
¿2u+v=3
2u+6v=−2 ⇔
¿2u+v=3
5v=−5 ⇔
¿2u+v=3 v=−1
⇔
¿u=2 v=−1
¿
⇔ x x+1=2
y y+1=−1
⇔
¿x=2x+2 y=− y −1
⇔
¿x=−2 y=−1
2 ¿ { ¿ ¿ ¿ ¿ 2/ ¿ 2x − y−
6
x+y=−1
1 2x − y−
1
x+y=0
¿{
¿
3/
¿
4x+5y
xy =2
20x −30y+xy=0
¿{
¿
4/
¿
5(x −1) x+2y +
3(y+1) x −2y =8
20(x −1) x+2y −
7(y+1) x −2y =−6
¿{ ¿ 5/ ¿ x+
y=1
3
x−
3
y=5
¿{
¿
6/
¿
1
x −2+
y −1=2
x −2−
y −1=1
¿{
¿
7/
¿
3
x −2y+
3 3x+y=2
2
x −2y+
1 3x+y=
7 ¿{ ¿ 8/ ¿
x2− x
+y2−2y=19
xy(x −1)(y −2)=−20
¿{
¿
(20)Giải biện luận hệ phương trình:
¿
ax+by=c a ' x+b ' y=c '
¿{
¿
Hệ có nghiệm a'a ≠b 'b Hệ vô nghiệm a'a= b
b '≠ c c ' Hệ có vơ số nghiệm a'a = b
b '= c c ' Ví dụ:
1/Cho hệ phương trình :
¿
2 mx+m2y=3
2x+my=3
¿{
¿
Tìm m để hệ a/Có vơ số nghiệm
b/ Vơ nghiệm Giải
a/ Hệ có vơ số nghiệm a a'=
b b '=
c c '⇔
2m
2 =
m2 m=
3
3⇔m=m=1⇔m=1
b/ Hệ vô nghiệm a a'=
b b '≠
c c '⇔
2m
2 =
m2 m ≠
3
3⇔m=m ≠1⇔m≠1
2/ Cho hệ PT:
¿
x+ay=1
ax+y=2
¿{
¿
a/ Giải hệ a=2
b/ Với giá trị a hệ có nghiệm 3/
¿
x −my=m
mx−9y=m+6
¿{
¿
Tìm m để hệ a/ Vơ nghiệm
b/ Có vơ sơ nghiệm 4/ Cho hệ PT:
¿
x+(m −1)y=2 (m+1)x − y=m+1
¿{
¿
a/ Giải hệ m= 12
b/ Xác định m để hệ có nghiệm thỗ x y 5/Cho hệ
¿
x+y=1
ax+3y=a
¿{
¿
(21)a/
¿
x −my=3
mx− y=−3
¿{
¿
b/
¿
3x+(m−4)y=1−4m
mx− y=m
¿{
¿
V/ Hệ phương trình đối xứng loại I
Dạng
¿
f(x , y)=0
g(x , y)=0
¿{
¿
Với
¿
f(x , y)=f(y , x)
g(x , y)=g(y , x)
¿{
¿
( Thay x = y thay y = x hệ không đổi) Cách giải: Đặt S = x + y ; P = x.y
Ví dụ: Giải hệ phương trình
1/
¿
xy(x+y)=−2 x3+y3=7
¿{
¿
⇔
xy(x+y)=−2
¿
x+y¿3−3 xy(x+y)=7
¿ ¿
Đặt S = x+y ; P = xy
Do hệ trở thành
¿
P.S=−2 S3−3 PS=7
⇔
¿PS=−2 S3−3 (−2)=7
⇔
¿PS=−2 S3
=1 ⇔
¿S=1 P=−2
¿{
¿
⇔
¿
x+y=1
xy=−2
¿{
¿
x,y nghiệm phương trình X2 – SX -2 =0 Giải phương trình ta X1 = -1; X2 = Vậy hệ có nghiệm
¿
x=−1 y=2
¿{
¿
¿
x=2 y=−1
¿{
¿
2/
¿
x4+y4=82
xy=3
¿{
(22)x2y
+xy2=−6
¿
x3+y3=26
¿
(x2+y2)xy=78 x4+y4=97
¿
√x+y+√xy=4 √x+√y=2√2
¿
3/❑{
¿ ¿ ¿
¿
6/
¿
x√y+y√x=12 x√x+y√y=28
¿{
¿
7/
¿
x+y+xy=2+3√2
x2
+y2=6
¿{
¿
8/
¿
x+y=−1 x3
+y3=−21
¿{
¿
VI/ Hệ phương trình đối xứng loại II Dạng
¿
f(x , y)=0
f(y , x)=0
¿{
¿
Cách giải: Đưa dạng
¿
f(x , y)− f(y , x)=0 f(x , y)=0
¿{
¿
¿
f(x , y)+f(y , x)=0 f(x , y)=0
¿{
¿
Ví dụ : Giải hệ phương trình
x2−2x+5=4y
¿
y2−2y+5=4x ⇔
¿(x2− y2)−2(x − y)=−4(x − y) x2−2x+5=4y
⇔
¿(x − y)(x+y+2)=0 x2−2x+5=4y
⇔
¿x − y=0 x2−2x
+5=4y
¿x+y+2=0 x2−2x
+5=4y
¿
no
¿{ {
¿ ¿¿{
(23) Trường hợp 1:
x − y=0
¿
x2−2x
+5=4y ⇔
¿x=y x2−6x+5=0
⇔
¿x=y x=1; x=5
¿
⇒
¿x=1 y=1
hoac
¿x=5 y=5
¿{
¿ ¿ ¿
¿
Trường hợp 2:
x+y+2=0 x2−2x+5=4y
⇔
¿ ¿y=−2− x x2+2x+13=0
⇔
¿y=−2− x x+1¿2+12=0
¿ ¿{
¿
Hệ phương trình vơ nghiệm
Vậy hệ phương trình có nghiệm
¿
x=1 y=1
;
¿x=5 y=5
¿{
¿
(24)3x2−2x
+6=9y
¿
3y2−2y+6=9x
¿
5x2−2x+3=6y
5y2−2y+3=6x
¿
2x2+3y=12
2y2
+3x=12
¿ ¿1/❑{
¿ ¿ ¿
¿
4/ 4/
¿
2x2−3x=y2−2
2y2−3y
=x2−2
¿{
¿
(Chuyên HMĐ 20/6/2008)
5/
¿
x2+2y+1=0 y2−2x+1=0
¿{
¿
6/
¿
x2−3x+5=3y y2−3y
+5=3x
¿{
¿
7/
¿
x+√y+5=1 y+√x+5=1
¿{
¿
VII/ Hệ phương trình đẳng cấp Cách giải :
o Tìm nghiệm thỗ x = ( y = 0)
o Với x hay y Đặt y = tx (hay x = ty ) Ví dụ : Giải hệ phương trình :
¿
3x2−2 xy
+2y2=7 x2
+6 xy−3y2=−8
¿{
¿
(I)
y = (I) ⇔
3x2 =7 x2=−8
¿{
Hệ vô nghiệm y , đặt x = ty ta có:
3t2y2−2 ty2
+2y2=7
¿
t2y2
+6 ty2−3y2=−8 ⇔
¿y2(3t2−2t+2)=7 y2
(t2+6t −3)=−8 ⇒3t2−2t+2
7 =
t2+6t −3 −8 (¿
1
y2)
¿ ¿{
¿ ¿ ¿
¿
* Với t = - 7y2 = ⇔ y2 = 1 ⇔y=¿ 1 y = -1 ⇒ x=−1
y=1 ;
¿x=1 y=−1
(25)* Với t = 315 thì1687 312 y
2
=7⇔y2=31
2
√2412⇔y= 31
√241 y=
−31
√241
⇒ x=
√241
y=31 √241
;
¿x=− √241
y=−31 √241
¿{ Vậy hệ phương trình cho có bốn nghiệm là:
¿
x=−1 y=1
;
¿x=1 y=−1
;
¿x= √241
y=31 √241
;
¿x=− √241
y=−31 √241
¿{
¿
BÀI TẬP GIẢI CÁC HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAU
1/
¿
2x2−xy
+3y2=13 x2+4 xy−2y=−6
¿{
¿
2/
¿
x2−6 xy+9y2=4
2x2
+3 xy+5y2=10
¿{
¿
3/
¿
2x2
+3 xy+y2=12
2x2+4 xy+y2=14
¿{
¿
4/
¿
x2−3 xy+2y2=12
2x2
+xy−3y2=6
¿{
¿
VIII/ Hệ phương trình hai ẩn gồm phương trình bậc phương trình bậc hai
¿
ax+by=c
mx2
+nxy+py2=r
¿{
¿
Cách giải:
(26)Ví dụ: Giải hệ phương trình sau:
x+y=3
2x2−3 xy+5y2=16 ⇔
¿y=3− x
3− x¿2=16
¿
⇔
¿ ¿y=3− x
¿
2x2−9x+3x2+45−30x+5x2=16
¿ ¿ ¿
⇔
¿ ¿y=3− x
¿
10x2−39x+29=0
¿ ¿
⇔
¿ ¿y=3− x
¿
2x2−3x
(3− x)+5¿
Bài tập: Giải hệ phương trình sau: 1/
¿
2x − y=1
3x2−5 xy+y2=−23
¿{
¿
2/
¿
x+3y=8
2x2+3 xy−5y2=−4
¿{
¿
VIII/ Một số hệ phương trình khác
1/
¿
(x+y)(y+z)=4 xy2z (y+z)(z+x)=4 yz2x (z+x)(x+y)=4 zx2y
¿{ {
¿
2/
¿
x4+y2=697
81
x2+y2+xy−3x −4y+4=0
¿{
¿
3/
¿
x2
+y2+z2+t2=50
x2− y2+z2− t2=−24 xz=yt
x − y+z+t=0
¿{ { {
¿
4/
¿
x+y+z=6
xy+yz−xz=−1 x2
+y2+z2=14
¿{ {
¿
5/
¿
x+y+z=6
xy+yz+xz=7 x2
+y2+z2=14
¿{ {
¿
6/
¿
6 xy=5(x+y)
3 yz=2(y+z)
7 xz=10(x+z)
¿{ {
(27)7/
¿
xy
x+y=
6 yz
y+z=
4 xz
x+z=
12
¿{ {
¿
8/
¿
x(y − z)=−4 y(z − x)=9 z(x+y)=1
¿{ {
¿
9/
¿
x+2y+3z=7 x −3y+2z=5 x+y+z=3
¿{ {
¿
10/
¿
xyz
x+y=
24 xyz
y+z=
24 xyz
x+z=4
¿{ {
¿
11/
¿
x+y=1 y+z=2 z+t=3 t+p=4 p+q=5 q+r=6 r+x=7
¿{ { { { {{