CÁC MÔ HÌNH LỰA CHỌN DANH MỤC TỐI ƯU VỚI LÃI SUẤT KỲ VỌNG ĐÃ ẤN ĐỊNH TRƯỚC

Các mô hình lựa chọn danh mục tối u Với lãi suất kỳ vọng đã ấn định trớc I.quản lý danh mục đầu t Lý thuyết định giá các sản phẩm tài chính phái sinh là lý thuyết về lợi nhuận: Đảm bảo cho các tài phẩm ít rủi ro nhất và nh vậy chúng ta coi nh nhận đ- ợc một kết quả không rủi ro. Đảm bảo này ở các ngân hàng chính là hệ thống "rào chắn": bán ra các tài phẩm với giá cao hơn mức giá trị của nó và tìm mọi cách ngăn ngừa rủi ro để thu lợi nhuận. Tuy nhiên không phải ai cũng có khả năng bảo vệ mình bằng cách này. Những ngời quản lý, mua bán các tài phẩm (bao gồm cả các tài phẩm phái sinh) luôn hớng đến việc thu lợi nhuận cao hơn lãi suất ngân hàng và rủi ro đi liền với mong muốn cũng nh các tìm kiếm của họ, họ cần chấp nhận điều đó. Những nội dung trong phần này giải thích một số vấn đề cơ bản về động cơ chấp nhận rủi ro, sự bù đắp cho những rủi ro mà ngời đầu t sẵn sàng chấp nhận. Ngoài ra chúng ta cũng xem xét việc san rủi ro khi đa dạng hoá danh mục đầu t, xác định danh mục đầu t tối u và mối liên hệ cuả lợi tức với mức rủi ro của từng tài phẩm cá biệt. Trên cơ sở đó đánh giá đợc giá của các tài phẩm. Chúng ta giả thiết: - Một danh mục đầu t tồn tại trong một thời kỳ và chỉ xem xét sự diễn biến của nó trong thời kỳ đó. - Lợi suất của các tài phẩm phân phối chuẩn (trong thời kỳ đang xét). - Đặc trng của lợi suất là lợi suất kỳ vọng, phơng sai (hay độ lẹch chuẩn) của mỗi tài phẩm và hệ số hiệp phơng sai của lợi tức các tài phẩm khác nhau. 1- Tiêu chuẩn Kelly Giả sử ta tham gia một trò đánh bạc với số tiền có trong tay là 1000$. Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ lợi suất của một khoản tiền đặt cợc, X có trung bình à và phơng sai 2 . Tỷ lệ (của 1000$) tiền đặt cợc trong lần chơi thứ nhất là f thì: Sau lần thứ nhất khoản tiền là biến ngẫu nhiên: V 1 =1000(1+fX 1 ) Tiếp tục lần hai với V 1 và tỷ lệ f, kết quả là: V 2 =1000(1 + fX 1 )(1+fX 2 ) tơng tự nh vậy sau M lần ta có: V M = = + M i i fX 1 )1(1000 . Chắc chắn là chúng ta muốn tối đa hoá V M . Ta có: lnV M =ln1000 + = + M i i fX 1 )1ln( . Bỏ qua hằng số trong biểu thức này ta tìm max = + M i i fX 1 )1ln( . Vì X i ngẫu nhiên chúng ta chỉ có thể tối đa hoá trung bình lợi suất của M lần chơi. Tức là tối đa hoá = + M i i fX M 1 )1ln( 1 =E[ln(1+fX)]. Khai triển Taylor hàm ln(1+fX) theo f tại 0 ta có: ln(1+fX) = 0 + Xf - f 2 X 2 /2 + Với à đủ nhỏ và 2 lại không nhỏ (lãi trung bình thì nhỏ mà rủi ro lại lớn) ta có thể nhận đợc: E[ln(1+fX)] fà - f 2 2 /2. Cực đại E[ln(1+fX)] đạt tại điểm f=à/ 2 với giá trị cực đại là: à 2 / 2 - à 2 /2 2 = à 2 /2 2 Nếu à > 0 thì f > 0 ta kỳ vọng một khoản lời tối đa dơng, ngợc lại nếu à < 0 thì tốt nhất hãy tránh xa sòng bạc này nếu chúng ta không đủ cơ hội làm chủ chính nó vì khoản lời kỳ vọng tối đa vẫn âm đối với ngời chơi. Việc tối đa hoá tăng trởng dài hạn và lựa chọn đầu t tối u nh vậy đợc gọi là tiêu chuẩn KELLY. Thí dụ trên đợc THORP đa ra năm 1962. ý nghĩa của mô hình dẫn đến tiêu chuẩn Kelly Một trò cá cợc liên quan gì đến đầu t trên thị trờng chứng khoán?. Chúng ta thấy rằng nếu với 1000$ ban đầu và cả với các khoản V i thì phần tỷ lệ (1-f) có thể đợc đảm bảo bằng cách nào?. Rõ ràng là phần thứ hai này luôn có một địa chỉ đầu t đảm bảo lợi suất (dù thấp) đó là trái phiếu. Nếu lãi suất trái phiếu là R F cho một kỳ có thời gian nh một lần đặt cợc (hoặc M lần đặt cợc) thì chắc chắn là chúng ta phải so sánh phần này với khoản lời nhận đợc từ sòng bạc. Giả thiết phân phối chuẩn của X có thể quá chặt chẽ khi ta chỉ xét một cách đầu t (đánh bạc) nhng sẽ là cần thiết khi có cả một danh mục đầu t với nhiều tài phẩm khác nhau. 2- Đa dạng hoá danh mục đầu t Giả sử có N tài phẩm là các sản phẩm tài chính có rủi ro (ta sẽ tạm gọi là cổ phiếu). Một danh mục đầu t đợc thể hiện nh một véc tơ trong R N mà mỗi thành phần của nó là tỷ trọng giá trị của một loại cổ phiếu trong tổng giá trị của danh mục này. Gọi giá trị hiện tại của cổ phiếu i là S i , lợi suất của cổ phiếu này là R i trong thời gian T. Giả sử R i phân phối chuẩn với trung bình à i T và phơng sai i 2 T. Gọi hệ số tơng quan của lợi tức cổ phiếu i và j là ij . Chúng ta đã biết ý nghĩa của các tham số này, tuy vậy điều phải chú ý ở đây là các đại lợng đợc đo theo thời gian. Gọi w i là số cổ phiếu i của một danh mục I (i=1 N), giá trị của danh mục I là: = = N i ii SwV 1 . Tại cuối thời kỳ giá trị của dang mục I là: V+V = = + N i iii RSw 1 )1( Tỷ lệ thay đổi giá trị danh mục đầu t nhận đợc từ biểu thức sau: 1 )1( 1 1 + = = = N i N i ii iii Sw RSw V V Đặt: = = N i ii ii i Sw Sw W 1 , (W i là tỷ trọng giá trị của cổ phiểu i), ta có: = = N i ii RW V V 1 Từ công thức này ta có thể tính lợi suất trung bình của danh mục I nh sau: = = = N 1i iiI W V V E T 1 (2.1) Độ lệch tiêu chuẩn của lợi suất là: = = = = N 1i N 1j jiijjiI WW V V var T 1 (2.2) Các công thức (2.1) và (2.2) cho chúng ta mối liên hệ của lợi suất trung bình và mức rủi ro của một danh mục đầu t với các thành phần của nó. Một kết quả riêng là khi chúng ta có các cổ phiếu mà lợi tức của chúng không tơng quan với nhau, nh vậy có thể xem là ij =0 với mọi ij. Với N đủ lớn ta có thể xem là w i 1/N. Trong trờng hợp này ta có: = = N 1i iI N 1 (2.3) = = N 1i 2 iI N 1 (2.4) Có thể nói rằng trong trờng hợp này khi N tăng vô hạn (đủ lớn) rủi ro bị loại bỏ vì phơng sai lợi suất coi nh bằng 0. Giả thiết các lợi suất không tơng quan thật khó chấp nhận, tuy nhiên ý tởng của vấn đề sẽ đợc xem xét trong phần mô hình định giá. Trong mô hình này chúng ta thấy việc đa dạng danh mục đầu t sẽ tạo cơ hội làm giảm rủi ro mà không ảnh hởng đến lợi suất tối u trung bình. 3- Lý thuyết danh mục đầu t hiện đại 3.1. Lựa chọn danh mục đầu t rủi ro Một danh mục đầu t tốt nhất có thể nhận đợc từ mô hình Markowitz. Mô hình của ông đã cung cấp một khái niệm quan trọng là danh mục đầu t hiệu quả đó là danh mục mà với mỗi lợi suất kỳ vọng cho trớc ta lựa chọn đợc rủi ro ít nhất hoặc mỗi rủi ro ít nhất ứng với một lợi suất kỳ vọng lớn nhất. Chúng ta bắt đầu từ một thí dụ nhỏ. Giả sử trên thế giới chỉ có 5 tài sản A(1), A(2), A(3), A(4), A(5) với vị trí của chúng trên mặt phẳng toạ độ (rủi ro x lợi suất) nh sau: Hình 1 + Nếu một ngời có thể mua chỉ một trong các tài sản trên thì tình tình sẽ ra sao?. Chắc chắn là khi so sánh A(1) với A(3) cũng nh A(3) và A(4) ngời đó loại A(3) vì cùng mức lãi thì A(1) an toàn hơn, còn với cùng mức rủi ro thì A(4) có lợi hơn. Khi so sánh A(1), A(2) và A(4) ngời đó chọn A(2) cũng với những lý do trên. Còn lại A(2) và A(5) rõ ràng là việc lựa chọn (nếu chỉ 1 tài sản) tuỳ thuộc mức a thích mạo hiểm của ngời đó. Kết luận ở đây là chỉ các tài phẩm mà lợi suất cao hơn thì rủi ro cao hơn mới là đối tợng nghiên cứu trong danh mục đầu t. + Nếu cho phép chọn cả A(2) và A(5) thì ngời đầu t sẽ chia số tiền cho hai tài phẩm này nh thế nào?. Ngời đầu t có bài toán sau: Gọi W là trọng số của A(2) thì (1-W) là trọng số của A(5) trong danh mục đầu t (2.1) và (2.2) ta có: 52I W)(1W += (3.1) và 2 52552 2 2 22 I W)(1W)2W(1W ++= (3.2) Hệ (3.1), (3.2) xác định một đờng cong quan hệ giữa lợi suất trung bình của danh mục đầu t và rủi ro của nó trong đó W là một tham số: lợi suất A(5) o Hình 2 o A(2) Rủi ro Phần đờng cong in đậm là phần hiệu quả. Mỗi điểm trên đờng cong này t- ơng ứng một cách tổ hợp A(2) và A(5) hiệu quả. Ngoài giới hạn của hai điểm A(2) và A(5) thì một tài sản đợc bán khống để mua tài sản kia nếu luật lệ cho phép. Ngoài ra dễ dàng nhận thấy sự bù đắp rủi ro bởi lợi suất có thể đo bởi độ dốc của đờng hiệu dụng tại mỗi điểm (đạo hàm bậc nhất của lợi suất theo rủi ro). Mô hình xác định danh mục đầu t hiệu dụng của Markowwitz cho kết quả tơng tự khi có nhiều tài phẩm trong danh mục này. 3. 2- Sự can thiệp của tài sản không rủi ro Thị trờng hầu nh tồn tại thờng xuyên một hay một số loại tài sản coi là không rủi ro (phơng sai lợi suất bằng 0). Có thể mô tả lợi suất của tài sản không rủi ro bởi điểm F tơng ứng lợi suất r trên hình 3. Tài sản không rủi ro có lợi suất r và phơng sai lợi tức bằng 0, nếu ta đợc phép đa tài sản này vào danh mục đầu t thì đờng biên hiệu dụng mới là một đờng thẳng và có thể xem đây là đờng thị trờng vốn một thị trờng mà bất kỳ nhà đầu t nào cũng có thể vay không hạn chế với lãi suất r. Trên hình 3 nếu ta vạch tiếp tuyến từ F với đờng cong hiệu dụng của danh mục đầu t thì tiếp điểm M gọi là điểm "Danh mục thị trờng". Tại M "giá của rủi ro" đúng bằng "giá của an toàn" trong cơ cấu đầu t. lợi suất F A M hình3 r B Rủi ro Những điểm bên trái M trên đờng thị trờng vốn luôn cho một cách kết hợp giữa tài sản không rủi ro và các tài sản rủi ro theo mô hình tối u Markowitz. Chẳng hạn tại A và B với cùng mức rủi ro nh nhau lựa chọn A có lợi hơn (tơng ứng một trọng số dành cho tài sản không rủi ro). Ngợc lại những điểm nằm bên phải M tơng ứng phơng án vay tiền từ nguồn vốn không rủi ro để mua thêm tài sản rủi ro. Nh vậy khi có tài sản không rủi ro thì việc lựa chọn danh mục đầu t có thể là sự kết hợp của hai loại tài sản này trừ điểm danh mục thị trờng(M), theo lời giải nhận đợc từ mô hình Markowitz. Việc lựa chọn danh mục đầu t, vay vốn hay cho vay tùy thuộc tâm lý từng nhà đầu t. Tuy nhiên đờng thị trờng vốn (FM) luôn là chỗ dựa trong trờng hợp này. 4- Lựa chọn danh mục đầu t Sau các phân tích trong mục 3, chúng ta cần trả lời câu hỏi cần lựa chọn danh mục đầu t nh thế nào trên đờng hiệu dụng Markowitz?. Đờng thị trờng vốn Giả sử ta có hai danh mục đầu t một là đầu t cho danh mục I với lợi suất R I phân phối chuẩn với trung bình E(R I )= à I và phơng sai I 2 (bỏ qua yếu tố thời gian T) và trọng số phần còn lại cho tài sản không rủi ro F với lợi suất r, Tơng tự (3.1), (3.2) ta có: Danh mục tổng cộng C = F I - Trung bình lợi tức toàn bộ là E(R C ) = E(R I )W + r(1-W) = r +W[E(R I )-r] - Phơng sai lợi tức toàn bộ là Var(R C ) = W 2 var(R I ) suy ra )( )( I C Rstd Rstd W = . Từ đó:E(R C ) = r + )( )( I C Rstd Rstd (E(R I )-r] = r + C I I r (4.1) Lựa chọn I theo mô hình xác suất Trong (4.1) ta đặt s= I I r , đây là đại lợng rất quan trọng nó cho biết tính chất hợp lý của danh mục I so với danh mục F (tài sản không rủi ro). Để ý rằng nếu thay các đại lợng trong s bằng các thống kê tơng ứng thì s sẽ là biến đo chênh lệch của I so với F đã đợc chuẩn hoá. Nếu Cf() là giá trị hàm phân phối chuẩn chuẩn hoá thì Cf(s) là xác suất lợi suất của I nhỏ hơn r. Nh vậy muốn tối thiểu hoá khả năng lợi suất của danh mục đầu t nhận đợc từ mô hình Markowitz thấp hơn r 0 nào đó thì cần chọn điểm trên đờng hiệu quả cực đại giá trị: I 0 I r . Ngợc lại nếu ta chọn một độ dốc s thì có thể nói với mức tin cậy Cf(s) chúng ta không mất nhiều hơn: V= à I -s I (4.2) Danh mục đầu t đợc chọn tơng ứng với giá trị cực đại của V. Một vài cách lựa chọn khác Có thểlựa chọn danh mục đầu t với sự trợ giúp của các đờng cong thể hiện sự a thích của nhà đầu t, chẳng hạn hàm thoả dụng. Đây là cách làm khá phổ biến của các nhà kinh tế, các hàm này luôn thể hiện gía phải trả cho lợi ích bởi rủi ro mà mỗi nhà đầu t có thể chấp nhận. Hãy quan sát minh hoạ sau: Lợi suất B C A Rủi ro Nếu các đờng thẳng song thể hiện mức ý nguyện đánh đổi rủi ro lấy lợi tức của một nhà đầu t thể hiện nh một hàm thoả dụng thì khi đờng thẳng này cắt đờng hiệu dụng tại hai điểm, chẳng hạn A và B ngời đầu t sẽ không biết nên chọn danh mục nào vì tại A lợi suất thấp nhng an toàn hơn trong khi tại B lợi suất cao nhng mạo hiểm hơn. Khi di chuyển đờng này đến mức tiếp xúc với đờng hiệu dụng tại C thì rõ ràng C tốt hơn cả A và B. Ngời đầu t chọn C. 5- Mô hình định giá tài sản và lý thuyết giá cơ lợi 5.1- Khó khăn đối với mô hình Markowitz Mô hình Markowitz cho chúng ta một kỹ thuật lựa chọn danh mục đầu t tối u và những phân tích từ kết quả của mô hình này là rất bổ ích. Tuy vậy, trong thực tế khó khăn đặt ra là vấn đề tham số. Nếu chúng ta có N tài phẩm để lựa chọn thì số tham số sẽ là 2N +N(N-1)/2. Trong khi chính lợi tức cổ phiếu theo thời gian có thể không dừng . Nh vậy với số loại tài phẩm tơng đối ít chúng ta có thể sử dụng trực tiếp mô hình này và từ đó mà định giá tài phẩm. Trong trờng hợp thị trờng quá đa dạng ngời ta sử dụng một mô hình đơn giản hơn, mô hình có tên CAPM (Capital asset Pricing Model). Mô hình này sử dụng hệ số Beta của các tài phẩm. 5.2. Mô hình CAPM với 1 chỉ số thị trờng Hệ số Beta của tài phẩm i ( i ) liên quan đến danh mục I là tỷ số giữa hiệp phơng sai của lợi tức của tài phẩm này với phơng sai lợi tức của danh mục I. Tức là: i = )( ),( I Ii RVar RRCov (5.1) Với các hệ số này chúng ta sử dụng quan hệ sau để mô tả lợi suất cá biệt của mỗi tài phẩm trong I theo một chỉ số thị trờng chứng khoán nào đó (M). R i = i + i R M + i (5.2) Tức là lợi tức của mỗi tài phẩm bao gồm 3 phần: - Phần lợi tức trung bình cố định trong thời gian dài: i - Phần lợi tức phụ thuộc chỉ số R M với hệ số: i - Phần lợi tức ngẫu nhiên đủ nhỏ có thể triệt tiêu khi đa dạng hoá danh mục đầu t I: i . Nh vậy với tài phẩm i ta có: à i = i + i à M (5.3) 2 i 2 M 2 ii e += trong đó e i là độ lệch tiêu chuẩn của i . Các hệ số trong (5.2) có thể ớc lợng trên cơ sở các số liệu thống kê về giá cổ phiếu riêng biệt và giá trung bình của các cổ phiếu cấu thành chỉ số M. Từ đó nhờ kết quả ớc lợng (5.2) và quan hệ (5.3) ta có thể tính đợc lợi suất của một danh mục đầu t I có N tài phẩm: i N i i N i N i iiMii WWRW I I == = ++= 11 1 từ đó: = = += N i N i iiMiiI WREW 1 1 )( à (5.4) [...]... e ] D ] )] * Danh mục P ứng với véc tơ tỷ trọng w đợc gọi là danh mục biên duyên rp ứng với mức lãi suất kỳ vọng dự tính ( ) - Các véc tơ g,h do điều kiện của thị trờng quy định không phụ thuộc và lựa chọn của nhà đầu t (2 véc tơ g,h ngoại sinh với tất cả các nhà đầu t) - Hai véc tơ g,h luôn xác định một cách duy nhất rp - Với mức lãi suất ấn định trớc luôn tồn tại duy nhất với một danh mục biên duyên... danh mục biên duyên khác nhau w( rp1 ) và w( r p2 ) thì: rp1 # r p2 Khi đó, chúng ta sẽ cảm sinh tập danh mục bất kỳ trong tập danh mục biên duyên có thể biểu diễn dới dạng hai danh mục này - Danh mục của các danh mục biên duyên là danh mục biên duyên Tính chất 3: Danh mục có phơng sai nhỏ nhất Kí hiệu (KH) : MVP Chúng ta có thể xác định danh mục biên duyên - Xác định MVP: điều kiện cần đối với danh mục. .. 2.2.1.Khái niệm về danh mục biên hiệu quả Một danh ục biên duyên P gọi là danh mục hiệu quả nếu loẹi suất kỳ vọng rp > rMVP = B/A Một danh mục biên duyên Q # MVP: Q không phải là danh mục biên duyên thì danh mục đó gọi là danh mục phi hiệu quả Tập hợp tất cả các danh mục hiệu quả và danh mục MVP gọi là biên hiệu quả 2.2.2.Tính chất của biên hiệu quả - Biên hiệu quả là một tập lồi - Nếu P là danh mục hiệu quả... =r - với p H >r rp với . Các mô hình lựa chọn danh mục tối u Với lãi suất kỳ vọng đã ấn định trớc I.quản lý danh mục đầu t Lý thuyết định giá các sản phẩm tài. suy biến Bài toán: chọn danh mục tối u với lãi suất kỳ vọng đã ấn định trớc ( p r ) Nếu ta ký hiệu : P là danh mục tỷ trọng nhà đầu t lựa chọn. P: { } n www