CHUYEN DE TOAN 6 NANG CAO

Cã bao nhiªu c¸ch thµnh lËp nhãm, mçi c¸ch cho bao nhiªu nhãm, mçi nhãm cã bao nhiªu ngêi vµ sè häc sinh mçi khèi trong mét nhãm lµ bao nhiªu.. § 14.[r]

(1)

Đ 1- Tập hợp Tập hợp con I/ Kiến thức

II/ Kiến thức nâng cao. III/ Ví dụ:

Đ.2- Tập hợp sè tù nhiªn Ghi sè tù nhiªn I/ KiÕn thøc

II/ Kiến thức nâng cao.

III/ Ví dụ: Tìm hai số nguyên tố biết tổng chúng 601 Đ 3- Phép cộng phép nhân

I/ Kiến thức II/ KiÕn thøc n©ng cao.

III/ VÝ dơ: Tìm hai số nguyên tố biết tổng chúng 601 Đ 4- Phép trừ phép chia

I/ Kiến thức II/ Kiến thức nâng cao.

III/ Ví dụ: Tìm hai số nguyên tố biÕt tỉng cđa chóng b»ng 601 § 5- L thõa với số mũ tự nhiên

III/ Ví dụ: Tìm hai số nguyên tố biết tổng chóng b»ng 601 §6 Thø tù thùc hiƯn phÐp tÝnh

III/ Ví dụ: Tìm hai số nguyên tố biết tổng chúng 601 Đ7 TÝnh chÊt chia hÕt cđa mét tỉng I/ KiÕn thøc

III/ Ví dụ: Tìm hai số nguyên tố biết tỉng cđa chóng b»ng 601 §8 – DÊu hiƯu chia hết cho 2, cho 5 I/ Kiến thức

II/ KiÕn thøc n©ng cao.

III/ VÝ dụ: Tìm hai số nguyên tố biết tổng chóng b»ng 601 § 8 – DÊu hiƯu chia hÕt cho 3, cho 9 I/ Kiến thức

II/ KiÕn thøc n©ng cao. III/ VÝ dơ:

Chuyên đề 1: So sánh hai luỹ thừa

(2)

- NÕu hai luü thõa cïng c¬ số (cơ số lớn 1) luỹ thừa có số mũ lớn lớn hơn.

- NÕu luü thõa cïng sè mò (sè mò lớn 0) luỹ thừa có cơ số lớn lớn hơn.

2 Ngoi cỏch trên, để so sánh hai luỹ thừa ta dùng tính chất bắc cầu, tính chất đơn điệu phép nhân (a < b a.c < b.c với c > 0)

Bỉ xung kiÕn thøc n©ng cao:

1 Luü thõa cña luü thõa: (am)n = am.n 2 Luü thõa cña mét tÝch: ( a.b)n = anbn

VÝ dô: 25.55 = (2.5)5 = 105 = 100 000.

3 Luü thõa mét th¬ng: an :bn = (a:b)n , hay :

n

n n a

a b b

     

VÝ dô : 147: 77 = (14 : 7)7 = 27 = 128 4 Luü thõa tÇng: amn a mn VÝ dô :  

3

3 2

2

2 2 256

Bài 1: So sánh số sau:

a) 2711 vµ 818 b) 6255 vµ 1257 c) 536 vµ 1124 d) 32n vµ 23n Bµi 2: So sánh số sau:

a) 523 6.522 b) 7.213 vµ 216 c) 2115 vµ 275.498. Bµi 3: So sánh số sau

a) 19920 200315 b) 339 1121

Bài 4: So sánh hai hiệu, hiệu lớn hơn? a) 7245 7243 7244 7243

Bài 5. Tìm xN, biết:

a) 16x < 1284 b) 5x.5x+1.5x+2 ≤ 100 :218 18 chữ số Bài 6: Cho S = + 2+ 22 + 23 + + 29.

So sánh S với 5.28.

Bài 7: Gọi m số số có chữ số mà cách ghi chữ số H y so sánh m 10.9Ã 8.

Bài 8: H y viÕt sè lín nhÊt b»ng c¸ch dïng chữ số 1,2,3 với điều kiện Ã chữ số dùng lần

Bi bổ sung Chuyên đề 2:

Ch÷ sè tËn cïng cña mét tÝch cña mét luü thõa: I/ Lý thuyÕt

1 Tìm chữ số tận tích - Tích số lẻ số lẻ

NÕu m > n th× am > an (a >1)

(3)

- TÝch cđa mét sè lỴ có tận với số lẻ nµo cịng cã tËn cïng lµ

- TÝch số chẵn với số tự nhiên số chẵn Tìm chữ số tËn cïng cđa mét l thõa

- C¸c số tự nhiên có tận 0,1,5,6 nâng lên luỹ thừa (khác ) giữ nguyên chữ số tận

- Cỏc số tự nhiên có tận chữ số 3,7,9 nâng lên luỹ thừa 4n có tận

34n = 1 74n = 1 94n = 1

- Các số tự nhiên có tận chữ số 2,2,8 nâng lên luỹ thừa 4n (n ≠0) có tận

24n = 6 44n = 6 84n = 6

( Riêng số tự nhiên có chữ số tận 9, nâng lên luỹ thừa lẻ có chữ số tận nó; nâng lên luỹ thừa chẵn có chữ số tận lần lợt 1.)

II/ Bµi tËp

Bµi 1: Tìm chữ số tận số sau 7430 ; 4931 ; 8732 ; 5833 ; 2335

Bµi 2: Tìm hai chữ số tận số 5n.(n>1) Bài 3: Chứng tỏ tổng hiệu sau chia hết cho 10

a) A = 98.96.94.92 – 91.93.95.97

b) B = 405n+ 2405 + m (m , n N ; n 0) Bài 4: Tìm chữ sè tËn cïng cđa c¸c sè sau:

a)

7

5

234 b)579675

Bài 5: Tìm số lẻ liên tiếp có tận Hỏi tích có thừa số? Bài 6: Tích 2.22.23 210 52.54.56 514

TËn chữ số 0? Bài 7: Cho S = + 31+ 32 + 33 + + 330

Tìm chữ số tận S, từ suy S khơng phải số phơng Bài tập bổ sung

Chuyên đề 3 Số nguyên tố Hợp số

Ph©n tÝch mét sè thừa số nguyên tố I/ Kiến thức

1 Xác định số lợng ớc số:

Nếu M phân tích thừa số nguyên tố đợc M = ax.by cz số ớc M (x+1)(y+1) (z+1)

2 Khi ph©n tÝch thõa sè nguyên tố, số phơng chứa thừa số nguyên tố với số mũ chẵn

3 Tớnh cht chia hết liên qua đến số nguyên tố

NÕu tích ab chia hết cho số nguyên tố p a p b p. Đặc biệt nÕu anp th× ap

(4)

2 Cho A = + 52+53+ +5100. a) Sè A lµ số nguyên tố hay hợp số

b) Số A có phải số phơng không?

3 Số 54 có ớc? Viết tất ớc cđa nã? IV/ Bµi tËp

114. Tìm số nguyên tố a để 4a + 11 số nguyên tố nhỏ 30 115. Các số sau số nguyên tố hay hợp số?

a = 1.3.5.7 13 + 20 b = 147.247.347 – 13

116. Cho nN* Chøng minh r»ng sè 111 2111 hợp số n chữ số1 n chữ số1

117. Tìm số bị chia thơng phép chia:

9**:17 = **, biết thơnglà số nguyªn tè

upload.123doc.net. Cho a,nN*, biÕt an5 Chøng minh a2+150  25

119. a) Cho n lµ sè kh«ng chi hÕt cho Chøng minh r»ng n2 chia d 1.

b) Cho p lµ sè nguyên tốa lớn Hỏi p2 + 2003 số nguyên tố hay hợp số.

Bài 120. Cho n> không chia hết cho Chứng minh r»ng hai sè n2 – vµ n2 + 1

không thể đồng thời số nguyên tố Bài 121: Cho p số nguyên tố lớn

a) Chøng tá r»ng p cã d¹ng 6k + hc 6k +

b) BiÕt 8p + số nguyên tố, chứng minh 4p + hợp số

Bi 122: Cho p p + số nguyên tố (p  3) Hỏi p + 100 số nguyên tố hay hợp số?

Ph©n tÝch mét số thừa số nguyên tố

Bài 123: Phân tích số sau thừa số nguyên tố cách hợp lý nhất:

a) 700; 9000; 210 000

b) 500; 1600; 18 000

Bài 124: Mỗi sè sau cã bao nhiªu íc: 90 ; 540 ; 3675

Bài 125: Tìm ớc số:

a) 119 b) 625 c) 200

Bµi 126: TÝnh cạnh hình vuông biết diện tích lµ: a) 5929m2; b) 32400m2

Bµi 127: Tính cạnh hình lập phơng biết thể tích nã lµ 1728cm3.

Bài 128: Chứng minh số tự nhiên khác 0, có số lợng ớc số lẻ số tự nhiên mt s chớnh phng

Bài129: Tìm n N* biÕt:

a) + + + + 2n = 210 b) + + + + (2n – 1) = 225

Bµi tËp bỉ sung

1 Chøng tá c¸c sè sau hợp số:

A 676767 B 108 + 107 + 7 C 175 + 244 + 1321

D 311141111 E 10100-

2 Cho sè 360

a) Phân tích số 360 thừa số nguyên tè b) Sè 360 cã bao nhiªu íc

c) Tìm tất ớc 360

(5)

4 Chứng minh bình phơng số nguyên tố khác chia cho 12 d

5 T×m sè n  N*, cho n3 - n2 + n - lµ số nguyên tố.

Đ 13 Ước chung ớc chung lớn nhất I/ Kiến thức

III/ VÝ dơ: Tìm hai số nguyên tố biết tổng chúng 601

IV Bµi tËp

Bµi 130: Cho A tập hợp số nguyên tố B tập hợp hợp số

M tập hợp ớc 20 N tập hợp ớc 50 a) T×m A  B

b) T×m M N

Bài 131: Cho C tập hợp số chia hết cho D tập hợp số chia hết cho

Tìm C D

Bài 132: Tìm ƯCLN ƯC ba sè 432; 504 vµ 720

Bài 133: Một phịng hình chữ nhật kích thớc 630 x 480 (cm) đợc lát loại gạch hình vng Muốn cho hai hàng gạch cuối sát hai tờng liên tiếp không bị cắt xén kích thớc lớn viên gạch bao nhiêu? Để lát phịng cần bao nhiờu viờn gch?

Bài 134: Chứng minh số sau nguyên tố nhau: a) Hai số lẻ liên tiếp

b) 2n + 3n + (n  N)

Bµi 135: Cho (a, b) = 1, chøng minh r»ng: a) (a, a – b) =

b) (ab, a + b) =

Bµi 136: Cho a, b lµ hai sè tự nhiên không nguyên tố nhau, a = 4n + 3; b = 5n + (n  N)

Tìm (a, b)

Bài 137: ƯCLN hai số 45 Số lớn 270, tìm số nhỏ

Bài 138: Tìm hai số biết tổng chúng 162 ƯCLN chúng 18

Bài 139: Tìm hai số tự nhiên nhỏ 200 biết hiệu chúng 90 ƯCLN chúng 15

Bài 140: Tìm hai số biết tích chúng 8748 ƯCLN chúng 27

Bài 141: Cho a + 5b  (a, b  N) Chứng minh 10a + b  Mệnh đề đảo lại

có khơng?

Bài 142: Một số tự nhiên a lần số có tổng chữ số nh Chứng minh a :

Bài 143: Có 64 ngời tham quan hai loại xe: Loại 12 chỗ ngồi loại chỗ ngồi Biết số ngời vừa đủ số ghế ngồi, hỏi loại có xe?

1 Tìm số tự nhiên a, b để A = 4a1b chia hết cho 12

(6)

3 T×m hai sè tự nhiên a,b biết tích chúng 216 ƯCLN a,b Cho hai số nguyên tè cïng a vµ b

Chøng minh r»ng hai số 11a + 2b 18a + 5b nguyên tố có ớc chung lµ 19

5 Cho hai sè nguyen tè cïng Chøng inh r»ng tÝch ab vµ tỉng a + b chúng hai số nguyên tố

6 Tìm số tự nhiên a b để A = 25a2b chia hết cho 36 số B = a378b chia hết

cho 72

7 Trong buổi sinh họat ngoại khố có 252 em học sinh khối lớp ; 210 em khối 7; 126 em khối Ngời ta chia số học sinh khối vào nhóm Mỗi nhóm có đủ học sinh khối

Cã bao nhiªu cách thành lập nhóm, cách cho nhóm, nhóm có ngời số học sinh khối nhóm

Đ 14 Béi chung vµ béi chung nhá nhÊt I/ KiÕn thức

1 TÝch cña hai sè b»ng tÝch cña BCNN víi ¦CLN cđa chóng ab =BCNN(a,b).¦CLN(a,b)

2 NÕu lÊy BCNN(a,b) chia cho số a,b thơng chúng số nguyên tố

3 Nu a m a n a  BCNN(m,n) Từ suy ra:

- NÕu mét sè chia hÕt cho hai số nguyên tố chia hÕt cho tÝch cđa chóng

- Nếu số chia hết cho số nguyên tố đôi chia hết cho tích chúng

III/ Ví dụ: Tìm số tự nhiên nhỏ có ch÷ sè chia cho 18 ; 30; 45; cã số d lần lợt là: ; 20; 35

Giải

Gọi số phải tìm a Ta có: a + 10 chia hÕt cho 18; 30; 45 VËy a + 10  BC (18,30,45)

BC (18,30,45) = 2.32.5 = 90. Suy a + 10 = 90k ( kN*) Hay a = 90k – 10

Víi k = th× a = 80 (míi cã chữ số) Với k = 3thì a = 170 (có chữ số) Vậy số cần tìm 170

IV Bµi tËp:

Bài 144: Một xe lăn dành cho ngời tàn tật có chu vi bánh trớc 63cm, chu vi bánh sau 186cm Ngời ta đánh dấu hai điểm tiếp đất cảu han bánh xe Hỏi bánh trớc bánh sâuphỉ lăn vịng hai điểm đợc đánh dấu lại tiếp đất lúc

Bài 145: Ba học sinh, ngời mua loại bút Giá ba loại lần lợt 1200 đồng, 1500 đồng, 000 đồng Biết số tiền phải trả nh nhau, hỏi học sinh mua bút?

(7)

Bài 147: Một số tự nhiên chia cho 12, 18, 21 d Tìm số biết xấp xỉ 1000

Bài 148: Khối trờng có cha tới 400 học sinh, xếp hàng 10; 12; 15 d nhng xếp hàng 11 khơng d Tính số học sinh

Bài 149: Tìm hai số tự nhiên a vµ b biÕt: BCNN (a, b) = 300 ; ƯCLN (a, b) = 15

Bài 150: Tìm hai số tự nhiên a b biết tích chúng lµ 2940 vµ BCNN cđa chóng lµ 210

Bµi 151: Tìm hai số a b biết tổng BCNN với ƯCLN chúng 15

Bài 152: Tìm số tự nhiên a nhỏ có chữ sè cho chia cho 11 th× d 5, chia cho 13 d

Bài 153: Chứng minh a số lẻ không chia hết cho a2 : 6.

Bài 154: Chøng minh r»ng tÝch cđa sè tù nhiªn liên tiếp chia hết cho 120

Bài tập bổ sung

1.Tìm số tự nhiên bé chia cho 2; 5; 11 26 d Tìm số tự nhiên a, b biết

¦CLN(a,b) = BCNN(ab) = 105

3 Tìm số tù nhiªn nhá nhÊt chia cho d 6, chia cho 12 d 10, chia cho 15 d 13 cxhia hết co 23

4 Tìm hai số có chữ số biết tổng chúng bội 504 thơng số lớn chia cho số nhá lµ béi cđa

5 Cho BCN(a,b) = 60 a = 12 Tìm b?

6 Cho số A chia hết cho chia A ho hoặc d Tìm A biết A < 400

7 Tổng số học sinh khối cua trờng có khoảng từ 235 đến 250 em, chia cho d 2, chia cho d 3, chia cho d 4, chia cho d 5, chia 10 d tìm số học sinh khối

Chuyên đề 4

Nguyên lý Điriclê toán chia hết

Bài 155: Chứng minh 11 số tự nhiên bÊt kú bao giê còng cã Ýt nhÊt hai sè có hai chữ số tận giống

Bài 154: Chøng minh r»ng tån t¹i mét béi cđa 13 gồm toàn chữ số Bài 154: Cho d y sè : 10; 10· 2; 103; ;1020.

Chøng minh r»ng tån t¹i mét sè chia 19 d

Bài 158: Chứng minh tồn số bội 19 có tổng chữ số 19 Bài 159: Cho ba số lẻ Chứng minh tồn hai số có tổng chữ số 19 Bài 160: Cho ba số nguyên tố lớn Chứng minh tồn hai số có tổng hiÖu chia hÕt cho 12

Bài 161: Chứng minh ba số tự nhiên chọn đợc hai số có tổng chia hết cho

Bài 162: Cho bảy số tự nhiên bất kỳ, chứng minh ta ln chon đợc ba số có tổng chia hết cho

Bài 163: Cho năm số tự nhiên bất kỳ, chứng minh ta chọn đợc ba số có tổng chia hết cho

Bài 164: Cho số tự nhiên lẻ bất kỳ, chứng minh ta chọn đợc bốn số có tổng chia hết cho

(8)

Ôn tập chơng I

Bài 166: Thực phép tính cách hợp lý nhÊt a) 19 + 19 + +19 + 77 + 77 + +77

23 sè h¹ng 19 sè h¹ng b) 1000! (456.789789 – 789.456456)

Bài 167: Cho biểu thức 252 – 84: 21 + a) Tính giá trị biểu thức

b) NÕu dïng dÊu ngoặc có giá trị khác

Bài 168: Tìm x biết:

a) x + (x + 1) + (2+x) + +(x+30) = 1240 b) + + + +x = 210

Bài 169: Chiến thắng Đống Đa vào mùa xân năm 1978 Trong hệ đếm CAN CHI năm năm nào?

Bµi 170: Chøng minh:

a) 10n + 53 9 b) 4343 -1717 10

c) 555 chia hÕt cho 11 nhng kh«ngchia hÕt cho 125

2n chữ số

Bài 171: Tìm sè tù nhiªn nhá nhÊt sso cho chia nã cho 17 d ; chia nã cho d 12

Bài 172: Ngày tháng năm 2003 ngày thứ

a) Hỏi ngày tháng ; ngày tháng năm ngày thứ mấy? b) Ngày tháng nămm 2004 ngµy thø mÊy?

Bµi 173: Cho A = + 42 + 43 + + 423 + 424 Chøng minh :

A 20 ; A  21 ; A  420

Bµi 174: Cho n = 29k với k N Với giá trị k n : a) Số nguyên tố

b) Là hợp số

Bài 175: Tìm x, y N biÕt (x+1)(2y-5) = 143

Bµi 176: Cho a hợp số, phân tích thừa số nguyên tố chứa hai số nguyên tố khác p1 p2 Biết a3 có tất 40 ớc hỏi a2 có ớc ?

Bài 177: Tìm a N biÕt 355 chia a d 13 vµ 836 chia cho a th× d

Bài 178*: Một số tự nhiên chia cho d 5, chia cho 13 d Nếu đem số chia cho 91 d bao nhiêu?

Bµi 179: Cho c¸c sè 12 ; 18 ; 27

a) Tìm số lớn có chữ số chia hết cho số đó? b) Tìm số nhỏ có chữ số chia cho số d 1?

Tìm số nhỏ có chữ số chia 12 d 10 ; chia 18 d 16 ; chia 27 d 25? Bài tập bổ sung chơng I

Chơng II Số nguyên

(9)

I/ Kiến thức II/ Kiến thức nâng cao. III/ VÝ dơ:

IV Bµi tËp: Bµi 180 Bµi 180

Bµi 183: Cho A = {x  Z | x > -9} B = {x  Z | x < - 4}

C = {x  Z | x ≥ - 2} T×m A  B ; B  C ; C  A

Bài 181: Viết tập hợp ba số nguyên liên tiếp ú cú s

Bài 182: Số nguyên âm lớn có chữ số số nguyên âm nhỏ nhát có chữ số có phải số nguyên liên tiếp không?

Bài 186: Tìm giá trị thích hợp a b: a) a00> -111

b) a99 > - 600 c)cb3 < cba d) -cba<c85

Bài 187: Cho ba số nguyên a;b;0 biết a số âm a<b H y xếp sốã theo thứ tự tăng dần

Bài 188: Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng, mệnh đề sai? a) Nếu a = b | a | = | b |

b) NÕu | a | = | b | th× a = b c) NÕu | a | < | b | a < b Bài 189: T×m x biÕt:

a) | x | + | - | = | 37 | b) | -6 |.|x| = 54

Bài 190: Tìm x, y, z  Z biÕt : | x | + | y | + | z | = Bài 191: Tìm x  Z, biÕt:

a) | x | < 10 c) | x | > -3 b) | x | > 21 d) | x | < -1

Đ Phép cộng hai sè nguyªn. TÝnh chÊt phÐp céng hai sè nguyªn I/ Kiến thức

III/ VÝ dơ: TÝnh tỉng S = (-351) + (-74) + 51 + (-126) + 149 IV Bµi tËp:

192 Cho x  {-3; -2; -1; 0; 1; 2; ; 10} y  { -1 ; 1; 0; 1; ; 5}

(10)

193. TÝnh nhanh :

a) -37 + 54 + (-70) + (-163) + 256 b) – 359 + 181 + (-123) + 350 + (-172) c) – 69 + 53 + 46 + (-94) + (-14) +78

194. TÝnh tæng số nguyên x biết: a) 17 x  18

b) |x| < 25

195. Cho S1 = + (-3) +5 +(-7) + +17

S2 = -2 +4 +(-6) + +(-18)

TÝnh tæng S1 + S2

196. Cho x vµ y lµ số nguyên tố có chữ số Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ tổng x + y

197. Chứng minh số đối tổng hai số tổng hai số đối chúng

198.Cho |x| = ; |y| = 11 TÝnh x + y

199*. Cho x, y lµ hai sè nguyªn cïng dÊu TÜnh + y biÕt |x| + |y| = 10

200. TÝnh tæng :

a) S1 = a + |a| víi a  Z

b) S2 = a + |a| + a + |a| + + a víi a  Z- vµ cã 101 sè h¹ng

201*. Cho 18 số nguyên cho tổng số số số âm Giải thích tổng 18 số số âm? Bài tốn cịn khơng thay 18 số 19 số

§ PhÐp trõ hai sè nguyên I/ Kiến thức

II/ Kiến thức nâng cao. III/ Ví dụ:

IV Bài tập:

202. Cho a b giá trị bảng sau Tìm hiệu a b Không cần thực hiÖn phÐp tÝnh cho biÕt b – a

a b a-b b-a

77 55

-29

-13 -6

0 -19

203. T×m x biÕt (x + 153) – (48 – 193) = – – – 204. Cho |x| = ; |y| = 20 víi x, y  Z TÝnh x – y

205. Cho |x|  3; |y|  víi x,y  Z BiÕt x – y = Tìm x y ?

206. Tìm x  Z biÕt :

a) |x + 8| = b) | x+ a | = a víi a  Z

207. T×m x  Z , biÕt: < | x – 2| <

208. T×m x, y  Z, biÕt | x + 35 – 40 | + | y + 10 – 11| 

(11)

210. Cho x  {-2 ; -1; ; 1; ; 11} y  { -89; -88; - 87; ; -1; ; 11}

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị hỏ nhÊt cña x – y

211. Cho x, y  Z

a) Với giá trị x biểu thức A = 1000 - |x + 5| có GTLN, tìm GTLN b) Với giá trị y biểu thức B = |y - 3| + 50 có GTNN, tìm GTNN c) Với giá trị x, y biểu thức

C = | x – 100 | + | y + 200 | - có GTNN, tìm GTNN

Đ 4.Quy tắc chuyển vế Quy tắc dấu ngoặc I/ Kiến thức

II/ Kiến thức nâng cao. IV Bài tập:

212. TÝnh hỵp lý:

a) -2003 + (-21+75 + 2003) b) 1125 – ( 374 + 1125) + (-65 +374) 213. Đặt dấu ngoặc cách hợp lý để tính tổng đại số sau:

a) 942 – 2567 + 2563 – 1942

b) 12 - 12 + 11 + 10 - + - + - + + -1 214. T×m x biÕt:

a) 416 + ( x – 45) = 387 b) 11 – (x + 84) = 97 c) - (x + 84) + 213 = - 16 215. Chứng minh đẳng thức:

a) - (- a + b + c) + ( b + c – 1) = (b –c + 6) – ( – a + b) + c 216. Cho A = a + b – 5; B = - b – c +

C = b – c – 4; D = b – a Chøng minh A + B = C – D

217. Cho a > b ; TÝnh |S| biÕt:

S = - ( a – b – c ) + ( - c + b + a) – ( a + b)

218. Cho M = a + b – vµ N = b + c – BiÕt M > N hỏi hiệu a c dơng hay âm ?

219. Viết số nguyên vào đỉnh năm cánh cho tổng hai số hai đỉnh liền – Tìm số ngun đó?

Đ Phép nhân hai số nguyên I/ Kiến thức

(12)

1- Luỹ thừa bậc chẵn số nguyên âm số nguyên dơng - Luỹ thừa bậc lẻ số nguyên âm số nguyên âm a  b  ac  ab nÕu c >

a  b  ac  ab nÕu c <

3 Giá rị tuyệt đối tích tích giá trị tuyệt đối: | a b| = |a|.|b|

4 Víi a  Z a2 ( dấu = xảy chØ a = ) III/ VÝ dơ: T×m a, b  Z biÕt a,b = 24 vµ a + b = - 10

Gi¶i Ta thÊy ab > nªn a, b cïng dÊu

a + b = -10 nên a, b dấu âm

Do a b = 24 = (-1).(-24) = (-2).(-12)= (-3).(-8) = (-4).(-6) Trong trờnghợp có (-4) + (-6) = -10

VËy a = - 4; b = -6 hc a = - 6; b = -

Ví dụ 2: Tìm tất cặp số nguyên cho tổng tích Giải

Gọi hai số cần tìm x y Ta cã xy = x + y

 xy – x – y =

 xy – x – y + =

 x(y – 1) – (y – 1) =

 (y – 1)(x – 1) = 

1 1 1 y x

y x

    



   

 

2; 0; x y x y

 

 

 



IV Bµi tËp:

220. T×m x  Z biÕt: a) x(x+3) =

b) (x – 2)(5 – x) = c) (x-1)(x2 + 1) = 0

221. Thu gän c¸c biĨu thøc sau:

a) 7x – 19x + 6x b) –ab – ba

222. Cho A = (5m2 8m2 9m2)(-n3 + 4n3) Với giá trị m n A 223. T×m x biÕt:

a) – 12(x – 5) + 7(3 – x) = b) 30(x + 2) – 6(x – 5) – 24x =100 224. T×m x  Z biÕt:

a) | 2x – | = 13 b) 7x + 3| = 66 c) | 5x – 2|  225. T×m x  Z biÕt:

a) (x – 3) (2y + 1) = b) (2x + 1) (3y – 2) = - 55 226 T×m x  Z cho :

(x- 7) (x + 3) <

(13)

a) 125.(-61).(-2)3.(-1)2n (n N*) b) 136.(-47) + 36.(-304)

c) (-48).72 + 36.(-304) 228. T×m x  Z biÕt:

a) (x +1) + ( x+3) + (x + 5) + + (x + 99) = b) (x -3) + ( x - 2) + (x - 1) + + 10 + 11 = 229. Cho m n số nguyên dơng:

A =

2+4+6+ +2m

m B =

2+4+6+ +2n n BiÕt A < B h y so sánh m n Ã

230*. Cho 16 s ngun Tích số ln số âm Chứng minh tích 16 số l mt s dng

231. Bỏ dấu ngoặc thu gän biÓu thøc: a) (a + b)(a + b)

b) (a – b)(a – b) c) (a + b)(a – b)

232. Chứng minh số nguyên liên tiếp bình phơng số hn tich hai số đơn vị

233. Cho a = - 20 ; b – c = - 5, h y t×m A biÕt · A2 = b(a – c) – c(a – b)

234. Biến đổi tổng thành tích:

a) ab – ac + ad b) ac + ad – bc – bd 235. Cho a, b , c  Z BiÕt ab – ac + bc – c2 = -1

Chứng minh a b hai số đối 236*. Tìm x, y  Z biết :

a) xy + 3x – 7y = 21 b) xy + 3x – 2y = 11

 

Đ Bội ớc số nguyên I/ Kiến thức

1 Các tính chất chia hết (hay khơng chia hết) số tự nhiên với số nguyên

2 Nếu alà bội b - a bội b Nếu b ớc a -b ớc a Do số ngun m có k ớc tự nhiên có thêm k ớc âm (đó số đối ớc tự nhiên)

3 Chó ý:

- Trong tập hợp số Z , số chia d 1; d đợc biểu diễ công thức 3k + 1; 3k + gộp lại 3k 

- Số lẻ đợc viết 2k + 2k – III/ Ví dụ:

IV Bµi tËp:

(14)

a) 54 ; b) – 196

238. Chøng minh r»ng nÕu a b th× |a| |b|

239. Víi n Z, số sau chẵn hay lẻ? A = (n – 4)(n – 15) B = n2 – n –

240. Co a, b , x , y  Z x , y không đối Chứng minh ax – by  x+ y ay – bx  x + y

241. Tìm giá trị nguyên dơng nhỏ 10 x y cho 3x 4y = -21 (Phơng trình Điôphăng)

242. Cho S = – + 32 – 33 + + 398 – 399. a) Chứg minh S bội – 20 b) Tính S, từ suy 3100 chia cho d 1.

243. Tìm số nguyên dơng n cho n + ớc 111 n – bội 11 244. Tìm n  Z để;

a) 4n – n

b) -11 lµ béi cđa n – c) 2n – lµ íc cđa 3n + 245. T×m n  Z cho :

n – bội n + n + bội n – 246*. Tìm n  Z để:

a) n2 – lµ béi cđa n + 3 b) n + lµ béi cđa n2 –    

Đ Ôn tập chơng II Ví dụ: Tìm x, y, z biÕt :

x – y = - ; y – x = 10 ; z + x = 11 VÝ dô: Cho x  Z h y so sánh xÃ 2 x3

Chỳ ý: để so sánh A B ta thờng xét hiệu A – B Nếu A – B > A > B ; Nếu A – B < A < B

Bµi tËp:

247. Tính giá trị biể thức A với x = - 43; y = 17 A = - 125(x + x + + x – y – y – – y)

(x cã sè h¹ng, y cã sè h¹ng)

248. Cho biểu thức B = 10 100 H y điền vào cá ô trống dấu phépã tính cộng, trừ, nhân , chia thêm dấu ngoặc (nêu cần) để B số nguyên lớn nhất, số nguyên nhỏ

249. T×m x  Z biÕt  |x|  250. T×m x  Z

a) – 3x + = 41 b) 52 - | x | = 80 c) |7x + 1| = 20 251. Cho A = {6 ;7; 8; } ; B = { - 1; - 2; - 3; 4; 8}

a) Có hiệu dạng a b với a  A; b  B b) Cã bao nhiªu hiƯu chi hÕt cho

c) Cã bao nhiªu hiƯu số nguyên âm ?

(15)

253. T×m x  Z biÕt (x + 5)(3x – 12) >

254. T×m x  Z biÕt (x3+ 5)(x3 + 10)(x3 + 30) < 255. T×m x, y  Z biÕt (x – 7)(xy + 1) =

256. Cho a, b, c, d Z

BiÕt tÝch ab lµ sè liỊn sau cđa tÝch cd vµ a + b = c + d Chøng minh r»ng a = b

257. Tìm hai số nguyên mà tích chúng hiệu chúng Chun đề Phơng trình Điơphăng

I/ KiÕn thøc c¬ II/ Ví dụ:

Ví dụ: Tìm hai số tự nhiên x y cho 2x + 5y = 19

Cách 1: Vì x,y N  5y ≤ 19  y <

Mặt khác 19 số lẻ nên 2x + 5y số lẻ 2x số chẵn 5y số lẻ:

Do ú y = hoc y = Với y = ta có: 2x + 5.1 = 19

2x = 14 x = Víi y = 3, ta cã: 2x + 5.3 = 19

2x = x =

VËy víi x = vµ y = ; x = y = Cách 2: Từ (1) ta cã:

x =

19 - 15y

2 = 10 - 3y + y -

2 §Ĩ x  N th×

y-1

2  N hay y = 2n + với n  N, x = – 5n ≥

 n = n = Tơng ứng ta đợc x, y

Ví dụ 2: Trăm trâu trăm cỏ Trâu đứng ăn năm, trâu nằm ăn ba, lụ khụ trâu già, ba bó Hỏi số trâu loi?

Bài tâp:

Chơng III Phân số

Bài Mở rộng khái niệm phân số Hai phân số I/ Kiến thức

II/ KiÕn thøc n©ng cao. III/ VÝ dơ: T×m x, y  Z biÕt :

x

=

15 y vµ x < y <

IV Bµi tËp:

(16)

-5

7 ;

43

1 ;

5

a - 3 (a Z) ;

9

a 5 (a Z) ;

7: 2a

10 (a Z)

259 Cho n  N, hỏi sau n kim gìơ quay đợc vịng? Với giá trị n vịng quay số tự nhiên

260 Viết phân số dới dới dạng phân sè cã mÉu sè d¬ng, biÕt a Z

-4 ;

-

a - víi a < 3 ;

6 - a -

261 Từ ba số 2, 10, 50, có số đợc dùng hai lần h y viết cặp phânã số

262 Trong phân số sau, phân số b»ng nhau?

15 -17 28

; ; ; ;

60 15 -20 12

263 T×m x  Z , biÕt : a)

111 91

< x <

37 13 b)

-84 108

< 3x <

14

264 Cho A =

3n - 5 n + 4

Tìm x  Z để A có giá trị ngun

265 Tìm n  Z để phân số sau có giá trị nguyên:

15 8

12 ; n ;

n-2 n+1

266 T×m x  Z, biÕt : a)

8 x - =

9 3 b) - x = 9 - 4 x c) x = 4 x + 118 267 T×m x, y  Z biÕt:

a)

9 x = 7

y vµ x > y b)

y - = x

5 vµ x < y < 0 268 T×m x, y  Z biÕt:

4 x - = y - 3

3 vµ x y = 5

Bài Tính chất phân số Rút gọn phân số I/ Kiến thức

II/ Kiến thức nâng cao. III/ VÝ dơ:

IV Bµi tËp:

Bài Quy đồng mẫu số nhiều phân số So sánh phân số I/ Kiến thức

(17)

III/ VÝ dơ: IV Bµi tËp:

Đ Chuyên đề

Một số phơng pháp đặc biệt để so sánh hai phân số Bài Phép cộng phân số Tính chất phép cộng phân số I/ Kiến thức

IV Bài tập:

Bài Phép trừ phân số I/ Kiến thức II/ Kiến thức nâng cao. III/ VÝ dơ:

IV Bµi tËp:

Bµi Phép nhân phân số Tính chất phép nhân phân số I/ Kiến thức

IV Bµi tËp:

Bài Chuyên đề : Tổng phân số viết theo quy luật I/ Kiến thức

IV Bµi tËp:

IV Bài tập:

Bài 10 Hỗn số Số thập phân Phần trăm I/ Kiến thức

(18)

Bài 11 Ba toán phân số I/ Kiến thức

IV Bµi tËp:

Đ 12 Chuyên đề

Tốn cơng việc làm đồng thời I/ Kiến thức

IV Bµi tËp:

Bài 13 Chun đề Tốn tính tuổi. I/ Kiến thức

IV Bài tập:

Đ 14 Ôn tập chơng



1 Cho A = x x+

(19)

a) Có giá trị số nguyên b) A có giá trị lớn Tìm cặp số nguyên (x;y) biết;

a) x -19 +1

3=

y+2 b)

3x +1

18 + 2y

12 =

9 vµ x - y = -1

3 Cho A = 2x 2x−+1 Tìm x  Z để:

a) A phân số ? b) A số ngun c) Tìm x để A có giá trị lớn nhất, nhỏ nhất? Tìm số nguyên x biết;

a) −x

2 + 2x

3 +

x+1

4 + 2x+1

6 =

8 b) 2x+1+

10 4x+2−

6 6x+3=

12 26

5 Chøng minh a) 12<

51+ 52+ +

1

100<1 b) 12<

1 21+

1 22+ +

1 40<

5 6 Cho S =

15+ 16+ +

6 19

+3 Tìm n  Z để: a) A s nguyờn

b) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ A? Tìm hai số nguyên a b biÕt r»ng :

a

7− 2=

1

b+1

9 a) Chøng minh: 1a−

a+n=

n a(a+n)

S1 = 1 21 +2 31 + +99 1001 S2 = 1 54 +5 94 + +2001 20054

S3 =

10 12+

12 14+ + 999 1000 10 T×m xN cho

5 6+

5

6 11+ +

5

(5x+1)(5x+6)=

2005 2006

11 Cho P = 1 32 +

3 5+ +

2

(2n+1)(2n+3)

Chøng minh P < 1,  n N*

12 a) Chøng minh  n N, n > ta cã n-11 −1 n>

1

n2>

1 n-1+

1

n

b) áp dụng câu (a) h y chøng minh · 99100>

22+

1 32+ .+

1 1002>

99 202 13 Tính giá trị biểu thức : S = 1 41 +

4 7+ + 2002 2005

¸p dơng tÝnh:

P = 1 63 +

6 11+ +

96 101 Q = 1 3+

1

(20)

A = 1+ 12+

22+

1 23+ +

1

22006 B = −

1 3+

1 32−

1 33+ +

1 3100−

1 3101

C =

1+1

3+ 5+ +

1 999

1 999+

3 997+ + 997 3+

1 999

15 Chøng minh r»ng: a)

52+

1 63+ .+

1 20072<

1

4 b)

1 52+

1 63+ .+

1 20072>

1

Phßng GD

Quận Cầu giấy Đề KTCL Học sinh giỏi vòng II năm 2005 - 2006Môn Toán - thời gian 120 phút

Bài 1( 4đ): Tính nhanh:

A = + - -7 + + 11 - 397 - 399 B = 2100 - 299 - 298 - - 22 - 21 - 1

Bài (4đ):

S 36 chia cho s nguyên a trừ a Lấy kết chia cho a trừ a Lại lấy kết chia cho a trừ a Cuối cựng c s -a Tỡm s a?

Bài 3(3đ):

(21)

85357 H y tìm số nguyên cho tử số cộng với số đóã mẫu số trừ số ta đợc phân số 76

Bài ( 6đ):

Cho góc BOC 750 A điểm nằm góc BOC BiÕt gãc BOA b»ng

400.

a) TÝnh gãc AOC

b) Vẽ OD tia đối OA So sánh hai góc BOD COD



≤≥±

 ± 

1) Cho biểu thức A = 22n −n+24 với n Z a) Với giá trị A A phân số b) Tìm giá trị A để A số nguyên Rút gọn phân số :

a) M =

4

275.36 34

38 814 234 82 b) N =

46 95+69 120

84.312611 Cho hai phân số 1n n1

+1 (n  Z n > 0) Chøng tá r»ng;

1

n

1

n+1 =

1

n

-1

n+1

¸p dơng tÝnh: a)

2 + +

1

99 100 b) B = 30 +

1 42 +

1 56 +

1 72 +

90 + 110 +