Viết phương trình các tiếp tuyến kẻ đến đồ thị (C), biết rằng các tiếp tuyến này đi qua điểm A(0; 2).. Câu II.[r]
(1)TRƯỜNG THPT CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH
ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2009 MÔN TOÁN– KHỐI D
(Thời gian làm bài: 180 phút) PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I (2,0điểm)
Cho hàm số yx42x22
1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số
2 Viết phương trình tiếp tuyến kẻ đến đồ thị (C), biết tiếp tuyến qua điểm A(0; 2)
Câu II (2,0điểm)
1 Giải bất phương trình:
2 2log log
2x 3.2x x x 1
2 Giải phương trình:
2 2
2
s inx+cosx sin
sin sin
1 cot 4
x
x x
x
Câu III (1,0điểm) Tính tích phân:
1
1 x x
I dx
x
Câu IV (1,0điểm)
Cho hình chóp S.ABC cóđáy tam giácđều cạnh a, tam giác SAC cân S, góc SBC
60 , mặt phẳng (SAC) vng góc với mặt phẳng (ABC) Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC
Câu V (1,0điểm) Tìm mđể phương trình sau có nghiệm thực: x3x2 x m x 212 0 PHẦN RIÊNG (3,0 điểm)
Thí sinh chỉ làm một hai phần (phần phần 2)
1 Theo chương trình Chuẩn:
Câu VI.a (2,0điểm) Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho cácđiểm 1; 1; , 1; 1; , 2; 2;1 , 1;1;1
A B C D
1 Tính góc khoảng cách cácđường thẳng AB CD
2 Giả sử mặt phẳng qua D cắt ba trục toạ độOx, Oy, Oz tươngứng điểm M, N, P khác gốcO cho D trực tâm tam giác MNP Hãy viết phương trình mặt phẳng
Câu VII.a (1,0điểm)
Cho a, b, c số thực dương thoả mãn ab + bc + ca = Chứng minh rằng:
2 2
1 1
1a b c 1b a c 1c b a abc
2 Theo chương trình Nâng cao: Câu VI.b (2,0điểm)
Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho cácđiểm
1; 1; , 1; 1; , 2; 2;1 , 1;1;1 , 4; 2;1
A B C D E
1 Tính góc khoảng cách cácđường thẳng AB CD
2 Giả sử mặt phẳng qua E cắt tia Ox M, tia Oy N, tia Oz P Viết phương trình mặt phẳng tứ diện OMNP tích nhỏ
Câu VII.b (1,0điểm) Tìm hệ số của x khai triển10 10
3
1 x x x
(2)-TRƯỜNG THPT CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH TỔ TOÁN
ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM
ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2009
MƠN TỐN– KHỐI D
Câu Đáp án Điểm
I 2,00
Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số (1,00điểm)
2
yx x Tập xác định D
Sự biến thiên: y'4x34x4x x 21
0
' 1
1 x
y x x x
x
0,25
Bảng biến thiên
x – – + y’ – + – +
y + +
0,25
1 1 1, CD 0
CT
y y y y y
0,25
Đồ thị:
0,25
–1 x
y
2
(3)2 Viết phương trình tiếp tuyến(1,00điểm)
Phương trìnhđường thẳng (d)đi quađiểm A 0; có hệ số góc k là:
ykx
(d) tiếp tuyến đồ thị (C) HPT:
3
2 2
4
x x kx
x x k
có nghiệm
Từ (1) (2) suy ra:
4
4
2
2
2 4
3
0
2
3
x x x x x
x x
x x
x x
0,25
0,25
* Với x = 0, thay vào (2) tađược k = 0, ta có PTTT d1 :y2 * Với
3
x , thay vào (2) tađược
k ,
ta có PTTT 2 :
d y x
* Với
x , thay vào (2) tađược
k ,
ta có PTTT 3 :
d y x
0,50
II 2,00
1 Giải bất phương trình (1,00điểm)
2
2log log
2x 3.2x x x 1 1
Điều kiện: x > (*)
Khiđó: 2x 3.2x 2x 1
0,25
1 2 log2 log2 6 log22 3.2 0 2
x x
x x
Vì 2x 3.2x 2x 1, nên log22 3.2 0
x x 0,25
Dođó
2 2
2 2 log xlog x6 0 log x log x6
2
6 6 0 2 3
x x x x x x
0,25
Đối chiếu với điều kiện (*), tađược x >
(4) 2 2
s inx+cosx sin
sin sin
1 cot 4
x
x x
x
Điều kiện: s inx0 *
PT 1 1 s inxcosx sin2 .sin2 2.2 os s inx 1
2
x x c x
0,25
sin os2x sin os s inx
x c x c x
2 os sin os
4
c x x c x
s inx 0,sin2x+cos2x= os
c x
0,25
3
2
os 4 2 8 2
4
.2
s inx=1
2
x k
x k
c x
x m x m
0,25
Đối chiếu điều kiện (*) ta có nghiệm phương trình là:
3
; ,
8 2
x k x m k mZ
0,25
III Tính tích phân 1,00
2
1
1 x x
I dx
x
Đặt t x 1 x t2 1;dx2tdt
0,25 Đổi cận: x 1 t 0;x 2 t
2
2
2
4 t t
I dt
t
0,25
1
0
5
2
2
t dt
t t
0,25
1
0
2 32
2 5 ln 10 ln
3
t t
t
t
0,25
IV Tính thể tích 1,00
A
S
C
(5)Gọi H trungđiểm AC, suy SH ABC
0,25 Áp dụng định lí hàm số cơsin tam giác SBC:
2 2
SC SB a a SB
2
2
4 a
SC SH
2
2
4 a
SB SH (2)
0,25
Từ (1) (2) suy ra:
2
3
2 2
a a a
a SB SB SH 0,25
Dođó
2
1
3
S ABC
a a a
V SH dt ABC 0,25
V Tìm mđể phương trình sau có nghiệm thực 1,00
2
3 2
1 x x x m x
2
1
x x x
m x
2 2
2 2
2
1
1
1
x x x x x
m
x
x x
0,25
Đặt 2
1 x t
x
,
1
2 t
Ta có phương trình :t2 t m 2
0,25
Xét hàm số f t t2 t, với 1; 2 t
Ta có f ' t 2t với 1; 2 t
,
nên f(t) đồng biến 1; 2
0,25
Do tập giá trị f(t) 1
2 4
f f t f f t
Vậy phương trình (1) có nghiệm thực phương trình (2) có nghiệm thuộc đoạn 1;
2
,
1
4 m
0,25
VI.a 2,00
1 Tính góc khoảng cách haiđường thẳng (1,00điểm) Ta có AB2; 0; , CD 3;3; 0
Ta có
1
os AB,CD os AB,
AB CD
c c CD
AB CD
Vậy góc AB CD 60
(6)
2; 0; , 3;3; , 3; 1;1
, 6; 6; , ,
AB CD AC
AB CD AB CD AC
0,25
,
,
3 108 ,
AB CD AC d AB CD
AB CD
0,25
2 Viết phương trình mặt phẳng (1,00điểm)
Xét cácđiểm M m ; 0; , N 0; ; ,n P 0; 0;p với mnp0
Ta có
1; 1; , ; ;
1; 1; , ; 0;
DP p NM m n DP NM m n
DN n PM m p DN PM m p
0,25
Phương trình mặt phẳng qua cácđiểm M, N, P là: x y z m n p Vì D nên 1 1
m n p
0,25
D trực tâm tam giác MNP khi:
DP NM DP NM
p n m
DN PM DN PM
0,25 Dođó m 3,n p
Vậy Phương trình mặt phẳng là: 3 x y z
0,25
VII.a Chứng minh bất đẳng thức 1,00
Áp dụng bất đẳng thức Cauchyta có: 2
3ab bc ca 3 abc abc1 0,25
2
1 a b c abc a b c a bc ab ac 3a
0,25
2
1
1 a b c 3a
Chứng minh tương tự ta :
2
1
1b a c 3b, 2
1
1c b a 3c
0,25
Cộng bất đẳng thức vế theo vế ta được:
2 2
1 1 1
1a b c 1b a c 1c b a 3a3b3c
3
3
bc ca ab
abc abc abc
(7)VI.b 2,00 Tính góc khoảng cách haiđường thẳng (1,00điểm)
Ta có AB2; 0; , CD 3;3; 0
Ta có
1
os AB,CD os AB,
AB CD
c c CD
AB CD
Vậy góc AB CD 60
0,50
2; 0; , 3;3; , 3; 1;1
, 6; 6; , ,
AB CD AC
AB CD AB CD AC
0,25
,
,
3 108 ,
AB CD AC d AB CD
AB CD
0,25
2 Viết phương trình mặt phẳng (1,00điểm)
Xét cácđiểm M m ; 0; , N 0; ; ,n P 0; 0;p với 0, 0,
m n p
Phương trình mặt phẳng qua cácđiểm M, N, P là:
x y z
m n p
0,25
Vì E4; 2;1 nên 1 4np 2mp mn mnp 1
m n p 0,25
2 2 2
3
1
36
6
OMNP OMNP
np mp mn
V mnp m n p m n p V
0,25 dấu xảy : 4np = 2mp = mn (2)
Kết hợp (1) (2) ta tìmđược: m = 12 ; n = ; p = VậyPhương trình mặt phẳng là:
12 x y z
0,25
VII.b Tìm hệ số của 10
x 1,00
Ta có:
10 10
10
3 3
10
1 k k
k
x x x C x x
x
0,25
10
1
10
0
k k i i
k i
k
k i
C C x x
10
10
0
k
k i k i
k
k i
C C x
0,25
Ta xét số hạng chứa x , khi10 k 4i 10, với 0 k 10 0 i k