Đang tải... (xem toàn văn)
Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A'B'C' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, B'C... PHẠM HỒNG DANH – TRẦN VĂN TOÀN Trung tâm Bồi dưỡng văn hóa và Luyện thi đại học Vĩnh Viễn[r]
(1)ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2008 Môn thi: TOÁN, khối D (Thời gian làm bài: 180 phút) PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH Câu I (2 điểm) Cho hàm số y = x3 - 3x2 + (1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) Chứng minh đường thẳng qua điểm I (1;2) với hệ số góc k (k > - 3) cắt đồ thị hàm số (1) ba điểm phân biệt I, A, B đồng thời I là trung điểm đoạn thẳng AB Câu II (2 điểm) Giải phương trình 2sinx(1+cos2x) + sin2x = + 2cosx ⎧⎪ xy + x + y = x − 2y 2 Giải hệ phương trình ⎨ (x, y ∈ ) ⎪⎩ x 2y − y x − = 2x − 2y Câu III (2 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho bốn điểm A(3;3;0), B(3;0;3), C(0;3;3), D(3;3;3) Viết phương trình mặt cầu qua bốn điểm A, B, C, D Tìm toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Câu IV (2 điểm) ln x Tính tích phân I = ∫ dx x Cho x, y là hai số thực không âm thay đổi Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ biểu (x − y)(1 − xy) thức P = (1 + x) (1 + y) PHẦN RIÊNG Thí sinh làm câu : V.a V.b Câu V.a Theo chương trình KHÔNG phân ban (2 điểm) −1 Tìm số nguyên dương n thoả mãn hệ thức C12n + C32n + + C2n = 2048 (Ckn là số tổ hợp 2n chập k n phần tử) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho parabol (P) : y2 = 16x và điểm A(1; 4) Hai điểm phân biệt B, C (B và C khác A) di động trên (P) cho góc BAC = 900 Chứng minh đường thẳng BC luôn qua điểm cố định Câu V.b Theo chương trình phân ban (2 điểm) x − 3x + ≥0 Giải bất phương trình log x 2 Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông, AB = BC = a, cạnh bên AA ' = a Gọi M là trung điểm cạnh BC Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' và khoảng cách hai đường thẳng AM, B'C Lop12.net (2) BÀI GIẢI GỢI Ý PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH Câu I (2 điểm) D = R y' = 3x2 - 6x = 3x(x - 2), y' = ⇔ x = 0, x = y" = 6x - 6, y" = ⇔ x = x -∞ +∞ I y' + - + y" - + + y +∞ -∞ d : y - = k(x - 1) ⇔ y = kx - k + Pthđgđ : x3 - 3x2 + = kx - k + ⇔ x3 - 3x2 - kx + k + = ⇔ (x - 1)(x2 - 2x - k - 2) = ⇔ x = ∨ g(x) = x2 - 2x - k - = Vì Δ' > và g(1) ≠ (do k > - 3) và x1 + x2 = 2xI nên có đpcm Câu II (2 điểm) Pt ⇔ 4sinxcos2x + 2sinxcosx - - 2cosx = ⇔ 2cosx(2sinxcosx - 1) + (2sinxcosx - 1) = ⇔ (2sinxcosx - 1)(2cosx + 1) = ⇔ sin2x = ∨ cosx = − π 2π ⇔ x = + kπ ∨ x = ± + k2 π (k ∈ ) ĐK: x ≥ và y ≥ xy + x + y = x − 2y ⇔ (x + y)(x - 2y - 1) = ⇔ x = - y ∨ x = 2y + * Th.1 : x = - y Vì y ≥ nên x ≤ (loại vì x ≥ 1) * Th.2 : x = 2y + vào pt x 2y − y x − = 2x − 2y ta : (2y + 1) 2y − y 2y = 2y + ⇔ (y + 1)( 2y − 2) = ⇔ y = - (loại) ∨ y = Vậy hệ có nghiệm : x = 5; y = Câu III (2 điểm) Pt mặt cầu (S) : x2 + y2 + z2 - 2ax - 2by - 2cz + d = (S) qua A, B, C, D ⇔ 18 - 6a - 6b + d = và 18 - 6a - 6c + d = và 18 - 6b - 6c + d = và 3 27 - 6a - 6b - 6c + d = ⇔ a = ; b = ;c = ;d = 2 Vậy pt (S) : x2 + y2 + z2 - 3x - 3y - 3z = uuur uuur mp (ABC) qua A và có VTPT là [AB, AC] = (-9;-9;-9) nên có pt x + y + z - = 3 ⎛ 3 3⎞ d qua tâm I ⎜ ; ; ⎟ (S) và ⊥ với mp (ABC) có pt : x = + t, y = + t, z = + t 2 ⎝2 2⎠ Tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABC chính là giao điểm H d và mp(ABC) ⇒ H (2; 2; 2) Câu IV (2 điểm) dx dx , dv = chọn v = − x x 2x 1 I = − ln x 12 + ∫ dx = − ln + 16 2x 2x 1 Đặt u = ln x ⇒ du = π Đặt x = tgu, y = tgv với u, v ∈ [0; ) Lop12.net (3) (tgu − tgv)(1 − tgutgv) sin(u − v) cos(u + v) sin 2u − sin 2v = = 2 2 (1 + tgu) (1 + tgv) (sin u + cos u) (sin v + cos v) (1 + sin 2u)(1 + s in2v) 1⎛ 1 ⎞ = ⎜ − ⎟ ⎝ + s in2v + s in2u ⎠ 1⎛ 1 ⎞ π − Pmax = ⎜ ⎟ = u = và v = ⇔ x = và y = ⎝1+ 1+1⎠ 1⎛ 1 ⎞ π Pmin = ⎜ − ⎟ = − u = và v = ⇔ x = và y = ⎝1+1 1+ ⎠ Cách khác : x − x y − y + xy x(1 + y ) − y(1 + x ) x(1 + 2y + y ) − y(1 + 2x + x ) = = P= (1 + x) (1 + y) (1 + x)2 (1 + y) (1 + x) (1 + y) x y a − , mà ≤ = ≤ (∀a ≥ 0) 2 (1 + x) (1 + y) (1 + a) 1 nên : Pmax = x = ; y = và Pmin = − x = ; y = 4 P= PHẦN RIÊNG Thí sinh làm câu : V.a V.b Câu V.a Theo chương trình KHÔNG phân ban (2 điểm) 2n −1 2n (1 + x) 2n = C02n + xC12n + x 2C2n + x 3C32n + + x 2n −1C2n + x 2n C2n x=1: −1 2n 22n = C02n + C12n + C22n + C32n + + C2n 2n + C 2n (1) −1 2n x = - : = C02n − C12n + C22n − C32n + − C2n 2n + C 2n (2) −1 12 ⇔ n = (1) - (2) : 22n = 2(C12n + C32n + + C2n 2n ) = 4096 = ⎛ b2 ⎞ ⎛ c2 ⎞ B, C ∈ (P) ⇒ B ⎜ ; b ⎟ ,C ⎜ ;c ⎟ (b ≠ c, b ≠ 4, c ≠ 4) ⎝ 16 ⎠ ⎝ 16 ⎠ uuur ⎛ b ⎞ uuur ⎛ c ⎞ AB = ⎜ − 1; b − ⎟ , AC = ⎜ − 1;c − ⎟ ⎝ 16 ⎠ ⎝ 16 ⎠ uuur uuur −272 − bc bc = −(68 + ) AB ⊥ AC ⇔ AB.AC = ⇔ (b + 4)(c + 4) + 256 = ⇔ b + c = 4 uuur c − b ⎛b ⎞ BC qua B ⎜ ; b ⎟ có vtcp : BC = (c + b;16) 16 ⎝ 16 ⎠ Nên có pt BC : b2 y 16(x − ) − (b + c)(y − b) = ⇔ 16x − (b + c)y + bc = ⇔ 4(4x + 17y) + bc( + 1) = 16 y BC luôn qua điểm cố định thoả : 4x + 17y = và + = ⇔ x = 17 và y = - 4 Vậy BC luôn qua I (17, -4) cố định Câu V.b Theo chương trình phân ban (2 điểm) B/ C/ x − 3x + x − 3x + x − 4x + ≤1 ⇔ > và ≤0 Bpt ⇔ < x x x ⇔ − ≤ x < hay < x ≤ + 2 N A/ (đvtt) Thể tích V=Sh= = a.a.a = a H M 2 B C / Gọi N là trung điểm BB K Lop12.net (4) Ta có : d(B’C, AM) = d(B’, (AMN)) = d(B, (AMN)) (vì N là trung điểm BB’) = BH với H là hình chiếu B lên mp (AMN) 1 1 a Ta có : = + + = + + = ⇒ BH = 2 2 BH BA BM BN a a a a oOo PHẠM HỒNG DANH – TRẦN VĂN TOÀN (Trung tâm Bồi dưỡng văn hóa và Luyện thi đại học Vĩnh Viễn, TP.HCM) Lop12.net (5)