De thi hsg mon toan tinh QT 0809

Trên đường thẳng vuông góc với AC tại C lấy điểm E sao cho CE = AG và đoạn thẳng GE không cắt đường thẳng CD... Hai đường chéo AC và BD[r]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG TRỊ

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP THCS Năm học 2008 – 2009

Mơn : Tốn

Thời gian làm 150 phút (Không kể thời gian giao đề ) Bài (5 điểm)

Cho biểu thức

2

5

x x x

A

x x x x

  

  

   

a) Tìm điều kiện x để biểu thức A có nghĩa b) Rút gọn biểu thức A

Bài (4 điểm)

Giả sử x1 ; x2 nghiệm phương trình : x2 + 2kx + =

Tìm tất giá trị k cho có bất đẳng thức :

2

1

2

3

x x

x x

   

 

       

Bài (3 điểm)

Cho x3 + y3 + 3(x2 +y2) +4(x + y) + = xy >

Tìm giá trị lớn biểu thức :

1 M

x y  

Bài (2 điểm)

Cho phương trình :

2

2

2 2

x x

x x

 

 

   

a) Tìm điều kiện x để phương trình có nghĩa b) Giải phương trình

Bài (6 điểm)

Cho hình thang ABCD (CD > AB) với AB // CD ABBD Hai đường chéo AC BD

cắt G Trên đường thẳng vng góc với AC C lấy điểm E cho CE = AG đoạn thẳng GE không cắt đường thẳng CD Trên đoạn thẳng DC lấy điểm F cho DF = GB

a) Chứng minh FDG đồng dạng với ECG

b) Chứng minh GF EF

HẾT

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ ĐÁP ÁN KÌ THI HSG CẤP TỈNH MƠN TỐN LỚP

NĂM HỌC 2008-2009 Giải

Bài (5 điểm) Cho biểu thức

2

5

x x x

A

x x x x

  

  

   

c) Tìm điều kiện x để biểu thức A có nghĩa d) Rút gọn biểu thức A

Điều kiện : x0;x4;x9

                               

2

5

2

=

2

3

2 3 2

=

3

2 9

= 2 =

3

x x x

A

x x x x

x x x

x x

x x

x x x x x

x x

x x x x x

x x

x x

x x x

x

x x x x

                                                

Bài (4 điểm)

Giả sử x1 ; x2 nghiệm phương trình : x2 + 2kx + =

Tìm tất giá trị k cho có bất đẳng thức :

2 2 x x x x              

Phương trình : x2 + 2kx + = có hai nghiệm x ; x2

, k2 4 0 k2 4(*)

      

Khi ta có :

1

1

2

x x k

x x   

 

 Vậy :

 

 

2

2 2 2 2

1 2

1 2

2 1 2

2 2 2 2 2

3 3

2

4

3

4 2 3

2 (**)

2

x x x x

x x x x

x x x x x x

k k k k k k                                                              

Kết hợp (*) (**) ta có :

2 4

2 k k k       

Vậy để phương trình : x2 + 2kx + = có hai nghiệm x

1 ; x2 thỏa :

2 2 x x x x          

    :

2

Bài (3 điểm)

Cho x3 + y3 + 3(x2 +y2) +4(x + y) + = xy >

Tìm giá trị lớn biểu thức :

1 M

x y  

Ta có : x3 + y3 + 3(x2 +y2) +4(x + y) + =

 x3 + 3x2 + 3x +1 + y3 + 3y2 + 3y + + x + y + = 0

 (x + 1)3 + (y + 1)3 + (x + y + 2) = 0

 (x + y + 2)[(x + 1)2 – (x + 1)(y + 1) + (y + 1)2 + 1] = (*)

             

2

2

2

V x – x y y 1

1

= 1 1

2

ì

x y y

     

 

      

 

 

Nên (*) x + y + =  x + y = -

1

Ta c : ó M x y

x y xy xy

 

   

 

2

4 4

x y xy xy

xy xy



       

Vậy MaxM = -2  x = y = -1

Bài (2 điểm)

Cho phương trình :

2

2

2 2

x x

x x

 

 

   

a) Tìm điều kiện x để phương trình có nghĩa b) Giải phương trình

a) điều kiện : 0x4

2

b)

2 2

2

(1)

2 2

x x

x x

x x

x x

 

 

   

 

  

   

Đặt 2 x = a ; 2 x = b ( a ; b  0)

     

         

2

2

2

2

2

2

8 Ta c :

2

2

8

2

8

4

8

(I)

2

a b

ó a b

a b

a b

a b ab a b a b ab

a b

a b ab ab

a b

a b ab

   



 



 



  

 

      

 

  

  

    

 

  

  

   

 

   

2

2

2

2

2

2

2 2

1

2 2

1 (loai v a 0)

3

3 4 2 3 1

ab

a b ab

I

a b a b

b

b b a

a a

a

a a a

a a ì

a x

x

b x

     



   

 

  

 



    

 

  

       

        

 

    



     

 

     

 

    

 

Bài (6 điểm)

Cho hình thang ABCD (CD > AB) với AB // CD ABBD Hai đường chéo AC BD

cắt G Trên đường thẳng vng góc với AC C lấy điểm E cho CE = AG đoạn thẳng GE không cắt đường thẳng CD Trên đoạn thẳng DC lấy điểm F cho DF = GB

c) Chứng minh FDG đồng dạng với ECG

d) Chứng minh GF EF

ABCD : AB // CD ; CD > AB ;

ABBD

ABBD; AG = CE ; BG = DF

Chứng minh :

a) FDG ~ ECG.

b) GF EF

Chứng minh : a) Ta có AB // CD

BG GD

AG GC

 

, mà AG = CE ; BG = DF

DF GD

CE GC

 

Xét FDG và ECG có :

 

; 90

DF GD

GDF GCE

CE GC    FDG ~ ECG ( c-g-c)

b) Ta có FDG ~ ECG  GFD GEC   GFCE nội tiếp  GCE GFE  chắn GE

mà GCE 900 GFE 900  GF FE

\\ // X

X F

E

D C