Đang tải... (xem toàn văn)
5) Một tổ gồm mười học sinh trong đó có hai học sinh A và B. Hỏi có bao nhiêu cách xếp tổ học sinh thành một hàng ngang để tập thể dục, biết rằng A và B phải đứng kề nhau? 6) Có năm[r]
(1)
Ⓐ HỆ THỐNG LÝ THUYẾT:
I Qui tắc cộng – qui tắc nhân: (Phép đếm)
Qui tắc cộng: Nếu có m1 cách thực cơng việc H1, m2 cách thực công
việc H2, …, mn cách thực công việc Hn (cách thực Hi không trùng với cách
thực công việc Hj nào, với i j; i, j = 1, 2, …, n) có m1 + m2 + … + mn cách thực
hiện một công việc H1, H2, …, Hn
Qui tắc nhân: Nếu có m1 cách thực cơng việc H1, m2 cách thực công
việc H2, …, mn cách thực công việc Hn (cách thực Hi không trùng với cách
thực công việc Hj nào, với i j; i, j = 1, 2, …, n) có m1.m2…mn cách thực Tất cả công việc H1, H2, …, Hn
II Hốn vị: Cho tập A có n phần tử (n 1) Mỗi cách thứ tự n phần tử tập A gọi hoán vị n phần tử A
Số hoán vị n phần tử là: Pn = n!
n! = 1.2…(n – 1).n
Qui ước: 0! =
III Chỉnh hợp: Cho tập A có n phần tử Mỗi gồm k (1 k n) phần tử khác nhau,
sắp thứ tự A gọi chỉnh hợp chập k n phần tử A Số chỉnh hợp chập k n phần tử là:
k n
n A
n k
!
( )!
Có thể tính
k n
k thõa sè
A n n( 1)(n 2) (n k1)
Ví dụ: A1002 100.999900
Chú ý: Chỉnh hợp chập n n phần tử hoán vị n phần tử
III Tổ hợp: Cho tập A có n phần tử Mỗi gồm k (0 k n) phần tử khác nhau
(không ý đến tính thứ tự) A gọi tổ hợp chập k n phần tử A (với k = ta qui ước rỗng khơng có phần tử nào)
Số tổ hợp chập k n phần tử là:
k
k n
n
A n
C
k n k k
!
!( )! !
k n k n n
C C
o n n n C C 1
1 n 1 n n
C C n
IV Nhị thức NIUTƠN:
n n n k n k k n n
n n n n
a b C a C a b C a b C b
0 1 1
( )
n
n k n k k n k
a b C a b
0
( )
Dùng máy tính bỏ túi để tính cách sử dụng phím nPr, nCr
(2)♠ Một số ý:
Số số hạng công thức n +
Tổng số mũ a b số hạng nhị thức n
Số hạng tổng quát
k n k k k n
T C a b
1 (số hạng thứ k + 1)
Cn0C1n Cnk Cnn 2n Các nhị thức thường dùng:
(1x)n Cn0C x1n C xnk k C xnn n
0
(1 )n ( 1)k k k ( 1)n n n
n n n n
x C C x C x C x
.
.
Ⓑ ÔN TẬP LÝ THUYẾT:
Qua tập cho học sinh phân biệt, tìm giống – khác qui tắc cộng qui tắc nhân, chỉnh hợp tổ hợp
Chọn số toán liên quan đến giai thừa để học sinh biến đổi nhuần nhuyển biểu thức có chứa giai thừa
Qua tốn giải phương trình bất phương trình có chứa Ank k n
C , học sinh
nắm cơng thức tính điều kiện
Hướng dẫn học sinh dùng máy tính bỏ túi để tính Ank k n C .
Cách viết nhị thức cách nhớ cách tính chất, qui luật, số hạng tổng quát
Nêu sơ đồ:
Ⓒ H ƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI BÀI TẬP :
I Các toán dùng phép đếm, chỉnh hợp, tổ hợp:
Hướng dẫn học sinh phân tích kỹ đề xem đối tượng cần tìm phải thực theo bước, gồm phần tử, khác hay không cần khác nhau, có thứ tự hay khơng kể thứ tự, có ràng buộc thêm điều kiện phần tử không?
Một số ví dụ:
Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, lập số tự nhiên (chữ số khác 0)
ⓐ Số tự nhiên có bốn chữ số?
ⓑ Số tự nhiên gồm bốn chữ số đôi khác nhau?
ⓒ Số tự nhiên chẵn gồm bốn chữ số đôi khác nhau?
ⓐ Muốn lập số tự nhiên gồm bốn chữ số ta cần thực tất bốn công việc (chọn chữ số từ chữ số cho xếp vào bốn vị trí a a a a1 4 ), số gồm bốn chữ số khơng
u cầu điều kiện khác nên ta dùng qui tắc nhân để giải
ⓑ ⓒ phân tích theo phương pháp tương tự Phân tích thêm câu c) dùng phần bù để giải
dùng phép đếm Bộ k phần tử
k phần tử không cần khác
k phần tử khác có thứ tự: Chỉnh hợp
(3) Cho năm điểm (trong khơng có ba điểm thẳng hàng) Từ năm điểm cho xác định bao nhiêu:
ⓐ Đoạn thẳng?
ⓑ Vectơ khác vectơ – không?
ⓐ Mỗi đoạn thẳng xác định gồm hai phần tử khác không kể thứ tự nên tổ hợp chập điểm cho xác định đoạn thẳng
ⓑMỗi vectơ xác định gồm hai phần tử khác có thứ tự nên chỉnh hợp chập điểm cho xác định véctơ
Phân tích giống khác hai câu
Trong chi đồn có 25 đồn viên Hỏi có cách chọn Ban chấp hành gồm bí thư, phó bí thư ba uỷ viên? (mỗi đoàn viên đảm nhiệm nhiều chức vụ)
Muốn chọn Ban chấp hành ta phải thực tất ba cơng việc: CV1–chọn bí thư, CV2–chọn phó bí thư, CV3–chọn ba uỷ viên
CV1: Chọn đoàn viên 25 đồn viên làm bí thư có 25 cách thực hiện cơng việc
CV2: Chọn đồn viên 24 đồn viên cịn lại làm phó bí thư có 24 cách thực cơng việc
CV3: Chọn ba đồn viên (khơng kể thứ tự) 23 đồn viên cịn lại làm ba uỷ viên tổ hợp chập 23 phần tử cách chọn.
Do phải thực tất công việc CV1, CV2, CV3 nên ta dùng qui tắc nhân tìm đáp số.(Có thể dùng chỉnh hợp để tìm số cách chọn bí thư phó bí thư)
Từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, lập số tự nhiên có bảy chữ số chữ số có mặt ba lần, chữ số khác có mặt nhiều lần?
Có ba viên bi màu đỏ giống năm viên bi màu xanh có bán kính khác người ta muốn xếp ba viên bi đỏ bốn viên bi xanh vào hàng có bảy (mỗi xếp viên) Hỏi có cách xếp?
Sau cho học sinh phân tích giải toán đến đáp số C A73 54, nêu thêm
tốn có cách giải hoàn toàn tương tự để rèn luyện thêm khả phân tích đề, xây dựng chương trình giải cho học sinh
Trong số tốn dùng phần bù để giải Nhất tốn có từ “ít
nhất”, “nhiều nhất”…
II Các toán giai thừa:
Từ ví dụ cụ thể như: 10! = 1.2.3.4.5.6.7.8.9.10 = 8!9.10 hay
10! 1.2.3.4.5.6.7.8.9.10 8! 9.10
8! 1.2.3.4.5.6.7.8 8! tổng quát thành công thức như: n! = (n – 1)!n (với
n 1); n! = (n – 2)!(n – 1)n (với n 2) … Cho học sinh giải tập như:
Giản ước
7 !4! 8! 9!
B
10! 3!5! 2!7 !
Rút gọn: 2
6 !( n ) ( n )!
A .
( n )! ( n )( n n )
(4)III Các tốn giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình có chứa Ank k
n C :
Hướng dẫn kỹ cách đặt điều kiện: + Đối với Ank điều kiện là:
k ,n 1 k n
+ Đối với Cnkđiều kiện là: k ,n 0 k n
Khai triển công thức trường hợp cụ thể k gì, n IV Các tốn nhị thức NIUTƠN:
Bài toán khai triển nhị thức (a + b)n: Yêu cầu học sinh viết nhị thức dạng:
0 1
( )n n n k n k k n n
n n n n
a b C a C a b C a b C b
Hướng dẫn học sinh dùng máy tính bỏ túi để tính Cnktừ đến kết Các tốn tính số hạng, hệ số cần viết số hạng tổng quát C a bnk n k k
sau khai thác giả thiết tìm k, n kết quả.
Tính tổng, chứng minh…:
Qua toán cần tập cho học sinh phát qui luật chung số hạng, kết hợp với kiến thức khác đạo hàm, tích phân …tìm chương trình giải
Ví dụ: Tính tổng:
2 3 n 1
0 1 2 n
n n n n
2 1 2 1 2 1
S C C C C
2 3 n 1
(n nguyên
dương)
Hướng dẫn học sinh tìm qui luật với số hạng tổng quát là:
k 1 k 1 k
n
2 1
C
k k 1
=
2 k 1 k n
1 x C
k 1
từ dẫn đến tính S =
2
n
1
( x ) dx
Tuy nhiên, đề thi thường kết hợp nhiều dạng, nhiều kiểu nên cần ghép dạng tốn, nhiều kiến thức từ dễ đến khó ôn tập giúp học sinh rèn tư duy, tìm qui luật, qui lạ quen…
Ⓓ M ỘT SỐ BÀI TẬ P :
1) Cho chữ số 0, 1, 2, 3, 4, Từ chữ số lập số tự nhiên (chữ số khác 0)
ⓐ Gồm có năm chữ số
ⓑ Gồm năm chữ số khác
ⓒ Gồm năm chữ số khác số lẻ
ⓓ Gồm năm chữ số khác số chẵn
ⓔ Gồm năm chữ số khác bắt đầu chữ số
ⓖ Gồm năm chữ số khác không bắt đầu 23
ⓗGồm năm chữ số khác thiết phải có mặt chữ số chữ số
ⓘGồm tám chữ số khác chữ số có mặt ba lần chữ số khác có mặt lần
(5)2) Một tổ gồm 12 học sinh có học sinh nam học sinh nữ Giáo viên muốn chon bốn học sinh để trực lớp Hỏi giáo viên có cách chon nhóm trực, biết rằng:
ⓐ Số nam nữ nhóm tuỳ ý
ⓑ Trong nhóm phải có hai nam hai nữ
ⓒ Trong nhóm phải có nữ 3) Cho đa giác lồi 12 cạnh Hỏi:
ⓐ Đa giác có bao nhiêu đường chéo?
ⓑ Có véctơ khác véctơ–khơng tạo thành từ đỉnh đa giác?
ⓒ Có tam giác tạo thành từ đỉnh đa giác?
ⓓ Biết ba đường chéo khơng qua đỉnh khơng đồng qui Hãy tính số giao điểm (khơng phải đỉnh) đường chéo đa giác
4) Có năm tem thư khác sáu bì thư khác Người ta muốn chọn từ ba tem thư, ba bì thư dán ba tem thư lên ba bì thư chọn, bì thư dán tem thư Hỏi có cách thực hiện?
5) Một tổ gồm mười học sinh có hai học sinh A B Hỏi có cách xếp tổ học sinh thành hàng ngang để tập thể dục, biết A B phải đứng kề nhau? 6) Có năm sách toán khác nhau, bốn sách lý khác hai sách hố khác Hỏi có cách xếp sách lên kệ sách cho sách môn xếp kề nhau?
7) Giải phương trình sau:
ⓐ P2.x2 – P3.x = ⓑ A Cx2. xx 1 42x
ⓒ 2Ax250A22x ⓓ
4 x 3 4 x+1
A 24
A x 23
x
C
8) Giải bất phương trình:
ⓐ 14 3 13 4 1 x
x x
P C A
ⓑ Ax3 4Cx25(x 1) ⓒ
4 3 2
1 1 2
5
0 4
x x x C C A
ⓓ 8 105 3 1051 x x
C C
9) Giải hệ phương trình sau:
ⓐ
2 5 90
5 2 80
y y x x y y x x
A C
A C
ⓑ 1: 1: 1 6 : : 3
y y y x x x
C C C
10) Cho khai triển nhị thức:
1 1
1 1 1 1
0 1 1
3 3 3 3
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
n n n n n
x x x x
x x x x
n n
n n n n
C C C C
(n số nguyên dương) Biết khai triển Cn3 5C1n số hạng thứ tư 20n,
tìm n x
(6)ⓐ (2x – 1)6 ⓑ (2x – y)6 ⓒ x x
7
1 3 12) Tìm số hạng khai triển
9 3
3 2
là số ngun 13) Tìm số hạng khơng chứa x khai triển:
ⓐ
10
1 4
2
x x
ⓑ
7 3
4
1
x x
14) Tìm hệ số x8 khai triển
5 3
1 n
x x
biết 41 3 7 3
n n n n
C C n
15) Tính tổng A30C603C6132C62 3 6C66
16) Cho tổng S C n02Cn14Cn2 2 nCnn 243 Tìm n
17) Tính tổng S Cn1 2Cn2 3Cn3 4Cn4 ( 1)n 1nCnn
(n >2)
18) Tính tổng
1 2
1 1 1
1
2 3 1
n
n n n
S C C C
n