Viết phương trình đường thẳng BC biết diện tích hình thang bằng 24 và điểm B có hoành độ dương.. 2..[r]
(1)Sở GD & ĐT TP HCM ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2012 Trường THCS & THPT Nguyễn Khuyến Mơn: Tốn - Thời gian: 180 phút I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 ðiểm)
Câu I (2 điểm) Cho hàm số y x 3 3x22
Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số cho
Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị (C) cho tiếp tuyến (C) A B song song với độ dài
đoạn thẳng AB Câu II (2 điểm)
1. Giải phương trình
5
2.cos5 sin( ) sin cot
x x x x
2. Giải hệ phương trình :
2
4 2
2 15
2
x y x y
x y x y
Câu III ( 1điểm) Tính tích phân
1
1 ln
2 ln
e x x x
I dx
x x
Câu IV (1 điểm) Cho hình lăng trụ ABC A B C ' ' ' có đáy ABC tam giác cân, AB = BC = 3a,
AC a Các mặt phẳng ( 'B AB),( 'B AC),( 'B BC) tạo với mặt phẳng (ABC) góc 600 Tính thể tích khối lăng trụ ABC A B C ' ' '
Câu V (1 điểm) Cho x y z, , số thực dương thoả mãn x y z x y z 3
Tìm giá trị nhỏ biểu thức:
3 x z
P y
z y
II PHẦN RIÊNG (3 điểm)
A Theo chương trình chuẩn Câu VI.a.
Trong mặt phẳng Oxy, cho hình thoi ABCD có tâm I3;3 AC2BD Điểm
4 2;
3 M
thuộc đường thẳng AB, điểm
13 3;
3 N
thuộc đường thẳng CD Viết phương trình đường chéo BD biết đỉnh Bcó hồnh độ nhỏ
Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng
1 2
x y z x y z
d : ; d :
1 2 1
mặt phẳng P : x y 2z 0 Lập phương trình đường thẳng (d) song song với mặt phẳng (P) cắt d , d1 lần lượt A, B cho độ dài đoạn AB nhỏ
Câu VII.a Tìm số phức z thỏa mãn z2 z z B Theo chương trình nâng cao
Câu VI.b (2 điểm)
1 Cho hình thang vng ABCD vng A D có đáy lớn CD, đường thẳng AD có phương trình
3x – y = 0, đường thẳng BD có phương trình x-2y=0, góc tạo hai đường thẳng BC AB 450 Viết phương trình đường thẳng BC biết diện tích hình thang 24 điểm B có hồnh độ dương
(2):
x y z
2
Viết phương trình đường thẳng d qua điểm B cắt đường thẳng điểm C
sao cho diện tích tam giác ABC có giá trị nhỏ
Câu VII.b (1điểm) Tìm giá trị tham số m để phương trình: m x2 2x2 x có nghiệm phân
biệt
Hết
ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN VI, Năm 2012 PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 ðiểm)
Câu Nội dung éiểm
I
1
Tập xác định: D Sự biến thiên:
Chiều biến thiên:
2
'
y x x; y' 0 x0 x2
Hàm số đồng biến khoảng ;0 2; ; nghịch biến khoảng0;2 Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu x2; yCT2, đạt cực đại x0; yCĐ2 Giới hạn:
lim ; lim
x y x y
Bảng biến thiên:
Đồ thị:
Nhận xét:
0,25 0,25
0,25
0,25
2
Đặt
3
; ; ;
A a a a B b b b
với a b Hệ số góc tiếp tuyến với (C)
tại A, B là:
2
' ; '
A A B B
k y x a a k y x b b Tiếp tuyến (C) A B song song với
2
3 6 2
A B
k k a a b b a b a b b a
(3)Độ dài đoạn AB là:
2
2 3 3 2 2
2
2 2 2
2
2 2
3
4
AB a b a b a b
a b a b a ab b a b
a a a
Đặt t = ( a – )2
4
AB
2 2
3 2
t t t t t t
t 4
1 2 a a
Với a 3 b1 A3; , B1; 2 Với a 1 b 3 A1; , B3; 2 Vậy A3; , B1; 2 A1; , B3;2
0,25
0,25 0,25
II
1
ĐK: sin 3x0
pt 2cos5xsin 2xcos cot 3x x
2cos5 sin 3x xsin cos3x xcos cos3x x
2cos5 sin 3x x cos5x0 cos5 ( sin 3x x1) 0
+)
1
sin
2 x
(t/m đk)
2 12 k x k x
+) cos5x0 10 k x
t/m đk KL:……… 0,25 0,25 0,25 0,25 2
4 2
2 15
2
x y x y
x y x y
Hệ pt 2
2 2
( 1)( 2) 4( 1) 4( 2)
( 1) ( 2) 10
x y x y
x y
Đặt
2 1 u x v y
Ta có hpt
2 10 ( )2 2 10
4( ) 4( )
u v u v uv
uv u v uv u v
10 45 u v uv
(vô nghiệm)
2 u v uv u v
1 u v +) u v
Tìm nghiệm ( ; ) (2;1)x y ( ; ) ( 2;1)x y
+) u v
Tìm nghiệm ( ; ) (0;5)x y
Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm: (2;1), (-2;1), (0;5)
0,25 0,25 0,25
0,25 III
2
1 1
1 ln 1 ln
2 ln ln
e x x x e e
x
I dx x dx dx
x x x x
3 1 3 e e x e
x dx
(4)
1
1
2 ln
1 ln
ln ln
2 ln ln
e e
e
d x x
x
dx x x
x x x x
ln 2 ln ln
2 e
e
Vậy
3 1 2
ln
3
e e
I
0,25 0,25
IV
Gọi H hình chiếu B' mp(ABC), M, N, P hình chiếu H AC, AB BC.Khi ACHM AC, B H'
( ' )
AC B BM
Vậy góc ( 'B AC) (BAC) góc B MH' Tương tự ta có B MH' B NH' B PH' 600 Do đó
' ' '
B MH B NH B PH HM HN HP
Vậy H tâm đường tròn nội tiếp
tam giác ABC
Theo công thức S p p a p b p c( )( )( ) a a a a2 2a2
Mặt khác
2
2 2
4
S a a
S pr r HM
p a
Tam giác vuông B HM' có
0
' tan 60
2
a a
B H HM
Từ
2
' ' '
6
' 2
2 ABC A B C ABC
a
V S B H a a
( đvtt)
0,25
0,25
0,25
0,25
V
Ta có
2 ,
x z
xz x yz z
z y
Từ suy 2
x z
P y x xz z yz y
z y
2( ) ( )
2( ) ( )
x z y x y z xz yz x z y x y z
Do x0 y z nên x y z( ) 0 Từ kết hợp với ta
2 2
3 2( ) 2(3 ) ( 1) 5
x z
P y x z y y y y
z y
Vậy giá trị nhỏ P đạt x=y=z=1
0,25
0,25
0,5 PHẦN RIÊNG (3 điểm)
A Theo chương trình chuẩn
M
C'
A'
B C
A B'
H N
(5)VI.a
Tọa độ điểm N’ đối xứng với điểm N
qua I
5 ' 3;
3 N
Đường thẳng AB qua M, N’ có phương trình: x 3y 2 Suy ra:
,
10 10
IH d I AB Do AC2BD nên IA2IB Đặt
0
IB x , ta có phương trình
2
1
2
4 x x
x x Đặt B x y , Do IB 2 và
B AB nên tọa độ B nghiệm hệ:
2 2
14
4
5 18 16
3 5
8
3
3
5
x x
y y
x y
y x y
x y y
Do B có hồnh độ nhỏ nên ta chọn
14 ; 5 B
Vậy, phương trình đường chéo BD là: 7x y 18 0
0,25
0,25
0,25
0,25
2
Đặt A a; 2a;a , B 2b;1 b;1 b , ta có AB a 2b 3; 2a b 3; a b 1
Do AB song song với (P) nên: AB n P 1;1; 2 b a 4
Suy ra: ABa 5; a 1; 3
Do đó:
2 2 2
AB a 5 a 3 2a 8a 35 a 2 27 3
Suy ra:
a AB 3 b 2
, A1; 2; 2 , AB 3; 3; 3
Vậy, phương trình đường thẳng (d) là:
x y z
1 1
0,25 0,25 0,25 0,25
VII.a
Giả sử z x yi , z2 z z (x yi )2 x2y2 x yi
2 2
2 2
( )
2
x y x y x
x y x y xyi x yi
xy y
TH
1 x
ta
2 2
1 1
4 y 4y 2 4y y
2
2 4
3 3
0
5
4 4
1
16 40
4 16
y y
y
y y y y y
TH y 0 x2 x x x 0 x y
0,25
0,25
0,25
(6)Vậy có số phức thỏa mãn : z = ;
1 5
2
z i A Theo chương trình nâng cao
VI.b
Tọa độ điểm D là:
3 0
2 0
x y x
x y y
=> D(0;0)O
Vecto pháp tuyến đường thẳng AD BD n13; , n21; 2
cosADB=
√2 =>
ADB=450 =>AD=AB (1)
Vì góc đường thẳng BC AB 450 => BCD =450 => BCD vuông cân B=>DC=2AB Theo ta có:
2 24 2 ABCD AB S AB CD AD =>AB=4=>BD=4
Gọi tọa độ điểm ; B B
x B x
, điều kiện xB>0
=> 2 10 ( )
2 8 10
( ) B B B B x loai x BD x x tm
Tọa độ điểm
8 10 10 ;
5
B
Vectơ pháp tuyến BC nBC 2;1
( Vì BDBC) => phương trình đường thẳng BC là: 2x y 10 0
0,25
0,25
0,25
0,25
2
Phương trình tham số :
x t y t z t 2
Điểm C thuộc đường thẳng nên tọa độ điểm C có dạngC( ;1 ;2 ) t t t AC ( 2t; t; 2t);AB (2; 2;6)
AC AB, ( 24 ;12 ;12 )t t t AC AB, 18t2 36 216t
Diện tích ABC
S AC AB, 18t2 36 216t
2
= 18( 1)t 2198 ≥ 198 Vậy Min S = 198 t1 hay C(1; 0; 2).
Đường thẳng BC qua qua B nhận BC ( 2; 3; 4)
làm vectơ phương nên
có phương trình tắc
x y z
2
. 0,25 0,25 0,25 0,25 VII.b
Ta có: x2 2x 2 1nên m x2 2x2 x 2 2 x m x x
Xét
2 ( ) 2 x f x x x
, ta có:
2
4 '( )
2 2
x f x
x x x x
4
' ; 10; lim ( ) 1; lim ( )
3 x x
f x x f f x f x
+ Bảng biến thiên:
x
-
4
3 +
y’ - + y 10
(7)
-1 Dựa vào bảng biến thiên ta có:
Phương trình cho có hai nghiệm phân biệt khi1m 10
0,25
0,25
TRƯỜNG THPT NGUYỄN XUÂN NGUYÊN
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG CÁC MÔN THI ĐH -CĐ NĂM HỌC 2011 -2012
Mơn: TỐN, khối A, B
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7 điểm)
Câu I (2 điểm)
Cho hàm số y = x4−2(m −1)x2+m−2 (1)
Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số (1) m=2 Tìm m để hàm số (1) đồng biến khoảng 1;
¿ 3¿
Câu II (2 điểm)
1 Giải phương trình: cos 2x+5=2(2−cosx)(sinx −cosx)
2 Giải hệ phương trình:
¿
x2−3x
(y −1)+y2+y(x −3)=4
x −xy−2y=1
¿{ ¿
(x , y∈R)
Câu III (2 điểm)
1 Tính tích phân: I =
1
e
x+(x −2)lnx
x(1+lnx) dx
2 Cho ba số thực dương a , b , c thay đổi thỏa mãn điều kiện abc = Chứng minh rằng:
1+a+b + 1bc
+ 1ca
1 1
2+a + 2+b +
1 2+c
Câu IV (1 điểm) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O , hai mặt phẳng ( SAC ) ( SBD ) vng góc với mặt phẳng ( ABCD ) Biết AC ¿ 3a,
BD ¿
2 a , khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng ( SAB )
3 a
Tính thể tích khối chóp S ABCD theo a
II PHẦN RIÊNG (3 điểm)
Thí sinh làm hai phần (phần A B)
A Theo chương trình Chuẩn Câu V.a (3 điểm)
1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có đỉnh A(3; -4) Phương trình đường trung trực cạnh BC, đường trung tuyến xuất phát từ C x+y −1=0
3x − y −9=0 Tìm tọa độ đỉnh B , C tam giác ABC
2 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường trịn ( C ) có phương trình
x2+y2+2x −4y −8=0 đường thẳng ( Δ ) có phương trình : 2x −3y −1=0 Chứng minh
rằng ( Δ ) cắt ( C ) hai điểm phân biệt A, B Tìm toạ độ điểm M đường trịn (
C ) cho diện tích tam giác ABM lớn Giải phương trình: (3x−2)log3x −1
3 =4−
x+1
B Theo chương trình Nâng cao Câu V.b (3 điểm)
(8)d2 Viết phương trình đường thẳng qua M, cắt đường thẳng d1 d2 B ,
C ( B C khác A ) cho AB2+
1
AC2 đạt giá trị nhỏ Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường trịn (C): x2
+y2−2x+4y+2=0 Viết phương trình đường tròn ( C ') tâm M (5, 1) biết ( C ') cắt ( C ) hai điểm A , B cho
AB=√3
3 Tính giá trị biểu thức A =
0C 2011
1 − 21C
2011
2 + 22C
2011
3 − 23C
2011
4 +¿ -
22011C 2011 2011
2012
- Hết
-Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh số báo danh
HƯỚNG DẪN CHẤM THI MÔN TOÁN KHỐI A, B
KỲ THI KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG CÁC MÔN THI ĐH - CĐ NĂM HỌC 2011 - 2012
Câu Đáp án Điểm
I (2đ)
1 (1 điểm)
Với m = 2, y=x4−2x2 TXĐ: D = R
2 Sự biến thiên: a) Chiều biến thiên:
y '=4x3−4x ; y '=0⇔ 4x3−4x=0⇔x=0, x=±1
Hàm số đồng biến khoảng (-1; 0) (1; +∞ ) Hàm số nghịch biến khoảng (- ∞ ; -1) (0; 1)
-b) Cực trị:
Hàm số đạt cực đại x = 0; ycđ = y(0) =
Hàm số đạt cực tiểu x = ± 1; yct = y( ± 1) = -2
-c) Giới hạn vô cực:
Lim
x → ±∞(x
4−2x2
)=¿ + ∞
d) Bảng biến thiên Bảng biến thiên
-3) Đồ thị:
0,25 đ
0,25đ
0,25 đ
0,25 đ
2) điểm
(9)y' = ⇔ 4x3−4(m−1)x = ⇔ x[x2−(m−1)]=0
-TH1: Nếu m- ⇔ m
Hàm số đồng biến khoảng (0; + ∞ ) Vậy m thoả mãn ycbt
-TH 2: m - > ⇔ m>
y' = ⇔ x = 0, x = ±√m −1
Hàm số đồng biến khoảng (- √m−1 ; ) ( √m−1 ; + ∞ ) Để hàm số đồng biến khoảng (1; ) √m−1≤1 ⇔ m
-Vậy hàm số đồng biến khoảng (1; ) ⇔ m ¿
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ II
(2 đ)
1 (1 ểm)
cos 2x+5=2(2−cosx)(sinx −cosx)
⇔ 2cos2x - + = 4sinx - 2sinxcosx - 4cosx + 2cos2x =0
-⇔ 2(sinx - cosx) - sinxcosx -2 = Đặt t = sinx - cosx ( - √2≤ t ≤√2 )
⇒ sinxcosx = 1−t
2
2
Phương trình trở thành t2+ 4t - = 0 t = 1; t = -5 (loại)
-Với t = ⇔ sinx - cosx = ⇔ √2 sin (x −π
4) = ⇔ sin (x −
π
4) =
√2
-⇔
x −π
4=
π
4+k2π ¿
x −π
4= 3π
4 +k2π ¿
¿ ¿ ¿
⇔
x=π
2+k2π
¿
x=π+k2π
¿ ¿ ¿ ¿
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
2 (1 điểm)
x2 -3x(y-1) + y2 + y(x-3) = ⇔ (x-y)2 + 3(x-y) - + 0
-x − y=1
¿
x − y=−4
¿ ¿ ¿ ¿
-* Với x- y = 1, ta có
¿
x − y=1
x −xy−2y=1
¿{ ¿
⇔ x = 1; y = x= -1; y = -2
-0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
(10)* Với x - y = -4 ta có
¿
x − y=−4
x −xy−2y=1
¿{ ¿
(Hệ PT vơ nghiệm)
Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (1; 0) (x; y) = (-1; -2) III
(2 đ) 1 (1 điểm) I =
1
e
x(1+lnx)−2 lnx
x(1+lnx) dx=1
e
dx -2
1
e
lnx
x(1+lnx)dx
-Ta có
1
e
dx=e −1
-Tính J =
1
e
lnx
x(1+lnx)dx Đặt t = + lnx
J =
1
t −1
t dt =
1−1 t
(¿)dt
1
¿
= (t - ln |t| ) = - ln2
-Vậy I = e - - 2(1- ln2) = e - + 2ln2
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
2 (1 điểm)
Do vai trò a, b, c bình đẳng nên ta giả thiết < a b c Khi < + a + b + a + c + b + c
và < + a + b + c Ta có
1 2+a +
1 2+b +
1
2+c - ( 1+a+b+
1 1+b+c+
1
1+c+a) = = b −1
(2+a)(1+a+b) +
c −1
(2+b)(1+b+c) +
a −1
(2+c)(1+a+c)
b −1
(2+c)(1+b+c) +
c −1
(2+c)(1+b+c) +
a −1
(2+c)(1+b+c) =
a+b+c −3 (2+c)(1+b+c) 3√3 abc−3
(2+c)(1+b+c)=0 Vậy
1
1+a+b + 1bc
+ 1ca
1 1
2+a + 2+b +
1 2+c IV
(1 đ) Từ giả thiết hai mặt phẳng (giao tuyến chúng SOSAC (ABCD) (SBD) ) vng góc với mặt phẳng (ABCD)nên VSABCD = 13 SO.SABCD
Diện tích đáy SABCD=
1
1AC BD=2√3a
2
-.Ta có tam giác ABO vuông O AO = a 3; BO = a , ABD=600
⇒ tam giác ABD
(11)Do tam giác ABD nên với H trung điểm AB, K trung điểm HB ta có
DH AB DH = a 3; OK // DH
1
2
a OK DH
OKABAB (SOK)
Gọi I hình chiếu O lên SK ta có OISK; ABOIOI (SAB) , hay OI khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SAB)
Tam giác SOK vuông O, OI đường cao 2
1 1
2 a SO OI OK SO Đường cao hình chóp
a SO
Thể tích khối chóp S.ABCD:
3
1
3
D D
S ABC ABC
a
V S SO
0,5 đ
0,25 đ
Va
(3 đ) 1 (1 điểm)Gäi C = (c; 3c - 9) M trung điểm BC M(m; 1-m) Suy ra: B= (2m-c; 11 -2m- 3c)
-Gi I trung điểm AB, ta có I( 2m− c+3
2 ;
7−2m−3c
2 ) Vì I nằm đường thẳng 3x - y - = nªn 3(2m− c+3
2 )−(
7−2m−3c
2 )−9=0
⇒ m = M(2; -1) Phơng trình BC: x y - 3=0
-Tọa độ C nghiệm hệ:
¿
3x − y −9=0
x − y −3=0
¿{ ¿
⇔
¿
x=3
y=0
¿{ ¿
Tọa độ C = (3; 0), toạ độ B(1; -2)
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
2 (1 điểm)
Đường trịn (C) có tâm I(-1; 2), bán kính R = √13 Khoảng cách từ I đến đường thẳng ( Δ ) d(I , Δ)=
9
√13 < R Vậy đường thẳng ( Δ ) cắt (C) hai điểm A, B phân biệt
-Gọi M điểm nằm (C), ta có SΔABM=1
2AB.d(M , Δ)
Trong AB không đổi nên SΔABM lớn d(M , Δ) lớn
-Gọi d đường thẳng qua tâm I vng góc với ( Δ )
PT đường thẳng d 3x + 2y - =
Gọi P, Q giao điểm đường thẳng d vời đường tròn (C) Toạ độ P, Q nghiệm hệ phương trình:
0,25 đ
0,25 đ
(12)¿
x2+y2+2x −4y −8=0
3x+2y −1=0 ¿{
¿
⇔
x=1, y=−1
¿
x=−3, y=5
¿ ¿ ¿ ¿
⇒ P(1; -1); Q(-3; 5) Ta có d(P , Δ)=
4
√13 ; d(Q , Δ)=
22
√13
-Ta thấy d(M , Δ) lớn M trùng với Q Vậy tọa độ điểm M (-3; 5)
0,25 đ
3 (1 điểm) Điều kiện: x >
(3x−2)log3 x −1 =4−
2
x+1
2 ⇔ (3x−2)[log
3(x −1)−log33]=4−
2 33
x+1
-⇔ (3x−2)[log3(x −1)−1]=4−2 3x ⇔ (3x−2)log3(x −1)+3x−2=0
⇔ (3x−2)[log3(x −1)+1]=0
-
⇔
3x−2=0 ¿
log3(x −1)=−1
¿ ¿ ¿ ¿
⇔
x=log32
¿
x=4
3 ¿ ¿ ¿ ¿ Vậy PT có nghiệm x =
3
0,25 đ
0,25 đ
0,5 đ
Vb (3 đ)
1 (1 điểm)
Toạ độ điểm A(-1; 1)
-Ta thấy đường thẳng d1 d2 vng góc với
Gọi Δ đường thẳng qua M, cắt đường thẳng d1 d2 B ,
C ( B C khác A )
Gọi H hình chiếu vng góc A Δ Ta có:
AB2+ AC2=
1 AH2 ≥
1
AM2 (không đổi)
-⇒
AB2+
AC2 đạt giá trị nhỏ
AM2 H M, hay Δ đường thẳng qua M vng góc với AM
-PT đường thẳng Δ : x + y - =
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ (1 ểm)
Phương trình đường trịn (C): x2 + y2 – 2x + 4y + = có tâm I(1, –2), bk R =√3 Đường tròn (C') tâm M cắt đường tròn (C) A, B nên AB IM trung điểm H đoạn AB
Ta có AH=BH=AB =
√3 Gọi
Trường hợp 1:
(13)Gọi A'B' vị trí thứ AB Gọi H' trung điểm A'B'
Ta có:
2
2 3
IH' IH IA AH
2
Ta có:
2
MI 1 2 5 MH=MI−HI=5−
3 2=
7 ;
3 13 MH' MI H'I
2
Ta có: R12=MA2=AH2+MH2=3 4+
49 =
52 4=13 R22=MA'2
=A ' H '2+MH'2=3 4+
169 =
172 =43 Vậy có đường trịn (C') thỏa ycbt là: (x – 5)2 + (y – 1)2 = 13