On tap Hinh hoc khong gian

Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y để hai hai mặt phẳng (SAM) và mặt phẳng (SMN) vuông góc với nhau. Gọi M là trung điểm của AB. Tính độ dài đường vuông chung của SM và BC. Tính độ dài đườ[r]

CÁC BÀI TẬP HÌNH HỌC KHƠNG GIAN TỔNG HỢP

GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ

PHẦN II: HÌNH CHĨP

Vũ Ngọc Vinh - THPT A Nghĩa Hưng - Nam Định

vungocvinh59@yahoo.com

PHƯƠNG PHÁP CHUNG GIẢI TOÁN

Để giải tốn hình khơng gian phương pháp tọa độ ta cần phải chọn hệ trục tọa độ thích hợp Lập tọa độ đỉnh, điểm liên quan dựa vào hệ trục tọa độ chọn độ dài cạnh hình Bài tốn đơn giản hay không phần phụ thuộc vào cách chọn hệ trục toạ độ vng góc đơn vị trục

Bước 1: Chọn hệ trục toạ độ Oxyz thích hợp, ý đến vị trí gốc O ( Đỉnh gĩc vuơng, tâm mặt cầu ….)

Bước 2: Dựa vào điều kiện tốn để xác định toạ độ điểm, phương trình đường mặt cần thiết hệ trục toạ độ

(có thể xác định toạ độ tất điểm số điểm cần thiết) Khi xác định tọa độ điểm ta dựa vào :

+)Ý nghĩa hình học tọa độ điểm (khi điểm nằm trục tọa độ, mặt phẳng tọa độ) +) Dựa vào quan hệ hình học nhau, vng góc, song song ,cùng phương , thẳng hàng, điểm chia đọan thẳng để tìm tọa độ

+) Xem điểm cần tìm giao điểm đường thẳng, mặt phẳng +) Dưạ vào quan hệ góc đường thẳng, mặt phẳng

Bước 3: Chuyển tính chất hình học giả thiết kết luận tốn sang tính chất đại số giải tích, đưa tốn tốn đại số, giải tích Sử dụng kiến thức toạ độ để giải toán

Các dạng toán thường gặp: - Độ dài đọan thẳng

- Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng - Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng - Khoảng cách hai đường thẳng - Góc hai đường thẳng

- Góc đường thẳng mặt phẳng - Góc hai mặt phẳng

- Thể tích khối đa diện - Diện tích thiết diện

- Chứng minh quan hệ song song , vng góc - Bài tốn cực trị, quỹ tích

Bổ sung kiến thức :

1) Nếu tam giác có diện tích S hình chiếu có diện tích S' tích S với cosin góc giữa mặt phẳng tam giác mặt phẳng chiếu

S' S.cos

SC SC SB SB SA SA V

V

ABC S

C B A S

' ' '

' ' '



Chú ý

a) Hình chóp S.ABCD có SA vng góc với đáy đáy hình vng (hoặc hình chữ nhật) Ta chọn hệ trục tọa độ dạng tam diện vuông

b) Hình chóp S.ABCD có đáy hình vng (hoặc hình thoi) tâm O đường cao SO vng góc với đáy Ta chọn hệ trục tọa độ tia OA, OB, OS Ox, Oy, Oz Giả sử SO = h, OA = a, OB = b ta có O(0; 0; 0), A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(–a; 0; 0), D(0;–b; 0), S(0; 0; h)

c) Hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật ABCD AB = b SAD cạnh a vng góc với đáy Gọi H trung điểm AD, (ABCD) ta vẽ tia Hy vng góc với AD Chọn hệ trục tọa độ Hxyz ta có:

H(0; 0; 0), A



a; 0; , B

 

a; b; 0



2



 



a a a

, C ; b; , D ; 0; , S 0; 0;

2 2

 



   

Phần II 1

HÌNH CHĨP CĨ MỘT CẠNH BÊN VNG GĨC VỚI ĐÁY ( Hay hình chóp có hai mặt bên vng góc với đáy)

* Lưu ý:Đường cao hình chóp cạnh bên vu«ng gãc đáy

Ví dụ

Tứ diện ABCD: AB, AC, AD đôi vng góc với nhau; AB = 3; AC = AD=

Tính khoảng cách từ A tới mặt ph¼ng (BCD)

( KD: 2002) Giảii

+ Chän hƯ trơc Oxyz cho A  O D Ox; C  Oy B  Oz

A(0;0;0); B(0;0;3); C(0;4;0); D(4;0;0) Phng trình đoạn chắn (BCD) là:

1 4 x y z

 3x + 3y + 4z - 12 = Khoảng cách từ A tới mặt phẳng (BCD) lµ:

d(A; mp’(BCD)) = 34 17 Ví dụ

Cho tứ diện ABCD có AD vng góc với mặt phẳng (ABC) tam giác ABC vuông A, AD = a, AC = b, AB = c.Tính diện tích S tam giác BCD theo a, b, c chứng minh :





2S abc a b c 

(DB – ÑH K D – 2003) Giaûi

Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ, ta có tọa độ điểm :A(0;0;0), B(c;0;0), C(0;b;0), D(0;0;a) z

y

x

B

C D









 





    

 

 

   

 

     

     



   

 

2 2 2

BCD

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2

BC c; b; ,BD c; 0;a , BC,BD ab;ac; bc

1

S BC,BD a b a c b c ñpcm

2

a b a c b c abc(a b c) a b a c b c abc(a b c) Theo BĐT Cauchy ta :

a b +b c 2ab c b c +c a

 

      



  

2 2 2 2

2 2 2

2bc a Cộng vế : a b a c b c abc(a b c) c a a b 2ca b

Ví dụ

Cho hình chóp S.ABCD hình vng cạnh a, SA  (ABCD), SA a 2. Mặt phẳng () qua A vng góc với SC cắt SB, SC, SD M, N, P Chứng minh tứ giác AMNP có hai đường chéo vng góc tính diện tích tứ giác

Giải

Dựng hệ trục Ax, Ay, Az đơi vng góc,

với A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), C(a; a; 0), D(0; a; 0), S(0; 0; a 2)

1

SC (a; a; a 2) a(1; 1;    2) a.u

 

2

SB (a; 0; a 2) a(1; 0;    2) a.u

 

3

SD (0; a; a 2) a(0; 1;    2) a.u

 

Phương trình mp(qua A(0; 0; 0) với pháp vectơ nu1(1; 1; 2):

( ) : x y   2z0

Phương trình đường thẳng SC qua C(a; a; 0) với vectơ phương u1:

x a t

(SC) : y a t

z 2t

  

   

   

N SC  N(a t; a t;   2t)

a a a a

N ( ) a t a t 2( 2t) t N ; ;

2 2

 

              

 

Phương trình đường thẳng (SB): x = a + t; y = 0; x  2t Ta có: M SB; M ( ) t a M 2a; 0; a

3 3

 

        

  Phương trình đường thẳng (SD):

x0; y a t; z  2t Ta coù: P SD; P ( ) t a P 0; 2a a 2;

3 3

 

        

 

S

A

P N M

B

C

a O

z a 2

a x

D y z

y

x A

B

a a a 2a 2a 2a

AN ; ; ; AN a; MP ; ; ; MP

2 2 3

   

      

   

 

Ta coù:

2

a 2a a 2a a a a

AN.MP 0 AN MP

2 3 3

 

           

 

(ñpcm)

Diện tích tứ giác AMNP:

2

1 2a a

S AN.MP a

2 3

  

Ví dụ

Cho hình chóp S ABCD, SA  (ABCD), SA = a, SC  BD; đáy ABCD hình thang vng có BC = 2a, AD a

2

 đường cao AB = a M điểm cạnh SA, đặt AM = x (0 x a)  Tính độ dài đường cao DE BMD Định x để DE đạt giá trị nhỏ

Giải

Dựng hệ trục Axyz với Ax, Ay, Az đơi vng góc, A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), C(a; 2a; 0), D 0; ; , S(0; 0; a), M(0; 0; x)a

2

 

 

 

BM ( a; 0; x). 



Phương trình đường thẳng BM qua B với , vectơ phương:

x a at

(BM) : y

z xt

  

     

a

E BM E(a at; 0; xt) DE a at; ; xt

2

 

       

 



a

DE BM DE.BM (a at)( a) xt.x

2

          

    



2

2 2

2

a

(x a )t a t

x a Ta coù:

2

2 2

ax a a x

DE ; ;

2

x a x a

 

  

 

 





       

   

         

2 4 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2

a x a a x a a x (x a a 4x

DE

4

(x a ) (x a ) (x a ) x a

a a

DE DE x x M A

2

Ví dụ

Cho hình chóp SABCD, ABCD hình vng cạnh a, SA  (ABCD), SA = 2a Mặt phẳng () qua BC hợp với AC góc 30o, cắt SA, SD M, N Tính diện tích thiết diện BCNM Giải

Dựng hệ trục tọa độ Axyz, với Ax, Ay, Az đơi vng góc, A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), C(a; a; 0), S(0; 0; 2a)

Đặt: AM = h; (0 < h < 2a)  M(0; 0; h)

M E

A D

a C

y z

S a

BM ( a; a; h), BC (0; a; 0),   

 

2

[BM; BC] ( a.h; 0; a )      a(h; 0; a)

 a.n, với n (h; 0; a)

n (h; 0; a)

   pháp vectơ mặt phẳng () Đường thẳng AC có vectơ phương

1

u (a; a; 0) a(1; 1; 0) a.u ,     với u1 (1; 1; 0) () hợp với AC góc 30o

 

  

   

 



     

o

2

2

2 2 2

1.h 1.0 0.a

sin 30

2

1 h a

h

2

2 h a

h h a 2h h a

h a

   M trung điểm SA

Ta coù: MN ( ) (SAD) MN // BC // AD BC // AD

   

 



BC(SAB) BCBM BCNM laø hình thang vuông B M

ABM vng cân đỉnh A  BMa 2.MN đường trung bình SAD MN a

  Diện tích hình thang vuông BCNM:

2

1 3a

S BM(MN BC)

2

  

Ví dụ

Cho hình chóp O.ABC có OA = a, OB = b, OC = c đơi vng góc Điểm M cố định thuộc tam giác ABC có khoảng cách đến mp(OBC), mp(OCA), mp(OAB) 1, 2, Tính a, b, c để thể tích O.ABC nhỏ

Giải

Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ, ta có:

O(0; 0; 0), A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) d[M, (OAB)] =  zM = Tương tự  M(1; 2; 3)

pt(ABC): x y z a  b c

1

M (ABC)

a b c

     (1)

O.ABC

V abc

6

 (2)

3

1 3

(1)

a b c a b c

    

1abc 27

 

C y

2a S

N

D y a

x a B

H A

(2)

1

V 27

a b c

     

3 a b c

  

 

  

Ví dụ

Tứ diện S.ABC có cạnh SA vng góc với đáy ABC vng C Độ dài cạnh SA = 4, AC = 3, BC = Gọi M trung điểm cạnh AB, H điểm đối xứng C qua M Tính cosin góc phẳng nhị diện [H, SB, C]

Giải

Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ, ta có:

A(0; 0; 0), B(1; 3; 0), C(0; 3; 0), S(0; 0; 4) H(1; 0; 0)

mp(P) qua H vuông góc với SB I cắt đường thẳng SC K, dễ thấy

[H, SB, C] =



IH, IK 



(1) SB   ( 1; 3; 4), SC (0; 3; 4) suy ra:

ptts SB:

x t

y 3t

z 4t

   

   

  

, SC:

x

y 3t

z 4t

  

   

  

và (P): x + 3y – 4z – = I



5 15; ; 3

 

, K 0; 51 32;



8 25 25

 cos[H, SB, C] 379 281

12645 

 

Ví dụ

Cho hình chóp S ABCD có SA  (ABCD) SA = a 6, đáy ABCD nửa lục giác nội tiếp đường trịn đường kính AD = 2a

Tính khoảng cách từ đường thẳng AD đến mặt phẳng (SBC) Giải

Dựng BB/ AD, CC/ AD I trung điểm AD

/ / a / a / 3a

BB CC ; AB ; AC

2 2

    

Dựng hệ trục Axyz, với Ax, Ay, Az đôi vuông

   

   

   

a a a 3a

goùc A(0; 0; 0), B ; ; , C ; ; ,

2 2

D(0; 2a; 0), S(0; 0; a 6)

a a a 3a

SB ; ; a , SC ; ; a

2 2

   

     

   

 

2 2

2 a a a

[SB; SC] a 6; 0; (2 2; 0; 1) n,

2 2

 

   

 

  

với n (2 2; 0; 1) 

Phương trình mặt phẳng (SBC) qua S với pháp vectơ n: (SBC) : 2x z a 6  0

Vì: AD // BC AD //(SBC) d(AD; (SBC)) d(SBC))

z S

a 6

x A

B B/

C C/

I D

Ta coù: d(A; (SBC)) 0 a a

 

 

 Vaäy,

a

d(AD; (SBC))

3



BÀI TẬP

Bài 1( KA 2000)

Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC vng góc với đơi có OA = a, OB = a , OC = c Gọi D đỉnh đối diện với O hình chữ nhật AOBD M trung điểm BC (P) mặt phẳng qua A, M cắt mặt phẳng (OCD) theo đường thẳng vuông góc với AM

1) Gọi E giao điểm (P) với OC, tính độ dài OE 2) Tính khoảng cách từ C đến mp’(P)

3) Tính tỉ số thể hai khối đa diện tạo thành cắt khối chóp C.AOBD mặt phẳng (P)

Bài ( ĐH 2001 )

Cho tam giác vng cân ABC có AB = AC = a, M trung điểm BC Trên nửa đường thẳng AA1, MM1 vng góc với mặt phẳng (ABC) phía, lấy tương ứng điểm N, I cho 2MI = NA = a Gọi H chân đường vng góc hạ từ A xuống NB Chứng minh rằng: AH  NI

Bài

Trên ba tia Ox, oy, oz vng góc với đơi lấy điểm A, B, C Giả sử A cố định B, C thay đổi cho OA = OB + OC Hãy xác định vị trí B, C cho thể tích tứ diện OABC lớn

Bài

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA = a vuông với đáy 1) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC)

2) Tính khoảng cách từ tâm O hình vng đến mặt phẳng (SBC) 3) Tính khoảng cách từ trọng tâm tam giác SAB đến mặt phẳng (SAC) Bài

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân với BA = BC = a, SA = a vng góc với đáy Gọi M, N theo thứ tự trung điểm AB AC

1) Tính góc hai mặt phẳng (SAC) mặt phẳng (SBC) 2) Tính góc hai mặt phẳng (SEF) mặt phẳng (SBC) Bài

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA = 2a vng góc với đáy 1) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC), từ C đến mặt phẳng (SBD)

2) MN trung điểm AB, AD CMR: MN // (SBD) tính khoảng cách từ MN đến mặt phẳng (SBD)

Bài

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với cạnh AB = a, AD = 2a, SA = a vng góc với đáy

1) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD) khoảng cách từ trung điểm I SC đến mặt phẳng (SBD)

2) Gọi M trung điểm cạnh CD, tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBM) Bài 8.( KA – 2000)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A D với AB = AD = a, DC = 2a , SD = a vng góc với đáy

1) Chứng minh tam giác SBC vuông tính diện tích tam giác 2) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC)

Bài

1) Gọi M, N theo thứ tự thuộc BC, DC cho BM = ,

2

a a

DN Chứng minh hai mặt phẳng (SAM) mặt phẳng (SMN) vng góc với

2) Gọi M, N theo thứ tự thuộc BC, DC cho BM = x, DN = y

a Tìm hệ thức liên hệ x y để hai hai mặt phẳng (SAM) mặt phẳng (SMN) vng góc với

b Chứng minh điều kiện cần đủ để nhị diện (M, SA, N) có số đo 600 :

3 ( )

a xy  xy  a Bài 10

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD nửa lục giác nội tiếp đường trịn đường kính AB = 2a, SA = a vng góc với đáy

1) Tính góc hai mặt phẳng (SAD) mặt phẳng (SBC); Tính góc hai mặt phẳng (SCD) mặt phẳng (SBC)

2) Tính khoảng cách từ A , D đến mặt phẳng (SBC) từ đường thẳng AB đến mặt phẳng (SCD)

3) Tính diện tích thiết diện hình chóp S.ABCD tạo mặt phẳng ( ) song song với mặt phẳng (SAB) cách mặt phẳng (SAB) khoảng

4

a

Bài 11

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng B với AB = a, SA a vng góc với đáy Gọi M trung điểm AB Tính độ dài đường vng chung SM BC

Bài 12

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng đường cao AB = a, BC = 2a, SA = a vng góc với đáy, ngồi cịn có SC vng góc với BD

1) Tính AD

2) Gọi M điểm đoạn SA, đặt AM = x (0 ≤ x ≤ a) Tính độ dài đường cao DE tam giác BDM Xác định x để DE có giá trị lớn nhất, nhỏ

Bài 13

Cho hình chóp S.ABC có SA vng góc với đáy mặt phẳng (ABC), ABC tam giác vuông B, AB = a, AC = 2a, mặt (SBC) hợp với mặt (ABC) góc 600

1) Tìm đoạn BC điểm M cách hai mặt phẳng (SAB) (SAC) Tính khoảng cách 2) Tìm đoạn SA điểm N cách hai mặt phẳng (SBC) (SAC) Tính khoảng cách 3) Tìm đoạn AB điểm P cách hai mặt phẳng (SAC) (SBC) Tính khoảng cách Bài 14

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng C với AB = 2a, góc BAC = 300 , SA = 2a vng góc với đáy Gọi M điểm di động cạnh AC, đặt AM = x (0 ≤ x ≤ a 3)

1) Tính khoảng cách từ S đến BM theo a x

2) Tìm giá trị x để khoảng cách có giá trị lớn nhất, nhỏ Bài 15 ( ĐH- KA 2001)

Cho tứ diện SABC có SC = CA = AB = a 2, SC vng góc với mặt phẳng (ABC), tam giác ABC vuông A, điểm M thuộc SA N thuộc BC cho AM = CN = t (0 < t < 2a)

1) Tính độ dài đoạn thẳng MN Tìm giá trị t để đoạn MN ngắn

2) Khi đoạn MN ngắn nhất, chứng minh MN đường vng góc chung BC SA Bài 16 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, SA = a vng góc với đáy Gọi E trung điểm CD

1) Tính diện tích SBE

2) Tính khoảng cách từ đỉnh C đến (SBE)

Bài 17 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a Cạnh bên SA vng góc với đáy SA  a

1) Tính khoảng cách từ đỉnh C đến (SBD)

2) Tính khoảng cách hai đường thẳng SD AC 3) Tính góc phẳng nhị diện [B, SC, D]

Bài 18 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh 3cm Cạnh bên SA vng góc với đáy SA  2cm Mp( ) qua A vng góc với SC cắt cạnh SB, SC, SD H, M, K

1) Chứng minh AH vng góc với SB, AK vng góc với SD 2) Chứng minh BD song song với ( )

3) Chứng minh HK qua trọng tâm G SAC 4) Tính thể tích hình khối ABCDKMH

Bài 18 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật, AB = a, AD = b Cạnh bên SA vng góc với đáy SA = 2a Gọi M, N trung điểm cạnh SA, SD

1) Tính khoảng cách từ A đến (BCN) 2) Tính khoảng cách SB CN

3) Tính góc hai mặt phẳng (SCD) (SBC) 4) Tìm điều kiện a b để cos CMN

3

 Trong trường hợp tính thể tích hình chóp S.BCNM

Bài 20 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a Đường cao SA = 2a Trên cạnh CD lấy điểm M, đặt MD = m (0 m  a)

1) Tìm vị trí điểm M để diện tích SBM lớn nhất, nhỏ 2) Cho m a

3

 , gọi K giao điểm BM AD Tính góc phẳng nhị diện [A, SK, B]

Bài 21: Cho hình vng ABCD cạnh a tâm I Trên hai tia Ax, By chiều vng góc với mặt phẳng (ABCD) lấy hai điểm M,N Đặt AM=x, CN=y

1) Tính thể tích hình chóp ABCMN

2) CMR điều kiện cần đủ để góc MIN=900 2xy=a2

Bài 22: Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vuông cân ABC với cạnh huyền AB = Cạnh bên SC(ABC) SC = Gọi M trung điểm AC, N trung điểm AB

1) Tính góc hai đường thẳng SM CN

Phần II 2

HÌNH CHĨP CĨ MỘT MẶT BÊN ( HOẶC MẶT CHÉO) VNG GĨC VỚI ĐÁY

* Lưu ý:Đường cao hình chóp cạnh đường cao mặt bên mặt chéo

Ví dụ

Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Mặt bên SAB tam giác vng góc với đáy Gọi H trung điểm AB M điểm di động cạnh BC Chứng minh SH vng góc (ABCD) Đặt x = CM với 0x a (a 0)

Tính khoảng cách từ S đến DM Tìm x để khoảng cách lớn Giải

Ta coù: (SAB) (ABCD), (SAB) (ABCD) AB

SH AB

  

 

 

SH (ABCD)

 

Chọn hệ trục Hxyz, với Hx, Hy, Hz

a

đôi vuông góc, H(0; 0; 0), A ; 0; ,

2

a a a

B ; 0; , C ; a; , D ; a; ,

2 2

a a

S 0; 0; , M ; a x; , x a; a

2

 



 

 

     



     

     

   

   

   

   

x

2

a a

SD ; a; , DM (a; x; 0), DM a x

2

 

       

 

  

2

2

ax a ax

[SD; DM' ; ; a

2 2

 

    

 

 

2

2 2

3a x 2a a a

[SD; DM] (x 2a) 4x 4ax 7a

4 4

       

 

Khoảng cách từ S đến đường thẳng DM:

2

2

[SD; DM] a 4x 4ax 7a

d(S; DM)

2 x a

DM

 

 



 



Xét hàm số:

2

2

4x 4ax 7a

f(x) ,

x a

  

 với 0x a (a 0)

2

/

2 2

2a(2x 3ax 2a )

f (x)

(x a )

  



/ 2 a

f (x) 2x 3ax 2a x hay x 2a

2

        

z S

a 3 2

A

D

C B

a 2

M x H

Bảng biến thiên:

x a

2

 a 2a

f/(x) + - - - +

f(x)

7

7

Từ bảng biến thiên ta có: max f(x) x = Vậy: Maxd(S; DM) =

2

a

, đạt x = BÀI TẬP

Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a SAD vng góc với (ABCD) Gọi H trung điểm AD

1) Tính d(D, (SBC)), d(HC, SD)

2) Mặt phẳng ( ) qua H vng góc với SC I Chứng tỏ ( ) cắt cạnh SB, SD 3) Tính góc phẳng nhị diện [B, SC, D]

Bài 2: Cho hình thoi ABCD tâm O, cạnh a AC=a, Từ trung điểm H cạnh AB dựng SH(ABCD) với SH=a

1) Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SCD) 2) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC)

Bài Cho hình vng ABCD cạnh a Từ trung điểm H cạnh AB dựng SH vng góc với mặt phẳng (ABCD) cho nhị diện cạnh AD hình chóp S.ABCD có số đo 600

1) Tính SH khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD)

2) Gọi K trung điểm cạnh AD Chứng minh CK  SD tính số đo nhị diện (A, SD, C) 3) Tính góc hai mặt phẳng (SBC) mặt phẳng ( SCK)

Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a Mặt bên SAD tam giác vng góc với (ABCD) Gọi H trung điểm AB

Phần II 3

HÌNH CHĨP ĐỀU

* Lưu ý:Chân đường cao hình chóp tâm đa giác đáy

Ví dụ (ĐH K A – 2002)

Cho hình chóp tam giác S.ABC có độ dài cạnh đáy a Gọi M, N trung điểm SB, SC Tính theo a diện tích AMN, biết (AMN) vng góc với (SBC)

Giải

Gọi O hình chiếu S (ABC), ta suy O trọng tâm ABC Gọi I trung điểm BC, ta có:

3 a

AI BC

2

 

a a

OA , OI

3

  

Trong mp(ABC), ta vẽ tia Oy vng góc với OA Đặt SO = h, chọn hệ trục tọa độ hình vẽ ta được:

O(0; 0; 0), S(0; 0; h), A a 3; 0;         a

I ; 0;

6

 



  , B a a; ;

6

 

 

 

 ,

a a

C ; ;

6

 

  

 

 ,

a a h

M ; ;

12

 

 

 

 

và N a 3; a h;

12

 

  

 

 

2

(AMN) ah 5a

n AM, AN ; 0;

4 24

 

   

      ,

2

(SBC) a

n SB, SC ah; 0;

6             2

(AMN) (SBC) 5a AMN a 10

(AMN) (SBC) n n h S AM, AN

12    16

           

Ví dụ

Cho hình chóp SABC, cạnh có độ dài 1, O tâm ABC I trung điểm SO

1) MỈt phẳng (BIC) cắt SA M Tìm tỉ lệ thể tÝch cđa tø diƯn SBCM vµ tø diƯn SABC

2) H chân đường vuông góc hạ từ I xuống cạnh SB CMR: IH qua trọng tâm G cña SAC Giải

Chọn hệ trục Oxyz cho O gốc tọa độ AOx, S Oz, BC//Oy

Tọa độ điểm: ( 3; 0; 0)

A ; ( 3; 1; 0)

6

 

B ;

3 ( ; ; 0)

6 

C ; (0; 6)

3

S ; (0; 0; 6)

I

Ta có: BC (0;1; 0); ( 1; ; 6)

6

  



IC ;

6

, ( ; 0; )

6

 

 BC IC  

Phơng trình mặt phẳng (IBC) lµ: 6( 0) 0( 0) 3( 6)

6 6

 x  y  z 

Hay:

6

  z  mà ta lại có: ( 3; 0; 6) // (1; 0; 2)

3

   

  

SA

SA SA u

Phơng trình đờng thẳng SA: ;  

x t y0;z   2t

+ Tọa độ điểm M nghiệm hệ:

3

(1)

0 (2)

2 (3)

6

2 (4)

6



 

 

   

   

   

 

x t

y

y t

x z

Thay (1) (2) (3) vµo (4) cã:

3 6

; 0; ( ; 0; )

12 12

 x y z M ; ( 3; 0; 6)

12 12

SM  SA SM

M nằm đoạn SA vµ



SM SA

( )

( )

 SBCM  SABC

V

V

2 Do G trọng tâm ASC  SG qua trung điểm N AC  GI  (SNB)  GI SB đồng phẳng (1) Ta lại có tọa độ:

G( 1; ; 6) 18

3

( ; ; )

18 18

GI   ( 3; 1; 6)

18 18

GI   GI SB  0GI SB (2) Tõ (1) vµ (2) GI SBH

Ví dụ

Cho tứ diện SABC có cạnh a Dựng dường cao SH

1) Chứng minh SA  BC Tính thể tích diện tích tồn phần hình chóp SABC

2) Gọi O trung điểm SH Chứng minh OA, OB, OC đơi vng góc với Giải

1) Gọi M trung điểm BC AM BC, AM a

   Gọi SH đường cao tứ diện đều, nên SH trục đường tròn (ABC)  H tâm đường tròn (ABC) AH 2AM a

3

  

Dựng hệ trục Axyz, với Ax, Ay, Az đơi vng góc,

     



     

     

a a a a a a

A(0; 0; 0), B ; ; , C ; ; , S 0; ; ,

2 2 3

   

   

   

a a

M 0; ; , H 0; ;

2

a a

BC ( a; 0; 0), SA 0; ;

3

 

    

 

 

Ta coù:

a a

SA.BC 0.( a) 0 SA BC

3

      

   

.

Thể tích hình chóp:

2

ABC

1 a a a

V SH.S

3 3 12

  

Diện tích tồn phần:

2

2 ABC

a

S 4.S a

4

  

2) O trung điểm SH  tọa độ O 0; a a 6;

3

 

 

 

a a a a a a a a

OA 0; ; , OB ; ; , OC ; ;

3 6 6

     

        

     

  

Ta coù:

2

a a a a a a a

OA.OB OA OB

2 6 6

       

 

Chứng minh tương tự ta có: OBOC, OCOA

Vậy, OA, OB, OC đôi vuông góc

BÀI TẬP Bài

Cho hình chóp tứ giác S.ABCD Gọi I trung điểm đường cao SO với O tâm ABCD Biết khoảng cách từ I đến cạnh bên mặt bên hình chóp theo thứ tự p, q, Tính thể tích hình chóp

Bài

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O cạnh a, SO vng góc với đáy Gọi M, N theo thứ tự trung điểm SA BC Biết góc MN mặt phẳng (ABCD) 600 1) Tính MN SO

2) Tính góc MN mặt phẳng (SBD) Bài

Cho hình chóp tứ giác S.ABCD cạnh 2a Gọi d1 , d2 , d3 , d4 theo thứ tự khoảng cách từ điểm M thuộc đáy ABCD tới mặt bên

CMR: Tổng d1 + d2 + d3 + d4 không phụ thuộc vào vị trí điểm M Bài

Cho hình chĩp S.ABC, gọi O trọng tâm tam giác ABC I trung điểm SO Chứng minh IA, IB, Ic đơi vng góc với

Bài

Cho hình chóp tam giác S.ABC có đường cao SO = đáy Abc có cạnh a Gọi M, N theo thứ tự trung điểm AB, AC Tính thể tích hình chóp S.AMN bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Bài Cho hình chóp tam giác S.ABC có độ dài cạnh đáy a, đường cao SH = h Mặt phẳng ( ) qua AB vng góc với SC

1 Tìm điều kiện h theo a để ( ) cắt cạnh SC K Tính diện tích ABK

Phần II 4

HÌNH CHĨP CĨ CÁC CẠNH BÊN BẰNG NHAU ( Hay hình chóp có cạnh bên tạo với đáy góc nhau)

* Lưu ý:Chân đường cao hình chóp trùng vớitâm đường trịn ngoại tiếp đa giác đáy

Ví dụ

Cho hình chĩp S.ABC cĩ đáy ABC tam giác cạnh a, SA = SB = SC, khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC) h Tìm điều kiện a h để hai mặt phẳng (SAB) (SAC) vng góc với BÀI TẬP

Cho tứ diện OABC (vuông O), biết OA,OB,OC hợp với mặt phẳng (ABC) góc ,, Chứng minh rằng:

1) 2 cos cos cos  2 2) 2 2

ABC OCA

OBC

OAB S S S

S      

Phần II 5

HÌNH CHĨP CĨ CÁC MẶT BÊN NGHIÊNG ĐỀU TRÊN ĐÁY

* Lưu ý:Chân đường cao hình chóp trùng vớitâm đường trịn nội tiếp đa giác đáy

Ví dụ

Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA;OB;OC đơi vng góc Gọi   ; ; góc mặt phẳng (ABC) với mặt phẳng (OBC);(OCA) (OAB)

Chứng minh :

1) cos2cos2 cos2 1 2) cos cos cos 

BÀI TẬP

Cho hình cầu bán kính R nội tiếp hình chóp Đáy hình chóp hình thoi có góc nhọn , mặt bên hình chóp tạo với đáy góc  Tính thể tích hình chóp

Phần II 6

CÁC LOẠI HÌNH CHĨP KHÁC Ví dụ

Cho hình chóp S.ABCD đáy hình thoi ABCD có tâm O, SO đường cao hình chóp M trung điểm cạnh SC SO = a 2, AC = 4, BD =

1) Tính góc khoảng cách hai đường thẳng SA BM

2) Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt đường thẳng SD N Tính thể tích khối chóp S.ABMN 3) Chứng minh điểm thuộc đường cao hình chóp cách bốn mặt bên hình chóp

BÀI TẬP

Cho hình chữ nhật ABCD Trên nửa đường thẳng At, Ct’ vng góc với mặt phẳng (ABCD) nằm phía mặt phẳng (ABCD) lấy điểm M, N tương ứng Đặt AM = m, CN = n, AB = a, BC = b