cong thuc luong giac

Áp dụng công thức cộng sau đó chia cả tử và mẫu cho sina.sinb. b và c.[r]

Câu hỏi:

1.Có giá trị lượng giác cung α ? Là giá trị nào?

Có giá trị lượng giác cung α Sinα; Cosα; Tanα; Cotα

Câu hỏi:

2.Có cơng thức lượng giác bản? Là công thức nào?

2 2

2

2

1) sin 1

1

2) tan , ,

2

cos

k k Z

cos

 



  



 

    

TL:

2

2

1

3) cot , ,

sin

4) tan cot =1, ,

2

k k Z

k k Z

  





  

   

 

Tính: sin 60 ;0 ;sin 750

3

cos 

0 3

sin 60

2



1

3 2

cos  

0

I – CƠNG THỨC CỘNG

Cơng thức cộng cơng thức biểu thị cos(a±b), sin(a±b), tan(a±b), cot(a±b) qua giá trị lượng giác góc a b

I – CÔNG THỨC CỘNG

(1)

cos(a b ) cos cos a bsin sina b

cos(a b ) cos cos a b sin sina b

sin(a b ) sin cos a b cos sina b

sin(a b ) sin cosa bcos sina b

tan tan tan tan

( ) a b

a b

tan a b 



 

tan tan tan tan

( ) a b

a b

tan a b 



 

(2) (3) (4) (5)

(6)

;

2

;

2

a k b k

a b k a b k

 

 

 

 

   

     

ĐK (5), (6)

Tại không thấy

I – CÔNG THỨC CỘNG

(1)

cos(a b ) cos cos a bsin sina b

cos(a b ) cos cos a b sin sina b

sin(a b ) sin cos a b cos sina b

sin(a b ) sin cosa bcos sina b

tan tan tan tan

( ) a b

a b

tan a b 



 

tan tan tan tan

( ) a b

a b

tan a b 



 

(2) (3) (4) (5)

(6)

Chứng minh công thức (4)

HD CM công thức (5),(6)

( )

tan a b sin( ) ( )

a b cos a b



 

( )

tan a b tana ( )b  

Ta thừa nhận công thức (1) CM công thức (2) (3)-SGK

sin(a b ) sina ( )  b 

sin cos( ) cos sin( )a b a b

   

sin cosa b cos sina b

 

;

2

;

2

a k b k

a b k a b k

 

 

 

 

   

     

I – CÔNG THỨC CỘNG

(1)

cos(a b ) cos cos a bsin sina b

cos(a b ) cos cos a b sin sina b

sin(a b ) sin cos a b cos sina b

sin(a b ) sin cosa bcos sina b

tan tan tan tan

( ) a b

a b

tan a b 



 

tan tan tan tan

( ) a b

a b

tan a b 



 

(2) (3) (4) (5)

(6)

sin750=?

0

sin 75 sin(45 30 )0 

0 0

sin 45 cos30 cos45 sin30

 

2 3 2 1

. .

2 2 2 2

 

6 2

4

I – CÔNG THỨC CỘNG

(1)

cos(a b ) cos cos a bsin sina b

cos(a b ) cos cos a b sin sina b

sin(a b ) sin cos a b cos sina b

sin(a b ) sin cosa bcos sina b

tan tan tan tan

( ) a b

a b

tan a b 



 

tan tan tan tan

( ) a b

a b

tan a b 



 

(2) (3) (4) (5)

(6)

Ví dụ 1

a/ Tính ( )

12

cos  

Giải

a/ Ta có

( )

12

cos   

4

s cos sin sin

co    

 

2 1. 3. 2 2

 

2 



1 tan 4 1 tan

/ CMR: ( a) a

a

b tan  







s( )

4 3

I – CÔNG THỨC CỘNG

(1)

cos(a b ) cos cos a bsin sina b

cos(a b ) cos cos a b sin sina b

sin(a b ) sin cos a b cos sina b

sin(a b ) sin cosa bcos sina b

tan tan tan tan

( ) a b

a b

tan a b 



 

tan tan tan tan

( ) a b

a b

tan a b 



 

(2) (3) (4) (5)

(6)

Ví dụ 1

Giải

1 tan 4 1 tan

/ ( a) a

a

b tan  







4

/ ( a) b tan 

 

tan tan 4

1 tan tan 4

a a

 

 



1 tan 1 tan

a a

 



a/ Tính ( )

12

I – CÔNG THỨC CỘNG (1) cos(a b ) cos cos a bsin sina b

cos(a b ) cos cos a b sin sina b

sin(a b ) sin cos a b cos sina b

sin(a b ) sin cos a bcos sina b

tan tan ( )

1 tan tan

a b tan a b

a b

  



tan tan ( )

1 tan tan

a b tan a b

a b

  



(2) (3) (4) (5) (6)

I – CÔNG THỨC CỘNG (1) cos(a b ) cos cos a bsin sina b

cos(a b ) cos cos a b sin sina b

sin(a b ) sin cos a b cos sina b

sin(a b ) sin cos a bcos sina b

tan tan ( )

1 tan tan

a b tan a b

a b     tan tan ( )

1 tan tan

a b tan a b

a b

  



II – CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI (2) (3) (4) (5) (6) 2tan *tan2 2 1 tan a a a   2

cos0 cos a sin a

   

(2) cos(a a ) cos cos a a sin sina a

(3) sin(a a ) sin cos a a cos sina a

(4)sin(a a ) sin cos a acos sina a

tan tan (5) ( )

1 tan tan

a a tan a a

a a

  



tan tan (6) ( )

1 tan tan

a a tan a a

a a

  



(1) cos(a a ) cos cos a asin sina a

2

cos2a cos a sin a

  

sin0 sin cosa a cos sina a

   sin0

 

sin2a 2sin cosa a

  0 tan   2 tan tan a tan a a    2

cos2a cos a sin a

  

sin2a 2sin cosa a

  2 tan tan a tan a a   

*sin2a 2sin cosa a

2 2

I – CÔNG THỨC CỘNG (1) cos(a b ) cos cos a bsin sina b

cos(a b ) cos cos a b sin sina b

sin(a b ) sin cos a b cos sina b

sin(a b ) sin cos a bcos sina b

tan tan ( )

1 tan tan

a b tan a b

a b

  



tan tan ( )

1 tan tan

a b tan a b

a b

  



II – CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI (2)

(3) (4) (5) (6)

2tan *tan2

2 1 tan

a a

a

 

2

cos2acos a sin a

2

cos2a co as (1 co as )    

2

2 sco a  

Biến đổi sin2a theo cos2a

*sin2a 2sin cosa a

2 2

* s2co a cos a sin a

2

I – CÔNG THỨC CỘNG (1) cos(a b ) cos cos a bsin sina b

cos(a b ) cos cos a b sin sina b

sin(a b ) sin cos a b cos sina b

sin(a b ) sin cos a bcos sina b

tan tan ( )

1 tan tan

a b tan a b

a b

  



tan tan ( )

1 tan tan

a b tan a b

a b

  



II – CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI (2)

(3) (4) (5) (6)

2

cos2acos a sin a

2

1 2sin a

 

2

cos2a sin a sin a

   

Biến đổi cos2a theo sin2a

2tan *tan2

2 1 tan

a a

a

 

*sin2a 2sin cosa a

2 2

* s2co a cos a sin a

2

* s2co a 2cos a 1

2

I – CÔNG THỨC CỘNG

(1) cos(a b ) cos cos a bsin sina b

cos(a b ) cos cos a b sin sina b

sin(a b ) sin cos a b cos sina b

sin(a b ) sin cos a bcos sina b

tan tan ( )

1 tan tan

a b tan a b

a b     tan tan ( )

1 tan tan

a b tan a b

a b

  



II – CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI

(2) (3) (4) (5) (6)

Ta có cos2a= 2cos2a–1

*sin2a=2sina cosa

*cos2a=cos2a–sin2a=2cos2a-1

=1-2sin2a

2tan *tan2 tan a a a  

CÔNG THỨC HẠ BẬC

1 cos 2

2

cos a  a

 cos2a?

 

Ta có cos2a= 1-2sin2a

1 cos 2

2

sin a  a

 sin2a?

 

1 cos 2

2

*cos a a

1 cos2

2

*sin a a

2 ?

tan a

Ta có

1 cos 2 cos2 a a  

1 cos cos

a a

 



1 cos . 2 cos2

a

a







1 cos cos

2 *tan a a a    2 sin ? cos a a

tan a sin22

cos

I – CÔNG THỨC CỘNG

(1) cos(a b ) cos cos a bsin sina b

cos(a b ) cos cos a b sin sina b

sin(a b ) sin cos a b cos sina b

sin(a b ) sin cos a bcos sina b

tan tan ( )

1 tan tan

a b tan a b

a b     tan tan ( )

1 tan tan

a b tan a b

a b

  



II – CÔNG THỨC NHÂN ĐƠI

(2) (3) (4) (5) (6)

Ví dụ 2

*sin2a=2sina cosa

*cos2a=cos2a–sin2a=2cos2a-1

=1-2sin2a

2tan *tan2 tan a a a  

CÔNG THỨC HẠ BẬC

1 cos 2

*cos

2

a a 

1 cos 2

*sin

2

a a 

1 cos2 *tan cos2 a a a   

sina 0,6 ;   a 

3

cos 0

2

a   a    a 

Giải

a Tính sin2a, cos2a , tan2a biết

sin 2a 2sin cosa a

Vậy:

2

2 cos sin 0,28

cos a  a a 

sin 2

tan 2 3,43 2

a a

cos a

 

2.( 0,6).( 0,8) 0,96

    1 cos2 2 a b/ Cho

Tính sina biết

2 a

 

 

2 2

sin a cos a  1 cos a 

cosa 0,8

 

2

sin a

2

=1 ( 0, 6)  0, 64

Bậc giảm xuống nhưng số đo góc( cung) lại

I – CÔNG THỨC CỘNG

(1) cos(a b ) cos cos a bsin sina b

cos(a b ) cos cos a b sin sina b

sin(a b ) sin cos a b cos sina b

sin(a b ) sin cos a bcos sina b

tan tan ( )

1 tan tan

a b tan a b

a b     tan tan ( )

1 tan tan

a b tan a b

a b

  



II – CÔNG THỨC NHÂN ĐƠI

(2) (3) (4) (5) (6)

Ví dụ 2

*sin2a=2sina cosa

*cos2a=cos2a–sin2a=2cos2a-1

=1-2sin2a

2tan *tan2 tan a a a  

CÔNG THỨC HẠ BẬC

1 cos 2

*cos

2

a a 

1 cos 2

*sin

2

a a 

1 cos2 *tan cos2 a a a    1 sin cos 2

a a

a/ Cho Tính sin2a

1 cos2

2

a

b/ Cho

Tính sina biết

2 a     Giải /sin

b a

2 1 1 sin 2 a     sin sin a a         Vì a  

  sin 1

I – CÔNG THỨC CỘNG

(1)

cos(a b ) cos cos a bsin sina b

cos(a b ) cos cos a b sin sina b

sin(a b ) sin cos a b cos sina b

sin(a b ) sin cosa bcos sina b

tan tan tan tan

( ) a b

a b

tan a b 



 

tan tan tan tan

( ) a b

a b

tan a b 



 

(2) (3) (4) (5)

(6)

Cốt cốt cốt sin sin Sin sin cốt cốt sin mà

Sin dấu ra Cốt trái dấu mà bạn ơi Tang hiệu hai tầng cao rộng Trên thượng tầng tang lại trừ tang

Dưới hạ tầng số ngang tàng

Dám cộng vế tang tang oai hùng

Tang tổng hai tầng cao rộng Trên thượng tầng tang cộng tang

Dưới hạ tầng số ngang tàng Dám trừ vế tang tang oai hùng

I – CÔNG THỨC CỘNG (1) cos(a b ) cos cos a bsin sina b

cos(a b ) cos cos a b sin sina b

sin(a b ) sin cos a b cos sina b

sin(a b ) sin cos a bcos sina b

tan tan ( )

1 tan tan

a b tan a b

a b

  



tan tan ( )

1 tan tan

a b tan a b

a b

  



II – CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI (2)

(3) (4) (5) (6)

=1-2sin2a

*sin2a=2sinacosa

*cos2a=cos2a–sin2a=2cos2a-1

2tan *tan2

2 1 tan

a a

a

 

Tang đôi ta lấy đơi tang

Chia trừ lại bình tang, liền. Sin hai lần hai lần sin cốt Cốt hai lần, bình cốt trừ bình sin

Sin2a=sin(a+a)= Cos2a=cos(a+a)= Về nhà tìm cơng thức

tính

Sin3a, cos3a

I – CÔNG THỨC CỘNG

(1) cos(a b ) cos cos a bsin sina b

cos(a b ) cos cos a b sin sina b

sin(a b ) sin cos a b cos sina b

sin(a b ) sin cos a bcos sina b

tan tan ( )

1 tan tan

a b tan a b

a b

  



tan tan ( )

1 tan tan

a b tan a b

a b

  



II – CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI

(2) (3) (4) (5) (6)

*sin2a=2sina cosa

*cos2a=cos2a–sin2a=2cos2a-1

=1-2sin2a

2tan *tan2

2 tan

a a

a

 

CÔNG THỨC HẠ BẬC

1 cos 2

*cos

2

a a 

1 cos 2

*sin

2

a a 

1 cos2

*tan

1 cos2

a a

a

 



Bài 1( Tr.153) Tính

0 0 0 0

225 ,sin 240 ,cot( 15 ),tan 75

7 13

sin , ( ),tan

12 12 12

a cos

b  cos  

 

Công thức hạ bậc suy từ công thức

I – CÔNG THỨC CỘNG

(1) cos(a b ) cos cos a bsin sina b

cos(a b ) cos cos a b sin sina b

sin(a b ) sin cos a b cos sina b

sin(a b ) sin cos a bcos sina b

tan tan ( )

1 tan tan

a b tan a b

a b     tan tan ( )

1 tan tan

a b tan a b

a b

  



II – CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI

(2) (3) (4) (5) (6) *sin2a=2sina cosa

*cos2a=cos2a–sin2a=2cos2a-1

=1-2sin2a

2tan *tan2 tan a a a  

CÔNG THỨC HẠ BẬC

1 cos 2

*cos

2

a a 

1 cos 2

*sin

2

a a 

1 cos2 *tan cos2 a a a   

Bài 2( Tr.154) Tính

0 0

0 0

1

( ),sin ,0

3 3 2

1 tan( ),cos ,

4 3 2

cos( ),sin( - ) 4

sin ,0 90 5

2

sin ,90 180 3

a cos b

c a b a b

I – CÔNG THỨC CỘNG

(1) cos(a b ) cos cos a bsin sina b

cos(a b ) cos cos a b sin sina b

sin(a b ) sin cos a b cos sina b

sin(a b ) sin cos a bcos sina b

tan tan ( )

1 tan tan

a b tan a b

a b

  



tan tan ( )

1 tan tan

a b tan a b

a b

  



II – CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI

(2) (3) (4) (5) (6)

*sin2a=2sina cosa

*cos2a=cos2a–sin2a=2cos2a-1

=1-2sin2a

2tan *tan2

2 tan

a a

a

 

CÔNG THỨC HẠ BẬC

1 cos 2

*cos

2

a a 

1 cos 2

*sin

2

a a 

1 cos2

*tan

1 cos2

a a

a

 



Bài 3( Tr.154)

Rút gọn biểu thức

2

sin( ) sin( )sin( ) 2

1

( ) ( ) sin

4 4 2

( ) ( ) sin( )

2 2

a a b b

b cos a cos a a c cos a cos b a b





 

 

   

  

I – CÔNG THỨC CỘNG

(1) cos(a b ) cos cos a bsin sina b

cos(a b ) cos cos a b sin sina b

sin(a b ) sin cos a b cos sina b

sin(a b ) sin cos a bcos sina b

tan tan ( )

1 tan tan

a b tan a b

a b     tan tan ( )

1 tan tan

a b tan a b

a b

  



II – CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI

(2) (3) (4) (5) (6) *sin2a=2sina cosa

*cos2a=cos2a–sin2a=2cos2a-1

=1-2sin2a

2tan *tan2 tan a a a  

CÔNG THỨC HẠ BẬC

1 cos 2

*cos

2

a a 

1 cos 2

*sin

2

a a 

1 cos2 *tan cos2 a a a   

Bài 4( Tr.154)

Chứng minh đẳng thức

2

2

2

2

( ) cot cot 1

( ) cot cot 1

sin( )sin( ) sin sin s s

cos( ) s( ) s sin s sin

cos a b a b

a

cos a b a b

b a b a b a b

co b co a

c a b co a b co a b

co b a

                

a Áp dụng công thức cộng sau chia tử mẫu cho sina.sinb

b c Áp dụng công thức cộng hệ thức

Bài 4: Chứng minh đẳng thức

cos( ) cot cot 1

/

cos( ) cot cot 1

a b a b

a

a b b

 



 

cos( )

cos( )

a b a b



 

cos cos sin sin

sin sin

cos cos sin sin

sin sin

a b a b

a b

a b a b

a b

 



cot cot 1

cot cot 1

a b a b

 



2 2

/ sin( )sin( ) sin sin cos cos

b a b a b  a  b  b  a

sin(a b )sin(a b ) 

2 2

sin acos b cos asin b

 

2

(1 cos ) (1a cos )b

   

2 2

sin a(1 sin ) sin (1 sinb b a)

   

2

sin a sin b

 

2

cos b cos a

 

cos cos sin sin

cos cos sin sin

a b a b

a b a b

 