Chứng minh tứ giác CHOD nội tiếp được đường tròn. Suy ra AB là phân giác của góc CHD... d) Gọi K là giao điểm của các tiếp tuyến tại C và D của đường tròn (O).[r]
(1)THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRUNG HỌC PHỔ THƠNG NĂM HỌC 2008-2009 KHĨA NGÀY 18-06-2008
ĐỀ CHÍNH THỨC Mơn thi: TỐN
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1: Giải phương trình hệ phương trình sau:
a) 2x2 + 3x – = 0 (1) b) x4 – 3x2 – = 0 (2) c)
2x y (a) 3x 4y (b)
(3)
Câu 2: a) Vẽ đồ thị (P) hàm số y = –x2 đường thẳng (D): y = x – một hệ trục toạ độ
b) Tìm toạ độ giao điểm (P) (D) câu phép tính Câu 3: Thu gọn biểu thức sau:
a) A = 3 3 b) B =
x x .x x 2x x
x x x x
(x > 0; x ≠ 4).
Câu 4:Cho phương trình x2 – 2mx – = (m tham số)
a) Chứng minh phương trình ln có nghiệm phân biệt
b) Gọi x1, x2 hai nghiệm phương trình Tìm m để x12x22 x x1 7
Câu 5: Từ điểm M ngồi đường trịn (O) vẽ cát tuyến MCD khơng qua tâm O hai tiếp tuyến MA, MB đến đường tròn (O), A, B tiếp điểm C nằm M, D
a) Chứng minh MA2 = MC.MD.
b) Gọi I trung điểm CD Chứng minh điểm M, A, O, I , B nằm đường tròn
c) Gọi H giao điểm AB MO Chứng minh tứ giác CHOD nội tiếp đường trịn Suy AB phân giác góc CHD
d) Gọi K giao điểm tiếp tuyến C D đường tròn (O) Chứng minh A, B, K thẳng hàng
-oOo -Gợi ý giải đề thi mơn tốn Câu 1:
a) 2x2 + 3x – = 0 (1)
(2)x1 = hay x2 =
c
a 2.
Cách 2: Ta có = b2 – 4ac = 32 – 4.2.(–5) = 49 > nên phương trình (1) có hai
nghiệm phân biệt x1 =
3
4
x2 = 14
b) x4 – 3x2 – = 0 (2)
Đặt t = x2, t ≥ 0.
Phương trình (2) trở thành t2 – 3t – =
t
t
(a – b + c = 0)
So sánh điều kiện ta t = x2 = x =
Vậy phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt x = x = –2
c)
2x y (a) 3x 4y (b)
(3)
Cách 1: Từ (a) y = – 2x (c) Thế (c) vào (b) ta được:
3x + 4(1 – 2x) = –1 –5x = –5 x =
Thế x = vào (c) ta y = –1 Vậy hệ phương trình (3) có nghiệm x = y = –
Cách 2: (3)
8x 4y 3x 4y
5x 3x 4y
x
3.1 4y
x y .
Vậy hệ phương trình (3) có nghiệm x = y = –1 Câu 2:
a) * Bảng giá trị đặc biệt hàm số y = –x2:
x –2 –1
y = –x2 –4 –1 0 –1 –4 * Bảng giá trị đặc biệt hàm số y = x – 2:
x
y = x – –2
-3 -2 -1
(3)b) Phương trình hồnh độ giao điểm (P) (D) là:
–x2 = x – x2 + x – = x = hay x = –2 (a + b + c = 0) Khi x = y = –1; Khi x = –2 y = –4
Vậy (P) cắt (D) hai điểm (1; –1) (–2; –4) Câu 3:
a) A = 3 3 = (2 3)2 (2 3)2 = 2 2 Mà – > + > nên A = – – – = 2 3.
b) B =
x x .x x 2x x
x x x x
.
= 2
x x .(x 4)( x 2)
( x) ( x 2) x
=
2
( x 1)( x 2) ( x 1)( x 2) (x 4)( x 2). x ( x) ( x 2)
=
x x (x x 2) x
= x
x = 6. Câu 4: x2 – 2mx – = (m tham số)
a) Chứng minh phương trình ln có nghiệm phân biệt.
Cách 1: Ta có: ' = m2 + > với m nên phương trình ln có hai nghiệm
phân biệt
Cách 2: Ta thấy với m, a c trái dấu nên phương trình ln có hai phân biệt
b) Gọi x1, x2 hai nghiệm phương trình Tìm m để x12x22 x x1 7.
(4)Khi ta có S = x x1 2m P = x1x2 = –1
Do x12x22 x x1 7 S2 – 3P = (2m)2 + = m2 = m = 1. Vậy m thoả yêu cầu toán m =
Câu 5:
a) Xét hai tam giác MAC MDA có:
– M chung
– MAC = MDA (=
» đAC s
2 ).
Suy MAC đồng dạng với MDA (g – g)
MA MC
MD MA MA2 = MC.MD
b) * MA, MB tiếp tuyến (O) nên
MAO = MBO = 900
* I trung điểm dây CD nên
MIO = 900.
Do đó: MAO = MBO = MIO = 900
điểm M, A, O, I, B thuộc đường trịn đường kính MO
c) Ta có MA = MB (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) OA = OB = R(O) Do MO trung trực AB MO AB
Trong MAO vng A có AH đường cao MA2 = MH.MO Mà MA2 =
MC.MD (do a)) MC.MD = MH.MO
MH MC MD MO (1). Xét MHC MDO có:
M chung, kết hợp với (1) ta suy MHC MDO đồng dạng (c–g –c) MHC = MDO Tứ giác OHCD nội tiếp
Ta có: + OCD cân O OCD = MDO
+ OCD = OHD (do OHCD nội tiếp)
Do MDO = OHD mà MDO = MHC (cmt) MHC = OHD 900 – MHC = 900 – OHD CHA = DHA HA phân giác
CHD hay AB phân giác CHD
d) Tứ giác OCKD nội tiếp(vì OCK = ODK = 900) OKC = ODC = MDO mà MDO = MHC (cmt) OKC = MHC OKCH nội tiếp
KHO = KCO = 900
KH MO H mà AB MO H HK trùng AB K, A, B thẳng hàng
O M
D C
A
B I
(5)ThS NGUYỄN DUY HIẾU