Viết phương trình tiếp diện (α ) của (S) song song với mặt phẳng (ABD). Tìm tọa độ tâm I và bán kính của mặt cầu. b) Viết phương trình mặt phẳng(ABC). c) Viết phương trình tham số của đư[r]
(1)
PHẦN I: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM 1.TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ. A CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN:
I Định nghĩa
Cho hàm số y=f(x) xác định (a,b)
1) f tăng (a,b) với x1, x2 (a,b) mà x1<x2 f(x1)<f(x2)
2) f giảm (a,b) với x1, x2 (a,b) mà x1<x2 f(x1)>f(x2)
3) x0 (a,b) gọi điểm tới hạn hàm số tạ f’(x) khơng nh hay II Định lý:
1) Định lý Lagrăng: Nếu hàm số y=f(x) liên tục đoạn [a,b]và có đạo hàm khoảng (a,b) tồn điểm c(a,b) cho
( ) ( )
( ) ( ) '( ).( ) '( ) f b f a
f b f a f c b a hay f c
b a
2) Cho hàm số f có đạo hàm khoảng (a,b)
Nếu f’(x)>0 x(a,b) hàm số y=f(x) đồng biến (a,b) Nếu f’(x)<0 x(a,b) hàm số y=f(x) nghịch biến (a,b)
(Nếu f’(x) =0 số hữu hạn điểm khoảng (a,b) định lý đúng) B CÁC BÀI TẬP :
Bài 1: Cho hàm số y x 3 3mx23(2m1)x1 a) Khảo sát hàm số m=1
b) Xác định m để hàm số đồng biến tập xác định c) Định m để hàm số giảm (1,4)
Bài 2: Cho hàm số y 2x x a) Tính y’’(1)
b) Xét tính đơn điệu hàm số Bài 3: Cho hàm số
1 2
mx y
x m
a) Khảo sát vẽ đồ thị m=2
b) Xác định m để đồ thi hàm số không cắt đường thẳng x=-1
c) Chứng minh với giá trị m hàm số đồng biến khoảng xác định Bài 4: Chứng minh
a) x > sinx x (-π/2,π/2) b) ex1 x 2 x R .
c) ln x>1 x
e
x .
Bài : Chứng minh phương trình sau có nghiệm : x5 x32x1 0 2 CỰC ĐẠI VÀ CỰC TIỂU
A CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN:
1.Định nghĩa: Cho hàm số y= f(x) xác định (a,b) điểm x0 (a,b)
Điểm x0 gọi điểm cực đại hàm số y= f(x) với x thuộc lân cận điểm x0
ta có f(x) < f(x0) (x ≠ x0)
Điểm x0 gọi điểm cực tiểu hàm số y = f(x) với x thuộc lân cận điểm
x0 ta có f(x)>f(x0) (x ≠ x0)
2 Điều kiện để hàm số có cực trị:
Định lý fermat: Nếu hàm số y=f(x) liên tục (a,b) có đạo hàm x0(a,b) đạt cực trị điểm
f’(x) =
Định lí 1:
Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm lân cận điểm x0 (có thể trừ x0)
a) Nếu f’(x0) > khoảng (x0 ; x0); f’(x) < khoảng (x0; x0 + ) x0 điểm cực đại
hàm số f(x)
b) Nếu f’(x) <0 khoảng (x0 - ; x0) ; f’(x) > khoảng (x0; + x0) x0 điểm cực tiểu
hàm số f(x)
Nói cách vắn tắt: Nếu x qua x0, đạo hàm đổi dấu điểm x0 điểm cực trị
Định lí 2 Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục tới cấp x0 f’(x0) = 0, f''(xo) xo
điểm cực trị hàm số Hơn
(2)1) Nếu f”(x0) > x0 điểm cực tiểu
2) Nếu f”(x0) < x0 điểm cực đại
Nói cách khác:
1) f’(x0) = 0, f”(x0) > x0 điểm cực tiểu
2) f’(x0) = 0, f”(x0) < x0 điểm cực đại B CÁC BÀI TẬP:
Bài 1: Cho hàm sốyx42mx2 2m1 (1) a) Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số m=1/3
b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị (C) trục hoành c) Biện luận theo m số cực trị hàm số (1)
Bài 2: Cho hàm số
2 2 4
2
x mx m
y
x
a) Khảo sát hàm số m=-1
b) Xác định m để hàm số có hai cực trị Bài 3: Cho hàm số y=2x3−3(m+1)x2
+6 mx−2m
a)Khảo sát hàm số m = gọi đồ thị (C) Chứng tỏ trục hoành tiếp tuyến (C)
b) Xác định m để hàm số có cực trị, tính tọa độ hai điểm cực trị ,viết phương trình đường thẳng qua điểm cực trị
c) Định m để hàm số tăng khoảng (1;) Bài 4: Cho hàm số
2 2 1
x kx k
y
x k
với tham số k.
1)Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số k=1
2)Viết phương trình đường thẳng (d) qua A(3;0) có hệ số góc a Biện luận theo a số giao điểm (C) (d) Viết phương trình tiếp tuyến (C) qua A
3)Chứng minh với k đồ thị ln có cực đại, cực tiểu tổng tung độ chúng Bài 5: Định m để hàm số
3 2
1
( 1) 1
3
y x mx m m x
đạt cực tiểu x = Bài 6: Cho hàm số
2
1
x x m
y x
Xác định m cho hàm số.
a) Có cực trị
b) Có hai cực trị hai giá trị cực trị trái dấu Bài 7: Cho hàm số yf x( )x33x2 3 x+3m-4m
a) Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị lớn m
b) Chứng minh tiếp tuyến điểm uốn có hệ số góc lớn tất tiếp tuyến đồ thị hàm số
3 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT –GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT A.CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN.
1)Định nghĩa : Cho hàm số y=f(x) xác định D Số M gọi GTLN hàm số y=f(x) D nếu:
0
: ( ) : ( )
x D f x M
x D f x M
(ký hiệu M=maxf(x) )
Số m gọi GTNN hàm số y=f(x) D nếu:
0
: ( ) : ( )
x D f x m
x D f x m
(ký hiệu m=minf(x) ) 2) Cách tìm GTLN-GTNN (a,b)
+ Lập bảng biến thiên hàm số (a,b)
+ Nếu bảng biến thiên có cực trị cực đại( cực tiểu) giá trị cực đại (cực tiểu) GTLN(GTNN) hàm số (a,b)
3) Cách tìm GTLN-GTNN [a,b]
+ Tìm điểm tới hạn x1,x2, , xn f(x) [a,b]
+ Tính f(a), f(x1), f(x2), , f(xn), f(b)
+ Tìm số lớn M số nhỏ m số [ , ]
[ , ]
max ( ) ; ( )
a b a b
M f x m f x
(3)Bài 1:Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số: a) y2x33x21 [-2;-1/2] ; [1,3)
b) y x 4 x2
c)
3
4 2sinx- sin
3
y x
đoạn [0,π] (TN-THPT 03-04/1đ)
d)y 2 os2x+4sinxc x[0,π/2] (TN-THPT 01-02/1đ)
e)
3 2
yx x
đoạn [-10,10]
Bài 2: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm sốy= x 1 3x 6x 2 đoạn[-1,3] Bài 3: Chứng minh
2
6 3
2
7 2
x x x
với giá trị x.
góc bé
4 TIỆM CẬN A CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN:
1) Tiệm cận đứng:
Nếu
lim ( )
xx f x đường thẳng (d) có phương trình x= x
0 tiệm cân đứng đồ thị (C)
2) Tiệm cận ngang:
Nếu lim ( )x f x y0thì đường thẳng (d) có phương trình y= x0 tiệm cân ngang đồ thị (C) 3) Tiệm cận xiên:
Điều kiện cần đủ để đuờng thẳng (d) tiệm cận đồ thị (C) lim [ ( ) (ax+b)] 0
x f x xlim [ ( ) (ax+b)] 0 f x lim[ ( ) (ax+b)] 0x f x
4) Cách tìm hệ số a, b tiệm cận xiên y=ax+b
x
( )
lim b= lim[ ( ) ax]
x f x
a f x
x
B CÁC BÀI TẬP:
Bài 1:
1 Khảo sát hàm số
2 4 5
2
x x
y
x
2 Xác định m để đồ thị hàm số
2 ( 4) 4 5
2
x m x m m
y
x m
có tiệm cận trùng với tiệm
cận đồ thị hàm số khảo sát (TN-THPT 02-03/3đ) Bài 2: Tìm tiệm cận đồ thị hàm số
a) y x21 b)
3
1 1
x x y
x
c)
2
3 1
1 2
x x
y
x
.d)
2
2
1
3 2 5
x x
y
x x
PHẦN II: ÔN TẬP KHẢO SÁT HÀM SỐ
Các bước khảo sát hàm số :
Các bước khảo sát hàm đa thức Các bước khảo sát hàm hữu tỷ
1 Tập xác định Sự biến thiên - Chiều biến thiên, cực - Tính lồi lõm, điểm uốn, - Giới hạn
- Bảng biến thiên
3 Đồ thị - Giá trị đặt biệt - Đồ thị
1 Tập xác định Sự biến thiên - Chiều biến thiên, cực - Giới hạn, tiệm cận - Bảng biến thiên
3 Đồ thị
- Giá trị đặt biệt - Đồ thị
(4) Các dạng đồ thị hàm số:
Hàm số bậc 3: y = ax3 + bx2 + cx + d (a 0)
Hàm số trùng phương: y = ax4 + bx2 + c (a 0)
Hàm số biến : y=ax+b
cx+d (ad−bc≠0)
Hàm số hữu tỷ (2/1) :
2
1 1
ax bx c
y
a x b
(tử, mẫu khơng có nghiệm chung, )
Phần III: ƠN TẬP CÁC BÀI TỐN CĨ LIÊN QUAN
Dạng 1:Dùng đồ thị biện luận phương trình:
f(x) = m f(x) = g(m) f(x) = f(m) (1)
+ Với đồ thị (C) hàm số y = f(x) khảo sát
+ Đường thẳng (d): y = m y = g(m) y = f(m) đường thẳng thay đổi phương với trục Ox
Các bước giải
Bước : Biến đổi phương trình cho dạng pt (1) dùng bảng sau: Bước : Dựa vào đồ thị ta có bảng biện luận:
Ví dụ 1:
1 Biện luận phương trình
3
1
3x x = m ( dùng bảng 1)
x y
O
I
x y
O
I
a < a >
Dạng 2: hàm số khơng có cực trị ?
x y
O
I
x y
O
I
a < a >
Dạng 1: hàm số có cực trị ?
x y
O x
y
O
a < a >
Dạng 2: hàm số có cực trị ?
x y
O x
y
O
a < a >
Dạng 1: hàm số có cực trị ?
y
I
x y
O
Dạng 2: hsố nghịch biến Dạng 1: hsố đồng biến
x O
I
x y
O
I
x y
O
I
Dạng 2: hàm số khơng có cực trị
x y
O
I
x y
O
I
(5)2 Biện luận phương trình
3
1
3x x = 3m -2 ( dùng bảng 2)
3 Biện luận phương trình
3
1
3x x =
3 2
1
3m m ( dùng bảng 3)
Dạng 2:Tính diện tích hình phẳng & thể tích vật thể trịn xoay.
Học sinh cần nhớ vận dụng thành thạo công thức:
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
(C): y = f(x), trục Ox đường thẳng x = a, x = b ( a < b)
Ta sử dụng công thức
b a Sf x dx( )
(I)
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
(C): y = f(x), y = g(x) / [a;b]
Ta sử dụng công thức b
a
Sf x( ) g x dx( )
(II)
Tính thể tích vật thể trịn xoay sinh từ hình phẳng (H) giới hạn
(C): y = f(x), trục Ox đường thẳng x = a, x = b ( a < b), (H) quay quanh Ox
Ta dùng công thức
2 b
a
V f x( ) dx
(III)
Tính thể tích vật thể trịn xoay sinh từ hình phẳng (H’) giới hạn (C): x = g(y), trục Oy đường thẳng y = a, y = b ( a <
b), (H’) quay quanh Oy
Ta dùng công thức
2
b
a
V g y( ) dy
(IV)
Đặc biệt hóa trường hợp cần thiết phù hợp với đề cụ thể, đồng thời nắm bước bản khi giải dạng tốn này:
Khi cần tính diện tích hình phẳng:
Nắm dấu hiệu để biết sử dụng cơng thức (I) hay (II) (có hay khơng có Ox)
Xác định cận a cận b (nếu chưa có biết tìm)
Dựa vào đồ thị (hoặc xét dấu riêng), để biết dấu biểu thức f(x)/[a;b] (hay dấu f(x) – g(x) /[a;b])
Biết bước trình bày giải tính kết
Khi cần tính thể tích vật thể trịn xoay:
Nắm dấu hiệu để biết sử dụng cơng thức (III) hay (IV) (hình sinh quay quanh Ox hay quay quanh Oy)
Xác định cận trên, cận tính kết
Ví dụ 4: (trích đáp án kì thi THPT khơng phân ban 2006 )
Tính diện tích hình phẳng giới hạn hàm số y = ex, y = đường thẳng x = 1.
Giải: (0,75 đ) Ta có: ex = x = ln2
Diện tích hình phẳng cần tìm S =
1
ln ln
2 2
x x
e dx e dx
(0,25 đ)
=
1 ln
2 ( 2) (2 2ln 2) 2ln 4
x
e x e e
(đvdt) (0,25đ + 0,25đ) Ví dụ 5: ( trích đáp án kì thi THPT phân ban 2006)
Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C) : y = – x 3 – 3x2 trục Ox.
Giải:
Gọi S diện tích hình phẳng cần tìm
Từ đồ thị ta có:
3
3
0
3 ( 3 )
S x x dx x x dx
4
0
4
x x
(6)Bài tập : (cho dạng dạng 2)
Bài 1: Cho hàm số y = x3 – mx + m + có đồ thị (Cm)
a) Khảo sát hàm số m =
b) Dùng đồ thị (C3), biện luận theo k số nghiệm phương trình: x3 – 3x – k +1 = 0
c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C) đường thẳng (D): y = Bài 2: Cho hàm số y = x3 – 2x2 – (m - 1)x + m = 0
a) Xác định m để hàm số có cực trị b) Khảo sát hàm số Gọi đồ thị (C)
c) Tiếp tuyến (C) O cắt lại (C) điểm A Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C) đoạn OA
Bài 3: Cho hàm số y = (x +1)2(x –1)2
a) Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số
b) Dùng đồ thị (C) biện luận theo n số nghiệm phương trình : (x2 – 1)2 – 2n + = 0
c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C) trục hoành Bài 4: Cho hàm số y=(m−1)x+m
x − m (m khác 0) có đồ thị (Cm) a) Khảo sát vẽ đồ thị (C2)
b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C2), tiệm cận ngang đường thẳng x = 3, x
=
Bài 5: Cho hàm số y=− x
+x
x+1
a) Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số
b) Viết pttt (C) giao điểm (C) với trục hồnh c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C) trục hoành Bài 6: Cho hàm số y=x
2−mx+4 mx−4
a) Khảo sát vẽ đồ thị (C2)
b) Dùng đồ thị (C2) giải biện luận phương trình :
x2 – 2(k + 1)x + 4(k + 1) = 0.
c) Tính diện tích hình phẳng hình (H) giới hạn bởi: (C2), trục Ox, trục Oy, đường thẳng x
=
d)* Tính thể tích hình trịn xoay (H) quay vịng xung quanh Ox tạo Bài 7: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong :
y = 14x2 ; y = −12x2+3x
Bài 8: Cho miền D giới hạn đường: x2 + y – = 0; x + y – = Tính thể
tích vật thể tạo D quay quanh Ox
Bài 9: Tính thể tích vật thể trịn xoay phần mặt phẳng bị giới hạn đường: y = x2 y = √x quay quanh Ox
Dạng 3: Biện luận số giao điểm đường (C): y = f(x) (C’): y = g(x)
Số giao diểm hai đường cong (C1) y= f(x) (C2) y=g(x) số nghiệm phương trình hồnhđộ
giao điểm f(x) = g(x) (1)
Ví dụCho hàm số y=x+1
x −1 đường thẳng y= mx - biện luận số giao điểm hai đường cong Giải : Số giao điểm hai đường cong số nghiệm phương trình x+1
x −1=mx−1 (điều kiện x
khác 1)
(7)+Nếu m = hay m = -2: Phương trình có nghiệm x = nên đường thẳng cắt đường cong điểm
+Nếu m m -2: Phương trình có hai nghiệm phân biệt x = m x =
2
m m
Đường thẳng cắt đường cong hai điểm phân biệt (chú ý hai nghiệm khác 1)
Kết luận: + m = hay m = - có giao điểm + m 0 m - có hai giao điểm
B
ÀI TậP:
Bài 1: Biện luận số giao điểm đồ thị (C):
3
2
3 2
x x
y x
đường thẳng (T):
13 1
( )
12 2
y m x
KQ: giao điểm ( m
27 12
), giao điểm ( m > 27 12
)
Bài 2: Định a để đường thẳng (d): y = ax + không cắt đồ thị hàm số
3 4
1
x y
x
KQ: -28 < a 0 Dạng 4: Cực trị hàm số
Yêu cầu học sinh:
Biết số lượng cực trị dạng hàm số học chương trình:
Hàm số bậc : y = ax3 + bx2 + cx + d (a 0) cực trị có cực trị.
Hàm số bậc dạng : y = ax4 + bx2 + c (a 0) có cực trị cưc trị.
Hàm số biến dạng:
ax+b cx+d
y
tăng giảm khơng có cực trị.
Hàm số hữu tỷ (2/1)dạng:
2
ax bx c
y
a 'x b '
cực trị có cưc trị.
Tóm tắt: Cho hàm số y = f(x) xác định / (a;b) x0 (a;b)
Nếu f’(x0) = f’(x) đổi dấu x qua x0 hàm số có cực trị x = x0
Nếu f’(x0) = f’(x) đổi dấu từ + – x qua x0 hàm số có cực tiểu x = x0
Nếu f’(x0) = f’(x) đổi dấu từ – + x qua x0 hàm số có cực đại x = x0
(Điều hsố khơng có đạo hàm x0 hàm số có xác định đó) Hoặc:
Nếu f’(x0) = f’’(x) hàm số có cực trị x = x0
Nếu f’(x0) = f’’(x) > hàm số có cực tiểu x = x0
Nếu f’(x0) = f’’(x) < hàm số có cực đại x = x0 Bài tập:1 Định tham số m để:
i) Hàm số y =
3
1
( 6)
3x mx m x có cực đại cực tiểu.Kết quả: m < - hay m > 3
2i)Hsố y =
2 2
1
x mx
mx
có cực trị. Kết quả: - < m < 1
3i) Hàm số y = 2x3 – 3(2m + 1)x2 + 6m(m + 1)x + có cực đại cực tiểu x
1, x2 x2 – x1 khơng phụ
thuộc tham số m Kết : m x2 – x1 =
Bài 2: Hàm số y = x3 – 3x2 + 3mx + – m có cực đại cực tiểu Giả sử M
1(x1;y1), M2(x2;y2) điểm cực trị
đồ thị hàm số Chứng minh :
1 2
( )( 1)
y y
x x x x
= 2. Kết : m < 1
Dạng 4: Viết PTTT đồ thị hàm số?
Yêu cầu học sinh nắm bước trình bày giải dạng toán sau: Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến (C): y = f(x) tại M0(x0;y0) (C)
Bước 1: Nêu dạng pttt : y – y0 = f’(x0)x x 0 hay y – y0 = k(x – x0) (*)
(8) Bước 1: Viết pt đường thẳng (d) qua A có hệ số góc k: y – yA = k(x – xA) (1)
Bước 2: (d) tiếp tuyến (C) hệ sau có nghiệm:
( ) ( )
'( )
A A
f x k x x y
f x k
Bước 3: Giải tìm k thay vào (1) Ta có kết
Bài toán 3: Viết pttt (C): y = f(x) biết hệ số góc k tiếp tuyến.
(hay: biết tiếp tuyến song song, vng góc với đường thẳng (D) ) C1: Bước 1: Lập phương trình f’(x) = k x = x0 ( hoành độ tiếp điểm)
Bước 2: Tìm y0 thay vào dạng y = k(x – x0) + y0 ta có kết
C2: Bước 1: Viết pt đường thẳng (d): y = kx + m (**) (trong m tham số chưa biết)
Bước 2: Lập giải hệ pt: ( )
'( )
f x kx m f x k
k = ? thay vào (**) Ta có kết quả Bài tập PTTT đồ thị (C ):
Bài 1: Cho hàm số y = x2 – 2x + có đồ thị (C)và (d): 8x – 4y + = 0
a) CMR (C) (d) cắt điểm A B
b) CMR tiếp tuyến (C) A,B vng góc Bài 2: Cho hàm số y = x3 + mx2 – m – 1, có đồ thị (C)
a) Tìm điểm cố định (Cm) b) Lập pttt điểm cố định
Bài 3: Cho hàm số y = -x4 + 2mx2 – 2m + Tìm m để tiếp tuyến đồ thị
hàm số A(1;0), B(-1;0) vng góc Bài 4: Cho hàm số y =
2 2
x x
Lập pttt đồ thị (C) hàm số giao điểm với
trục tung trục hoành Bài 5: Cho hàm số y =
2 ax - 2
2
x x
Lập pttt đồ thị (C) hàm số giao điểm
với trục tung trục hoành Bài 6: Cho hàm số y =
2 x x
Viết pttt (C) qua A(-6;5)
Bài 7: Viết pttt đồ thị hàm số y =
2 2 2
1
x x
x
qua B(1;0)
Bài 8) Cho hàm số y = x3 – 3x Lập Pttt kẻ từ điểm A(-1;2) tới đồ thị hàm số Bài 9) Cho hàm số y = 2x3 – 3x2 + Lập Pttt kẻ từ A(
19 12;4)
Bài 10) Cho hàm số y = 2x3 + 3x2 – 12x – Tìm M đồ thị (C) hàm số cho
cho tiếp tuyến M qua gốc tọa độ O
MỘT SỐ BÀI TẬP ÔN TẬP TỔNG HỢP
Bài 1) Cho hàm số x
m x ) m ( x
y 2
2
, m tham số, có đồ thị (Cm) 1) Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số m =
2) Với giá trị k (C) đường thẳng (D): y = k có giao điểm phân biệt A B Trong trường hợp đó, tìm tập hợp trung điểm I đoạn AB
3) Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C), trục Oy, y = 1, y = 3/2
Bài 2) Cho hàm số 2
5 4
2
x
m mx x
y
, có đồ thị (Cm) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m =
2) Tìm tất giá trị tham số m để đồ thị (Cm) hàm số có hai điểm phân biệt đối xứng qua O
Bài 3) Cho đường: y = x2 – 2x + 2, y = x2 + 4x + y =
Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường
Bài 4) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y = 2(x 1) x x 2
(9)2 Định m để ptrình : 2x2 – 4x – + 2mx - 1 = có nghiêm phân biệt. Bài 5 : Cho hàm số y=x+3
x+1 gọi (C) đồ thị hàm số cho
a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số
b) Tìm điểm (C ) có tọa độ số nguyên
c) Chứng minh đường thẳng D:y=2x+m cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt MN ;xác định m để đoạn MN có độ dài nhỏ
d) Tìm điểm trục hồnh từ vẽ hai tiếp tuyến với (C) trường hợp vẽ hai tiếp tuyến có tiếp điểm P;Q viết phương trình đường thẳng PQ
e) Tìm tọa độ hai điểm thuộc hai nhánh đồ thị (C) cho khoảng cách giửa chúng bé
f) Tiếp tuyến điểm S (C) cắt hai đường tiệm cận hai điểm I;J chứng minh S trung điểm IJ
g) Với giá trị m đường thẳng y=-x+m tiếp tuyến đường cong (C) Bài 6:Cho hàm số x −1¿
2
(4− x)
y=¿
a) Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số b) Chứng tỏ đồ thị có tâm đối xứng
c) Viết phương trình tiếp tuyến (C) qua điểm A(3;5)
d) Tìm m để đường thẳng y=3/4.x +m cắt (C) theo hai đoạn
e) Tìm m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt: x3 6x29x 4 m0 Bài 7: Cho hàm số y=2x3−3(m+1)x2+6 mx−2m
a)Khảo sát vẽ đồ thị (C) m=1 chứng tỏ trục hoành tiếp tuyến (C)
b) Xác định m để hàm số có cực trị tính tọa độ hai điểm cực trị ,viết phương trình đường thẳng qua điểm cực trị
c) Định m để hàm số tăng khoảng (1;) Bài 8 : Cho hàm số
3 5
- 2 3
y x x x
a) Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số
b) Dùng đồ thị biện luận theo m số nghiệm phương trình 3x3-6x2-5x+m=0.
c) Tiếp tuyến với (C) gốc tọa độ O cắt đồ thị (C) điểm M tìm tọa độ M d) Biện luận theo k vị trí tương đối (C) đường thẳng d có phương trình y=kx e) Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị (C) trục hoành
f) Chứng minh đồ thị có tâm đối xứng
§1 NGUYÊN HÀM: Nguyên hàm hàm số cần nhớ a,b a 0 :
dx x C
dx 1lnax b C
ax b a
1
1
1 ,
x
x dx C
x x
e dx e C
sinxdx cosx C
e dxax 1eax C
a
cosxdx sinx C
sinaxdx 1cosax C
a
2 , 2
cos
dx tgx C x k x
cosaxdx1asinax C
2 cot ,
sin
dx gx C x k x
1
2
, cos
dx tgx C x k
ax a
(10) 0
ln ,
dx x C x
x
1cot ,
sin
dx gax C x k
ax a
Bài tập:
Ghi nhớ:
Nguyên hàm tổng (hiệu) nhiều hàm số tổng (hiệu) nguyên hàm hàm số thành phần
Nguyên hàm tích (thương) của nhiều hàm số khơng tích (thương) nguyên hàm hàm số thành phần
Muốn tìm nguyên hàm hàm số ta phải biến đổi hàm số thành tổng hiệu hàm số tìm nguyên hàm
Áp Dụng: Bài 1.Tìm nguyên hàm hàm số sau cách biến đổi sử dụng bảng nguyên hàm bản
1
4 x dx
(3x1)dx
2
(3x 6x1)dx
4
(x x 5)dx
2
2
(3x 1)dx
x
6.
2
(x x 3 x1)dx
7.(3x26x e dx x)
( 5.3 )
x x
e dx
9.(3sinx-5cosx1)dx
10 7 (3sinx+2cos ) os x dx c x
11 (2 os2 )
x x e e dx c x
12 2x5dx
13
3 8x e dx
14 1 1 5 x dx
15 2 7 x x dx
16 7x1 5dx 17 sin 5xdx
18 cos(4 ) x dx 19
2
sin 3xdx
20
2
cos (1 ) x dx
21 sinx sin 5xdx 22 sinxcos3xdx 23 cos2xcos3xdx
24
7
sin cosx xdx
25 tan 5xdx 26 tan2xdx 27
1 ( 1)dx
x x
28 1
4dx
x
29 1
5 4dx
x x
30
1
3x 7x10dx
31
1
9 7 x 2x dx
32 1 5cossinx xdx 33 esinxcosxdx
Bài Tìm nguyên hàm sau phương pháp đổi biến số:
1
7
(2 )
x x dx
(đặt t= 2-x) 2 x 3 4 xdx
(đặt t 4 3 x )
1 1
sin dx
x x
(đặt t1x ) ln x dx x
(đặt tlnx) 5 x2 33 x dx3
( đặt t= 3+x3) 6
1
x xdx e e
(đặt t ex
)
7 (1 2)
x dx x
(đặt t=1+x2) 8
3 2 x x dx
(đặt t=1+x2) 9
sin(ln )x dx x
(đặt t=lnx)
Bài Tìm nguyên hàm sau phương pháp nguyên hàm phần:
i)(3x1)sinxdx 2i)(2x3) cosxdx 3i)
(3 ) cos 2
x
x dx
4i) (1 x)sin2xdx
5i) (2 3)
x x e dx
6i)(x2 4x1)e dxx
7i) (2 1)
x x e dx
8i)exsinxdx (2x 3)e dxx 9i)
2
(x 4x 1)e dxx
10i)(2x1)e dxx
11i) sin
x
e xdx
12i)
lnx dx x
13i)xln(1 x dx) 14i)
2
ln
x xdx
15i)
1 sin x dx x
Bài 4: Cho hai hàm số
1 1
2
2 4sin
F x x x
;
2
cos f x x
a Chứng minh F x là nguyên hàm f x
b Tìm nguyên hàm G x biết
0 4
G .
Bài 5: Cho hàm số 4
2
cos cos cos
cos sin
x x x f x
x x
(11)Tìm nguyên hàm F x của hàm số f x biết F
Bài 6: Cho hàm số f x 2cos cos2x 4x Tìm hàm số G x biết G x f x
0 29 1
144; 12 32
G G
.
Bài 7: Cho hàm số f x 8sin cos cos cosx x 2x 4x a Giải phương trình f x f x 0
b Tìm nguyên hàm F x hàm số f x biết đồ thị hàm số F x qua điểm
0 8;
M
.
Bài 8: Biết hàm số
sin cos
x F x
x
nguyên hàm f x Hãy tìm giá trị x cho 0
f x f x . Bài 9: Cho hàm số
x
y xe .
a Tính yvà y 2
b Tìm nguyên hàm hàm số 2007
x
f x x e .
Bài 10: Cho hàm số f x exsinx Chứng minh hàm số f x f x nguyên hàm hàm số 2f x
Bài 11: Tìm nguyên hàm F x hàm số
32
2
331
21
xxxfx
xx
,biết 1 1
3
F
(Đề thi tốt nghiệp trung học phổ thơng năm 2003)
§2 TÍCH PHÂN :
1) Định nghĩa:
b
b a a
f x dx F x F b F a
2) Bài tập: Ghi nhớ:
Muốn tính tích phân định nghĩa ta phải biến đổi hàm số dấu tích phân thành tổng hoặc hiệu hàm số biết nguyên hàm
Nếu hàm số dấu tích phân hàm số hữu tỷ có bậc tử lớn bằng bậc mẫu ta phải thực phép chia tử cho mẫu
Nếu hàm số dấu tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối (GTTĐ), ta phải xét dấu biểu thức nằm dấu GTTĐ Tiếp theo phân đoạn cần tính tích phân thành đoạn cho đoạn biểu thức nằm dấu GTTĐ không đổi dấu Áp dụng định nghĩa GTTĐ để khử dấu GTTĐ
Bài 1: Tính tích phân sau đây:
a
2
cos cosx xdx
b
cosx sinx dx
c
1
2
2
x x dx x
d 2
1 ln x x
e dx
x
Bài 2: Cho hàm số 1 x f x
x
hàm số F x ln x21.
a Chứng minh F x là nguyên hàm f x b Áp dụng câu a tính
2
0 1
xdx x
Bài 3: Cho hàm số
2 2
ln ln
f x x x x x a Tính f x . b Áp dụng câu a tính
2
ln
e
xdx
(12)Bài 4: Biết hàm số cos sin cos sin x x F x x x
nguyên hàm f x Hãy tính :
4
0
f x dx
Bài 5: Tính tích phân sau:
1 1
1
❑
√xdx
1
x2+2
3x dx
− π π
(2 sinx −3 cosx) dx
π4
π2 1
sin2x dx
4
0
(cos x sin )x dx
6 0
π6
sinx sin 4x dx
0
π
sin 2x cos 3x dx
0
6
cos3 cos5x xdx
π
sin2x dx 10 cotxdx 11 tan xdx 12 1 3x7dx
13
2
1
1 ( 4)dx
x x
14 1
2 5x 3x dx
15 4 3 6 5 x dx x x 16 3 1 1 x dx x 17 2
2 5 1
3 x x dx x
18
sin 6 x dx 19 2
x dx
20 4 3
x x dx
21
2
0
1 sin 2xdx
22 sin 3 x dx
§3 TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ:
1) Công thức tổng quát:
.
b a
f x x dx f t dt
Công thức trên, tích phân cần tính tích phân vế trái Hàm số dấu tích phân có dạng tích f x (hàm số theo biến x ) với đạo hàm hàm x Áp dụng công thức vào trường hợp thường gặp, ta có cách đặt cụ thể sau:
a). TH1:
sin cos
f x xdx
Đặt tsinx
t p sinx q p q,
sin
n
t p x q biểu thức psinx q nằm n .
b). TH2:
cos sin
f x xdx
Đặt tcosx
t p cosx q p q,
cos
n
t p x q nếu biểu thức pcosx q nằm n . c). TH3:
ln
f x dx x
Đặt tlnx
t p x q ln p q,
ln
n
(13)d). TH4:
1
tan cos
f x dx x
Đặt ttanx
t p tanx q p q, tan
n
t p x qnếu biểu thức ptgx q nằm dấu n .
e). TH5:
1
f cotx .sin xdx
Đặt t cotx
t pcotx q p q,
n
t pcotx q biểu thức pcotgx q nằm n . 2) Bài tập:
Bài 1: Tính tích phân sau đây:
a
6
3
0 2 1
cos sin xdx x b
6cosx 1sinxdx
c 3ln 2
e dx
x x d 19 8 xdx x
Bài 2: Tính tích phân sau đây:
a 2 4 5 x dx x x b cos tgx e dx x
c
2
2
3cot 1 sin
dx gx x d 1 x dx e x
Bài 3: Tính tích phân sau đây:
a 3 cos tgxdx x b 2
sin cosx xdx
c 4 2 sin cos sin xdx x x
d
4 2 cos sin cos xdx x x
Bài 4: Tính tích phân sau đây:
a 3 sin cos xdx x b 3
x x dx c 2 sin sin xdx x d dx tgx tg x
Bài 5: Tính tích phân sau đây: ( Tổng hợp)
1 √3 1 1+x2 dx
(HD: x=tant)
√3
1
9+x2dx (HD: x=3tant)
−1
−1
2
√1− x2dx (HD:
x=sint)
1
√16− x2dx ( HD: x=4sint) 5.
1
x2
√4− x2dx (HD: x=2sint)
−1
1
2+2x+x2dx (HD:đặt x+1=tant)
0
a
3 1
√a2− x2dx(a>0) (HD: x=asint) sin 4 1 sin x dx x
(14)1
1− x¿2009dx
x¿
0
¿ (t=1-x)
0
x√2x+3 dx
(t 2x3)
1
0
2 1dx x x
2
(t x 1) 4
0
x3
√1− x2dx
2
(t 1 x )
5
π6
cosx√1+3 sinxdx (t 1 3sin ) x
e
1+lnx
x dx (t=lnx) 1
e
√2+3 lnx
x dx (t 2 3ln ) x 1
e
√1+3 lnx
x lnxdx
(t 1 3ln ) x
9 0
x
√5x+1dx (t 5x1) 10 0
x+1
√3x+1dx
3
(t 3x1)
11 1 dx e e x x (t ex 1)
12 ln8 ln 1 x e dx
(t ex 1)
` 13
1
π4
etanx+2
cos2x dx (t=tanx+2)
§4 TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN:
1) Công thức tổng quát :
b b
b a
a a
uv dx uv vu dx
hay b b b a a a
udv uv vdu
(1) 2) Các bước thực hiện:
Bước 1:
( ) ( ) ( )
Đặt
( ) ( ) (ngun hàm) u u x du u x dx Đạohàm dv v x dx v v x
Bước 2: Thế vào công thức (1)
Bước 3: Tính b a uv
và suy nghĩ tìm cách tính tiếp
b a
vdu
(tích phân tính định nghĩa đổi biến số tích phân phần tùy toán cụ thể mà ta phải xem xét)
3) Các dạng tích phân tính phương pháp phần:
Tích phân phần thường áp dụng để tính tích phân có dạng sau:
a). Dạng 1:
b
a
p x q x dx
Trong p x là hàm số đa thức, q x hàm sin ( ) x cos ( ) x
Trong trường hợp ta đặt:
u p x dv q x dx
Ghi nhớ :
Trong trường hợp đặt ngược lại vào cơng thức ta
b a
vdu
phức tạp
b a
udv
ban đầu
b). Dạng 2:
.
b a
p x q x dx
Trong p x hàm số đa thức, q x là hàm logarit
Trong trường hợp ta đặt:
u q x dv p x dx
(15)
Ghi nhớ: Trong trường hợp đặt ngược lại ta gặp khó khăn suy v từ dv 4) Bài tập:
Bài 1: Tính tích phân sau đây:
a
0
2x 1 sinxdx
b
0
2 cos
x x xdx
c cos x xdx d 0cos xdx x e 2 1 x
x e dx
f 3 2 x x dx e g 3 2
(x ) xdx
h
2
x
x e dx
Bài 2:Tính tích phân sau đây:
a
3
1
3x 1 lnxdx
b 1 ln
x x dx
c ln e xdx
d
1
2
1
ln
x x dx
Bài Tính tích phân sau phương pháp tích phân phần:
π
2
(x+2)sin xdx
π
2
(1− x)cos xdx
π
2
xsin3 xdx − π
π
(x+1)cosx
2dx
0
x e2xdx 0
1
(x2−3x+1)e2dx
π
2
❑excosxdx
0
π
sinx e2xdx
e
ln xdx 10.
0
ln(x+3)dx
11 1
e
ln xdx
12 −1
ln(1−3x)dx
13
lnx¿2dx ¿
1
e
¿ 14 1
e
x(2−lnx)dx
15 π x+1 cos2x dx
16 π π
❑esin
2
xsin xdx
17
lnx¿2dx
x3¿
1
e
¿ 18
0
❑cos√xdx
19
x+1¿2 ¿ ¿ lnx ¿ e e
¿ 20
0
exdx
§5 CÁC BÀI TỐN TỔNG HỢP VỀ TÍCH PHÂN: Tính tích phân sau đây:
a 2 1 cos sin x dx x b
2
1
lnx x e dxx
x
c
2 cot sin sin
g x x dx x d 2
3cosx x sinxdx
e 1 sin cos cos x xdx x f 1
2 x xdx
x e
g
2 2 2 2 3 cos cos sin x xdx x h 3 1 ln
x x dx
§6 DIỆN TÍCH CỦA HÌNH PHẲNG:
1). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi: C1 :y f x ; C2:y g x x a x b ; ;
(trong hai đường thẳng x a x b ; thiếu hai)
a). Công thức:
b
a
Sf x g x dx
(2)
(16) Bước1: Nếu hai đường x a x b , đề cho thiếu hai giải phương trình
f x g x (PTHĐGĐ C1 và C2để tìm.
Bước 2: Áp dụng công thức (2)
Bước 3: Rút gọn biểu thức f x g x , sau xét dấu hiệu
Bước 4: Dùng phép phân đoạn tích phân áp dụng định nghĩa GTTĐ để khử dấu GTTĐ
c). Chú ý: Nếu toán cho chung khảo sát hàm số ta dùng hình vẽ để khử dấu GTTĐ dễ dàng Có nghĩa là, đoạn tích phân mà hình vẽ, C1 nằm C2thì hiệu f x g x 0,
và C1 nằm C2thì hiệu f x g x 0.
2) Diện tích hình phẳng giới hạn đường khơng rơi vào trường hợp 1:
Bước 1: Vẽ hình (không cần phải khảo sát)
Bước 2: Chia hình cần tính thành hình nhỏ cho hình nhỏ tính diện tích cơng thức (2) Bước 3: Dùng cơng thức (2) tính diện tích hình nhỏ sau tính tổng diện tích tất hình nhỏ
3) Thể tích hình trịn xoay quay hình phẳng giới hạn đường sau quanh trục Ox: C y f x Ox x a x b: ; ; ;
(trong hai đường thẳng x a x b ; thiếu hai)
a) Công thức:
b
a
Vf x dx
(3) b) Các bước thực hiện:
Bước 1: Nếu hai đường x a x b , đề cho thiếu hai giải phương trình
f x (PTHĐGĐ C trục Ox) để tìm. Bước 2: Áp dụng cơng thức (3) 4) Bài tập:
ÁP Dụng 01:
Bài i Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau:
1 y x 1,y0,x0,x3 2.y x 23x 4,y0,x1,x3
3 5 4 , 0, 1, 3 y x x x y x x 4
3
sin , 0, 0,
2
y x y x x
5
x
os , 0, ,
2 2
y c y x x
6 y e 2x1,y0,x0,x1
7
2 2
, 0, 0, 2
x
y xe y x x
8
1
ln , 0, ,
y x y x x e
e
9
2
sin cos , 0, 0,
2
y x x y x x
10 y x 2ln ,x y0,x1,x e
Bài 2i Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau:
1.y x x y, 4 ,x x0,x3 yx x y2, 2 0
3 y x 2 x 5,y x2 3x7 y(x1)(x2)(x 3),y0 y e y x, 1,x2 (C): y x 2 2x2 tiếp tuyến (C) qua
3 ( , 1)
2
A
7 (C):y x 33x2 6x2 tiếp tuyến (C) điểm có hồnh độ 1; 8 ysin ,x ycos ,x x0,x
Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong
2 6 5
2 1
: x x
C y
x
trục Ox. Bài 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong
2
3
:
(17)Bài 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong C y x: 3x1 đường thẳng d y: 3
Bài 5: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường:
2 2 2
1
: x x
C y
x
; đường tiệm cận xiên của
C ; Ox; x e 1.
Bài 6: Cho đường cong
3 3 4 :
C y x x x Viết phương trình tiếp tuyến d C tại gốc tọa độ O Từ tính diện tích hình phẳng giới hạn C d
Bài 7: Cho parabol P y x: 2 6x5
a Viết phương trình tiếp tuyến P giao điểm P với trục Ox b Tính diện tích hình phẳng giới hạn P tiếp tuyến nói câu a
Bài 8: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: C y: x ; d y: 2 x trục Ox
Bài 9: Tính diện tích hình phẳng giới hạn parabol P y: 4x đường thẳng d y: 2x 4 Bài 10: Cho parabol
2 4
:
P y x.
a Viết phương trình tiếp tuyến P điểm tung độ
b Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: P , trục Ox tiếp tuyến nói câu a Bài 11: Cho đường cong
2 1
: x
C y x
Gọi (H) hình phẳng giới hạn đường: C Ox Oy; ; Tính thể tích hình trịn xoay sinh quay (H) xung quanh trục Ox
Bài 12: Cho đường cong
4
:
C y x x
Gọi (H) hình phẳng giới hạn bởi C trục Ox Tính thể tích hình trịn xoay sinh quay (H) xung quanh trục Ox
Bài 13 Tính thể tich vật thể trịn xoay sinh hình phẳng D tạo đường sau quay xung quanh trục Ox.
1 y3x x y 2, 0 y x y 2, 3x y x 31,y0,x0,x1
4
5 ,
y x y
x
5.y sin ,x y 0,x 0,x 2
6.y xe y x, 0,x0,x1 y xln ,x y0,x1,x e
4
cos sin , 0, 0,
2
y x x y x x
A HỆ THỐNG LÝ THUYẾT:
I Qui tắc cộng – qui tắc nhân: (Phép đếm)
Qui tắc cộng: Nếu có m1 cách thực cơng việc H1, m2 cách thực công việc H2, …, mn cách thực công việc Hn (cách thực Hi không trùng với cách thực công việc Hj nào, với i j; i, j = 1, 2, …, n) có m1 + m2 + … + mn cách thực một công việc H1, H2, …, Hn
Qui tắc nhân: Nếu có m1 cách thực công việc H1, m2 cách thực công việc H2, …, mn cách thực công việc Hn (cách thực Hi không trùng với cách thực công việc Hj nào, với i j; i, j = 1, 2, …, n) có m1.m2…mn cách thực Tất công việc H1, H2, …, Hn
II Hốn vị: Cho tập A có n phần tử (n 1) Mỗi cách thứ tự n phần tử tập A gọi hoán vị n phần tử A
Số hoán vị n phần tử là: Pn = n!
n! = 1.2…(n – 1).n
Qui ước: 0! =
III Chỉnh hợp: Cho tập A có n phần tử Mỗi gồm k (1 k n) phần tử khác nhau, thứ tự A gọi là chỉnh hợp chập k n phần tử A
(18)Số chỉnh hợp chập k n phần tử là:
k n
n A
n k
! ( )!
Có thể tính
k n
k thõa sè
A n n( 1)(n 2) (n k1)
Ví dụ:
2
100 100.99 9900
A
Chú ý: Chỉnh hợp chập n n phần tử hoán vị n phần tử
III Tổ hợp: Cho tập A có n phần tử Mỗi gồm k (0 k n) phần tử khác (khơng ý đến tính thứ tự) A gọi tổ hợp chập k n phần tử A (với k = ta qui ước rỗng khơng có phần tử nào)
Số tổ hợp chập k n phần tử là:
k
k n
n
A n
C
k n k k
!
!( )! !
k n k
n n
C C
o n
n n
C C 1
1 n 1
n n
C C n
IV Nhị thức NIUTƠN:
n n n k n k k n n
n n n n
a b C a C a b C a b C b
0 1 1
( )
n
n k n k k n k
a b C a b
0
( )
Dùng máy tính bỏ túi để tính cách sử dụng phím nPr, nCr ♠ Một số ý:
Số số hạng công thức n +
Tổng số mũ a b số hạng nhị thức n
Số hạng tổng quát
k n k k
k n
T C a b
1 (số hạng thứ k + 1)
Cn0C1n Cnk Cnn 2n
Các nhị thức thường dùng:
0
(1 )n k k n n
n n n n
x C C x C x C x
.
0
(1 )n ( 1)k k k ( 1)n n n
n n n n
x C C x C x C x
.
B H ƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI BÀI TẬP : I Các toán dùng phép đếm, chỉnh hợp, tổ hợp:
Hướng dẫn học sinh phân tích kỹ đề xem đối tượng cần tìm phải thực theo bước, gồm phần tử, khác hay khơng cần khác nhau, có thứ tự hay khơng kể thứ tự, có ràng buộc thêm điều kiện phần tử không?
Một số ví dụ:
Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, lập số tự nhiên (chữ số khác 0) a) Số tự nhiên có bốn chữ số?
b) Số tự nhiên gồm bốn chữ số đôi khác nhau? c) Số tự nhiên chẵn gồm bốn chữ số đôi khác nhau?
a) Muốn lập số tự nhiên gồm bốn chữ số ta cần thực tất bốn công việc (chọn chữ số từ chữ số cho xếp vào bốn vị trí a a a a1 4 ), số gồm bốn chữ số khơng u cầu điều kiện khác nên ta dùng qui tắc nhân để giải
a) b) phân tích theo phương pháp tương tự Phân tích thêm câu c) dùng phần bù để giải
Cho năm điểm (trong khơng có ba điểm thẳng hàng) Từ năm điểm cho xác định bao nhiêu:
a) Đoạn thẳng?
b) Vectơ khác vectơ – không?
Mỗi đoạn thẳng xác định gồm hai phần tử khác không kể thứ tự nên tổ hợp chập điểm cho xác định đoạn thẳng
Mỗi vectơ xác định gồm hai phần tử khác có thứ tự nên chỉnh hợp chập điểm cho xác định véctơ
Phân tích giống khác hai câu
Trong chi đoàn có 25 đồn viên Hỏi có cách chọn Ban chấp hành gồm bí thư, phó bí thư ba uỷ viên? (mỗi đồn viên đảm nhiệm nhiều chức vụ)
Muốn chọn Ban chấp hành ta phải thực tất ba cơng việc: CV1–chọn bí thư, CV2–chọn phó bí thư, CV3–chọn ba uỷ viên
(19)CV2: Chọn đoàn viên 24 đoàn viên cịn lại làm phó bí thư có 24 cách thực cơng việc CV3: Chọn ba đồn viên (khơng kể thứ tự) 23 đồn viên cịn lại làm ba uỷ viên tổ hợp chập 23 phần tử cách chọn
Do phải thực tất công việc CV1, CV2, CV3 nên ta dùng qui tắc nhân tìm đáp số.(Có thể dùng chỉnh hợp để tìm số cách chọn bí thư phó bí thư)
Từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, lập số tự nhiên có bảy chữ số chữ số có mặt ba lần, chữ số khác có mặt nhiều lần?
Có ba viên bi màu đỏ giống năm viên bi màu xanh có bán kính khác người ta muốn xếp ba viên bi đỏ bốn viên bi xanh vào hàng có bảy ô (mỗi ô xếp viên) Hỏi có cách xếp?
Sau cho học sinh phân tích giải tốn đến đáp số
3 4 7 5
C A , nêu thêm tốn
có cách giải hồn toàn tương tự để rèn luyện thêm khả phân tích đề, xây dựng chương trình giải cho học sinh
Trong số tốn dùng phần bù để giải Nhất tốn có từ “ít nhất”, “nhiều nhất”…
II Các tốn giai thừa:
Từ ví dụ cụ thể như: 10! = 1.2.3.4.5.6.7.8.9.10 = 8!9.10 hay
10! 1.2.3.4.5.6.7.8.9.10 8! 9.10
8! 1.2.3.4.5.6.7.8 8! tổng quát thành công thức như: n! = (n – 1)!n (với n 1); n! = (n – 2)!(n – 1)n (với n 2) …
Cho học sinh giải tập như:
Giản ước
7 ! 4! 8! 9! B
10! 3!5! 2!7 !
Rút gọn: 2
6 !( n ) ( n )!
A .
( n )! ( n )( n n )
III Các toán giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình có chứa
k n
A k n
C : Hướng dẫn kỹ cách đặt điều kiện:
+ Đối với
k n
A điều kiện là: k ,n 1 k n
+ Đối với
k n
C điều kiện là: k ,n 0 k n
Khai triển công thức trường hợp cụ thể k gì, n IV Các toán nhị thức NIUTƠN:
Bài toán khai triển nhị thức (a + b)n:
Yêu cầu học sinh viết nhị thức dạng:
0 1
( )n n n k n k k n n
n n n n
a b C a C a b C a b C b
Hướng dẫn học sinh dùng máy tính bỏ túi để tính
k n
C từ đến kết quả.
Các tốn tính số hạng, hệ số cần viết số hạng tổng quát
k n k k n
C a b
sau khai thác giả thiết tìm k, n kết
Tính tổng, chứng minh…:
Qua toán cần tập cho học sinh phát qui luật chung số hạng, kết hợp với kiến thức khác đạo hàm, tích phân …tìm chương trình giải
Ví dụ: Tính tổng:
2 3 n 1
0 1 2 n
n n n n
2 1 2 1 2 1
S C C C C
2 3 n 1
(n nguyên dương)
Hướng dẫn học sinh tìm qui luật với số hạng tổng quát là:
k 1 k 1 k
n
2 1
C
k k 1
=
2 k 1 k n
1
x C
k 1
từ dẫn đến tính S = 2
n 1
( x ) dx
Tuy nhiên, đề thi thường kết hợp nhiều dạng, nhiều kiểu nên cần ghép dạng toán, nhiều kiến thức từ dễ đến khó ơn tập giúp học sinh rèn tư duy, tìm qui luật, qui lạ quen…
C M ỘT SỐ BÀI TẬ P :
1) Cho chữ số 0, 1, 2, 3, 4, Từ chữ số lập số tự nhiên (chữ số khác 0) a) Gồm có năm chữ số
b) Gồm năm chữ số khác
(20)d) Gồm năm chữ số khác số chẵn
e) Gồm năm chữ số khác bắt đầu chữ số f) Gồm năm chữ số khác không bắt đầu 23
g) Gồm năm chữ số khác thiết phải có mặt chữ số chữ số
h) Gồm tám chữ số khác chữ số có mặt ba lần chữ số khác có mặt lần i) Tính tổng tất số tự nhiên câu b)
2) Một tổ gồm 12 học sinh có học sinh nam học sinh nữ Giáo viên muốn chon bốn học sinh để trực lớp Hỏi giáo viên có cách chon nhóm trực, biết rằng:
a) Số nam nữ nhóm tuỳ ý b) Trong nhóm phải có hai nam hai nữ c) Trong nhóm phải có nữ 3) Cho đa giác lồi 12 cạnh Hỏi:
a) Đa giác có bao nhiêu đường chéo?
b) Có véctơ khác véctơ–khơng tạo thành từ đỉnh đa giác? c) Có tam giác tạo thành từ đỉnh đa giác?
d) Biết ba đường chéo khơng qua đỉnh khơng đồng qui Hãy tính số giao điểm (khơng phải đỉnh) đường chéo đa giác
4) Có năm tem thư khác sáu bì thư khác Người ta muốn chọn từ ba tem thư, ba bì thư dán ba tem thư lên ba bì thư chọn, bì thư dán tem thư Hỏi có cách thực hiện?
5) Một tổ gồm mười học sinh có hai học sinh A B Hỏi có cách xếp tổ học sinh thành hàng ngang để tập thể dục, biết A B phải đứng kề nhau?
6) Có năm sách tốn khác nhau, bốn sách lý khác hai sách hoá khác Hỏi có cách xếp sách lên kệ sách cho sách môn xếp kề nhau?
7) Giải phương trình sau:
a) P2.x2 – P3.x = b)
2. x 1 42
x x
A C x
c) 2A2x50A22x d)
4 x
3 4
x+1
A 24
A x 23
x
C
8) Giải bất phương trình: a) 14 3 13 41
x
x x
P C A
b)
3 4 2 5( 1)
x x
A C x c) 41 31 22
5
0 4
x x x
C C A
d)
1 105 105
8Cx 3Cx
9) Giải hệ phương trình sau:
a)
2 5 90
5 2 80
y y x x y y x x A C A C
b) 1: 1: 1 6 : : 3
y y y
x x x
C C C
10) Cho khai triển nhị thức:
1 1
1 1 1 1
0 1 1
3 3 3 3
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
n n n n n
x x x x
x x x x
n n
n n n n
C C C C
(n số nguyên dương) Biết khai triển
3 5 1
n n
C C số hạng thứ tư 20n, tìm n x.
11) Khai triển nhị thức:
a) (2x – 1)6 b) (2x – y)6 c)
x x 7 1 3
12) Tìm số hạng khai triển
9 3
3 2
là số ngun 13) Tìm số hạng khơng chứa x khai triển:
a) 10 1 4 2 x x
b)
7 3 4 1 x x
14) Tìm hệ số x8 khai triển
5 3 1 n x x
biết 41 3 7 3
n n
n n
C C n
15) Tính tổng
0 0 1 2 2 6 6
6 6 6 6
3 3 3 3
A C C C C .
16) Cho tổng
0 2 1 4 2 2n n 243
n n n n
S C C C C Tìm n.
17) Tính tổng
1 2 2 3 3 4 4 ( 1)n 1 n
n n n n n
S C C C C nC
(n >2)
18) Tính tổng
1 2
1 1 1
1
2 3 1
n
n n n
S C C C
n
(21)Vấn đề 1: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN A CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN
I Toạ độ vectơ: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy:
1) ⃗a = (a1; a2) <=> ⃗a = a1 ⃗i +a2 ⃗j 2) Cho ⃗a = (a1; a2) , ⃗b = (b1; b2) Ta có: ⃗a ± ⃗b = (a1
± b1; a2 ± b2)
3) Cho ⃗a = (a1; a2), ⃗b = (b1; b2) Ta có: ⃗a ⃗b = a1b1 + a2b2, a⃗ = √a12+a22 , Cos( ⃗a , ⃗b ) = ⃗a.⃗b
a⃗.b⃗
II Toạ độ điểm: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy
1) M(xM;yM) <=> ⃗OM = (xM;yM)
2) Cho A(xA;yA), B(xB;yB). Ta có: ⃗AB = (xB-xA; yB-yA) AB =
yB− yA¿
2
xB− xA¿
2 +¿ ¿
√¿
III Liên hệ toạ độ hai vectơ vng góc, phương:
Cho ⃗a = (a1; a2), ⃗b = (b1; b2) Ta có:
1) ⃗a ⃗b <=> ⃗a b⃗ = <=> a1b1 + a2b2 =
2) ⃗a phương với ⃗b <=> a1b2 - a2b1 = B BÀI TẬP:
Bài 1: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho điểm: A(-2;1), B(-1;-2), C(3;-1)
a) Chứng minh điểm A, B, C không thẳng hàng ; b) Tìm toạ độ trực tâm H trọng tâm G Δ ABC c) Tìm toạ độ điểm D cho ABCD hình bình hành Chứng tỏ điểm B, G, D thẳng hàng
Bài 2: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho Δ ABC với: A(2;6), B(-3;-4), C(5;0) a) Tính chu vi diện tích Δ ABC
b) Tìm toạ độ giao điểm đường thẳng AB với trục hoành đường thẳng AC với trục tung c) Tìm toạ độ tâm đường trịn ngoại tiếp tâm đường tròn nội tiếp Δ ABC
Vấn đề 2: ĐƯỜNG THẲNG B BÀI TẬP:
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy: Bài 4: Cho điểm A(-1;3), B(-2;0), C(3;1)
a) Viết phương trình tham số, phương trình tắc phương trình tổng qt đường thẳng BC b) Viết phương trình tổng quát đường thẳng (1) qua A song song với BC
c) Viết phương trình tổng quát đường thẳng (2) qua A vng góc với BC Bài 5: Cho đường thẳng: (1): 2x – 3y + 15= (2): x – 12y + =
a) Chứng tỏ (1) (2) cắt
b) Viết phương trình đường thẳng (d1) qua giao điểm (1),(2) qua điểm A(2;0)
c) Viết phương trình đường thẳng (d2) qua giao điểm (1),(2) vng góc với đường thẳng (3):
x – y + =
Bài 6: Cho đường thẳng: (1): x + 2y + 16 = (2): x – 3y + =
a) Tính góc tạo (1) (2)
b) Tính khoảng cách từ điểm M(5;3) tới (1) (2)
c) Viết phương trình đường phân giác góc hợp (1)và (2)
Bài 7: Cho đường thẳng (d1), (d2), (d3) có phương trình y = 0, 3x + 4y –24 = 0, 3x –y + =0 Ba
đường thẳng cắt tạo thành tam giác ABC
Chuyên đề : PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ
(22)a) Tính toạ độ đỉnh A, B, C
b) Viết phương trình đường thẳng chứa đường cao AA’, BB’, CC’ tính toạ độ trực tâm H ABC c) So sánh góc (d1)và (d2) với góc (d2) (d3)
Bài 8: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai điểm A(1;1), B(4;-3) Tìm điểm C thuộc đường thẳng x -2y -1 = cho khoảng cách từ C đến đường thẳng AB (TS 2004-K.B)
Vấn đề 3: ĐƯỜNG TRÒN A CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN
I Phương trình đường trịn
1 Định lý 1: Phương trình đường trịn (C) có tâm I(a;b) bán kính R hệ toạ độ Oxy là: (x-a)2 + (y-b)2 = R2 2 Định lý 2: Phương trình x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = với A2+B2-C>0 phương trình đường trịn tâm
I(-A;-B), bán kính R = √A2
+B2−C IV Phương trình tiếp tuyến:
Cho đường trịn (C): x2 + y2 + 2Ax+ 2By + C = Phương trình tiếp tuyến (C) điểm M
0(x0;y0) (C) là:
xox + yoy + A(xo +x)+ B(yo +y) + C = B BÀI TẬP: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy:
Bài 9: Cho đường trịn (C) có phương trình x2 +y2 – 4x –2y – = 0
a) Tìm toạ độ tâm I bán kính R đường tròn (C)
b) Với giá trị b đường thẳng (): y = x + b có điểm chung với(C) c) Viết phương trình tiếp tuyến (C) song song với đường thẳng 3x – 4y +1 =0 Bài 10: Cho điểm A(-1;0), B(5;0), C(2;1)
a) Tìm phương trình đường trịn (C) qua điểm A, B, C b) Tìm phương trình tiếp tuyến (C) điểm A
c) Tìm phương trình tiếp tuyến (C) qua điểm D(3;-11)
Bài 11: a) Tìm phương trình đường trịn (C1) có tâm I1(1;2) tiếp xúc với trục Ox
b) Tìm phương trình đường trịn (C2) có đường kính MN với M(2; √5 +1) N(6;- √5 +1)
c) Tìm phương trình đường tiếp tuyến chung hai đường trịn (C1) (C2)
d) Tìm phương trình trục đẳng phương (C1) (C2)
Bài 12: Cho hai đường tròn: (C1): x2 +y2 - 4x +2y –4 =0; (C2): x2 +y2 - 10x - 6y + 30 =0
a) Xác định tâm bán kính (C1) (C2) Lập phương trình đường thẳng (d) qua tâm (C1) (C2)
b) Chứng minh (C1) (C2) tiếp xúc với Xác định toạ độ tiếp điểm H Suy phương trình tiếp tuyến
chung (C1) (C2) H
(Thi HKI 2004-2005) Bài 13: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(0;2),
B(-2;-2) C(4;-2) Gọi H chân đường cao kẻ từ B; M N trung điểm cạnh AB BC Viết phương trình đường tròn qua điểm H, M, N (TS 2007-K.A)
Vấn đề 4: ELIP VÀ HYPEBOL A CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN:
ELIP HYPEBOL
1) Định nghĩa:
(E) = {M∨MF1+MF2=2a} F1F2 = 2c, a > c
2) Phương trình tắc: x2
a2+ y2
b2 = với b2 = a2 – c2 3) Hình dạng yếu tố:
1) Định nghĩa:
(H) = {M∨MF1−MF2=2a}
F1F2 = 2c, c > a
2) Phương trình tắc: x2
a2− y2
b2 = với b
2 = c2 – a2
(23)Cho elip (E): x
a2+
y2 b2 = a) Hình dạng:
b) Các yếu tố:
A1A2 = 2a: trục lớn
B1B2 = 2b : trục nhỏ
Các đỉnh: A1(-a;0),A2(a;0),B1(0;-b),B2(0;b)
Các tiêu điểm: F1(-C;0), F2(C;0)
Tiêu cự: F1F2 = 2c
Bán kính qua tiêu điểm M (E) :
{MF1=a+c
axM
MF2=a−c
axM
Tâm sai: e = c a<1 Phương trình đường chuẩn: (1): x = - a
e=− a2
c ; (2): x = a e=
a2 c
4) Phương trình tiếp tuyến: Cho elip (E): x
2
a2+ y2 b2 =
a) Phương trình tiếp tuyến (E) Mo(xo;yo)
(E) có dạng: x0x a2 +
y0y b2 =1
b) Đường thẳng (): Ax + By+ C = tiếp tuyến (E) <=> A2 a2 + B2 b2 = C2
Cho Hypebol (H): x
a2−
y2 b2 = a) Hình dạng:
b) Các yếu tố
A1A2 = 2a: trục thực
B1B2 = 2b : trục ảo
Các đỉnh:A1(-a;0), A2(a;0)
Các tiêu điểm: F1(-C;0), F2(C;0)
Tiêu cự: F1F2 = 2c
Bán kính qua tiêu điểm M (H)
+ xM > : {
MF1=c
axM+a
MF2=
c axM− a
+ xM < : {
MF1=−c
axM−a
MF2=−c
axM+a
Tâm sai: e = c a>1 Phương trình đường chuẩn: (1): x = - a
e=− a2
c ; (2): x = a e=
a2 c Phương trình tiệm cận: (d1): y = - b
ax ; (d2): y =
b ax
4) Phương trình tiếp tuyến: Cho Hypebol (H): x
2
a2−
y2 b2 =
(24)dạng: x0x a2 −
y0y b2 =1
b) Đường thẳng (): Ax + By+ C = tiếp tuyến (H) <=> A2 a2 - B2 b2 = C2
B BÀI TẬP:
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy: Bài 14: Cho elip (E): 16x2 + 25y2 = 100
a) Tìm toạ độ đỉnh, toạ độ tiêu điểm, tính tâm sai tìm phương trình đường chuẩn (E) b) Tìm tung độ điểm thuộc (E) có hồnh độ x = tính khoảng cách từ điểm tới tiêu điểm c) Tìm giá trị K để đường thẳng (d): y = x + k có điểm chung với(E)
Bài 15:
a) Viết phương trình tắc elip (E) nhận tiêu điểm F2 (5;0) có độ dài trục nhỏ 2b = 4√6 Tìm toạ độ đỉnh, tiêu điểm thứ hai F1 tính tâm sai (E)
b) Tìm toạ độ điểm M (E) cho MF2 = 2MF1 c) Viết phương trình tiếp tuyến (E) điểm N (3;8√15
7 )
Bài 16:
a) Viết phương trình tắc elip (E) có độ dài trục lớn 10, phương trình đường chuẩn x=25 4
b) Một đường thẳng qua tiêu điểm (E), vng góc với trục Ox, cắt (E) M N Tính độ dài đoạn thẳng MN c) Viết phương trình tiếp tuyến (E) biết tiếp tuyến qua điểm A(5;2)
Bài 17: Cho hypebol (H): 24x2 - 25y2 = 600
a) Tìm toạ độ đỉnh, toạ độ tiêu điểm, tính tâm sai tìm phương trình đường chuẩn (H) b) Tìm tung độ điểm thuộc (H) có hồnh độ x = 10 tính khoảng cách từ điểm tới tiêu điểm c) Tìm giá trị K để đường thẳng (d): y = Kx - có điểm chung với(H)
Bài 18:
a) Viết phương trình tắc hypebol (H) có tâm sai e = √5 (H) qua điểm A ( √10 ; 6) b) Tìm phương trình đường tiệm cận (H) Vẽ (H)
c) Chứng tỏ tích khoảng cách từ điểm M tuỳ ý thuộc (H) đến đường tiệm cận (H) số không đổi
Bài 19:
a) Viết phương trình tắc hypebol (H) có tiêu điểm F2( √5 ;0) phương trình đường tiệm cận y = 2x
b) Tìm phương trình tiếp tuyến (t) (H) điểm M ( 2, -2 √3 )
c) Tiếp tuyến (t) (H) cắt đường tiệm cận (H) P Q Chứng tỏ M trung điểm đoạn thẳng PQ
Bài 20: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho elip(E):
2
1 25 16
x y
có hai tiêu điểm F1 , F2. Cho điểm M(3;m) thuộc (E), viết phương trình tiếp tuyến (E) M m >
2 Cho A B hai điểm thuộc (E) cho AF1 + BF2 = Hãy tính AF2 + BF1 (TN THPT 2004)
Bài 21: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hypebol (H) có phương trình 2
1
4 5
x y
1 Tìm tọa độ tiêu điểm, tọa độ đỉnh viết phương trình đường tiệm cận (H)
2 Viết phương trình tiếp tuyến (H) biết tiếp tuyến qua điểm M(2;1) (TN THPT 2006) Vấn đề 5: PARABOL
A CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN: I Định nghĩa:
Trong mặt phẳng cho đường thẳng () cố định điểm F cố định không thuộc Tập hợp điểm M mặt phẳng cho M cách () F gọi parabol
F gọi tiêu điểm
() gọi đường chuẩn parabol
(25) Với M (P); MF gọi bán kính qua tiêu điểm M II Phương trình tắc:
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho parabol (P) định nghĩa, chọn F( p
2 ; 0) (): x =
-p
2 Phương trình tắc parabol (P) là: y2 = 2px
2) Các yếu tố:
O(0;0) đỉnh parabol Ox trục đối xứng parabol
Bán kính qua tiêu điểm M (P): MF = p
2 + xM
IV: Phương trình tiếp tuyến:Cho parabol (P): y2 = 2px
a) Phương trình tiếp tuyến (P) điểm M0(x0;y0) (P) : y0y = p(x0+x) b) Đường thẳng (): Ax + By + C = tiếp tuyến (P) <=> pB2 = 2AC
B BÀI TẬP:
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy:
Bài 22: Cho parabol (P) có phương trình tắc y2 = 12x a) Tìm tọa độ tiêu điểm phương trình đường chuẩn (P)
b) Một điểm nằm (P) có hồnh độ x = Hãy tính khoảng cách từ điểm đến tiêu điểm
c) Qua điểm I (2;0) vẽ đường thẳng thay đổi cắt (P) điểm A B Chứng minh tích khoảng cách từ A B tới trục Ox số
Bài 23:
a) Tìm phương trình tắc parabol (P) có trục đối xứng Ox tiêu điểm F (4;0) Viết phương trình đường chuẩn () (P)
b) Viết phương trình tiếp tuyến (t) (P) điểm A (1;4), (t) cắt trục Ox B Chứng tỏ ABF cân
c) Tìm quỹ tích điểm M mà từ vẽ hai tiếp tuyến với (P) hai tiếp tuyến vng góc với
Bài 24: Cho parabol (P): y2 = 8x
a) Tìm tọa độ tiêu điểm viết phương trình đường chuẩn (P)
b) Viết phương trình tiếp tuyến (P) điểm M thuộc (P) có tung độ
c) Giả sử đường thẳng (d) qua tiêu điểm (P) cắt (P) hai điểm phân biệt A, B có hồnh độ tương ứng x1, x2 Chứng minh: AB = x1 + x2 +
(TN THPT 2005)
1 TỌA ĐỘ ĐIỂM VÀ VECTƠTỌA ĐỘ ĐIỂM VÀ VECTƠ A/ CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN:
I/ Tích có hướng hai vectơ ứng dụng:
1). Nếu a (a ;a ;a ) ⃗
b (b ;b ;b ) ⃗
2 3 1
2 3 1
a a a a a a
a, b ; ;
b b b b b b
⃗ ⃗
2). Vectơ tích có hướng ca,b
⃗ ⃗ ⃗
vng góc vơi hai vectơ a ⃗
b ⃗
3). a,b a b sin(a, b)
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗
4). ABC
1
S [AB,AC]
2
5). VHộpABCDA’B’C’D’=
[AB, AC].AA '
6). VTứdiện ABCD = 1
[AB, AC].AD 6
⃗ ⃗ ⃗
II/ Điều kiện khác:
(26)1). a ⃗
b ⃗ phương 1 2 3 a kb
a, b 0 k R : a kb a kb
a kb ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ 2). a ⃗ b
⃗
vng góc a.b 0 a b1 1a b2 2a b3 0 ⃗ ⃗
3). Ba vectơ a, b, c ⃗ ⃗ ⃗
đồng phẳng
a,b c 0
⃗ ⃗ ⃗
(tích hỗn tạp chúng 0)
4). A,B,C,D bốn đỉnh tứ diện AB, AC, AD
không đồng phẳng
5). Cho hai vectơ không phương a ⃗
b ⃗
vectơ c ⃗
đồng phẳng với a ⃗
b ⃗
k,l R cho c ka lb
⃗ ⃗ ⃗
6). G trọng tâm tam giác ABC
A B C
G
A B C
G
A B C
G
x x x
x
3
y y y
y
3
z z z
z
7). G trọng tâm tứ diện ABCD GA GB GC GD 0
B/.BÀI TẬP:
Bài 1: Trong không gian Oxyz cho A(0;1;2) ; B( 2;3;1) ; C(2;2;-1) a) Tính FAB,AC (OA 3CB)
b) Chứng tỏ OABC hình chữ nhật tính diện tích hình chữ nhật c) Viết phương trình mặt phẳng (ABC)
d) Cho S(0;0;5).Chứng tỏ S.OABC hình chóp.Tính thể tích hình chóp
Bài 2: Cho bốn điểm A(1;0;0) , B(0;1;0) , C(0;0;1) , D(-2;1;-1) a) Chứng minh A,B,C,D bốn đỉnh tứ diện b) Tìm tọa độ trọng tâm G tứ diện ABCD c) Tính góc tam giác ABC
d) Tính diện tích tam giác BCD
e) Tính thể tích tứ diện ABCD độ dài đường cao tứ diện hạ từ đỉnh A
Bài 3: Cho a (0;1;2); b (1;2;3); c (1;3;0); d (2;5;8)
⃗ ⃗ ⃗ ⃗
a) Chứng tỏ ba vectơ a, b, c ⃗ ⃗ ⃗
không đồng phẳng b) Chứng tỏ ba vectơ a, b, d
⃗ ⃗ ⃗
đồng phẳng, phân tích vectơ d ⃗
theo hai vectơ a, b ⃗ ⃗ c) Phân tích vectơ u 2;4;11
⃗
theo ba vectơ a, b, c ⃗ ⃗ ⃗
Bài 4: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’biết A(0,0,0), B(1;0;0), D(0;2;0), A’(0;0;3), C’(1;2;3) a) Tìm tọa độ đỉnh cịn lại hình hộp
b) Tính thể tích hình hộp
c) Chứng tỏ AC’ qua trọng tâm hai tam giác A’BD B’CD’ d) Tìm tọa độ điểm H hình chiếu vng góc D lên đoạn A’C
Bài 5: Trong không gian tọa độ Oxyz cho điểm A(2;3;4) Gọi M1, M2, M3 hình chiếu A lên ba trục tọa độ Ox;Oy,Oz N1, N2, N3 hình chiếu A lên ba mặt phẳng tọa độ Oxy, Oyz, Ozx
a) Tìm tọa độ điểm M1, M2, M3 N1, N2, N3 b) Chứng minh N1N2 AN3
(27)2 MẶT PHẲNG A/ CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN:
I/ Phương trình mặt phẳng:
1). Trong khơng gian Oxyz phương trình dạng Ax + By + Cz + D = với A2+B2+C2≠0 phương trình tổng quát của mặt phẳng, n (A;B;C)
⃗
là vectơ pháp tuyến
2). Mặt phẳng (P) qua điểm M0(x0;y0;z0) nhận vectơ n (A;B;C) ⃗
làm vectơ pháp tuyến có dạng : A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) =
3). Mặt phẳng (P) qua M0(x0;y0;z0) nhận a (a ;a ;a ) ⃗
b (b ;b ;b )
⃗
làm cặp vectơ phương mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến :
2 3 1 2 3 1
a a a a a a
n a,b ; ;
b b b b b b
⃗ ⃗ ⃗
II/ Vị trí tương đối hai mặt phẳng
1). Cho hai mặt phẳng (P): Ax+By+Cz+D=0 (Q):A’x+B’y+C’z+D’=0
(P) cắt (Q) A : B : C ≠ A’: B’: C’
(P) // (Q) A : A’ = B : B’ = C : C’ ≠ D : D’
(P) ≡ (Q) A : B : C : D = A’: B’: C’: D’
2). Cho hai mặt phẳng cắt : (P): Ax + By + Cz + D = (Q): A’x + B’y + C’z + D’= Phương trình chùm mặt phẳng xác định (P) (Q) là:
m(Ax + By + Cz + D) + n(A’x + B’y + C’z + D’) = (trong m2 + n2 ≠ 0) III/ Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng:
Khoảng cách từ M0(x0;y0;z0) đến mặt phẳng (α): Ax + By + Cz + D = cho công thức :
0 0
0 2 2 2
Ax By Cz D
d(M , )
A B C
IV/ Góc gữa hai mặt phẳng
Gọi φ góc hai mặt phẳng : (P): Ax + By + Cz + D = (Q): A’x + B’y + C’z + D’=
Ta có :
P Q
P Q 2 2 2 2 2 2
P Q
n n A.A' B.B' C.C ' cos cos(n , n )
n n A B C A ' B' C'
⃗ ⃗
⃗ ⃗
(00≤φ≤900)
0
P Q
90 n n
hai mặt phẳng vng góc
Trong phương trình mặt phẳng khơng có biến x mặt phẳng song song Ox, khơng có biến y song song Oy,
khơng có biến z song song Oz
B/ BÀI TẬP:
Bài 1: Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A( 3;-2;-2), B(3;2;0), C(0;2;1), D( -1;1;2) a) Viết phương trình mặt phẳng (ABC)
b) Viết phương trình mặt phẳng trung trực đoạn AC
c) Viết phương trình mặt phẳng (P)chứa AB song song với CD d) Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa CD vng góc với mp(ABC)
Bài 2: Trong khơng gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): 2x – y + 2z – = 0, (Q): x – 2y – 2z + = a) Chứng tỏ hai mặt phẳng (P) (Q) vng góc
b) Viết phương trình tham số đường thẳng () giao tuyến hai mặt phẳng
c) Chứng minh đường thẳng () cắt trục Oz Tìm tọa độ giao điểm
d) Mặt phẳng (P) cắt ba trục tọa độ tai ba điểm A,B,C Tính diện tích tam giác ABC e) Chứng tỏ điểm O gốc tọa độ khơng thuộc mặt phẳng (P) từ tính thể tích tứ diện OABC
(28)b) Viết phương trình tham số ,chính tắc ,tổng qt đường thẳng qua gốc tọa độ O vng góc với mặt mp(P) c) Tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến mặt phẳng (P) ( TNPT năm 1993)
Bài 4: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x + y – z + = (Q): 2x – z = a) Chứng tỏ hai mặt phẳng cắt nhau,tính góc chúng
b) Lập phương trình mặt phẳng (α) qua giao tuyến hai mặt phẳng (P) (Q) qua A(-1;2;3) c) Lập phương trình mặt phẳng () qua giao tuyến hai mặt phẳng (P) (Q) song song với Oy
d) Lập phương trình mặt phẳng () qua gốc tọa độ O vng góc với hai mặt phẳng (P)và (Q)
Bài 5: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) : 2x + 2y – z + = điểm M(2;1;-1) a) Tính độ dài đoạn vng góc kẽ từ M đến mặt phẳng (P)
b) Viết phương trình đường thẳng (d) qua M vng góc với mặt phẳng (P)
c) Viết phương trình mặt phẳng (α) qua điểm M song song Ox hợp với mặt phẳng (P) góc 450. Bài 6: Trong khơng gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): 2x + ky + 3z – = (Q): mx – 6y – z + =
a) Xác định giá trị k m để hai mặt phẳng (P) (Q) song song nhau,lúc tính khoảng cách hai mặt phẳng
b) Trong trường hợp k = m = gọi (d) giao tuyến (P) (Q) tính khoảng cách từ A(1;1;1) đến đường thẳng (d)
3 ĐƯỜNG THẲNG
A/ CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN: I/ Phương trình đường thẳng:
1). Phương trình tổng quát đường thẳng :
Ax By Cz D 0 A 'x B' y C'z D' 0
(với A : B : C ≠ A’ : B’ : C’)
2). Phương trình ttham số đường thẳng :
0
0
0
x x a t
y y a t (t R)
z z a t
Trong M0(x0;y0;z0) điểm thuộc đường thẳng a (a ;a ;a )
⃗
là vectơ phương đường thẳng
3). Phương trình tắc đuờng thẳng :
0 0
1
x x y y z z
a a a
Trong M0(x0;y0;z0) điểm thuộc đường thẳng a (a ;a ;a ) ⃗
vectơ phương đường thẳng
II/ Vị Trí tương đối đường thẳng mặt phẳng: 1). Vị trí tương đối hai đường thẳng :
Cho hai đ.thẳng () qua M có VTCP a
⃗
và (’) qua M’ có VTCP a '
() chéo (’)
a,a ' MM ' 0
⃗
() cắt (’)
a,a ' MM ' 0
⃗ ⃗ ⃗
với a,a ' 0 ⃗ ⃗ ⃗
() // (’)
[a,a ']=0
M '
⃗
() ≡ (’)
[a,a ']=0
M '
⃗ ⃗ ⃗
2). Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng:
Cho đường thẳng () qua M(x0;y0;z0) có VTCP a (a ;a ;a ) ⃗
và mặt phẳng (α): Ax + By + Cz + D = có VTPT n (A;B;C)
⃗
() cắt (α) a.n 0
(29) () // (α)
a.n 0 M ( )
⃗ ⃗
() nằm mp(α)
a.n 0 M ( )
⃗ ⃗
III/ Khoảng cách :
1 Khoảng cách từ M đến đuờng thẳng () qua M0 có VTCP a
⃗ ⃗
[M M,a] S d(M, )
c.đáy a
2 Khoảng cách hai đường chéo :() qua M(x0;y0;z0) có VTCP a
⃗
, (’) qua M’(x’0;y’0;z’0) có VTCP a '
⃗
⃗ ⃗ hoäp
đáy
[a,a'].MM' V d( , ')
S [a,a']
IV/ Góc :
1). Góc hai đường thẳng :
() qua M(x0;y0;z0) có VTCP a (a ;a ;a )
⃗
Và (’) qua M’(x’0;y’0;z’0) có VTCP a (a ' ;a ' ;a ' )
⃗
1 2 3
2 2 2
1 3
a.a ' a a ' a a ' a a ' cos cos(a,a ')
a a ' a a a a ' a ' a '
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ 2). Góc đường thẳng mặt phẳng :
() qua M0có VTCP a (a ;a ;a ) ⃗
, mp(α) có VTPT n (A;B;C) ⃗
.Gọi φ góc hợp () mp(α)
1
2 2 2
1
Aa +Ba +Ca
sin cos(a,n)
A B C a a a
⃗ ⃗
B/ BÀI TẬP: Bài 1:
a) Viết phương trình tham số tắc tổng quát đường thẳng qua hai điểm A(1;3;1) B(4;1;2)
b) Viết phương trình đường thẳng (d) qua M(2;-1;1) vng góc với mặt phẳng (P) : 2x – z + 1=0 Tìm tọa độ giao điểm (d) (P)
c) Viết phương trình tham số tắc đuờng thẳng có phương trình
2 4 0
2 2 0
x y z
x y z
Bài 2 : Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(0;1;1), B(-1;0;2), C(3;1;0) đường thẳng () có phương trình
4
3
x y z
x z
a) Viết phương trình mặt phẳng (α) qua ba điểm A,B,C
b) Viết phương trình tham số tắc tổng quát đường thẳng BC.Tính d(BC,)
c) Chứng tỏ điểm M đường thẳng () thỏa mãn AM BC, BM AC, CM AB
Bài 3: Trong không gian Oxyz, cho hình hộp chữ nhật có đỉnh A(3;0;0), B(0;4;0), C(0;0;5), O(0;0;0) D đỉnh đối diện với O
a) Xác định tọa độ đỉnh D.Viết phương trình tổng quát mặt phẳng (A,B,D) b) Viết phương trình đường thẳng qua D vng góc với mặt phẳng (A,B,D) c) Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (A,B,D) (TNPT năm 1999)
Bài 4: Cho hai đường thẳng:
x t x 2z
( ) : ( ') : y t y
z 2t
a) Chứng minh hai đường thẳng () (’) không cắt vng góc
b) Tính khoảng cách hai đường thẳng ()và (’)
(30)d) Viết phương trình đường vng góc chung ()và (’)
Bài 5: Trong không gian Oxyz cho bốn điểm A(-1;-2;0), B(2;-6;3), C(3;-3;-1) D(-1;-5;3) a) Lập phương trình tổng quát đường thẳng AB
b) Lập phương trình mp (P) qua điểm C vng góc với đường thẳng AB c) Lập phương trình đường thẳng (d) hình chiếu vng góc đường thẳng CD xuống mặt phẳng (P) d) Tính khoảng cách hai đường thẳng AB CD
Bài 6: Trong không gian Oxyz cho A(3;-1;0), B(0;-7;3), C(-2;1;-1), D(3;2;6) a) Tính góc tạo cặp cạnh đối diện tứ diện ABCD b) Viết phương trình mặt phẳng (ABC)
c) Viết phương trình đường thẳng (d) qua D vng góc với mặt phẳng (ABC) d) Tìm tọa độ điểm D’ đối xứng D qua mặt phẳng (ABC)
e) Tìm tọa độ điểm C’ đối xứng C qua đường thẳng AB
Bài 7: Cho đường thẳng
2x y z 0 ( ) :
2x z 0
mp (P) : x + y + z – = 0
a) Tính góc đường thẳng mặt phẳng b) Tìm tọa độ giao điểm () (P)
c) Viết phương trình hình chiếu vng góc () mp(P)
Bài 8: Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng () (’) có phương trình:
2x y 3x y z
;
x y z 2x y
.
a) Chứng minh hai đường thẳng cắt tìm tọa độ giao điểm
b) Viết phương trình tổng quát mặt phẳng (α) qua hai đường thẳng () (’)
c) Viết phương trình đường thẳng (d) vng góc cắt hai đường () (’)
Bài 9: Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(5;0;0), B(0;5/2;0), C(0;0;5/3) đường thẳng
x t y 2t z 3t
.
a) Lập phương trình mặt phẳng (α) di qua A , B, C Chứng minh (α) () vng góc nhau, tìm tọa độ
giao điểm H chúng
b) Chuyển phương trình () dạng tổng quát Tính khoảng cách từ M(4;-1;1) đến ()
c) Lập phương trình đường thẳng (d) qua A vng góc với (), biết (d) () cắt
(Đề HK2 2005)
4 MẶT CẦU A/ CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN:
I/ Phương trình mặt cầu:
1).Phương trình mặt cầu tâm I(a;b;c) bán kính R là: (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2
2).Phương trình x2 + y2 + z2 + 2Ax + 2By + 2Cz + D = với A2+B2+C2–D>0 phương trình mặt cầu tâm
I(-A;-B;-C), bán kính R A2B2C2 D II/ Vị trí tương đối mặt cầu mặt phẳng:
Cho mặt cầu (S) : (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2 tâm I(a;b;c) bán kính R mặt phẳng (P):
Ax+By+Cz+D=0
Nếu d(I,(P)) > R mặt phẳng (P) mặt cầu (S) khơng có điểm chung Nếu d(I,(P)) = R mặt phẳng (P) mặt cầu (S) tiếp xúc
Nếu d(I,(P)) < R mặt phẳng (P) mặt cầu (S) cắt theo giao tuyến đường trịn có phương
trình :
x a2 x a2 x a2 R2 Ax By Cz D 0
Bán kính đường tròn
2
r R d(I,(P)) .
Tâm H đường trịn hình chiếu tâm I mặt cầu (S) lên mặt phẳng (P) B/. BÀI TẬP:
(31)a) Xác định tọa độ tâm I bán kính mặt cầu (S) b) Viết phương trình đường thẳng MN
c) Tìm k để mặt phẳng (P): x + y – z + k = tiếp xúc mặt cầu(S)
d) Tìm tọa độ giao điểm mặt cầu (S) đường thẳng MN Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu giao điểm
Bài 2: Trong không gian Oxyz, cho A(6;-2;3), B(0;1;6), C(2;0;-1), D(4;1;0) a) Chứng minh A,B,C,D bốn đỉnh tứ diện b) Tính thể tích tứ diện ABCD
c) Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm A,B,C
d) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD Xác định tọa độ tâm bán kính e) Viết phương trình đường trịn qua ba điểm A,B,C Hãy tìm tâm bán kính đường trịn
Bài 3: Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P): 2x – 3y + 4z – = mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 + 3x + 4y – 5z + = 0. a) Xác định tọa độ tâm I bán kính R mặt cầu (S)
b) Tính khoảng cách từ tâm I đên mặt phẳng (P).Từ suy mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo đường tròn mà ta ký hiệu (C) Xác định bán kính R tọa độ tâm H đường trịn (C)
Bài 4: Trong khơng gian cho (P): x + 2y – z + = điểm I(1;2;-2) đường thẳng
x 2y 0 (d) :
y z 0
.
a) Tìm giao điểm (d) (P) Tính góc (d) (P)
b) Viết phương trình mặt cầu (S) tâm I tiếp xúc với mặt phẳng (P) c) Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua (d) I
d) Viết phương trình đường thẳng (d’)nằm (P) cắt (d) vng góc (d) (Thi HK2, 2002-2003)
Bài 5: Trong không gian Oxyz ,cho A(1;-1;2), B(1;3;2), C(4;3;2), D(4;-1;2) a)_Chứng minh A, B, C, D bốn điểm đồng phẳng
b)_Gọi A’ hình chiếu vng góc điểm A mặt phẳng Oxy Tìm phương trình mặt cầu (S) qua bốn điểm A’, B, C, D
c)_Viết phương trình tiếp diện (α) mặt cầu (S) điểm A’ (TN THPT 2003-2004)
Bài 6: Trong không gian Oxyz cho A(1;0;0) B(1;1;1) C(1/3; 1/3;1/3)
a)_Viết phương trình mặt phẳng (P) vng góc OC C Chứng minh O, B, C thẳng hàng Xét vị trí tương đối mặt cầu (S) tâm B, bán kính R 2 với mặt phẳng(P)
b)_Viết phương trình tổng qt đường thẳng hình chiếu vng góc đường thẳng AB lên mặt phẳng(P)
Bài 7: Trong không gian Oxyz cho mp(P): x + y + z – = mp(P) cắt trục tọa độ A, B, C
a)_Tìm tọa độ A, B, C Viết phương trình giao tuyến (P) với mặt tọa độ Tìm tọa độ giao điểm D
(d):
2
2
x y x y z
với mp(Oxy) Tính thể tích tứ diện ABCD.
b)_Lập phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp ABCD Lập phương trình đường trịn ngoại tiếp ACD Xác định tâm bán kính đường trịn
(TN THPT 2001-2002)
Bài 8: Trong không gian Oxyz cho điểm A, B, C, D có tọa độ xác định :
A (2;4; 1), OB i 4j k, C (2;4;3), OD 2i 2j k . a)_ Chứng minh ABAC, ACAD, ADAB Tính thể tích khối tứ diện ABCD
b)_Viết phương trình tham số đường (d) vng góc chung hai đường thẳng AB CD Tính góc (d) mặt phẳng (ABD)
c)_Viết phương trình mặt cầu (S) qua điểm A, B, C, D Viết phương trình tiếp diện (α ) (S) song song với mặt phẳng (ABD)
Bài 9: Trong không gian Oxyz cho điểm A(2;0;1), B(1;0;0), C(1;1;1) mặt phẳng (P): x + y + z – = a)_Viết pt mặt cầu qua điểm A, B, C có tâm thuộc mp (P)
b)_Tính độ dài đường cao kẽ từ A xuống BC
d)_Cho D(0;3;0).Chứng tỏ DC song song với mp(P) từ tính khoảng cách đường thẳng DC mặt phẳng (P)
Bài10: Trong không gian Oxyz cho A(2;0;0) , B(0;4;0), C(0;0;4)
a) Viết phương trình mặt cầu qua điểm O, A, B, C Tìm tọa độ tâm I bán kính mặt cầu b) Viết phương trình mặt phẳng(ABC)
(32)d) Tìm tọa độ tâm bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Bài 11: Cho mặt cầu (S) có phương trình x2 + y2 + z2 - 2x - 4y - 6z =0 a)_Xác định tâm bán kính mặt cầu (S)
b)-Gọi A, B, C giao điểm (khác điểm gốc tọa độ) mặt cầu (S) với trục tọa độ Ox, Oy, Oz Tính tọa độ A, B, C viết phương trình mặt phẳng (ABC)
c)_Tính khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng.Từ xác định tâm bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC
5 GIẢI TOÁN BẰNG HHGT
A/ CÁCH GIẢI CHUNG
Để giải tốn phương pháp tọa độ khơng gian ta chọn cho hệ trục tọa độ phù hợp chuyển hình học giải tích để giải
Các bước chung để giải sau:
B1: Chọn hệ trục tọa độ thích hợp.
B2: Chuyển giả thiết toán HH giải tích. B3: Giải HH giải tích.
B4 : Kết luận tính chất, định tính, định lượng toán đặt ra.
B/ CÁC BÀI TẬP
Bài 1: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a
a) Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng A’B B’D
b) Gọi M,N,P trung điểm BB’, CD, A’D’.Tính góc hai đường thẳng MP C’N
Bài 2: Cho hình chóp tứ giác có cạnh bên cạnh đáy a Tính góc hợp cạnh bên mặt bên đối diện
Bài 3: Cho hình chóp S.ABC có SA vng góc với mặt phẳng (ABC) đáy ABC tam giác vuông C Cho SA = AC = CB = a
a) Tính khoảng cách hai đường thẳng AC SB b) Tính góc đường thẳng SA mp(SBC)
Bài 4: Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác vuông C SA(ABC), AC = a, BC = b, SA = h Gọi M, N
trung điểm cạnh AC SB a) Tính độ dài MN
b) Tìm hệ thức liên hệ a, b, h để MN đường vng góc chung đường thẳng AC SB
Bài 5:Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’.Tính số đo góc nhị diện [B,A’C,D]
Bài 6: Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’có đáy ABCD hình thoi cạnh a, góc BAD600 Gọi M trung điiểm cạnh AA’ N trung điểm cạnh CC’ Chứng minh bốn điểm B’,M,D,N thuộc mặt phẳng Hãy tính độ dài cạnh AA’ theo a để tứ giác B’MDN hình vng
Bài 7*: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a M điểm thuộc AD’ N thuộc BD cho AM=DN=k (0<k<
2
a ).
a) Tìm k để đoạn MN ngắn
b) Chứng minh MN//(A’D’BC) k biến thiên
c) Khi đoạn MN ngắn Chứng minh MN đường vng góc chung AD’ BD MN//A’C
“Sự Học Là Một Chiếc Thang Khơng Có Nấc Cuối Cùng … Chúc Cáe Em Ôn Tập Tốt, Đạt Kết Quả Cao“
MỘT SỐ ĐỀ THI THỬ:
ĐỀ 01
Câu I (3 điểm) Cho hàm số có đồ thị (C) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số
2) Dựa vào đồ thị (C) biện luận theo a số nghiệm phương trình: x2 - (a + 1)x + - a = 0
(33)Câu III (2 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho elip (E):
1) Viết phương trình tiếp tuyến (E) biết tiếp tuyến qua A(4;5)
2) M (E) thỏa mãn: MF1 - MF2 = Tính F1;F2 tiêu điểm (E)
Câu IV (2 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng:
Chứng minh d1 d2 chéo Tính khoảng cách d1 d2
ĐỀ 02: TN BỔ TÚC NĂM 2004
Câu 1(4 điểm) Cho hàm số có đồ thị , m tham số 1) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số m =
2) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị điểm có hồnh độ x =
3) Xác định m để điểm cực đại điểm cực tiểu đồ thị đối xứng qua đường thẳng y = x
Câu 2(2 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho ba điểm A(4;5), B(5;4) C(7;5) 1) Vẽ tam giác ABC Viết phương trình đường thẳng AB AC
2) Tính khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng AC diện tích tam giác ABC
Câu 3(2,5 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) đường thẳng d có phương trình:
(P): d: với 1)Tìm tọa độ giao điểm A đường thẳng d với mặt phẳng (P)
2) Cho đường thẳng có phương trình Chứng minh hai đường thẳng d chéo Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng d song song với đường thẳng
3) Viết phương trình tổng quát phương trình tắc đường thẳng giao tuyến hai mặt phẳng (P) (Q)
Câu 4(1,5 điểm)1) Tính tích phân:
2) Từ bốn chữ số 1, 4, 5, ta lập số tự nhiên có bốn chữ số mà số gồm chữ số khác Hãy viết tất số tự nhiên
ĐỀ 03 TN THPT 2005 Câu 1(3,5 điểm) Cho hàm số cĩ đồ thị (C)
1) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số
2) Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo tham số m số nghiệm phương trình:
Câu 2(1,5 điểm)Tính tích phân:1) 2)
Câu 3(2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (T): 1) Xác định tọa độ tâm bán kính đường trịn (T)
2) Tìm tất điểm thuộc đường trịn (T) có tung độ Viết phương trình tiếp tuyến (T) điểm
(34)1) Viết phương trình mặt phẳng (ABC)
2) Chứng minh mặt phẳng (ABC) cắt mặt cầu (S) Tìm tọa độ hình chiếu vng góc tâm mặt cầu (S) mặt phẳng (ABC)
Câu 5(1,0 điểm)Giải bất phương trình, ẩn n thuộc tập số tự nhiên:
ĐỀ 04 TN THPT 2006 Câu 1(3,5 điểm) 1) Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số
2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị (C), trục hoành đường thẳng
Câu 2(1,5 điểm) 1) Tính tích phân
2) Chứng minh hàm số ln có cực trị với giá trị tham số m
Câu 3(2,0 điểm)Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường thẳng có phương trình x - 2y - 10 = đường tròn (T) có phương trình
1) Viết phương trình đường thẳng qua tâm I (T) vng góc với 2) Xác định tọa độ điểm I' đối xứng với điểm I qua
Câu 4(2,0 điểm)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho bốn điểm A(4;3;2), B(3;0;0), C(0;3;0) D(0;0;3) 1) Viết phương trình đường thẳng qua điểm A trọng tâm G tam giác BCD 2) Viết phương trình mặt cầu có tâm A tiếp xúc với mặt phẳng qua ba điểm B, C, D
Câu 5(1,0 điểm)Tìm số hạng chứa x3 khai triển nhị thức Niutơn
ĐỀ 05 TN THPT 1997 Câu I (4 điểm) Cho hàm số cĩ đồ thị (C)
1) Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số
2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị (C), trục hoành, trục tung đường thẳng x = -1
3) Đường thẳng d qua điểm uốn (C) có hệ số góc k Biện luận theo k số giao điểm (C) đường thẳng d Tìm tọa độ giao điểm k =1
Câu II (2 điểm) Tính tích phân: a) b)
Câu III (2 điểm) Trên mặt phẳng Oxy cho elip (E):
1) Tìm tọa độ đỉnh, tọa độ tiêu điểm, tính tâm sai (E) Vẽ (E)
2) Đường thẳng d qua tiêu điểm phải (E), song song với trục tung cắt (E) hai điểm A, B Tính khoảng cách từ tiêu điểm trái (E) tới A tới B
Câu IV (2 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(3;-2;-2), B(3;2;0), C(0;2;1) D(-1;1;2) 1) Viết phương trình mặt phẳng qua B, C, D Suy ABCD tứ diện
2) Viết phương trình mặt cầu tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (P) Tìm tọa độ tiếp điểm
ĐỀ 06 TN THPT 1998
Câu I (4,5 điểm) Cho hàm số có đồ thị
(35)2) Gọi A giao điểm (C) trục tung Viết phương trình tiếp tuyến (C) A Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C) tiếp tuyến
3) Tìm giá trị m để cắt trục hoành điểm phân biệt
Câu II (2 điểm) Tính tích phân
Câu III (1,5 điểm) Trên mặt phẳng Oxy cho A(2;3), B(-2;1)
1) Viết phương trình đường trịn qua A, B có tâm nằm trục hồnh
2) Viết phương trình tắc parabol (P) có đỉnh gốc O, qua A nhận trục hoành làm trục đối xứng Vẽ đường tròn parabol
Câu IV (2 điểm).Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(2;0;0), B(0;4;0), C(0;0;4)
1) Viết phương trình mặt cầu qua điểm O, A, B, C Tìm tọa độ tâm I độ dài bán kính mặt cầu
2) Viết phương trình mặt phẳng (ABC) Viết phương trình tham số đường thẳng qua I vng góc với mặt phẳng (ABC)
ĐỀ 07 TN THPT 1999 Câu I (4 điểm) Cho hàm số cĩ đồ thị (C)
1) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số
2) Viết phương trình tiếp tuyến (C) qua A(0;1) Chứng minh có tiếp tuyến (C) qua B(0;-1) 3) Tìm tất điểm có tọa độ nguyên (C)
Câu II (2 điểm) 1) Tính tích phân 2) Giải phương trình
Câu III (2 điểm)Trên mặt phẳng Oxy cho đường trịn (C) có tâm I(1;-2) bán kính R = 1) Viết phương trình (C)
2) Viết phương trình đường thẳng chứa dây cung (C) nhận O làm trung điểm
Câu IV (2 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình hộp chữ nhật có đỉnh A(3;0;0), B(0;4;0), C(0;0;5), O(0;0;0) đỉnh D đỉnh đối diện O
1) Tìm tọa độ điểm D viết phương trình mặt phẳng (ABD)
2) Viết phương trình đường thẳng (d) qua C vng góc với mặt phẳng (ABD) 3) Tính khoảng cách từ C tới mặt phẳng (ABD)
ĐỀ 09 TN THPT 2000 Câu I (4 điểm) Cho hàm số cĩ đồ thị (C)
1) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số
2) Biện luận theo m số nghiệm phương trình
3) Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C), trục hoành, đường thẳng x = đường thẳng x =
Câu II (2 điểm)
(36)2) Có tem thư khác bì thư khác Người ta muốn chọn tem thư, bì thư dán tem thư lên bì thư chọn, bì thư dán tem thư Hỏi có cách làm
Câu III (2 điểm):Trên mặt phẳng Oxy cho hypebol (H) có phương trình 4x2-9y2=36.
1) Xác định tọa độ đỉnh, tiêu điểm tính tâm sai (H)
2) Viết phương trình tắc elip (E) có chung tiêu điểm (H) qua điểm
Câu IV (2 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x - 3y + 4z - = mặt cầu (S):
1) Tìm tọa độ tâm I bán kính mặt cầu (S)
2) Tính khoảng cách từ I tới mặt phẳng(P), từ suy (P) cắt mặt cầu theo đường trịn (C) Hãy tính tọa độ tâm H bán kính r (C)
ĐỀ 10 TN THPT 2001 Câu I (4 điểm) Cho hàm số cĩ đồ thị (C)
1) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số
2) Cho điểm M thuộc đồ thị (C) có hồnh độ Viết phương trình đường thẳng d qua M tiếp tuyến (C) 3) Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C) tiếp tuyến điểm M
Câu II (1 điểm) Tính tích phân:
Câu III (1,5 điểm): Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho elip (E) có phương trình 1) Xác định tọa độ đỉnh, tiêu điểm tính tâm sai, độ dài trục (E)
2) Điểm M thuộc (E) nhìn tiêu điểm góc vng Viết phương trình tiếp tuyến (E) M
Câu IV (2,5 điểm).Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho
1) Viết phương trình mặt phẳng (P) vng góc với OC C Chứng minh O, B, C thẳng hàng Xét vị trí tương đối mặt cầu (S) tâm B, bán kính với mặt phẳng (P)
2) Viết phương trình tổng quát đường thẳng d hình chiếu vng góc đường thẳng AB lên mặt phẳng (P)
Câu V (1 điểm).Tìm số hạng khơng chứa ẩn x khai triển nhị thức Newton:
ĐỀ 11 TN THPT 2001 Bài 1(3,0 điểm).Cho hàm số cĩ đồ thị (C)
1 Khảo sát hàm số
2 Xác định m để phương trình có nghiệm phân biệt
Bài 2(2,0 điểm). Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số: với Có số chẵn có chữ số phân biệt
Bài 3(1,5 điểm). Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho Hypebol (H) có tiêu điểm (H) qua Viết phương trình tắc (H)
2 Viết phương trình tiếp tuyến (H) song song với đường thẳng 5x + 4y - =
(37)1 Tìm tọa độ A, B, C Viết phương trình giao tuyến (P) với mặt tọa độ
Tìm tọa độ giao điểm D đường thẳng (d): với mặt phẳng (Oxy).Tính thể tích tứ diện ABCD Viết phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD Viết phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác ACD
Xác định tâm bán kính đường trịn
Bài 5(1,0 điểm). Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y2 = 2x + 1 y = x - 1.
ĐỀ 12 TN THPT 2003 Bài 1(3 điểm). Khảo sát hàm số
2 Xác định m để đồ thị hàm số
có tiệm cận trùng với tiệm cận tương ứng đồ thị khảo sát
Bài 2(2 điểm). Tìm nguyên hàm hàm số biết
2 Tìm diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số đường thẳng y =
Bài 3(1,5 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho elip (E) có khoảng cách đường chuẩn 36 bán kính qua tiêu điểm M nằm elip (E) 15
1 Viết phương trình tắc elip (E)
2 Viết phương trình tiếp tuyến elip (E) điểm M
Bài 4(2,5 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A, B, C, D có tọa độ xác định hệ thức:
1 Chứng minh rằng: Tính thể tích khối tứ diện ABCD Viết phương trình tham số đường vng góc chung hai đường thẳng AB CD Tính góc đường thẳng mặt phẳng (ABD)
3 Viết phương trình mặt cầu (S) qua bốn điểm A, B, C, D Viết phương trình tiếp diện ( ) mặt cầu (S) song song với mặt phẳng (ABD)
ĐỀ 13 TN THPT 2004 Bài 1(4 điểm):Cho hàm số cĩ đồ thị (C)
1 Khảo sát hàm số
2 Viết phương trình tiếp tuyến (C) qua điểm A(3; 0)
3 Tính thể tích vật thể trịn xoay hình phẳng giới hạn (C) đường y = 0, x = 0, x = quay quanh trục Ox
Bài 2(1 điểm)Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số: đoạn
Bài 3(1,5 điểm)Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho elip (E): có hai tiêu điểm F1,F2 Cho điểm M(3; m) thuộc (E), viết phương trình tiếp tuyến (E) M m > Cho A B hai điểm thuộc (E) cho AF1 + BF2 = Hãy tính AF2 + BF1
Bài 4(2,5 điểm)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho bốn điểm A(1; -1; 2), B(1; 3; 2), C(4; 3; 2), D(4; -1; 2) Chứng minh A, B, C, D bốn điểm đồng phẳng
(38)3 Viết phương trình tiếp diện (α) mặt cầu (S) điểm A'
ĐỀ 13 TN THPT 2005 Bài 1 (3,5 điểm).Cho hàm số cĩ đồ thị (C)
1 Khảo sát vẽ đồ thị hàm số
2 Tính diện tích hình phẳng giới hạn trục tung, trục hoành đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C), biết tiếp tuyến qua điểm A(-1; 3)
Bài 2 (1,5 điểm) Tính tích phân
2 Xác định tham số m để hàm số y = x3 - 3mx2 + (m2 - 1)x + 2 đạt cực đại điểm x = 2.
Bài 3 (2 điểm).Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho parabol (P): y2 = 8x.
1 Tìm tọa độ tiêu điểm viết phương trình đường chuẩn (P)
2 Viết phương trình tiếp tuyến (P) điểm M thuộc (P) có tung độ
3 Giả sử đường thẳng (d) qua tiêu điểm (P) cắt (P) hai điểm phân biệt A, B có hồnh độ tương ứng Chứng minh: AB = x1 + x2 +
Bài 4 (2 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 - 2x + 2y + 4z - = 0 hai đường thẳng:
và
1 Chứng minh (Δ1) (Δ2) chéo
2 Viết phương trình tiếp diện mặt cầu (S), biết tiếp diện song song với hai đường thẳng (Δ1) (Δ2)
Bài 5 (1 điểm).: Giải bất phương trình, ẩn n thuộc tập số tự nhiên:
ĐỀ 14 TN THPT 2007 Câu 1(3,5 điểm)1) Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số
2) Viết phương trình tiếp tuyến điểm uốn đồ thị (C)
3) Với giá trị tham số m, đường thẳng qua điểm trung điểm đoạn thẳng nối hai điểm cực đại cực tiểu đồ thị (C)
Câu 2(1,5 điểm)1) Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = ex, y = đường thẳng x = 1.
2) Tính tích phân:
Câu 3(2,0 điểm): Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hypebol (H) có phương trình 1) Tìm tọa độ tiêu điểm, tọa độ đỉnh viết phương trình đường tiệm cận (H) 2) Viết phương trình tiếp tuyến (H) biết tiếp tuyến qua điểm M(2;1)
Câu 4(2,0 điểm)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A(1;0;-1), B(1;2;1), C(0;2;0).Gọi G trọng tâm tam giác ABC 1) Viết phương trình đường thẳng OG
2) Viết phương trình mặt cầu (S) qua bốn điểm O, A, B, C
(39)Câu 5(1,0 điểm): Tìm hệ số x5 khai triển nhị thức Newton , , biết tổng tất hệ số trong