De thi HSG (De xuat)- De 1

I. LẬP BẢNG MA TRẬN ĐỀ. Mức độ Chủ đề Thông hiểu Vận dụng thấp Vận dụng cao Tổng TNKQ TNTL TNKQ TNTL TNKQ TNTL Số học C2 4 1 4 Hình học C5ab 3.5 C5c 1.5 3 5 Đại số C4 4 C3 3 C1 4 3 11 Tổng 1 4 3 6.5 3 9.5 7 20 Câu 1: (4điểm) Với x, y không âm, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = x - 2 xy 3y 2 x 2008,5+ − + Câu 2: (4 điểm) Cho hai số a, b thỏa mãn a 3 + b 3 = 2. Chứng minh rằng: (a + b) 2 ≤ 4. Câu 3: (3điểm) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: ( ) 2 2 3 2 18 73 0x y xy x y + + − + + = Câu 4: (4điểm) Chứng minh đẳng thức: 4 4 1 2 abc bc a a a abc + − = − với a > 0, b > 0 và 2abc > Câu 5: (5điểm) Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB = 2R. Kẻ hai tia tiếp tuyến Ax và By của nửa đường tròn (Ax, By và nửa đường tròn cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ AB). Gọi M là điểm tùy ý thuộc nửa đường tròn (khác A và B). Tiếp tuyến tại M của nửa đường tròn cắt Ax tại D và cắt By tại E. a) Chứng minh rằng: ∆ DOE là tam giác vuông. b) Chứng minh rằng: 2 AD BE = R× . c) Xác định vị trí của điểm M trên nửa đường tròn (O) sao cho diện tích của tứ giác ADEB nhỏ nhất. Hết Họ và tên thí sinh: Số báo danh . Cán bộ coi thi không được giải thích gì thêm. PHÒNG GD&ĐT CHIÊM HOÁ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS - NĂM HỌC 2010-2011 MÔN THI : TOÁN Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) ĐỀ THI ĐỀ XUẤT Câu Nội dung Điểm 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 §Æt x a; y b víi a, b 0, ta cã: P = a 2ab 3b 2a 2008,5 = a 2a b 1 3b 2008,5 = a 2a b 1 b 1 2b 2b 2007,5 = a - b -1 2 b b 2007,5 1 1 a - b -1 2 b b 2007,5 4 2 1 a - b -1 2 b 2 = = ≥ − + − + − + + + − + + + + − + + − +   = + − + + −  ÷     = + − +  ÷   ( ) 2 2 2007 2007 1 V× a - b -1 0 vµ b 0 a, b. 2 3 a b 1 a 2 Nªn P = 2007 1 1 b b 2 2 3 9 x x 2 4 VËy P ®¹t GTNN lµ 2007 1 1 y y 2 2 ≥   ≥ − ≥ ∀  ÷    = + =     ⇔ ⇔   =   =      = =     ⇔ ⇔     = =     0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 2 Ta có: a 3 + b 3 > 0 ⇒ a 3 > –b 3 ⇒ a > – b ⇒ a + b > 0 (1) (a – b) 2 (a + b) ≥ 0 ⇒ (a 2 – b 2 )(a – b) ≥ 0 ⇒ a 3 + b 3 – ab(a + b) ≥ 0 ⇒ a 3 + b 3 ≥ ab(a + b) ⇒ 3(a 3 + b 3 ) ≥ 3ab(a + b) ⇒ 4(a 3 + b 3 ) ≥ (a + b) 3 ⇒ 8 ≥ (a + b) 3 ⇒ a + b ≤ 2 (2) Từ (1) và (2) ⇒ 0 < a + b ≤ 2. => (a + b) 2 ≤ 4. (đpcm) 0.5 1 1 1 0.25 0.25 3 + Phương trình đã cho tương đương với: ( ) ( ) 2 2 2 2 9 9 8 2x x y y y+ − + − = − ( ) 2 2 9 8 2x y y⇔ + − = − (*) + Pt (*) có nghiệm nguyên khi (8 – 2y 2 ) ≥ 0 và (8 – 2y 2 ) là số chính phương <=> y∈Ζ và 2y ≤ ⇒ y ∈ { 0, - 1, 1, -2, 2 } 1 1 PHÒNG GD&ĐT CHIÊM HOÁ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS - NĂM HỌC 2010-2011 MÔN THI : TOÁN Mà (8 – 2y 2 ) phải là số chính phương nên y ∈{-2,2} - Với y = -2 => x = 11 - Với y = 2 => x = 7 Vậy nghiệm nguyên của phương trình là (11,-2) và (7,2) 1 4 Chứng minh đẳng thức: 4 4 1 2 abc bc a a abc a + − = − với a > 0, b > 0 và 2abc > VT = 4 4 2 abc bc a a abc + − − = 4 4 2 abc abc a abc + − − ( ) ( ) 2 2 2 1 ( 2) 2 abc abc a abc a a abc − − = = − − 2 2 5 Ýa, + Hình vẽ đúng (câu a): + Theo giả thiết: DA và DM là hai tiếp tuyến cắt nhau tại D, nên OD là tia phân giác góc AOM. Tương tự: OE là tia phân giác góc MOB. + Mà · AOM và · MOB là hai góc kề bù, nên · 0 90DOE = . Vậy tam giác DOE vuông tại O. Ý b) + Tam giác DOE vuông tại O và OM DE⊥ nên theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có: 2 2 DM EM OM R× = = (1) + Mà DM = DA và EM = EB (định lí về 2 tiếp tuyến cắt nhau) (2). + Từ (1) và (2) ta có: 2 DA EB R× = Ý c) + Tứ giác ADEB là hình thang vuông, nên diện tích của nó là: ( ) ( ) 1 1 2 2 2 S AB DA EB R DM EM R DE= + = × × + = × + S nhỏ nhất khi và chỉ khi DE nhỏ nhất. Mà DE là đường xiên hay đường vuông góc kẻ từ D đến By, nên DE nhỏ nhất khi DE = DH (DH vuông góc với By tại H). Khi đó DE song song với AB nên M là điểm chính giữa của nửa đường tròn (O) (hoặc OM ⊥ AB). Giá trị nhỏ nhất của diện tích đó là: 2 0 2S R= Ghi chú: Nếu học sinh không tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích vẫn cho điểm tối đa. 0.5 1 0.5 0.5 0.5 0.5 1 0.5 Người ra đề: Đào Xuân Diệp. Đơn vị: Trường THCS Trung Hà. . y ∈ { 0, - 1, 1, -2, 2 } 1 1 PHÒNG GD&ĐT CHIÊM HOÁ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS - NĂM HỌC 2 010 -2 011 MÔN THI : TOÁN. CHIÊM HOÁ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS - NĂM HỌC 2 010 -2 011 MÔN THI : TOÁN Thời gian: 15 0 phút (không kể thời gian giao đề) ĐỀ THI ĐỀ XUẤT