[r]
(1)Giới hạn dãy số *Các giới hạn thường gặp:
limC = C ; lim= > ; lim = ; limqn = |q| < 1 *Các phép toán giới hạn :
lim(un vn) = limun limvn ; lim(un.vn) = limun ; limvnlim =
*Các định lý giới hạn:
Định lý 1: Một dãy số tăng bị chặn có giới hạn Một dãy số giảm bị chặn có giới hạn Định lý 2: Cho dãy số (un),(vn) (wn)
Nếu n ta có un ≤ ≤ wn limun = limwn = A limvn = A Định lý 3: Nếu limun = lim =
Nếu limun = lim = *Tổng cấp số nhân lùi vô hạn S = 1.Dùng định nghĩa,tính giới hạn sau: a) lim b) lim c) lim 2.Tính giới hạn sau:
a) lim b) lim c) lim d) lim e) lim 2n −3
√n3−2n+1
f)lim() g) lim 3.Tính giới hạn sau: a) lim b) lim() c) lim) d) lim) e) lim
f) lim g) lim
3
√n3+n2+n+3√n2+1 n√3+1
h) lim i) lim() j) lim n() k) lim(
√n3−2n2− n ) l) lim m) lim(1 + n2 – )
n) lim
4.Tính giới hạn
a) lim b) lim c) lim d) lim e) lim f) lim g) lim với |a| < ; |b| <
4.Cho dãy (un) xác định u1 = ; un+1 =
a)Chứng minh (un) bị chặn dãy số tăng b)Suy (un) có giới hạn tính giới hạn
5.Cho dãy (un) xác định u1 = ; un+1 =
a)Chứng minh (un) bị chặn dãy số tăng
b)Suy (un) có giới hạn tính giới hạn 6.Tìm số hữu tỉ sau :
a) 2,1111111 b)1,030303030303 c)3,1515151515 7.Tính lim(1 – ).(1 – ).(1 – )…(1 – )
8 Cho dãy (xn) thỏa < xn < xn+1(1 – xn) ≥ Chứng minh rằng: dãy số (xn) tăng Tính limxn
Cho dãy (xn) thỏa < xn < xn+1 = + xn – xn2 n N a)Chứng minh rằng: |xn – | < ()n n ≥ 3
b) Tính limxn
10.Cho dãy số xác định : u1 = ; un +1= a) Chứng minh rằng: un < n
b) Chứng minh rằng: (un) tăng bị chặn c) Tính limun
11.Cho dãy số (un) xác định công thức u1 = un +1= a) Chứng minh un < n
b)Chứng minh rằng: (un) tăng bị chặn c) Tính limun
Giới hạn hàm số *Các phép tốn giới hạn hàm số
x a x a x a
lim f (x) g(x) lim f (x) lim g(x)
x a x a x a
lim f (x).g(x) lim f (x).lim g(x)
x a x a
x a
lim f (x) f (x)
lim
g(x) lim g(x)
lim f (x)x a lim f (x)x a *Các định lý giới hạn hàm số :
Định lý 1:Nếu hàm số có giới hạn giới hạn
Định lý 2:Cho hàm số g(x),f(x),h(x) xác định khoảng K chứa a g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) Nếu lim g(x) lim h(x) Lxa xa
x a
lim f (x) L
Định lý 3: Nếu x a x a lim f (x) lim
f (x)
Nếu x a x a lim f (x) lim
f (x)
Định lý 4: x
sinx
lim
x
x
x
lim
sinx
(2)x
sin kx
lim
kx
x
kx
lim
sin kx
*Các dạng vơ định: giới hạn có dạng ; ; 0. ; – 1.Tính giới hạn sau:
a) lim
x→2
2x2−3x −2
x −2 b) limx→1
x3−3x2
+5x −3 x2−1 c) lim
x →−2
x2+2x
x2+4x+4 d) limx→1
x3− x2− x+1
x2−3x+2 e) lim
x→3
x3−5x2
+3x+9
x4−8x2−9 f) x →−lim1
x4−1 x3−2x2+3
g) lim
x→1
x2+2x −3
2x2− x −1 h) x →−lim2
x3−3x+2
4− x2
i) lim
x→1
4x6−5x5 +x
x2−1 k) lim
x→1 xm−1
xn−1 m,nN
2.Tính giới hạn sau: a) lim
x →4
√x+5−3
4− x b) limx→0
√1+x −√1− x
x c) limx→7
2−√x −3
x2−49 d) lim
x→2
√4x+1−3
x2−4 e) limx→2
√x+2− x
√4x+1−3 f) limx →4
3−√5+x
1−√5− x
g) lim
x →−1
√2x+3−√x+2
3x+3 h) limx→1
√2x+7+x −4 x3−4x2+3
i) lim
x→1 x2−
√x
√x −1 j) limx→1
√x −1
√x+3−2 k)
lim
x→2
√x+2− x √4x+1−3 l) lim
x→1
√2x+7−3
2−√x+3 m)
x →1+¿√x
2
−1+√x −1 √x −1 lim
¿
n)
lim
x→1
x3−√3x −2 x2−1 o) lim
x→1
√x2+3+x3−3x x −1 3.Tính giới hạn sau: a) lim
x→2
x
√8− x −√38+x b) x →−lim1 x5+x3
+2 √x+1
c) lim
x→0 x
√1+x −1 d) limx→0
√1+x2−1
x2 e)
lim
x →4
√x+4−√x x2−5x+4
f) lim
x →−3
√2x+10+√3x −5
x2−9 g) lim
x→2
√10− x −√x+2
x −2
h) limx→2
√x+6−√x+2
x2−4 i)
3 x
8x 11 x lim
x 3x
g)
3
4 x
(1 x )(1 x )(1 x)(1 x ) lim
(1 x)
h)
n
2 x
x nx n lim
(x 1)
4.Tính giới hạn sau: a) lim
x→0
sin 3x
2x b) limx→0
5x
sin 2x c) limx→0
sin 4x
sin 7x d)
lim
x→0
1−cos 6x
x2
e) lim
x→0
1−cos 3x
1−cosx f) limx→0
cosx −cos 3x
2x2 g) limx→0
1−√cosx x2
h) lim
x → π
6
√3 sinx −cosx
sin 6x i) x →limπ
4
sinx −cosx
sin 8x j)
lim
x→0
cos4x −sin4x −1 √x2
+1−1
k) lim
x→0
1+sinx −cosx
1−sinx −cosx l) limx→0(
1 sinx −
1
cosx ) m)
lim
x→0( π
2− x)tgx n) lim
x→0
√2−√1+cosx
sin2x o) lim
x→0
1−cosx.√cos 2x
x2 p)
lim
x→0
√1+sinx −√cos2x
tg2x q) lim
x →π4
sinx −cosx
1−tgx r)
lim
x→0
cos 2x −1
1−√1− x2
4.Tính giới hạn sau:
a) x
1
lim
sinx sin 3x x
b) x
tgx sinx lim
x
c) x cosx lim
tg x
(3)d) x
cosx lim
x- /2
e) x
lim(1 cos2x)tgx
f) x
1 tgx lim
1 cot gx
g) x
sinx - cosx lim
1 - tgx
h)
3
x
tg x 3tgx lim
cos(x + )
i) x
lim x.sin x
j) x 2 cosx lim
tg x
k) x
1 sin 2x sin 2x lim
x
l) xlim(sin x sin x ) m) xlim(cos x+1 cos x ) 5.Tính giới hạn sau:
a) lim
x→1(
1
x −1−
x3−1) b) x →−lim2(
1
x+2+
4
x2−4)
b) x 2
1
lim
x 3x x 5x
c) lim
x → ∞
(x −1)(x2+3x)
x3+4x d) x → ∞lim
√x2
+x −3x
2x −1 e) lim
x → ∞(√x
2− x
+3+x) f) lim
x →− ∞(√3− x −√5− x)
g) lim
x → ∞x(√x
2
+5− x) h) lim
x →+∞x(√x
2
+1− x)
i) lim
x →+∞
(√x2−2x −1−√x2−7x+3)
i)
2 x
x x 3x lim
4x x
j)
2
x
9x x 4x 2x
lim
x
h)
2 3 x
x 2x lim
x x
j) lim
x → ∞
√x2+x+1+√x2− x+1 x+√x2+1 k)
lim
x → ∞
7x
1+14x+√16x2+x+1 6.Tính giới hạn hàm số sau
a) lim
x → ∞
√x2−3x
x+2 b) x → ∞lim
(√x2− x −√x2+1)
c) lim
x→0x 2sin1
x d) x → ∞lim
sinx+3 cos 2x x2−2x+3 e) x →lim
+∞
5 cosx+x2 x3−1 f)
2 x
lim( x x x )
g)
2 x
lim(2x 4x 4x 3) h) x
lim x x x x
i)
3 x
lim(x 3x x )
j)
3
2
x
lim x x
7.Tìm số a,b để a) lim
x →+∞(√x
2
+x+1−ax−b)=0
b) lim
x → ∞(
x2+1
x+1 −ax− b) = Tính giới hạn sau:
a)
2
xlim x x 2x x x x b)
3 2
xlim x 3x x 2x Hàm số liên tục
Định nghĩa:
*Hàm số f(x) liên tục xo x xo o
lim f (x) f (x )
*Hàm số f(x) gọi liên tục khoảng (a;b) liên tục điểm xo (a;b)
*Hàm số f(x) gọi liên tục đoạn [a;b] liên tục khoảng [a;b]
xlim f (x) f (a) lim f (x) f (b)a xb
Các định lý:
Định lý 1:Các hàm số đa thức,hữu tỉ,lượng giác hàm số liên tục tập xác định chúng
Định lý 2:Tổng,hiệu,tích,thương hàm liên tục hàm liên tục
Định lý 3:Nếu hàm số f(x) liên tục đoạn [a;b] f(a).f(b) < tồn số c (a;b) cho f(c) =
Hệ quả:Nếu hàm số f(x) liên tục đoạn [a;b] f(a).f(b) < phương trình f(x) = có nghiệm khoảng (a;b)
1.Xét liên tục hàm số sau: a) f(x) = x2 + x – b)f(x) = b)f(x) = 2.Xét liên tục hàm số sau:
a) f(x) =
¿
x2−3x+4 x <1
2x −3 x≥1
¿{
¿
(4)b) f(x) =
¿
x3− x −6
x2− x −2 x≠2 11
3 x=2
¿{
¿
xo =
c) f(x) =
sin x
khi x x
khi x
xo = 1
d) f(x) =
2
x 3x
khi x x
x
khi x
xo = 1
e) f(x) =
2
4 x
khi x x
1 2x khix
xo = 2
f) f(x) = 3
x x
2 x 1
khi x x
xo = 0
g) f(x) =
3
1 cosx
khi x sin x
1
khi x
xo = 0
h) f(x) =
1 2x
khi x 2 x
1 x
xo = 2
3.Tìm a để hàm số sau liên tục x0
a) f(x) =
¿
3x2
+2x −1 x <1
2x+a x≥1
¿{
¿
x0 =
b) f(x) =
¿
x3+2x −3
x2−1 x ≠1 a x=1
¿{
¿
x0 =
c) f(x) =
1 cos4x
khi x x.sin 2x
x a
khi x x
xo = 0
d) f(x) =
1 x x
khi x x
4 x
a x
x
xo = 0
4.Xét liên tục hàm số sau:
a) f(x) =
¿
x2−3x −7 x <−2 1−x x≥−2
¿{
¿
b) f(x) =
¿
x2+3x −10
x2−4 x<2
2x+3
x+2 2≤ x ≤5
3x−4 x >5
¿{ {
¿
5.Tìm a để hàm số sau liên tục R
a) f(x) =
33x 2
khi x x
1
ax + x
b) f(x) =
sin(x ) x
1 cos x
a x
3
(5)a) f(x) =
¿
−2 sinx x <−π
2 asinx +b −π
2≤ x ≤
π
2 cosx x >π
2
¿{ {
¿
b) f(x) =
¿
x2 x <1
ax+b 1≤ x ≤3
4−x x>3
¿{ {
¿
6 Chứng minh phương trình sau có nghiệm: a) x3 – 2x – = b) x5 + x3 – = 0 c) x3 + x2 + x + 2/3 = d) x3 – 6x2 + 9x – 10 = 0 e) x5 + 7x4 – 3x2 + x + = f) cosx – x + = 0 Chứng minh phương trình
a) x3 – 3x2 + = có nghiệm khoảng (– 1;3) b) 2x3 – 6x + = có nghiệm khoảng (– 2;2) c) x3 + 3x2 – = có nghiệm khoảng (– 3;1) d) x3 – 3x2 + = có nghiệm khoảng (– 1;3) e) 2x2 + 3x – = có nghiệm khoảng (– 3;1) f)* x5 – 5x4 + 4x – = có nghiệm khoảng (0;5) Cho số a,b,c khác Chứng minh phương trình (x – a)(x – b) + (x – b)(x – c) + (x – c)(x – a) =
Có nghiệm phân biệt
9*.Cho f(x) = ax2 + bx + c thoả mãn : 2a + 6b + 19c = 0
Chứng minh phương trình ax2 + bx + c = có nghiệm [0;] 9*.Cho f(x) = ax2 + bx + c thoả mãn : 2a + 3b + 6c = 0
a)Tính a,b,c theo f(0), f(1) ,f(1/2)
b)Chứng minh ba số f(0), f(1) ,f(1/2) dấu
c)Chứng minh phương trình ax2 + bx + c = có nghiệm (0;1) 10*.Cho f(x) = ax2 + bx + c thoả mãn : = 0
a)Chứng minh af() < với a
b)Cho a > , c < ,chứng minh f(1) >
c)Chứng minh phương trình ax2 + bx + c = có nghiệm (0;1) 11*.Cho hàm số f(x ) liên tục đoạn [a;b] thoả f(x) [a;b] x [a;b] Chứng minh phương trình: f(x) = x có nghiệm x [a;b]
12 Chứng minh rằng: phương trình sau ln ln có nghiệm: a) cosx + m.cos2x =
b) m(x – 1)3(x + 2) + 2x + = 0
c) a(x – b)(x – c) + b(x – c)(x – a) + c(x – a)(x – b) = d) (m2 + m + 1)x4 + 2x – = 0
13.Cho hàm số f(x) liên tục [a;b] , hai số dương Chứng minh rằng: phương trình f(x) = có nghiệm [a;b]