De thi hsg co dap an

DÞch chuyÓn xuèng theo chiÒu däc mét « n÷a, ta cã thªm 3 vïng.[r]

UBND TỉNH Thừa Thiên Huế kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh Sở Giáo dục đào tạo lớp thCS - năm học 2007 - 2008 Mơn : Tốn

§Ị chÝnh thøc Thêi gian lµm bµi: 150 phót Đề thi gồm 01 trang

Bài 1: (4,0 điểm)

Cho biÓu thøc:

4

2 14 28 16

x x x x

A

x x x x

   

  

1 Tìm x để A có nghĩa, từ rút gọn biểu thức A

2 Tìm giá trị nguyên x để biểu thức A nhận giá trị nguyên Bài 2: (4,0 điểm)

Cho phơng trình x2 2mx m m (m lµ tham sè)

1 Với giá trị m phơng trình cho có hai nghiệm x1 x2 cho

1

2

18

x x

x  x  .

2 Với giá trị m phơng trình cho có hai nghiệm x1 x2 cho

1

x x Bài 3: (3,0 điểm)

1 Cho sè thùc bÊt k× a b c d, , , Chøng minh:  2  2

ab cd  a c b d

Dấu đẳng thức xảy ?

2 Với giá trị góc nhọn  biểu thức P3sin cos có giá trị lớn ? Cho biết giá trị lớn

Bµi 4: (6,0 ®iĨm)

1 Cho đờng trịn (O) dây BC cố định không qua tâm O, điểm A di chuyển cung lớn BC Trên tia đối tia AB lấy điểm D cho AD = AC Gọi M trung điểm CD Hỏi M di chuyển đờng ? Nêu cách dựng đờng giới hạn

2 Trong hình bên, cho biết M trung điểm AC đờng thẳng AD, BM CE đồng qui K Hai tam giác AKE BKE có diện tích 10 20 Tính diện tích tam giác ABC

Bµi 5: (3,0 ®iĨm)

1 Tìm số tự nhiên n để n18 n 41 hai số phơng

2 Tính số nhỏ phải qt sơn bảng vùng

nào bảng chứa quét sơn

HÕt

UBND TỉNH Thừa Thiên Huế kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh Sở Giáo dục đào tạo lớp thCS năm học 2007 - 2008 Mơn : tốn

B ià Câu Néi dung §iĨm 1 (4 ®iĨm)

1.1

(2 ®) §Ĩ A cã nghÜa, trớc hết x0 Đặt t x x 0               

3 2

1 1

4

2 14 28 16 2 12 28 16 2

t t t t t

t t t

A

t t t t t t t t t t

    

  

  

         

§Ĩ biĨu thøc A cã nghÜa th×:

0, 1, 2, 0, 1, 4, 16

t t t t  x x x x (*)

Khi đó, rút gọn ta đợc:

   

1

2 2 2

t x A t x       1,0 0,5 0,5 1.2 (2 ®)        

1

2 2 2 2

t t

A

t t t

  

 

Để A số nguyên x nguyên t phải 1 hc 3 - NÕu t 2  1 t ( loại trái điều kiện (*))

- NÕu t 2   3 t (lo¹i) - NÕu t 1   t x9 vµ A2 - NÕu t 3   t x25 A1

Vậy: Để A nhận giá trị nguyên x9 x25

0,5 0,5 0,5 0,5

2 (4 điểm)

2.1

Để phơng trình x2 2mx m m có hai nghiƯm th×:

 

2

' m m m m m

         

(1) 0,5

Víi ®iỊu kiƯn (1),

 2

2

1 2

1 2

2 1 2

2

18 18 18

7 7

x x x x

x x x x

x x x x x x

  

     

vµ x x1 0

 

 

2 2

2

4 18 6 9

2;

6 7

m m m m m

m m

m m m m

    

     

   

2

1

8 48 4; 12

m m m m

      

(thỏa điều kiện (1) khác -2 khác 3)

0,5 0,5 0,5 2.2 Víi ®iỊu kiƯn (1),

 2

2

1 2 64 2 2 64

x  x   x x  x x   x x  x x  x x 

(2)

0,5

+ NÕu x1 vµ x2 cïng dÊu th×    

1 2

6

6

m x x

m m m m

 

  

     

 0,5

6 m

Khi (2)  

2 2

1 64 64

x x m m

      

(tháa ®iỊu kiƯn (3)) 0,25 + Nếu x1 x2 trái dấu thì

 

2

1 3

x x   m  m  m m    m (4)

Khi (2)    

2 2 2

1 64 4 64

x x x x m m m

        

6 16 10

m m

 (không thỏa điều kiện (4). 0,5

+ Vậy, để x1  x2 8 m4

3 (3,0 ®iĨm)

3.1 Ta cã:

 2  2  2  2  2

0ab cd  a c b d  ab cd  a c b d

2 2 2 2 2 2

2

a b c d abcd a b a d b c c d

      

ad2  bc 2ad bc   ad bc2

      

: với số thực a, b, c, d

VËy:    

2 2

0ab cd  a c b d ,a b c d, , , R

Dấu đẳng thức xảy ad bc 0 hay  

0,

c d

a b

a b  

0,5 0,5

0,5 3.2 áp dụng kết trên, ta có:

3sin cos

P    nªn

 2 2 

3sin cos 3 sin cos

P       

max

P 

0

sin

3cos sin 60

cos tg



   



       

1,0 0,5

4 (6,0 ®iĨm) 4.1

+ Ta có: Tam giác ACD cân A (gt) nên BAC2ADC (Góc BAC góc tam giác ACD)

+ Gọi I trung điểm BC, ta có MI //BD (đờng trung bình tam giác BCD), nên:

  1 1

2 4

IMC BDC  BAC BOC

( BOC không đổi) +Do đó: M chạy cung trịn nhìn đoạn IC dới góc



khơng đổi

0,5

0,5

+ Dựng tia OI cắt đờng trịn (O) N, ta có:

 1  

2

NBC  BAC BDC IMC 

+ Dựng tia In BN'// , dựng đờng thẳng qua I vng góc với In' cắt trung trực đoạn IC O1 Đờng tròn tâm O1 qua C đờng cần dng

+ Khi A chạy cung lớn BC tới trùng với A D trùng với D0 trên

tiếp tuyến Bt (O) BD0 = BC , M trùng với M0 trung điểm CD0

+ Vậy M di chuyển cung lớn CM0 đờng tròn (O1)

0,5

0,5

0,5 0,5 4.2 + Gọi h là khoảng cách từ K đến AB, ta có:

/

/ 2

AKE BKE

S AE h AE AE

S BE h BE BE

       

+ Suy ra:

1 2 ACE BCE ACE BCE S S S S        (1)

+ T¬ng tù:

1 AKM AKM CKM CKM S MA S S S MB

Đặt x S AKM SCKM, ta cã:

20 10 30

ABM CBM BCK BCK

S S     x x S  S 

(1)  

15

20 10 10 25

2 BCK

S x x x

        

Do đó: SABC SAKBSBCK SAKC 10 20 30 2   x75

0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5

5 (3,0 điểm)

5.1

Để n18 n 41 hai số phơng

2

18

n p

   vµn 41q p q2 , N

       

2

18 41 59 59

p q n n p q p q

        

Nhng 59 số nguyên tố, nên:

1 30

59 29

p q p

p q q

             Tõ 2

18 30 900

n p   suy n882

0,5 0,5

Thay vào n 41, ta đợc 882 41 841 29   q2

5.2 + Dọc theo chiều ngang sát sát cạnh bảng có vùng vị trí A B C D A B C D A B C D1 1 1, 2 2, 3 3 Dịch chuyển xuống theo chiều dọc ô,

ta có thêm vùng Dịch chuyển xuống theo chiều dọc nữa, ta có thêm vùng Do có vùng củabảng , vùng

đều chứa ô vuông 1 thuộc hình chữ thập tơ màu 0,75

+ Nếu quét sơn nh hình vẽ bên vùng chứa 1 đợc quét sơn

Vậy: Để vùng bảng chứt 1 đợc qt sơn, cần qt số nhỏ nh hình vẽ bên