DE THI KHAO SAT HSG LOP 8 TU 2011 DEN 2019

Câu 3 (3 điểm) : Các cạnh góc vuông của tam giác vuông có độ dài là a, b và diện tích bằng S. Trên cạnh BC lấy M sao cho BM = AB. Đường thẳng vuông góc BC tại M cắt AD tại N. Điểm D thu[r]

(1)

PHÒNG GD&ĐT HẢI LĂNG ĐỀ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2011-2012

Mơn: Tốn

Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) _

Câu (4 điểm): Cho

a b c

b c c a a b     

Chứng minh rằng:

2 2

0

a b c

b c c a a b     

Câu (3 điểm): Cho x, y số lớn Chứng minh rằng: 2

1

1x 1y 1xy

Câu (3 điểm): Tìm m để phương trình

2x m x

3

x x

 

 

  có nghiệm dương.

Câu (4 điểm): Giải phương phương trình sau:

 

2 2

2

1 1

8 x x x x x

x x x x

       

       

       

       

Câu (3 điểm): Trong giỏ đựng số táo Đầu tiên người ta lấy nửa số táo bỏ lại quả, sau lấy thêm

1

3 số táo lại lấy thêm Cuối cùng giỏ lại 12 Hỏi giỏ lúc đầu có quả?

Câu (3 điểm): Cho tam giác vuông cân ABC (AB = AC) Qua C vẽ đường thẳng cắt cạnh AB D Từ B vẽ đường vng góc với CD I cắt AC E

Chứng minh AD = AE

-

(2)

PHÒNG GD&ĐT HẢI LĂNG HƯỚNG DẪN CHẤM THI KHẢO SÁT HSG NĂM HỌC 2011-2012

Mơn: Tốn

_

Câu 1(4 điểm): Nhân vế của:

a b c

1

bc ca  ab  với a + b + c rút gọn  đpcm Câu (3 điểm): 2

1

1x 1 y 1 xy

                     2 2 2

1 1

0

1 1

0

1 1

1

0

1 1

x xy y xy

x y x y x y

x xy y xy

y x xy

x y xy

                                 

Vì x1;y1 => xy 1 => xy 0

=> BĐT (2) => BĐT (1) (dấu ‘’=’’ xảy x = y)

Câu 3(3 điểm): Tìm m để phương trình

2x m x x x

 

 

  có nghiệm dương.

Điều kiện: x 2; x 2

Ta có  

2x m x

3 x m 2m 14

x x

 

      

 

a) Nếu m = phương trình có dạng = -12 vơ nghiệm b) Nếu m1 phương trình trở thành

2m 14 x m   

Phương trình có nghiệm dương

2m 14 m m 2m 14

1 m m

2m 14 m                          

Vậy thoả mãn yêu cầu toán

m

1 m

  

 

 .

(3)

Câu 4(4 điểm): Giải phương phương trình (mỗi PT điểm): a) x2 3x 2 x1 0 (1)

+ Nếu x1: (1)  

2

1

x x

     (thỏa mãn điều kiện x1).

+ Nếu x1: (1)  x2  4x  3 x2  x 3x1  0 x1 x 3 0

 x1; x3 (cả hai không bé 1, nên bị loại) Vậy: Phương trình (1) có nghiệm x1.

b)  

2 2

2

1 1

8 x x x x x

x x x x

       

       

       

        (2)

Điều kiện để phương trình (2) có nghiệm: x0

(2)

 

2

1 1

8 x x x x x

x x x x

 

       

                

        

   

2

1

8 x x x x 16

x x

   

           

   

 x0 hay x8 với điều kiệnx0.

Vậy phương trình cho có nghiệm x8

Câu 5(3 điểm): Chọn ẩn, lập phương trình qua bước (2 điểm) Giải phương trình chọn kết 38 trả lời (1 điểm) Câu (3 điểm): ∆EBC có AB CI đường cao cắt

D => trực tâm ∆ABC => ED ∟BC

DEA = ABC (cặp góc có cạnh tương ứng vng góc) Mà góc ABC = 450 (GT) góc DEA = 450 => ∆ADE vuông cân A

=> AD = AE

-HẾT -Lưu ý: Học sinh giải theo cách khác cho điểm tối đa.

B I D

(4)

PHÒNG GD&ĐT HẢI LĂNG ĐỀ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 8 Năm học: 2012-2013

Mơn: TỐN

Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) _

Câu (3 điểm): Cho a, b, c ba số đơi khác Tính giá trị biểu thức: M = ab

(a − c)(b − c)+

bc

(b − a)(c − a)+

ca

(c − b)(a −b)

Câu (3 điểm): Cho x thỏa mãn x2– 3x = Tính giá trị biểu thức: N = 3x5 – 11x4

+ 11x3 – 16x2 + 3x +

Câu (3 điểm): Với giá trị a b đa thức: x3 + ax2 + 2x + b chia hết cho đa thức: x2 + x + 1

Câu (3 điểm): Chứng minh rằng: a2 + b2

2 với a + b ≥

Câu (4 điểm): Một số tự nhiên có chữ số Nếu viết thêm số vào bên trái hay bên phải số ta số có chữ số Biết viết thêm vào bên phải số số lớn gấp lần ta viết thêm vào bên trái Hãy tìm số đó?

Câu (4 điểm): Cho tam giác ABC vuông A Phân giác góc A cắt cạnh huyền BC D Qua D vẽ đường thẳng vng góc với BC cắt AC E

Chứng minh BD = DE

-

(5)

PHÒNG GD&ĐT HẢI LĂNG HƯỚNG DẪN CHẤM THI KHẢO SÁT HSG LỚP 8 NĂM HỌC 2012-2013

Mơn: Tốn

_ Câu (3 điểm): M = ab

(a − c)(b − c)+

bc

(b − a)(c − a)+

ca

(c − b)(a −b)

= ab(a −b)+bc(b − c)+ca(c − a) (a − b)(b −c)(a − c)

= ab(a −b)+bc[(b − a)−(c − a)]+ca(c − a)

(a − b)(b −c)(a − c)

= ab(a −b)+bc(b − a)−bc(c −a)+ca(c − a) (a − b)(b −c)(a − c)

= b(a − b)(a −c)+c(a − c)(b − a)

(a− b)(b − c)(a− c)

= (a − b)(a −c)(b − c) (a − b)(b −c)(a − c) = Câu (3 điểm):

x2– 3x = ⇔ x(x-3) = ⇔ x=0

x=3

¿

Với x = N =

Với x = N = 729 - 891 + 297 - 144 + +7 = Vậy N =

Câu (3 điểm):

Đa thức bị chia bậc 3, đa thức chia bậc nên đa thức thương bậc

Hệ số cao đa thức bị chia đa thức chia nên ta gọi đa thức thương x + m

Ta có: x3 + ax2 + 2x + b = (x2 + x + 1)(x + m)

⇔ x3 + ax2 + 2x + b = x3 + (m + 1)x2 + (m + 1)x + m Đồng ta có: a = m + ; = m + ; b = m

Vậy a = ; b = = m Câu (3 điểm):

Do a + b ⇒ (a + b)2 1

Mà (a - b)2 , (a + b)2 + (a - b)2 1 ⇒ 2(a2 + b2) 1

(6)

Suy điều cần chứng minh

Câu (4 điểm): Gọi số phải tìm laø x (nguyên dương) x = abcde

Viết vào bên trái ta số có dạng 1abcde = 100000 + x

Viết vào bên phải ta số có dạng: abcde1 = abcde0 + = 10x + Theo đề ta có: 10x + = 3(100000 + x)

=> 7x = 299999 => x =42857 Câu (4 điểm):

Trên AB lấy điểm F cho AF = AE

ADF = ADE (c.g.c)

suy ra: DF = DE, DFA DEA

 

DFA DEA =>DFB DEC

Mà ABC DEC (cùng phụ với góc C)

Do DFB ABC

Suy BDF cân D

Nên BD = DF = DE (theo chứng minh trên)

-HẾT -Lưu ý: Hướng dẫn chấm trình bày sơ lược cách giải Bài làm học sinh tiết, lập luận chặt chẽ, tính tốn xác điểm tối đa.

(7)

Mơn: TỐN

Câu (3 điểm): Cho x, y số lớn Chứng minh rằng: 2

1

1 x 1 y 1 xy

Câu (3 điểm): Giải Phương trình:

2

98 96 94 92

x x x x

  

Câu (3 điểm): Hai cạnh hình bình hành có độ dài 6cm 8cm Một đường cao có độ dài 5cm Tính độ dài đường cao thứ hai

Câu (4 điểm): Một vịi nước chảy vào bể khơng có nước Cùng lúc vịi nước khác chảy từ bể Mỗi lượng nước chảy

4

5 lượng nước chảy vào Sau giờ nước bể đạt tới

1

8 dung tích bể Hỏi bể khơng có nước mà chỉ mở vịi chảy vào bể đầy?

Câu (4 điểm): Cho tam giác ABC vuông A Phân giác góc A cắt cạnh huyền BC D Qua D vẽ đường thẳng vng góc với BC cắt AC E

Chứng minh BD = DE

Câu (3 điểm): Tìm giá trị lớn biểu thức:

2

x M

x

 



-

(8)

PHÒNG GD&ĐT HẢI LĂNG HƯỚNG DẪN CHẤM THI KHẢO SÁT HSG LỚP 8 NĂM HỌC 2013-2014

Mơn: Tốn

_

Câu (3 điểm): 2

1

1 x 1 y 1 xy (1)

                      2 2 2

1 1

0

1 1

0

1 1

1

0

1 1

x xy y xy

x y x y x y

x xy y xy

y x xy

x y xy

                                   

Vì x1;y 1 => xy1 => xy1 0

=> BĐT (2) => BĐT (1) (dấu ‘’=’’ xảy x = y) 1đ Câu (3 điểm):

92 94 96 98      

 x x x

x

 ( 98

2



x

+1) + ( 96



x

+ 1) = ( 94



x

+ 1) + ( 92



x

+ 1) (0,5đ)

 ( x + 100 )( 98

+96

- 94

- 92

) = (0,25đ)

Vì: 98

+96

- 94

- 92



Do : x + 100 =  x = -100

Vậy phương trình có nghiệm: x = -100 (0,25đ) Câu (3 điểm):

Hình vẽ: 8cm 6cm K H A B D C

(9)

Giả sử ABCD hình bình hành có AB = 8cm, AD = 6cm có đường cao dài 5cm Vì < < nên xảy hai trường hợp:

AH = 5cm Khi S = AB.AH = BC.AK hay 8.5 = 6.AK => AK = 20

3 (cm) AK = 5cm Khi S = AB.AH = BC.AK hay 8.AH = 6.5 => AH =

15 (cm) Vậy đường cao thứ hai có độ dài

20

3 cm 15

4 cm

Câu (4 điểm): Gọi thời gian vòi nước chảy đầy bể x (giờ) ĐK: x > Khi vịi chảy

1

x bể

1 vòi khác chảy lượng nước 5x bể.

Theo đề ta có phương trình

1

.5 x x        

Giải phương trình tìm x = (TMĐK x>0) Vậy thời gian để vòi chảy đầy bể

Câu (4 điểm):

Trên AB lấy điểm F cho AF = AE

ADF = ADE (c.g.c)

suy ra: DF = DE, DFA DEA

 

DFA DEA =>DFB DEC

Mà ABC DEC (cùng phụ với góc C)

Do DFB ABC

Suy BDF cân D

Nên BD = DF = DE (theo chứng minh trên) Câu (3 điểm):

        2 2 2 2 2

2

2 2

2

2 1

1

2

x x x

M

x x

x x x

M x x                      

M lớn

 2 2 x x 

(10)

Vì  

2

1

x  x x2 2 0 x

nên

 2

1

x x



 nhỏ  

2

1

x = 0.

Dấu “=” xảy x – =  x 1 Vậy Mmax = x = 1.

(11)

Môn: TOÁN

Câu (2 điểm): Cho x, y thỏa x + y =

Tính giá trị biểu thức A = x3 + y3 + 3xy.

Câu (4 điểm): Cho biểu thức:

2

x 10 x

A : x

x x x x

  

 

       

   

   

a Rút gọn biểu thức A

b Tính giá trị A , Biết x =

1 .

c Tìm giá trị x để A <

d Tìm giá trị nguyên x để A có giá trị nguyên

Câu (3 điểm): Ba đường cao tam giác ABC có độ dài ; a ; 12 Biết a số tự nhiên Tìm a ?

Câu (4 điểm): Tìm tất số phương gồm chữ số biết ta thêm đơn vị vào chữ số hàng nghìn, thêm đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm đơn vị vào chữ số hàng đơn vị, ta số phương ? Câu (4 điểm): Cho tam giác ABC có góc B góc C nhỏ 900 Vẽ phía ngồi tam giác tam giác vuông cân ABD ACE (trong góc ABD góc ACE 900), vẽ DI EK vng góc với đường thẳng BC Chứng minh rằng:

a BI = CK; b BC = DI + EK

Câu (3 điểm): Cho a, b, c thỏa mản

1 1

a b c  a b c 

Tính giá trị biểu thức: M = (a19 + b19)(b5 +c5)(c2015 + a2015) -

(12)

PHÒNG GD&ĐT HẢI LĂNG HƯỚNG DẪN CHẤM KHẢO SÁT HSG LỚP 8 NĂM HỌC 2014-2015

Mơn: Tốn

Câu (2 điểm): A = (x + y)(x2 - xy + y2) + 3xy (0.5 điểm)

= x2 - xy + y2 +3xy (0.5 điểm)

= x2 + 2xy + y2 = (x + y)2 = (1 điểm) Câu (4 điểm):

Biểu thức:

2

x 10 x

A : x

x x x x

  

 

       

   

   

a Rút gọn kq:

1 A

x  

 (1 điểm)

b

1 x

2

 x

2   x   A   A  (1 điểm)

c A 0 x2 (1 điểm)

d  

1

A Z Z x 1;3

x 

    

 (1 điểm)

Câu (3 điểm):

Gọi x, y, z độ dài cạnh tương ứng với đường cao 4, a, 12 Ta có: 4x = 12y = az = 2S

 x = S/2 ; y = S/6; z = 2S/a (1 điểm)

Do x - y < z < x + y nên

3 2 6 2

2       a 

S S a S S S (1 điểm)

 3, a , Do a  N nên a = a = (1 điểm)

Câu (4 điểm): Gọi abcd số phải tìm

Với a, b, c, d N, 0≤ a , b , c , d ≤9, a ≠0 (0,5điểm) Ta có: abcd=k2

(a+1)(b+3)(c+5)(d+3)=m2

abcd=k2

abcd+1353=m2

Do đó: m2 – k2 = 1353 (0,5điểm)

⇒ (m + k)(m – k) = 123.11 = 41 33 (k+m < 200) (0,5điểm) ĐỀ CHÍNH THỨC

với k, m N, 31<k<m<100

(0,5điểm)

(13)

m + k = 123 m + k = 41

m – k = 11 m – k = 33 m = 67 m = 37

k = 56 k =

Kết luận abcd = 3136 (0,5điểm) Câu (4 điểm): (Mỗi Câu điểm)

a) Vẽ AH  BC; ( H BC) ABC

Xét hai tam giác vuông AHB BID có: BD = AB (gt)

Góc A1 = góc B1 (cùng phụ với góc B2)

AHB = BID (cạnh huyền, góc nhọn) (0,5điểm)

 AH  BI DI = BH (1) (0,5điểm)

Tương tự xét hai tam giác vng AHC CKE có: Góc A2 = góc C1 (cùng phụ với góc C2) AC = CE (gt)

AHC = CKE ( cạnh huyền, góc nhọn)

 AH = CK EK = HC (2) (0,5điểm)

từ (1) (2)  BI = CK (0,5điểm)

b) Cũng từ (1) (2) Ta có: DI = BH (0,5điểm)

và: EK = HC (0,5điểm)

Từ BC = BH +HC = DI + EK (1 điểm)

Câu (3 điểm): M =

1 1

a b c  a b c 



1 1

a b a b c c  



( )

a b a b

ab c a b c

  



  (1 điểm)

 (a + b)c(a + b +c) = -ab(a + b)

⇒ hoặc (0,5điểm)

(14)

 (a + b)[c(a + b +c) + ab] =  (a + b)[c(a +c) + bc + ab] =  (a + b)[c(a +c) + b(c + a)] =

 (a + b)(b +c)(c + a) = (1 điểm)

 (a + b) = (b + c) = (c + a) =  a = -b ; b = -c ; c = -a

 M = (1 điểm)

(15)

Mơn: TỐN

Câu (2 điểm): Cho P = + x + x2 + x3 + + x2014 + x2015 Chứng minh: (x - 1)P = x2016 - 1

Câu (4 điểm): Cho biểu thức:

      

   

  

 

2

x x x 4x x 2017

K

x x x x

a Tìm điều kiện x để biểu thức K xác định b Rút gọn biểu thức K

c Với giá trị nguyên x biểu thức K có giá trị nguyên

Câu (3 điểm): Các cạnh góc vng tam giác vng có độ dài a, b diện tích S Tìm góc tam giác vng biết (a + b)2 = 8S.

Câu (4 điểm): Cho hình thang vuông ABCD ( A = D = 900 ) có AB = 4(cm), CD = 9(cm), BC = 13(cm) Trên cạnh BC lấy M cho BM = AB Đường thẳng vng góc BC M cắt AD N Tính diện tích tam giác BNC

Câu (4 điểm): Cho tam giác ABC với trung tuyến CM Điểm D thuộc đoạn BM cho BD = 2MD Biết MCD = BCD Chứng minh ACD = 900.

Câu (3 điểm): Tìm giá trị nhỏ biểu thức A =

2

4

x x

x

 

với x  - HẾT

(16)

Mơn: Tốn

Câu (2 điểm):

Ta có xP = x + x2 + x3 + + x2015 + x2016

 xP - P = x + x2 + x3 + + x2015 + x2016 - (1 + x + x2 + + x2014 + x2015)

= x2016 -

 điều cần CM

Câu (4 điểm):

a) K có nghĩa x 1 x  b) K = A.B

     



 

2 2

(x 1) (x 1) x 4x A

(x 1)(x 1) 

 

 2

x

A

x

Vậy K = A.B =

2017 2017

x

x x



 

c) Muốn K nguyên x ước 2017

Mà 2017 số nguyên tố nên chỉ có ước dương 2017 Nên x =  x =  2017

Với x =  K = 2018

Với x = -  K = - 2016

Với x = 2017  K =

Với x = -2017  K =

Câu (3 điểm): Ta có: S =

1 2 ab

Theo (a + b)2 = 8S ⇔

a2 + 2ab + b2 = 8.

2 ab = 4ab

⇔ a2 - 2ab + b2 =

⇔ (a - b)2 =

 a = b

 tam giác vuông cân

(17)

 góc nhọn = 450

Câu (4 điểm): BANA, BMNM, AB = BM (gt)

 NB phân giác ANM

MC = BC - BM = 13 - = = CD

Do NC tia phân giác MND Hai góc ANM MND kề bù

Nên BNC = 900

⇒ BNC vuông N NMBC (gt)

⇒ NM2 = BM.MC = 4.9 = 36 ⇒ MN = 6(cm)

Do đó: SNBC =

1

2 NM.BC =

2.6.13 = 39(cm2)

Câu (4 điểm): BCM có MCD = BCD (gt)

do đó:

CB DB

CM DM  (vì DB = 2DM gt)

 BC = 2CM

Gọi P điểm đối xứng C qua M Ta có: PC = 2CM = BC (chứng minh trên)

 BCP cân C có CD phân giác

Nên CDBP

Mặt khác M trung điểm AB (gt) Và M trung điểm CP

 BP // AC BPCD

 ACCD hay ACD = 900

Câu (3 điểm): A =

2 2

2

(4 1) (2 1)

3

x x x x

x x

   

  

Dấu “=” xảy ⇔ 2x - = ⇔ x =

C

A M D B

P A B

M N

(18)

Giá trị nhỏ A = -3 x =

- HẾT

(19)

Mơn: TỐN

Thời gian làm 120 phút (không kể giao đề) _

Câu (3 điểm) Cho a, b, c thoả mãn 1a+1

b+

1

c=

1

a+b+c

Tính giá trị biểu thức: M = (a19 + b19)(b5 + c5)(c2017 + a2017) Câu (3 điểm) Cho phân thức A =

a) Tìm điều kiện x để A xác định b) Rút gọn A

c) Tìm x đề giá trị A

Câu (3 điểm) Cho P = x2 + x + Tìm x để P có giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị Câu (4 điểm) Tính giá trị biểu thức sau:

A = – 12 + 22 – 32 + 42 – …… – 992 + 1002 B = ab

a2+b2−c2+

bc

b2+c2−a2+

ca

c2+a2− b2 ; Biết a + b + c =

Câu (3 điểm): Tổng tuổi hai anh em 63 Tuổi người anh gấp đôi tuổi người em lúc người anh tuổi em Hỏi tuổi người ?

Câu (4 điểm) Cho hình vng ABCD Qua A kẽ hai đờng thẳng vng góc với lần lợt cắt BC P R, cắt CD Q S

1) Chứng minh Δ AQR Δ APS tam giác cân

2) QR cắt PS H; M, N trung điểm QR PS Chứng minh tứ giác AMHN hình chữ nhật

3) Chứng minh P trực tâm Δ SQR 4) Chứng minh MN trung trực AC

- HẾT

(20)

Mơn: Tốn

Câu (3 điểm): 1a+1

b+

1

c=

1 a+b+c

⇔

a+

1

b=

1 a+b+c−

1

c ⇔

a+b

ab =

−(a+b)

c(a+b+c)

⇔ (a + b)c(a + b + c) = –ab(a + b) ⇔ (a + b)[c(a + b + c) + ab] = ⇔ (a + b)[c(a + c) + bc + ab] = ⇔ (a + b)[c(a + c) + b(c + a)] = ⇔ (a + b)(a + c)(c + b) = ⇔ a + b = b + c = c + a = ⇔ a = –b b = –c c = –a ⇔ M =

Câu (3 điểm) Mỗi câu điểm: A =

a A xác định x2 – 3x + 0 x1 x2 b A = =

1

( 1)( 2)

x

x x x





  

c A = 1

1

2 x x

x

      



Câu (3 điểm): Cho P = x2 + x + Tìm x để P có giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị đó.

Ta có P = x

2 + 2x2

+ (2

)2 + 4

= (x +

)2 + 4

Do (x +

)2 không âm nên nhỏ (x + 2

)2 = 0 Tức x= -2

1

biểu thức có giá trị nhỏ

Câu (4 điểm) (Mỗi câu điểm):

A = -12 + 22 - 32 + 42 - ……- 992 + 1002

A = (22 – 12 ) + ( 42 – 32 )+ ……+ (1002 - 992 ) A = + + + + ……+ 99 + 100) A = 50 101 = 5050

Từ a + b + c =  a + b = - c  a2 + b2 –c2 = - 2ab

Tương tự b2 + c2 – a2 = - 2bc; c2+a2-b2 = -2ac

 B =

3

2

2   

 ca ca bc bc ab ab

(21)

ta có tuổi em lúc là: 63 – x – x – (63 – x ) = 126 – 3x

Theo ta có phương trình: x = 2(126 – 3x) => x = 36 Tuổi anh 36, tuổi em 27

Câu (4 điểm):

1) Δ ADQ = Δ ABR chúng là

hai tam giác vng (để ý góc có cạnh vng góc) DA = BA (cạnh hình vng) Suy AQ = AR, nên Δ AQR tam giác vuông cân A Chứng minh tợng tự ta có: Δ ABP =

Δ ADS

do AP = AS Δ APS tam giác cân

tại A

2) AM AN đờng trung tuyến

tam giác vuông cân AQR APS nên AN

SP AM RQ

Mặt khác: ∠PAN =∠PAM = 450 nên góc

MAN vng Vậy tứ giác AHMN có ba góc

vng, nên hình chữ nhật

3) Theo giả thiết: QA RS, RC SQ nên QA RC hai đờng cao Δ SQR Vậy P trực tâm Δ SQR

4) Trong tam giác vng cân AQR MA trung tuyến nên AM = 12 QR Trong tam giác vng RCQ CM trung tuyến nên CM = 12 QR

⇒ MA = MC, nghĩa M cách A C

Chứng minh tơng tự cho tam giác vuông cân ASP tam giác vng SCP, ta có NA= NC, nghĩa N cách A C Hay MN trung trực AC

- HẾT

(22)

PHÒNG GD&ĐT HẢI LĂNG

ĐỀ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 8 Năm học: 2017-2018

Mơn: TỐN

Thời gian làm 120 phút (không kể giao đề) _ Bài (3 điểm) Chứng minh rằng:

a) 85 + 211 chia hết cho 17 b) 1919 + 6919 chia hết cho 44 Bài (3 điểm) Tìm x biết:

       

2

2009 x 2009 x x 2010 x 2010 19

49

2009 x 2009 x x 2010 x 2010

     



      .

Bài (4 điểm) Cho biểu thức A = 

                   10 : 6 x x x x x x x x

a) Tìm điều kiện x để A xác định b) Rút gọn biểu thức A

c) Tìm giá trị x để A > O

Bài (4 điểm) Tìm giá trị nguyên x để A có giá trị nguyên:

A =

83

    x x x x

Bài (3 điểm): Cho tam giác ABC, đường cao AH, vẽ phân giác Hx góc AHB phân

giác Hy góc AHC Kẻ AD vng góc với Hx, AE vng góc Hy. Chứng minh tứ giác ADHE hình vng

Bài (3 điểm) Cho góc vng xOy điểm I nằm góc Kẻ IC vng góc với Ox; ID vng góc với Oy Biết IC = ID = a Đường thẳng kẻ qua I cắt Ox A cắt Oy B

a) Chứng minh tích AC.DB khơng đổi đường thẳng qua I thay đổi b) Biết diện tích tam giác AOB SAOB =

8a2

(23)

- HẾT

(24)

PHÒNG GD&ĐT HẢI LĂNG

HƯỚNG DẪN CHẤM KHẢO SÁT TOÁN LỚP 8 NĂM HỌC 2017-2018

Câu (3 điểm):

a) (1,5đ) Ta có: 85 + 211 = (23)5 + 211 = 215 + 211 =211(24 + 1) = 211.17 Nên kết chia hết cho 17

b)(1,5đ) Áp dụng đẳng thức:

an + bn = (a + b)(an-1 - an-2b + an-3b2 - …- abn-2 + bn-1) với n lẽ. Ta có: 1919 + 6919 = (19 + 69)(1918 – 1917.69 +…+ 6918)

= 88(1918 – 1917.69 + …+ 6918) chia hết cho 44. Câu (3 điểm):

       

2

2009 x 2009 x x 2010 x 2010 19

49 2009 x 2009 x x 2010 x 2010

     



      .

ĐKXĐ: x 2009; x 2010 

Đặt a = x – 2010 (a  0), ta có hệ thức:    

   

2 2

a a a a 19

49

a a a a

   



   

2

a a 19

3a 3a 49  

 

 

2

49a 49a 49 57a 57a 19

       8a2 8a 30 0 

2a 12 42 0 2a 2a 5   0

        a a       

 (thoả ĐK)

Suy x = 4023

2 x = 4015

2 (thoả ĐK) Vậy x =

4023

2 x = 4015

2 giá trị cần tìm. Câu (4 điểm):

a) x # , x # -2 , x # (0,75đ)

b) A =

6 : 2           

 x x x

x x

(2đ) =

 

  

6 : 2 2        x x x x x x

(25)

=    x

x x

x  

 

 

2

2 2

6

c) Để A >



 x  2 x0 x2 (1,25đ) Câu (4 điểm) Biến đổi A = 4x2 + 9x + 29 + 3

4



x (1đ)

 A Z 

4



x  Z  x-3 ước (1đ)

 x-3 = 1 ; 2 ; 4 (1đ)

 x = -1; 1; 2; ; ; 7 (1đ)

Câu (3 điểm)

Hx phân giác góc AHB ; Hy phân giác góc AHC mà AHB AHC hai

góc kề bù nên Hx Hy vng góc (1đ) Hay DHE = 900 mặt khác ADH AEH   = 900

Nên tứ giác ADHE hình chữ nhật (1) (1đ)

Do

 

0 0

0

90 45

2

90 45

2

AHB AHD

AHC AHE

AHD AHE

  

 

Hay HA phân giác DHE (2)

Từ (1) (2) ta có tứ giác ADHE hình vng (1đ) Câu (3 điểm):

a) (1,5đ) Ta có góc A chung AIC = ABO (cặp góc đồng vị)

(26)

Suy ra: BO IC AO AC



 BO

AO IC

AC



(1) Tương tự: BID ~ BAO (g.g)

Suy ra: BD OB ID OA



 BD

ID OB OA



(2) Từ (1) và(2) Suy ra: BD

ID IC AC



Hay AC BD = IC ID = a2 Suy ra: AC.BD = a2 không đổi.

b) (1,5đ) Theo công thức tính diện tích tam giác vng ta có: SAOB =

1

OA.OB mà SAOB = 8a2

(giả thiết) hay

1

OA.OB = 8a2

 OA OB =

16a2

Suy ra: (a + CA)(a + DB ) = 16a2

 a2 + a(CA + DB) + CA.DB =

16a2

Mà CA DB = a2 ( theo câu a)  a(CA +DB) = 3 16a2

- 2a2 =

10

a

 CA + DB =

10 a Vậy: CA.DB a 10 a CA DB        

Giải hệ pt  CA = 3

a

DB = 3a Hoặc CA = 3a DB =3

a

- HẾT

(27)

ĐỀ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 8 Năm học: 2017-2018

Mơn: TỐN

Thời gian làm 120 phút (không kể giao đề) _ Câu (4 điểm)

Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x 4(6 - x) + x2 (2 + 3x) - x(5x - 4) + 3x2 (1 - x)

Câu (4 điểm)

Phân tích đa thức sau thành nhân tử a x2y + xy2 - x - y

b x2 + 5x - 50 Câu (3 điểm)

Cho phân thức A =

a Tìm điều kiện x để A xác định b Rút gọn A

c Tìm x đề giá trị A Câu (4 điểm)

Cho tam giác ABC Trên tia đối tia BC lấy điểm D cho BD = BA Trên tia đối tia CB lấy điểm G cho CG = CA Kẽ BH vng góc với AD, CK vng góc với AG Chứng minh rằng:

a AH = HD b HK //BC Câu (3 điểm):

Cho tam giác ABC M điểm thuộc cạnh BC I D trung điểm AM BC; E, F chân đường vng góc kẽ từ M đến AB AC

a Tính số đo góc DIEˆ DIFˆ .

b Chứng minh tứ giác DEIF hình thoi Câu (2 điểm)

Tìm tất tam giác vng có số đo cạnh số nguyên dương số đo diện tích số đo chu vi

- HẾT

(28)

HƯỚNG DẪN CHẤM KHẢO SÁT HSG LỚP 8 NĂM HỌC 2017-2018

Mơn: Tốn

Câu Nội dung Điểm

Câu (4đ)

4(6 - x) + x2(2 + 3x) - x(5x - 4) + 3x2 (1 - x) = 24 - 4x + 2x2 + 3x3 – 5x2 + 4x + 3x2 – 3x3 = 24

2đ 2đ Câu

(4đ)

a x2y + xy2 - x - y

= (x2y + xy2) – (x + y) = xy(x + y ) – ( x + y ) = (xy – 1)( x + y)

b x2 + 5x - 50 = x2 + 10x – 5x – 50

= (x2 + 10x) - (5x +50) = x(x + 10) – 5(x + 10) = (x – 5)(x + 10)

1đ 1đ 1đ 0.5đ 0.5đ

Câu (3đ)

A =

a Để A xác định x2 – 3x + 0 x1 x2 b A = =

1

( 1)( 2)

x

x x x





  

c để A = 1

1

2 x x

x

      



1đ 1đ 1đ

Câu (4đ)

a ABD cân B, BH đường cao nên AH = HD

b tương tự câu a ta có AK = KG

HK đường trung bình ADG nên HK //DG Vậy HK // BC

2đ 1đ 1đ

Câu (3đ)

a Tam giác AEM vuông E , EI đường trung tuyến nên ta có IE = IA = IM EIMˆ 2EAIˆ (1)

Ta lại có tam giác ADM vng D, DI đường trung tuyến Nên ID = IA = IM , DIMˆ 2DAIˆ (2)

Từ (1) (2) ta có: EIDˆ 2EADˆ 600

Vậy góc DIE 600, tương tự góc DIF 600 b DIE cân I, mà DIEˆ 600 nên DIE

(29)

tương tự DIF từ DEIF hình thoi 0.5đ

Câu (2đ)

Gọi cạnh tam giác vuông x, y, z; cạnh huyền z (x, y, z số nguyên dương )

Ta có xy = 2(x + y + z) (1) x2 + y2 = z2 (2) 0,25

Từ (2) suy z2 = (x + y)2 - 2xy , thay (1) vào ta có : z2 = (x + y)2 - 4(x + y + z)

z2 + 4z = (x + y)2 - 4(x + y)

z2 + 4z + = (x + y)2 - 4(x + y) + 4

(z + 2)2=(x + y - 2)2 , suy z + = x + y - z = x + y - ;

thay vào (1) ta :

xy = 2(x + y + x + y - 4) xy - 4x - 4y = -8

(x - 4)(y - 4) = = 1.8 = 2.4 0,25

Từ ta tìm giá trị x , y , z : (x=5,y=12,z=13) ; (x=12,y=5,z=13) ; (x=6,y=8,z=10) ; (x=8,y=6,z=10) 0,25

0,5đ

0,5đ 0,5đ

- HẾT

-Lưu ý: Hướng dẫn chấm trình bày sơ lược cách giải Bài làm học sinh tiết, lập luận chặt chẽ, tính tốn xác điểm tối đa.

(30)

PHÒNG GD&ĐT HẢI LĂNG

ĐỀ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 8 Năm học 2018-2019

Mơn TỐN

Thời gian làm 120 phút (không kể giao đề) _ Bài (3 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

a) a4 + 8a3 + 14a2 - 8a -15 b) 4a2b2 - (a2 + b2 - c2)2 Bài (3 điểm)

a) Tính A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + n(n+1)

b) Chứng minh (a2 + 3a + 1)2 - chia hết cho 24 với a số tự nhiên. Bài (3 điểm) Cho 1a+1

b+

1

c=0

Tính giá trị biểu thức M = b+ac+c+a

b +

a+b

c

Bài (4 điểm) Tìm giá trị nguyên x để phân thức sau có giá trị nguyên A = 2x3−6x2+x −8

x −3

Bài (4 điểm): Cho tam giác ABC vuông A Gọi M điểm nằm B C Từ M kẻ MD song song AB (D AC), kẻ ME song song AC (E AB)

a) Xác định vị trí M nằm BC để DE ngắn b) Tinh DE ngắn với AB = 4(cm); ABC = 600

Bài (3 điểm) Tìm x biết: x5(3x – 1)m+3 : x5(3x – 1)m-1 – 56 : 52 = 0; (với x ≠ 0; x ≠ 13 ; m N*)

- HẾT

(31)

HƯỚNG DẪN CHẤM KHẢO SÁT TOÁN LỚP 8 NĂM HỌC 2018-2019

Bài (3 điểm):

a) a4 + 8a3 + 14a2 - 8a -15 = a4 + 8a3 + 15a2 - a2 - 8a -15 = (a4 + 8a3 + 15a2) - (a2 + 8a +15)

= a2( a2 + 8a + 15) - (a2 + 8a +15) = (a2 + 8a +15)( a2 - 1)

= (a+3)(a+5)(a+1)(a-1)

b) 4a2b2 - (a2 + b2 - c2)2 = (2ab)2- (a2 + b2 - c2)2 = (2ab + a2 + b2 - c2) (2ab - a2 - b2 + c2)

= [(a+b)2 - c2][c2 - (a-b)2]

= (a + b - c)(a + b+c)(c-a+b)(c+a-b) Bài (3 điểm):

a) Ta có 3x(x+1) = x(x+1)(x+2) – (x-1)x(x+1)

Do đó: 3A = 1.2.3 – 0.1.2 + 2.3.4 – 1.2.3 + 3.4.5 – 2.3.4 + + n(n+1)(n+2) – (n-1)n(n+1) = n(n+1)(n+2)

 A =

( 1)( 2)

n n n

b) (a2+3a+1)2-1 = (a2 +3a+1+1)(a2+3a+1-1) = (a2+3a+2)(a2+3a) = a(a+1)(a+2)(a+3) chia hết cho 24 (tích bốn số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 24)

Bài (3 điểm):

M = b+ac+c+a

b +

a+b

c M = (b+ac+1)+(c+a

b +1)+( a+b

c +1)−3

M = a+ba+c+a+b+c

b +

a+b+c

c −3

M = (a+b+c)(1

a+

1

b+

1 c)−3 M = –3

Bài (4 điểm)

A = 2x3−6x2+x −8

x −3 = 2x

2

+1−

x −3 (x ≠3)

⇒x −3 ước ⇒ (5) = { -5; -1; 1; 5} Nếu x −3=−5⇒x=−2

Nếu x −3=−1⇒x=2

Nếu x −3=1⇒x=4

Nếu x −3=5⇒x=8

(32)

Vậy x=−2 ; x=2 ; x=4 ; x=8

Bài (4 điểm)

A

D

E M

B C

M a) Tứ giác ADME có:

AE//DM (AB//DM) ; AD//EM (AC//EM) A = 900 (gt)

⇒ tứ giác ADME hình chữ nhật

⇒ DE = AM (t/c hình chữ nhật)

Mà AM ngắn AM BC tức AM đường cao ∆ABC Vậy M chân đường cao kẻ từ A đến BC ∆ ABC

b) Xét ∆ ABM vuông M có ABM = 600

⇒ ∆ ABM tam giác có cạnh AB

⇒ BM = AB2 =4

2 = 2(cm)

⇒ AM2 = AB2 – BM2 = 42 – 22 = 12 (pi-ta-go)

⇒ AM = √12 cm

Vậy AM ngắn √12 cm ⇒ DE ngắn √12 cm Câu (3 điểm):

Ta có: x5(3x – 1)m+3 : x5(3x – 1)m-1 – 56 : 52 = ( với x ≠ ; x ≠ ) (3x – 1)m+3 – (m-1) – 56 – 2 = 0

(3x – 1)4 = 54

⇔ 3x – = 3x – = –5 x = x = −34 Vậy x = ; x = −34

- HẾT

Định dạng
Số trang	32
Dung lượng	376,86 KB