De thi HSG lop 9 vong 1 nam hoc 20152016

M là trung điểm BC, qua M kẻ đường thẳng vuông góc BC cắt các đường thẳng AC, AB lần lượt tại H và N.[r]

PHÒNG GD&ĐT HẢI LĂNG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2015-2016

Môn: Toán

Thời gian làm bài: 120 phút Bài (4 điểm):

a) Cho số tự nhiên có chữ số chia hết cho Chứng minh hiệu lập phương chữ số số chia hết cho

b) Tìm số dư phép chia biểu thức x2 x4 x6 x82016 cho đa thức x2 10x21

Bài (4 điểm): Cho biểu thức P =

4

:

2

x x x

x

x x x x

    

 

   

      

   

a) Rút gọn P

b) Tìm giá trị x để P = -1

c) Tìm m để với mọi giá trị x > ta có m( x 3)P > x+1. Bài (4 điểm): Tìm nghiệm nguyên dương của:

1 1

6

x  y  xy 

Bài (4 điểm): Cho ∆ABC vuông A (AB < AC) M trung điểm BC, qua M kẻ đường thẳng vng góc BC cắt đường thẳng AC, AB H N Biết CH = a, BN = b Tính diện tích ∆ABC

Bài (4 điểm): Cho tam giác ABC vuông cân A Các điểm D, E theo thứ tự di chuyển AB, AC cho BD = AE Xác định vị trí điểm D, E cho:

a) DE có độ dài nhỏ

b) Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ

Hết

Lưu ý : Cán coi thi khơng giải thích thêm.

Họ tên thí sinh:……….……….……….……….……….……….……… Số BD: ………

HƯỚNG DẨN CHẤM THI HSG VỊNG 1 MƠN TỐN (2015-2016)

Bài (4 điểm) câu điểm:

a) Gọi số có chữ số : ab (a,b N ;0< a 9;0  b  9) Ta có: ab7 hay 10a + b7 suy (10a + b)37

 1000a3 + b3 +3.10a.b(10a + b)7 (*)

 1001a3 - a3 + b3 + 3.10a.b(10a + b)7.

Ta có: 1001a37 (vì 10017) 3.10a.b(10a + b)7 (vì (10a + b)7 )

Suy : -a3 + b37 đpcm

b) Ta có:

       

   

( ) 2016 10 16 10 24 2016

P x x x x x

x x x x

     

     

Đặt t x210x21 (t3;t7), biểu thức P(x) đợc viết lại:

   

( ) 2016 2001

P x  t t   t t

Do chia t2  2t2001 cho t ta có số dư 2001.

Bài (4 điểm):

a) ĐK: x0; x4 x9. 0,5 đ

HS rút gọn đúng P =

4

x

x đ

b) Với x0; x4 x9 P = -1 4x + x - = 0 0,5 đ

 x=

4  x =

16 đ

c) Với mọi giá trị x > 9, bất phương trình đưa dạng

4mx > x+1  (4m - 1)x > (*) 0,5 đ Vì x > nên 4m – >

0,5 Nghiệm bất phương trình (*) x > 1/(4m-1) Do để bất phương trình

thỏa mãn với mọi x >

1

4m 

 4m - > Từ ta

5 18

m

Bài (4 điểm):

Nhân vế cho 6xy ta được: 6y + 6x +1 = xy (x,y nguyên dương)

Biến đổi phương trình ước số: (x – 6)(y – 6) = 37 (x,y ngun dương) Vai trị x,y bình đẳng nên giả sử : x ≥ y ≥

Suy ra: x -6 ≥ y -6 ≥ -5

Suy ra: x - = 37 y - =1

Giải : x = 43 ; y = ĐS:(43;7);(7:43) Bài (4 điểm):



MH HC =

MB BN 

MH a =

MC b(do MB = MC)



a.MC MH=

b

∆MHC vuông M: MH2 + MC2 = HC2

 a.MC b    

  +MC2 = a2

 MC2 =

2

2

a b

a +b  MC = 2

ab

a +b từ

a.MC MH= b = 2 a a +b Hai tam gác vuông MHC ABC đồng dạng (góc nhọn)



MH HC =

AB BC 

MH HC

=

AB 2MC (do BC = 2MC)

 AB =

MH 2MC HC = 2 a

a a +b 2

2ab

a +b =

2

2

2a b a +b (1) ∆ABC vuông A: AC2= BC2 - AB2 = (2MC)2 - AB2

=

2

2

4a b

a +b -  

4 2 2 4a b a +b =   2 4a b a +b 

AC =

2

2

2ab

a +b (2), từ (1) (2) ta có diện tích

∆ABC =

2AB.AC = 2.

2

2

2a b a +b .

2

2

2ab

a +b =  

3

2

2a b a +b Bài (4 điểm): (Mỗi câu điểm)

a) (2đ): DE có độ dài nhỏ

Đặt AB = AC = a không đổi; AE = BD = x (0 < x < a) Áp dụng định lý Pitago với ADE vng A có:

DE2 = AD2 + AE2 = (a – x)2 + x2 = 2x2 – 2ax + a2 = 2(x2 – ax) + a2 (0,5đ)

= 2(x – a )2 +

2 a

2  a

2 (0,5đ)

Ta có DE nhỏ  DE2 nhỏ  x =

a

2 (0,5đ)  BD = AE =

a

2  D, E trung điểm AB, AC (0,5đ) b) (2đ) : Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ

Ta có: SADE =

1

2AD.AE =

2AD.BD =

2AD(AB – AD)=

2(AB.AD – AD2) (0,5đ)

= –

2(AD2 – 2

AB

2 .AD + AB

4 ) + AB

8 = –

2(AD – AB

2 )2 +

2

AB

8 

2 AB

8 (0,5đ) A

D B

Vậy SBDEC = SABC – SADE

2 AB

2 – AB

8 =

8AB2 khơng đổi (0,5đ)

Do SBDEC =

3

8AB2 D, E trung điểm AB, AC (0,5đ)