Vấn đề duy nhất cho ánh xạ phân hình với một họ siêu phẳng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI LÊ NGỌC QUỲNH VẤN ĐỀ DUY NHẤT CHO ÁNH XẠ PHÂN HÌNH VỚI MỘT HỌ SIÊU PHẲNG Chun ngành: Hình học Tơpơ Mã số: 60.46.01.05 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS SĨ ĐỨC QUANG HÀ NỘI, 2012 LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành hướng dẫn, bảo tận tình TS Sĩ Đức Quang Nhân dịp tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến người Thầy tận tình giúp đỡ xin chân thành cảm ơn Thầy, Cơ phản biện dành thời gian đọc góp ý kiến quý báu cho luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến tất Thầy, Cơ Khoa Tốn - Tin ĐHSP nói chung Thầy, Cơ mơn Hình học Khoa Tốn - Tin ĐHSP nói riêng, tận tình dạy dỗ chúng tơi suốt thời gian học cao học Tơi xin cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp, người động viên, giúp đỡ tạo điều kiện tốt cho suốt trình học tập nghiên cứu Hà Nội, tháng năm 2012 Tác giả Lê Ngọc Quỳnh i MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN i MỤC LỤC ii LỜI GIỚI THIỆU iii Lý thuyết Nevanlinna cho ánh xạ phân hình vào đa tạp phức compact 1.1 Cơng thức Poincaré - Lelong 1.2 Các hàm Nevanlinna định lý thứ Lý thuyết Nevanlinna cho ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh phức 2.1 Phân thớ siêu phẳng 2.2 Định lý thứ hai cho ánh xạ phân hình 12 Định lý tính cho ánh xạ phân hình với họ siêu phẳng 16 3.1 Bài toán 16 3.2 Định lý 19 KẾT LUẬN 32 TÀI LIỆU THAM KHẢO 33 ii LỜI GIỚI THIỆU Lý thuyết Nevanlinna, hay thường gọi Lý thuyết phân bố giá trị, xây dựng R Nevanlinna vào năm 1925 cho trường hợp biến phức Sau báo ông công bố, lý thuyết mở rộng nghiên cứu sâu sắc nhiều nhà toán học A Bloch, H Cartan, H J Weyles, L Ahlfors, W Stoll, J Noguchi nhiều tác giả khác Năm 1926, R Nevanlinna hai hàm phân hình phân biệt khác f g mặt phẳng phức C khơng thể có ảnh ngược năm giá trị phân biệt Đặc biệt, g biến đổi phân tuyến tính f chúng có ảnh ngược tính bội bốn giá trị phân biệt Hai kết gọi định lý năm điểm bốn điểm Nevanlinna Trong năm qua, việc tổng quát kết nói Nevanlinna cho trường hợp ánh xạ phân hình nhiều biến thu hút quan tâm nghiên cứu nhiều nhà toán học giới với nhiều kết đẹp đẽ sâu sắc công bố L Smiley, H Fujimoto, Y Aihara, M Ru, G Dethloff, D D Thai, T V Tan S D Quang Mục đích luận văn nhằm tìm hiểu lý thuyết Nevanlinna cho ánh xạ phân hình vào khơng gian phức áp dụng để nghiên cứu tốn tính ánh xạ phân hình có chung ảnh họ siêu phẳng Luận văn gồm có ba chương: Chương I Trình bày lý thuyết Nevanlinna cho ánh xạ phân hình vào đa tạp phức compact iii Chương II Trình bày lý thuyết Nevanlinna cho ánh xạ phân hình vào khơng gian xạ ảnh phức Chương III Là chương luận văn, nghiên cứu vấn đề ánh xạ phân hình họ siêu phẳng Mục đích chúng tơi chương tổng quát kết vấn đề cho ánh xạ phân hình có ảnh ngược số siêu phẳng Cụ thể, chứng minh hai định lý sau: Định lý 3.1.1 Với ≤ k ≤ n q = (n + 1)k + n + ta có: G(f, {Hi }qi=1 , k, 1) = Trong họ G(f, {Hi }qi=1 , k, d) định nghĩa Chương Định lý 3.1.2 Cho f , g hai ánh xạ phân hình khác từ Cm vào Pn (C), k số nguyên dương (1 ≤ k ≤ n) Cho {Hj }qj=1 (q = 2nk + n + 2) họ siêu phẳng Pn (C) vị trí tổng quát thỏa mãn: k+1 dim f −1 Hij ≤m−2 (∀ ≤ i1 < < ik+1 ≤ n + 1) j=1 Giả sử f g không suy biến tuyến tính Rf (trường hàm phân hình nhỏ tương ứng với f Cm ) và: (a) min{ν(f,Hj ) , n} = min{ν(g,Hj ) , n} với n + ≤ j ≤ q −1 −1 (b) f = g n+1 j=1 (f (Hj ) ∪ g (Hj )) Khi f = g iv Chương Lý thuyết Nevanlinna cho ánh xạ phân hình vào đa tạp phức compact 1.1 Cơng thức Poincaré - Lelong Với z = (z1 , · · · , zm ) ∈ Cm , ta kí hiệu: z = (|z1 |2 + · · · + |zm |2 ) , B(a, r) = {z ∈ Cm ; z − a < r}, S(a, r) = {z ∈ Cm ; z − a = r}, B(r) = B(0, r), S(r) = S(0, r) (r > 0), γ = ddc z , η = dc log z ∧ (ddc log z )m−1 Định lí 1.1.1 (Công thức Jensen) Cho ϕ ≡ hàm đa điều hịa B(R) Khi với < s < r < R, ta có: r ϕη − S(r) S(s) dt ϕη = ddc [ϕ] ∧ γ m−1 t2m−1 s B(t) Định nghĩa 1.1.2 (Divisor đa tạp) Một divisor D đa tạp M tổng hình thức D = λ kλ Aλ kλ ∈ Z, {Aλ }λ họ hữu hạn địa phương siêu mặt giải tích M Với D divisor M tồn họ hữu hạn địa phương phân biệt siêu mặt giải tích bất khả quy {Aλ }λ∈Λ họ số nguyên khác không {kλ }λ∈Λ cho D viết dạng D= kλ Aλ Biểu thức gọi phân tích bất khả quy D Khi λ∈Λ đó: (1) Siêu mặt SuppD = ∪λ∈Λ Aλ gọi giá D (2) D gọi không âm kλ ≥ ∀λ ∈ Λ, ta viết D ≥ Ta nói D ≥ D D − D ≥ (3) Xem D: M → Z ánh xạ xác định D (z) = kλ Aλ z (4) D gọi divisor rút gọn kλ = 1, ∀λ ∈ Λ Tập hợp divisor M kí hiệu Div(M ), nhóm Abel Định nghĩa 1.1.3 (Dòng sinh divisor) Cho D = kλ Aλ divisor λ M Khi dịng (m − 1)-chiều sinh D M , kí hiệu D, định nghĩa bởi: D (φ) = φ với φ ∈ D2m−2 (M ) kλ λ Aλ Ta có D dịng bậc dịng dương D divisor khơng âm Cho f hàm chỉnh hình M , A = {f = 0} siêu mặt giải tích M Giả sử A có phân tích bất khả quy A = ∪λ Aλ Khi với x ∈ R (Aλ ) \ S (A), tồn lân cận U x với hệ tọa độ địa phương (z , , z m ) U cho x = (0, , 0), U ∩ A = {z ∈ U ; z = 0} m f |U (z) = (z ) λ gλ với gλ hàm chỉnh hình khơng có khơng điểm U Khi divisor xác định f định nghĩa bởi: (f ) = mλ Aλ λ Nếu f hàm phân hình M , tồn phủ mở {Uλ } U cho Uλ hàm f viết dạng thương hai hàm chỉnh hλ với gλ ≡ {h = g = 0} tập giải tích có đối chiều ≥ hình gλ Khi đó: hλ hβ = ⇒ (hλ ) = (hβ ), (gλ ) = (gβ ) Uλ ∩ Uβ = ∅ gλ gβ Ta định nghĩa divisor không điểm, divisor cực điểm divisor xác định f sau: (f )0 = (hλ ), (f )∞ = (gλ ) (f ) = (f )0 −(f )∞ Uλ Ngược lại, D divisor M với x ∈ M , tồn lân cận U x hàm phân hình ϕ U cho D|U = (ϕ) Như tồn họ {Uα , ϕα } với {Uα } phủ mở M ϕα hàm phân hình M cho D|Uα = (ϕα ) Họ {ϕα }α gọi họ hàm phân hình xác định D Định lí 1.1.4 (Cơng thức Poincaré - Lelong) Cho f ≡ hàm phân hình M φ (2m − 2)-dạng thuộc lớp C M với giá compact Khi đó: φ = log|f |2 ddc φ = ddc [log|f |2 ] ∧ φ (f ) M M Nói cách khác, ddc log |f |2 = (f ) 1.2 Các hàm Nevanlinna định lý thứ Định nghĩa 1.2.1 (Phân thớ đường thẳng chỉnh hình) Cho L, M đa tạp phức, dim M = m, dim L = m + 1, π : L → M tồn ánh chỉnh hình Khi ba (L, π, M ) gọi phân thớ đường thẳng chỉnh hình M thỏa mãn điều kiện sau: (i) Với x ∈ M , Lx = π −1 (x) không gian véc tơ phức chiều (thớ điểm x) (ii) Với điểm x ∈ M , tồn lân cận Vx song chỉnh hình φx : L|Vx = π −1 (Vx ) → Vx ×C cho p1 ◦φ = π, p2 ◦φx |π−1 (y) : π −1 (y) → C đẳng cấu tuyến tính với y ∈ Vx , p1 , p2 phép chiếu Vx × C lên thành phần thứ thứ hai Cho (L, π, M ) phân thớ đường thẳng chỉnh hình (ta viết π : L → M viết tắt đơn giản L) Khi tồn phủ mở {Vλ } M , song chỉnh hình φλ : L|Vλ = π −1 (Vλ ) → Vλ × C thỏa mãn φλ |Lx : Lx → {x} × C ∼ = C ánh xạ tuyến tính hàm chỉnh hình khơng có khơng điểm φλµ xác định tập Vλ ∩ Vµ = ∅ thỏa mãn: φλ |(V Và )ìC : (x, z) (V Và ) ì C (x, (x)z) (V Và ) ì C l song chỉnh hình Khi họ φλµ thỏa điều kiện đối chu trình, tức thỏa mãn: (i) φλλ = 1, (ii) φλµ φµλ = 1, (iii) φλµ φµγ φγλ = Họ {Uλ , φλ } gọi phủ tầm thường hóa địa phương L {φλµ } hệ hàm chuyển Định nghĩa 1.2.2 (Nhát cắt phân thớ) Cho π : L → M phân thớ đường thẳng chỉnh hình M , U tập mở M Mỗi ánh xạ chỉnh hình (tương ứng phân hình) ϕ : U → L cho πo ϕ = idU gọi nhát cắt chỉnh hình (phân hình) U L Tập hợp nhát cắt lập thành khơng gian véc tơ kí hiệu Γ (U, L) (tương ứng Γrat (U, L)) Khi U = M , ϕ gọi nhát cắt toàn cục M Ta thường dùng kí hiệu H (M, L) để Γ (M, L) Nhát cắt s ∈ Γ (U, L) thỏa mãn s(x) = 0x ∈ Lx gọi mục tiêu chỉnh hình địa phương U L Giả sử {Uλ , φλ } {φλµ } phủ tầm thường hóa địa phương hệ hàm chuyển L Đặt sλ (x) = φ−1 λ (x, 1), ∀x ∈ Uλ , sλ mục tiêu chỉnh hình địa phương M Đôi ta gọi họ ({Uλ } , {φλ }) phủ tầm thường hóa địa phương M Lấy σ ∈ Γrat (M, L)\{0}, ta có σ (x) = σλ (x) sλ (x) = σλ (x) φ−1 λ (x, 1), với σλ (x) hàm phân hình Uλ Khi Uλ ∩ Uµ = ∅, ta có: −1 −1 σλ (x) φ−1 λ (x, 1) = σµ (x) φµ (x, 1) = σµ (x) φλµ (x) φλ (x, 1) Do divisor (σλ ) = (σµ ) Uλ ∩ Uµ = ∅ Ta đặt (σ) = (σλ ) Uλ với λ Như ta (σ) ∈ Div(M ), gọi divisor sinh σ Ta đặt: |L| = {(σ) ; σ ∈ Γ (M, L) \ {0}} Định nghĩa 1.2.3 (Metric Hermitian) Cho phân thớ đường thẳng chỉnh hình π : L → M Họ H = {Hx }x∈M gọi metric Hermitian L thỏa mãn điều kiện sau: (i) Hx dạng Hermitian Lx (ii) Với Umở ⊂ M , s ∈ Γ (U, L) Hx (s (x) , s (x)) ∈ C ∞ (U ) Chú ý 1.2.4 (1) Lấy ({Vλ } , {sλ }) phủ tầm thường địa phương L {φλµ } hệ hàm chuyển Đặt Hλ (x) = Hx (sλ (x) , sλ (x)), Hλ ∈ C ∞ (U ) thỏa mãn hai điều kiện sau: (i) Hλ > 0, ∀x ∈ Uλ (ii) φ2λµ Hλ (x) = Hµ (x), ∀x ∈ Uλ ∩ Uµ Khi họ hàm {Hλ } gọi metric Hermitian L (2) Đồng thời ta định nghĩa hàm L sau: Với a ∈ Lx , x ∈ Uλ , a = vλ sλ (x) ta đặt a = |vλ | Hλ (x) Hàm gọi metric Hermitian L Ba định nghĩa tương đương phân thớ đường thẳng chỉnh hình L với metric Hermitian gọi phân thớ đường thẳng Hermitian, ta viết (L, H) Định nghĩa 1.2.5 (Dạng Chern) Cho L phân thớ đường thẳng Hermitian M với metric Hermitian {Hλ } Khi dạng vi phân kiểu (1,1): i ¯ ωL,H = − ∂ ∂logH λ 2π gọi dạng Chern (L, H) Định nghĩa 1.2.6 (Hàm đếm dòng) Với T dòng bậc kiểu (1,1) Cm Ta định nghĩa hàm đếm T sau: r T χB(t) γ m−1 n (t, T ) = , N (r, T ) = t2m−2 n (t, T ) dt t Với D ∈ Div(M ), D xem hiệu divisor không âm M Mặt khác, divisor không âm xem dòng dương kiểu (1,1), D dòng bậc kiểu (1,1) M Hàm số N (r, D) gọi hàm đếm D cần thiết, giả sử rằng: (f, H1 ) (f, H2 ) (f, Hk1 ) ≡ ≡ ··· ≡ (g, H1 ) (g, H2 ) (g, Hk1 ) ≡ (f, Hk1 +1 ) (f, Hk2 ) ≡ ··· ≡ (g, Hk1 +1 ) (g, Hk2 ) group group (f, Hks−1 +1 ) (f, Hk2 +1 ) (f, Hk3 ) (f, Hks ) ≡ ≡ ··· ≡ ≡ ··· ≡ ≡ ··· ≡ (g, Hk2 +1 ) (g, Hk3 ) (g, Hks−1 +1 ) (g, Hks ) group group s ks = q Với ≤ i ≤ q, ta đặt:  i + n σ(i) = i + n − q i + n ≤ q i + n > q Pi = (f, Hi )(g, Hσ(i) ) − (g, Hi )(f, Hσ(i) ) Vì f ≡ g, số phần tử nhóm nhiều n Khi (f, Hi ) (g, Hi ) (f, Hσ(i) ) thuộc vào hai nhóm khác Do Pi ≡ 0(1 ≤ i ≤ q) (g, Hσ(i) ) Ta đặt: q Pi ≡ P = i=1 k+1 S= f 1≤i1 < s > 1, ta nói A có tính chất (Pr,s ) r phần tử al(1) , , al(r) A thỏa mãn điều kiện với i1 , , is cho trước (1 ≤ i1 < < is ≤ r), tồn j1 , , js (1 ≤ j1 < < js ≤ r) với {i1 , , is } = {j1 , , js } cho al(i1 ) al(is ) = al(j1 ) al(js ) Mệnh đề 3.2.4 (H Fujimoto [4]) Cho G nhóm abel tự A = (a1 , a2 , , aq ) q - phần tử G Nếu A có tính chất (Pr,s ) với r, s thỏa q ≥ r > s > 1, tồn i1 , , iq−r+2 (1 ≤ i1 < < iq−r+2 ≤ q) cho ai1 = ai2 = = aiq−r+2 Để chứng minh Định lý 3.1.2, ta cần bổ đề sau, xem tổng quát Định lý A H Fujimoto Bổ đề 3.2.5 Cho f, g : Cm → Pn (C) hai ánh xạ phân hình khác Giả sử f g khơng suy biến tuyến tính Rf Cho {Hi }qi=1 , (q ≥ 3n + 2) họ siêu phẳng Pn (C) vị trí tổng quát Giả sử rằng: N (r, ν(f,Hi ) = ν(g,Hi ) ) = o(Tf (r)), ∀i = 1, , q Khi f ≡ g Chứng minh.Theo Định lý thứ hai, ta có: q (n) (q − n − 1)Tf (r) ≤ N(f,Hi ) (r) + o(Tf (r)) i=1 q q (n) N(g,Hi ) (r) ≤ +n i=1 N (r, ν(f,Hi ) = ν(g,Hi ) ) + o(Tf (r)) i=1 ≤ qTg (r) + o(Tf (r)) 24 Tương tự, ta có: q (n) (q − n − 1)Tg (r) ≤ N(g,Hi ) (r) + o(Tg (r)) i=1 q q (n) N(f,Hi ) (r) ≤ +n i=1 N (r, ν(f,Hi ) = ν(g,Hi ) ) + o(Tg (r)) i=1 ≤ qTf (r) + o(Tf (r) + Tg (r)) Từ đó, ta suy ra: Tf (r) = O(Tg (r)) Tg (r) = O(Tf (r)) (f, Hi ) Giả sử Hi = {ai0 ω0 + · · · + ain ωn = 0} Ta đặt hi = (1 ≤ (g, Hi ) hi (f, Hi ).(g, Hj ) i ≤ q), = khơng phụ thuộc vào việc biểu diễn hj (f, Hj ).(g, Hi ) f g Ta xét 2n + hàm phân hình {h1 , , hq }, giả sử ta xét h1 , , h2n+2 Vì nj=0 aij fj − hi nj=0 aij gj = (1 ≤ i ≤ 2n + 2), ta có: det(ai0 , , ain , ai0 hi , , ain hi ; ≤ i ≤ 2n + 2) = (3.5) Với tập I ⊂ {1, 2, , 2n + 2}, đặt hI = i∈I hi Kí hiệu I tập hợp tổ hợp I = (i1 , , in+1 ) với ≤ i1 < < in+1 ≤ 2n + Với I = (i1 , , in+1 ) ∈ I, định nghĩa: AI = (−1) (n+1)(n+2) +i1 + +in+1 det(air l ; ≤ r ≤ n + 1, ≤ l ≤ n) det(ajs l ; ≤ s ≤ n + 1, ≤ l ≤ n), với J = (j1 , , jn+1 ) ∈ I cho I ∪ J = {1, 2, , 2n + 2} Theo (3.5) ta có: AI hI = I∈I Lấy I0 ∈ I Khi AI0 hI0 = − I∈I,I=I0 hI0 = − I∈I,I=I0 25 AI hI , đó: AI hI AI0 Chú ý với I ∈ I AI AI ≡ Kí hiệu t số bé thỏa mãn: Tồn t phần tử I1 , , It ∈ I \ {I0 } t số khác không bi ∈ C cho hI0 = ti=1 bi hIi Vì hI0 ≡ việc chọn t nhỏ nhất, nên suy họ {hI1 , , hIt } độc lập tuyến tính C hI Trường hợp t = Khi = o(Tf (r)) hI1 Trường hợp t ≥ Xét ánh xạ phân hình h : Cm → Pt−1 (C) có biểu diễn rút gọn h = (dhI1 : : dhIt ) với d hàm phân hình Cm Nếu z khơng điểm dhIi z phải khơng điểm cực điểm hj Từ suy ra: 2n+2 (1) NdhI (r) i N (1) (r, ν(f,Hi ) = ν(g,Hi ) ) = o(Tf (r)) ≤ j=1 Theo Định lý thứ hai, ta có: t (t−1) Th (r) ≤ (t−1) NdhI (r) + NdhI (r) + o(Tf (r)) = o(Tf (r)) + o(Tf (r)) i i=1 hI0 = o(Tf (r)) hI1 Vì vậy, từ trường hợp 2, có với I ∈ I, có hI J ∈ I \ {I} cho ∈ R∗f hJ Bây giờ, xét đến nhóm abel tự sinh họ {[h1 ], , [hq ]} nhóm abel M∗m /R∗f Khi họ {[h1 ], , [hq ]} có tính chất Pq,n+1 Từ suy tồn n + ≤ q − 2n phần tử, khơng tính tổng qt giả sử có [h1 ], , [hn+2 ] thỏa [h1 ] = = [hn+2 ], hi = ϕi ∈ R∗f với i = 1, , n + Ta định nghĩa: hn+2   a10 a11 · · · a1(n+1)    a a21 · · · a2(n+1)  20   A=      a(n+1)0 a(n+1)1 · · · a(n+1)(n+1) Từ suy Th (r) = o(Tf (r)) Do 26     H=   h1 · · · h2 · · ·          Φ =      ϕ1 · · · ϕ2 · · ·        0 · · · ϕn+1 · · · hn+1     g f      g   f      Khi đó, ta có: A   =HA           fn+1 g   n+1  f g     f   g    (a(n+2)0 , , a(n+2)(n+1) )   = hn+2 (a(n+2)0 , , a(n+2)(n+1) )        fn+1 gn+1 Vì vậy:   f    f    (a(n+2)0 , ,a(n+2)(n+1) )       fn+1   f     −1 −1  f1  = hn+2 (a(n+2)0 , , a(n+2)(n+1) )A H A       fn+1   f     −1 −1  f1  = (a(n+2)0 , , a(n+2)(n+1) )A Φ A       fn+1 27        Vì f khơng suy biến tuyến tính Rf , nên từ đẳng thức suy ra: (a(n+2)0 , , a(n+2)(n+1) ) = (a(n+2)0 , , a(n+2)(n+1) )A−1 Φ−1 A Do    −1  (a(n+2)0 , , a(n+2)(n+1) )A    ϕ1 − 0 ··· ϕ2 − · · · 0      =   · · · ϕn+1 − Lấy (a(n+2)0 , , a(n+2)(n+1) ) = (b1 , , bn+1 )A với bi ∈ C (i = 1, , n + 1) Vì H1 , , Hn+2 vị trí tổng qt, ta có bi = (i = 1, , n + 1) Khi đó:   ϕ −1 ···     ϕ2 − · · ·   (b1 , , bn+1 )   =     0 · · · ϕn+1 − Điều có nghĩa ϕi = (i = 1, , n + 1) Do h1 = = hn+2 , f = g Bổ đề chứng minh Chứng minh Định lý 3.1.2 Theo Bổ đề 3.2.1, ta có: Tf (r) = O(Tg (r)) Tg (r) = O(Tf (r)) Giả sử f ≡ g Giống chứng minh Định lý 3.1.1, cách đổi số cần thiết, ta giả sử rằng: (f, Hn+2 ) (f, Hn+3 ) (f, Hk1 ) ≡ ≡ ··· ≡ (g, Hn+2 ) (g, Hn+3 ) (g, Hk1 ) group ≡ (f, Hk2 ) (f, Hk1 +1 ) ≡ ··· ≡ (g, Hk1 +1 ) (g, Hk2 ) group (f, Hk2 +1 ) (f, Hk3 ) ≡ ≡ ··· ≡ ≡ ··· (g, Hk2 +1 ) (g, Hk3 ) group (f, Hks−1 +1 ) (f, Hks ) ≡ ≡ ··· ≡ , (g, Hks−1 +1 ) (g, Hks ) group s với ks = q 28 Với n + ≤ i ≤ q, ta đặt:  i + n i + n ≤ q, σ(i) = i + 2n − q + i + n > q Pi = (f, Hi )(g, Hσ(i) ) − (g, Hi )(f, Hσ(i) ) Bằng lập luận tương tự chứng minh Định lý 3.1.1, ta có: q Pi ≡ P = i=n+2 Ta đặt: f −1 S= 1≤i1 < Khi z khơng điểm Pi với bội 1, f (z) = g(z) Ta đặt v(z) = {j : j, σ(j) ∈ / J} Dễ dàng thấy rằng: t(q − n − 1) v(z) ≥ q − n − − 2l ≥ k n+1 q−n−1 = min{ν(f,Hi ) (z), 1} + min{ν(g,Hi ) (z), 1} 2k i=1 29 Do đó, từ bốn trường hợp trên, ta suy ra: νP (z) ≥ min{ν(f,Hi ) (z), n} + v(z) i∈J q ≥ min{ν(f,Hi ) (z), n} + min{ν(g,Hi ) (z), n} i=n+2 q−n−1 + 2k n+1 min{ν(f,Hi ) (z), 1} + min{ν(g,Hi ) (z), 1} i=1 q = min{ν(f,Hi ) (z), n} + min{ν(g,Hi ) (z), n} i=n+2 + (n + ) 2k n+1 min{ν(f,Hi ) (z), 1} + min{ν(g,Hi ) (z), 1} i=1 với z nằm ngồi tập giải tích I(f ) ∪ I(g) ∪ S Lấy tích phân vế bất đẳng thức trên, ta được: q +(n+ ) 2k (n) (n) N(f,Hi ) (r)+N(g,Hi ) (r) NP (r) ≥ i=n+2 (1) Vì N(f,Hi ) (r) ≥ (1) (1) N(f,Hi ) (r)+N(g,Hi ) (r) i=1 (n) (r), nên từ bất đẳng thức ta suy ra: N n (f,Hi ) q (n) N(f,Hi ) (r) NP (r) ≥ n+1 + + 2k (n) N(g,Hi ) (r) i=1 n+1 (1) (1) N(f,Hi ) (r) + N(g,Hi ) (r) i=1 (3.6) Bởi (3.6) theo Định lý thứ hai, ta có: NP (r) ≥ (q−n−1)(Tf (r)+Tg (r))+ 2k n+1 (1) (1) N(f,Hi ) (r)+N(g,Hi ) (r) +o(Tf (r)) i=1 (3.7) Bằng lập luận tương tự chứng minh Định lý 3.1.1, theo công thức Jensen định nghĩa hàm đặc trưng, ta có: NP (r) ≤ (q − n − 1)(Tf (r) + Tg (r)) + o(Tf (r)) (1) (3.8) Từ (3.7) (3.8), ta có: N(f,Hi ) (r) = o(Tf (r)) với ≤ i ≤ n + 30 Với số j ∈ {n + 2, , q}, theo Định lý thứ hai ta có: n+1 Tf (r) ≤ (n) N(f,Hj ) (r) (n) + (n) N(f,Hi ) (r) + o(Tf (r)) = N(f,Hj ) (r) + o(Tf (r)) i=1 Từ suy ra: (1) (n) (n) N(f,Hj ),>n (r) = N(f,Hj ) (r) − N(f,Hj ) (r) ≤ Tf (r) − N(f,Hj ) (r) = o(Tf (r)) (1) Tương tự, ta có: N(g,Hj ),>n (r) = o(Tf (r)) với j = n + 2, , q Khi với j = n + 2, , q, ta có (1) (1) N (1) (r, ν(f,Hj ) = ν(g,Hj ) ) ≤ N(f,Hj ),>n (r) + N(g,Hj ),>n (r) = o(Tf (r)) Mặt khác, với số j ∈ {1, , n + 1} rõ ràng ta có: (1) N (1) (r, ν(f,Hj ) = ν(g,Hj ) ) ≤ N(f,Hj ) (r) = o(Tf (r)) Từ đó, ta có: N (1) (r, ν(f,Hj ) = ν(g,Hj ) ) = o(Tf (r)) với i = 1, , q Khi đó, theo Bổ đề 3.2.5, ta có f = g Điều mâu thuẫn Vậy f = g Định lý chứng minh Nếu cho k = n Định lý 3.1.2, có hệ sau: Hệ 3.2.6 Cho f , g hai ánh xạ phân hình khác từ Cm vào Pn (C) {Hj }qj=1 (q = 2n2 + n + 2) họ siêu phẳng Pn (C) vị trí tổng quát Giả sử f g khơng suy biến tuyến tính Rf thỏa mãn: (a) min{ν(f,Hj ) , n} = min{ν(g,Hj ) , n} với n + ≤ j ≤ q, −1 −1 (b) f = g n+1 j=1 (f (Hj ) ∪ g (Hj )) Khi f = g 31 KẾT LUẬN Luận văn trình bày vấn đề sau: Trình bày lý thuyết Nevanlinna cho ánh xạ phân hình vào đa tạp compact Trình bày lý thuyết Nevanlinna cho ánh xạ phân hình vào khơng gian xạ ảnh phức Trình bày kết nghiên cứu vấn đề ánh xạ phân hình họ siêu phẳng Cụ thể chứng minh định lý sau: Định lý 3.1.1 Với ≤ k ≤ n q = (n + 1)k + n + ta có: G(f, {Hi }qi=1 , k, 1) = Định lý 3.1.2 Cho f , g hai ánh xạ phân hình khác từ Cm vào Pn (C), k số nguyên dương (1 ≤ k ≤ n)) Cho {Hj }qj=1 (q = 2nk + n + 2) họ siêu phẳng Pn (C) vị trí tổng quát thỏa mãn: k+1 dim f −1 Hij ≤m−2 (1 ≤ i1 < < ik+1 ≤ n + 1) j=1 Giả sử f g khơng suy biến tuyến tính Rf (trường hàm phân hình nhỏ tương ứng với f Cm ) và: (a) min{ν(f,Hj ) , n} = min{ν(g,Hj ) , n} với n + ≤ j ≤ q −1 −1 (b) f = g n+1 j=1 (f (Hj ) ∪ g (Hj )) Khi f = g 32 Tài liệu tham khảo [1] Z Chen and Q Yan, Uniqueness theorem of meromorphic mappings into PN (C) sharing 2N + hyperplanes regardless of multiplicities, Internat J Math 20(2009) 717-726 [2] G Dethloff and S D Quang and T V Tan, A uniqueness theorem for meromorphic mappings with two families of hyperplanes, Proc Amer Math Soc 140(1) (2012) 189-197 [3] H H Giang and L N Quynh and S D Quang, Uniqueness theorems for meromorphic mappings sharing few hyperplanes, J Math Anal Appl 393 (2012) 445-456 [4] H Fujimoto, The uniqueness problem of meromorphic maps into the complex projective space, Nagoya Math J 58(1975) 1-23 [5] J Noguchi and T Ochiai, Introduction to Geometric Function Theory in Several Complex Variables, in: Trans Math Monogr., vol 80, Amer Math Soc., Providence, Rhode Island, 1990 [6] J Noguchi and J Winkelmann, Nevanlinna theory in several complex varialbes and diophantine approximation, text book [7] S D Quang, Unicity of meromorphic mappings sharing few hyperplanes, Ann Polon Math 102 (3) (2011) 255-270 [8] L Smiley, Geometric conditions for unicity of holomorphic curves, Contemp Math 25 (1983), 149-154 [9] D D Thai and S D Quang, Uniqueness problem with truncated multiplicities of meromorphic mappings in several complex variables, Internat J Math 17(2006) 1223-1257 33 [10] B K.Trinh and S D Quang and T V Tan, A uniqueness theorem for meromorphic mappings with small set of indentity, Kodai Math J 31(2008) 404-413 34 ... hình vào không gian xạ ảnh phức 2.1 Phân thớ siêu phẳng 2.2 Định lý thứ hai cho ánh xạ phân hình 12 Định lý tính cho ánh xạ phân hình với họ siêu phẳng 16 3.1 Bài toán... tính cho ánh xạ phân hình với họ siêu phẳng 3.1 Bài tốn Vào năm 1975, H Fujimoto [4] chứng minh định lý sau cho ánh xạ phân hình từ Cm vào Pn (C) với điều kiện có giao ảnh ngược 3n + siêu phẳng với. .. Nevanlinna cho ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh phức 2.1 2.1.1 Phân thớ siêu phẳng Ánh xạ phân hình vào khơng gian xạ ảnh phức Kí hiệu Pn (C) khơng gian xạ ảnh n chiều C liên kết với không