▼é♠♦✐r❡ ❘❡s♣♦♥s❛❜❧❡✿ ❙②❧✈❛✐♥ ❘✉❜❡♥t❤❛❧❡r ❯◆■❱❊❘❙■❚➱ ❉❊ ◆■❈❊ ✲ ❙❖P❍■❆ ❆◆❚■P❖▲■❙ ✖✖✖✖✖✖✖✖✖✖✖✕ ▼➱▼❖■❘❊ ❉❊ ▼❆❙❚➮❘❊ ✷✵✶✶ ✲ ✷✵✶✷ ▼➱❚❍❖❉❊❙ ■◆❚❘■◆❙➮◗❯❊❙ P❖❯❘ ▲❆ ❙❚❆❇■▲■❚➱ ❉❯ ❋■▲❚❘❊ ➱t✉❞✐❛♥t ✿ P❍❆◆ ❱❛♥ ▲♦♥❣ ❊♠ ❘❡s♣♦♥s❛❜❧❡ ✿ ❙②❧✈❛✐♥ ❘❯❇❊◆❚❍❆▲❊❘ ◆■❈❊✱ ❧❡ ✺ ❥✉✐❧❧❡t ✷✵✶✷ P❤❛♥ ❱❛♥ ▲♦♥❣ ❊♠ ✶ ▼é♠♦✐r❡ ❘❡s♣♦♥s❛❜❧❡✿ ❙②❧✈❛✐♥ ❘✉❜❡♥t❤❛❧❡r ❘❡♠❡r❝✐❡♠❡♥ts ❏❡ ✈♦✉❞r❛✐s ❡①♣r✐♠❡r ♠❛ r❡❝♦♥♥❛✐ss❛♥❝❡ t♦✉t❡s ❧❡s ♣❡rs♦♥♥❡s q✉✐ ❞❡ ♣rès ❡t ❞❡ ❧♦✐♥ ♦♥t ♣❡r♠✐s ❧✬é❧❛❜♦r❛t✐♦♥ ❞❡ ❝❡ tr❛✈❛✐❧✳ ❏❡ t✐❡♥s ❡①♣r✐♠❡r ♠❛ ♣❧✉s ♣r♦❢♦♥❞❡ ❣r❛t✐t✉❞❡ ❧✬é❣❛r❞ ❞❡ ♠♦♥ ❞✐r❡❝t❡✉r ❞❡ ♠é✲ ♠♦✐r❡✱ ▼♦♥s✐❡✉r ❧❡ Pr♦❢❡ss❡✉r ❙②❧✈❛✐♥ ❘❯❇❊◆❚❍❆▲❊❘✱ ♣♦✉r ❧✬✐♥✜♥✐❡ ♣❛t✐❡♥❝❡ ❛✐♥s✐ q✉❡ ❧❛ ❞✐s♣♦♥✐❜✐❧✐té ♣❡r♠❛♥❡♥t❡ q✉✬✐❧ ❛ s✉ ♠✬❛❝❝♦r❞❡r ❞✉r❛♥t ❧❡ t❡♠♣s ❞❡ ♠❡s r❡❝❤❡r❝❤❡s✳ ❙❡s ❝♦♥s❡✐❧s ❛✈✐sés✱ s♦♥ s♦✉t✐❡♥ ❡t s❡s ❡♥❝♦✉r❛❣❡♠❡♥ts ♠✬♦♥t été ♣ré❝✐❡✉① ♣♦✉r ❧❛ ré❛❧✐s❛t✐♦♥ ❞❡ ❝❡ tr❛✈❛✐❧ ❞❡ ♠é♠♦✐r❡✳ ❏❡ r❡♠❡r❝✐❡ s✐♥❝èr❡♠❡♥t ❧✬éq✉✐♣❡ ❞✬❡♥s❡✐❣♥❛♥ts✲❝❤❡r❝❤❡✉rs ❞✉ ▲❛❜♦r❛t♦✐r❡ ❞❡ r❡❝❤❡r❝❤❡ q✉✐ ♠✬❛ ♣❡r♠✐s ♥♦♥ s❡✉❧❡♠❡♥t ❞❡ ♣♦✉rs✉✐✈r❡ ♠❛ ❢♦r♠❛t✐♦♥ ♠❛✐s ❛✉ss✐ ❞✬❛♣♣r❡♥❞r❡ ❝♦♠✲ ♠❡♥t ❡♥s❡✐❣♥❡r ❧❡s ▼❛t❤é♠❛t✐q✉❡s✳ P♦✉r ✜♥✐r✱ ❛✈❡❝ t♦✉s ♠❡s r❡♠❡r❝✐❡♠❡♥ts ❞❡ ❣r❛t✐t✉❞❡✱ ♠❡s r❡♠❡r❝✐❡♠❡♥ts ✈♦♥t ♠❡s ♣❛r❡♥ts ❡t ▼❛❞❛♠❡ ❙té♣❤❛♥✐❡ ◆■❱❖❈❍❊✱ ❡t ♠❡s ❝♦❧❧è❣✉❡s ♣♦✉r ❧❡✉r s♦✉t✐❡♥✱ ❧❡✉r ❝♦♥✜❛♥❝❡✱ ❧❡✉r ❡♥❝♦✉r❛❣❡♠❡♥t ❡t ❧❡✉r s②♠♣❛t❤✐❡ ♠♦♥ é❣❛r❞✳ P❤❛♥ ❱❛♥ ▲♦♥❣ ❊♠ ✷ ▼é♠♦✐r❡ ❘❡s♣♦♥s❛❜❧❡✿ ❙②❧✈❛✐♥ ❘✉❜❡♥t❤❛❧❡r ❚❛❜❧❡ ❞❡s ♠❛t✐èr❡s ◆♦t❛t✐♦♥s ✹ ✶ ■◆❚❘❖❉❯❈❚■❖◆ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺ ✷ ❖❇❙❊❘❱❆❇■▲■❚➱ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✽ ❘➱❋➱❘❊◆❈❊❙ P❤❛♥ ❱❛♥ ▲♦♥❣ ❊♠ ✶✼ ✸ ▼é♠♦✐r❡ ❘❡s♣♦♥s❛❜❧❡✿ ❙②❧✈❛✐♥ ❘✉❜❡♥t❤❛❧❡r ◆♦t❛t✐♦♥s ◆♦t❛t✐♦♥ ❙✐❣♥✐✜❝❛t✐♦♥ S ▲✬❡s♣❛❝❡ ❞✬ét❛t ♣♦❧♦♥❛✐s X Fk,n ▲❛ tr✐❜✉ ❡♥❣❡♥❞ré❡ ♣❛r {Xm | k ≤ m ≤ n} Y Fk,n ▲❛ tr✐❜✉ ❡♥❣❡♥❞ré❡ ♣❛r {Ym | k ≤ m ≤ n} X F0,∞ X F0,∞ = X n F0,n Y F0,∞ Y F0,∞ = Y n F0,n ▲❛ ♣r♦❜❛❜✐❧✐té ❞❡ tr❛♥s✐t✐♦♥ ❞❡ X ν, ν ▲❛ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ✐♥✐t✐❛❧❡ ❞❡ X δx ▲❛ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ❞❡ ❉✐r❛❝ X0 ∼ ν ▲❛ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ✐♥✐t✐❛❧❡ ❞❡ X ❡st ν P, Pν ▲❛ ♣r♦❜❛❜✐❧✐té q✉✐ ❝♦rr❡s♣♦♥❞ ❧❛ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ✐♥✐t✐❛❧❡ ν ❡t ❧❛ ♣r♦❜❛❜✐❧✐té ❞❡ tr❛♥s✐t✐♦♥ P, Pν ▲❛ ♣r♦❜❛❜✐❧✐té q✉✐ ❝♦rr❡s♣♦♥❞ ❧❛ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ✐♥✐t✐❛❧❡ ν ❡t ❧❛ ♣r♦❜❛❜✐❧✐té ❞❡ tr❛♥s✐t✐♦♥ Eν ▲✬❡s♣ér❛♥❝❡ ♣❛r r❛♣♣♦rt Pν πn Y ) ▲❛ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ❝♦♥❞✐t✐♦♥❡❧❧❡ πn (·) = P(Xn ∈ ·|F0,n Pπ n Pπn (A) = Eπn ▲✬❡s♣ér❛♥❝❡ ♣❛r r❛♣♣♦rt Pπn πn (dx)Px (A) ♣♦✉r t♦✉t A ∈ F · VT ▲❛ ♥♦r♠❡ ✈❛r✐❛t✐♦♥ t♦t❛❧❡ · BL ▲❛ ♥♦r♠❡ ❞❛♥s ❧✬❡s♣❛❝❡ BL B(A) ▲✬❡s♣❛❝❡ ❞❡s ❢♦♥❝t✐♦♥s ♠❡s✉r❛❜❧❡s ❜♦r♥é❡s ❞❡ ❧✬❡♥s❡♠❜❧❡ A B(A) ▲❛ tr✐❜✉ ❇♦ré❧✐❡♥♥❡ ❞❡ ❧✬❡♥s❡♠❜❧❡ A P (A) ▲✬❡s♣❛❝❡ ❞❡s ♠❡s✉r❡s ❞❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐té ❇♦ré❧✐❡♥♥❡s ❞❡ ❧✬❡♥s❡♠❜❧❡ A IA , ✶A ▲❛ ❢♦♥❝t✐♦♥ ✐♥❞✐❝❛tr✐❝❡ ❞❡ ❧✬❡♥s❡♠❜❧❡ A L1 ▲✬❡s♣❛❝❡ ❞❡s ❢♦♥❝t✐♦♥s ✈❛❧❡✉rs ❞❛♥s R ✭♦✉ ❧✬❡s♣❛❝❡ ❞❡s ❢♦♥❝t✐♦♥s ✈❛❧❡✉rs ❞❛♥s C ❞♦♥t ❧❡ ♠♦❞✉❧❡✮ ❞♦♥t ❧❛ ✈❛❧❡✉r ❛❜s♦❧✉❡ ❡st ✐♥té❣r❛❜❧❡ · f = |f (x)| dx P|F Y Y ▲❛ r❡str✐❝t✐♦♥ ❞❡ P F0,∞ Ub (Rq ) ▲✬❡s♣❛❝❡ ❞❡ ❢♦♥❝t✐♦♥s ❜♦r♥é❡s ✉♥✐❢♦r♠é♠❡♥t ❝♦♥t✐♥✉❡s ❞❡ Rq f ∗g ▲❡ ♣r♦❞✉✐t ❞❡ ❝♦♥✈♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ ❞❡✉① ❢♦♥❝t✐♦♥s f ❡t g ■♠(f ) ▲✬✐♠❛❣❡ ❞✬✉♥❡ ❢♦♥❝t✐♦♥ f 0,∞ P❤❛♥ ❱❛♥ ▲♦♥❣ ❊♠ ✹ ▼é♠♦✐r❡ ✶ ❘❡s♣♦♥s❛❜❧❡✿ ❙②❧✈❛✐♥ ❘✉❜❡♥t❤❛❧❡r ■◆❚❘❖❉❯❈❚■❖◆ ❈♦♥s✐❞ér♦♥s ✉♥❡ s✉✐t❡ ❛❧é❛t♦✐r❡ ❞❡ ♣❛✐r❡ (X, Y ) = (Xn , Yn )n∈Z+ ✱ ♦ù ❧❛ ❝♦♠♣♦s❛♥t❡ ❞❡ s✐❣♥❛❧ Xn ♣r❡♥❞ ❞❡s ✈❛❧❡✉rs ❞❛♥s ✉♥ ❡s♣❛❝❡ P♦❧♦♥❛✐s ✶ S ❡t ❧✬♦❜s❡r✈❛t✐♦♥ Yn ♣r❡♥❞ ❞❡s ✈❛❧❡✉rs ❞❛♥s Rq , q 1✳ ▲❡ ♣r♦❜❧è♠❡ ❝❧❛ss✐q✉❡ ❡st ❞❡ ❝❛❧❝✉❧❡r ❧❛ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ❝♦♥❞✐t✐♦♥♥❡❧❧❡ Y πn (·) = P(Xn ∈ ·|F0,n ), Y ❞✬♦ù Fk,n = σ(Ym |k m X n) ❡t ❞❡ ♠ê♠❡ Fk,n = σ(Xm |k m n)✳ ◆♦✉s ❛✈♦♥s ❞♦♥❝ ✿ Y )= E(f (Xn )|F0,n f (x)πn (dx), ♣♦✉r t♦✉t f ❛✈❡❝ E|f (Xn )|2 < ∞✳ ❙✐ X ❡t (X, Y ) s♦♥t ❞❡s ♣r♦❝❡ss✉s ❞❡ ▼❛r❦♦✈✱ πn s❛t✐s❢❛✐t ✉♥❡ éq✉❛t✐♦♥ ré❝✉rs✐✈❡✳ P❧✉s ♣ré❝✐sé♠❡♥t✱ s✐ ❡t ν ❞és✐❣♥❡♥t ❧❛ ♣r♦❜❛❜✐❧✐té ❞❡ tr❛♥s✐t✐♦♥ ❡t ❧❛ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ✐♥✐t✐❛❧❡ ❞❡ X ✱ ✐✳❡✳✱ ♣♦✉r A ∈ B(S)✲❧❛ tr✐❜✉ ❇♦ré❧✐❡♥♥❡ ❞❡ S✱ ν(A) = P(X0 ∈ A), X (Xn−1 , A) = P(Xn ∈ A|F0,n−1 ) P − p.s, (1) ❡t s✉♣♣♦s♦♥s q✉❡ Y ❡st ✉♥❡ s✉✐t❡ ❞❡ ✈❛r✐❛❜❧❡s ❛❧é❛t♦✐r❡s ✐♥❞é♣❡♥❞❛♥t❡s ❝♦♥❞✐t✐♦♥♥❡❧❧❡♠❡♥t X X F0,∞ = n F0,n ❛✈❡❝ P(Y0 = 0) = 1, X P(Yn ∈ A|F0,∞ )= g(Xn , y)ψ(dy), n 1, A ♦ù g(x, y) ❡st ✉♥❡ ❞❡♥s✐té ❞❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐té ♣❛r r❛♣♣♦rt ❧❛ σ ✲♠❡s✉r❡ ✜♥✐❡ ψ ✭❧❡ ❝❤♦✐① ❞ét❡r♠✐♥✐st❡ ❞❡ Y0 ❡st s❡✉❧❡♠❡♥t ✉♥❡ q✉❡st✐♦♥ ❞❡ ❝♦♠♠♦❞✐té✱ ❝❡❧❛ s✐❣♥✐✜❡ q✉❡ t♦✉t❡s ❧❡s ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥s s✉r X0 s♦♥t ❝♦♥t❡♥✉❡s ❞❛♥s s❛ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ❛ ♣r✐♦r✐ ν ✮✳ ❬✶❪✮ P♦✉r ✉♥ t❡❧ ♠♦❞è❧❡✱ πn s❛t✐s❢❛✐t ❧✬éq✉❛t✐♦♥ ré❝✉rs✐✈❡ ✭✈♦✐r✱ ❡✳❣✳ Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ ✸✳✷✳✺ ❞❛♥s πn (dx) = π0 = ν g(x, Yn ) g(x, Yn ) (u, dx)πn−1 (du) (u, dx)πn−1 (du) ❙♦✐t ν ✉♥❡ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ❞❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐té ❞✐✛ér❡♥t❡ ❞❡ ν ❡t s♦✐t π n ❞é✜♥✐ ♣❛r ré❝✉r❡♥❝❡ g(x, Yn ) (u, dx)π n−1 (du) π n (dx) = g(x, Yn ) (u, dx)π n−1 (du) π0 = ν ◆♦t♦♥s P ❧❛ ♠❡s✉r❡ ❞❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐té s✉r F ✱ t❡❧❧❡ q✉❡ s♦✉s P ❧❡ ♣r♦❝❡ss✉s (X, Y ) ❛ ❧❛ ♠ê♠❡ ❧♦✐ ❞❡ tr❛♥s✐t✐♦♥ q✉❡ s♦✉s P✱ ♠❛✐s X0 ∼ ν ✳ ✶✳ ▲❡s ❝❤♦✐① t②♣✐q✉❡s s♦♥t ✉♥ ❡♥s❡♠❜❧❡ ✜♥✐ ♦✉ ❞é♥♦♠❜r❛❜❧❡✱ ✉♥ s♦✉s✲❡♥s❡♠❜❧❡ ❞❡ Rq ✉♥ ❝❡rt❛✐♥ q ≥ 1✱ ♦✉ Rq ❧✉✐✲♠ê♠❡✳ P❤❛♥ ❱❛♥ ▲♦♥❣ ❊♠ ✺ ▼é♠♦✐r❡ ❘❡s♣♦♥s❛❜❧❡✿ ❙②❧✈❛✐♥ ❘✉❜❡♥t❤❛❧❡r ❖♥ ✈❡✉t s❛✈♦✐r s♦✉s q✉❡❧❧❡s ❝♦♥❞✐t✐♦♥s✱ lim E πn − π n n→∞ VT =0 (∗), ♦ù · V T ❞és✐❣♥❡ ❧❛ ♥♦r♠❡ ✈❛r✐❛t✐♦♥ t♦t❛❧❡✳ ❙✐ ♦♥ ❛ (∗)✱ ♦♥ ❞✐r❛ q✉❡ ❧❡ ✜❧tr❡ ♦♣t✐♠❛❧ ❡st st❛❜❧❡✳ ▼❛✐s✱ ❡♥ ❢❛✐t ♦♥ ♥❡ ❧❡ ♠♦♥tr❡ q✉❡ ♣♦✉r · BL ✲ ♥♦r♠❡✱ ❞❛♥s ❧❡ ❝❛s ♦ù ❧✬✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❞✬♦❜s❡r✈❛t✐♦♥ ❡st ✧❛ss❡③ ❜♦♥♥❡✧✳ ❯♥ ✐♥❝♦♥✈é♥✐❡♥t ❞❡s rés✉❧t❛ts ❞✬♦❜s❡r✈❛❜✐❧✐té ❡st q✉✬✐❧s r❡♣♦s❡♥t s✉r ❧❛ ❝♦♠♣❛❝✐té ❞❡ ❧✬❡s♣❛❝❡ ❞✬ét❛t ✭♦✉ ❞❡ ❧✬✉♥✐❢♦r♠❡ ✐♥té❣r❛❜✐❧✐té ❞✉ s✐❣♥❛❧✱ ❝❡ q✉✐ ♣❡r♠❡t ❧❛ tr♦♥❝❛t✉r❡ ✉♥ ❡♥s❡♠❜❧❡ ❝♦♠♣❛❝t✮✳ ❈❡❧❛ ❡①❝❧✉t ❧❛ ♣♦ss✐❜✐❧✐té ✐♥tér❡ss❛♥t❡ q✉❡ ❧❡ ✜❧tr❡ ♣❡✉t êtr❡ st❛❜❧❡✱ ♠ê♠❡ ❞❛♥s ❧❡s ♠♦❞è❧❡s ♦ù ❧❡ s✐❣♥❛❧ ❧✉✐✲♠ê♠❡ ❡st ✐♥st❛❜❧❡ ✭✐✳❡✳✱ ❧❡ s✐❣♥❛❧ ❞✐✈❡r❣❡ ✈❡rs ❧✬✐♥✜♥✐✮✱ q✉✐ ❡st ❝♦♥♥✉ ♣♦✉r ♠❛✐♥t❡♥✐r✱ ❡✳❣✳✱ ❞❛♥s ❧❡ ❝❛s ❧✐♥é❛✐r❡ ●❛✉ss✐❡♥ ❧♦rsq✉❡ ❧❡ ✜❧tr❡ ❞❡ ❑❛❧♠❛♥ ❡st ♦❜s❡r✈❛❜❧❡ ❬✾❪✳ ▲❛ r❛✐s♦♥ ♣♦✉r ❧❛q✉❡❧❧❡ ❧❛ ❝♦♠♣❛❝✐té ❛ été ♥é❝❡ss❛✐r❡✱ ❡st q✉❡ ❝❡rt❛✐♥s t❤é♦rè♠❡s s♦♥t ♣r♦✉✈és ❡♥ ♠♦♥tr❛♥t q✉✬✉♥❡ ❝❧❛ss❡ ❞❡ ❢♦♥❝t✐♦♥s ❝♦♥t✐♥✉❡s✱ ♦❜t❡♥✉ ♣❛rt✐r ❞❡ ❧✬✐♥❞✐❝❛t❡✉r✱ ❡st ❞❡♥s❡ ♣♦✉r ❧❛ t♦♣♦❧♦❣✐❡ ✉♥✐❢♦r♠❡✳ ▲✬❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ✉♥✐❢♦r♠❡ ❞❡s ❢♦♥❝t✐♦♥s ❝♦♥t✐♥✉❡s ❡st ✉♥ ♣r♦❜❧è♠❡ ♥❛t✉r❡❧ ♣♦✉r ❧❡s ❢♦♥❝t✐♦♥s s✉r ✉♥ ❡s♣❛❝❡ ❞✬ét❛t ❝♦♠♣❛❝t✱ ❡t ♣❡✉t êtr❡ ❛❜♦r❞é ❧✬❛✐❞❡ ❞✬❛r❣✉♠❡♥ts ❞❡ ❢♦♥❝t✐♦♥♥❡❧❧❡s ❛♥❛❧②t✐q✉❡s é❧é♠❡♥t❛✐r❡s✳ ❚♦✉t❡❢♦✐s✱ ❧♦rsq✉❡ ❧✬❡s♣❛❝❡ ❞✬ét❛t ♥✬❡st ♣❛s ❝♦♠♣❛❝t✱ ♦♥ 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y) = x(n) ❡t Yn : Ω → Rq , Yn (x, y) = y(n) ▲❡ s❤✐❢t ❝❛♥♦♥✐q✉❡ ❡st ✿ θn : Ω → Ω, θn (x, y)(s) = (x(n + s), y(n + s)) ◆♦✉s ✐♥tr♦❞✉✐s♦♥s ♠❛✐♥t❡♥❛♥t ❞❛♥s ❝❡tt❡ ❝♦♥✜❣✉r❛t✐♦♥ ❝❛♥♦♥✐q✉❡ ✉♥ ♠♦❞è❧❡ ❞❡ ▼❛r✲ ❦♦✈ ❝❛❝❤é✱ ♦ù Yn ❡st ❧❡ ♣r♦❝❡ss✉s ❞✬♦❜s❡r✈❛t✐♦♥ ❡t Xn ❡st ❧❡ ♣r♦❝❡ss✉s ❞❡ s✐❣♥❛❧✳ ◆♦tr❡ ❤②♣♦t❤ès❡ ❞❡ ❜❛s❡ ❡st q✉❡ ❧❛ ♣❛✐r❡ (Xn , Yn )n≥0 ❡st ✉♥ ♣r♦❝❡ss✉s ❞❡ ▼❛r❦♦✈ ❛✉ t❡♠♣s ❤♦♠♦❣è♥❡✱ ❞♦♥t ❧❡ s❡♠✐✲❣r♦✉♣❡ ❡st ♥♦té ❝♦♠♠❡ Tn : B (S × Rq ) → B (S × Rq ) , ♦ù B(S × Rq ) ❡st ❧✬❡s♣❛❝❡ ❞❡ ❢♦♥❝t✐♦♥s ♠❡s✉r❛❜❧❡s ❜♦r♥é❡s✳ ◆♦✉s s✉♣♣♦s♦♥s ❛❧♦rs ♣♦✉r t♦✉t f ∈ B(S × Rq ) q✉❡ Y X E f (Xn , Yn )| F0,m ∨ F0,m = (Tn−m f ) (Xm , Ym ) , P❤❛♥ ❱❛♥ ▲♦♥❣ ❊♠ ✻ ▼é♠♦✐r❡ ❘❡s♣♦♥s❛❜❧❡✿ ❙②❧✈❛✐♥ ❘✉❜❡♥t❤❛❧❡r ❝❤❛q✉❡ ❢♦✐s q✉❡ n ≥ m ≥ 0✱ ❡t q✉❡ E (f (Xn , Yn )) = (Tn f ) (x, 0)ν(dx) ◆♦✉s ✐♠♣♦s♦♥s ♠❛✐♥t❡♥❛♥t ♥♦tr❡ ♠♦❞è❧❡ ❞❡ ▼❛r❦♦✈ (Xn , Yn )n≥0 ❧✬❤②♣♦t❤ès❡ ❢♦♥✲ ❞❛♠❡♥t❛❧❡ q✉✬✐❧ ❡st ✉♥ ♣r♦❝❡ss✉s ♠❛r❦♦✈✐❡♥ ❛❞❞✐t✐❢ ❛✉ s❡♥s ❞❡ ➬✐♥❧❛r ❬✹❪✳ ❈❡ q✉✐ ✈❡✉t ❞✐r❡ q✉❡ ❧❡ s❡♠✐✲❣r♦✉♣❡ Tn ❞❡✈r❛✐s s❛t✐s❢❛✐r❡ ❧❛ ❝♦♥❞✐t✐♦♥ s✉✐✈❛♥t❡ ✿ ♣♦✉r t♦✉t f ∈ B(S × Rq ), (Tn Sy f )(x, y) ♥❡ ❞é♣❡♥❞ ♣❛s ❞❡ y ✱ ♦ù Sy : B (S × Rq ) → B (S × Rq ) , (Sy f ) (x, z) = f (x, z − y) ■❧ ♥✬❡st ♣❛s ❞✐✣❝✐❧❡ ❞❡ ✈ér✐✜❡r ✭✈♦✐r ❛✉ss✐ ❞❛♥s ❬✸❪✮ q✉❡ ❝❡tt❡ ❤②♣♦t❤ès❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞ ❛✉① ♣r♦♣r✐étés s✉✐✈❛♥t❡s ✿ ✕ ▲❡ ♣r♦❝❡ss✉s (Xn )n≥0 ❡st ✉♥ ♣r♦❝❡ss✉s ❞❡ ▼❛r❦♦✈ ✭✐✳❡✳✱ Tn f ∈ B(S) ❝❤❛q✉❡ ❢♦✐s q✉❡ f ∈ B(S)✱ ❞✬♦ù B(S) ❡st ❝♦♥s✐❞éré ❝♦♠♠❡ ✉♥ s♦✉s✲❡s♣❛❝❡ ♥❛t✉r❡❧ ❞❡ B(S × Rq )✮✳ X ✱ ❧❡ ♣r♦❝❡ss✉s (Yn )n≥0 ❛ ❞❡s ✐♥❝ré♠❡♥ts ✐♥❞é♣❡♥❞❛♥ts✳ ✕ ❈♦♥❞✐t✐♦♥♥❡❧❧❡♠❡♥t F0,∞ ❊①❡♠♣❧❡ ✿ ❙♦✐t ξ = (ξn )n≥1 ❡t ψ = (ψn )n≥1 ❞❡✉① s✉✐t❡s ✐✳✐✳❞✱ ❡t ξn ❡st ✐♥❞é♣❡♥❞❛♥t❡ ❞❡ ψn ✳ ❙♦✐t X0 ✉♥❡ ✈❛r✐❛❜❧❡ ❛❧é❛t♦✐r❡ ✈❛❧❡✉rs ❞❛♥s S ✐♥❞é♣❡♥❞❛♥t❡ ❞❡ ξ ❡t ❞❡ ψ ✳ ❖♥ ❞é✜♥✐t ❛❧♦rs ♣♦✉r t♦✉t n ≥ 1✱ a, b ∈ R Xn = aXn−1 + bψn , Yn = Xn + ξn ◆♦✉s ♥♦t❡r♦♥s f L := sup x=y |f (x) − f (y)| , d(x, y) f ❡t ♥♦✉s ❞é✜♥✐ss♦♥s BL := {f ∈ Cb (S) : f ❢♦♥❝t✐♦♥s ❝♦♥t✐♥✉❡s ❜♦r♥é❡s✱ ν−ν BL := sup ∞ := sup |f (x)| ♣♦✉r t♦✉t f ∈ B(S) x ∞ f dν− ❡t f L }✱ ♦ù Cb (S) ❡st ❧✬❡s♣❛❝❡ ❞❡s f dν , ν, ν ∈ P (S), f ∈BL ♦ù P (S) ❡st ❧✬❡s♣❛❝❡ ❞❡s ♠❡s✉r❡s ❞❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐té ❇♦ré❧✐❡♥♥❡s✱ ❡t ν−ν VT := sup |ν(A) − ν(A)| , ν, ν ∈ P (S) A∈F ❙♦✐t (S, B(S)) ✉♥ ❡♥s❡♠❜❧❡ ♠❡s✉r❛❜❧❡✱ ✐❧ ❡①✐st❡ ✉♥✐q✉❡♠❡♥t ✉♥❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐té Pν t❡❧❧❡ q✉❡ (Xn )n≥0 ❡st ✉♥ ♣r♦❝❡ss✉s ❞❡ ▼❛r❦♦✈ ❛✈❡❝ ❧❛ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ✐♥✐t✐❛❧❡ ν ❡t ❧❛ ♣r♦❜❛❜✐❧✐té ❞❡ tr❛♥s✐t✐♦♥ ✭♣❛r ❚❤é♦rè♠❡ ✷✳✶✳✺ ❞❛♥s ❬✶❪✮✳ ❉❛♥s ❝❡ ♠é♠♦✐r❡✱ ♦♥ ♥♦t❡ s✐♠♣❧❡♠❡♥t P ✭r❡s♣✳ P✮ ❛✉ ❧✐❡✉ ❞❡ Pν ✭r❡s♣✳ Pν ✮ s✐ X0 ∼ ν ✭r❡s♣✳ X0 ∼ ν ✮✱ ❡t ♣♦✉r t♦✉t x ∈ S✱ ♦♥ ♥♦t❡r❛ Px ❛✉ ❧✐❡✉ ❞❡ Pδx ✳ ❖♥ ❞és✐❣♥❡ q✉❡ Eν ✭r❡s♣✳ Ex ✮ ❡st ❧✬❡s♣ér❛♥❝❡ ♣❛r r❛♣♣♦rt Pν ✭r❡s♣✳ Px ✮✳ ◆♦t♦♥s q✉❡ Pν ✭♦✉ P✮ ❞é♣❡♥❞ ❞❡ ν ❡t ❞❡ ✳ ❆❧♦rs✱ ♣♦✉r t♦✉t A ∈ B(S)✱ ❧❛ ❢♦♥❝t✐♦♥ x → Px (A) = (x, A) ❡st B(S) ✲ ♠❡s✉r❛❜❧❡✱ ❡t ♣♦✉r t♦✉t ν ∈ P (S)✱ Pν (A) = ν(dx)Px (A) ❈❡tt❡ ❡①♣r❡ss✐♦♥ ✐♠♣❧✐q✉❡ q✉❡ x → Px ❡st ✉♥❡ ✈❡rs✐♦♥ ❞❡ ❧❛ ♣r♦❜❛❜❧✐té ❝♦♥❞✐t✐♦♥♥❡❧❧❡ P (·| X0 = x) ❛✉ s❡♥s q✉❡ ❧✬♦♥ ♣❡✉t ré❝r✐r❡ (1) ❝♦♠♠❡ X X P Xn ∈ A| F0,n−1 = P X1 ◦ θn−1 ∈ A| F0,n−1 = PXn−1 (X1 ∈ A) P❤❛♥ ❱❛♥ ▲♦♥❣ ❊♠ P − p.s ✼ ▼é♠♦✐r❡ ✷ ❘❡s♣♦♥s❛❜❧❡✿ ❙②❧✈❛✐♥ ❘✉❜❡♥t❤❛❧❡r ❖❇❙❊❘❱❆❇■▲■❚➱ ❉❛♥s ❝❡ q✉✐ s✉✐t✱ ♥♦✉s ❞és✐❣♥♦♥s ♣❛r F Y ❧❛ ❢❛♠✐❧❧❡ F Y = ❱❡❝t{f1 (Yt1 ) · · · fk (Ytk ) : f1 , , fk ∈ B(Rq ), t1 , , tk , k ∈ N} Y ✲♠❡s✉r❛❜❧❡s✳ ◆♦✉s ✐♥tr♦❞✉✐s♦♥s ❞❡✉① ❧❡♠♠❡s é❧é♠❡♥t❛✐r❡s✳ ❞❡s ✈❛r✐❛❜❧❡s ❛❧é❛t♦✐r❡s F0,∞ ▲❡♠♠❡ ✷✳✶✳ ■❧ ❡①✐st❡ ✉♥ ❡♥s❡♠❜❧❡ ❞é♥♦♠❜r❛❜❧❡ H Y ⊂ F Y , sup h ∞ t❡❧ q✉❡ h∈H Y Pν|F Y 0,∞ ♦ù · − Pν|F Y 0,∞ hdPν hdPν − = sup VT pour tout ν, ν ∈ P (S), h∈H Y ❞és✐❣♥❡ ❧❛ ♥♦r♠❡ ✈❛r✐❛t✐♦♥ t♦t❛❧❡✳ TV ❉é♠♦♥str❛t✐♦♥✳ Y ❖♥ ❛ F0,∞ = Y Y F0,n ✱ ❞✬♦ù F0,n = σ(Ym , m n) ❈❤♦✐s✐ss♦♥s ✉♥ n ❡♥s❡♠❜❧❡ ❞é♥♦♠❜r❛❜❧❡ ❞❡♥s❡ {xp } ∈ Rq ✱ ❡t ❝♦♥s✐❞ér♦♥s ❧❛ ❢❛♠✐❧❧❡ ❞é♥♦♠❜r❛❜❧❡ ❞❡ ❜♦✉❧❡s ♦✉✈❡rt❡s Bp,m = x ∈ Rq : |x − xp | < m Y Y F0,n,k ♦ù F0,n,k = σ {Yl ∈ Bpl ,ml : pl , ml = 1, , k; Y = ❆❧♦rs✱ F0,n l n}✳ k Y ▼❛✐♥t❡♥❛♥t✱ ♥♦t♦♥s q✉❡ ❝❤❛q✉❡ F0,n,k ❡st ❝♦♥st✐t✉é ❞✬✉♥ ♥♦♠❜r❡ ✜♥✐ ❞✬❡♥s❡♠❜❧❡s ❞❛♥s Y ❡t ♣♦✉r t♦✉t A ∈ F0,n,k ❧❛ ❢♦♥❝t✐♦♥ ✐♥❞✐❝❛tr✐❝❡ IA ∈ F Y ✳ ❊♥ ♣❧✉s✱ Y ✱ F0,∞ Y F0,n,k Y Y F0,n q✉❛♥❞ k → ∞ ❡t F0,n Y F0,∞ q✉❛♥❞ n → ∞ ❉♦♥❝ PνF Y − PνF Y | 0,∞ | 0,∞ = lim lim max |Pν (A) − Pν (A)| ≤ sup |Pν (A) − Pν (A)| n→∞ k→∞ A∈F Y VT 0,n,k Y A∈F0,n,k ≤ sup hdPν − hdPν , (2.1) h∈H Y ❛✈❡❝ HY = ∪ k,n∈N Y IA − IAC : A ∈ F0,n,k , ♦ù AC ❞és✐❣♥❡ ❧❡ ❝♦♠♣❧é♠❡♥t❛✐r❡ ❞❡ ❧✬❡♥s❡♠❜❧❡ A✳ P❛r ❝♦♥str✉❝t✐♦♥ H Y ❡st ✉♥ ❡♥s❡♠❜❧❡ ❞é♥♦♠❜r❛❜❧❡ ✐♥❝❧✉s ❞❛♥s F Y ✱ ❡t sup h ∞ 1✳ ▲✬✐♥é❣❛❧✐té ✐♥✈❡rs❡ ❞❡ (2.1) ❡st ✐♠♠é❞✐❛t❡✳ h∈H Y ❉♦♥❝✱ ❧❛ ❞é♠♦♥str❛t✐♦♥ ❡st ❝♦♠♣❧èt❡✳ Y ▲❡♠♠❡ ✷✳✷✳ P♦✉r t♦✉t ξ ∈ F Y ❡t n ∈ N✱ ♦♥ ❛ E ξ ◦ θn | F0,n = Eπn (ξ)✳ ❉é♠♦♥str❛t✐♦♥✳ P❛r ♣r♦♣r✐été ❛❞❞✐t✐✈❡ ❞❡ ▼❛r❦♦✈ ❞❡ ♥♦tr❡ ♠♦❞è❧❡ ♣♦✉r t♦✉t f ∈ B(Rq ), Y X E f (Ym+n − Yn )| F0,n ∨ F0,n Y X = E SYn f (Ym+n )| F0,n ∨ F0,n = Tm SYn f (Xn , Yn ) = Tm f (Xn , 0) = Eδ(Xn ,0) (f (Ym )), P❤❛♥ ❱❛♥ ▲♦♥❣ ❊♠ ✽ ▼é♠♦✐r❡ ❘❡s♣♦♥s❛❜❧❡✿ ❙②❧✈❛✐♥ ❘✉❜❡♥t❤❛❧❡r ♦ù Eδ(Xn ,0) ❞és✐❣♥❡ ❧✬❡s♣ér❛♥❝❡ s♦✉s ❧❛ ré♣❛rt✐t✐♦♥ δ(Xn ,0) ✭❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ❞❡ ❉✐r❛❝✮✳ X Y = Eδ(Xn ,Yn ) (ξ) ♣♦✉r t♦✉t ξ ∈ F Y ❉♦♥❝ ∨ F0,n ❉❡ ♠ê♠❡ E ξ ◦ θn | F0,n Eδx (ξ)πn (dx) = Eπn (ξ) Y Y = = E EδXn (ξ) F0,n E ξ ◦ θn | F0,n ♣❛r ♣r♦♣r✐été ❞❡ ❧❛ t♦✉r ❞❡ ❧✬❡s♣ér❛♥❝❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥♥❡❧❧❡✱ ❡t ❧❡ rés✉❧t❛t s✉✐t✳ ❉é✜♥✐t✐♦♥ ✷✳✸✳ ▲❡ ♠♦❞è❧❡ ❞❡ ✜❧tr❛❣❡ ❡st ❞✐t ♦❜s❡r✈❛❜❧❡ s✐ ♣♦✉r t♦✉t ν, ν ∈ P (S), Pν|F Y = Pν|F Y 0,∞ 0,∞ ⇒ ν = ν ❖♥ ❞✐t q✉✬✐❧ ❡st ✉♥✐❢♦r♠é♠❡♥t ♦❜s❡r✈❛❜❧❡ s✐ ♣♦✉r t♦✉t ε > 0✱ ✐❧ ❡①✐st❡ δ > ✭q✉✐ ♥❡ ❞é♣❡♥❞ q✉❡ ❞❡ ε✮ t❡❧ q✉❡ Pν|F Y − Pν|F Y 0,∞ m + E LIL>m | F0,n P − p.s ❖♥ ❛ ❛✉ss✐ E(L) = E E ❡t ❛✐♥s✐ P (L ≥ m) ≤ lim n→∞ dν Y (X0 ) F0,∞ dν dν (X0 ) dν =E = 1, E(L) = ✳ ❉♦♥❝ LIL>m −−−→ P − p.s✱ ❡t ❛❧♦rs m→∞ m m Y sup E Mk | F0,k = Y lim sup E Mn | F0,n ≤ Y + lim sup 2LIL>m lim sup E Mnm | F0,n n→∞ k≥n n→∞ n→∞ ≤ lim sup lim sup E m→∞ n→∞ Y Mnm | F0,n P − p.s Y P❛r ❝♦♥str✉❝t✐♦♥✱ Mnm m P − p.s✱ ♣♦✉r t♦✉t m, n ∈ N✱ ❡t E LIL m | F0,n ❡st ✉♥❡ ♠❛rt✐♥❣❛❧❡ ♣♦✉r t♦✉t m ∈ N ❝♦♥✈❡r❣❡❛♥t ✈❡rs LIL m ❧♦rsq✉❡ n t❡♥❞ ✈❡rs ❧✬✐♥✜♥✐✱ ♣❛r t❤é♦rè♠❡ ❞❡ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ❞❡s ♠❛rt✐♥❣❛❧❡s ❞❡ ❉♦♦❜✳ ❉♦♥❝ lim sup Mnm = P − p.s✳ ❖♥ n→∞ ♦❜t✐❡♥t ♠❛✐♥t❡♥❛♥t Y lim sup E Mnm | F0,n Y lim sup lim sup E Mnm | F0,n ≤ m→∞ n→∞ ≤ n→∞ lim sup E m→∞ Y lim sup Mnm F0,n n→∞ = P − p.s Y ❡st ✉♥❡ ♠❛rt✐♥❣❛❧❡ ❝♦♥✈❡r❣❡❛♥t ✈❡rs L ❧♦rsq✉❡ n ❈♦♠♠❡ L > P − p.s✱ ❡t E L| F0,n t❡♥❞ ✈❡rs ❧✬✐♥✜♥✐✱ ♣❛r t❤é♦rè♠❡ ❞❡ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ❞❡s ♠❛rt✐♥❣❛❧❡s ❞❡ ❉♦♦❜✳ ❖♥ ❛ ét❛❜❧✐ q✉❡ πn sup Eπn (ξ) − E (ξ) −−−→ n→∞ ξ∈H Y P❛r ▲❡♠♠❡ ✷✳✶✱ ♦♥ ❛ ❛❧♦rs Pπ|FnY 0,∞ πn − P|F0,∞ Y ❡st ✉♥✐❢♦r♠é♠❡♥t ♦❜s❡r✈❛❜❧❡✱ ♦♥ ✐♠♣❧✐q✉❡ P − p.s −−−→ ❡t ♣✉✐sq✉❡ ❧❡ ♠♦❞è❧❡ ❞❡ ✜❧tr❛❣❡ V T n→∞ ❞♦♥❝ πn − πn ❞é♠♦♥str❛t✐♦♥✳ BL −−−→ 0✱ ❝❡ q✉✐ ❛❝❤è✈❡ ❧❛ n→∞ ❯♥❡ s✉✐t❡ ❞❡ ✈❛r✐❛❜❧❡s ❛❧é❛t♦✐r❡s (Yn )n≥0 ❡st ❞♦♠✐♥é❡ ❞❛♥s ❧❡ s❡♥s ❞❡ ▲❡❜❡s❣✉❡ s✐ sup |Yn | ❛ ❧✬❡s♣ér❛♥❝❡ ✜♥✐❡✳ n ❚❤é♦rè♠❡ ✷✳✺✳ ❙✉♣♣♦s♦♥s q✉❡ (Yn )n≥0 ❡st ✉♥❡ s✉✐t❡ ❞❡ ✈❛r✐❛❜❧❡s ❛❧é❛t♦✐r❡s ❞♦♠✐♥é ❞❛♥s ❧❡ s❡♥s ❞❡ ▲❡❜❡s❣✉❡✱ q✉✐ ❝♦♥✈❡r❣❡ ♣r❡sq✉❡ sûr❡♠❡♥t ✈❡rs ✉♥❡ ✈❛r✐❛❜❧❡ ❛❧é❛t♦✐r❡ Y ✳ ❆❧♦rs ♣♦✉r t♦✉t❡ s✉✐t❡ ♠♦♥♦t♦♥❡ ❞❡ tr✐❜✉s (Fj )j≥0 ❝♦♥✈❡r❣❡❛♥t ✈❡rs ✉♥❡ tr✐❜✉ F ✱ lim E (Yn | Fj ) = E (Y | F) j→∞ n→∞ P❤❛♥ ❱❛♥ ▲♦♥❣ ❊♠ ✶✵ ▼é♠♦✐r❡ ❘❡s♣♦♥s❛❜❧❡✿ ❙②❧✈❛✐♥ ❘✉❜❡♥t❤❛❧❡r ♣r❡sq✉❡ sûr❡♠❡♥t ❡t ❞❛♥s L1 ✳ ❉❛♥s ❝❡tt❡ ♥♦t❡✱ ♥♦✉s ♥♦✉s ✐♥tér❡ss♦♥s ♣r✐♥❝✐♣❛❧❡♠❡♥t ❧❛ ❝♦♥❝❧✉s✐♦♥ ♣❧✉s ❢❛✐❜❧❡ lim E (Yn | Fn ) = E (Y | F) n→∞ ❉é♠♦♥str❛t✐♦♥✳ ❙♦✐t gk = sup Yn ✳ ❋✐①♦♥s k ♣♦✉r ✉♥ ♠♦♠❡♥t ❡t s♦✐t n ≥ k ✳ ❆❧♦rs Yn ≤ gk n≥k ❡t E (Yn | Fi ) ≤ E (gk | Fi ) ❙♦✐t z = lim sup E (Yn | Fi ) (2.5a) x = lim inf E (Yn | Fi ) (2.5b) j i≥j n≥j j i≥j n≥j P✉✐sq✉❡ (Yn )n≥0 ❡st ✉♥❡ séq✉❡♥❝❡ ❞❡ ✈❛r✐❛❜❧❡s ❛❧é❛t♦✐r❡s ❞♦♠✐♥é ❞❛♥s ❧❡ s❡♥s ❞❡ ▲❡✲ ❜❡s❣✉❡✱ ♦♥ ❛ ❞♦♥❝ E |gk | < ∞✳ ◆♦✉s ❝♦♥❝❧✉♦♥s ❞❡ (2.5a) ❡t ❞✉ t❤é♦rè♠❡ ✹✳✸✱ ❈❤❛♣✐tr❡ ❱■■ ❞❛♥s ❬✹❪ q✉❡ z ≤ lim sup E (gk | Fi ) = lim E (gk | Fi ) = E (gk | F) j i i≥j ❉♦♥❝ z ≤ lim E (gk | F) = E (Y | F) k ♣❛r t❤é♦rè♠❡ ❞❡ ▲❡❜❡s❣✉❡ ❝♦♥✈❡♥❛❜❧❡♠❡♥t ❛♣♣❧✐q✉é ❛✉① ♠♦②❡♥♥❡s ❝♦♥❞✐t✐♦♥♥❡❧❧❡s✳ ❙✐♠✐✲ ❧❛✐r❡♠❡♥t✱ x ≥ E (Y | F) ❡t ❧❛ ♣r❡✉✈❡ ❞❡ ❧❛ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ♣r❡sq✉❡ sûr❡♠❡♥t ❡st t❡r♠✐♥é❡✳ ▲❛ ♣r❡✉✈❡ ❞❡ ❧❛ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ L1 ❡st ❝❧❛ss✐q✉❡ ❡t ♥❡ s❡r❛ ♣❛s ❞ét❛✐❧❧é❡ ✐❝✐✳ ❈♦r♦❧❧❛✐r❡ ✷✳✻✳ ❙✉♣♣♦s♦♥s q✉❡ ❛✈❡❝ ❧❛ ♣r♦❜❛❜✐❧✐té 1✱ s❡✉❧❡♠❡♥t ✉♥ ♥♦♠❜r❡ ✜♥✐ ❞❡s é✈é✲ ♥❡♠❡♥ts (En )n≥0 s❡ ♣r♦❞✉✐s❡♥t✳ ❆❧♦rs ♣♦✉r t♦✉t❡ s✉✐t❡ ♠♦♥♦t♦♥❡ ❞❡ tr✐❜✉s (Fn )n≥0 Ek Fj P −n→∞ −−→ et j→∞ k n ❉é♠♦♥str❛t✐♦♥✳ P (En | Fj ) −n→∞ −−→ j→∞ ❖♥ ❛ ❛❧♦rs Ek Fj P =E ✶ Ek Fj k≥n k≥n ❉♦♥❝ P (En | Fj ) = E ( ✶En | Fj ) −n→∞ −−→ 0, ❝❛r En ⊂ j→∞ −n→∞ −−→ j→∞ Ek k≥n ❈♦r♦❧❧❛✐r❡ ✷✳✼✳ ❙✐ (fn )n≥0 ❡st ✉♥❡ s✉✐t❡ ❞❡ ✈❛r✐❛❜❧❡s ❛❧é❛t♦✐r❡s q✉✐ ❝♦♥✈❡r❣❡ ♣r❡sq✉❡ ♣❛rt♦✉t ✈❡rs ❡t (Fj )j≥0 ❡st ✉♥❡ s✉✐t❡ ♠♦♥♦t♦♥❡ ❞❡ tr✐❜✉s✱ ❛❧♦rs ❛✈❡❝ ❧❛ ♣r♦❜❛❜✐❧✐té 1✱ ♣♦✉r t♦✉t ε > P sup |fk | > ε Fj k n −n→∞ −−→ et P (|fn | > ε| Fj ) −n→∞ −−→ j→∞ j→∞ ❙♦✐❡♥t ❞❡s é✈è♥❡♠❡♥ts Xi ❛✈❡❝ ❞❡s tr✐❜✉s Bi ✭Bi s✉r Xi ✮ ❡t ♦♥ ♥♦t❡ (X, B) = (X1 × X2 × · · · , B1 × B2 × · · ·) P❤❛♥ ❱❛♥ ▲♦♥❣ ❊♠ ✶✶ ▼é♠♦✐r❡ ❘❡s♣♦♥s❛❜❧❡✿ ❙②❧✈❛✐♥ ❘✉❜❡♥t❤❛❧❡r ❙✉♣♣♦s♦♥s q✉❡ (X, B, P) ❡st ✉♥ ❡s♣❛❝❡ ❞❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐té ❡t s♦✐t Pn ❧❛ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ♠❛r❣✐✲ ♥❛❧❡ ❞❡ (X1 × · · · Xn , B1 × · · · Bn ) , ✐✳❡✳✱ Pn (A) = P (A × Xn+1 × · · ·) ♣♦✉r t♦✉t A ∈ B1 × · · · × Bn ▲❛ ♣r♦❜❛❜✐❧✐té P ❡st ✉♥ ❢❛❝t❡✉r ♣ré❞✐❝t✐❢ s✐ ♣♦✉r t♦✉t n ≥ 1✱ ✐❧ ❡①✐st❡ ✉♥❡ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ❝♦♥❞✐t✐♦♥♥❡❧❧❡ Pn ♣♦✉r ❧✬❛✈❡♥✐r Xn+1 × · · · s❛❝❤❛♥t ❧❡ ♣❛ssé X1 , , Xn ❀ ✐✳❡✳✱ s✬✐❧ ❡①✐st❡ ✉♥❡ ❢♦♥❝t✐♦♥ Pn (x1 , , xn ) (C)✱ ♦ù (x1 , , xn ) ❡st ✈❛❧❡✉rs ❞❛♥s X1 × · · · × Xn ❡t C ✈❛❧❡✉rs ❞❛♥s Bn+1 × · · · ✈ér✐✜❛♥t ❧❡s tr♦✐s ♣r♦♣r✐étés ✿ ✶✳ Pn (x1 , , xn ) (C) ❡st B1 × · · · × Bn ✲♠❡s✉r❛❜❧❡ ♣♦✉r C ✜①é✳ ✷✳ ❊❧❧❡ ❡st ❛✉ss✐ ✉♥❡ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ❞❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐té s✉r (Xn+1 × · · · , Bn+1 × · · ·) ♣♦✉r (x1 , , xn ) ✜①é✳ ✸✳ P♦✉r t♦✉t❡ ❢♦♥❝t✐♦♥ φ ❜♦r♥é❡ B ✲♠❡s✉r❛❜❧❡ φdP = φ (x1 , , xn , xn+1 , ) dPn (xn+1 , | x1 , , xn ) dPn (x1 , , xn ) ◆♦✉s ♥♦t♦♥s q✉❡ t♦✉t❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐té q✉✐ ❡st ❛❜s♦❧✉♠❡♥t ❝♦♥t✐♥✉❡ ♣❛r r❛♣♣♦rt ✉♥❡ ♣r♦✲ ❜❛❜✐❧✐té ♣ré❞✐❝t✐✈❡ ❡st é❣❛❧❡♠❡♥t ♣ré❞✐❝t✐✈❡✳ ❈♦r♦❧❧❛✐r❡ ✷✳✽✳ ❙♦✐t q ≥ ✉♥❡ ❢♦♥❝t✐♦♥ ❞❡ ❞❡♥s✐té t❡❧❧❡ q✉❡ Q(B) = qdP pour tout B ∈ B, B s♦✐t qn (x1 , , xn ) = q (x1 , , xn , xn+1 , ) dPn (xn+1 , | x1 , , xn ), ❡t s♦✐t q (x1 , , xn , xn+1 , ) qn (x1 , , xn ) dn (x1 , , xn , xn+1 , ) = si qn (x1 , , xn ) = si qn (x1 , , xn ) = ❆❧♦rs✱ ❛✈❡❝ P✲♣r♦❜❛❜✐❧✐té 1✱ ♣♦✉r t♦✉t ε > P (dn (x1 , , xn , xn+1 , ) − > ε| x1 , , xn ) −−−→ n→∞ (2.8a) ❡t ❛✈❡❝ Q✲♣r♦❜❛❜✐❧✐té 1✱ ♣♦✉r t♦✉t ε > Q (|dn (x1 , , xn , xn+1 , ) − 1| > ε| x1 , , xn ) −−−→ n→∞ (2.8b) P❛r r❛♣♣♦rt ❧❛ ♠❡s✉r❡ P✱ E (q| x1 , , xn ) = qn (x1 , , xn ) ❞❡ s♦rt❡ q✉❡ ❞✬❛♣rès ❧❡ t❤é♦rè♠❡ ❞❡ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ❞❡s ♠❛rt✐♥❣❛❧❡s ❞❡ ❉♦♦❜✱ ❉é♠♦♥str❛t✐♦♥✳ qn (x1 , , xn ) −−−→ q (x1 , , xn , xn+1 , ) n→∞ P❛r ❝♦♥séq✉❡♥t✱ lim sup dn (x1 , , xn , xn+1 , ) n→∞ P − p.s P − p.s ❡t dn (x1 , , xn , xn+1 , ) −−−→ Q − p.s, n→∞ ♣✉✐sq✉❡ q > Q − p.s ❯♥❡ ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ ❞✉ ❝♦r♦❧❧❛✐r❡ ✷✳✼ ❛❝❤è✈❡ ❧❛ ❞é♠♦♥str❛t✐♦♥✳ P❤❛♥ ❱❛♥ ▲♦♥❣ ❊♠ ✶✷ ▼é♠♦✐r❡ ❘❡s♣♦♥s❛❜❧❡✿ ❙②❧✈❛✐♥ ❘✉❜❡♥t❤❛❧❡r ❚❤é♦rè♠❡ ✷✳✾✳ ❙✉♣♣♦s♦♥s q✉❡ P ❡st ✉♥❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐té ♣ré❞✐❝t✐✈❡ s✉r (X, B) ❡t q✉❡ Q ❡st ❛❜s♦❧✉♠❡♥t ❝♦♥t✐♥✉❡ ♣❛r r❛♣♣♦rt P✳ ❆❧♦rs✱ ♣♦✉r ❝❤❛q✉❡ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ❝♦♥❞✐t✐♦♥♥❡❧❧❡ Pn ❞❡ ❧✬❛✈❡♥✐r ét❛♥t ❞♦♥♥é ❧❡ ♣❛ssé ♣❛r r❛♣♣♦rt P✱ ✐❧ ❡①✐st❡ ✉♥❡ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ❝♦♥❞✐t✐♦♥♥❡❧❧❡ Qn ❞❡ ❧✬❛✈❡♥✐r ét❛♥t ❞♦♥♥é ❧❡ ♣❛ssé ♣❛r r❛♣♣♦rt Q t❡❧❧❡ q✉❡✱ ❧✬❡①❝❡♣t✐♦♥ ❞✬✉♥ ❡♥s❡♠❜❧❡ ❞✬❤✐st♦✐r❡s (x1 , , xn , xn+1 , ) ❞❡ Q✲♣r♦❜❛❜✐❧✐té 0✱ Pn (x1 , , xn ) − Qn (x1 , , xn ) ❉é♠♦♥str❛t✐♦♥✳ −−→ VT − n→∞ ❉é✜♥✐ss♦♥s dn (x1 , , xn , xn+1 , )dPn (xn+1 , | x1 , , xn ) Qn (x1 , , xn ) (C) = C ♣♦✉r t♦✉t C ∈ Bn+1 × · · · ✱ ❡t dn (x1 , , xn , xn+1 , ) ❡st ❞é✜♥✐❡ ❝♦♠♠❡ ❈♦r♦❧❧❛✐r❡ ✷✳✽✳ ❈❡❝✐ s✐❣♥✐✜❡ q✉❡ Qn ❡st ✉♥❡ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ❝♦♥❞✐t✐♦♥♥❡❧❧❡ ❞❡ ❧✬❛✈❡♥✐r ét❛♥t ❞♦♥♥é ❧❡ ♣❛ssé✳ ❙♦✐t u = (x1 , , xn ) ❡t v = (xn+1 , )✱ ♦♥ ❝❛❧❝✉❧❡ ❛✐♥s✐ Pn (x1 , , xn ) − Qn (x1 , , xn ) VT = Pn (u) − Qn (u) VT (dn (u, v) − 1)dPn (v| u) = v:dn (u,v)−1>0 dn (u, v) dPn (v| u) ≤ ε+ v:dn (u,v)−1>ε = ε + Qn (u) (v : dn (u, v) − > ε) = ε + Q (dn (u, v) − > ε| x1 , , xn ) P❛r (2.8b)✱ ❈♦r♦❧❧❛✐r❡ ✷✳✽✱ ♦♥ ❛ ❛❧♦rs Q (dn (u, v) − > ε| x1 , , xn ) −−−→ 0✳ ❉♦♥❝✱ ♦♥ n→∞ ♣❡✉t ✐♠♣❧✐q✉❡r q✉❡ Pn (x1 , , xn ) − Qn (x1 , , xn ) −−→ VT − n→∞ ❈♦r♦❧❧❛✐r❡ ✷✳✶✵✳ ❙♦✐t (Xn )n≥0 ✉♥ ♣r♦❝❡ss✉s st♦❝❤❛st✐q✉❡ t❡♠♣s ❞✐s❝r❡t q✉✐ ♣r❡♥❞ ❞❡s ✈❛❧❡✉rs ❞❛♥s ✉♥ ❡s♣❛❝❡ ♣♦❧♦♥❛✐s✳ ❙✐ Q ❡st ❛❜s♦❧✉♠❡♥t ❝♦♥t✐♥✉❡ ♣❛r r❛♣♣♦rt P✱ ♦♥ ❛ ❛❧♦rs X X P (Xk )k>n ∈ · F0,n − Q (Xk )k>n ∈ · F0,n −−−→ Q − p.s V T n→∞ ❆✜♥ ❞❡ ✈ér✐✜❡r ❧✬♦❜s❡r✈❛❜✐❧✐té ✉♥✐❢♦r♠❡ ❞❡s ♠♦❞è❧❡s ❛❞❞✐t✐❢s ❞✬♦❜s❡r✈❛t✐♦♥ ❞❡ ❜r✉✐t ✱ ❧❡s rés✉❧t❛ts s✉✐✈❛♥ts s♦♥t ❞✬✉♥❡ ✐♠♣♦rt❛♥❝❡ ❝❡♥tr❛❧❡✳ ■❧ ♣ré❝✐s❡ q✉❡ ❧✬✐♠❛❣❡ ❞✬✉♥ ♦♣ér❛t❡✉r ❞❡ ❝♦♥✈♦❧✉t✐♦♥ s✉r Ub (Rq ) ✭❧✬❡s♣❛❝❡ ❞❡ ❢♦♥❝t✐♦♥s ❜♦r♥é❡s ✉♥✐❢♦r♠é♠❡♥t ❝♦♥t✐♥✉❡s✮ ❡st ✉♥✐❢♦r♠é♠❡♥t ❞❡♥s❡ ❞❛♥s Ub (Rq ) s♦✉s ✉♥❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥ ❢❛✐❜❧❡✳ Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ ✷✳✶✶✳ ❙✉♣♣♦s♦♥s q✉❡ ❧❛ ❢♦♥❝t✐♦♥ ❝❛r❛❝tér✐st✐q✉❡ ❞❡ ❧❛ ♠❡s✉r❡ ❞❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐té µ ∈ P (Rq ) ❡st ❞❡ s✉♣♣♦rt Rq ✳ ❆❧♦rs✱ ❧❛ ❢❛♠✐❧❧❡ {f ∗ µ : f ∈ Ub (Rq )} ⊂ Ub (Rq ) ❡st ❞❡♥s❡ ❞❛♥s Ub (Rq ) ♣♦✉r ❧❛ t♦♣♦❧♦❣✐❡ ❞❡ ❧❛ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ✉♥✐❢♦r♠❡✳ ❖♥ r❡❝✉❡✐❧❧❡ ❞✬❛❜♦r❞ ❞❡s ❢❛✐ts ❜✐❡♥ ❝♦♥♥✉s s✉r ❧❛ ❝♦♥✈♦❧✉t✐♦♥✳ ❙♦✐t ϕ ∈ L (R ) ✉♥❡ ❢♦♥❝t✐♦♥ t❡❧❧❡ q✉❡ ϕ(x)dx = 1✱ ❡t s♦✐t ❉é♠♦♥str❛t✐♦♥✳ q ϕt (x) = t−q ϕ(t−1 x), P❤❛♥ ❱❛♥ ▲♦♥❣ ❊♠ t > ✶✸ ▼é♠♦✐r❡ ❘❡s♣♦♥s❛❜❧❡✿ ❙②❧✈❛✐♥ ❘✉❜❡♥t❤❛❧❡r P❛r ❬✽❪✱ ❚❤é♦rè♠❡ ✽✳✶✹✱ ♦♥ ❛ f ∗ ϕt − f ♣♦✉r f ∈ Ub (Rq ) ❡t −→ ∞ − t→0 ♣♦✉r t♦✉t f ∈ Ub (Rq )✳ ❊♥ ♦✉tr❡✱ ∈ L1 (Rq )✱ ♦♥ ❛ ♣❛r ❬✽❪✱ Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ ✽✳✽✱ q✉❡ f∗ ∞ f ∞ ❡t f ∗ ∈ Ub (Rq ) ❊♥✜♥✱ s✐ ∈ L1 (Rq ) ❡t ν ∈ P (Rq )✱ ❛❧♦rs ∗ν ∈ L1 (Rq ) ♣❛r ❬✽❪✱ Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ ✽✳✹✾✳ ❋✐①♦♥s ϕ ∈ L1 (Rq )✱ f ∈ Ub (Rq ) ❡t k ∈ N✳ ❆❧♦rs✱ ♦♥ ♣❡✉t ❝❤♦✐s✐r t > t❡❧ q✉❡ f ∗ ϕt − f ∞ ≤ k q ❙✉♣♣♦s♦♥s ♠❛✐♥t❡♥❛♥t q✉❡ ♥♦✉s ♣♦✉✈♦♥s tr♦✉✈❡r ✉♥❡ ❢♦♥❝t✐♦♥ k ∈ L (R ) t❡❧❧❡ q✉❡ ϕt − k ∗ µ ≤ ❊♥s✉✐t❡✱ ♥♦✉s ♣♦✉✈♦♥s ❡st✐♠❡r k f −f ∗( k ∗ µ) ∞ f ∗ ϕt − f ∞ + f ∞ ϕt − k ∗µ 1 (1 + f k ∞) ▼❛✐s r❡♠❛rq✉♦♥s q✉❡ f ∗ ( k ∗ µ) = (f ∗ k ) ∗ µ ❡t gk := f ∗ k ∈ Ub (Rq )✳ ❘é♣ét♦♥s ❧❛ ♣r♦❝é❞✉r❡ ♣♦✉r ❝❤❛q✉❡ k ∈ N✱ ♥♦✉s tr♦✉✈♦♥s ✉♥❡ ❢❛♠✐❧❧❡ {gk } ∈ Ub (Rq ) t❡❧❧❡ q✉❡ f − gk ∗ µ ∞ −−−→ ❈♦♠♠❡ ❧❛ ❢♦♥❝t✐♦♥ f ∈ Ub (Rq ) ét❛✐t ❛r❜✐tr❛✐r❡✱ ❧❡ rés✉❧t❛t s✉✐t✳ k→∞ ■❧ r❡st❡ ❞♦♥❝ ♠♦♥tr❡r q✉❡ ♣♦✉r t♦✉t t > ❡t k ∈ N✱ ♥♦✉s ♣♦✉✈♦♥s tr♦✉✈❡r ✉♥❡ ❢♦♥❝t✐♦♥ ∈ L1 (Rq ) t❡❧❧❡ q✉❡ ϕt − ∗ µ ≤ ■❧ s✉✣t ❞❡ ♠♦♥tr❡r q✉❡ ❧❛ ❢❛♠✐❧❧❡ k { ∗ µ : ∈ L1 (Rq )} ⊂ L1 (Rq ) ❡st ❞❡♥s❡ ❞❛♥s L1 (Rq )✳ P♦✉r t❡r♠✐♥❡r ❝❡❧❛✱ ❝♦♥s✐❞ér♦♥s T Φ := ❱❡❝t {x → Φ(x − a) : a ∈ Rq } ⊂ L1 (Rq ), Φ(x) := e− x 2 , ♦ù · ❞és✐❣♥❡ ✉♥❡ ♥♦r♠❡ ❞❛♥s Rq ✱ ❡t { ∗ µ : ∈ T Φ} ❡st ❧✬❡s♣❛❝❡ ✈❡❝t♦r✐❡❧ ❡♥❣❡♥❞ré ♣❛r ❧❡s tr❛♥s❧❛tés ❞❡ ❧❛ ❢♦♥❝t✐♦♥ Φ ∗ µ ▼❛✐s ❧❛ tr❛♥s❢♦r♠é❡ rr ( à) = srợt ♥✉❧❧❡ ♣❛rt✳ ❉♦♥❝ { ∗ µ : ∈ T Φ} ❡st ❞❡♥s❡ ❞❛♥s L1 (Rq ) ♣❛r ❬✶✶❪✱ ❚❤é♦rè♠❡ ✾✳✺✳ ❈♦♠♠❡ ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥✱ ♥♦✉s ♣r♦✉✈♦♥s ❧❡ rés✉❧t❛t s✉✐✈❛♥t✳ Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ ✷✳✶✷✳ ❙♦✐t {µn }, {νn } ⊂ P (Rq )✱ ❡t s♦✐t ξ ∈ P (Rq ) ✉♥❡ ♠❡s✉r❡ ❞❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐té ❞♦♥t t rtộrstq srợt rt rs àn ξ − νn ∗ ξ −−→ BL − n→∞ ⇔ µ n − νn −−→ BL − n→∞ ❊♥ ❞✬❛✉tr❡s t❡r♠❡s✱ s✐ ξ ❡st ✉♥❡ ♠❡s✉r❡ ❞❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐té ❞♦♥t ❧❛ ❢♦♥❝t✐♦♥ ❝❛r❛❝tér✐st✐q✉❡ ♥❡ ❞✐s♣❛r❛ỵt ♥✉❧❧❡ ♣❛rt✱ ❛❧♦rs ❧✬♦♣ér❛t❡✉r ❞❡ ❝♦♥✈♦❧✉t✐♦♥ Cξ : P (Rq ) → P (Rq ) ❞é✜♥✐ ♣❛r Cξ µ = µ ∗ ξ ❡st ✉♥✐❢♦r♠é♠❡♥t ❝♦♥t✐♥✉❡✱ ✐♥❥❡❝t✐❢ ❡t ❞✬♦♣ér❛t❡✉r ✐♥✈❡rs❡ Cξ−1 : ■♠(Cξ ) → P (Rq ) ✉♥✐❢♦r♠é♠❡♥t ❝♦♥t✐♥✉❡ ✭♣❛r r❛♣♣♦rt · BL ✲♥♦r♠❡✮✳ q ❉é♠♦♥str❛t✐♦♥✳ ❙♦✐t ξ ∈ P (R ) ✉♥❡ ♠❡s✉r❡ ❞❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐té ❞♦♥t ❧❛ ❢♦♥❝t✐♦♥ ❝❛r❛❝tér✐s✲ t✐q✉❡ ♥❡ ❞✐s♣❛r❛ỵt ♥✉❧❧❡ ♣❛rt ❡t ❞és✐❣♥♦♥s ♣❛r ξ ❧❛ ♠❡s✉r❡ ❞❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐té ❞é✜♥✐❡ ♣❛r f (x)ξ(dx) = f (−x)ξ(dx) ♣♦✉r t♦✉t f ∈ B (Rq ) , ♦ù B(Rq ) ❞és✐❣♥❡ ❧✬❡s♣❛❝❡ ❞❡s ❢♦♥❝t✐♦♥s ♠❡s✉r❛❜❧❡s ❜♦r♥é❡s✳ ❉❛♥s ❝❡ ❝❛s✲❧à✱ ❧❛ ❢♦♥❝t✐♦♥ ❝❛r❛❝tér✐st✐q✉❡ ❞❡ ξ ♥❡ ❞✐s♣❛r❛ỵt ♥✉❧❧❡ ♣❛rt✳ ▼❛✐♥t❡♥❛♥t✱ ♥♦t♦♥s q✉❡ ♥♦✉s ♦❜t❡♥♦♥s ♣♦✉r P❤❛♥ ❱❛♥ ▲♦♥❣ ❊♠ ✶✹ ▼é♠♦✐r❡ ❘❡s♣♦♥s❛❜❧❡✿ ❙②❧✈❛✐♥ ❘✉❜❡♥t❤❛❧❡r t♦✉t❡ ♠❡s✉r❡ ❞❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐té µ ∈ P (Rq ) ❧✬é❣❛❧✐té (f ∗ ξ)(x)µ(dx) ♣♦✉r t♦✉t f ∈ B (Rq ) f (x)(ξ ∗ µ)(dx) = ❊♥ ♦✉tr❡✱ ✐❧ ❡st ❢❛❝✐❧❡ ❞❡ ✈ér✐✜❡r q✉❡ f ∗ ξ ∈ Ub (Rq ) ❝❤❛q✉❡ ❢♦✐s q✉❡ f ∈ Ub (Rq )✳ ❙✉♣♣♦s♦♥s ❞✬❛❜♦r❞ q✉❡ µn − νn BL −−−→ 0✱ ♥♦✉s ❛✈♦♥s n→∞ f dνn −−−→ ♣♦✉r t♦✉t f ∈ Ub (Rq ) f dµn − n→∞ ❝❛r ❧❛ ❢❛♠✐❧❧❡ ❞❡ ❢♦♥❝t✐♦♥s ❜♦r♥é❡s✲▲✐♣s❝❤✐t③ BL ❡st ❞❡♥s❡ ❞❛♥s Ub (Rq ) ❞❛♥s ❧❛ t♦♣♦❧♦❣✐❡ ❞❡ ❧❛ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ✉♥✐❢♦r♠❡ ✭✈♦✐r ❬✻❪✱ ▲❡♠♠❡ ✽✮✳ ❆✐♥s✐✱ f d(µn ∗ ξ) − f d(νn ∗ ξ) = (f ∗ ξ)(x)dµn − (f ∗ ξ)(x)dνn −−−→ n→∞ ♣♦✉r t♦✉t f ∈ Ub (Rq )✳ ❊t ❞♦♥❝ µn ∗ ξ − νn ∗ ξ −−→ BL − n→∞ 0✳ ■♥✈❡rs❡♠❡♥t✱ s✉♣♣♦s♦♥s q✉❡ µn ∗ ξ − νn ∗ ξ −−→ BL − n→∞ 0✱ ❞❡ s♦rt❡ q✉❡ f dµn − f dνn −−−→ n→∞ ❛✈❡❝ f ∈ g ∗ ξ : g ∈ Ub (Rq ) ✳ P❛r Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ ✷✳✶✶✱ ❧❛ ❢❛♠✐❧❧❡ g ∗ ξ : g ∈ Ub (Rq ) ❡st ✉♥✐❢♦r♠é♠❡♥t ❞❡♥s❡ ❞❛♥s Ub (Rq ) ❀ ❞♦♥❝✱ ❝❡tt❡ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ❡st ✈❛❧❛❜❧❡ ♣♦✉r ♥✬✐♠♣♦rt❡ q✉❡❧ f ∈ Ub (Rq )✳ P❛r ❝♦♥séq✉❡♥t✱ ♥♦✉s ♣♦✉✈♦♥s ❞✐r❡ q✉❡ µn − νn BL −−−→ 0✱ ❝❡ q✉✐ n→∞ t❡r♠✐♥❡ ❧❛ ❞é♠♦♥str❛t✐♦♥✳ ❈♦♥s✐❞ér♦♥s ♠❛✐♥t❡♥❛♥t ❧❡ s❝é♥❛r✐♦ ❞✬♦❜s❡r✈❛t✐♦♥ ❞❡ ❜r✉✐t ❛❞❞✐t✐❢✱ ✐✳❡✳✱ ♥♦✉s s✉♣♣♦s♦♥s q✉❡ Yn = h(Xn−1 ) + ξn , n ≥ 1, ♦ù ψ = (ξn )n≥1 ❡st ✉♥❡ s✉✐t❡ ❞❡s ✈❛r✐❛❜❧❡s ❛❧é❛t♦✐r❡s ✐✳✐✳❞ ✈❛❧❡✉r ❞❛♥s Rq ✱ ✐♥❞é♣❡♥❞❛♥t❡ ❞❡ X ❡t h : S → Rq ❡st ✉♥❡ ❢♦♥❝t✐♦♥ ❞✬♦❜s❡r✈❛t✐♦♥ ❞♦♥♥é❡✳ ◆♦✉s ❛✈♦♥s ♠❛✐♥t❡♥❛♥t ❚❤é♦rè♠❡ ✷✳✶✸✳ ❙✉♣♣♦s♦♥s q✉❡ Yn = h(Xn−1 ) + ξn ❛✈❡❝ (a1 ) h : S → Rq ❡st ✐♥✈❡rs✐❜❧❡✳ (a2 ) h−1 ❡st ✉♥✐❢♦r♠é♠❡♥t ❝♦♥t✐♥✉❡✳ (a3 ) Eeikψ > pour tout k ∈ Rq ❆❧♦rs✱ lim E πn − π n n→∞ ❉é♠♦♥str❛t✐♦♥✳ = chaque f ois que ν ■❧ ❡st ❢❛❝✐❧❡ ❞❡ ✈ér✐✜❡r q✉❡ BL ν Y Y = πn h−1 ∗ ξ ❡t P Yn+1 ∈ ·| F0,n = π n h−1 ∗ ξ, P Yn+1 ∈ ·| F0,n ♦ù ξ ∈ P (Rq ) ❡st ❧❛ ❧♦✐ ❞❡ ξ1 ✳ ❖♥ ♣❡✉t ❛✉ss✐ ✈ér✐✜❡r q✉❡ P(A) = A P❤❛♥ ❱❛♥ ▲♦♥❣ ❊♠ dP dP = dP dP = A dν (X0 )dP = E dν dν (X0 )✶A , dν A ✶✺ ▼é♠♦✐r❡ ❘❡s♣♦♥s❛❜❧❡✿ ❙②❧✈❛✐♥ ❘✉❜❡♥t❤❛❧❡r ♣♦✉r t♦✉t A ∈ B(S)✱ ❞♦♥❝ P P✳ P❛r ❈♦r♦❧❧❛✐r❡ ✷✳✶✵✱ ♦♥ ❛ ❛❧♦rs πn h−1 ∗ ξ − π n h−1 ∗ ξ −−−→ P − p.s V T n→∞ ❖♥ ♦❜t✐❡♥t ❞♦♥❝ ♣❛r Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ ✷✳✶✷✱ πn h−1 − π n h−1 −−−→ P − p.s BL n→∞ ❈♦♠♠❡ ❧❡s ❢♦♥❝t✐♦♥s ❜♦r♥é❡s✲▲✐♣s❝❤✐t③ s♦♥t ✉♥✐❢♦r♠é♠❡♥t ❞❡♥s❡s ❞❛♥s Ub (Rq ) ✭✈♦✐r ❬✻❪✱ ▲❡♠♠❡ ✽✮✱ ❞♦♥❝ |πn (f ◦ h) − π n (f ◦ h)| −−−→ P − p.s, ♣♦✉r t♦✉t f ∈ Ub (Rq )✳ n→∞ ▼❛✐s h ❛ ✉♥ ✐♥✈❡rs❡ ✉♥✐❢♦r♠é♠❡♥t ❝♦♥t✐♥✉❡✱ ❞♦♥❝ t♦✉t❡ ❢♦♥❝t✐♦♥ ❞❛♥s Ub (Rq ) ♣❡✉t êtr❡ é❝r✐t❡ ❝♦♠♠❡ f ◦ h ♣♦✉r ✉♥ ❝❡rt❛✐♥ f ∈ Ub (Rq )✳ ❖♥ ❛ ❛❧♦rs πn − π n BL −−−→ ❡t ❧❛ ❞é♠♦♥str❛t✐♦♥ ❡st t❡r♠✐♥é❡✳ P❤❛♥ ❱❛♥ ▲♦♥❣ ❊♠ n→∞ ✶✻ ▼é♠♦✐r❡ ❘❡s♣♦♥s❛❜❧❡✿ ❙②❧✈❛✐♥ ❘✉❜❡♥t❤❛❧❡r ❘➱❋➱❘❊◆❈❊❙ ❬✶❪ ❈❆PP➱✱ ❖✳ ❀ ▼❖❯▲■◆❊❙✱ ❊✳✱ ❘❨❉➱◆✱ ❚✳ ■♥❢❡r❡♥❝❡ ✐♥ ❍✐❞❞❡♥ ▼❛r❦♦✈ ♠♦❞❡❧s✳ ❙♣r✐♥✲ ❣❡r ❙❡r✐❡s ✐♥ ❙t❛t✐st✐❝s✳ ❙♣r✐♥❣❡r✱ ◆❡✇ ❨♦r❦✱ ✷✵✵✺✳ ❬✷❪ ❇▲❆❈❑❲❊▲▲✱ ❉✳ ❛♥❞ ❉❯❇■◆❙✱ ▲✳ ✭✶✾✻✷✮✳ ▼❡r❣✐♥❣ ♦❢ ♦♣✐♥✐♦♥s ✇✐t❤ ✐♥❝r❡❛s✐♥❣ ✐♥✲ ❢♦r♠❛t✐♦♥✳ ❆♥♥✳ ▼❛t❤✳ ❙t❛t✐st✳ ✸✸ ✽✽✷✲✽✽✻✳ ▼❘✵✶✹✾✺✼✼✳ ❬✸❪ ❈❍■●❆◆❙❑❨ P✳✱ ▲■P❚❙❊❘ ❘✳✱ ❡t ❱❆◆ ❍❆◆❉❊▲ ❘✳ ■♥tr✐♥s✐❝ ♠❡t❤♦❞s ✐♥ ✜❧t❡r st❛✲ ❜✐❧✐t②✳ ❚❤❡ ❖①❢♦r❞ ❍❛♥❞❜♦♦❦ ♦❢ ◆♦♥❧✐♥❡❛r ❋✐❧t❡r✐♥❣✱ ❊❞✳ ❉❛♥ ❈r✐s❛♥✱ ❇♦r✐s ❘♦③♦✈s❦✐✐✱ ❖①❢♦r❞ ❯♥✐✈❡rs✐t② Pr❡ss✱ ✷✵✶✶✳ ❬✹❪ ➬■◆▲❆❘✱ ❊✳ ✭✶✾✼✷✮✳ ▼❛r❦♦✈ ❛❞❞✐t✐✈❡ ♣r♦❝❡ss❡s✳ ■✱ ■■✳ ❩✳ ❲❛❤rs❝❤✳ ❱❡r✇✳ ●❡❜✐❡t❡ ✷✹ ✽✺✲✾✸✳ ▼❘✵✸✷✾✵✹✼✳ ❬✺❪ ❉❖❖❇✱ ❏✳ ▲✳ ✭✶✾✺✸✮✳ ❙t♦❝❤❛st✐❝ ♣r♦❝❡ss✳ ❲✐❧❡②✱ ◆❡✇ ❨♦r❦✳ ❬✻❪ ❉❯❉▲❊❨✱ ❘✳ ▼✳ ✭✶✾✾✻✮✳ ❈♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ♦❢ ❇❛✐r❡ ♠❡❛s✉r❡s✳ ❙t✉❞✐❛ ▼❛t❤✳ ✷✼ ✷✺✶✲✷✻✽✳ ▼❘✵✷✵✵✼✶✵✳ ❬✼❪ ❊❚❍■❊❘✱ ❙✳ ◆✳ ❛♥❞ ❑❯❘❚❩✱ ❚✳ ●✳ ✭✶✾✽✻✮✳ ▼❛r❦♦✈ ♣r♦❝❡ss❡s ✿ ❈❤❛r❛❝t❡r✐③❛t✐♦♥ ❛♥❞ ❈♦♥✈❡r❣❡♥❝❡✳ ❲✐❧❡②✱ ◆❡✇ ❨♦r❦✳ ▼❘✽✸✽✵✽✺✳ ❬✽❪ ❋❖▲▲❆◆❉✱ ●✳ ❇✳ ✭✶✾✾✾✮✳ ❘❡❛❧ ❆♥❛❧②s✐s ✿ ▼♦❞❡r♥ ❚❡❝❤♥✐q✉❡s ❛♥❞ ❚❤❡✐r ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s✱ ✷♥❞ ❡❞✳ ❲✐❧❡②✱ ◆❡✇ ❨♦r❦✳ ▼❘✶✻✽✶✹✻✷✳ ❬✾❪ ❖❈❖◆❊✱ ❉❆◆■❊▲ ❀ P❆❘❉❖❯❳✱ ❊t✐❡♥♥❡✳ ❆s②♠♣t♦t✐❝ st❛❜✐❧✐t② ♦❢ t❤❡ ♦♣t✐♠❛❧ ✜❧t❡r ✇✐t❤ r❡s♣❡❝t t♦ ✐ts ✐♥✐t✐❛❧ ❝♦♥❞✐t✐♦♥✳ ❙■❆▼ ❏✳ ❈♦♥tr♦❧ ❖♣t✐♠✳ ✸✹ ✭✶✾✾✻✮✱ ♥♦✳ ✶✱ ✷✷✻✲✷✹✸✳ ❬✶✵❪ ❖❈❖◆❊ ❉✳ ▲✳✱ ❈▲❆❘❑ ❏✳ ▼✳ ❈✳✱ ❈❖❯▼❆❘❇❆❚❈❍ ❈✳✱ ❘❡❧❛t✐✈❡ ❡♥tr♦♣② ❛♥❞ ❡rr♦r ❜♦✉♥❞s ❢♦r ✜❧t❡r✐♥❣ ♦❢ ▼❛r❦♦✈ ♣r♦❝❡ss❡s✳ ▼❛t❤✳ ❈♦♥tr♦❧ ❙✐❣♥❛❧s ❙②st❡♠s ✭✶✾✾✾✮ ✶✷ ✿ ✸✹✻ ✲ ✸✻✵✳ ❬✶✶❪ ❘❯❉■◆✱ ❲✳ ✭✶✾✾✶✮✳ ❋✉♥❝t✐♦♥❛❧ ❆♥❛❧②s✐s✱ ✷♥❞ ❡❞✳ ▼❝●r❛✇ ✲ ❍✐❧❧ ■♥❝✳✱ ◆❡✇ ❨♦r❦✳ ▼❘✶✶✺✼✽✶✺✳ P❤❛♥ ❱❛♥ ▲♦♥❣ ❊♠ ✶✼ ... dx)πn−1 (du) (u, dx)πn−1 (du) ❙♦✐t ν ✉♥❡ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥ ❞❡ ♣r♦❜❛❜✐❧✐té ❞✐✛ér❡♥t❡ ❞❡ ν ❡t s♦✐t π n ❞é✜♥✐ ♣❛r ré❝✉r❡♥❝❡ g(x, Yn ) (u, dx)π n−1 (du) π n (dx) = g(x, Yn ) (u, dx)π n−1 (du) π0... ❞é♥♦♠❜r❛❜❧❡ H Y ⊂ F Y , sup h ∞ t❡❧ q✉❡ h∈H Y Pν|F Y 0,∞ ♦ù · − Pν|F Y 0,∞ hdPν hdPν − = sup VT pour tout ν, ν ∈ P (S), h∈H Y ❞és✐❣♥❡ ❧❛ ♥♦r♠❡ ✈❛r✐❛t✐♦♥ t♦t❛❧❡✳ TV ❉é♠♦♥str❛t✐♦♥✳ Y ❖♥ ❛ F0,∞ =... ♠♦❞è❧❡ ❞❡ ✜❧tr❛❣❡ ❡st ✉♥✐❢♦r♠é♠❡♥t ♦❜s❡r✈❛❜❧❡✳ ❆❧♦rs lim E πn − π n n→∞ ❉é♠♦♥str❛t✐♦♥✳ BL ν ✷ = pour tout ν ❙♦✐t ξ ∈ H Y ✱ ♦♥ ❛ ❛❧♦rs ♣❛r ▲❡♠♠❡ ✷✳✷✱ Eπn (ξ) − E πn (ξ) Y Y E ξ ◦ θn | F0,n − E