Các dạng bài tập vận dụng phương trình bậc hai trên tập số phức

Phương trình bậc hai với hệ số thực có hai nghiệm là số phức liên hợp.?. Dạng 3: Phương trình quy về phương trình bậc hai 1.[r]

BÀI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC A LÍ THUYẾT

1 Căn bậc hai phức

Định nghĩa

Cho số phức w Mỗi số phức z thỏa mãn z2 w được gọi bậc hai w

Tìm bậc hai số phức w

 w số thực

+ Nếu w0 w có hai bậc hai i w  i w

+ Nếu w0 w có hai bậc hai w  w

 w a bi  a b, , b0

Nếu z x iy  bậc hai w x iy 2  a bi

Do ta có hệ phương trình:

2

2x

  

 



x y a

y b

Mỗi nghiệm hệ phương trình cho ta bậc hai w

2 Giải phương trình bậc hai với hệ số thực Xét phương trình az2bz c 0 a b, , c;a0 Ta có  b24ac

 Nếu  0 phương trình có nghiệm thực

2   b

x a

 Nếu  0 phương trình có hai nghiệm thực phân biệt:

1 2

    b

x

a ; 2

    b

x

a

 Nếu  0 phương trình có hai nghiệm thực phân biệt:

1

2

  

 b i

x

a ;

2

  

 b i

x

a

Hệ thức Vi-ét phương trình bậc hai với hệ số thực Phương trình bậc hai ax2bx c 0 a0 có hai nghiệm

Nhận xét:

+) Số có bậc hai là

+) Mỗi số phức khác có hai bậc hai hai số đối (khác 0)

Chú ý:

Mọi phương trình bậc n:

1

0





    

n n

n n

A z A z A z A

phân biệt x1, x2 (thực phức)

1

1      



  



b

S x x

a c P x x

a

B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

Dạng 1: Giải phương trình Tính tốn biểu thức nghiệm 1 Phương pháp giải

Cho phương trình: 2  0

az bz c a b, ,c;a0  Giải pương trình bậc hai với hệ số thực  Áp dụng phép toán tập số phức để biến đổi biểu thức

Ví dụ: Xét phương trình z22z 5 0 a) Giải phương trình tập số phức b) Tính z1  z2

Hướng dẫn giải

a) Ta có:      '  2i

Phương trình có hai nghiệm là: 1 2

z i; z2 2 2i

b) Ta có 2

1   2 2

z z

Suy z1  z2 2 2 2  2 Bài tậ

Bài tập Trong số sau, số nghiệm phương trình z2 1 z z? A.

2  i

B. 

C. 

D. 2  i

Hướng dẫn giải

Chọn A

Ta có z2 1 z z

2 2

2 2 .1 3

2 4

 

        

 

i

z z z

1 3

2 2

1 3

2 2

     

 

 

 

     

 

 

i i

z z

i i

z z

Bài tập Phương trình z2az b 0 a b,  có nghiệm phức 4 i Giá trị a b

A.31 B.5 C.19 D.29

Hướng dẫn giải

Cách 1: Do z 3 4i nghiệm phương trình z2az b 0 nên ta có:

 2      

3 4 i a 4 i   b 3a b  7 4a24 i0

3

4 24 25

    

 

 

  

 

a b a

a b

Do a b 19

Cách 2: Vì z1 3 4i nghiệm phương trình

2  0

z az b nên

2  3

z i nghiệm phương trình cho Áp dụng hệ thức Vi-ét vào phương trình ta có

1    

 



z z a

z z b

   

  

3 4

19 25

3 4

    

   



     

   



i i a a

a b b

i i b

nghiệm phương trình bậc hai với hệ số thực z0 nghiệm phương trình

Bài tập Gọi z0 nghiệm phức có phần ảo dương phương trình z26z34 0 Giá trị 0 2

z i

A. 17 B.17 C. 17 D. 37

Hướng dẫn giải

Chọn A

ra có    ' 25  5i Phương trình có hai nghiệm z  3 5i; z  3 5i

Do z0   3 5i z0    2 i 4i  17

Bài tập Gọi z1 nghiệm phức có phần ảo âm phương trình z22z 5 0 Tọa độ điểm biểu diễn số phức

1 4 i

z mặt phẳng phức

A. P 3; B. N1; 2  C. Q3; 2  D. M 1;

Hướng dẫn giải

Chọn A

Ta có 2 5 0

1          



z i

z z

z i

Theo yêu cầu toán ta chọn z1 1 2i Khi đó:

  

2

7

7 3 2

1 2

 

     

 

i i

i i i

z i

Bài tập Gọi z1, z2 hai nghiệm phức phương trình z24z 5 0 Giá trị biểu thức  2019  2019

11  21

z z

A. 21009 B. 21010 C.0 D. 21010

Hướng dẫn giải

Chọn D

Xét phương trình  2

2

4

2   

        

  

z i

z z z

z i

Khi ta có: z112019z212019 1 i2019  1 i 2019    21009     21009

1 1

 i i  i i

   1009    1009

1

 i i  i  i

 1009     1010  2 505 1010 1010

2 1 2

 i   i i  i  i  

Dạng 2: Định lí Vi-ét ứng dụng 1 Phương pháp giải

Định lí Vi-ét: Cho phương trình: 2  0

az bz c ; a b, ,c; a0

có hai nghiệm phức z1, z2 2

b

z z

a c z z

a

    



 



Ví dụ: Phương trình z24z24 0 có hai nghiệm phức z1, z2 nên

1

z z  ; z z1 224

Chú ý: Học sinh hay nhầm lẫn: z1 z2 b a  

2 Bài tập

Bài tập 1: Gọi z1, z2 hai nghiệm phức phương trình

2 2 5 0

z  z  Giá trị biểu thức 2

1 z z

A.14 B.–9 C.–6 D.7

Hướng dẫn giải

Chọn C

Gọi z1, z2 nghiệm phương trình z22z 5 0 Theo định lí Vi-ét ta có:

1 2

z z

z z

 



 



Suy 2  2

1 2 2 2.5 z z  z z  z z    

A. z22z 3 0 B z22z 5 0 C. z22z 5 0 D z22z 3 0

Hướng dẫn giải

Chọn C

Phương trình bậc hai có hai nghiệm phức liên hợp nên phương trình bậc hai có nghiệm 2 i nghiệm cịn lại 2 i

Khi tổng tích hai nghiệm 2;

Vậy số phức 2 i nghiệm phương trình z22z 5 0

phương trình: +) z22z 3 0

z 12 2i2

  

1

z i

   

1

z i

  

+) z22z 5 0

 2 2

1

z i

  

1

z i

   

z i

    +) z22z 5 0

 2 2

1

z i

  

1

z i

   

z i

  

+) z22z 3 0

 2 2

1

z i

  

1

z i

   

1

z i

   

Bài tập 3: Kí hiệu z1, z2 nghiệm phức phương trình 2z24z 3 0 Tính giá trị biểu thức

 

1 2 P z z i z z

A. P1 B.

2

P C. P D.

2 P

Hướng dẫn giải

Chọn D

Ta có z1, z2 hai nghiệm phương trình

2z 4z 3 Theo định lý Vi-ét ta có

1

1 2

2

z z

z z

   



 



Ta có      

2

2 2

3 2 2 2

2 2

P z z i z z   i   i         

Bài tập 4: Gọi z1, z2 hai nghiệm phức phương trình Cách khác:

2 4 7 0

z  z  Giá tị 3

 

P z z

A.–20 B.20

C.14 D. 28

Hướng dẫn giải

Chọn A

Theo định lý Vi-ét ta có 2

4

z z

z z

 



 



Suy 3   2

1 2 1 2

z z  z z z z z z

   2 

1 2

z z z z z z

   

  4 3.7 20

   

2 4 7 0

z  z 

z 22 3i2

  

1

2

2

2

z i

z i

    

  

Do đó:

3 

z z

  3 3

2 3i 3i

   

20  

Bài tập 5: Gọi z1 z2 hai nghiệm phức phương trình 3z22z27 0 Giá trị 2

z z z z

A.2 B.6 C. D.

Hướng dẫn giải

Chọn A

Áp dụng định lý Vi-ét, ta có 1 2

z z  z z1 2 9 Mà z1  z2  z z1  z z1  3

Do 2 1  2

2

.3 3

3

z z z z z z  z z  

Bài tập 6: Cho số thực a2 gọi z1, z2 hai nghiệm phức phương trình

2 2 0

z  z a  Mệnh đề sau sai?

A z1z2 số thực B z1z2 số ảo C.

2

z z

z  z số ảo D.

1 2

z z

z  z số thực

Hướng dẫn giải

Chọn C

Ta có 2

b

z z

a

    Đáp án A

Phương trình bậc hai với hệ số thực có hai nghiệm số phức liên hợp Gọi z1 x yi; x y,  nghiệm, nghiệm lại z2  x yi

 2 2

1 2

1 2

2 1 2

2

z z z z

z z z z a

z z z z z z a

 

 

    

Dạng 3: Phương trình quy phương trình bậc hai 1 Phương pháp giải

 Nắm vững cách giải phương trình bậc hai với hệ số thực tập số phức  Nắm vững cách giải số phương trình

quy bậc hai, hệ phương trình đại số bậc cao;…

Ví dụ: Giải phương trình: z4z2 6 0 tập số phức

Hướng dẫn giải

Đặt z2 t, ta có phương trình:

2 6 0

2

t

t t

t

        

Với t3 ta có z2   3 z 3 Với t 2ta có z2     2 z i 2

Vậy phương trình cho có bốn nghiệm

z  ; z i 2 Bài tậpmẫu

Bài tập 1: Tổng môđun bốn nghiệm phức phương trình 2z43z2 2 0

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải

Chọn A

Ta có:

2

4

2

2 2

2

2 1 1

2

2

2

z z z

z z z i

z i

z i

  

  

  



      

    

 

   

Khi đó, tổng mơđun bốn nghiệm phức phương trình cho

2

2

2 i i

     

Bài tập 2: Kí hiệu z1, z2, z3, z4 bốn nghiệm phức phương trình z44z2 5 0 Giá trị

2 2

1

z  z  z  z

A. 2 5 B.12 C.0 D. 2

Hướng dẫn giải

Chọn B

Ta có:

2

4

2

1 1

4

5

5

z z z

z z

z i

z

z i

    

  

     

 

 

Phương trình có bốn nghiệm là: z11, z2  1, z3 i 5, z4i

Do đó: 2 2 2    2

1 1 5 12

z  z  z  z     

Bài tập 3: Gọi z1, z2, z3, z4 nghiệm phức phương trình z2z 24 z2 z 12 0 Giá trị biểu thức S  z12 z22 z32 z42

A. S 18 B. S 16 C. S 17 D. S 15

Hướng dẫn giải

Chọn C

Ta có: z2z 24 z2 z 12 0

Đặt t z 2z, ta có 4 12 0

t

t t

t

 

    

  

Suy ra:

1

2

2

4

2

2 1 23

6

1 23

2

z z

z z i

z

z z

i z

     

      



     

 

  

  

Suy  

2

2

2

2 23 23

1 17

2 2

S              

       

Bài tập 4: Gọi z1, z2 hai nghiệm phương trình

2

z z

z    Khi z1z2

A.1 B.4 C.8 D.2

Hướng dẫn giải

Chọn A

Điều kiện: z0 Ta có:

2

4

2

4 4

z z z z z z z

z z z

   

              

 

 

2

1 15 15

2 2

4

1 15 15

2 2

z i z i

z z

z i z i

 

     

 

 

     

 

     

 

 

Vậy 1 2 15 15 1

2 2

z z    i  i   

Bài tập 5: Cho số thực a, biết phương trình z4az2 1 0 có bốn nghiệm

z , z2, z3, z4 thỏa mãn     

1 4 4 441

A

19

a a

      

B

1 19

a a

      

C

1 19

2

a a

       

D 19

2

a a

     

Hướng dẫn giải

Chọn B

Nhận xét: z2 4 z2  2i 2 z2i z 2i Đặt f x z4az21, ta có:

       4     

1

1

4 4 k k 2

k k

z z z z z i z i f i f i

 

          

 4 2  4 2   2

16i 4ai 16i 4ai 17 4a

      

Theo giả thiết, ta có  2

1

17 441 19

2

a a

a

   

  

  

Bài tập 6: Cho số phức z thỏa mãn 11z201810iz201710iz 11 0 Mệnh đề đúng?

A 2 z 3 B 0 z 1 C 1 z 2 D 1

2 z 

Hướng dẫn giải

Chọn D

Ta có 201711 10  11 10 2017 11 10 2017 11 10

11 10 11 10

iz iz

z z i iz z z

z i z i

 

      

 

Đặt z a bi  có

 

      

2 2

2 2

2

100 220 121

11 10 10 11 100

11 10

11 10 11 10 121 11 10 121 220 100

a b b

i a bi b a

iz

z i a bi i a b a b b

  

   

   

       

Đặt t z t0 ta có phương trình 2017 2

100 220 121

121 220 100

t b

t

t b

 



 