Hàm chính quy nhận giá trị trong đại số clifford phụ thuộc tham số và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI - TẠ THỊ THANH MAI HÀM CHÍNH QUY NHẬN GIÁ TRỊ TRONG ĐẠI SỐ CLIFFORD PHỤ THUỘC THAM SỐ VÀ ỨNG DỤNG LUẬN ÁN TIẾN SĨ KHOA HỌC CHUN NGÀNH: TỐN CƠNG NGHỆ NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TSKH LÊ HÙNG SƠN Hà Nội - 2009 Lời cảm ơn Để hoàn thành luận văn này, đánh dấu việc hoàn thành chương trình đào tạo Thạc sĩ Tốn cơng nghệ mình, lời đầu tiên, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Giáo sư - Tiến sĩ Khoa học Lê Hùng Sơn, người thầy tận tâm bảo tác giả suốt trình theo học cao học Giáo sư người định hướng nghiên cứu, đưa dẫn quý báu từ ý tưởng luận văn hình thành lúc thảo hoàn thiện Tác giả xin chân thành cảm ơn Giáo sư Wolfgang Tutschke cho lời khuyên bổ ích cho phép sử dụng số tài liệu tham khảo quan trọng giúp hoàn thiện kết luận văn Tác giả xin trân trọng cảm ơn động viên giúp đỡ thầy cô giáo, bạn bè đồng nghiệp khoa Tốn - Tin ứng dụng, seminar "Phương trình vi phân đạo hàm riêng" tạo môi trường học tập nghiên cứu thuận lợi trao đổi ý kiến đóng góp q suốt q trình cơng tác, học tập tác giúp luận văn hoàn thành Tác giả: Tạ Thị Thanh Mai Mở đầu Trong hai thập kỷ gần đây, giải tích Clifford nhánh nghiên cứu phát triển mạnh mẽ nhanh chóng trở thành cơng cụ quan trọng có nhiều ứng dụng từ nội toán học đến vấn đề vật lý hay kỹ thuật Đặc biệt thời gian gần đây, giải tích Clifford có vấn đề thời quan tâm số nhóm nghiên cứu cơng bố kết đại số Clifford phụ thuộc tham số Đại số Clifford cổ điển định nghĩa cấu trúc quan hệ  X = −1(i = 1, n) i X X + X X = 0(j, k = 1, n, j = k) j k k tổng quát hóa bởi:  X ki i X X + X X j k k j = −αi (x)(i = 1, n) j = 2γjk (x)(j, k = 1, n, j = k) Bước phát triển mang lại kết tổng quát giải tích Clifford Ở đây, việc xem xét hàm quy nhận giá trị đại số Clifford phụ thuộc tham số lĩnh vực nghiên cứu bắt đầu có tính thời cao Vì lý trên, đề tài chọn "Hàm quy nhận giá trị đại số Clifford phụ thuộc tham số ứng dụng" Cấu trúc luận văn gồm ba chương: • Chương Đại số Clifford với tham số • Chương Hàm quy nhận giá trị Clifford với tham số • Chương Cơng thức Cauchy-Pompeiu Clifford với tham số Chương trình bày việc xây dựng đại số Clifford phụ thuộc tham số từ cấu trúc đại số Clifford cổ điển, thêm vào dụng ý đối chiếu so sánh số tính chất đại số Chương trình bày khái niệm hàm quy nhận giá trị đại số Clifford phụ thuộc tham số với cách tiếp cận khái niệm hàm quy mối liên quan với toán tử đại số quen thuộc Kết chương xây dựng nhân Cauchy đại số Clifford phụ thuộc tham số, ngược lại phản ví dụ chứng tỏ khơng tồn hàm nhân Cauchy trường hợp xét với khoảng cách Euclid Chương trình bày phát triển công thức Cauchy-Pompeiu từ đại số biết đến đại số Clifford phụ thuộc tham số thông qua phương pháp quen thuộc vận dụng công thức Green-Gauss tính chất quy hàm nhân Cauchy đại số Clifford phụ thuộc tham số Ý tưởng xuyên suốt cách bố cục trình bày luận văn cố gắng dẫn đến kết đẹp đường tự nhiên Những kết bước đầu đạt luận văn gợi hướng nghiên cứu có triển vọng phát triển tính chất, cơng thức, định lý từ đại số Clifford cổ điển đến đại số Clifford phụ thuộc tham số Chúng hy vọng vấn đề cịn tiếp tục thầy giáo, bạn bè đồng nghiệp, học viên, nghiên cứu sinh quan tâm nghiên cứu thời gian tới Mặc dù có nhiều nỗ lực tác giả, song chắn luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót, mong nhận ý kiến đóng góp thầy cô bạn bè đồng nghiệp, độc giả quan tâm Hà Nội, tháng 8/2009 Mục lục Đại số Clifford với tham số 1.1 1.2 Định nghĩa tính chất đại số Clifford 1.1.1 Định nghĩa đại số Clifford 1.1.2 Đại số Clifford C (n) 11 Đại số Clifford với tham số 16 1.2.1 Định nghĩa 16 1.2.2 Một số ví dụ 17 1.2.3 Đại số Clifford "exotic" 19 Hàm quy nhận giá trị Clifford có tham số 21 2.1 Định nghĩa hàm quy đại số Clifford 21 2.1.1 Hàm nhận giá trị đại số Clifford 21 2.1.2 Một số không gian hàm nhận giá trị đại số Clifford 21 2.1.3 Toán tử Dirac 23 2.1.4 Tốn tử Cauchy-Riemann giải tích Clifford 28 2.2 Ví dụ hàm quy đại số cụ thể 28 2.2.1 Hàm quy khơng gian phức C 28 2.2.2 Hàm quy khơng gian Quaternion H 30 MỤC LỤC 2.2.3 2.3 Hàm quy không gian C (n) 35 Hàm quy đại số Clifford có tham số 37 2.3.1 Hàm nhân Cauchy C (n) 37 2.3.2 Biến đổi Todorescu 40 2.3.3 Ví dụ hàm nhân A2 (α, β, γ) với khoảng cách Euclid 47 2.3.4 Hàm nhân Cauchy đại số Clifford có tham số 53 Công thức Cauchy-Pompeiu Clifford với tham số 3.1 60 Cơng thức tích phân Green-Gauss cho hàm nhận giá trị Clifford 60 3.1.1 Công thức tích phân Gauss cho tốn tử Cauchy - Riemann 60 3.1.2 Công thức Green-Gauss cho toán tử CauchyRiemann D 62 3.2 Công thức Cauchy-Pompeiu giải tích Clifford 64 3.2.1 Cơng thức Cauchy-Pompeiu giải tích phức 64 3.2.2 Cơng thức Cauchy-Pompeiu giải tích Clifford 66 3.3 Công thức Cauchy-Pompeiu đại số Clifford với tham số 67 Chương Đại số Clifford với tham số 1.1 1.1.1 Định nghĩa tính chất đại số Clifford Định nghĩa đại số Clifford Định nghĩa 1.1 Cho e1 , e2 , , en sở Rn e0 vector đơn vị thỏa mãn: e0 ei = ei e0 = ei ∀i = 1, 2, , n ei ej + ej ei = e20 = e21 = = e2p = e2p+1 = e2p+2 = = e2p+q = −1, p + q = n Ta thu được: e0 , e1 , , en ; e1 e2 , , en−1 en ; e1 e2 e3 , , en−2 en−1 en ; ; e1 e2 en sở cấu trúc đại số, ký hiệu C p,q với phần tử đơn vị e0 Ở phép cộng phép nhân với số thực định nghĩa thông thường theo tọa độ Hơn nữa, thêm điều kiện e1 e2 en = ±1 p − q ≡ 1(mod4) ta thu cấu trúc đại số gọi đại số Clifford phổ dụng C p,q Chương Đại số Clifford với tham số Chú ý 1.1 a) Rõ ràng C p,q không gian vector thực với sở gồm 2n phần tử (vì từ định nghĩa 1.1 ta bỏ qua bình phương ei ) Đại số Clifford khơng giao hốn với n > (do ei ej = −ej ei ) có tính chất kết hợp phân phối Nếu bình phương số thành phần sở 0, ta nhận cấu trúc đại số mới, gọi đại số Clifford - Grassmann b) Ký hiệu lại sở C p.q : ei1 i2 ip := ei1 ei2 eip dùng số A cho tập Pn , Pn = {1, 2, , n}, số Clifford x viết dạng: x= xA eA A∈Pn Ký hiệu |A| số phần tử A c) Với p = 0, q = n, ta ký hiệu C (n) := C 0,n d) Đại số Clifford không gian vector thực V hiểu theo nghĩa dạng tồn phương Q(x) V Khi phép nhân đơn giản biểu thức: x2 = Q(x) Với trường hợp đại số Clifford xác định định nghĩa 1.1 ta có: Q(x) = x21 + x22 + + x2p − x2p+1 − x2p+2 − − x2p+q (p + q = n) Thật vậy: e2i = Q(ei ) = 1(i = 1, p) e2j = Q(ej ) = −1(j = p + 1, p + q) (ei + ej )2 = Q(ei + ej ) = e2i + e2j Chương Đại số Clifford với tham số e2i + ei ej + ej ei + e2j = e2i + e2j Từ ei ej + ej ei = Như cặp (V, Q) xác định đại số Clifford Ví dụ 1.1 a) n = 0, C 0,0 có sở e0 ∈ R Với x ∈ R, x = x.e0 ta có C 0,0 trường số thực R b) n = 1, p = 0, C 0,1 có sở e0 , e1 e21 = −1 Ký hiệu e0 = 1, e1 = i Với x ∈ C Ta nhận C 0,1 0,1 ta có x = x1 + x2 i trường số phức C c) Đại số số đối ngẫu: n = 1, p = 1, C 1,0 có sở e0 , e1 thỏa mãn e21 = Với x ∈ C Trong C 1,0 1,0 , x = x1 e0 + x2 e1 có ước 0, (1 + e1 )(1 − e1 ) = − e1 + e1 khác Ta gọi C 1,0 đại số đối ngẫu d) Đại số số thực Quaternion: n = 2, p = 0, C 0,2 có sở e0 = 1, e1 , e2 , e1 e2 với e21 = e22 = −1 Với x ∈ C 2,0 , x Ta thấy sở C = x1 + x2 e1 + x3 e2 + x4 e12 2,0 tương ứng với sở H với luật tính tốn Thật vậy, ký hiệu e3 = e1 e2 sở C thỏa mãn: 2.0 Chương Công thức Cauchy-Pompeiu Clifford với tham số62 3.1.2 Công thức Green-Gauss cho tốn tử CauchyRiemann D Trước hết, nhìn lại cơng thức Green-Gauss cho tốn tử CauchyRiemann giải tích phức ta có ∂z ωdxdy = Ω 2i ωdz ∂Ω (với ω hàm nhận giá trị phức) Sử dụng quy tắc nhân giải tích phức ∂z (f.g) = ∂z f.g + f.∂z g Áp dụng công thức tích phân Green-Gauss cho hàm ω = f.g ta thu được: (∂z f.g + f.∂z g)dxdy = Ω 2i f gdz (3.5) ∂Ω Cách phát triển tự nhiên cho cơng thức tích phân Green-Gauss cho tốn tử Cauchy-Riemann giải tích phức áp dụng cơng thức tích phân Gauss (3.4) cho hàm u.v (với u, v hai hàm nhận giá trị Clifford) Tuy nhiên, Clifford, quy tắc nhân khơng cịn Xét ví dụ sau: Hàm u = x1 e1 − x2 e2 đại số A2 , dễ kiểm tra u vừa quy trái, vừa quy phải Nếu quy tắc nhân A2 cịn hiển nhiên u2 hàm quy (chú ý quy tắc nhân ∂f cho biết tích hai hàm chỉnh hình chỉnh hình) Mà u2 = −x21 − x22 nên Du2 = −2x1 e1 − 2x2 e2 = u2 D chứng tỏ u2 khơng quy trái, khơng quy phải Tuy nhiên tồn cơng thức tích phân Green-Gauss có dạng Chương Công thức Cauchy-Pompeiu Clifford với tham số63 (3.5) cho tốn tử Cauchy-Riemann D Để có cơng thức này, ta áp dụng cơng thức tích phân Gauss cho hàm thực tích hàm thành phần hàm nhận giá trị Clifford (khả vi liên tục) Định lí 3.2 Cho Ω miền Rn , hàm u, v nhận giá trị đại số Clifford An thuộc lớp C(Ω, An ) Khi có cơng thức tích phân Green-Gauss: (vD.u + v.Du) = v.dσ.u Ω (3.6) ∂Ω Chứng minh Giả sử hàm u v có dạng u= uA eA v= vA eA A A Áp dụng công thức (3.1) với f0 ≡ f1 ≡ ≡ fj−1 ≡ 0, fj ≡ vB uA , fj+1 ≡ ≡ fn ≡ ta (∂j vB uA + vB ∂j uA )dx = Ω vB Nj dµ.uA (3.7) ∂Ω Nhân hai vế với ej lấy tổng theo j (DvB uA + vB DuA )dx = Ω vB dσ.uA ∂Ω = D(vB eB ).(uA eA ) + vB eB D(uA eA ) Ω = (vB eB )dσ.(uA eA ) ∂Ω Lấy tổng A ta có (D(vB eB ).u + vB eB Du) = Ω (vB eB )dσ.u ∂Ω Lấy tổng B ta thu vdσ.u Dv.u + v.Du = Ω ∂Ω Chương Công thức Cauchy-Pompeiu Clifford với tham số64 Ta thấy công thức tích phân Gauss (3.4) thu từ công thức thay v ≡ Tiếp theo ta xây dựng cơng thức Cauchy-Pompeiu cho tốn tử Cauchy-Riemann giải tích Clifford Điều thực cách áp dụng công thức Green-Gauss (3.5) cho hàm u nhận giá trị Clifford khả vi liên tục v = E(x, ξ) Ở E(x, ξ) hàm nhân Cauchy xét phần (2.3.1) Do hàm có kỳ dị yếu ξ nên ta phải tìm cách khử kỳ dị Ta đề cập đến vấn đề phần 3.2.2 chương 3.2 Cơng thức Cauchy-Pompeiu giải tích Clifford 3.2.1 Cơng thức Cauchy-Pompeiu giải tích phức Định lí 3.3 Cho hàm phức f có đạo hàm liên tục Ω, ta có cơng thức f (ξ) = 2πi f (z) dz − π ∂Ω z − ξ ∂zf (z) Ω z−ξ (3.8) Chứng minh Để chứng minh công thức (3.8), ta áp dụng công thức Green-Gauss hàm g(z) = f (z) z−ξ với ξ điểm cố định Ω Hàm g(z) hàm phức có kỳ dị lập ξ Tuy g khơng có đạo hàm miền Ω ta hạn chế xét miền Ωε : Ωε = Ω \ Bε (ξ) Chương Công thức Cauchy-Pompeiu Clifford với tham số65 Với Bε (ξ) lân cận bán kính ε điểm ξ Ta có ∂z gdxdy = Ωε Do 2i gdz Ωε hàm chỉnh hình Ωε nên z−ξ f (z) z−ξ ∂z = ∂z f z−ξ Do Ωε ∂z f dxdy = z−ξ 2i f (z) dz − 2i ∂Ω z − ξ f (z) dz z − ξ |z−ξ|=ε (3.9) Khi cho ε → 0, tích phân (3.9) dần hội tụ ∂z f dxdy z − ξ Ω Đối với tích phân thứ hai: 2i f (z) f (ξ) f (z) − f (ξ) dz = dz + dz 2i |z−ξ|=ε z − ξ 2i |z−ξ|=ε z−ξ |z−ξ|=ε z − ξ 1 sup |f (z) − f (ξ)| 2πξ ≤ f (ξ)2πi + 2i 2i |z−ξ|=ε ε Cho ε → 2i f (z) dz → π.f (ξ) |z−ξ|=ε z − ξ Do từ (3.9) cho ε → ta thu ∂z f dxdy = 2i Ω z−ξ f (z) dz − π.f (ξ) ∂Ω z − ξ Và f (z) = 2πi f (z) dz − π ∂Ω z − ξ ∂z f dxdy z − ξ Ω Chương Công thức Cauchy-Pompeiu Clifford với tham số66 3.2.2 Công thức Cauchy-Pompeiu giải tích Clifford Định lí 3.4 Cho hàm f (z) nhận giá trị Clifford An có đạo hàm liên tục miền Ω ⊂ Rn+1 với biên đủ trơn Khi ta có cơng thức: E(z, ξ).dσ.f − f (ξ) = ∂Ω E(z, ξ).Df.dz (3.10) Ω Trong đó: ξ điểm Ω D ký hiệu toán tử Cauchy-Riemann z−ξ nhân Cauchy E(z, ξ) = ωn+1 |z − ξ|n+1 với ωn+1 độ đo diện tích bề mặt hình cầu đơn vị Rn+1 Chứng minh Gọi Bε (ξ) lân cận bán kính ε điểm ξ Đặt Ωε = Ω \ Bε (ξ) Áp dụng công thức Green-Gauss cho hai hàm f, E(x, ξ) ý E(z, ξ) hàm quy Ωε ta có E(z, ξ)Df.dz = Ωε E(z, ξ)dσ.f + E(z, ξ)dσ.f |z−ξ|=ε ∂Ω Xét biểu thức thứ hai bên vế phải (2.6) ta có z − ξ = −ε(N0 e0 + N1 e1 + + Nn en ) kéo theo z − ξ = −ε(N0 e0 − N1 e1 − − Nn en ) Và |z − ξ|2 = ε2 Hơn dσ = (N0 e0 + + Nn en )dµ (N0 e0 + + Nn en )(N0 e0 − − Nn en ) = (3.11) Chương Công thức Cauchy-Pompeiu Clifford với tham số67 Nên z−ξ (N0 e0 + + Nn en )dµ ωn |z − ξ|n+1 −ε dµ = ωn εn+1 =− dµ ωn εn E(z, ξ)dσ = Vậy E(z, ξ)dσ.f = − |z−ξ|=ε f (z) − f (ξ) dµ− ωn εn ωn εn−1 |z−ξ|=ε dµ f (ξ) |z−ξ|=ε Dễ thấy lim − ε→0 lim − ε→0 f (z) − f (ξ) dµ ωn ε n |z−ξ|=ε ωn εn−1 =0 dµ f (ξ) = −f (ξ) |z−ξ|=ε Định lý chứng minh hoàn toàn 3.3 Công thức Cauchy-Pompeiu đại số Clifford với tham số Cho Ω miền bị chặn Rn+1 với biên đủ trơn Xét đại số Clifford An (2, αj , γij )(αj > 0) với sở 1, e1 , , en , e12 , , e12 n Giả sử u, v hàm nhận giá trị Clifford khả vi liên tục Ω đại số Clifford cổ điển, dσ yếu tố độ đo Clifford xác định bởi: n dσ = ej Nj dµ j=0 với N = (N0 , , Nn ) vector pháp tuyến đơn vị ngồi Ω dµ yếu tố độ đo vô hướng ∂Ω Chương Công thức Cauchy-Pompeiu Clifford với tham số68 Ta có cơng thức tích phân Gauss cổ điển (vD.u + v.Du)dx = vdσ.u(3.6) Ω ∂Ω n ej ∂j toán tử Cauchy-Riemann A2 (2, αj , γij ) Giả sử D = j=0 Giả thiết thêm DDu = elliptic hàm E(x, ξ) định nghĩa  E(x, ξ) = ρ  n  (x0 − ξ0 ) − n+1 ei Aik (xk − ξk ) i,k=1 có điểm kỳ dị x = ξ Để áp dụng (3.6) với u = E(x, ξ) ta phải khử kỳ dị ξ Xét Ωε = Ω \ Uε (ξ) với Uε (ξ) ε− lân cận ξ: Do DE(x, ξ) = Ωε nên từ (3.6) kéo theo vD.E(x, ξ) = v.dσ.E(x, ξ) + Ωε v.dσ.E(x, ξ) (3.12) |x−ξ|=ε ∂Ω Mà DDu = elliptic nên khoảng cách non-Euclidean ρ định nghĩa (2.10) đánh giá ρ ≥ const.r với r khoảng cách Euclid hai điểm x ξ Suy |xj − ξj | |xj − ξj | ≤ const ≤ const ∀j = 0, n ρn+1 rn+1 rn Do E(x, ξ) có kỳ dị yếu ξ, tức lim ε→0 vD.E(x, ξ)dx = Ωε vD.E(x, ξ)dx Ω Đối với tích phân thứ hai vế phải |x − ξ| = ε; xj = ξj + εyj ∀j = 0, n y = (y0 , , yn ) thuộc hình cầu đơn vị Chương Cơng thức Cauchy-Pompeiu Clifford với tham số69 Khi  E(x, ξ) =  y0 − εn  n ei Aik yk  i,k=1 Mặt khác ta có dµ = εn dµ1 với dµ1 yếu tố độ đo hình cầu đơn vị Như tích phân sau không phụ thuộc vào ε mà phụ thuộc vào giá trị tham số αj , γij cấu trúc quan hệ dσ.E(x, ξ) |x−ξ|=ε Ta ký hiệu giá trị tích phân c(αj , γij ) Rõ ràng c(αj , γij ) phụ thuộc liên tục vào αj γij Nếu αj = γij = ta có Aik = δik Trong trường hợp ta có (y0 , , yn ) = −(N0 , , Nn ) hệ −dσE(y, 0) = (e0 N0 + e1 N1 + + en Nn )(N0 − e1 N1 − − en Nn ) = (N02 + N12 + + Nn2 )dµ = 1.dµ1 Từ ta có c(1, 0) = ωn+1 với ωn+1 độ đo bề mặt hình cầu đơn vị Rn+1 Do c(αj , γij ) phụ thuộc liên tục vào αj γij nên c(αj , γij ) = |αj | < c γij < c với c đủ nhỏ Mặt khác, v liên tục nên giá trị v.dσ.E(x.ξ) |x−ξ|=ε v(ξ).dσ.E(x, ξ) |x−ξ|=ε sai khác lượng nhỏ với ε đủ nhỏ Mà v(ξ).dσ.E(x, ξ) = v(ξ).c(αj , γij ) |x−ξ|=ε Chương Công thức Cauchy-Pompeiu Clifford với tham số70 Do cho ε → (3.12) ta có cơng thức Cauchy-Pompeiu đại số Clifford A2 (2, αj , γij ) Định lí 3.5 Giả sử v hàm khả vi liên tục, nhận giá trị đại số A2 (2, αj , γij ) Khi ta có v.dσ.E(x, ξ) − v(ξ).c(αj , γij ) = ∂Ω vD.E(x, ξ)dx Ω với ξ Ω Rõ ràng, định lý 3.5 dẫn tới cơng thức tích phân Cauchy cho hàm quy phải (vD = 0) v(ξ).c(αj , γij ) = v.dσ.E(x, ξ) ∂Ω Do E(x, ξ) hàm quy phải nên với hàm u khả vi liên tục ta có cơng thức Cauchy-Pompeiu: E(x, ξ).dσ.u − d(αj , γij ).u(ξ) = ∂Ω E(x, ξ).Du.dx Ω với d(αj , γij ) = − E(x, ξ).dσ |x−ξ|=ε Kết luận Luận văn tìm hiểu trình bày cách có hệ thống số kiến thức sở cần thiết cho đề tài: đại số Clifford cổ điển đại số Clifford phụ thuộc tham số cách tiếp cận đại số khác từ đại số Clifford; khái niệm, công thức giải tích Clifford hàm quy, hàm nhân Cauchy, công thức Green-Gauss, công thức Cauchy-Pompeiu, Các kết đạt luận văn là: • Đưa công thức xác định nhân Cauchy hàm quy nhận giá trị đại số Clifford phụ thuộc tham số • Tìm phản ví dụ chứng tỏ không tồn hàm nhân Cauchy trường trường hợp xét với khoảng cách Euclid • Trình bày công thức Cauchy-Pompeiu hàm đủ trơn nhận giá trị đại số Clifford phụ thuộc tham số Luận văn tiếp tục nghiên cứu, phát triển theo hướng: • Tìm hiểu ứng dụng khác lý thuyết hàm nhận giá trị đại số Clifford phụ thuộc tham số • Mở rộng kết khác có giải tích Clifford cổ điển sang giải tích Clifford phụ thuộc tham số 71 Ti liu tham kho [1] Klaus Gă urlerbeck, Klaus Habetha, Wolfgang Sprăobig Holomorphic Functions in the Plane and n- dimensional Space, Birkhăauer, Basel-Boston-Berlin 2008 [2] Le Hung Son, Wolfgang Tutschke Generationalzation of complex function theory, Course notes, Hanoi 2007 [3] Wolfgang Tutschke, Carmen Judith Vanegas A boundary value problem for monogenic functions in parameter-depending Clifford algebras, (article) [4] Wolfgang Tutschke, Carmen Judith Vanegas Clifford Algebras depending on parameters and their application to partial differential equations, (article) [5] Wolfgang Sprăossig, Klaus Gă urlerbeck, Quaternion and Clifford analysis with applications to fluid flow problems, Lecture notes, Freiberg University of Mining and Technology, Bauhaus University Weimar, 2007 [6] Klaus Gă urlerbeck, Wolfgang Sprăobig, Quaternion Analysis and Elliptic Boundary value problems, Akademie - Verlag Berlin, 1989 72 TÀI LIỆU THAM KHẢO 73 [7] Bernd Goldschmidt, "Existence Theorems for Overdetermine Systems of Partial Differential Equations of First Order", Math.Nachr, 1984, pp 233 - 250 [8] Klaus Gă urlebeck and Wolfgang Sprăossig, Quaternionic Analysis and Elliptic Boundary Value Problems, Akademie - Verlag, Berlin, 1989 [9] Klaus Gă urlebeck and Wolfgang Sprăossig, Quaternionic and Clifford Calculus for Physicists and Engineers, John Wiley and Sons, Chichester - New York - Weinheim - Brisbane - Singapore - Toronto, 1997 [10] Lars Hăormander, An Introduction to Complex Analysis in Several Variables, North Holland Publishing Company, Amsterdam - London, 1973 [11] Le Hung Son, "Matrix Criterions for the Extension of Solutions of a General Linear System of Partial Differential Equations", Complex Variables , 1990, Vol 15 pp 75 - 85 [12] Le Hung Son, "Extension Problem for the Solution of Partial Differential Equations in Rn ", Preprint Nr.956, Technische Hochschule Darmstadt, 1986 [13] R Delanghe, F Sommen and V Soucek, Clifford Algebra and Spinor-Valued Functions, Kluwer Academic Publisher, Dordrecht, Boston, London, 1992 Bản tóm tắt luận văn Thạc sĩ, đề tài HÀM CHÍNH QUY NHẬN GIÁ TRỊ TRONG ĐẠI SỐ CLIFFORD PHỤ THUỘC THAM SỐ VÀ ỨNG DỤNG Tác giả: Tạ Thị Thanh Mai HDKH: GS.TSKH Lê Hùng Sơn Luận văn tìm hiểu hàm quy nhận giá trị đại số Clifford phụ thuộc tham số ứng dụng chúng, cấu trúc thành ba chương: Chương trình bày việc xây dựng đại số Clifford phụ thuộc tham số từ cấu trúc đại số Clifford cổ điển, thêm vào dụng ý đối chiếu so sánh số tính chất đại số Chương trình bày khái niệm hàm quy nhận giá trị đại số Clifford phụ thuộc tham số với cách tiếp cận khái niệm hàm quy mối liên quan với toán tử đại số quen thuộc Kết chương xây dựng nhân Cauchy đại số Clifford phụ thuộc tham số, ngược lại phản ví dụ chứng tỏ khơng tồn hàm nhân Cauchy trường hợp xét với khoảng cách Euclid Chương trình bày phát triển cơng thức Cauchy-Pompeiu từ đại số biết đến đại số Clifford phụ thuộc tham số thông qua phương pháp quen thuộc vận dụng cơng thức Green-Gauss tính chất quy hàm nhân Cauchy đại số Clifford phụ thuộc tham số Các kết đạt được: • Đưa cơng thức xác định nhân Cauchy hàm quy nhận giá trị đại số Clifford phụ thuộc tham số • Tìm phản ví dụ chứng tỏ khơng tồn hàm nhân Cauchy trường trường hợp xét với khoảng cách Euclid • Trình bày công thức Cauchy-Pompeiu hàm đủ trơn nhận giá trị đại số Clifford phụ thuộc tham số Ý tưởng xuyên suốt cách bố cục trình bày luận văn cố gắng dẫn đến kết đẹp đường tự nhiên Những kết bước đầu đạt luận văn gợi hướng nghiên cứu có triển vọng phát triển tính chất, cơng thức, định lý từ đại số Clifford cổ điển đến đại số Clifford phụ thuộc tham số Luận văn tiếp tục nghiên cứu, phát triển theo hướng: • Tìm hiểu ứng dụng khác lý thuyết hàm nhận giá trị đại số Clifford phụ thuộc tham số • Mở rộng kết khác có giải tích Clifford cổ điển sang giải tích Clifford phụ thuộc tham số Regular functions with value in Clifford Algebras depending on parameters and their applications Author: Advisor: Tạ Thị Thanh Mai Prof Dr.Sci Lê Hùng Sơn The structure of thesis includes chapters: Chapter 1: Construction of Clifford Algebras depending on parameters from classical Clifford Algebras and considering of the properties of these Algebras Chapter 2: Definition of Regular function with value in Clifford Algebras depending on parameters The main result is the construction of kernel Cauchy in Clifford Algebras depending on parameters and giving a counterexample to proof that not exit kernel Cauchy in Euclidean distance case Chapter 3: Construction of Cauchy-Pompeiu formula in Clifford Algebras depending on parameters from Cauchy-Pompeiu formula in the known Algebras The usual method is application Green-Gauss formula and the regularity of kernel Cauchy in Clifford Algebras depending on parameters The main result: - Construction of parameters kernel Cauchy in Clifford Algebras depending on - Finding of counter-example to proof that not exit kernel Cauchy in Euclidean distance case - Construction of Cauchy-Pompeiu formula for sufficiently smooth function with value in Clifford Algebras depending on parameters The direction of the thesis: - To find out the different application of theory of function with value in Clifford Algebras depending on parameters - To extend the other well-known result in classical Clifford Algebras for Clifford Algebras depending on parameters ... 1.2.3 Đại số Clifford "exotic" 19 Hàm quy nhận giá trị Clifford có tham số 21 2.1 Định nghĩa hàm quy đại số Clifford 21 2.1.1 Hàm nhận giá trị đại số Clifford 21 2.1.2 Một số. .. Định nghĩa hàm quy đại số Clifford 2.1.1 Hàm nhận giá trị đại số Clifford Cho miền Ω ⊂ Rn+1 , hàm nhận giá trị đại số Clifford An mô tả dạng u(x) = uA (x)eA A uA (x) hàm nhận giá trị thực x =... niệm hàm quy nhận giá trị đại số Clifford phụ thuộc tham số với cách tiếp cận khái niệm hàm quy mối liên quan với toán tử đại số quen thuộc Kết chương xây dựng nhân Cauchy đại số Clifford phụ thuộc