Áp dụng phương pháp lấy mẫu lặp để đánh giá xác suất rủi ro trong bảo hiểm

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI - NGUYỄN TRUNG PHÚ ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP LẤY MẪU LẶP ĐỂ ĐÁNH GIÁ XÁC SUẤT RỦI RO TRONG BẢO HIỂM LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC CHUN NGÀNH: TỐN CƠNG NGHỆ Hà Nội - 2008 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI - NGUYỄN TRUNG PHÚ ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP LẤY MẪU LẶP ĐỂ ĐÁNH GIÁ XÁC SUẤT RỦI RO TRONG BẢO HIỂM LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC CHUN NGÀNH: TỐN CƠNG NGHỆ NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS BÙI KHỞI ĐÀM Hà Nội - 2008 Luận văn thạc sĩ Lời cảm ơn Lời xin bày tỏ biết ơn tới PGS.TS Bùi Khởi Đàm tất thầy bảo động viên giúp đỡ tơi suốt trình thực đồ án Những điều thầy bảo giúp trình làm đồ án mà sống, công tác Tôi xin cảm ơn thầy cô khoa Tốn Tin ứng dụng hết lịng truyền thụ kiến thức kinh nghiệm cho suốt năm qua Cuối xin cảm ơn tới tất bạn nhóm đồ án góp ý, xây dựng ý kiến cho để đồ án hồn thành tốt Nguyễn Trung Phú Tốn cơng nghệ 2006-2008 Luận văn thạc sĩ Mục lục Lời giới thiệu Chương Quá trình bồi thường 1.1 Mơ hình 1.2 Các đặc trưng mơ hình phân phối mũ 11 Chương Quá trình số lần bồi thường 17 2.1 Mơ hình 17 2.2 Các tính chất trình Poisson 21 Chương Quá trình bồi thường tổng thể trình 44 rủi ro tái bảo hiểm 44 3.1 Mơ hình q trình bồi thường tổng thể 44 3.2 Mơ hình trình rủi ro tái bảo hiểm 51 Chương Quá trình dự trữ vấn đề phá sản 52 4.1 Mơ hình 52 4.2 Bất đẳng thức Kolmogorov cho supermartingale dương 57 4.3 Bất đẳng thức Lundberg 61 Chương Đánh giá xác suất rủi ro phi tham số 64 5.1 Giới thiệu 64 5.2 Phương pháp đánh giá 66 5.3 Chứng minh 68 5.4 Mô số 71 Kết luận 73 Tài liệu tham khảo 74 Phụ lục 75 Nguyễn Trung Phú Tốn cơng nghệ 2006-2008 Luận văn thạc sĩ Lời giới thiệu Lý thuyết xác suất thống kê toán học ngành toán học đời khoảng kỷ XVII Đối tượng nghiên cứu xác suất thống kê tượng ngẫu nhiên, quy luật ngẫu nhiên mà thường gặp thực tế Khác với số mơn tốn học trừu tượng, lý thuyết xác suất thống kê xây dựng dựa công cụ tốn học đại Giải tích hàm, Lý thuyết độ đo, lại gắn liền với toán thực tế sống, tự nhiên xã hội Ngày mơ hình xác suất thống kê thực áp dụng rộng rãi tất lĩnh vực sống hàng ngày khoa học, lý thuyết rủi ro ứng dụng quan trọng lý thuyết xác suất Do vai trò lớn thực tế nên lý thuyết rủi ro mảng mà người nghiên cứu ứng dụng phải quan tâm Lý thuyết rủi ro tập trung vào việc xác định xem xảy phá sản xác suất kiện đồng thời đề cập đến vấn đề dự phịng tái bảo hiểm Chúng ta giả sử doanh nghiệp bảo hiểm khía cạnh quan tâm làm cách để doanh nghiệp ln phát triển họ quan tâm đến việc xác định thời điểm xác suất phá sản Trong đồ án người đọc tìm hiểu kiến thức tổng quan lý thuyết rủi ro từ khái niệm trình bồi thường, trình số lần bồi thường sau mơ hình dự trữ vấn đề phá sản Nguyễn Trung Phú Tốn cơng nghệ 2006-2008 Luận văn thạc sĩ Đồ án chia làm chương Chương 1: Đây chương trình bày trình bồi thường Chúng ta tìm hiểu mơ hình thực tế lý thuyết rủi ro cơng ty bảo hiểm Ngồi ra, chương tìm hiểu sâu đặc tính phân phối mũ Chương : Giới thiệu trình số lần bồi thường, tiếp tục tìm hiểu hai khái niệm quan trọng lý thuyết rủi ro Chương 3: Chương tiếp tục sâu tổng số trình bồi thường tìm hiểu mơ hình rủi ro tái bảo hiểm Chương 4: Chúng ta nghiên cứu mơ hình dự trữ vấn đề phá sản Đây chương giúp hiểu kỹ mơ hình rủi ro Chương 5: Đề cập đến việc ước lượng xác suất rủi ro mơ hình cụ thể Trong chương tìm hiểu phương pháp xác định xác suất phá sản thời điểm xác định cách ước lượng Nguyễn Trung Phú Tốn cơng nghệ 2006-2008 THESIS SUMMARY Thesis: Applying methods sample reuse to evaluate the probability of risk insurance Supervisor: Associate Professor.PhD Bui Khoi Dam Student: Nguyen Trung Phu Probability theory is a statistics department of mathematical study of the phenomenon of random and applications of it Today the mathematical model in theoretical probability statistics are applied widely in many fields of life, especially the model was applied in the financial system Defining the exact risks of this system has great role in the national economy The content of the projects presented on the concept of risk theory from the basic concept as claim arrival process and claim number process to the aggregate claims process and the reserve process and the ruin problem This is part of the heart of theoretical risk because the research model we learned from the new information need to know about the system as a time in any of the probability of bankruptcy is how much The end of the projects mentioned more methods to assess probability of a bankruptcy system at the same time giving the estimated probability of bankruptcy Key words : Risk theory, claim arrival process, claim number process, aggregate claims process, the reserve process and the ruin problem TÓM TẮT Tên đề tài: Áp dụng phương pháp lấy mẫu lặp để đánh giá xác suất rủi ro bảo hiểm GVHD: PGS.TS Bùi Khởi Đàm Học viên: Nguyễn Trung Phú Lý thuyết xác suất thống kê phận toán học nghiên cứu tượng ngẫu nhiên ứng dụng Ngày mơ hình tốn học lý thuyết xác suất thống kê áp dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực sống, đặc biệt mô hình áp dụng hệ thống tài Việc xác định xác rủi ro hệ thống có vai trị to lớn hệ thống kinh tế quốc dân Nội dung đồ án trình bày khái niệm lý thuyết rủi ro (risk theory) từ khái niệm trình bồi thường (claim arrival process) trình số lần bồi thường (claim number process) trình bồi thường tổng thể(aggregate claims process) trình dự trữ vấn đề phá sản (the reserve process and the ruin problem) Đây phần trọng tâm lý thuyết rủi ro qua việc nghiên cứu mơ hình rút thông tin cần biết hệ thống thời điểm xác suất phá sản Phần cuối đồ án đề cập chi tiết đến phương pháp đánh giá xác suất phá sản hệ thống đồng thời đưa cách ước lượng xác suất phá sản Từ khố: lý thuyết rủi ro, q trình bồi thường, trình số lần bồi thường, tổng số trình bồi thường, trình dự trữ vấn đề phá sản Luận văn thạc sĩ Chương Quá trình bồi thường Để đánh giá xác suất rủi ro hệ thống công ty bảo hiểm nghiên cứu theo trình tự thời gian Chúng ta trình sau Quá trình bồi thường Quá trình số lần bồi thường Quá trình bồi thường tổng thể Quá trình dự trữ Trước tiên nghiên cứu trình bồi thường trình số lần bồi thường cách riêng rẽ chúng phần trọng tâm vấn đề Trong chương nghiên cứu trình bồi thường Giai đoạn đầu quan tâm đến khái niệm tổng quát Phần sâu nghiên cứu phân phối mũ với hệ thống không nhớ khoảng (0, ∞) 1.1 Mơ hình Chúng ta quan tâm đến độ rủi ro danh mục đầu tư, danh mục bảo hiểm công ty bảo hiểm Những rủi ro tạo q trình bồi thường trả phí bảo hiểm cho người bảo hiểm công ty bảo hiểm tốn Danh mục đầu tư bao gồm một bao gồm nhiều rủi ro Chúng ta giả sử công ty bảo hiểm chủ yếu quan tâm đến toàn đến danh mục đầu tư Đó cân tiền thu bán bảo hiểm phí bảo hiểm cho tất trường hợp đền bù bảo hiểm (Tất nhiên, tiền thu Nguyễn Trung Phú Toán công nghệ 2006-2008 Luận văn thạc sĩ bán bảo hiểm thặng dư nhiều so với phí tổn bảo hiểm điều tốt) Trong trường hợp nơi danh mục đầu tư bao gồm nhiều trường hợp rủi ro, cơng ty bảo hiểm khơng quan tâm loại rủi ro danh mục đầu tư nguyên nhân trường hợp toán cụ thể Đó nhìn bao qt lý thuyết rủi ro Chúng ta giả sử xa trình bồi thường với danh mục đầu tư xảy biến ngẫu nhiên khoảng thời gian vô tận thời điểm chúng thoả mãn + Khơng có q trình bồi thường xảy thời điểm + Khơng có hai trình bồi thường xảy đồng thời Với giả sử khơng có hai q trình bồi thường xảy thời điểm khơng làm tính tổng qt mơ hình Thực khơng xảy danh mục đầu tư danh mục nhỏ Khi giả sử khơng có hai trình bồi thường xảy đồng thời khơng thay đổi nhiều quan điểm mơ hình rủi ro quan tâm đến chuỗi kiện bồi thường (như tai nạn xe chẳng hạn) thay cho kiện bồi thường Số kiện bồi thường chuỗi kiện bồi thường gọi kích thước của chuỗi kiện Phần thảo luận chương Bây chuyển ý tưởng phần thành công thức mơ hình xác suất Định nghĩa q trình bồi thường Một chuỗi biến ngẫu nhiên {Tn } với n ∈ N gọi trình bồi thường tồn tập Ω T ∈ F ω ∈ Ω \ Ω T Nguyễn Trung Phú Tốn cơng nghệ 2006-2008 Luận văn thạc sĩ 68 B ψ (u , T ) = * n ∑ψ b =1 *b n (u , T ) B ψ n* (u ) = ψ n* (u, S n ) (5.2.7) Định lý 5.2.2 Giả sử EY > log n = 0( B / ) (5.2.8) limψ n* (u , T ) = ψ (u , T ) (5.2.9) n →∞ limψ n* (u ) = ψ (u ) (5.2.10) n →∞ Định lý chứng minh phần sau 5.3 Chứng minh Với biến X 1m , X m, X nm thống kê X , X 2, X n Y1n thời điểm tương ứng với kiện bồi thường có chi phí X 1n , i = 1,2,3 n Xét Gn = σ (( X 1n , Y1n ), i = 1,2 n, ( X i , Yi , i > n)) với n ≥ chuỗi khơng tăng σ -trường Bởi tất cá tham số dễ dàng cho trường hợp T = ∞ , chứng minh với trường hợp ψ n = ψ n (u, T ) Chúng ta định nghĩa phiên ψ n với trường hợp martingale ngược Chúng ta xét với lần hoán vị thứ j {1,2,3 n} NA 'j (t ) = NA j (t ) + ∑ I ( S k ≤ t ) k >n phiên số lần bồi thường thời điểm t j = 1,2 n! Với a kj = k với k > n ta định nghĩa Nguyễn Trung Phú Tốn cơng nghệ 2006-2008 Luận văn thạc sĩ 69 NA'j ( t ) ∑ I (Sup ∑ X ψ n' (u, T ) = k =1 p ak j − Pt > u ) n! (5.3.1) Trong công thức Sup lấy đoạn ≤ t ≤ T Chúng ta có tính chất phiên xác suất phá sản 5.3.1 Bổ đề Với u , T , (ψ n' (u, T ), Gn ) martingale ngược Chứng minh Chúng ta thấy ψ n' = ψ n' (u, T ) với Gn tập đo Gn khả tích Với U (t ) định nghĩa (1.1), có quan hệ ψ n' = E{I ( SupU (t ) > u ) | Gn } (5.3.2) Trong công thức Sup lấy đoạn ≤ t ≤ T Như E{ψ n' | Gn +1 } = E{E ( I ( SupU (t ) > u ))Gn | Gn +1 } Trong công thức Sup lấy đoạn ≤ t ≤ T Chứng minh định lý 5.2.1 Từ cơng thức (5.3.2) có Eψ n' (u, T ) = ψ (u, T ) Theo bổ đề 5.3.1 theo lý thuyết hội tụ martingale, có đẳng thức limψ n' (u , T ) = ψ (u , T ) (5.3.3) n →∞ định nghĩa thời gian dừng n τ = inf{n ≥ : ∑ ( X k − PYk ) > u} k =1 Chú ý ψ n (u, T ) ψ n' (u, T ) khác tập {n < τ < ∞} Vậy nên ≤ ψ n (u , T ) − ψ n' (u , T ) = I (n < τ < ∞) → Nguyễn Trung Phú Toán công nghệ 2006-2008 Luận văn thạc sĩ 70 Công thức (5.3.3) chứng minh Chứng minh định lý 5.2.2 Ký hiệu ψ n* = ψ n* (u, T ) Từ công thức (5.2.4) thoả điều kiện (5.2.9) với ε >0 ∑ P(| ψ * n − ψ n |> ε ) < ∞ n ∑ P(ψ * n −ψ n > ε ) < ∞ (5.3.4) Tương tự chứng minh bất đẳng thức khác Định nghĩa Fn = σ (( X i , Yi ), i = 1,2 n) với n ≥ chuỗi không tăng σ -trường Từ điều kiện (5.2.8) tồn số K dương mà có giá lớn n n −1 ≥ exp(− KB / ) (5.3.5) Từ bất đẳng thức Markov với δ > ε −1 có P(ψ n* − ψ n > ε ) ≤ exp{−εδKB / }E{exp(δKB / (ψ n* − ψ n ))} Từ (5.3.5), exp{−εKB / } tổng, để chứng tỏ (5.3.4) cần sup E{exp( sB / (ψ n* − ψ n ))} < ∞ (lấy sup theo n) (5.3.6) Trong s = δK Từ cơng thức (5.2.6), ta có E{exp( sB / (ψ n* − ψ n ))} = E ((1 − ψ n ) exp{− sψ n B −1 / } + ψ n exp{s (1 − ψ n ) B −1 / }) B + s 2ψ n (1 − ψ n ) = E( + O( B −3 / )) B 2B ≤( 1+ s2 + O( B −3 / )) B 8B khai triển Taylor Nó thoả mãn (5.3.6) có (5.2.9) Nguyễn Trung Phú Tốn cơng nghệ 2006-2008 Luận văn thạc sĩ 71 5.4 Mô số Trong phần xem xét kết q trình mơ số Với giả sử tổng số tiền bồi thường tuân theo phân phối mũ với kỳ vọng Quá trình chờ bồi thường độc lập tuân theo phân phối mũ với kỳ vọng 1,25 Chúng ta xét cường độ tiền thu P = Với u số vốn có từ đầu, n kích thước mẫu u = 22.0 tính tốn theo lý thuyết ψ (u ) = 0.01 n Lần Lần Lần Lần 50 0.01 0.00 0.01 0.00 100 0.01 0.01 0.00 0.01 150 0.01 0.01 0.01 0.00 u = 13.8 tính tốn theo lý thuyết ψ (u ) = 0.05 n Lần Lần Lần Lần 50 0.03 0.03 0.04 0.02 100 0.03 0.05 0.06 0.05 150 0.05 0.06 0.05 0.04 u = 10.39 tính tốn theo lý thuyết ψ (u ) = 0.1 n Lần Lần Lần Lần 50 0.08 0.07 0.06 0.07 100 0.08 0.08 0.09 0.09 150 0.12 0.09 0.08 0.11 Nguyễn Trung Phú Tốn cơng nghệ 2006-2008 Luận văn thạc sĩ 72 u = 3.46 tính tốn theo lý thuyết ψ (u ) = 0.4 n Lần Lần Lần Lần 50 0.36 0.37 0.38 0.35 100 0.40 0.41 0.39 0.39 150 0.38 0.39 0.41 0.42 Nguyễn Trung Phú Tốn cơng nghệ 2006-2008 Luận văn thạc sĩ 73 Kết luận Do tầm quan trọng lý thuyết rủi ro lớn kỹ thuật thực tiễn nên lý thuyết rủi ro ngày phát triển nhiều nhà kỹ thuật nhà nghiên cứu quan tâm phát triển Các mô hình lý thuyết rủi ro mơ hình mà thường hay gặp thực tế trình bồi thường, trình số lần bồi thường q trình chờ bồi thường từ câu trả lời cho câu hỏi rủi ro cho hệ thống thời điểm xem xét xác định Trong đồ án chúng tơi tìm hiểu số khía cạnh lý thuyết rủi ro, khái niệm mở đầu cho việc học tập nghiên cứu nội dung khác lý thuyết rủi ro ứng dụng thực tế Do khn khổ hạn hẹp đồ án trình độ kiến thức cịn hạn chế, dựa sở tham khảo nhiều tài liệu, nên đồ án chắn không tránh khỏi khiếm khuyết, mong thầy cô giáo bảo ý kiến đóng góp người Nguyễn Trung Phú Tốn cơng nghệ 2006-2008 Luận văn thạc sĩ 74 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt Tống Đình Quỳ (1999), Giáo trình xác suất thống kê, Nhà xuất giáo dục Đặng Hùng Thắng (2005), Mở đầu lý thuyết xác suất ứng dụng, Nhà xuất giáo dục Tiếng Anh Edward W.Frees(1986),“Nonparametric estimation of the probability of ruin” University of Winconsin Madiosn Klaus D.Schmidt(1995), Lecture on Risk Theory, University of Dresden Shedon M.Ross(2000), Introduction to Probability Models, Academic Press Nguyễn Trung Phú Tốn cơng nghệ 2006-2008 Luận văn thạc sĩ 75 Phụ lục Phần phụ lục bao gồm mã nguồn chương trình mơ số public class Computor { int n; int B; double saiSo = 0.01; double P = 1; double Sn; private double[][] X_Star; private double[][] Y_Star; public int c1; public int c2; private int c3 = 0; public Computor(int n, int B,double[][] X_Star,double[][] Y_Star) { this.n = n; this.B = B; this.X_Star = X_Star; this.Y_Star = Y_Star; Sn = S(1); } private double S(final int b) { SingleFunc f = new SingleFunc() { public double getValue(double k) { return Y_Star[b][(int) k]; } }; return Utils.sum(f, n); } public int N(final int b, final double t) { int ret = 0; for (int k=1; k