ĐỀ CƯƠNG TOÁN 8 kì 2

Nhóm Tốn THCS Học Là Ham  Thi Là Đỗ Đề Cương Tốn THCS Ngơi Sao TRƯỜNG LIÊN CẤP THCS, TIỂU HỌC NGÔI SAO HÀ NỘI Họ tên:…………………………………………… PHIẾU BỔ TRỢ KIẾN THỨC MÔN ĐẠI SỐ LỚP Ngày tháng năm Lớp:……………………………… ………………… TOÁN - HỌC KỲ II I - BÀI TẬP ĐẠI SỐ - CƠ BẢN Phần I: Đại số Dạng 1: Toán rút gọn: Bài Cho biểu thức A  2x  x  2x 1   x  5x  x   x a) Rút gọn A b) Tìm x để A  c) Tìm giá trị nguyên x để A có giá trị nguyên Lời giải a) ĐKXĐ: x  2, x  A 2x  x  2x  2x  x  2x 1      x  x  x   x  x   x  3 x  x   x    x  3 x  3   x  1 x   x   x   x  x    x   x  3  x   x  3   x  1 x   x2  x    x   x  3  x   x  3  x 1 x 3 b) Ta có: A   ĐKXĐ: x  2, x  2  x  1   x  3 x 1 x 1 x 1    0 0 0 x 3 x3 2  x  3  x  3  x 1   x  1 (TMĐK) Vậy A  x  1 c) Ta có: A  x 1 x   4   1 x3 x3 x 3 Face: https://www.facebook.com/groups/204261230176860/ Trang Nhóm Tốn THCS Học Là Ham  Thi Là Đỗ Để A    x 3 x KL Đề Cương Toán THCS Ngôi Sao 4   , mà 1      x   Ư    1;  2;  4 x 3 x3 4 1 TM 2 TM 1 Loại TM TM TM Vậy để A   x  1;1; 4; 5; 7 Bài  2x x 3x    x      1 Cho biểu thức: A   :   x 3 x 3 x 9   x 3 a) Rút gọn A b) Tính giá trị biểu thức A với x thỏa mãn x   c) Tìm giá trị x để A  Lời giải a) ĐKXĐ: x  3; x  1  2x x 3x    x   A    1 :   x 3 x 3 x 9   x 3  x( x  3) x( x  3) 3x    x  x   A    :   ( x  3)( x  3) ( x  3)( x  3) ( x  3)( x  3)   x  x   x  x  x  3x  3x  x   x  A : ( x  3)( x  3) x3 3 x  x 1 A : ( x  3)( x  3) x  3( x  1) x  A ( x  3)( x  3) x  3 A x3 Vậy A  3 x3 b) Ta có x    x 1  x   2 x  1 x  2  x  (t/m) x  3 (loại) Thay x  vào biểu thức A ta được: A  Vậy A  3 3  1 3 x  c) Xét A  (ĐK: x  3; x  1 ) Face: https://www.facebook.com/groups/204261230176860/ Trang Nhóm Tốn THCS Học Là Ham  Thi Là Đỗ  Đề Cương Tốn THCS Ngơi Sao 3 0 x3 Mà 3   x3  x  3 Kết hợp ĐK: x  3; x  1 Vậy x  3 A  Bài Cho biểu thức x   x3 x2 x2   A  1    :   x    x   x x  5x   a) Rút gọn A c) Tìm giá trị x để A  d) Tìm giá trị nguyên x để A có giá trị số nguyên dương Lời giải a) ĐK x  1; 2;3 b) Tìm x để A  x   x3 x2 x2   A  1    :   x    x   x x  5x   x2 = x 1 b) A   x  x2 3 c) A   1   x  1 x 1 x 1 x2 d) A   1 x 1 x 1 x 1  x   x   1  x  2 Để A  Z  x   U 3    x 1   x  2( L)    x   3  x  4 Bài  2x2     x3  x   x Cho biểu thức A   .  x 1 x  x     x  a) Rút gọn A 1 b) Tìm giá trị A với x  x2 c) Với x  Tìm giá trị nhỏ B  A Lời giải a) ĐK x  1  2x2     x3  x A   x    x 1 x  x     x  Face: https://www.facebook.com/groups/204261230176860/ Trang Nhóm Tốn THCS Học Là Ham  Thi Là Đỗ Đề Cương Toán THCS Ngôi Sao  x 1 1 3 b) x   A 2 2 x x   x 1   ( bđt Côsi với x  ) c) B  A x 1 x 1 Bmin   x  Bài   x 4x2  x  x  3x   Cho biểu thức: A   :   x x   x  2x  x a) Rút gọn A b) Tính giá trị A biết x   c) Tìm giá trị nguyên x để A  Lời giải a) Rút gọn A   x x2  x  x2  3x A   :   x x   x  2x  x  2 x 4x2  x  x  3x    : 2  x  x  x   2x  x    x 2  x    x   x   x      x  x  3  x  x      x 2  x 8x  x    x   x  x   4x   x x   x   x   x  x   x2 x 3 Vậy A  x2 , x  2, x  0, x  x3 b) Tính giá trị A biết x    x  TM  * x3     x  2  KTM  4.82 4.64 256   83 5 c) Tìm giá trị nguyên x để A  *Thay x=8 cho A  *A Bài 4x2 x2   A 4, x  2, x  0, x  x3 x3  x2  2x   x Cho biểu thức: P    : x  x   x  x3  x  x3  x a) Rút gọn P d) So sánh P với -2 Face: https://www.facebook.com/groups/204261230176860/ Trang Nhóm Tốn THCS Học Là Ham  Thi Là Đỗ Đề Cương Tốn THCS Ngơi Sao e) Tìm GTNN P b) Tính giá trị P biết x   c) Tìm x để P = -1 Lời giải a) Rút gọn P  x2  x   x P   : x  x   x  x3  x  x3  x  x  x  x  1     2  x  1  x  x  x  1   x  1  x   x  x  1    2  x  1  x  x  1   x  1    x  1 x   1  x  1  x2  x  1 Vậy P   x2  x  1 , x  1, x  b) Tính giá trị P biết x    x  TM  * x 1     x  1 KTM  * Thay x  cho P   x2  x  1  6 3  c) Tìm x để P = -1, x  1, x    x2  x  1  1   x    x  1   x2   x2  x   x  TM  d) Tìm x để P  1 , x  1, x    x2  x  1  1   x    x  1   x2   x2  x   x  TM  e) So sánh P với -2 Face: https://www.facebook.com/groups/204261230176860/ Trang Nhóm Tốn THCS Học Là Ham  Thi Là Đỗ *Xét: P    x2  x  1 2 x2  x   x  1 Đề Cương Tốn THCS Ngơi Sao  x  2 1   x  1 *Ta có:  x    0,  x  1  0,  x nên P+2>0 hay P  2, x  1, x  f) Tìm GTNN P *Giả sử Pmin   a a  2a   a  1  x     3 x a 1  a 1  a  * Xét P  a  2  x  1  x  1 *Để Pmin  a  P  a  0, x  2a    a  2  x  3   P  2  x  12  x  TMDK  *Vậy Pmin    x  P Dạng 2: Giải phương trình Bài Giải phương trình a)  3x  1   1  x   b)  x  3 x  3   x    9 1  x  2x  5x  x  x2  x x  2001 x  1999 x  1997 x  1995 d)     4 11 x  x  10 x  25 e)   60 45 30 25 Lời giải c) a)  3x  1   1  x    x     10 x   x  10 x     19 x  5 x 19 Vậy nghiệm phương trình x  19 b)  x  3 x  3   x    9 1  x  Face: https://www.facebook.com/groups/204261230176860/ Trang Nhóm Toán THCS Học Là Ham  Thi Là Đỗ Đề Cương Tốn THCS Ngơi Sao  x    x  10 x  25  9  45 x  x   x  40 x  100  9  45 x  40 x  45 x  9   100  x  100  x  20 Vậy nghiệm phương trình x  20 2x  5x  x  c) x2  x 4 x  10 12 x 24 20 x  12 18 x  21 12 x       12 12 12 12 12 12 x  10  12 x  24 20 x  12  18 x  21  12 x   12 12  8 x  14  14 x   x  14 x  14   22 x  5  x 22 Vậy nghiệm phương trình x  22 x  2001 x  1999 x  1997 x  1995 d)     4 11  x  2001   x  1999   x  1997   x  1995    1    1    1      4         11  x  2006 x  2006 x  2006 x  2006     0 11 1 1    x  2006         11   x  2006  Bài  x  2006 Vậy nghiệm phương trình x  2006 x  x  10 x  25 e)   60 45 30 25  x    x  10   x  25    1    2    3     45   30   25  x  50 x  50 x  50    0 45 30 25 1     x  50        45 30 25   x  50   x  50 Vậy nghiệm phương trình x  50 Giải phương trình x  2x  a)   3x  2 x  Face: https://www.facebook.com/groups/204261230176860/ Trang Nhóm Tốn THCS Học Là Ham  Thi Là Đỗ Đề Cương Toán THCS Ngôi Sao 12  3x  3x   1 9x  3x 3x  1 1 1 c)     x  x  x  x  12 x  x  20 x  11x  30 Lời giải x  2x  a) ĐKXĐ x    3x  2 x  x5 2x     3 x  2 2  x  2 b)  x  10  x   6x     x  2  x  2  x  2  x  10  x  6x    x  2  x  2   x  16  x   x  25 25 x Vậy nghiệm phương trình x  b) 12  3x  3x   1 9x  3x 3x  25 ĐKXĐ x   1  x  3x  1  1  3x  12    3x  1 3x  1  3x  1 x  1  3x  1 3x  1  12 x   x2   x  x2   3x  1 3x  1  3x  1 x  1  12  12x  x  1 Vậy nghiệm phương trình x  1 1 1 c)     x  x  x  x  12 x  x  20 x  11x  30 x  2; x  3; x  4; x  5; x   ĐKXĐ 1 1     ( x  3)( x  2) ( x  4)( x  3) ( x  5)( x  4) ( x  5)( x  6) 1 1 1 1         x 3 x  x 4 x 3 x 5 x  x 6 x 5 1    x2 x6 x   x    ( x  2)( x  6)   x  x  12  x  x  12  32  Face: https://www.facebook.com/groups/204261230176860/ Trang Nhóm Tốn THCS Học Là Ham  Thi Là Đỗ Đề Cương Tốn THCS Ngơi Sao  x  x  20   ( x  10)( x  2)  Bài  x  10 (TM )   x  2 (TM ) Vậy nghiệm phương trình x  10 x  2 Giải phương trình: a) x   b) x   x  c)  x  1 x   d) x    e)  3x   x f) x   x   Lời giải  x  2 x   2 x    a) x      x   4  x  1  x    7 2 1 2 Vậy tập nghiệm phương trình S   ;   b) x   x   x    x (ĐK: x  )  x  (l )   x    3x 4x      x   5  3x 2x   x  ( n)  1  2 Vậy tập nghiệm phương trình S    x 1   x  1  x   x4 0 c)  x  1 x     Vậy tập nghiệm phương trình S  4; 1 Face: https://www.facebook.com/groups/204261230176860/ Trang Nhóm Tốn THCS Học Là Ham  Thi Là Đỗ Đề Cương Tốn THCS Ngơi Sao d) x2 46  x2 2 x   x  x2 4 6    x2 2    x   2  x  4  x    6  x   10 Vậy tập nghiệm phương trình S  4;0 3  x  7  3x   x  x  3   e)  3x   x   7  3x  4  x 8 x  11  x  11   3 11  ;  2 8 Vậy tập nghiệm phương trình S   f) x   x   (1) Trường hợp 1: x  5 x   x     x  x    3x   x  Trường hợp 2: 5 (l ) 5  x3 x   x     x  x    x  5 (l ) Trường hợp 2:  x x   x    x   x    3x   x  (l ) Vậy tập nghiệm phương trình S   Bài 10 Giải biện luận phương trình sau: ( m tham số) a) 4( x  1)  m(mx  1)  b) x  4m x  x  4m    m 1 m 1 m2  Lời giải   a) 4( x  1)  m( mx  1)   x   m x  m   m  x  m     m   (m  2) x  (m  2) (1) + Nếu m  , thay vào (1) ta    (2  2) x  (2  2)  x  4  x   + Nếu m  2 , thay vào (1) ta  2   (2  2) x  (2  2)  x   x   Face: https://www.facebook.com/groups/204261230176860/ Trang 10 Nhóm Tốn THCS Học Là Ham  Thi Là Đỗ Thời giản chảy đầy bể vịi thứ hai là: 1: ( Đề Cương Tốn THCS Ngôi Sao  ) (giờ) 10 x Người ta cho vòi I chảy giờ, vòi II chảy hai vịi chảy bể nên ta có phương trình: 3  )= + 2( x 10 x  3  + = x x  1 = x  x = (Thỏa mãn) Vậy vòi thứ chảy đầy bể sau (giờ) Vòi thứ hai chảy đầy bể sau 1: (  ) = 10 (giờ) 10 Tốn phần trăm Bài 25 Một xí nghiệp dệt thảm giao làm số thảm xuất 20 ngày Xí nghiệp tăng suất lên 20% nên sau 18 ngày làm xong số thảm giao mà làm thêm 24 Tính số thảm mà xí nghiệp làm 18 ngày Lời giải Gọi số thảm xí nghiệp dự định làm ngày x (thảm, x  N * ) Số thảm xí nghiệp dự định làm 20x (thảm) Thực tế, tăng suất lên 20% nên số thảm xí nghiệp dệt ngày x + 20%x = 120%x = 1,2x (thảm) Nên số thảm dệt 1,2x.18 = 21,6x (thảm) Vì dệt thêm 24 thảm nên ta có phương trình: 20 x  24  21, x  21, x  20 x  24  1, x  24  x  15 TM  Vậy số thảm xí nghiệp dệt 18 ngày 21,6.15 = 324 thảm Bài 26 Trong tháng giêng hai tổ công nhân may 800 áo Tháng tổ vượt mức 15%, tổ vượt mức 20% tổ sản xuất 945 áo Tính xem tháng đầu tổ may áo Lời giải Trong tháng đầu, gọi số áo tổ may x (áo, x  N * , x  800 ) Số áo tổ may 800 - x (áo) Face: https://www.facebook.com/groups/204261230176860/ Trang 20 Nhóm Tốn THCS Học Là Ham  Thi Là Đỗ Đề Cương Tốn THCS Ngơi Sao Trong tháng 2, tổ vượt mức 15% nên số áo tăng lên 15%x = 0,15x (áo) Tổ vượt mức 20% nên số áo tăng lên 20%(800 - x) = 160 - 0,2x (áo) Do tăng suất nên số áo tăng lên 945 - 800 = 145 (áo), ta có phương trình: 0,15 x  160  0, x  145  0, 05 x  15  x  300 TM  Vậy tháng đầu, số áo tổ may 300 áo, số áo tổ may 800 - 300 = 500 áo II - BÀI TẬP ĐẠI SỐ - NÂNG CAO Bài Giải phương trình: a)  x  x    x  x   48   x  x    x  x   48    x  x    x  x   16  64    x  x    82    x  3x   8 x  3x   8    x  3x   x  3x  12   39   39 x   0) ( Vì x  3x  12  x  3x   4  2 2  ( x  x  4)   ( x  1)( x  4)   x – = x +4 =0 x  x  –4 Vậy S   –4;1 b) x  x  15 x  18   x3  12 x  x  x  24 x  18   (4 x  12 x  x)  (8 x  24 x  18)   x(4 x  12 x  9)  2(4 x  12 x  9)   (4 x  12 x  9)( x  2)   (2 x  3)2 ( x  2)   (2 x  3)  x    2x –  x  –2  x=  3 Vậy S  2;   2 c) x  x – 1 x  1 x    24  x  x  1 x –1 x    24   x  x  x  x –   24 Đặt t  x  x Face: https://www.facebook.com/groups/204261230176860/ Trang 21 Nhóm Tốn THCS Học Là Ham  Thi Là Đỗ Đề Cương Tốn THCS Ngơi Sao  t  t –   24  t – 2t  24  t – 2t – 24    t   t –    t   t –   t  –4 t  * Với t  –4  x  x  –4  x2  x   15 Vì x  x   x  x   4  15  x   0 2  Nên phương trình x  x   Vô Nghiệm Với t   x  x   x2  x –   ( x  2)( x  3)   x –  x   x  x  –3 Vậy S  –3; 2 d) ( x  x  4)( x  x  6)  24   x   x –1 x   x    24   x  1 x  3 x   x –   24   x    x  x x  x –  24  x  3 x  x – 8  24 Đặt t  x  x   t – 3 t –   24  t –11t  24  24  t –11t   t  t –11   t  t –11   t  t  11 * Với t   x  x   x  x  2   x  x    x  x  –2 Với t  11  x  x  11  x  x –11      x 1 x 1   x    x     x  1  x  1    Vậy S  2; 0; 1  3; 1  Face: https://www.facebook.com/groups/204261230176860/ Trang 22 Nhóm Tốn THCS Học Là Ham  Thi Là Đỗ Bài Đề Cương Tốn THCS Ngơi Sao CMR với số a , b , c ta có: a)  a  1 a  3 a   a       a  1 a   a  3 a       a  a   a  a  12   Đặt t  a  a  , ta có t  t      t  6t     t  3  (Luôn đúng) Dấu "=" xảy  t  3  a  a   3  a  7a    13  13 hay a  2 b) 4a (a  b)(a  1)(a  b  1)  b   a VT  4a(a  b)(a  1)(a  b  1)  (a  b  a)  4a (a  b)[a(a  b)  a  a  b  1)  (a  b  a )  4a (a  b)  4a (a  b)[a(a  b)  2a  b   1)  (2a  b)  4a (a  b) +4a(a  b)(2a  b)  (2a  b)  [2a (a  b)  2a  b]2  (đpcm) c) a  b   ab  a  b  2a  2b   2ab  2a  2b   a  2ab  b    a  2a  1   b  2b  1   (a  b)  (a  1)  (b  1)  ( đúng) d) a  b  c   2(a  b  c) Bài  a  2a   b  2b   c  2c    (a  1)  (b  1)  (c  1)  (ln đúng) Chứng minh khơng có số dương a , b , c thỏa mãn đồng thời bất đẳng thức: a) a   b b) b   c c) c   a Lời giải Nếu a, b, c  thỏa mãn đồng thời bất đẳng thức đề cho a, b, c thỏa mãn: 1  1  1  a    b    c    a  b  c  1         a   2  b   2  c   2  a b c         a  2a  b  2b  c  2c    0 a b c  a  1 a   b  1 b   c  1 c 0 1 Face: https://www.facebook.com/groups/204261230176860/ Trang 23 Nhóm Tốn THCS Học Là Ham  Thi Là Đỗ 2 Đề Cương Tốn THCS Ngơi Sao Do a, b, c  0;  a  1  0;  b  1  0;  c  1  nên  a  1 a  b  1  0; a  a  1  a  b  1  b  c  1  0; 0 a  c  1  c 0  2 Từ 1   suy khơng có số dương a, b, c thỏa mãn yêu cầu đề Bài a) Tìm min: A  x  xy  y  12 x  y  45 b) Tìm max: B   x  y  xy  x  10 y  Lời giải 4  A   x  y  62  xy  2.6.x  2.6 y    y  10 y     x  y     y  y    5  4 2  a)   x  y      y  1   5  2   x  y     y  1  x  y  x   A  Dấu xảy   y 1 y 1 Vậy A  x  7, y  b) B   x  y  xy  x  10 y  B    x  y   xy  x  y   y  12 y     ( x  y  1)2   y  y    10   10   x  y  1   y   x  y   x  3; y   B  10 Dấu "  " xảy   y  Vậy max B  10 x  3, y  Bài a) Cách 1: với a ≠ 0, ta có: a  2a  2009 a  2.2009a  20092  2008a  a  2009  2008 2008 A     a2 2009a 2009a 2009 2009 Do đó: Ann  2008  a  2009 2009 Cách 2: với a ≠ 0, ta có: A  a  2a  2009 2009  1  2 a a a Face: https://www.facebook.com/groups/204261230176860/ Trang 24 Nhóm Tốn THCS Học Là Ham  Thi Là Đỗ Đặt Đề Cương Toán THCS Ngơi Sao  t A   2t  2009t  2009 A   2009t  1  2008  2008 a Do Ann  2008 t   a  2009 2009 2009 x  x  x   x  x  1  x  1 b) Ta có B      2 x 1 2  x  1 2  x  1 Do đó: Bnn   x  1 Bài  4x x2  4x   x2 1  x  2 a) Ta có: A      1 x 1 x2  x 1 Nên Ann  1  x  2  x  1   4x 4x2   4x2  4x  Lại có: A    4 2 x 1 x 1 x 1 Nên Aln   x   2 x  x  x   x   x  1 b) Ta có: B      1 4x 1 x2  4x2 1 Nên Bnn  1  x  1  x  1  x  16 x   16 x  x  Lại có: B     4x 1 x2  4x2  Nên Bln   x  Bài    Cho x, y  x  y  Tìm min: M  1   1    x  y  Lời giải  1  M  1     2 y  x y x Ta có  1    x2  y  P  1   1         2   2  2 y  x y x y x y  x  y  x (x  y )2  xy 1  xy 1  1  2 1 2  2  1 2   2 2 x y x y x y x y x y xy x y 2  1  1 9 xy  x y     Face: https://www.facebook.com/groups/204261230176860/ Trang 25 Nhóm Tốn THCS Học Là Ham  Thi Là Đỗ Dấu "  " x  y  Vậy M  x  y  Bài Đề Cương Toán THCS Ngôi Sao Chứng minh rằng: a) a  b  a  b3 a  b  Lời giải Ta có a  b  a3  b3  2(a  b4 )  (a  b3 )(a  b)  a  b  a 3b  ab3  (a3  b3 )(a  b)   (a  b) (a  a b  b )  b) x  y  z  x  y  z  xy  yz  zx  Lời giải 2 Ta ln có ( x  y )   x  y  xy dấu = xảy x=y Tương tự: x  z  xz , y  z  yz , x   x, y   y , z   z Cộng vế với vế BĐT có  x  y  z     x  y  z  xy  yz  xz    x  y  z    2.6  x  y  z  Dấu ''  " xảy x  y  z  c) 1   x y x y Ta có:  x, y   1 1 1     x  y    x y x y x y 1 1 1   x  y    Áp dụng BĐT sic ho số dương có: x  y  xy ,   x y xy x y d) 1    x y z x yz  x, y , z   1 1 1 1   x  y  z     Áp dụng BĐT cô sic ho số: x  y  z  3 xyz ,    3 x y z xyz x y z Suy đpcm 1 16 64 e)     với  a, b, c, d   a b c d abcd Áp dụng câu Cauchy Schwarz dạng cộng mẫu có 1 16 12 12 22 42 (1    4) 64          a b c d a b c d abcd abcd 1 Dấu ''  '' xảy    a b c d II - BÀI TẬP HÌNH HỌC Phần II: Hình học Face: https://www.facebook.com/groups/204261230176860/ Trang 26 Nhóm Tốn THCS Học Là Ham  Thi Là Đỗ Bài Đề Cương Tốn THCS Ngơi Sao Cho ABC trung tuyến BM Trên đoạn BM lấy điểm D cho BD  Tia AD cắt DM BC K , cắt tia Bx E ( Bx / / AC ) a) Tính tỷ số BE AC b) Chứng minh BK  BC c) Tính tỷ số diện tích ABK ABC Lời giải A H M I B D K C E a) Vì Bx / / AC (GT )  BE / / AM  Mà BE BD  (Đl Ta-let) AM DM BD BE  (GT) nên  DM AM Lại có AM  MC  AC BE (GT )   AC b) Vì BE / / AC (GT )  Mà BK BE  (Đl Ta-let) KC AC BE BK BK  (câu a)     (đpcm) AC KC BC c) Hạ đường cao CH , KI Có CH  AB   CH / / KI (ĐL Từ vuông góc đến song song) KI  AB   IK BK   (ĐL Ta-let) CH BC  KI AB  IK  S ABK     S ABC CH  CH AB  S ABK  Ta có: S ABC Face: https://www.facebook.com/groups/204261230176860/ Trang 27 Nhóm Tốn THCS Học Là Ham  Thi Là Đỗ Bài Đề Cương Tốn THCS Ngơi Sao Cho ABC nhọn, đường cao BD CE cắt H Đường vng góc với AB B đường vng góc với AC C cắt K Gọi M trung điểm BC Chứng minh rằng: a) ADB  AEC  ; AED  ACB b) HE HC  HD.HB c) H ,  M ,  K thẳng hàng d) ABC phải có điều kiện tứ giác BHCK hình thoi, hình chữ nhật? Lời giải   a) Tam giác ABC có BD;CE đường cao nên BD  AC hay BDA  BDC  90 A   CE  AB hay CEA  CEB  90 D   Xét ADB  và AEC   có ADB  AEC  90 E H  chung nên ADB  AEC  (g.g) (đpcm) BAC B  ADB  AEC   AD AB AD AE   hay AE AC AB AC AD AE   Xét AED  và ACB có (cmt) BAC AB AC  AED     ACB ( c g c ) chung nên (đpcm) C M K     b) Xét EHB DHC có BEH  HDC  90 EHB  DHC (đối đỉnh)  EHB DHC  EH HB   HE HC  HB.HD (đpcm) DH HC Thiếu Bài Bài Cho ABC (các góc nhọn) Các đường cao AD, BE CF cắt H, Gọi M trung điểm BC Đường thẳng qua H vuôn góc với MH cắt AB P, cắt AC Q Chứng minh rằng: a) AHP ∽ CMH ; QHA ∽ HMB b) HP MH  AH CM Face: https://www.facebook.com/groups/204261230176860/ c) HP  HQ Trang 28 Nhóm Toán THCS Học Là Ham  Thi Là Đỗ Đề Cương Tốn THCS Ngơi Sao C Q D M E A H F P B a) Xét AHP CMH có:   HCM  (cùng phụ với ABC ) HAP  ) A  Gọi F giao điểm CH AB ta có CHM PH (cùng phụ với PHF  AHP ∽ CMH  g.g  Tương tự: Xét QHA HMB có:   HBM  (cùng phụ với ACB ) HAQ   (cùng phụ với QHE  ) AQH  MHB  QHA ∽ HMB  g.g  b) Vì AHP ∽ CMH  g.g  (ý a) )  c) Vì HP MH  AH CM HP MH MH  AH 1 (ý b))  HP  AH CM CM Tương tự: QHA ∽ HMB  g.g  (ý a) )  HQ MH MH   HQ  AH   AH BM BM Lại có CM  BM  GT  (3) Suy HP  HQ Bài Cho ABC có A  90 ; AB  cm ; AC  12 cm Tia phân giác góc A cắt cạnh BC D Từ D kẻ DE  AC  E  AC  a) Tính độ dài đoạn thẳng BD , CE DE b) Tính S ABD ; S ACD Face: https://www.facebook.com/groups/204261230176860/ Trang 29 Nhóm Tốn THCS Học Là Ham  Thi Là Đỗ Đề Cương Tốn THCS Ngơi Sao A E B D C a) Áp dụng định lý Pytago cho tam giác ABC vuông A BC  AB  AC  BC  92  122  BC  15cm Áp dụng tính chất đường phân giác tam giác: BD DC BD  DC   AB AC AB  AC BD DC 15     12 21 9.5 45 5.12 60 BD   cm; DC   cm 7 7 Vì DE // AB ( vng góc với AC) Áp dụng hệ định lý Ta-let: 60 DC DE DE 36     DE  cm BC AB 15 DE AC 36.12 216   cm 7.2 AB AC 9.12    54cm2 2 216 162  SABC  SACD  54   cm 7 SACD  SABC SABD Bài Cho hình thang cân ABCD có đáy lớn CD, đáy nhỏ AB Qua A kẻ đường thẳng song song với BC cắt đường chéo BD E Qua B kẻ đường thẳng song song với AD cắt đường chéo AC F a) Chứng minh tứ giác DEFC hình thang cân b) Tính độ dài đoạn EF biết AB = 5cm; CD = 10cm Lời giải Face: https://www.facebook.com/groups/204261230176860/ Trang 30 Nhóm Tốn THCS Học Là Ham  Thi Là Đỗ Đề Cương Tốn THCS Ngơi Sao a) Gọi M , N giao điểm AE , BF với DC Gọi G giao điểm AC BD Ta có AB // DM nên EA EB AB   (hệ định lý Ta – lét) EM ED DM Ta có AB // NC nên FA FB AB   (hệ định lý Ta – lét) FC FN NC Mà DM  NC (vì AB  MN ) Suy EA FA EB FA   EM FC ED FC Khi EF // MC (định lý Ta – lét đảo) Mà D nằm MC nên EF // DC Vậy DEFC hình thang 1 Ta lại có EB FA  (chứng minh trên) ED FC EB  ED FA  FC  ED FC BD AC   ED FC  Mà BD  AC (hai đường chéo hình thang cân ABCD ) Vậy ED  FC Xét GDC có EF // DC , nên ED FC  (định lý Ta – lét) GD GC Mà ED  FC (chứng minh trên) Vậy GD  GC   GCD  Suy GDC cân G , GDC  2 Từ 1   , suy DEFC hình thang cân (hình thang có hai góc đáy nhau) b) Ta có MN  DC  AB  10  2.5  Face: https://www.facebook.com/groups/204261230176860/ Trang 31 Nhóm Tốn THCS Học Là Ham  Thi Là Đỗ Đề Cương Tốn THCS Ngơi Sao suy M  N Khi E , F tâm hình bình hành ABND ABCN Suy E , F trung điểm AN AC Suy EF đường trung bình ACN 1 Suy EF  CN   2,5cm 2 Thiếu Bài Bài Cho ABC nhọn, đường cao BD, CE a) Chứng minh: AE AB  AD AC   b) Chứng minh  ADE  ABC AED   ACB A  600 , S ABC  120 cm Tính S ADE c) Biết  A D E B C a) Chứng minh AE AB  AD AC Xét ABD ACE có :  chung BAC  ADB   AEC  900 Face: https://www.facebook.com/groups/204261230176860/ Trang 32 Nhóm Tốn THCS Học Là Ham  Thi Là Đỗ Đề Cương Tốn THCS Ngơi Sao  ABD  ACE ( gg )  AB AD  (cạnh tương ứng tỉ lệ) 1 AC AE  AE AB  AD AC   b) Chứng minh  ADE  ABC AED   ACB AE AD  Từ 1 suy AC AB Xét AED ACB có  chung BAC AE AD  (chứng minh trên) AC AB  AED  ACB (cgc )   ADE   ABC  (góc tương ứng ) AED   ACB   c) Tính S ADE   600 Xét ADDB vng D có BAC  ABD  300  AD  AB Vì AED  ACB (chứng minh ) S  AD   AED     S ACB  AB  Mà S ACB  120 cm  S AED  120  30 cm Face: https://www.facebook.com/groups/204261230176860/ Trang 33 Nhóm Toán THCS Học Là Ham  Thi Là Đỗ Đề Cương Tốn THCS Ngơi Sao Bài a) Xét DCE DBA có: A 1  D  (đối đỉnh) D   BAD  BCE  DCE ∽ DAB (g.g) B DC DE  b) DCE ∽ DAB (cmt)  DA DB DB DE   DA DC D   ADC  (đối đỉnh) Lại có: BDE Suy ra: DBE ∽ DAC (c.g.c) C E   DAB   BCE  (gt)   DAC  mà DAC  DBE   BCE   BEC cân E   DCE  hay CBE  DBE   ABD  hay ABD   AEC  c) DCE ∽ DAB  DEC   EAC  (gt) Lại có: BAD Do đó: ABD ∽ AEC  AB AD   AB.AC  AD.AE  AD  AD  DE   AD  AD.DE AE AC Mặt khác: DBE ∽ DAC  DB DE   DA.DE  DB.DC DA DC Nên AB.AC = AD2 + DB.DC Face: https://www.facebook.com/groups/204261230176860/ Trang 34 ...  2a  20 09 a  2. 2009a  20 0 92  20 08a  a  20 09  20 08 20 08 A     a2 20 09a 20 09a 20 09 20 09 Do đó: Ann  20 08  a  20 09 20 09 Cách 2: với a ≠ 0, ta có: A  a  2a  20 09 20 09  1  2. .. 20 Vậy nghiệm phương trình x  20 2x  5x  x  c) x? ?2? ??  x 4 x  10 12 x 24 20 x  12 18 x  21 12 x       12 12 12 12 12 12 x  10  12 x  24 20 x  12  18 x  21  12 x   12 12. .. https://www.facebook.com/groups /20 426 123 017 686 0/ Trang 24 Nhóm Tốn THCS Học Là Ham  Thi Là Đỗ Đặt Đề Cương Tốn THCS Ngơi Sao  t A   2t  20 09t  20 09 A   20 09t  1  20 08  20 08 a Do Ann  20 08 t   a  20 09 20 09 20 09