Thông tin tài liệu
Nhóm Tốn THCS Học Là Ham Thi Là Đỗ Đề Cương Tốn THCS Ngơi Sao Nhóm Tốn THCS Đề Cương Tốn THCS Ngơi Sao Dạng 1: Các phép toán đơn thức, đa thức Bài Bài Thu gọn đơn thức sau: Khơng có đề Cho đa thức: A x 3xy y x y B 2 x xy y x y C y 3x xy x y Tính A B C ; A – B C ; 2A – B – 3C Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường Lời giải : +) A B C ( x 3xy y x y 1) (2 x xy y x y ) (7 y 3x xy x y 5) y ( x 2x 3x ) ( y y ) (3xy+xy-4xy ) (2x 5x 6x) (3 y y y ) (1 5) A B C y 2x y 6xy 9x y + A BC ( x 3xy y x y 1) (2 x xy y x y ) (7 y 3x xy x y 5) 2 y ( x 2x 3x ) ( y y ) (3xy xy 4xy ) (2x 5x-6x) (3 y y y ) (1 5) A B C 2 y 6x y 8xy x y Có Cơng Mài Sắt Có Ngày Nên Kim + A B 3C 2( x 3xy y x y 1) (2 x xy y x y ) 3(7 y 3x xy x y 5) 2 y (2x x 9x ) (2 y 21y ) (6xy xy 12xy ) (4x 5x 18x) (6 y y 12 y ) (2 15) A B 3C 2 y x 23 y xy 27 x 20 y 10 Bài Tính tổng đa thức: A x y xy 3x B x y xy 2x Lời giải : A B ( x y xy 3x ) ( x y xy 2x 1) ( x y x y ) ( xy xy ) (3x 2x ) x2 y x2 Bài Cho P 2x – 3xy 4y ; Q x 4xy y ; R x 2xy 3y Tính: P – Q R Lời giải : Face: https://www.facebook.com/groups/204261230176860/ Trang Nhóm Tốn THCS Học Là Ham Thi Là Đỗ Đề Cương Toán THCS Ngơi Sao Nhóm Tốn THCS P – Q R 2x – 3xy 4y – x 4xy y x 2xy 3y 2x – 3xy 4y – x 4xy y x 2xy 3y 2x 3x x –3xy 4xy 2xy 4y y 3y 5xy 8y Bài Cho hai đa thức: M 3,5x y – 2xy 1,5x y 2xy 3xy N 2x y 3, 2xy xy 4xy2 –1, 2xy a) Thu gọn đa thức M N b) Tính M – N a) M 3,5x y – 2xy 1,5x y 2xy 3xy 3,5x y 1, 5x y 2 2xy 3xy 2xy 5x y xy 2xy N 2x y 3, 2xy xy 4xy – 1, 2xy 3, 2xy – 1, 2xy xy 4xy 2x y 2xy 3xy 2x y b) M – N 5x y xy 2xy – 2xy 3xy 2x y 5x y xy 2xy – 2xy 3xy 2x y 5x y 2x y xy 3xy 2xy – 2xy 3x y 4xy Bài Tìm tổng hiệu của: P x 3x x ; Q x 5x x 3x P x Q x x 4 Có Cơng Mài Sắt Có Ngày Nên Kim Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường Lời giải 5x x 3 3x x – 5x x 3x 5x x x 3 2x 2x – P x Q x 3x x 4 5x x 3x x – 5x x 3x 5x x x 3 8x – Bài Tính tổng hệ số tổng hai đa thức: K x x3 – mx m ; L x m 1 x 3mx m Lời giải Tổng hai đa thức là: K x L x x3 mx m2 m 1 x 3mx m2 x3 m 1 x 2mx 2m2 Face: https://www.facebook.com/groups/204261230176860/ Trang Nhóm Tốn THCS Học Là Ham Thi Là Đỗ Đề Cương Toán THCS Ngơi Sao Bài Nhóm Tốn THCS Tổng hệ số đa thức K x L x là: m 1 2m 2m 2m 3m Cho đa thức: f x 3x x x x3 x x3 a) Thu gọn đa thức xếp theo luỹ thừa giảm biến b) Tìm bậc, hệ số cao nhất, hệ số tự đa thức c) Tính f x g x ; f x g ( x) Lời giải Cho đa thức: f x 3x x x x x x g x 4 x x x x x x f x 5 x5 (4 x3 x3 ) (3x x ) x (7 8) 5 x x x x b) Tìm bậc, hệ số cao nhất, hệ số tự đa thức *) Đa thức f x có: - Bậc - Hệ số cao 5 - Hệ số tự *) Đa thức g x có: g x 4 x x x x x x - Bậc - Hệ số cao -2 - Hệ số tự -2 4 x x x x x x 4 x x3 2 x x x x 2 x x c) Tính f x g x ; 2f x g( x) f x g x (5 x5 x3 3x x 1) (2 x3 3x 2) 5 x x x x x x Có Cơng Mài Sắt Có Ngày Nên Kim Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường a) Thu gọn đa thức xếp theo luỹ thừa giảm biến : 5 x x x x f x g x 2.(5 x x 3x x 1) (2 x3 x 2) 10 x5 10 x3 x 10 x x 3x 10 x5 x x 13 x Bài Cho đa thức Cho đa thức: f x 3x x x , g x 4 x 3x 3x3 a) Tìm đa thức h x f x g x , k x f x g x b) Tính h , h 2 , k 2 c) Tìm giá trị nhỏ h x Lời giải a) Tìm đa thức h x f x g x , k x f x g x Ta có: h x f x g x x x x 4 x x x x2 4x Face: https://www.facebook.com/groups/204261230176860/ Trang Nhóm Tốn THCS Học Là Ham Thi Là Đỗ Đề Cương Toán THCS Ngơi Sao Nhóm Tốn THCS Và k x f x g x x x x 4 x x x 3x x x x 3x 3x3 x3 x 10 x 13 b) Tính h , h 2 , k 2 h 02 h 2 2 2 17 k 2 2 2 10 2 13 5 2 Do x với giá trị x x 2 h x với giá trị x Dấu " " xảy x x Vậy giá trị nhỏ h x x Bài 10 Cho đa thức: f x x x 1 x x x x g x 3 x x x 3 x x x Thu gọn xếp đa thức theo luỹ thừa giảm dần biến Xác định hệ số cao nhất, hệ số tự tìm bậc đa thức a) Tính h x f x g x ; k x f ( x) g ( x) b) Tìm giá trị nhỏ h x Có Cơng Mài Sắt Có Ngày Nên Kim Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường c) h x x x x x x Lời giải Sắp xếp đa thức f ( x) x 3x x3 x x x f ( x) x x x x Hệ số cao đa thức f x 1 ; hệ số tự ; bậc đa thức g ( x) 3 x x x x x3 x g ( x) 3x 3x x x Hệ số cao đa thức g x ; hệ số tự 2 ; bậc đa thức a) Tính: h x f x g x x x3 x x 3x 3x3 x x 3 x x x 15 x x x x x x 14 x Face: https://www.facebook.com/groups/204261230176860/ Trang Nhóm Tốn THCS Học Là Ham Thi Là Đỗ Đề Cương Toán THCS Ngơi Sao Nhóm Tốn THCS k x f x g x x x3 x x 3x x3 x x x x3 x x 3x 3x3 x x 4 x x x x b) Tìm giá trị nhỏ h x h x x 14 x 7 49 49 x2 x x2 x x 2 2 2 4 7 7 41 41 x x x x 2 2 2 2 2 Dạng 2: Nghiệm đa thức Bài 11 Xác định hệ số a để đa thức sau nhận x = làm nghiệm a) x ax b) ax x c) x ax Lời giải a) Đa thức x ax nhận x làm nghiệm 12 a.1 a a Vậy a đa thức x ax nhận x làm nghiệm b) Đa thức ax x nhận x làm nghiệm a.13 a a Vậy a đa thức ax x nhận x làm nghiệm c) Đa thức x ax nhận x làm nghiệm 7.12 a.1 a a 6 Vậy a 6 đa thức x ax nhận x làm nghiệm Bài 12 Xác định hệ số a, b đa thức f x x ax b trường hợp sau : a) f f x nhận x làm nghiệm b) Các nghiệm đa thức g x x 1 x nghiệm f x Lời giải a) Ta có f 02 a.0 b b f x x ax Lại có f x nhận x làm nghiệm nó, suy 12 a.1 a a 5 Vậy a 5 , b x 1 x 1 b) Ta có g x x 1 x x x Vì x 1 nghiệm f x 1 a 1 b a b a b Vì x nghiệm f x 22 a.2 b 2a b 1 b (vì a b ) 2b 2b 2b 6 b 3 a 2 Face: https://www.facebook.com/groups/204261230176860/ Trang Có Cơng Mài Sắt Có Ngày Nên Kim Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường 7 41 41 Có x x 2 2 4 h x 41 x Vậy GTNN 2 Nhóm Tốn THCS Học Là Ham Thi Là Đỗ Đề Cương Tốn THCS Ngơi Sao Bài 13 Nhóm Tốn THCS Vậy a 2 , b 3 Tìm nghiệm đa thức sau : a) f x 2014 x –1 b) h x x – 2014 2015 – x c) g x x – 81 d) q x 125 x x Lời giải a) Ta có: 2014 b) Ta có: x 2014 h( x) x – 2014 2015 – x x 2015 c) Ta có: g x x – 81 x 9 d) Ta có : x q x 125 x x x 125 x x Bài 14 Tìm nghiệm đa thức sau: a) f x x x – b) h x x x c) g x –x 2x Có Cơng Mài Sắt Có Ngày Nên Kim Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường f ( x) 2014 x –1 x Lời giải a) f x x x – f x x2 x – x 1 x 1 x x 5 b) h x x x h x x 5x 1 x x 1 x x 2 c) g x – x x – x2 2x x2 x x 1 x 1 x x Face: https://www.facebook.com/groups/204261230176860/ Trang Nhóm Tốn THCS Học Là Ham Thi Là Đỗ Tìm giá trị m để: a) Đa thức f x mx3 x x có nghiệm Nhóm Tốn THCS Bài 15 Đề Cương Tốn THCS Ngơi Sao b) Đa thức g x x m2 x mx mx –1 có nghiệm Lời giải a) Ta có : f 1 m.13 12 m 3 b) Ta có : g 1 14 m 13 m.12 m.1 –1 m m m m 2 B-BÀI TẬP NÂNG CAO Bài Cho hai đa thức M x 3xy y ; N y x 3xy Chứng minh không tồn giá trị x y để hai đa thức có giá trị âm Lời giải Ta có: M N x 3xy y y x 3xy x y x, y Nên tồn đa thức không nhận giá trị âm với x, y Vậy không tồn giá trị x y để hai đa thức có giá trị âm Bài Cho đa thức G x ax bx c (a, b, c hệ số) Có Cơng Mài Sắt Có Ngày Nên Kim Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường m 2m a) Hãy tính G 1 biết a c b b) Tính a, b, c biết G 4; G 9; G 14 Lời giải a) Ta có: G 1 a 1 b 1 c a b c mà a c b a b c 8 G 1 8 a.02 b.0 c G b) Ta có: G a.12 b.1 c a.22 b.2 c 14 G 14 c a b (1) 4a 2b 10 (2) Từ a b thay vào ta được: b 2b 10 20 4b 2b 10 b a b Vậy a 0; b 5; c Bài Cho đa thức f ( x) ax bx c Biết f (0) , f (1) , f (2) có giá trị nguyên Chứng minh: a) a b c, c , 2a, 2b số nguyên b) f (n) số nguyên với giá trị nguyên n Face: https://www.facebook.com/groups/204261230176860/ Trang Nhóm Tốn THCS Học Là Ham Thi Là Đỗ Đề Cương Toán THCS Ngơi Sao Nhóm Tốn THCS Lời giải a) f c, f 1 a b c, f 4a 2b c Do f , f 1 , f nguyên c, a b c 4a 2b c nguyên a b 4a 2b a b 2a a b 2b nguyên 2a, 2b nguyên Vậy a b c, c , 2a, 2b số nguyên b) Ta chứng minh: n chẵn n lẻ f n nguyên.Thật vậy, * n 2k f (n) ak 2bk c *n k f (n) a(2 k 1)2 b(2 k 1) c ak 4ak a 2bk b c ak 4ak 2bk a b c Mà 2a, 2b, a b c f (n) Vậy f (n) số nguyên với giá trị nguyên n Bài Cho đa thức f ( x) ax bx c a , b , c số nguyên Biết giá trị f ( x ) chia hết cho với giá trị nguyên x Chứng minh a , b , c chia hết cho Lời giải Ta có: f (0) c f 1 f 1 a b c a – b c 2b Vì f (1) , f(1) b b 2,3 Ta có: f 1 a b c Mà b 3, c a Vậy a , b , c chia hết cho Bài Cho đa thức f x x3 x x b a) Tìm a b để đa thức có nghiệm b) Với giá trị a b tìm câu a , tìm nghiệm lại đa thức Lời giải a) Đa thức f ( x) x3 ax x b có nghiệm f (1) 13 a.12 9.1 b b a (1) Đa thức f ( x) x3 ax x b có nghiệm f (3) 33 a.32 9.3 b 9a b (2) Thay (1) vào (2) suy 9a (a 8) a b b) với a 1, b đa thức f(x) có dạng f ( x) x3 x x cho f ( x) x3 x x ( x3 x ) (9 x 9) x (x 1) 9(x 1) (x 1)(x 9) Face: https://www.facebook.com/groups/204261230176860/ Trang Có Cơng Mài Sắt Có Ngày Nên Kim Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường Mà 2a, 2b, c f (n) Nhóm Tốn THCS Học Là Ham Thi Là Đỗ Đề Cương Toán THCS Ngơi Sao Nhóm Tốn THCS x 1 x 1 x x 3 Vậy nghiệm lại là: x 3 Bài Chứng tỏ đa thức f(x) thỏa mãn x 25 f ( x 1) x f ( x 1) có nghiệm Lời giải Đặt A x 25 f ( x 1) x f ( x 1) + Xét x , thay vào A ta được: 25 f (5 1) f (5 1) f (4) f (4) x = nghiệm A (1) + Xét x –5 , thay vào A ta được: 5 25 f (5 1) 5 f (5 1) 7 f (6) f (6) x = – nghiệm A (2) + Xét x = 2, thay vào A ta được: 2 25 f (2 1) f (2 1) 21 f (3) f (3) x nghiệm A (3) Từ (1), (2) (3) suy đa thức f x thỏa mãn x 25 f ( x 1) x f ( x 1) có nghiệm Bài Chứng minh đa thức f x có nghiệm nếu: a) xf x x f x với x b) x 3 f x x 1 f x với x Lời giải a) xf x x f x với x Chọn x ta có: f f f f f nên pt có nghiệm x Chọn x ta có: f f f 2 4 f 4 f f nên pt có nghiệm x Vậy đa thức f x có nghiệm x ; x b) x 3 f x x 1 f x với x Face: https://www.facebook.com/groups/204261230176860/ Trang Có Cơng Mài Sắt Có Ngày Nên Kim Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường 5 Đề Cương Tốn THCS Ngơi Sao Chọn x ta có: 3 f 3 2.3 1 f f 3 f 1 f 1 nên pt có nghiệm x Chọn x 1 ta có: f 2 5 f 1 1 3 f f nên pt có nghiệm x 2 2 1 1 f 2 1 5 f 2 Vậy đa thức f(x) có nghiệm x ; x : Tìm giá trị lớn biểu thức sau: x2 y B x y2 A | x | D x 19 với x x4 F xy biết x y C với x 6 x E x x 1 G xy biết x y H x 1 x Lời giải a) A x Ta có: x với x x x x x hay A dấu “=” xảy x x Vậy GTLN A x b) B x2 y x2 y Ta có: B x2 y2 x2 y2 1 1 2 2 x y 2 x y 2 x y2 Vì x x; y y x y x; y 1 Có Cơng Mài Sắt Có Ngày Nên Kim Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường Bài 1 3 1 1 f 2 Nhóm Tốn THCS Nhóm Tốn THCS Học Là Ham Thi Là Đỗ 1 x; y x y 2 2 x; y x y 2 2 x x Hay B x; y dấu “=” xảy y y Vậy GTLN B x y Face: https://www.facebook.com/groups/204261230176860/ Trang 10 Đề Cương Tốn THCS Ngơi Sao Nhóm Tốn THCS Nhóm Tốn THCS Học Là Ham Thi Là Đỗ Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường a) Vì ABD ACE có: AB AC ( ABC cân) AD DB AB AC AE EC ABC ACB ( ABC cân A ) Ta có: ECB ABD ACE 60 ABC ABD ACB ACE hay DBC Mà Xét DBC ECB có: DB EC DBC ECB (cmt ) DBC ECB (c.g c) BE=CD (2 cạnh tương ứng) BC chung b) Vì DBC ECB nên BCD CBE ECB DBC DBH 180 DBH ECK (cùng bù với ECB ) Vì DBC ECK 180 ECB Xét DBH EKC có: DHB EKC 90 DB EC (cmt ) DHB EKC (ch-gn) DH EK D, E cách BC ECK (cmt) DBH Bài cắt BC E Kẻ Cho tam giác ABC vuông C có A 60 Tia phân giác BAC EK AB K AB , kẻ BD AE D AE Chứng minh: a) b) c) d) AE trung trực đoạn thẳng CK KA KB EB AC đường thẳng AC ; BD ; KE đồng qui Lời giải Face: https://www.facebook.com/groups/204261230176860/ Trang 15 Có Cơng Mài Sắt Có Ngày Nên Kim Xét BOC có BCD CBE nên BOC cân O OB OC c) Vẽ DH BC , EK BC H, K DH, EK khoảng cách từ D E đến BC Đề Cương Tốn THCS Ngơi Sao Nhóm Tốn THCS Nhóm Tốn THCS Học Là Ham Thi Là Đỗ Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường a) Xét ACE AKE có: ACE AKE 90 CAE KAE ACE AKE (ch gn) AC = AK, CE = KE (2 cạnh tương ứng) AE chung AE trung trực CK EBA (=300) EB = AE (1) b) AEB có: EAB ACE vuông C, AE cạnh huyền AE > AC (2) Từ (1) (2) EB > AC c) AEB cân E Có Cơng Mài Sắt Có Ngày Nên Kim EK đường cao đồng thời trung tuyến nên KA = KB d) gọi AC giao BD S Xét tam giác ASB có: BC AS E trực tâm tam giác ASB SE AB AD BC E AD BS Mà EK AB nên S, E, K thẳng hàng Bài Cho tam giác ABC có AB < AC; hai đường cao AD; BE cắt H có AD=BE CAD Chứng minh đường thẳng CH trung trực AB a) So sánh BAD b) Chứng minh DE // BA c) Chứng minh: CH qua trung điểm O đoạn thẳng EH Lời giải Face: https://www.facebook.com/groups/204261230176860/ Trang 16 A Đề Cương Tốn THCS Ngơi Sao E H B C D a) Xét ABC có: AB AC ACB ABC (quan hệ góc cạnh đối diện tam giác) Nhóm Tốn THCS Nhóm Tốn THCS Học Là Ham Thi Là Đỗ Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường ABC 90 Có: BAD DAC ACB 90 DAB DAC Chứng minh BEC ADC (c.h g n) CA CB (2 cạnh tương ứng) ABC cân C Xét ABC có: AD, BE đường cao cắt H nên H trực tâm tam giác CH đường cao CH đường trung trực AB Có: BEC ADC CE CD CED cân C EDC 180 C DEC ABC EDC Mà góc vị trí đồng vị DE // AB (dấu hiệu nhận biết) c) Do DE // AB mà CH AB ( CH đường cao ABC ) nên CH DE Vậy CH đường cao tam giác CDE CDE cân C nên CH vừa đường cao vừa đường trung tuyến nên CD qua O trung điểm DE Bài Cho tam giác ABC vuông A, phân giác CD Gọi H hình chiếu điểm B đường thẳng CD Trên CD lấy điểm E cho H trung điểm DE Gọi F giao điểm BH CA Chứng minh rằng: a) CEB ADC ; EBH ACD b) BE vng góc với BC c) DF song song với BE Lời giải Face: https://www.facebook.com/groups/204261230176860/ Trang 17 Có Cơng Mài Sắt Có Ngày Nên Kim 180 C b) Có ABC cân C ABC BAC Đề Cương Tốn THCS Ngơi Sao Nhóm Tốn THCS Nhóm Tốn THCS Học Là Ham Thi Là Đỗ ADC a) c/m CEB Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường Xét BHD BHE có: DH HE ( gt ) BHE 90 BHD BHE (c g c) BDE BED BHD BH chung (2 góc đối đỉnh) nên ADC BDE ADC BED Mà Hay CEB ADC ACD +) c/m EBH EBH 90 Xét BHE vuông H có: HEB ACD ADC 90 ACD vng A có: Mà HEB ADC (cmt) ACD Do EBH Theo câu a ta có: ACD vng A có: ACD ADC 90 Mà BCE ACD (Vì CD tia phân giác ACB ) CEB ADC (c/m câu a) BCE 90 Vậy BEC vuông B hay BE BC Do CEB Vậy BE vng góc với BC c) DF song song với BE Xét BCF có CH vừa đường cao, vừa đường phân giác nên BCF cân C nên CH đồng thời đường trung tuyến BH = FH DH HE ( gt ) EHB DFH EHB (c g c) DHF Xét DHF EHB có: FH FB (cmt ) DFB EBF Mà góc vị trí sole nên DF song song với BE Bài Cho tam giác cân ABC, A 120 phân giác AD Kẻ DE AB, DF AC Trên đoạn EB FC lấy điểm I K cho EI = FK a) Chứng minh ∆DEF b) Chứng minh ∆DIK tam giác cân Face: https://www.facebook.com/groups/204261230176860/ Trang 18 Có Cơng Mài Sắt Có Ngày Nên Kim b) BE vng góc với BC Đề Cương Tốn THCS Ngơi Sao c) Từ C kẻ đường thẳng song song với AD cắt tia BA M Chứng minh MAC tam giác d) Tính AD biết CM = a Lời giải M A F E Nhóm Tốn THCS Nhóm Tốn THCS Học Là Ham Thi Là Đỗ C B D BAD CAD BAC 120 60 a) ABC cân A có AD tia phân giác BAC 2 Xét AED AFD có: AFD 90 AED AD chung CAD(cmt) BAD AED AFD (cạnh huyền – góc nhọn) ED FD DEF cân D (1) Có Cơng Mài Sắt Có Ngày Nên Kim Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường K I ADE 90 ADE 30 AED có: EAD ADF 90 ADF 30 AFD có: FAD EDA FDA 30 30 60 (2) EDF Từ (1) (2) DEF tam giác b) Xét DEI DFK có DFK 90 DEI DE DF(cmt) DI FK(gt) DEI DFK(cgc) DI DK DIK cân I AD BC D c) ABC cân A có AD tia phân giác BAC Mà AD // CM Face: https://www.facebook.com/groups/204261230176860/ Trang 19 Nhóm Tốn THCS Học Là Ham Thi Là Đỗ Đề Cương Toán THCS Ngơi Sao Nhóm Tốn THCS 90o CM BC C BCM 120o BCA 30 o ABC cân A có BAC 60o ACM CAM 180o CAM 60o Có: BAC ACM 60o ACM tam giác CAM có: CAM D trung điểm BC d) ABC cân A có AD tia phân giác BAC ABC cân A AB AC BM 2a BC2 CM BM BC BM CM 90o BCM có: BCM BC 4a a 3a BC a Vì D trung điểm BC DB a 90o Xét BDA có BDA AD2 BD2 AB2 (ĐL pytago) 3a a a AD a AD 4 Bài Cho ABC , O giao điểm đường phân giác AD BE Từ A kẻ đường vng góc với BE cắt BC P APC b) AOC a) Chứng minh ABP cân Lời giải A E O B C D P Face: https://www.facebook.com/groups/204261230176860/ Trang 20 Có Cơng Mài Sắt Có Ngày Nên Kim Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường CAM CA CM AC a Nhóm Tốn THCS Học Là Ham Thi Là Đỗ Đề Cương Toán THCS Ngơi Sao Nhóm Tốn THCS a) Xét ABP có: BE AP BE tia phân giác ABP ABP cân B b) Gọi I giao điểm AP BE Xét tam giác BIP ta có: 900 (1) IBP BIP (góc ngồi tam giác) B APC IPC 1 1 1800 B 900 B (2) B A B C B AC B 2 2 2 Từ (1) (2) suy APC AOC Bài Cho ABC cân A ( A 90 ) Hai đường cao BD CE cắt H, tia AH cắt BC I a) Chứng minh rằng: ABD ACE b) Chứng minh I trung điểm BC c) Từ C kẻ đường thẳng d vuông góc với AC , d cắt đường thẳng AH F CMR: CB tia phân giác FCH 60 AB cm Tính khoảng cách từ B đến đường thẳng CF d) Giả sử BAC Lời giải Có Cơng Mài Sắt Có Ngày Nên Kim Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường OBC OCB (góc ngồi tam giác) AOC AOE EOC ABO BAO a) Xét ABD vng D ACE vng E có: AB = AC ( ABC cân A ) Face: https://www.facebook.com/groups/204261230176860/ Trang 21 Nhóm Tốn THCS Học Là Ham Thi Là Đỗ Đề Cương Tốn THCS Ngơi Sao Nhóm Tốn THCS chung A ABD ACE (cạnh huyền – góc nhọn) b) ABC có BD CE đường cao, BD cắt CE H nên H trực tâm AI đường cao Mà ABC cân A nên AI đường trung tuyến I trung điểm BC c) Ta có ABD ACE ABD ACE Ta có DBC ABC ABD ECB ACB ACE ECB (1) DBC BCF (2 góc so le trong) (2) Ta có BH AC ; FC AC BH //FC DBC BCF CB tia phân giác FCH Từ (1) (2) ECB d) Kẻ BG CF G BG khoảng cách từ B đến CF 60 ABC AB AD cm Giả sử BAC ABC có BD đường cao BD đường trung tuyến CD BC cm BCF BCD CBG CD BG Xét BCD CBG có BD cạnh chung, DBC Mà CD cm BG cm Có Cơng Mài Sắt Có Ngày Nên Kim Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường ABD ACE ABC ACB Mà II - BÀI TẬP NÂNG CAO Bài Xét tam giác ABC có ba đường trung tuyến AM , BD, CE G trọng tâm Gọi F cho N trung điểm BF A Xét ABN CFN có: AN CN (giả thiết) E F G N (đối đỉnh) ANB CNF B BN FN (cách vẽ) M C Do ABN CFN (cạnh – góc – cạnh) AB CF (hai cạnh tương ứng) Xét BCF có CF BC BF (bất đẳng thức tam giác) Hay AB BC BN (1) Face: https://www.facebook.com/groups/204261230176860/ Trang 22 Nhóm Tốn THCS Học Là Ham Thi Là Đỗ Đề Cương Tốn THCS Ngơi Sao AB AC AM (2) AC BC 2CE (3) Nhóm Tốn THCS Chứng minh tương tự ta có: Từ (1), (2) (3) ta có: 2.( AB AC BC ) 2.( AM BN CE ) (*) Hay AB AC BC AM BN CE Xét ABG có GA GB AB (bất đẳng thức tam giác) 2 AM BN AB 3 AM BN AB (4) Chứng minh tương tự ta có: AM CE AC (5) BN CE BC (6) Từ (4), (5), (6) ta có: 2.( AM BN CE ) ( AB AC BC ) Hay AM BN CE ( AB AC BC ) (* *) Từ (*) (* *) suy tổng độ dài ba trung tuyến tam giác lớn nhỏ chu vi tam giác chu vi tam giác Bài A1 A E F O B D C C1 B1 a) Chứng minh AE AF , BD BF , CD CE Face: https://www.facebook.com/groups/204261230176860/ Trang 23 Có Cơng Mài Sắt Có Ngày Nên Kim Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường Hay Đề Cương Tốn THCS Ngơi Sao Xét hai tam giác vng AEO AFO có cạnh OA chung, OE OF (Tính chất đường phân giác) AEO AFO (ch – cgv) AE AF (hai cạnh tương ứng) Chứng minh tương tự ta có: BDO BFO BD BF (hai cạnh tương ứng) CDO CEO CD CE (hai cạnh tương ứng) b) Chứng minh EA1 FB1 DC1 EA1 AE AA1 AE BC Ta có FB1 BF BB1 BF AC BF AE CE AE BD CD AE BC DC CD CC CD AB CD AF BF AE CD BD AE BC Nhóm Tốn THCS Nhóm Tốn THCS Học Là Ham Thi Là Đỗ c) Chứng minh O giao điểm đường trung trực tam giác A1 B1C1 Xét hai tam giác vng OEA1 OFB1 có: OE OF (Tính chất đường phân giác), EA1 FB1 (cmt) OEA1 OFB1 OA1 OB1 (1) (hai cạnh tương ứng) Chứng minh tương tự ta có: OFB1 ODC1 OB1 OC1 (2) (hai cạnh tương ứng) Từ (1) (2) OA1 OB1 OC1 O nằm ba đường trung trực tam giác A1 B1C1 hay O giao điểm đường trung trực tam giác A1 B1C1 Bài Cho ABC AB AC Gọi D điểm nằm A B , E điểm nằm A C BD CE Gọi M , N , I trung điểm BC , DE , BE d) Chứng minh MNI cân e) Đường thẳng MN cắt đường thẳng AB P , cắt đường thẳng AC Q Chứng minh tam giác APQ cân f) Kẻ phân giác AF tam giác ABC Chứng minh MN // AF Lời giải a) Ta chứng minh toán sau: ‘‘Cho ABC Gọi M , N trung điểm AB, AC Chứng minh MN BC; MN // BC ’’ A M E N B Face: https://www.facebook.com/groups/204261230176860/ C Trang 24 Có Cơng Mài Sắt Có Ngày Nên Kim Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường EA1 FB1 DC1 Nhóm Tốn THCS Học Là Ham Thi Là Đỗ Đề Cương Tốn THCS Ngơi Sao Nhóm Tốn THCS Trên tia đối tia NM lấy điểm E cho NM NE Ta có AMN CEN (c.g.c) AM CE (2 cạnh tương ứng) Mà AM MB Dó đó, CE MB Vì AMN CEN AMN NCE Mà góc vị trí so le AB // CE MC cạnh chung ECM (so le trong, AB // CE ) BMC BM CE (cmt) BMC ECM (c.g c) ME BC Mà MN 1 ME MN BC (2) 2 CME Vì BMC ECM BCM Mà góc vị trí so le MN // BC Vậy MN BC MN // BC Có Cơng Mài Sắt Có Ngày Nên Kim Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường Xét BMC ECM ta có: Áp dụng tốn : Trong BED có N trung điểm DE I trung điểm BE Face: https://www.facebook.com/groups/204261230176860/ Trang 25 Nhóm Tốn THCS Học Là Ham Thi Là Đỗ BD; IN // BD 1 Nhóm Tốn THCS IN Đề Cương Tốn THCS Ngơi Sao Trong BEC có M trung điểm BC I trung điểm BE IM EC; IM // EC Lại có BD EC (gt) (3) b) Ta có N P 180 PDN P N (so le trong, IN // BD) N (4) PDN N N 180 N Ta có: M C 180 Q M (so le trong, IM // EC) M Q C M M M 180 Q (đối đỉnh) Mà Q Q (5) Nên M Có Cơng Mài Sắt Có Ngày Nên Kim Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường Từ (1); (2) (3) IN IM IMN cân I N ( IMN cân I ) (6) Lại có M 3 Q APQ cân A Từ (4), (5) (6) P c) Gọi K giao điểm IN , AC Ta có : Q , M N , N N (đối đỉnh) M 3 N KQN cân K Q Q N 2Q (Góc ngồi KNQ ) Ta có: NKE BAC EAF (IN // AB, so le trong) NKE Q mà góc vị trí đồng vị MQ // AF hay MN // A F EAF Face: https://www.facebook.com/groups/204261230176860/ Trang 26 Bài Đề Cương Toán THCS Ngôi Sao Cho ABC ( AB AC ) Từ trung điểm D cạnh BC kẻ đường thẳng vuông góc với tia phân giác góc A , đường thẳng cắt tia AB , AC M N a) Chứng minh AMN cân b) Chứng minh BM CN c) Cho AB c, AC b Tính AM , BM theo b c Lời giải A M N E F D C NFA 90 MFA, NFA tam giác vng a) Vì FA MN MFA Xét MFA vng NFA vng có FAN FAM Cạnh AF chung Do MFA NFA (cgv- góc nhọn kề) AM AN AMN cân A NCD ANM ; EBD b) Kẻ BE // AC , E MN BEM Có Cơng Mài Sắt Có Ngày Nên Kim Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường B Nhóm Tốn THCS Nhóm Tốn THCS Học Là Ham Thi Là Đỗ BEM BME cân B Xét BME có BME BM BE (1) Xét BED CND có BD CD CDN BDE NCD EBD Do BED CND ( g c.g ) BE NC (2) Từ (1), (2) ta có BM NC c) Ta có Face: https://www.facebook.com/groups/204261230176860/ Trang 27 Nhóm Tốn THCS Học Là Ham Thi Là Đỗ Đề Cương Tốn THCS Ngơi Sao Ta có AM AB BM AM c Bài Nhóm Tốn THCS AC AN NC Do AN AM ; AM AB BM AC AB BM NC Do BM MC AC AB BM AC AB BM bc BM bc bc 2 a) Chứng minh MCB MCE b) Chứng minh tam giác EMB tam giác c) Tính AMB Lời giải a) Có Cơng Mài Sắt Có Ngày Nên Kim Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường Cho tam giác ABC cân A có A 100 , M điểm nằm tam giác cho 10 , MCB 20 Trên tia CA lấy điểm E cho CE CB MBC 20; MBA 30 Tam giác ABC cân A nên ABC ACB 40 MCA MCA 20 MCB MCE c.g.c xét tam giác MCB, MCE có CM chung, MCB CME CMB b) Từ MCB MCE MB ME 150 EMB 60 , mà MB ME nên tam giác MEB tam giác mà CMB c) 60 Mà MBA 30 Do tam giác MEB nên MB BE , MBE ABE 30 Xét ABM ABE có Face: https://www.facebook.com/groups/204261230176860/ Trang 28 Nhóm Tốn THCS Học Là Ham Thi Là Đỗ Đề Cương Tốn THCS Ngơi Sao Nhóm Tốn THCS BA chung BEA ABM ABE 30 ABM ABE c.g c BMA BM BE cmt BEC 70 nên BMA 70 Mà BEA Có Cơng Mài Sắt Có Ngày Nên Kim Nơi Đâu Có Ý Chí Ở Đó Có Con Đường Face: https://www.facebook.com/groups/204261230176860/ Trang 29 ... xy 2xy N 2x y 3, 2xy xy 4xy – 1, 2xy 3, 2xy – 1, 2xy xy 4xy 2x y 2xy 3xy 2x y b) M – N 5x y xy 2xy – 2xy 3xy 2x y 5x y xy 2xy – 2xy ... trị nhỏ h x h x x 14 x 7 49 49 x2 x x2 x x ? ?2 2 2 4 7? ?? 7? ?? 41 41 x x x x 2? ?? 2? ?? 2? ?? 2? ?? 2 Dạng 2: Nghiệm đa thức Bài 11 Xác định... Tính h , h ? ?2 , k ? ?2 h 02 h ? ?2 ? ?2 ? ?2 17 k ? ?2 ? ?2 ? ?2 10 ? ?2 13 5 2 Do x với giá trị x x 2? ?? h x
Ngày đăng: 28/02/2021, 13:49
Xem thêm:
