Phân tích tín hiệu bằng biến đổi wavelet

Bộ giáo dục đào tạo Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội - LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC PHÂN TÍCH TÍN HIỆU BẰNG BIẾN I WAVELET Lấ QUí GIA Luận Văn Thạc Sĩ Khoa Häc CHUN NGÀNH: ĐIỆN TỬ- VIỄN THƠNG Hµ Néi - 2005 Bộ giáo dục đào tạo Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội - LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC PHÂN TÍCH TÍN HIỆU BẰNG BIẾN I WAVELET Lấ QUí GIA Luận Văn Thạc Sĩ Khoa Häc CHUYÊN NGÀNH: ĐIỆN TỬ- VIỄN THÔNG NGƯỜI HƯỚNG DẪN PGS – TS NGUYỄN QUỐC TRUNG Hµ Néi - 2005 -1- MỤC LỤC CHƯƠNG I: BIẾN ĐỔI WFT 1.1 Định nghĩa 1.2 Đặc điểm phân giải thời gian – tần số 1.3 Nguyên lý bất định 1.4 Spectrogram 11 1.5 Khôi phục tín hiệu từ biến đổi WFT 14 1.5.1 Khơi phục tích phân liên tục 14 1.5.2 Khôi phục rời rạc 14 1.6 Biến đổi WFT cho tín hiệu rời rạc thời gian 16 1.7 Phép trừ phổ 19 CHƯƠNG II : BIẾN ĐỔI WAVELET 22 2.1 Giới thiệu biến đổi Wavelet 22 2.2 Biến đổi wavelet liên tục (Continuous Wavelet Transform-CWT) 23 2.2.1 Định nghĩa 23 2.2.2 Cửa sổ phân giải thời gian – tần số 25 2.2.3 Tính chất biến đổi CWT 27 2.2.3.1 Tính chất tuyến tính 27 2.2.3.2 Tính bất biến Affine 27 2.2.3.3 Bất biến chuyển dịch 27 2.3 Cặp tham số thời gian – tỉ lệ 27 2.3.1 Lấy tỉ lệ 27 2.3.2 Dịch thời gian 28 2.3.3 Các bước để thực biến đổi CWT cho tín hiệu 28 2.3.4 Mối liên hệ tỉ lệ tần số 30 2.3.5 Đồ thị Scalogram 31 2.3.6 So sánh với biến đổi WFT 32 2.4 Khôi phục biến đối Wavelet 34 2.4.1 Khơi phục tích phân 35 2.4.2 Hàm wavelet phân đôi bán rời rạc 36 2.5 Biến đổi wavelet rời rạc (Discrete Wavelet Transform-DWT) 39 2.5.1 Định nghĩa 39 2.5.2 Phân tích đa phân giải 40 2.5.2.1 Biến đổi Wavlet với hàm Haar 40 2.5.2.2 Hệ thống đa phân giải 46 2.5.2.3 Các đẳng thức lý thuyết wavelet 49 2.5.2.4 Xây dựng hàm mother từ hàm father .56 2.5.2.5 Xây dựng hàm wavelet 58 -22.5.3 Một số hàm wavelet thông dụng 64 2.5.3.1 Hàm B-Splines 64 2.5.3.2 Hàm Daubechies 69 2.5.3.3 Hàm Coiflets 73 2.5.4 Phân tích tổng hợp tín hiệu MRA 76 2.5.4.1 Các hệ thống MRA (Orthogonal, Biorthogonal, Semiorthogonal) 76 2.5.4.2 Phân giải tín hiệu hệ thống MRA 77 2.5.5 Hệ thống đa phân giải mơ hình lọc 79 2.5.5.1 Phân tích – Quan hệ phân giải (Decompostition relation) .80 2.5.5.2 Tổng hợp – Quan hệ tỉ lệ bậc (Two-scale) 81 2.5.6 Mối liên hệ lọc 84 2.5.6.1 Các mối liên hệ lọc .84 2.5.6.2 Xét với hệ thống Semiorthogonal, Orthogonal, Biorthogonal.87 2.6 Biến đổi wavelet 2D 91 2.6.1 Phân tích 2D 91 2.6.2 Giải thuật 93 2.6.2.1 Phân tích 93 2.6.2.2 Tổng hợp 94 CHƯƠNG III : ỨNG DỤNG CỦA WT 95 3.1 Nén tín hiệu 95 3.1.1 Nguyên lý 95 3.1.2 Nén tín hiệu với Wavelet Packet Transform 99 3.1.3 Giải thuật lựa chọn sở tốt chọn ngưỡng 102 3.1.3.1 Lựa chọn sở tốt 103 3.1.3.2 Chọn ngưỡng 104 3.2 Triệt nhiễu 106 3.2.1 Nguyên lý 106 3.2.2 Chọn ngưỡng 107 3.2.2.1 Phương pháp Unbiased Risk Estimate Stein (SURE) .108 3.2.2.2 Phương pháp Visually Calibrated Adaptive Smoothing (VISU) 109 3.2.2.3 Phương pháp lai 109 3.2.2.4 Phương pháp Median Absolute Deviation (MAD) 110 3.2.2.5 Phương pháp MINMAX .110 3.2.3 Triệt nhiễu WPT 110 -3- MỞ ĐẦU Như biết, lĩnh vực xử lý tín hiệu, mục đích phân tích tín hiệu miền tham số khác để từ xử lý, đánh giá, Phương pháp phân tích Fourier truyền thống trở nên quen thuộc ngành xử lý tín hiệu với nhiều ứng dụng xử lý ảnh, âm thanh, Phân tích Fourier cho phép phân tích tín hiệu thành phần hàm số sin cosin điều hịa cách biến đổi tín hiệu miền thời gian sang miền tần số ngược lại Tuy nhiên, với tín hiệu khơng có tính tuần hồn, việc phân tách tín hiệu thành phần điều hịa khơng thể xác đặc tính tín hiệu ban đầu Để giải khó khăn này, có biến đổi Fourier cửa sổ thời gian (Window Fourier Transform-WFT) Với biến đổi WFT, tín hiệu ban đầu cắt nhiều phân đoạn, phân đoạn phân tích thành phần tần số cách độc lập Phương pháp cho phép đánh giá tín hiệu đồng thời hai miền tham số thời gian tần số Tuy nhiên, WFT có nhiều nhược điểm độ phân giải hai tham số Với nhiều kết thành công nhà nghiên cứu lĩnh vực xử lý tín hiệu, có phương pháp phân tích có tên biến đổi wavelet (Wavelet transform-WT) Biến đổi WT cho phép đánh giá tín hiệu hai tham số thời gian tần số đồng thời với độ phân giải (chính xác) cao, từ biến đổi wavelet trở thành nhân tố lĩnh vực xử lý tín hiệu xử lý ảnh, âm thanh, Trong phạm vi luận văn này, Chương I giới thiệu biến đổi WFT, phương pháp đánh giá tín hiệu cặp tham số thời gian-tần số phân tích nhược điểm tồn phương pháp Chương II giới thiệu biến đổi WT từ khái niệm nhất, kết thành công mà -4phương pháp mang lại khả phân giải hai tham số thời gian-tần số chương III giới thiệu hai ứng dụng quan trọng biến đổi WT nén tín hiệu triệt nhiễu tín hiệu -5- NỘI DUNG CHƯƠNG I: BIẾN ĐỔI WFT 1.1 Định nghĩa Trong nhiều ứng dụng kỹ thuật, tín hiệu x(t) với t biến liên tục, cần xác định thành phần phổ tần số tín hiệu đồng thời xác định thành phần tần số có mặt vào thời điểm tín hiệu Ví dụ nhạc, nốt nhạc (có tần số xác định) chơi vào thời điểm Như biết, với biến đổi Fourier truyền thống:  ω) = x( 2π ∫ x(t)e −iωt dt (1.1) Qua biến đổi Fourier, xác định thành phần tần số có mặt x(t) , nhiên thơng tin định vị mặt thời gian hồn tồn khơng, giải khía cạnh vấn đề Do vậy, cần định hướng tới phương pháp biến đổi cho phép xác định đồng thời hai tham số thời gian thành phần tần số tín hiệu Biến đổi WFT dạng biến đổi đáp ứng điều Yếu tố thời gian xác định thơng qua việc giới hạn khung quan sát tín hiệu x(t) , sau tiến hành biến đổi Fourier thơng thường phần tín hiệu bị giới hạn ∞  γ (= x τ, ω) ∫ x(t)γ (t − τ)e * −∞ (Dấu * biểu thị giá trị liên hợp) −iωt dt (1.2) -6Dưới ví dụ biến đối WFT đoạn tín hiệu nhạc Hình 1.1 : Đoạn nhạc Hình 1.2 : Biến đổi WFT Thông thường, chọn cửa sổ thực, thường đáp ứng lọc thơng thấp Có nhiều phương án sử dụng hàm cửa sổ γ , hầu hết số đề hàm hẹp trơn, thông thường sử dụng hàm Gaussian Nếu chọn hàm cửa sổ hàm Gaussian, có biến đổi Gabor Tính chất dịch biến đổi WFT: Khi dịch tín hiệu dẫn tới phép dịch biến đổi hiệu x(t) → x(t)eiω0t t0 x(t) → x(t − t0 ) ) Hơn nữa, điều chế tín dẫn tới phép dịch biến đổi ω0 1.2 Đặc điểm phân giải thời gian – tần số Áp dụng tính chất biến đổi Fourier, thu : -7γ τ, ω (t) := γ(t − τ)eiωt ∞ γ τ, ω (ν) := ∫ γ(t − τ)e −i(ν −ω)t dt = γ(ν − ω)e−i(ν −ω)τ (1.3) −∞ Từ quan hệ Parserval: ∞ ∫ x(t)γ (t − τ)e * x, = γ τ, ω −iωt dt −∞   x, γ τ, ω = 2π = 2π ∞ * ∫ x( ν)γ (ν − ω)e i(ν −ω)τ dν (1.4) −∞ có:  γ (τ, ω) e−iωτ = x 2π ∞ * ∫ x( ν)γ (ν − ω)e iντ dν (1.5) −∞ Từ thấy, việc quan sát tín hiệu phạm vi cửa sổ thời gian γ* (t − τ) đồng thời dẫn tới giới hạn phạm vi phổ tần số cửa sổ * γ (ν − ω) Chúng ta giả sử γ* (t − τ) * γ (ν − ω) tập trung khoảng thời gian tần số định  τ + t0 − ∆ t , τ + t0 + ∆ t  (1.6) ω + ω0 − ∆ ω , ω + ω0 + ∆ ω  (1.7) và: Khi đó,  γ (τ, ω) mang x thơng tin tín hiệu x(t) phổ tần số  ω) x( cửa sổ thời gian – tần số sau :  τ + t0 − ∆ t , τ + t0 + ∆ t  x ω + ω0 − ∆ ω , ω + ω0 + ∆ ω  Vị trí cửa sổ thời gian – tần số xác định tham số (1.8) τ ω, có phân giải đồng mặt phẳng thời gian – tần số, hình sau : -8- Hình 1.3 : Cửa sổ phân giải thời gian – tần số biến đổi WFT Chúng ta tiếp tục phân tích kích thước vị trí cửa sổ phân tích Điều kiện để hàm γ* (t) có dạng cửa sổ * γ (ω) Vì vậy, tương tự có điều kiện để số * γ (ω) ∈ L ( ) sổ thời gian γ* (t) * ωγ (ω) ∈ L ( ) γ* (t) ∈ L ( ) Giá trị trung tâm tγ* (t) ∈ L ( ) trở thành hàm cửa sổ tần t0 bán kính ∆t cửa định nghĩa tương tự giá trị trung bình độ lệch chuẩn biến ngẫu nhiên sau : ∞ t0 = ∫ t −∞ γ(t) γ dt 1/2 ∞  γ(t)  = ∆t (t − t0 ) dt    γ  −∞  ∫ (1.9) Tương tự, có tần số trung tâm sổ tần số Γ* (ω) ω0 bán kính ∆ω cửa sau : ∞ ω0 = ∫ω −∞ γ(ω) γ dω 1/2 ∞  γ(ω)   ∆ = dω   (ω − ω0 ) ω γ  −∞    ∫ (1.10) - 98 Ở ví dụ này, sử dụng mức ngưỡng ε cho giữ lại 128 hệ số mà thôi, hệ số khác đặt giá trị Tỉ lệ nén 1024/128 = Hình 3.3: Sơ đồ biến đổi WT Từ hình (3.1), so sánh tín hiệu sau khơi phục y i tín hiệu ban đầu yi, khơng có khác biệt đáng kể Về mặt định lượng, sai số RMS (Root-mean-square) hai tín hiệu ( y i − yi )2 / N xấp xỉ 2.8587x10-5 Trong biến đổi WT trên, véc tơ ban đầu phải có độ dài 2p Nếu chiều dài lẻ, giải thuật WT thực Do vậy, cần phải có số phương pháp khắc phục khó khăn Trên thực tế có nhiều phương pháp chèn điểm 0, lấy đối xứng, ngoại suy, Bên cạnh đó, việc cắt bớt liệu hay hai đầu véc tơ hệ số ban đầu sử dụng số trường hợp Hiện nay, có phương pháp áp dụng có tên coefficient position-retaining (CPR) Áp dụng CPR, chiều dài aj mức phân giải j Lj số chẵn, áp dụng WT bình thường Các hệ số tỉ lệ hệ số wavelet mức phân giải (j+1) có - 99 chiều dài Lj/2 Mặt khác, Lj số lẻ, WT áp dụng với aj loại trừ hệ số cuối Hệ số giữ ngun chuyển xuống vị trí mức phân giải trở thành hệ số cuối dj+1 mức phân giải (j+1) Như vậy, số hệ số tỉ lệ wavelet mức (j+1) (Lj-1)/2 (Lj-1)/2 + Giả sử véc tơ hệ số cần áp dụng WT có 1232 hệ số, có mơ hình biến đổi sau: Hình 3.4: Giải thuật WT sử dụng CPR 3.1.2 Nén tín hiệu với Wavelet Packet Transform Wavelet Packet Transform (WPT) phát triển từ biến đổi WT Trong WT, tập hợp hệ số aj sử dụng để phân giải hệ số tỉ lệ wavelet mức phân giải Trong WPT, hệ số dj phân giải mức phân giải tiêp theo Hình 3.4 biến đổi WPT véc tơ hệ số ban đầu {w } 0 với độ dài 2p Ở đây, wpj biểu thị thành phần phân tích WPT, với j mức phân giải p số biểu thị bậc thành phần hệ số bảng wavelet packet Vì WPT tiến hành phân giải hai tập hợp - 100 hệ số nhánh father mother nên cịn có tên full binary tree hay WPT binary tree Hình 3.4: Biến đổi WPT Chúng ta nhận thấy, tín hiệu ban đầu phân giải thành nhiều thành phần biểu thị theo nhiều sở khác nhau, tín hiệu ban đầu biểu diễn tổ hợp sở thích hợp chọn từ tổ hợp WPT binary tree Tổ hợp tập sở gọi wavelet packet table Ví dụ, tổ hợp {w , w w , w , w , w } 3 2 {w , w w , w , w , w } Việc tìm tổ hợp thích hợp gọi best-basis 2 3 2 selection Với tổ hợp nào, tổng số hệ số với số hệ số ban đầu Giải thuật WPT xây dựng dựa định lý Daubechies: Định lý Daubechies (splitting trick): Nếu {f( − k),k ∈  } ONS = F1(t) ∑ h (k)x(t − k) ∑ h (k)x(t − k) k = F2 (t) (3.3) k {F1( − 2k),F2 ( − 2k);k ∈  } ONS cho không gian E xây dựng sở {f( − n),n ∈  } - 101 Chúng ta không nghiên cứu phần chứng minh định lý luận văn mà thừa nhận kết Rõ ràng định lý f hàm father ϕ , từ mối liên hệ: ∑ g [k]ϕ(2 ∑ g [k]ϕ(2 ϕ(2 j= t) j+1 t-k) k ψ(2 j= t) j+1 (3.4) t-k) k với ϕ(2 j t) ∈ Vj ψ(2 j t) ∈ Wj , áp dụng định lý với không gian Wj sinh không gian wavelet packet Như vậy, giải thuật biến đối WPT xây dựng dựa đẳng thức biến đổi sau, tương tự giải thuật FWT: + Mối quan hệ phân tích: N ∑w = w2p j,k p j-1,mh0 (2k − m) m =1 = w2p+1 j,k N ∑w p j-1,mh1 (2k − m) (3.5) m =1 + Mối quan hệ tổng hợp: = wpj,k N ∑ w2p j+1,mg0 (2k − m) + N ∑w 2p+1 j+1,mg1 (2k − m) (3.6) = m 1= m Các bước sử dụng WPT để nén liệu sau: (1) Áp dụng WPT với hệ số ban đầu hệ số wpj với w00 p 0, , j−1 − j = 1, ,N = tới mức phân giải N thu sử dụng mối quan hệ (2) Tìm tổ hợp sở tốt (3) Gán giá trị cho hệ số có giá trị nhỏ tổ hợp tốt để giữ lại hệ số hữu ích việc áp dụng mức ngưỡng (4) Lưu giữ lại tập hợp hệ số thu - 102 (5) Khơi phục lại tín hiệu ban đầu cần thiết cách áp dụng biến đổi ngược WPT với tập hợp hệ số thu bước Giải thuật WPT có thêm bước so với FWT phương pháp CPR áp dụng gặp số hệ số lẻ Ví dụ: Áp dụng WPT với hàm wavelet Daubechies18, mức phân giải N=9, hệ số ban đầu w00 có 1024 phần tử áp dụng phương pháp lựa chọn tổ hợp tốt Coifman-Wickerhauser Chúng ta có so sánh tín hiệu sau nén tín hiệu ban đầu sau: Hình 3.5: Tín hiệu sau khơi phục tín hiệu ban đầu (WPT) Sai số RMS vào khoảng 4,0842x10-5 3.1.3 Giải thuật lựa chọn sở tốt chọn ngưỡng Như phân tích, việc nén tín hiệu sử dụng WT hay WPT dựa hai vấn đề cần giải quyết: + Tìm sở tốt - 103 + Xác định mức ngưỡng để giữ nguyên giá trị hệ số cần thiết 3.1.3.1 Lựa chọn sở tốt Chúng ta cần tìm tập hợp hệ số thích hợp wavelet packet tree để biểu diễn tín hiệu Mục tiêu đặt cần tìm hệ số có khác định, phương pháp sử dụng entropy Chúng ta cần tìm tạp hợp hệ số có entropy nhỏ nhất, tập hợp hệ số có nhiều hay hệ số có giá trị giống cho entropy thấp cao Tập hợp phải có hệ số có giá trị lớn mức ngưỡng để đạt hệ số nén cao Chúng ta có số phương pháp để tính tốn entropy, phổ biến phương pháp Coifman-Wickerhauser Shannon-Weaver Phương pháp Coifman-Wickerhauser: M ∑p λCW = − m logpm (3.6) m =1 với ( pm = wpj,m / w00 ) , M số hệ số {w } p j w00 = M ∑w 0,m m =1 Phương pháp Shannon-Weaver: HSW = − M ∑q m log qm (3.7) m =1 với qm = wpj,m / wpj Khi có wavelet packet tree, xác định mức entropy node phương pháp nêu Để tìm sở tốt nhất, tiến hành tìm kiếm cách so sánh entropy hai mức phân giải gần Vì node một tập tín hiệu ban đầu tập tổng trực giao hai node Chúng ta thực phép so sánh entropy tổng giá trị entropy hai hậu duệ liên tiếp Ví dụ, hình 3.4, giá trị entropy w20 lớn - 104 tổng w30 w13 , lựa chọn hai node Tới mức phân giải thứ 4, so sánh giá trị w14 , w24 w34 Tuy nhiên w12 w30 w13 với node chúng có entropy nhỏ tổng w23 w04 w33 , chọn node cha thủ tục chọn sở dừng 3.1.3.2 Chọn ngưỡng Trong hai giải thuật FWT WPT, việc xác định giá trị ngưỡng ε quan trọng để định bỏ qua giá trị hệ số nhỏ, giữ lại hệ số có ích Giá trị ngưỡng ε cao hệ số nén lớn tín hiệu sau khơi phục bị ảnh hưởng xấu độ xác Do vậy, việc xác định giá trị ngưỡng điểm cốt lõi ứng dụng nén tín hiệu Có nhiều phương pháp để xác định giá trị ngưỡng, tìm hiểu số phương pháp phổ biến (1) Universal threshold Giá trị ngưỡng định nghĩa sau: ε = (2 log2 (S)) Ở S = Nlog2 (N) (3.8) cho WPT S=N cho FWT (N số hệ số ban đầu) Mức ngưỡng áp dụng cho véc tơ liệu f chuẩn hóa tới mức nhiễu 1, có nghĩa phân tích tín hiệu tới mức phân giải j=1 để thu hệ số d1, ước lượng mức nhiễu dựa đó, ví dụ lấy trung bình d1: s= median( d1 ) 0, 6745 (3.9) Sau đó, chuẩn hóa véc tơ f f/s trước tiến hành nén tín hiệu (2) Mức ngưỡng xác định theo tỉ số nén (CR-Compression ratio) Thông thường CR xác định tỉ số L’/L, với L số hệ số ban đầu L’ số hệ số giữ lại sau định Ví dụ: tỉ số nén cần có CR 16, giữ lại 64 hệ số, mức ngưỡng phải có giá trị hệ số thứ 64 - 105 - (3) Mức ngưỡng xác định theo sai lệch bình phương trung bình tín hiệu sau khơi phục Đây phương pháp hay sử dụng sai lệch quân phương đánh giá chất lượng việc nén tín hiệu Sai lệch lớn cho thấy thành phần tín hiệu hữu ích bị lớn Phương thức tìm giá trị ngưỡng tốt tiến hành thử nghiệm đo sai lệch Do tính chất trực giao chuẩn hóa hàm sở WT, nên sai lệch quân phương tín hiệu sau khôi phục với tổng bậc hai hệ số bị bỏ qua tập hợp hệ số Do xác định chất lượng nén mà khơng cần khơi phục tín hiệu (4) Minimum description length (MDL) MDL tiêu chuẩn tối ưu hóa hệ số giữ lại sai lệch tín hiệu sau khơi phục Sử dụng tiêu chuẩn MDL cho phép lựa chọn mức ngưỡng linh hoạt hơn, thích hợp với ứng dụng thực tế mà mức nhiễu khó xác định MDL định nghĩa bởi: 2 L 3 MDL(k,n)  k log(L) + log (I − Θk )wkn f  = 2  (3.10) Ở L chiều dài tín hiệu f, n thể cho lọc, k (0 ≤ k < L ) biểu thị số phần tử khác véc tơ hệ số thước L, Θk wkn , I ma trận đơn vị kích tốn tử ngưỡng chứa k phần tử lớn (giá trị tuyệt đối) đặt phần tử khác 0, (I − Θk )wkn f thể sai lệch tín hiệu ban đầu tín hiệu sau khơi phục với k phần tử lớn Số hạng thứ MDL đóng vai trị mức định giữ lại hệ số khác 0, số hạng thứ hai đóng vai trị sai lệch tín hiệu ban đầu tín hiệu sau khơi phục với k hệ số lớn Hai số hạng MDL nhằm đạt hai mục đích khác Chúng ta cần có k nhỏ có - 106 thể để thu tỉ lệ nén cao lại tối thiểu hóa sai số tín hiệu ban đầu tín hiệu khơi phục Do k lớn sai số lại nhỏ, đưa quan hệ log để có mối quan hệ tuyến tính để thu giá trị tối thiểu cho MDL cho số lượng nhỏ giá trị k Chúng ta không quan tâm tới giá trị k xấp xỉ gần L, việc nén khơng mang lại hiệu Chúng ta cịn có nhiều phương pháp xác định giá trị ngưỡng khác tiếp tục thảo luận phần mục triệt nhiễu 3.2 Triệt nhiễu 3.2.1 Nguyên lý Nói chung, nhiễu thành phần khó xác định mặt định lượng Do vậy, việc triệt nhiễu vấn đề khó khăn lĩnh vực xử lý tín hiệu Đã có nhiều phương pháp phát triển để giải vấn đề phương pháp lọc Fourier, phương pháp Savitsky-Golay, Kalman, Thông thường, triệt nhiễu loại bỏ thành phần có biên độ nhỏ tín hiệu khơng quan tâm tới tần số, khác với làm mịn tín hiệu loại bỏ thành phần dao động có tần số cao tín hiệu mà không quan tâm tới biên độ Nguyên lý triệt nhiễu FWT giống nén tín hiệu FWT (1) Áp dụng biến đổi FWT với tín hiệu fnoisy để thu hệ số {w} (2) Bỏ qua hệ số {w} quy cho thuộc thành phần gây nhiễu phương pháp so sánh ngưỡng (3) Biến đổi ngược tín hiệu để thu tín hiệu sau triệt nhiễu fdenoised - 107 3.2.2 Chọn ngưỡng Nói chung, có hai phương pháp cho q trình so sánh ngưỡng: định cứng định mềm Với định cứng, giá trị tuyệt đối tất hệ số so sánh với ngưỡng ε, ε cố định Nếu biên độ hệ số nhỏ hệ số đặt giá trị 0, khơng hệ số giữ nguyên giá trị  = whard k wk wk < ε wk ≥ ε (3.11) wk phần tử tập hợp hệ số w Quyết định mềm hoạt động khác sau: 0 wksoft =   sign(wk )( wk − ε) wk < ε wk ≥ ε (3.12) Theo cách này, biên độ hệ số nhỏ ε , hệ số bị thay giá trị 0, ngược lại, hệ số bị trừ lượng ε Hình 3.6: Quyết định cứng định mềm - 108 Trong nén tín hiệu, sử dụng định cứng cần bỏ qua hệ số có giá trị nhỏ Trong triệt nhiễu, cần hai phương thức định Do mục đích so sánh ngưỡng nén tín hiệu triệt nhiễu khác nên có cách xác định giá trị ngưỡng khác Sau tìm hiểu số phương pháp xác định giá trị ngưỡng triệt nhiễu 3.2.2.1 Phương pháp Unbiased Risk Estimate Stein (SURE) Phương pháp SURE dựa định cứng, áp dụng cho việc tìm giá trị ngưỡng thích hợp cho mức tỉ lệ khác Quyết định ngưỡng tiến hành mức tỉ lệ Để tìm giá trị ε cho mức j, trước hết hệ số lấy bậc hai: ( ak = w j,k ) (3.13) Ở wj,k phần tử hệ số mức j {w} xắp xếp theo thứ tự tăng dần Sau đó, tổng tích lũy ak tính tốn sau: bk = k ∑a i (3.14) i =1 Với véc tơ c có kích thước với số phần tử mức j nj định nghĩa sau ck = nj – k, phần tử nj – phần tử cuối Giá trị rk cho hệ số xác định sau: rk = (nj − 1) + bk + ak ck nj Hệ số có rk chọn giá trị ngưỡng cho tỉ lệ j sau (3.15) ε =min {rk } - 109 3.2.2.2 Phương pháp Visually Calibrated Adaptive Smoothing (VISU) Mức ngưỡng xác định bởi: 1/2 ε =(2 logn) (3.16) Ở đây, n số phần tử véc tơ hệ số Giá trị sử dụng cho định cứng định mềm Phương pháp (1) (2) thường áp dụng hệ số có số nằm khoảng [2J+1,n] với N số mức phân giải cho trước N phải nhỏ log2(L) với L số phần tử tín hiệu ban đầu 3.2.2.3 Phương pháp lai Có tên gọi phương pháp lai phương pháp áp dụng cho định mềm phối hợp hai cách xác định ngưỡng VISU với với εB , εA SURE tùy thuộc vào giá trị tham số e p định nghĩa sau:   e = w j − nj  nj   J3 / p = nj  (3.17) với N mức phân giải cao nhất, wj nj hệ số số hệ số mức phân giải j Nếu e < p, sử dụng VISU, trường hợp ngược lại giá trị nhỏ εA εB chọn làm ngưỡng cho định mềm Trong phương pháp này, định ngưỡng tiến hành mức phân giải giống phương pháp SURE - 110 3.2.2.4 Phương pháp Median Absolute Deviation (MAD) Phương pháp áp dụng cho định mềm cho mức phân giải khác Mức ngưỡng áp dụng cho mức phân giải j giống phương pháp VISU, hệ số phải chuẩn hóa wj/sj với sj = media (|wj|)/0,6745 trước định ngưỡng 3.2.2.5 Phương pháp MINMAX Phương pháp tìm giá trị ngưỡng tối ưu cho mức phân giải tùy theo sai lệch quân phương tín hiệu ban đầu tín hiệu khơi phục Tập hợp giá trị ngưỡng sử dụng phải thỏa mãn 1/2 ε ≤ (2 logn) Khi số hệ số n lớn, mức ngưỡng tối ưu tiệm cận tới (2 logn)1 / 3.2.3 Triệt nhiễu WPT Như tìm hiểu trên, khác FWT WPT cấu trúc phân giải Mọi phương thực triệt nhiễu áp dụng FWT áp dụng WPT - 111 - KẾT LUẬN Qua nội dung luận văn, tìm hiểu tổng quan phương pháp phân tích tín hiệu miền thời gian-tần số thơng qua phương pháp biến đổi WFT đặc biệt WT, đánh giá ưu điểm vượt trội phép biểu diễn tín hiệu thơng qua hệ số biến đổi WT Bản luận văn đề cập tới hệ thống lý thuyết biến đổi WT đặc biệt nêu số ứng dụng tiên tiến biến đổi WT nén liệu triệt nhiễu Đây ứng dụng biến đổi WT ngành xử lý tín hiệu và mang lại lợi ích to lớn, kết hợp với phát triển ngành sản xuất chip vi điện tử, thật mang lại bước tiến ngành điện tử viễn thông nói chung Do thời gian điều kiện nghiên cứu hạn chế, luận văn dừng mức trình bày mặt lý thuyết biến đổi WT qua kết nhà khoa học nhiều lĩnh vực liên quan tới xử lý tín hiệu tốn học, vật lý học, xử lý tín hiệu, Nội dung luận văn tồn nhiều nhược điểm phương pháp trình bày nội dung nhiều tiểu mục chưa thật tường minh cho người đọc Tuy vậy, điều kiện tài liệu liên quan chưa thực phổ biến, em hy vọng luận văn mang lại lợi ích thiết thực mặt nội dung đóng góp phần nhỏ vào hệ thống tài liệu tham khảo lĩnh vực xử lý tín hiệu Để kết thúc, em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới PGS.TS Nguyễn Quốc Trung, người thầy giáo tận tình hướng dẫn giúp đỡ em hoàn thành nội dung cho luận văn - 112 - TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Quốc Trung, “Xử lý tín hiệu lọc số - Tập 1” , Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật , 1999 Nguyễn Quốc Trung, “Xử lý tín hiệu lọc số - Tập 2” , Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật , 2001 Alfred Mertins, “Signal analyis Wavelets, filter banks, time-frequency transform and applications” ,John Wiley & Son Ltd , 1999 Adhemar Bultheel, “Wavelets with applications in signal and image processing”, 2003 Foo-tim Chau, Yi-zeng Liang, Junbin Gao, Xue-guang Shao , “Chemometrics From basics to wavelet transform”, John Wiley & Son Ltd, 2004 Gregory Wornell, “Signal Processing with Fractals: A Wavelet-Based Approach”, Prentice Hall, 1996 Ingrid Daubechies, “Ten lectures on wavelets”, 1992 Jaideva C.Goswami & Andrew K.Chan, “Fundamentals of wavelets Theory, algorithms, and applications”, Texas A&M University James S.Walker, “A Primer on Wavelets and their Scientific Applications”, University of Wisconsin-Eau Claire, 1999 10 W.Härdle, G.Kerkyacharian, D.Picard, A.Tsybakov, approximation and statistical applications”, Seminar Berlin-Paris “Wavelets, ... biến đổi CWT cho tín hiệu (1) Lấy hàm wavelet so sánh với phân đoạn tín hiệu cần phân tích - 29 (2) Tính tốn hệ số C thể mối quan hệ hàm wavelet đoạn tín hiệu Hệ số có giá trị cao, đoạn tín hiệu. .. biến đổi thời gian b biến đổi tham số tỉ lệ a khơng làm thay đổi mặt hình dạng hàm sở biến đổi wavelet Cũng phép biến đổi khác, cần quan tâm tới khả biến đổi ngược lại hay khả khơi phục tín hiệu. .. giải vấn đề Triệt nhiễu biến đổi Wavelets phương pháp - 22 CHƯƠNG II : BIẾN ĐỔI WAVELET 2.1 Giới thiệu biến đổi Wavelet Trong lịch sử phát triển ngành toán học, phân tích wavelet có nhiều xuất