BÀI GIANG VÀ BÀI TẬP MÔN XÁC SUẤT THỐNG KÊ

CHƯƠNG 1: XÁC SUẤT VÀ CƠNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT 1.1 ƠN TẬP VỀ GIẢI TÍCH TỔ HỢP 1.1.1 Một số khái niệm cơng thức tính Hốn vị Tổ hợp Số cách Số cách chọn ngẫu nhiên k xếp ngẫu phần tử từ n phần tử (k n) nhiên n phần cho k phần tử tử khơng lặp khơng có phân biệt thứ tự Pn  n! C nk  Chỉnh hợp Số cách chọn ngẫu nhiên k phần tử từ n phần tử (k n) cho k phần tử khơng lặp có phân biệt thứ tự n! k !( n  k )! Ank  n! (n  k )! Chỉnh hợp lặp Số cách chọn ngẫu nhiên k phần tử từ n phần tử cho k phần tử lặp lại có phân biệt thứ tự Bnk  n k Ví dụ 1.1: Cho tập hợp A  1, 2,3, 4,5 , từ tập hợp A thành lập số tự nhiên thoả mãn: a Có chữ số khác b Có chữ số khác c Có chữ số Một tổ có học sinh, có cách phân công học sinh lao động Giải 1.a P5  5!  120 số 1.b A53  5!  60 số 5  3! B35  53  125 5! C35   10 số 3!  3! 1.1.2 Quí tắc cộng: Giả sử cơng việc có k trường hợp thực khác thỏa yêu cầu Trường hợp có n1 cách thực hiện, trường hợp có n2 cách thực hiện, , trường hợp k có nk cách thực Khi đó, số cách thực cơng việc là: n1  n    n k Ví dụ 1.2: Một nhóm có nam nữ, có cách chọn người cho có nam Giải: Trường hợp 1: người chọn có nam nữ: C32 C12    cách 1.c Trường hợp 2: người chọn có nam C33  cách Vậy số cách chọn người cho có nam là: + = cách 1.1.3 Quy tắc nhân: Giả sử công việc phải trải qua k giai đoạn Giai đoạn thứ có n1 cách thực hiện; giai đoạn thứ hai có n2 cách thực hiện; ; giai đoạn thứ k có nk cách thực Khi đó, số cách thực cơng việc là: n1  n    n k Ví dụ 1.3: Có 12 sách gồm sách Tốn, sách Lý, sách Hóa Hỏi có cách để lấy loại sách? Giải: Số cách lấy sách toán: C52  5!  10 cách 2!  ! Tài liệu hướng dẫn môn Lý thuyết Xác suất Thống kê Số cách lấy sách lý: C24  4!  cách 2!  ! Số cách lấy sách hóa: C32  3!  cách 2!  ! Vậy số cách lấy: n  10    180 cách Ví dụ 1.4: Có cách từ địa điểm A đến địa điểm B, có cách từ địa điểm B đến địa điểm C có cách từ địa điểm C đến địa điểm D Hỏi có cách từ địa điểm A đến địa điểm D? A B 3 C D Giải: Số cách từ thành phố A đến thành phố D : n     30 cách 1.2 PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ 1.2.1 Khái niệm Phép thử: Thực nhóm điều kiện xác định lên đối tượng để quan sát tượng Phép thử ngẫu nhiên: Là phép thử thỏa mãn hai tính chất - Không biết trước kết xảy - Có thể xác định tất kết xảy Biến cố: Là kết xảy phép thử Ví dụ 1.5: Các phép thử ngẫu nhiên: tung đồng xu, tung súc sắc, rút 52 1.2.2 Phân loại biến cố mối quan hệ biến cố: Biến cố chắn: Là biến cố chắn xảy phép thử Kí hiệu: W Ví dụ 1.6: Tung súc sắc Gọi A biến cố súc sắc xuất mặt có số chấm nhỏ Khi ta nói A biến cố chắn, A = W Biến cố không thể: Là biến cố khơng thể xảy phép thử Kí hiệu:  Ví dụ 1.7: Tung súc sắc Gọi B biến cố súc sắc xuất mặt chấm Khi ta nói A biến cố khơng thể, A =  Biến cố ngẫu nhiên: Là biến cố xảy khơng thể xảy phép thử Kí hiệu: A, B, C, A1 , A  Ví dụ 1.8: Một xạ thủ bắn vào bia, gọi A biến cố xạ thủ bắn trúng bia, A biến cố ngẫu nhiên Tài liệu hướng dẫn môn Lý thuyết Xác suất Thống kê Biến cố thuận lợi (Biến cố kéo theo): Biến cố A gọi thuận lợi cho biến cố B A xảy B xảy Kí hiệu: A B Ví dụ 1.9: Tung ngẫu nhiên súc sắc Gọi A biến cố súc sắc xuất mặt chấm B biến cố xuất mặt chẵn Khi ta nói A B Biến cố tương đương: Nếu A B B A A B hai biến cố tương đương Kí hiệu: A = B Ví dụ 1.10: Tung ngẫu nhiên đồng thời ba súc sắc Gọi A biến cố súc sắc xuất mặt chấm, B biến cố tổng số chấm ba súc sắc chấm Khi A=B Biến cố sơ cấp: Biến cố A gọi biến cố sơ cấp khơng có biến cố thuận lợi cho (trừ nó), tức khơng thể phân tích Tập hợp tất biến cố sơ cấp phép thử gọi không gian biến cố sơ cấp kí hiệu: W Ví dụ 1.11: Tung ngẫu nhiên súc sắc Gọi Ai biến cố súc sắc xuất mặt i chấm (i=1, , 6) A1, A2, , A6 biến cố sơ cấp Gọi B biến cố thu mặt có số chấm chẵn  B = A2  A4  A6  B biến cố sơ cấp W = {A1, A2, A3, A4, A5, A6} Biến cố hiệu: Hiệu hai biến cố A B biến cố xảy A xảy B không xảy Kí hiệu A\B Ví dụ 1.12: Tung súc sắc Gọi A biến cố súc sắc xuất mặt có số chấm lẻ B biến cố súc sắc xuất mặt có số chấm lẻ nhỏ C biến cố súc sắc xuất mặt chấm Ta có: C = A\B Biến cố tổng: Tổng hai biến cố A B biến cố xảy hai biến cố A B xảy Kí hiệu A B Ví dụ 1.13: Hai xạ thủ bắn vào thú Gọi A biến cố xạ thủ thứ bắn trúng, B biến cố xạ thủ thứ hai bắn trúng Khi biến cố thú bị trúng đạn C = A  B Tổng quát: Tổng n biến cố A1, A2, , An biến cố xảy  biến cố Ai xảy (i = 1, ,n) Kí hiệu: A1 A2  An Chú ý: Biến cố chắn W tổng biến cố sơ cấp có thể, nghĩa biến cố sơ cấp thuận lợi cho W Do đó, W cịn gọi khơng gian biến cố sơ cấp Biến cố tích: Tích hai biến cố A B biến cố xảy  hai biến cố A B đồng thời xảy Kí hiệu: AB Ví dụ 1.14: Hai xạ thủ bắn vào thú Gọi A biến cố xạ thủ thứ bắn không trúng, B biến cố xạ thủ thứ hai bắn không trúng Khi biến cố thú khơng bị trúng đạn C = A  B Tài liệu hướng dẫn môn Lý thuyết Xác suất Thống kê Tổng quát: Tích n biến cố A1, A2, , An biến cố xảy  tất biến cố Ai xảy Kí hiệu: A1A2  An Biến cố xung khắc: Hai biến cố A B gọi xung khắc chúng không đồng thời xảy phép thử Ví dụ 1.15: Tung súc sắc, gọi A biến cố súc sắc xuất mặt chẵn, B biến cố súc sắc xuất mặt chấm  A, B xung khắc Hệ biến cố đầy đủ, xung khắc đôi: Hệ biến cố {A1, A2, …, An } gọi hệ biến cố đầy đủ, xung khắc đôi hai biến cố hệ xung khắc tổng tất biến cố biến cố chắn, tức là: Ai  Aj=  n i, j A i = W i 1 Biến cố đối lập: Biến cố A gọi biến cố đối lập A A  A   A A đối lập   A  A  W Ví dụ 1.16: Tung ngẫu nhiên súc sắc, A biến cố súc sắc xuất mặt chẵn, A biến cố súc sắc xuất mặt lẻ Chú ý: Hai biến cố đối lập xung khắc ngược lại hai biến cố xung khắc chưa đối lập Biến cố đồng khả năng: Các biến cố A, B, C, gọi đồng khả chúng có khả xuất phép thử Ví dụ 1.17: Tung ngẫu nhiên đồng xu, gọi S biến cố đồng xu xuất mặt sấp, N biến cố xuất mặt ngửa  S, N hai biến cố đồng khả Biến cố độc lập: Hai biến cố A B gọi độc lập việc xảy hay không xảy biến cố không làm ảnh hưởng đến việc xảy hay không xảy biến cố ngược lại Hệ biến cố độc lập toàn phần: Hệ biến cố {A1, A2,…, An } gọi độc lập toàn phần biến cố hệ độc lập với tích tổ hợp biến cố lại Nhận xét: Các khái niệm biến cố tổng, hiệu, tích, đối lập tương ứng với hợp, giao, hiệu, phần bù lý thuyết tập hợp, sử dụng phép tốn tập hợp cho phép toán biến cố 1.3 ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT 1.3.1 Định nghĩa xác suất theo lối cổ điển Giả sử phép thử có n biến cố sơ cấp đồng khả xảy ra, có m biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố A Khi xác suất biến cố A định nghĩa công thức sau: P(A) = m n Ví dụ 1.19: Tung ngẫu nhiên súc sắc Tính xác suất để súc sắc xuất mặt chẵn Tài liệu hướng dẫn môn Lý thuyết Xác suất Thống kê Giải: Gọi Ai biến cố xuất mặt i chấm Gọi A biến cố xuất mặt chẵn, ta có A = A2  A4  A6 Khi tung súc sắc có biến cố đồng khả xảy có biến cố thuận lợi cho A nên P(A) = m = = 0.5 n Ví dụ 1.20: Tung ngẫu nhiên đồng thời súc sắc Tính xác suất để tổng số chấm xuất hai mặt súc sắc Giải : Gọi A biến cố tổng số chấm xuất hai mặt súc sắc Ai biến cố súc sắc thứ xuất mặt i chấm (i  1,6) Bi biến cố súc sắc thứ hai xuất mặt i chấm (i  1,6) Khi ta tung súc sắc lúc có 36 biến cố sơ cấp đồng khả xảy ra, cụ thể: W  ( A1 , B1 ); ( A1 , B2 ); ; ( A1 , B6 ) ( A2 , B1 ); ( A2 , B2 ); ; ( A2 , B6 ) ( A6 , B1 ); ( A6 , B2 ); ; ( A6 , B6 ) Và có biến cố thuận lợi cho biến cố A: ( A1 , B6 ); ( A2 , B5 ); ( A3 , B4 ); ( A4 , B3 ); ( A5 , B2 ); ( A6 , B1 )  P ( A)   36 Ví dụ 1.21: Một người gọi điện thoại lại quên hai số cuối số điện thoại, biết hai số khác Tính xác suất để người bấm số lần số cần gọi Giải: Gọi B biến cố người quay lần số cần gọi Số biến cố thuận lợi cho B là: m = Số biến cố đồng khả xảy là: n  A10  90  P(A) = 90 Ví dụ 1.22: Một hộp gồm bi trắng bi đen, lấy ngẫu nhiên bi từ hộp Tính xác suất để a) Có bi trắng b) Có bi trắng Giải: Gọi A biến cố có bi trắng bi lấy Gọi B biến cố có bi trắng bi lấy 1 P(A) = m C6C = = n 15 C10 P(B) = C2 m = 26 = n C10 Tài liệu hướng dẫn môn Lý thuyết Xác suất Thống kê Ví dụ 2.23: Trong hộp đựng 20 cầu có 14 cầu đỏ 06 cầu trắng Lấy ngẫu nhiên (khơng hồn lại) cầu từ hộp Tính xác suất để cầu lấy có cầu đỏ Biết cầu cân đối giống Giải: Gọi A biến cố cầu lấy có cầu đỏ cầu trắng Số cách lấy cầu đỏ: C143 Số cách lấy cầu trắng: C 62 m C62C14  P(A)   n C 20 Tổng quát: Cho hộp đựng N cầu cân đối giống có M cầu đỏ (M< N) (N – M) cầu trắng Lấy ngẫu nhiên (khơng hồn lại) n cầu (n  N) từ hộp Tính xác suất để n cầu lấy có k (k  n) cầu đỏ Gọi A biến cố n cầu lấy có k cầu đỏ  P(A)  C kM CnNkM C nN Nhận xét: Khi tính xác suất biến cố, ta không cần phải biến cố sơ cấp xảy biến cố sơ cấp thuận lợi mà cần số biến cố sơ cấp xảy ra, số biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố Định nghĩa xác suất theo lối cổ điển có hạn chế là: Chỉ xét cho hệ hữu hạn biến cố sơ cấp, lúc phân tích thành biến cố đồng khả 1.3.2 Định nghĩa xác suất theo lối thống kê: Giả sử thực phép thử n lần độc lập (kết phép thử sau không phụ thuộc vào kết phép thử trước), biến cố A xảy m lần Khi đó: m gọi tần số xuất biến cố A f= m gọi tần xuất biến cố A n Khi n  , tần xuất f đạt giá trị ổn định giá trị xem xác suất biến cố A m n n Ta có: P ( A)  lim f  lim n Ví dụ 1.24: Thống kê kết xổ số kiến thiết cửa Tỉnh từ 01/01/2006 đến 21/01/2010 với tổng số lần quay 12715, kết sau Số bóng Số lần Tỷ lệ 1266 9.96% 1305 10.26% 1224 9.63% 1276 10.04% 1251 9.84% Tài liệu hướng dẫn môn Lý thuyết Xác suất Thống kê 6 1289 10.14% 1262 9.93% 1298 10.21% 1253 9.85% 1291 10.15% Tổng 12715 100% Theo công thức xác suất cổ điển, xác suất để bóng rơi xuống lịng cầu lần quay lòng cầu 10% Bảng thống kê cho thấy tỷ lệ xuất bóng giao động quanh 10% Ví dụ 1.25: Tiến hành sản xuất thử hệ thống máy thu kết sau: Số sản phẩm n 100 150 200 250 300 … Số sản phẩm khuyết tật m 14 12 22 24 32 … Tần xuất f 0.14 0.08 0.11 0.096 0.106 … Sản xuất sản phẩm thực phép thử Chúng ta quan tâm tỷ lệ sản phẩm khuyết tật Như số sản phẩm sản xuất n số phép thử độc lập, số sản phẩm khuyết tật thu m Kết cho thấy n tăng dần, tần xuất f thay đổi đạt tới giá trị ổn định 0,1 Có thể cho rằng, xác suất biến cố sản phẩm sản xuất bị khuyết tật hay tỷ lệ sản phẩm khuyết tật hệ thống 0.1 1.3.3 Định nghĩa xác suất theo hình học Xét phép thử có khơng gian biến cố sơ cấp miền hình học W (đoạn thẳng, hình phẳng, khối khơng gian,…) có số đo (độ dài, diện tích, thể tích,…) hữu hạn, khác khơng Giả sử chất điểm rơi ngẫu nhiên vào miền W, xét miền A W Khi xác suất để chất điểm rơi vào miền A là: Số đo miền A P(A) = Chất điểm Số đo miền W Ví dụ 1.26: Ném chất điểm vào hình vng có cạnh dài 2R Tính xác suất để chất điểm rơi vào hình trịn nội tiếp hình vng A A Giải: Gọi A biến cố chất điểm rơi vào hình trịn nội tiếp hình vng Trường hợp phép thử biểu diễn hình vng ABCD B D 2R O C Trường hợp thuận lợi biến cố A biểu diễn hình trịn (O,3) Suy ra: P( A)  S (O, R ) S ( ABCD )  S (O, R ) S ( ABCD )  R 2   4R Ví dụ 1.27: (Bài tốn hai người gặp nhau) Hai người hẹn gặp địa điểm xác định vào khoảng từ đến Mỗi người đến (chắc chắn đến) điểm hẹn khoảng thời gian cách độc lập với Tài liệu hướng dẫn môn Lý thuyết Xác suất Thống kê nhau, chờ 20 phút, không thấy người bỏ Tìm xác suất để hai người gặp Giải: Gọi A biến cố người gặp hẹn.; x, y thời gian đến điểm hẹn người thứ người thứ Biểu diễn x, y lên hệ trục tọa độ Descartes Chọn gốc tọạ độ lúc 7h Trường hợp phép thử: y (II) N 8h A W   x, y  :  x, y  1 biểu diễn hình vuông OABC A B P 1/3 W M  x y  Ta có: x  y    x  y     y  x   y  x   O 7h 1/3 Q h x (I) Trường hợp thuận lợi cho biến cố A biểu diễn đa giác OMNBPQ Suy xác suất A là: P( A)  S (OMNBPQ) S (OABC ) S   AMN S ABC 122   2 3  Nhận xét: Định nghĩa xác suất theo hình học xem mở rộng định nghĩa xác suất theo lối cổ điển trường hợp số khả xảy vơ hạn 1.3.4 Các tính chất xác suất: i) A W :  P ( A)  ii) P( A)   P( A) iii) P() = 0, với  biến cố rỗng iv) P(W) = 1, với W biến cố chắn v) Nếu A B P(A)  P(B) 1.4 MỘT SỐ CƠNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT 1.4.1 Cơng thức cộng  A B hai biến cố bất kỳ: P(A  B) = P(A) + P(B) – P(A  B)  A1, A2 A3 ba biến cố bất kỳ: P(A1  A2  A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)–P(A1  A2)–P(A1  A3)–P(A2  A3)+P(A1  A2  A3)  Xét hệ biến cố {A1, A2, …, An }: n n n n 1  n  P   A i  =  P ( Ai ) -  P(A i  A j ) +  P(A i  A j  A k )   ( 1) P  A1  A    A n  i j i  j k  i 1  i 1 Đặc biệt: i) Nếu {A1, A2 , …, An }là hệ biến cố xung khắc đơi thì: Tài liệu hướng dẫn mơn Lý thuyết Xác suất Thống kê  n  n P   A i  =  P ( Ai )  i 1  i 1 n ii) Nếu {A1, A2 ,…, An }là hệ biến cố đầy đủ, xung khắc đơi  P(A )  i 1 i Ví dụ 1.28: Một lơ hàng có 10 sản phẩm, có phế phẩm Lấy ngẫu nhiên khơng hồn lại từ lơ hàng sản phẩm Tìm xác suất để có khơng phế phẩm sản phẩm lấy Giải: Gọi A biến cố khơng có phế phẩm sản phẩm lấy B biến cố có phế phẩm C biến cố có khơng q phế phẩm Khi A B hai biến cố xung khắc C = A  B Ta có P( A)  C86 28   C10 210 15 P( B)  C 21 C85 112   210 15 C106 P (C )  P ( A)  P ( B )    15 15 Ví dụ 1.29: Một lớp có 100 sinh viên, có 40 sinh viên giỏi ngoại ngữ, 30 sinh viên giỏi tin học, 20 sinh viên giỏi ngoại ngữ lẫn tin học Sinh viên giỏi hai môn thêm điểm kết học tập học kỳ Chọn ngẫu nhiên sinh viên lớp Tìm xác suất để sinh viên thêm điểm Giải: Gọi A biến cố gọi sinh viên tăng điểm B biến cố gọi sinh viên giỏi ngoại ngữ C biến cố gọi sinh viên giỏi tin học Khi A = B  C, với B C hai biến cố khơng xung khắc Ta có: P(A) = P(B  C) = P(B) + P(C) – P(B  C)  30 40 20 50    100 100 100 100 Ví dụ 1.30: Chọn ngẫu nhiên từ có 52 Tính xác suất để có nút Giải: Gọi A biến cố chọn nút từ chọn Ai biến cố chọn i nút từ chọn (i  0,4) Suy ra: A  A  A  A Ta có: Hệ biến cố { A2 , A3 , A4 } xung khắc đôi, nên: P(A)  P(A  A  A )  P(A )  P(A )  P(A ) Tài liệu hướng dẫn môn Lý thuyết Xác suất Thống kê  C 24C 448 C34C348 C44C 248    0.06 C52 C52 C52 1.4.2 Công thức nhân xác suất Xác suất có điều kiện, ký hiệu P(A\B): Là xác suất biến cố A với điều kiện biến cố B xãy Ví dụ 1.31: Hộp có 10 viên bi có viên màu đỏ, viên màu trắng Lần lượt rút khơng hồn lại viên bi Giả sử lần thứ rút bi màu đỏ, tính xác suất để lần thứ hai rút bi màu đỏ Giải: Gọi Ai biến cố rút bi màu đỏ lần thứ i Ta có: P( A2 \ A1 ) = Công thức nhân xác suất:  A B hai biến cố bất kỳ: P(A  B) = P(A)P(B\A) = P(B)P(A\B)  Xét hệ biến cố {A1, A2, …, An }: n 1  n    P   A i  = P(A1)  P(A2\A1)  P(A3\A1  A2)   P  A n \  A i   i 1   i 1  Đặc biệt:  Nếu A B độc lập P(A∩B) = P(A) P(B)  Nếu hệ biến cố {A1, A2, …, An }độc lập toàn phần  n  PA i  =  i 1  n  PA  i 1 i Ví dụ 1.32: Tung ngẫu nhiên đồng thời hai súc sắc Tính xác suất để súc sắc xuất mặt chấm Giải: Gọi A biến cố hai súc sắc xuất mặt chấm Ai biến cố súc sắc thứ i xuất mặt chấm (i = 1, 2) Ta có: A= A1  A Do A1 A2 độc lập, nên: P(A)  P(A1  A )  P(A1 )P(A )  1   6 36 Ví dụ 1.33: Thi mơn, xác suất đậu môn thứ 0.6 Nếu môn thứ đậu khả sinh viên đậu môn thứ hai 0.8 Nếu môn thứ không đậu khả sinh viên đậu mơn thứ 0.6 Tính xác suất trường hợp sau: a) Sinh viên đậu mơn b) Sinh viên đậu mơn Giải: a Gọi A biến cố sinh viên đậu mơn Ai biến cố sinh viên đậu mơn thứ i (i =1, 2) Tài liệu hướng dẫn môn Lý thuyết Xác suất Thống kê 10 ... liệu hướng dẫn môn Lý thuyết Xác suất Thống kê  C 24C 448 C34C348 C44C 248    0.06 C52 C52 C52 1.4.2 Cơng thức nhân xác suất Xác suất có điều kiện, ký hiệu P(AB): Là xác suất biến cố A với... Tính xác suất để sinh viên làm toàn b/ Nếu chọn từ phân trở sinh viên đậu Tính xác suất để sinh viên đậu Tài liệu hướng dẫn môn Lý thuyết Xác suất Thống kê 17 CHƯƠNG 2: BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ QUI... A Khi xác suất biến cố A định nghĩa công thức sau: P(A) = m n Ví dụ 1.19: Tung ngẫu nhiên súc sắc Tính xác suất để súc sắc xuất mặt chẵn Tài liệu hướng dẫn môn Lý thuyết Xác suất Thống kê Giải: