Giải bài tập SGK Toán 12 Bài 3: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Để tìm GTLN, GTNN của hàm số y=f(x) xác định trên tập hợp D, ta tiến hành khảo sát sự biến thiên của hàm số trên D, rồi căn cứ vào bảng biến thiên của hàm số đưa ra kết luận về GTLN và[r]

(1)

eLib.vn: Thư viện trực tuyến miễn phí

BÀI 3: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

1 Giải trang 23 SGK Tốn Giải tích 12

Tính giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số

a)

3 35

y=x − x − x+ đoạn [-4; 4] [0;5]

b)

3

y=x − x + đoạn [0;3] [2;5]

c) (2 )

(1 )

x y

x − =

− đoạn [2;4] [-3;-2] d) y= (5 )− x đoạn [-1;1]

1.1 Phương pháp giải

Quy tắc tìm GTLN GTNN hàm số f(x) liên tục đoạn [a;b]

• Tìm điểm xi( ; ),a b (i = 1, 2, , n) mà f'(xi=0 f'(xi) khơng xác định

• Tính f(x),f(b),f(xi) (i = 1, 2, , n)

• Khi

 

( )



( ) ( ) ( )



 

( )



( ) ( ) ( )



; ;

max max ; ;

min ; ;

i a b

f x f a f b f x

f x f a f b f x =

=

1.2 Hướng dẫn giải

Câu a: Tính giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số

3 35

y=x − x − x+ đoạn

[-4; 4] [0;5]

Xét hàm số

3 35

y=x − x − x+

Tập xác định D=

Hàm số liên tục đoạn [-4;4] [0;5] nên có GTLN GTNN đoạn Ta có: y’ = 3x2 – 6x – = 3(x2 – 2x – 3)

- Trên đoạn [-4;4]









3 4;

1 4; x

y

x

 =  −  =   = −  −



Ta có: y(-4)=-41; y(4)=15; y(-1)=40; y(3)=8 Vậy: Giá trị lớn hàm số

 4;4

max ( 1) 40

x

y y

 − = − =

Giá trị nhỏ hàm số

4;4

min ( 4) 41

x

y y

 − = − = −

- Trên đoạn [0;5]

 

3 0;5

1 0;5 x

y

x  =   =   = − 



Ta có: y(0)=35; y(5)=40; y(3)=8 Vậy: Giá trị lớn hàm số

 0;5

max (5) 40

x

y y

 = =

 0;5

min (3)

x

y y

 = =

Câu b: Tính giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số

3

y=x − x + đoạn

[0;3] [2;5]

Xét hàm số

3

y=x − x +

Tập xác định D=R

(2)

Đạo hàm: y'=4x3-6x

 

0 0;3

3 0;3 x y x x  = −    =  =    =  

Ta có: y(0)=2; 1;

2

y = −

  y(3)=56

Vậy: Giá trị lớn hàm số

 0;3

( )

max 56

x

y y



= =

 0;3

3 x y y    =  = −  

 

0 2;5

3 0;3 x y x x  = −    =  =    =  

Ta có: y(2)=6; y(5)=552

Vậy: Giá trị lớn hàm số

 2;5

( )

max 552

x

y y

 = =

 2;5

( )

min

x

y y

 = =

Câu c: Tính giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số (2 )

(1 ) x y x − =

− đoạn [2; 4] [3; -2]

Xét hàm số (2 )

(1 ) x y x − = −

Hàm số có tập xác định D = R \{1} liên tục đoạn [2;4] [-3;-2] thuộc D, hàm số có GTLN, GTNN đoạn

Ta có:

(

)

1 0, 1 y x x  =    −

- Trên đoạn [2;4]: (2) 0; (4)

y = y =

Vậy: Giá trị nhỏ hàm số

 2;4

( )

min

x

y y



= =

Giá trị lớn hàm số

 2;4

( )

2 max x y y  = =

- Trên đoạn [-3;-2]: ( 3) 5; ( 2)

4

y − = y − =

Vậy: Giá trị nhỏ hàm số

3; 2

( )

(3)

Giá trị lớn hàm số

 3; 2

( )

4

max

3

x

y y

 − −

= − =

Câu d: Tính giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y= (5 )− x đoạn [-1;1] Xét hàm số y= (5 )− x

Hàm số có tập xác định D= ;5 − 

 

  nên xác định liên tục đoạn [-1;1], có

GTLN, GTNN đoạn [-1;1] Ta có: 0,





5

y x

x

 = −    −

−

Trên đoạn [-1;1]: y(-1) = 3; y(1) = Vậy: Giá trị lớn hàm số

 1;1

max ( 1)

x − y= − =y

 1;1

min (1)

x − y=y =

Trong số hình chữ nhật có chu vi 16 cm, tìm hình chữ nhật có diện tích lớn

Với ta có hai cách giải thường sử dụng

• Cách 1: áp dụng bất đẳng thức cô-si học lớp 10

• Cách 2: ứng dụng đạo hàm để tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số nội dung vừa học

Cách 1: Áp dụng bất đăng thức cơ-si

Kí hiệu x, y thứ tự chiều dài chiều rộng hình chữ nhật (0 < x, y < 16) Khi x + y =

Theo bất đẳng thức Cơ-si, ta có:

8= + x y x y xy16

16

xy=  = =x y

Vậy diện tích hình chữ nhật lớn 16 cm2 khi x = y = 4(cm), tức hình chữ

nhật hình vng

Cách 2: Ứng dụng đạo hàm để tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số

Gọi x,y chiều dài chiều rộng hình chữ nhật (8>x>0; 8>y>0) Khi chu vi: p=2(x+y)=16 ⇔ x+y=8 ⇔ y=8-x

Ta có diện tích hình chữ nhật S=x.y=x(8-x) ⇔ S=-x2+8x Xét hàm số: S(x) = -x2+8x khoảng (0,8) ta có:

S'=-2x+8; S'=0 ⇔ x=4 Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt giá trị lớn x=4 maxS = 16 Với x=4 suy y=4

Vậy hình vng có cạnh hình có diện tích lớn

(4)

Trong tất hình chữ nhật có diện tích 48 m2 , xác định hình chữ nhật có chu

vi nhỏ

Với ta có hai cách giải thường sử dụng sau: • Cách 1: áp dụng bất đẳng thức cơ-si học lớp 10

• Cách 2: ứng dụng đạo hàm để tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số nội dung vừa học

Cách 1: Sử dụng bất đẳng thức cô-si:

Kí hiệu x, y thứ tự chiều dài chiều rộng hình chữ nhật (x, y > 0) Khi xy = 48

Theo bất đẳng thức Cơ-si, ta có :

2 48

x+ y xy= =

8

x+ =y  = =x y

Vậy chu vi hình chữ nhật nhỏ 2

(

x

y

)

x

y

hình chữ nhật hình vng

Cách 2: Ứng dụng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhỏ hàm số

Gọi x,y chiều dài chiều rộng hình chữ nhật (x>0,y>0) Ta có:

Khi chu vi hình chữ nhật p 2(x y) p 2x 96 x

= +  = +

Xét hàm số p x( ) 2x 96 x

= +

(

)

2 96

( ) ; ( ) ( 0)

p x p x x do x

x

 = −  =  = 

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta có: minp=16 x=4

Với x y 48 x

=  = =

Vậy hình vng có cạnh hình có chu vi nhỏ theo yêu cầu toán

Tính giá trị lớn hàm số sau a) 2

1 y

x =

+

b) y=4x3−3x4

Bài yêu cầu tìm giá trị lớn hàm số mà khơng có miền cho trước ta hiểu u cầu tập tập giá trị lớn hàm số tập xác định

Để tìm GTLN, GTNN hàm số y=f(x) xác định tập hợp D, ta tiến hành khảo sát biến thiên hàm số D, vào bảng biến thiên hàm số đưa kết luận GTLN GTNN hàm số

(5)

Câu a: Tính giá trị lớn hàm số sau 2

1 y

x =

+

Đạo hàm:

(

)

8

x y

x  = −

+

0

y =  =x

Từ bảng biến thiên ta thấy giá trị lớn hàm số maxy= y(0)=4

Câu b: Tính giá trị lớn hàm số sau

4

y= x − x

Đạo hàm ’ 12 – 12 12 – 2 2

(

)

y = x x = x x

0

1 x y

x =   =   =



Từ bảng biến thiên ta thấy giá trị lớn hàm số maxy=y(1) 1=

Tính giá trị nhỏ hàm số sau a) y= x

b) y x 4(x 0) x

= + 

Với ta áp dụng cách giải sau

Để tìm GTLN, GTNN hàm số y=f(x) xác định tập hợp D, ta tiến hành khảo sát biến thiên hàm số D, vào bảng biến thiên hàm số đưa kết luận GTLN GTNN hàm số

Có nhiều trường hợp ta nhìn vào hàm số đánh giá giá trị lớn nhỏ hàm số, cụ thể câu a

Câu a: Tính giá trị nhỏ hàm số sau y= x

Cách 1: Ứng dụng đạo hàm

, , x x

y x

x x  

= = 

− 



0

( ) (0)

lim lim

0

x x

f x f x

x x

+ +

→ →

− = =

(6)

0

( ) (0)

lim lim

0

x x

f x f x

x x

− −

→ →

− = − = −

−

Vậy hàm số khơng có đạo hàm x=0 Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy miny=y(0)=0

Cách 2: Dùng tính chất hàm số

Ta có: x   0, x , dấu xảy x=0 Vậy miny=y(0)=0

Câu b: Tính giá trị nhỏ hàm số sau y x 4(x 0) x

= + 

(

)

2

4

' x

y

x x −

= − =

0

y =  =x

Vậy giá trị nhỏ hàm số

(0; )

min (2)

x + = y =

Giải bài tập SGK Toán 12 Bài 3: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

BÀI 3: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

1 Giải trang 23 SGK Tốn Giải tích 12

( )



( ) ( ) ( )



( )



( ) ( ) ( )











 

 

 

 

 

( )

 

 

 

( )

( )

(

)

( )

( )

( )

( )





2 Giải trang 24 SGK Tốn Giải tích 12

(

)

(

)

4 Giải trang 24 SGK Tốn Giải tích 12

(

)

(

)

5 Giải trang 24 SGK Tốn Giải tích 12

(

)