Chú ý: Phương pháp đổi biến số dạng dạng 1 ngoài dùng để tính các tích phân thuộc 2 loại trên còn được dùng trong các bài toán biến đổi tích phân.. CHUYÊN ĐỀ : TÍCH PHÂN.[r]
(1)CHUYÊN ĐỀ : TÍCH PHÂN
1.Phương pháp đổi biến số
Đổi biến số dạng 1: Đặt x = u(t) Có loại:
Loại 1: Với tích phân có dạng a2 x dx2
2
dx
a x
sin ; .
2 2
x a t t
thì ta đặt
Loại 2: Với tích phân có dạng 2
dx
x a
2
( )
dx
ax b c
;
tg
x a t t
(2)Chú ý: Phương pháp đổi biến số dạng dạng ngồi dùng để tính tích phân thuộc loại cịn dùng tốn biến đổi tích phân
CHUN ĐỀ : TÍCH PHÂN
1.Phương pháp đổi biến số
Ví dụ: 2
0
cos sin
1 CMR: n xdx n xdx
2 Nếu f(x) hàm số chẵn liên tục đoạn [-a ; a], a > thì:
0
( ) 2 ( )
a a
a
f x dx f x dx
3 Nếu f(x) hàm số lẻ liên tục đoạn [-a ; a], a > thì:
( ) 2 ( )
a a
f x dx f x dx
(3)CHUYÊN ĐỀ : TÍCH PHÂN
1.Phương pháp đổi biến số
Ví dụ: Nếu f(x) hàm số chẵn liên tục đoạn [-a ; a], a > thì:
0
( )
( ) 1
a a
x a
f x
dx f x dx
a
Đổi biến số dạng 1: Đặt x = u(t)
5 Nếu f(x) hàm số liên tục đoạn [-a ; a], a > thì:
( ) ( )
a a
f a x dx f x dx
(4)CHUYÊN ĐỀ : TÍCH PHÂN
1.Phương pháp đổi biến số
Đổi biến số dạng 2: Tích phân dạng: Đặt t = ( ( )) '( ) u(x)
b
a
f u x u x dx
Nhận xét: - Trong thực hành, ta trình bày cách thuận tiện phép đổi biến số mà không cần đưa biến t
( ( )) '( ) ( ( )) ( ( ))
b b
a a
f u x u x dx f u x d u x
Ví dụ: 2
1
ln 1
ln (ln ) ln
1
2
e e e
x
dx xd x x
x
2
sin sin sin
0
cos (sin ) 2
0
x x x
e xdx e d x e e
4 4
( 2)
ln 2 ln ln1 ln 2 dx d x
x
(5)CHUYÊN ĐỀ : TÍCH PHÂN
1.Phương pháp đổi biến số
Đổi biến số dạng 2: Tích phân dạng: Đặt t = ( ( )) '( ) u(x)
b
a
f u x u x dx
Nhận xét: - Trong thực hành, ta trình bày cách thuận tiện phép đổi biến số mà không cần đưa biến t
( ( )) '( ) ( ( )) ( ( ))
b b
a a
f u x u x dx f u x d u x
Chú ý: - Nhiều ta phải biến đổi trước thực phép đổi biến số
Ví dụ:
/4
2
0
sin cos
TÝnh: x xdx
/4 /4
2 2
sin xcos xcos xdx sin x(1 sin x) cos xdx.
(6)CHUYÊN ĐỀ : TÍCH PHÂN
2.Phương pháp tích phân phần
Trong thực hành ta thường gặp dạng tích phân sau:
b b
a a
b
udv uv vdu
a
Cách giải:
( )sin ,
b
a
P x xdx
( ) cos ,
b
a
P x xdx
( ) , với P(x) đa thức
b
x a
P x e dx
( ) ln .
b
a
f x xdx
Dạng 1:
Dạng 2:
Cách giải:
Dạng 3: sin ,
b x a
e xdx
cos .
b x a e xdx Cách giải:
Tích phân hồi quy
Đặt u = P(x), dv = sinxdx (hoặc dv = cosxdx, dv = exdx)
Đặt u = lnx, dv = f(x)dx
(7)CHUYÊN ĐỀ : TÍCH PHÂN
2.Phương pháp tích phân phần
Ngồi ta cịn gặp số dạng tích phân sau:
b b
a a
b
udv uv vdu
a
Dạng 4: sin(ln ) , cos(ln )
b b
a a
x dx x dx
Cách giải: Đặt u = sin(lnx) (u = cos(lnx)), dv = dx Tích phân phần lần Tích phân hồi quy
Chú ý: - Có tốn phải tính tích phân phần nhiều lần
(8)CHUYÊN ĐỀ : TÍCH PHÂN
3 Bài tập
Tính tích phân sau:
1
2
5)x e dxx ;
3
1
ln 2 ln
4) ; e x x dx x 1) ; 4 dx x
6) ln ;
e
x xdx
/2
7) ex cos xdx;
/2
5
3) cos xdx;
2 2) ; 4 5 dx x x
(9)CHUYÊN ĐỀ : TÍCH PHÂN
4 CỦNG CỐ
- Chú ý rèn luyện kĩ nhận dạng vận dụng để tính tính phân - Đối với tích phân đổi biến tính tốn cần ý điều gì?
- Đối với tích phân phần tính tốn cần ý điều gì? 5 DẶN DỊ