Đang tải... (xem toàn văn)
Có thể thực hiện công việc như sau: Bước 1: Bỏ đi một viên sỏi và chia chiếc túi này làm hai chiếc túi mới... Bước 2: Chọn một trong hai túi này sao cho túi đó có ít nhất ba viên sỏi, bỏ[r]
(1)SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN
NAM ĐỊNH NĂM HỌC 2020 – 2021 Mơn Tốn chun Ngày thi 11/7/2020
Thời gian 150 phút (không kể thời gian phát đề) Câu (2,0 điểm)
a) Cho số thực , ,x y z khác Đặt
1 ; a x
x
= + b y 1;
y
= + c xy
xy = + Chứng minh a2+ + -b2 c2 abc=4
b) Cho số thực a b, khác 2- thỏa mãn (2a+1 2)( b+ =1)
Tính giá trị biểu thức
1
2
A
a b
= +
+ +
Câu (2,0 điểm) a) Giải phương trình: 22333.xxxx++=+
b) Giải hệ phương trình: ( )( )
2
( ) 2
2
x y
x y
x y x y x y
ìï
-ï + + + =
ïïí
ïï + + + + =
ïïỵ
Câu (3,0 điểm) Cho tam giác nhọnABCcó AB<ACnội tiếp đường trịn ( )O Một đường tròn tiếp xúc với cạnh AB AC, M N, có tâm I thuộc cạnh BC Kẻ đường cao AH tam giác ABC
a) Chứng minh điểm ,A M H I N, , , thuộc đường tròn HA tia phân giác góc MHN· b) Đường thẳng qua I vng góc với BC cắt MN K Chứng minh AK qua trung điểm D BC
c) Tiếp tuyến đường tròn ( )O B C cắt điểm S Chứng minh CAD· =BAS· Câu (1,5 điểm)
a) Tìm số nguyên ,x y thỏa mãn x3+y2=xy2+1
a) Cho số nguyên dương a b c, , thỏa mãn
b
c a
b a
+ = +
Chứng minh ab lập phương số nguyên dương
Câu (1,5 điểm)
a) Cho số thực không âm , ,a b c thỏa mãn điều kiện a b c+ + =1 Chứng minh rằng:
3 3 4 4.
8
a + + £ + + +b c a b c
b) Ban đầu có 2020 viên sỏi túi Có thể thực công việc sau: Bước 1: Bỏ viên sỏi chia túi làm hai túi mới.
(2)Bước 3: Chọn ba túi cho túi có ba viên sỏi, bỏ viên từ túi chia túi đó làm hai túi mới, có bốn túi
Tiếp túc q trình Hỏi sau số bước tạo trường hợp mà túi có hai viên sỏi hay không?
LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 1.
a) Ta có:
2
2
2 2
2 2
2 3
2
2
1 1 1
1 1 1
2
1
a b c abc x y xy x y xy
x y xy x y xy
x y
x y x y xy xy
x y x y y x xy xy
x y
x
æ ổ ổ ửổ
ổ ửữ ỗ ữ ỗ ữ ổ ửữỗ ữỗ ữ
ỗ ỗ
+ + - = +ỗỗố ữữứ+ + ữ+ốỗỗỗ ứ ốữữ ỗỗỗ + ứữữữ- ốỗỗ + ứữữỗốỗỗ + ữ +ứốữữỗỗỗ ữữữứ
ổ ửổữ ửữ
ỗ ỗ
= + + + + + + + - ỗỗỗ + + + ữữ +ữỗỗỗ ữữữ
ố ứố ứ
= + + + + 2 2
2 2 2 2
1 1 1
1
4
x y x y
y +x y - - - - y - - x - - x y =
Suy điều phải chứng minh
b) Ta có: (2a+1 2)( b+ = Û1) 4ab+2(a b+ + = Û) 2ab a b+ + = Û + = -4 a b ab
Lại có: ( ) ( ) ( )
( )
( )
2
2 4
2 2 4
ab
b a a b ab
A
a b a b ab ab ab ab
-+ -+ -+ + + - +
= = = = =
+ + + + + - + +
-Vậy
A=
Câu 2.
a) Điều kiện xác định: x³ - Ta có:
( ) ( )
( )( )
2
2
2
2 3
2 3
2 3
0
1
4
2
13
3
3
x x x x
x x x x x x
x x x x
x
x x x
x x
x x
x x
x x
+ + = +
Û - + + + + - =
Û - + + - =
éì ³ïïê
é
í =
ê
é - + = ïïỵê - - = ê
ê ê
Û ê Û ê Û ê +
ì ³ =
ïê
- + =
ê ï
ë êí êë
ïê - - = ïỵë
Vậy phương trình cho có hai nghiệm
1 13
1,
3 x= x= +
b) Điều kiện xác định:
1
,
2 x y³
(3)( )( )
( )( )
( )( ) ( )
( )( )
2
1 2
1
1
1
2
x y x y x y
x y x y x y x y
x y x y x y
x y
x y x y
x y
+ + + + =
Û + - + + + + + =
Û + - + + + - =
é + = ê
Û + - + + = Û
ê +
=-ë Trường hợp 1: x= -1 y Do
1
1 2
2 2
x³ - Þ - y³ - Þ y£ Þ y- £
Do
1
1 2
y³ - Þ - y³
Do suy ra: 2- £ - y£2
Khi đó:
( )2 ( )2
1
2 2
x y- - y
= £ =
Lại có: ( ) ( )( )
2
2x+ +1 2y+1 =2x+ +1 2y+ +1 2x+1 2y+ ³1 2(x+ + =y)
Suy ra: 2x+ +1 2y+ £1
Suy
( )2
2
2 x y x+ + y+ £
-Đẳng thức xảy
1 y
y=
Với
1 y
ta có
x=
Với y=
ta có
1 x
=-Trường hợp 2: x=- -4 2y
Do
1
4
2 2
x³ - Þ - - y³ - Þ - ³ y mà
1 y³
- Suy khơng có giá trị thỏa mãn-
Vậy hệ cho có hai nghiệm ( )
1 3
; ; , ;
2 2 x y = -ổốỗỗỗ ứ ốữữữử ổỗỗỗ - ÷÷÷ưø
Câu 3.
a) Ta có: AMI· =·ANI=90o=AHI· Þ Năm điểm A M H I N, , , , thuộc đường trịn đường kính AI Do AM AN, tiếp tuyến đường tròn tâm I bán kính IM Þ AM =ANmà AM AN, thuc ng trũn ng kớnh AI ị ẳAM =) ằANị AHM· =AHN· Hay HA phân giác MHN·
b) Từ K kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB AC, , X Y Vì KI^BC nên IK^XY Þ ·XKI=·XMI=90
Suy tứ giác IMXK nội tiếp Þ IXK· =IMK· ( )1 Tương tự IKNY nội tiếp Þ IYK· =INK· ( )2 Mà tam giác IMN cân I nên IMN· =INM· ( )2
(4)Mà IK^XYÞ KX =KY
Lại có:
XK YK XY BC
BD CD
Þ =
P
mà XK=YKÞ BD=CDÞ D trung điểm BC c) Ta có OS trung trực BC Hay O D S, , thẳng hàng
Từ suy OD OSì =OC2 =OA2 Hay DOAD: DOSAị OADÃ =OSAÃ Mặt khác: OSA· =HAS·
Suy OAD· =HAS· Lại có
· 90 · 90 · · .
2
o o AOC
BAH = - ABH= - =OAC
Do đó: CAD· =BAS· Câu 4.
a) Ta có phương trình tương đương:
( )( 2)
2
1
1
1
x
x x x y
x x y
é = ê
- + + - = Û ê + + = ë
Với x=1 ta có mi yẻ Â u tha
Vi y2=x2+ +x Ta có x2+ +x số phương, Xét x³ 0, ta có: ( )
2
2 1 1
x <x + + £x x+ Suy x2+ + = +x 1 (x 1)2 Û x=0.
Với x=0 ta tìm y=1 y=-
Xét x<0, ta có: ( ) ( )
2 2
1 1
x+ <x + + £x x- Suy ( )
2
2
1
1
1
x x x
x
x x x
é + + =
ê Û
=ê + + = -ê
ë Với x=- 1, ta có: y=1 y=-
Tóm lại hệ cho có nghiệm (x y; ) ( ) ( ) (= 1; , 0;1 , 0; ,k - ) (- 1;1 ,) (- -1; 1) vi kẻ Â
b) Từ
1 b
c a
b a
+ = +
với a b c, , ẻ Ơ*
Nhõn c hai v vi a ta được:
2
a
ac a b a b a kb
b
+ = + ị Mị =
vi kẻ Ơ*
Nhõn hai vế với b ta được: ( )
2
2
1 b
bc ab b a b kb b k
a
+ = + Þ MÞ M Þ M
Thay vào phương trình đầu suy ra: ( ) 1
2
b b k
c a b k b k b
a b k b bk
= - = - = Þ - MÞ M
Từ ( )1 ( )2 suy ra: b=k Suy ra: a=b2 Vậy ab=b3
Câu 5.
a) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 3 3
1
1 1
(5)( ) ( ) ( )
2 2 3
(a + +b c )(ab bc ca+ + )=å a b c+ +abc a b c+ + ³ å a b c+ Do cần chứng minh: ( )( )
2 2
a + +b c ab bc ca+ + £ Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có:
2 2 2 2
1 (= + +a b c) =a + + +b c 2(ab bc ca+ + )³ (a + +b c )2(ab bc ca+ + )
Suy ( )( )
2 2 1.
8 a + +b c ab bc ca+ + £
Từ ta có điều phải chứng minh
Đẳng thức xảy
1
,
a= =b c=
hoán vị chúng b) Trước hết ta có nhận xét:
Nhận xét 1: Cứ bước tổng số viên bị bị giảm viên Suy tổng số bi tất túi sau bước thứ n 2020 – n viên bi
Nhận xét 2: Sau bước tổng số túi thêm túi Như sau bước thứ n có n+1 túi Giả sử tồn bước thứ k k( )
*
ẻ Ơ
tha yờu cu bi: Tất túi có hai viên Áp dụng nhận xét 1, số viên bi sau bước thứ k 2020- k viên
Theo nhận xét số túi sau bước k k+1 túi Khi tổng số viên bi tất túi 2(k+1) viên Như vậy: 2(k+ =1) 2020- kÛ 3k=2018 Vô lý k số tự nhiên