1. Trang chủ
  2. » Lịch sử lớp 11

Đề thi vào lớp 10 chuyên Toán THPT chuyên tỉnh Nam Định năm 2020 - 2021

5 40 0

Đang tải... (xem toàn văn)

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 5
Dung lượng 251,64 KB

Nội dung

Có thể thực hiện công việc như sau: Bước 1: Bỏ đi một viên sỏi và chia chiếc túi này làm hai chiếc túi mới... Bước 2: Chọn một trong hai túi này sao cho túi đó có ít nhất ba viên sỏi, bỏ[r]

(1)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN

NAM ĐỊNH NĂM HỌC 2020 – 2021 Mơn Tốn chun Ngày thi 11/7/2020

Thời gian 150 phút (không kể thời gian phát đề) Câu (2,0 điểm)

a) Cho số thực , ,x y z khác Đặt

1 ; a x

x

= + b y 1;

y

= + c xy

xy = + Chứng minh a2+ + -b2 c2 abc=4

b) Cho số thực a b, khác 2- thỏa mãn (2a+1 2)( b+ =1)

Tính giá trị biểu thức

1

2

A

a b

= +

+ +

Câu (2,0 điểm) a) Giải phương trình: 22333.xxxx++=+

b) Giải hệ phương trình: ( )( )

2

( ) 2

2

x y

x y

x y x y x y

ìï

-ï + + + =

ïïí

ïï + + + + =

ïïỵ

Câu (3,0 điểm) Cho tam giác nhọnABCAB<ACnội tiếp đường trịn ( )O Một đường tròn tiếp xúc với cạnh AB AC, M N, có tâm I thuộc cạnh BC Kẻ đường cao AH tam giác ABC

a) Chứng minh điểm ,A M H I N, , , thuộc đường tròn HA tia phân giác góc MHN· b) Đường thẳng qua I vng góc với BC cắt MN K Chứng minh AK qua trung điểm D BC

c) Tiếp tuyến đường tròn ( )O B C cắt điểm S Chứng minh CAD· =BAS· Câu (1,5 điểm)

a) Tìm số nguyên ,x y thỏa mãn x3+y2=xy2+1

a) Cho số nguyên dương a b c, , thỏa mãn

b

c a

b a

+ = +

Chứng minh ab lập phương số nguyên dương

Câu (1,5 điểm)

a) Cho số thực không âm , ,a b c thỏa mãn điều kiện a b c+ + =1 Chứng minh rằng:

3 3 4 4.

8

a + + £ + + +b c a b c

b) Ban đầu có 2020 viên sỏi túi Có thể thực công việc sau: Bước 1: Bỏ viên sỏi chia túi làm hai túi mới.

(2)

Bước 3: Chọn ba túi cho túi có ba viên sỏi, bỏ viên từ túi chia túi đó làm hai túi mới, có bốn túi

Tiếp túc q trình Hỏi sau số bước tạo trường hợp mà túi có hai viên sỏi hay không?

LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 1.

a) Ta có:

2

2

2 2

2 2

2 3

2

2

1 1 1

1 1 1

2

1

a b c abc x y xy x y xy

x y xy x y xy

x y

x y x y xy xy

x y x y y x xy xy

x y

x

æ ổ ổ ửổ

ổ ửữ ỗ ữ ỗ ữ ổ ửữỗ ữỗ ữ

ỗ ỗ

+ + - = +ỗỗố ữữứ+ + ữ+ốỗỗỗ ứ ốữữ ỗỗỗ + ứữữữ- ốỗỗ + ứữữỗốỗỗ + ữ +ứốữữỗỗỗ ữữữứ

ổ ửổữ ửữ

ỗ ỗ

= + + + + + + + - ỗỗỗ + + + ữữ +ữỗỗỗ ữữữ

ố ứố ứ

= + + + + 2 2

2 2 2 2

1 1 1

1

4

x y x y

y +x y - - - - y - - x - - x y =

Suy điều phải chứng minh

b) Ta có: (2a+1 2)( b+ = Û1) 4ab+2(a b+ + = Û) 2ab a b+ + = Û + = -4 a b ab

Lại có: ( ) ( ) ( )

( )

( )

2

2 4

2 2 4

ab

b a a b ab

A

a b a b ab ab ab ab

-+ -+ -+ + + - +

= = = = =

+ + + + + - + +

-Vậy

A=

Câu 2.

a) Điều kiện xác định: x³ - Ta có:

( ) ( )

( )( )

2

2

2

2 3

2 3

2 3

0

1

4

2

13

3

3

x x x x

x x x x x x

x x x x

x

x x x

x x

x x

x x

x x

+ + = +

Û - + + + + - =

Û - + + - =

éì ³ïïê

é

í =

ê

é - + = ïïỵê - - = ê

ê ê

Û ê Û ê Û ê +

ì ³ =

ïê

- + =

ê ï

ë êí êë

ïê - - = ïỵë

Vậy phương trình cho có hai nghiệm

1 13

1,

3 x= x= +

b) Điều kiện xác định:

1

,

2 x y³

(3)

( )( )

( )( )

( )( ) ( )

( )( )

2

1 2

1

1

1

2

x y x y x y

x y x y x y x y

x y x y x y

x y

x y x y

x y

+ + + + =

Û + - + + + + + =

Û + - + + + - =

é + = ê

Û + - + + = Û

ê +

=-ë Trường hợp 1: x= -1 y Do

1

1 2

2 2

x³ - Þ - y³ - Þ y£ Þ y- £

Do

1

1 2

y³ - Þ - y³

Do suy ra: 2- £ - y£2

Khi đó:

( )2 ( )2

1

2 2

x y- - y

= £ =

Lại có: ( ) ( )( )

2

2x+ +1 2y+1 =2x+ +1 2y+ +1 2x+1 2y+ ³1 2(x+ + =y)

Suy ra: 2x+ +1 2y+ £1

Suy

( )2

2

2 x y x+ + y+ £

-Đẳng thức xảy

1 y

y=

Với

1 y

ta có

x=

Với y=

ta có

1 x

=-Trường hợp 2: x=- -4 2y

Do

1

4

2 2

x³ - Þ - - y³ - Þ - ³ y

1 y³

- Suy khơng có giá trị thỏa mãn-

Vậy hệ cho có hai nghiệm ( )

1 3

; ; , ;

2 2 x y = -ổốỗỗỗ ứ ốữữữử ổỗỗỗ - ÷÷÷ưø

Câu 3.

a) Ta có: AMI· =·ANI=90o=AHI· Þ Năm điểm A M H I N, , , , thuộc đường trịn đường kính AI Do AM AN, tiếp tuyến đường tròn tâm I bán kính IM Þ AM =ANAM AN, thuc ng trũn ng kớnh AI ị ẳAM =) ằANAHM· =AHN· Hay HA phân giác MHN·

b) Từ K kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB AC, , X YKI^BC nên IK^XY Þ ·XKIXMI=90

Suy tứ giác IMXK nội tiếp Þ IXK· =IMK· ( )1 Tương tự IKNY nội tiếp Þ IYK· =INK· ( )2 Mà tam giác IMN cân I nên IMN· =INM· ( )2

(4)

IK^XYÞ KX =KY

Lại có:

XK YK XY BC

BD CD

Þ =

P

XK=YKÞ BD=CDÞ D trung điểm BC c) Ta có OS trung trực BC Hay O D S, , thẳng hàng

Từ suy OD OSì =OC2 =OA2 Hay DOAD: DOSAOADÃ =OSAÃ Mặt khác: OSA· =HAS·

Suy OAD· =HAS· Lại có

· 90 · 90 · · .

2

o o AOC

BAH = - ABH= - =OAC

Do đó: CAD· =BAS· Câu 4.

a) Ta có phương trình tương đương:

( )( 2)

2

1

1

1

x

x x x y

x x y

é = ê

- + + - = Û ê + + = ë

Với x=1 ta có mi yẻ Â u tha

Vi y2=x2+ +x Ta có x2+ +x số phương, Xét x³ 0, ta có: ( )

2

2 1 1

x <x + + £x x+ Suy x2+ + = +x 1 (x 1)2 Û x=0.

Với x=0 ta tìm y=1 y=-

Xét x<0, ta có: ( ) ( )

2 2

1 1

x+ <x + + £x x- Suy ( )

2

2

1

1

1

x x x

x

x x x

é + + =

ê Û

=ê + + = -ê

ë Với x=- 1, ta có: y=1 y=-

Tóm lại hệ cho có nghiệm (x y; ) ( ) ( ) (= 1; , 0;1 , 0; ,k - ) (- 1;1 ,) (- -1; 1) vi kẻ Â

b) Từ

1 b

c a

b a

+ = +

với a b c, , ẻ Ơ*

Nhõn c hai v vi a ta được:

2

a

ac a b a b a kb

b

+ = + ị Mị =

vi kẻ Ơ*

Nhõn hai vế với b ta được: ( )

2

2

1 b

bc ab b a b kb b k

a

+ = + Þ MÞ M Þ M

Thay vào phương trình đầu suy ra: ( ) 1

2

b b k

c a b k b k b

a b k b bk

= - = - = Þ - MÞ M

Từ ( )1 ( )2 suy ra: b=k Suy ra: a=b2 Vậy ab=b3

Câu 5.

a) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

3 3 3

1

1 1

(5)

( ) ( ) ( )

2 2 3

(a + +b c )(ab bc ca+ + )=å a b c+ +abc a b c+ + ³ å a b c+ Do cần chứng minh: ( )( )

2 2

a + +b c ab bc ca+ + £ Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có:

2 2 2 2

1 (= + +a b c) =a + + +b c 2(ab bc ca+ + )³ (a + +b c )2(ab bc ca+ + )

Suy ( )( )

2 2 1.

8 a + +b c ab bc ca+ + £

Từ ta có điều phải chứng minh

Đẳng thức xảy

1

,

a= =b c=

hoán vị chúng b) Trước hết ta có nhận xét:

Nhận xét 1: Cứ bước tổng số viên bị bị giảm viên Suy tổng số bi tất túi sau bước thứ n 2020 – n viên bi

Nhận xét 2: Sau bước tổng số túi thêm túi Như sau bước thứ nn+1 túi Giả sử tồn bước thứ k k( )

*

ẻ Ơ

tha yờu cu bi: Tất túi có hai viên Áp dụng nhận xét 1, số viên bi sau bước thứ k 2020- k viên

Theo nhận xét số túi sau bước k k+1 túi Khi tổng số viên bi tất túi 2(k+1) viên Như vậy: 2(k+ =1) 2020- kÛ 3k=2018 Vô lý k số tự nhiên

Ngày đăng: 24/02/2021, 09:02

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

TÀI LIỆU CÙNG NGƯỜI DÙNG

TÀI LIỆU LIÊN QUAN

w