Tổng hợp Hình học lớp 9

Định lí bổ sung : Với góc BAx( với đỉnh A nằm trên một đường tròn, một cạnh chứa dây cung AB),có số đo = nửa số đo của cung AB căng dây đo và cung này nằm bên trong góc dó thì cạnh Ax [r]

1 HÌNH HỌC

1 HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG 1 Một số công thức tam giác vuông

 b2a b ' c2a c ' h2b c' '  a h b c 1

2 2

h b c

 

2.Tỉ số lượng giác góc nhọn  Định nghĩa

sin D H

  cos K H   t sin os D g K c   

  cot os sin K c g D     

 Tính chất

a. 0sin 1; 0cos1; tg 0; co gt  0 b. Nếu 0 90

1 n

   

      sin sin sin sin

1 n

       

c. Nếu 0 90

1 n

   

      os os os os

1

c  c  c   c n

d. Nếu hai góc B,C phụ sin góc cossin góc kia, tang góc cơtang góc kia: sinBcosC cosB=sinC

tg B = cotgC cotgB = tg C 2

sin cos 1

2 1 t os g c  

 

2

1 t

sin co g 



 

2 SỰ XÁC ĐỊNH ĐƯỜNG TRỊN.TÍNH CHẤT ĐỐI XỨNG 1 Đường trịn

Đường trịn tâm O bán kính R hình gồm điểm cách O khoảng R 2 Vị trí tương đối điểm với đường tròn

Cho đường tròn (O;R) điểm M

 Điểm M nằm đường tròn (O;R) OM R  Điểm M nằm đường tròn (O;R) OM R  Điểm M nằm n goài đường tròn (O;R) OMR 3 Cách xác định đường tròn

 C1: Biết tâm bán kính  C2: Biết đường kính  C3: Qua điểm thẳng hàng 4 Tính chất đối xứng

 Đường trịn hình có tâm đối xứng Tâm đường tròn tâm đối xứng đường tròn

5 Ghi nhớ

* Đường tròn ngoại tiếp tam giác đường trịn qua đỉnh tam giác.Tam giác ln có đường trịn ngoại tiếp

* Đường trịn ngoại tiếp tứ giác đường tròn qua đỉnh tứ giác Các tứ giác có đường trịn ngoại tiếp : Hình thang cân, h vng, HCN .* Đường tròn nội tiếp tam g iác * Đường tròn nội tiếp tam giác đường tròn tiếp xúc với cạnh cuả tam giác Đường nối tâm đến tiếp điểm vng góc với cạnh tam giác

* Đường tròn bàng tiếp đtròn tiếp xúc với cạnh tam giác tiếp xúc với phần kéo dài hai cạnh lại

1. Tam giác thường :Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác giao đường trung trực 2. Tam giác vng: Tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác vng trung điểm cạnh

huyền

3. Tam giác đều Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác trùng với trọng tâm, trực tâm, Tâm đường tròn nội tiếp tam

4. Nếu tam giác có cạnh đường kính đường trịn ngoại tiếp tam giác tam giác tam giác vng

5. Tâm đường tròn nội tiếp tam giác giao đường phân giác

6. Tâm đường tròn bàng tiếp giao đường phân giác đường phân giác

3 ĐƯỜNG KÍNH VÀ DÂY CUNG CỦA MỘT CUNG TRÒN 1 Dây đường tròn : đoạn thẳng nối điểm đường trịn

- Đường kính dây lớn đường tròn 2 Qua n hệ giưa đường kính dây

 Trong đường trịn, đkính vng góc vơi dây qua trung điểm dây đó

3 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng :

độ dài đường vng góc kẻ từ điểm đến đường thẳng 4 Liên hệ dây khoảng cách từ tâm đến dây

 Hai dây cách tâm Hai dây cách tâm  Dây lớn dây gần tâm Dây gần tâm dây lớn

4 VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRỊN 1 Vị trí tương đối đthẳng d đt rịn (O;R)

 (O;R) cắt (d) điểm khoảng cách từ tâm O đến d < R  (O;R) không cắt (d) khoảng cách từ tâm O đến d > R  (O;R) tiếp xúc (d) khoảng cách từ tâm O đến d = R

Khi : d gọi tiếp tuyến (O:R), điểm tiếp xúc đthẳng đtrịn gọi tiếp điểm Và d vng góc với (O;R) tiếp điểm

2 Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến a Định nghĩa (nội dung 1)

b Nếu đthẳng qua điểm đường trịn vng góc với bán kính qua điểm đthẳng tiếp tuyến đtrịn

3 Tính chất hai tiếp tuyến cắt

Nêu hai tiếp tuyến đường trịn cắt điểm a Điểm cách hai tiếp điểm

b Tia kẻ từ điểm qua tâm tia phân giác góc tạo hai tiếp tuyến

c Tia kẻ từ điểm qua tâm tia phân giác góc tạo hai bán kính qua tiếp điểm

5 VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG TRỊN 1 Vị trí tương đối hai đường tròn

Cho đtròn (O; R) (O’; R’)

 (O; R) cắt (O’; R’)  R R'OO' R R'  (O; R) Không giao (O’; R’)

+) Ngoài OO' R R' +) Đựng OO' R R'  (O; R) tiếp xúc (O’; R’)

+)Tiếp xúc OO' R R'0 2 Tính chất đường nối tâm

Nếu hai đtrịn căt đường nối tâm đường trung trực đoạn nối giao điểm Nếu hai đtrịn tiếp xúc tiếp điểm nằm đường nối tâm

3 Tiếp tuyến chung

Tiếp tuyến chung đường tiếp xúc với hai đường trịn

Tiếp tuyến chung ngồi tiếp chung hai đường trịn khơng cắt đoạn nối tâm Tiếp tuyến chung tiếp chung hai đường tròn cắt đoạn nối tâm

6 GÓC Ở TÂM SỐ ĐO CUNG

1 Góc tâm : góc có đỉnh trùng với tâm đường trịn gọi góc tâm 2 Số đo cung : Kí hiệu số đo cung AB : sđ AB

 Số đo cung nhỏ = số đo góc tâm (< 1800 )  Số đo cung lớn= 3600

- sđ cung nhỏ(> 1800 )  Số đo nửa đtròn = 1800

 Hai cung chúng có sđ

 Nếu C điểm nằm cung AB sđ AB =sđ AC + sđ CB 7 LIÊN HỆ GIỮA DÂY VÀ CUNG

1 Định lí 1:Với cung nhỏ đường tròn hai đtròn a Hai cung căng hai dây nhau: AB = CD AB=CD

b Hai dây căng hai cung nhau: AB = CD AB=CD

2 Định lí 2:Với cung nhỏ đường tròn hai đtrịn c Cung lớn căng dây lớn

d Dây lớn căng cung lớn 3 Bổ sung

a Trong đường tròn, hai cung bị chắn hai dây song song

b Trong đtrịn, đường kính điểm cung qua trung điểm dây căng cung âý

c Trong đtrịn đường kính qua trung điểm dây( dây ko quan tâm) qua điểm cung bị căng dây âý

d Trong đường tròn, đường kính điểm giũa cung vng góc với dây căng cung âý ngược lại

8 GÓC NỘI TIẾP 1 Định nghĩa

 Góc nội tiếp góc có đỉnh nằm đường tròn hai cạnh chứa hai dây đường trịn  Cung nằm bên góc gọi cung bị chắn

2 Định lí : Trong đtrịn góc nội tiếp = nửa số đo cung bị chắn 3 Hệ : Trong đường tròn

a Các góc nội tiếp chắn cung

b Các góc nội tiếp chắn cung chắn cung c Góc nội tiếp có số đo = nửa góc tâm cùngchắn cung (góc nt

90

 )

d Góc nội tiếp chắn nửa đtrịn góc vng 9 GĨC TẠO BỞI TIẾP TUYẾN VÀ DÂY CUNG 1 Khái niệm

2 Định lí : Số đo góc tạo tiếp tuyến dây cung = nửa số đo cung bị chắn

3 Định lí bổ sung : Với góc BAx( với đỉnh A nằm đường tròn, cạnh chứa dây cung AB),có số đo = nửa số đo cung AB căng dây đo cung nằm bên góc dó cạnh Ax là tiếp tuyến đtrịn

4 Hệ : Trong đường trịn góc tạo tiếp dây cung góc nội tiếp chắn cung thì

10 GĨC CĨ ĐỈNH BÊN TRONG ĐƯỜNG TRỊN VÀ GĨC CĨ ĐỈNH BÊN NGỒI ĐƯỜNG TRỊN

Số đo góc có đỉnh bên đtrịn = nửa tồng số đo cung bị chắn Số đo góc có đỉnh bên ngồi đường trịn = nửa hiệu số đo cung bị chắn 11 CUNG CHỨA GĨC

1 Quỹ tích cung chứa góc

Với đoạn thẳng AB góc   0

0   180 cho trước quỹ tích điểm M thỏa mãn góc AMB =  hai cung chứa góc  dựng đoạn AB

Chú ý

 Hai cung chứa góc  nói hai cung trịn đối xứng qua AB  Hai điểm A,B coi thuộc quỹ tích

 Qũy tích điểm M nhìn đoạn thẳng AB cho trước góc vng đường trịn đường kính AB

2 Cách vẽ cung chứa góc 

- Vẽ tia Ax tạo với AB góc 

- Vẽ đường thẳng Ay vng góc với Ax Gọi O lag giao điểm Ay với d

- Vẽ cung AmB, tâm O, bán kính OA cho cung nằm nửa mặt phẳng bờ AB không chứa tia Ax

- Cung AmB vẽ cung chứa góc  3 Cách giải tốn quỹ tích

Muốn chứng minh quỹ tích hay tập hợp điểm M thỏa mãn tính chất T hình H đó, ta phải chứng minh hai phần

 Phần thuận: Moi điểm có tính chất thuộc hình H  Phần đảo: Mọi điểm thuộc hình H có tính chất T  Kết luận: Qũy tích điểm M có tính chất T hình H 12 TỨ GIÁC NỘI TIẾP

1 Định nghĩa

Một tứ giác có bốn đỉnh nằm đường trịn đgl tứ giác nội tiếp 2 Định lí

 Trong tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện 180

 Nếu tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện 180 tứ giác nội tiếp đường tròn

3.Một số dấu nhận biết TGNT

a Tứ giác có bốn đỉnh nằm đường trịn b Tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện 180

c Tứ giác có góc ngồi đỉnh góc đỉnh đối đỉnh

d Tứ giác có hai đỉnh kề nhìn cạnh chứa đỉnh cịn lại góc 13 ĐỘ DÀI ĐƯỜNG TRỊN, CUNG TRỊN HÌNH TRỤ - HÌNH NĨN- HÌNH CẦU 1 Độ dài đường trịn :là chu vi đường tròn

2

C r d Diện tích đường trịn : S R

2 Độ dài cung tròn : Trên đường trịn bán kính R,độ dài l cung có sđ n

180 R n l

3 Diện tích hình quạt trịn có bán kính R, sđ cung n

2

360

R n l R S  

S xung quanh S tồn phần V thể tích Hình trụ Sxq 2Rl StpSxq 2.Sđáy

VR h Hình nĩn SxqRl StpSxqSđáy

3

V  R h

Hình cầu

4

S R

3

V  R

PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG 1. Chứng minh góc so le trong, đồng vị…bằng

2. T/c bắc cầu : Hai đường thẳng song song với đường thẳng thứ ba song song với 3. T/c từ vng góc đến song song : Hai đường thẳng vng góc với đường thẳng thứ ba

song song với

4. Sử dụng tính chất hình bình hành.HCN,hình thoi, hình vng

5. Sử dụng tính chất đường trung bình tam giác , hình thang, hình bình hành

6. Định lý TALET đảo: Sử dụng kết đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ để suy đường thẳng song song tương ứng

7. sử dụng tính chất hai cung đường trịn 8. Sử dụng phương pháp chứng minh phản chứng

PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC

1. Hai đường thẳng cắt tạo góc 90 2. Hai đ thẳng chứa hai tia phân giác hai góc kề bù

Tính chất: Góc tạo hai tia phân giác góc kề bù 90 (Lớp 6)

3. Hai đường thẳng chứa hai cạnh tam giác vng

4 Tính chất từ vng góc đến song song : Có đường thẳng thứ vừa song song với đường

thẳng thứ vừa vng góc với đường thẳng thứ hai

5. Sử dụng tính chất đường trung trực đoạn thẳng

Tính chất : Mọi điểm cách hai đầu mút đoạn thẳng nằm đường trung trực đoạn thẳng

6. Sử dụng tính chất trực tâm tam giác

7. Sử dụng tính chất đường phân giác, trung tuyến ứng với cạnh đáy tam giác cân 8. Hai đường thẳng chứa hai đường chéo hình vng, hình thoi

9. Sử dụng tính chất đường kính dây cung đường trịn

10.Sử dụng tính chất tiếp tuyến đường tròn

2. Chứng minh qua điểm xác định góc bẹt (180) 3. Chứng minh hai góc vị trí đối đỉnh mà

4. Chứng minh điểm xác định hai đường thẳng vng góc hay song song với đường thẳng thứ (Tiên đề Ơclit)

5 Dùng tính chất đường trung trực: chứng minh điểm cách hai đầu đoạn thẳng 6 Dùng tính chất tia phân giác: chứng minh điểm cách hai cạnh góc 7. Sử dụng tính chất đồng qui đường: trung tuyến, phân giác, đường cao tam giác 8. Sử dụng tính chất đường chéo tứ giác đặc biệt

9. Sử dụng tính chất tâm đường kính đường trịn

10.Sử dụng tính chất hai đường trịn tiếp xúc

PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH HAI GÓC BẰNG NHAU 1. Hai góc tương ứng hai tam giác (lớp 7) 2. Hai góc đáy tam giác cân, hình thang cân.(lớp 7,8) 3. Các góc tam giác đều.(lớp 7)

4. Sử dụng tính chất tia phân giác góc.(lớp 7) 5. Có số đo nghiệm hệ thức 6. Sử dụng tính chất bắc cầu quan hệ 7. Hai góc vị trí đồng vị, so le trong, so le ngoài.(lớp 7) 8. Hai góc đối đỉnh.(lớp 7)

9. Sử dụng tính chất hai góc bù, phụ với góc khác.(lớp 6) 10.Hai góc tương ứng hai tam giác đồng dạng.(lớp 8)

11.Sử dụng tính chất góc tứ giác đặc biệt.(lớp 8) 12.Sử dụng tính chất tứ giác nội tiếp.(lớp 9)

13.Sử dụng tính chất góc tâm, góc nội tiếp, góc tia tiếp tuyến dây cung chắn

một cung đường tròn hay hai đường tròn nhau.(lớp 9)

PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH Oz tia phân giác góc xƠy 1. C/minh tia Oz nằm tia Ox, Oy xÔz = yÔz

2. Chứng minh

xoz xoy hay yoz xoy

3. Chứng minh tia Oz có điểm cách hai tia Ox Oy 4. Sử dụng tính chất đường cao, trung tuyến ứng với cạnh đáy cân 5. Sử dụng tính chất đồng qui ba đường phân giác

7. Sử dụng tính chất hai tiếp tuyến giao đường trịn 8. Sử dụng tính chất tâm đường tròn nội tiếp tam giác

PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH M trung điểm đoạn thẳng AB. 1. Chứng minh M nằm A, B MA = MB hay MA =

2AB 2. Sử dạng tính chất đường trung tuyến tam giác

3. Sử dụng tính chất đường trung bình tam giác, hình thang 4. Sử dụng tính chất đối xứng trục đối xứng tâm

5. Sử dụng tính chất đường chéo tứ giác đặc biệt

6. Sử dụng tính chất đường kính vng góc với dây cung đường trịn 7. Sử dụng tính chất đường kính qua điểm cung đường trịn

PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH tam giác đặc biệt. ¨ ¨ Tam giác cân:

1. có hai cạnh 2. có hai góc

3. có đường cao đồng thời đường phân giác hay trung tuyn ă Tam giỏc u:

1. cú ba cạnh 2. có ba góc 3. cân có góc 60 4. cân hai nh

ă Tam giỏc vuụng:

1. Tam giác có góc vng

2. Tam giác có hai cạnh nằm hai đường thẳng vng góc 3. Dùng định lý đảo định lý đường trung tuyến vuông 4. Dùng định lý Pitago đảo

5. Tam giác nội tiếp đường trịn có cạnh l ng kớnh ă Tam giỏc vuụng cõn:

1. Tam giác vng có hai cạnh góc vng 2. Tam giác vng có góc 45

3. Tam giác cân có góc đáy 45

PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH tứ giác đặc biệt.

1. Hình hang có hai đường chéo 2. Hình thang có hai góc kề đáy 3. Hình thang nội tiếp ng trũn

ă Hỡnh thang vuụng: Hỡnh thang cú mt gúc vuụng ă Hỡnh bỡnh hnh:

1. Tứ giác có cặp cạnh đối song song 2. Tứ giác có cặp cạnh đối

3. Tứ giác có cặp cạnh đối song song 4. Tứ giác có cặp góc đối

5. Tứ giác có hai đường chéo cắt trung điểm đường ¨ Hình chữ nhật:

1. Tứ giác có góc vng

2. Hình bình hành có góc vng

3. Hình bình hành có hai đường chéo 4. Hình thang cân có góc vng

ă Hỡnh thoi:

1. T giỏc cú cạnh

2. Hình bình hành có hai cạnh kề

3. H bình hành có hai đường chéo vng góc với

4. Hình bình hành có đường chéo tia phân giỏc ca mt gúc ă Hỡnh vuụng:

1. Hình chữ nhật có hai cạnh kề 2. Hình chữ nhật có hai đường chéo vng góc 3. Hình chữ nhật có đường chéo tia phân giác 4. Hình thoi có góc vng

5. Hình thoi có hai đường chéo

PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH tứ giác nội tiếp đường trịn. Tứ giác có tổng hai góc đối 180

2 Tứ giác có bốn đỉnh cách điểm (mà ta xác định được) Điểm tâm đường trịn ngoại tiếp tứ giác

3 Tứ giác có góc ngồi đỉnh góc đỉnh đối diện

PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH đg thẳg d đường trung trực đoạn thẳng AB. 1. Chứng minh d  AB trung điểm AB

2. Chứng minh có hai điểm d cách A B

3. Sử dụng tính chất đường cao, trung tuyến hay phân giác ứng với cạnh đáy AB tam giác cân 4. Sử dụng tính chất đối xứng trục

5. Sử dụng tính chất đoạn nối tâm hai đường tròn cắt hai điểm

PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH đường thẳng (d) tiếp tuyến A (O).

1. Chứng minh A thuộc (O) (d)  OA A.(s/d pp chứng minh đt vng góc) 2. Chứng minh (d) OA A OA = R

Chứng minh hai cung nhau.

1 Chứng minh hai cung đường tròn hay hai đường tròn có số đo độ Chứng minh hai cung bị chắn hai dây song song

3 Chứng minh hai cung đường tròn hay hai đường tròn căng hai dây

4 Dùng tính chất điểm cung Chứng minh hai đoạn thẳng nhau.

1 Hai cạnh tương ứng hai tam giác (lớp 7) Hai cạnh bên tam giác cân, hình thang cân.(lớp 7) Sử dụng tính chất trung điểm.(lớp 7)

4 Khoảng cách từ điểm tia phân giác góc đến hai cạnh góc

5 Khoảng cách từ điểm đường trung trực đoạn thẳng đến hai đầu đoạn thẳng.(lớp 7)

6 Hình chiếu hai đường xiên ngược lại (lớp 7) Dùng tính chất bắc cầu

8 Có độ dài nghiệm hệ thức

9 Sử dụng tính chất đẳng thức, hai phân số

10.Sử dụng tính chất đường trung tuyến tam giác vng, đường trung bình tam giác.(lớp 8)

11.Sử dụng tính chất cạnh đường chéo tứ giác đặc biệt.(lớp 8) 12.Sử dụng kiến thức diện tích.(lớp 8)

Chứng minh đoạn thẳng ½ đoạn thẳng khác. Sử dụng tính chất trung điểm

2 Sử dụng tính chất đường trung tuyến tam giác vng Sử dụng tính chất đường trung bình tam giác

4 Sử dụng tính chất tam giác nửa Sử dụng tính chất trọng tâm t.giác Sử dụng hai đồng dạng với tỉ số ½

7 Sử dụng quan hệ bán kính đường kính đường trịn Chứng minh góc nửa góc khác.

1 Sử dụng tính chất tam giác nửa

2 Sử dụng tính chất tia phân giác góc Sử dụng số đo tính hay giả thiết cho

4 Sử dụng quan hệ góc tâm, góc nội tiếp góc tia tiếp tuyến dây cung chắn cung đường tròn

Chứng minh đường thẳng đồng qui.

1 Chứng minh có điểm đồng thời thuộc ba đường thẳng Cm giao điểm đường thẳng nằm đường thẳng thứ ba

3 C/minh giao điểm đường thẳng thứ thứ hai trùng với giao điểm hai đường thẳng thứ hai thứ ba

4 Sử dụng tính chất đồng qui ba đường trung tuyến, đường cao, phân giác, trung trực tam giác

5 Sử dụng tính chất đường chéo tứ giác đặc biệt Chứng minh hai tam giỏc ng dng.

ă Hai tam giỏc bất kỳ:

1 Dùng định lý đường thẳng song song với cạnh cắt cạnh lại tam giác Trường hợp: c – c – c

3 Trường hợp: c – g c Trng hp: g g ă Hai tam giác vuông: Trường hợp: g – g Trường hợp: c – g – c

3 Trường hợp: cạnh huyền – cạnh góc vng

Chứng minh G trọng tâm tam giác ABC.

Chứng minh G giao điểm hai đường trung tuyến tam giác Chứng minh G thuộc trung tuyến chia trung tuyến theo tỉ lệ :

Chứng minh H trực tâm tam giác ABC

Chứng minh O tâm đường tròn ngoại tiếp

1 Chứng minh O giao điểm hai đường trung trực tam giác Chứng minh O cách ba đỉnh tam giác

Chứng minh O tâm đường tròn nội tiếp tam giác.

1 Chứng minh O giao điểm hai đường phân giác tam giác Chứng minh O cách ba cạnh tam giác

Chứng minh O tâm đường tròn bàng tiếp góc A tam giác ABC

Chứng minh K giao điểm phân giác góc BÂC phân giác ngồi góc B (hay C)

Chứng minh quan hệ không (cạnh – góc – cung) Sử dụng quan hệ hình chiếu đường xiên (cạnh)

2 Sử dụng quan hệ đường xiên đường vng góc (cạnh) Sử dụng quan hệ cạnh tam giác vuông (cạnh)

4 Sử dụng quan hệ cạnh góc đối diện tam giác (cạnh góc)

5 Sử dụng định lý: Nếu hai tam giác có hai cặp cạnh tương ứng góc xen khơng tam giác có góc lớn cạnh đối diện lớn ngược lại

6 Sử dụng quan hệ đường kính dây cung (cạnh)

7 Sử dụng quan hệ dây khoảng cách từ tâm đến dây (cạnh)

8 Sử dụng quan hệ cung số đo (độ) cung đường tròn hay hai đường tròn (cung)

9 Sử dụng quan hệ dây cung bị chắn (cung cạnh)