Đề thi thử THPT quốc gia

Ông ta muốn hoàn nợ cho ngân hàng theo cách: Sau đúng một tháng kể từ ngày vay, ông bắt đầu hoàn nợ; hai lần hoàn nợ liên tiếp cách nhau đúng một tháng, số tiền hoàn nợ ở mỗi tháng là nh[r]

Câu 39: Cho hàm số y=f x( ) Hàm số y=f x¢( ) có bảng biến thiên sau

Bất phương trình ( ) e x f x < +m

với xỴ -( 1;1)

A

( )1 e m³ f

-B ( )

1

1

e

m>f -

-C ( )

1

1

e

m³ f -

-D m>f( )1 - e

Trần Đình Cư, Nguyễn Thanh Hải

Lời bình

Đối với lớp tốn kiểu ta dùng phương pháp hàm số với lưu ý Xét bất phương trình f x( ) <m với xỴ ( )a b,

Trong trường hợp f x( ) đơn điệu ( f x¢( ) khơng đổi dấu ) ( )a b, hàm f x( ) liên tục ,

a b é ù ê ú

ë û yêu cầu toán trở thành maxé ùê úa b, f x( ) m ë û

£

Trong trường hợp f x( ) đạt giá trị lớn điểm x0Ỵ ( )a b, u cầu tốn trở thành ( )

,

max

a b f x m é ù

ê ú ë û

<

Lời giải Chọn C

Ta có: ( ) e , ( 1;1) ( ) e , ( 1;1)

x x

f x < +m x" Ỵ - Û f x - <m " Ỵ -x

Xét hàm số g x( )=f x( ) e- x, ta có: g x¢( )=f x¢( ) e- x

Dựa vào bảng biến thiên ( ) ' f x

ta thấy " ẻ -x ( 1;1) thỡ f x <( ) 0, - ex <0 nên ( ) ( ) ex

g x¢ =f x¢ - < , " Î -x ( 1;1) .

Hàm số g x( ) nghịch biến (- 1;1) liên tục éë-ê 1,1ùúû Suy ra: 1,1 ( ( ) ) ( )

1 (

max 1)

e

x f

f x e g

é-ê úù ë û

- = - = -

- Do đó:

1 ( 1)

e

m³ f -

CÂU TƯƠNG TỰ

Câu 1: Cho hàm số y=f x( ) Hàm số y=f x¢( ) có bảng biến thiên sau

Bất phương trình ( ) cos x f x > + m

với mi

0;

xẻ ỗổ ửỗỗ pữữữữ

ỗố ứ v ch khi

A ( )

1

0

3

m£ éêëf - ùúû

B ( )

1

0

3

m< éêëf - ùúû

C

1 1

3

mÊ ờờộfổ ửỗỗ ữỗ ữpữữ- ựỳỳ ỗố ø

ê ú

ë û D

1 1

3

m< ờờộfổ ửỗỗ ữỗ ữpữữ- ựỳỳ ỗố ứ

ờ ỳ

ở û

Lời giải Chọn A

Ta có: ( ) cos x f x > + m

ỳng

0;

x ổ ửỗ pữữ " ẻ ỗỗ ữữ

ỗố ứ ( )

cos

2 , 0,

2

x

f x - > m x" ẻ ỗổ ửỗỗỗ pữữữ ứ

ữ

ố

Xột hàm số ( ) cos ( ) f x x

g x =

-, Ta có: ( )

cos

( ) f x sinx x.ln2 g x¢ = ¢ +

Dựa vào bảng biến thiên: ( )

' 0

f x > ,

0;

x æ ửỗ pữữ " ẻ ỗỗ ữữ

ỗố ứ v hiển nhiên 2 sin ln2cosx x >0 ,

0;

x ổ ửỗ pữữ " ẻ ỗỗ ữữ

ỗố ứ Hm s g x( )

ng bin trờn

0; p ổ ửữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ

ỗố ứ v liờn tục éë-ê 1,1ùúû

Do đó:

( ) cos ( ) cos

0,

2 , 0,

2

x x

f x m x f x m

p p é ù ê ú ê ú ë û æ ửữ ỗ ữ ộ ự

- > " ẻ çç ÷÷Û êë - úû³ çè ø

Suy ra:

( ) ( ) ( ) 0,

2

ming x g f p é ù ê ú ê ú ë û = =

- Do đó: ( )

1 0 2

3

m£ éêëf - ùúû

Câu 2: Cho hàm số y=f x( ) Có bảng xét dấu đạo hàm sau:

Bất phương trình ( )

2 2 ex x f x < - +m

" Ỵx ( )0;2 khi A ( )

1

e

m>f

- B ( )

1

e

m³ f

- C m>f( )0 - D m³ f( )0 - Lời giải

( ) 2 BPT Û f x - ex- x <m

Xét hàm số ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2

ex x 2 ex x

h x =f x - - ị h x =f x + - x - Nu xẻ ( )0;1 thỡ f xÂ( ) >0 v ( )

2 2 2 e- x x- x >0

nờn h xÂ( ) >0 Nu xẻ ( )1;2 f x¢( ) <0 ( )

2 2 2 e- x x- x <0

nên h x¢( ) <0 Suy 0;2 ( ) ( ) ( )

1

max 1

e

h x h f

é ù ê ú ë û

= =

- Nên ( )

1

Y CBT

e

m f

Û >

- Câu 3: Cho hàm số y=f x( ) Có bảng biến thiên sau:

Bất phương trình ( ) ( ) 5

x + f x ³ m

có nghiệm khoảng (- 1;2)

A m<27 B m<24 C m<10 D m£ 27 Lời giải

Chọn A

Nếu xỴ -( 1;0) hai hàm số y=x2+5 y=f x( ) nghịch biến Nếu xỴ ( )0;2 hai hàm số y=x2+5 y=f x( ) đồng biến Mặt khác khoảng (- 1;2) x2+ >5 f x( ) >0

Ta có BBT hàm số ( ) ( ) 5

y= x + f x

khoảng (- 1;2)

Câu 40: Có hai dãy ghế đối diện nhau, dãy có ba ghế Xếp ngẫu nhiên học sinh, gồm nam nữ, ngồi vào hai dãy ghế cho ghế có học sinh ngồi Xác suất để học sinh nam ngồi đối đối diện với học sinh nữ

A

5. B

1

20. C

3

5. D

1 10.

Nguyễn Cao Thời, Nguyễn Chiến

Lời bình

Trước hết tìm số phần tử khơng gian mẫu Mỗi cách xếp học sinh vào ghế hốn vị phần tử, số phần tử không gian mẫu là:W =6! cách

Gọi A biến cố học sinh nam ngồi đối diện với học sinh nữ Giả sử ghế xếp hình vẽ

1

A B1 C1

2

A B2 C2

Ta tư tìm số phần tử A theo hướng sau: Hướng 1:

+ Xếp bạn thứ (nam nữ được) vào ghế A1 có cách chọn. Tiếp theo xếp bạn vào ghế A2, bạn phải khác giới với bạn ngồi ghế

1

A nên có cách chọn (nếu ghế A1 nam ghế A2 phải 3 bạn nữ ghế A1 nữ ghế A2 phải bạn nam).

+ Tiếp tục xếp bạn lại vào ghế B1 có cách chọn Xếp bạn vào ghế B2 có cách chọn

+ Sau xếp bạn cịn lại vào ghế C1 có cách chọn Bạn cuối cách lựa chọn ngồi ghế C2.

Do số phần tử A là: A =6.3.4.2.2.1 Hướng 2:

Xếp cố định bạn giới vào dãy ghế có 3! cách Xếp bạn thuộc giới cịn lại vào dãy có 3! cách

Ở cặp ghế đối diện hai bạn nam nữ đổi chỗ cho nên có 23 cách

Do số phần tử A

3 3!.3!.2 A =

Hướng 3:

Còn lại ghế, bạn nam thứ không ngồi đối diện bạn nam thứ nên có cách

Cịn lại ghế, bạn nam thứ không ngồi đối diện hai bạn nam nên có cách

Lời giải Chọn A

Số phần tử không gian mẫu W =6!=720

Gọi A biến cố học sinh nam ngồi đối diện với học sinh nữ Giả sử ghế xếp hình vẽ:

1

A B1 C1

2

A B2 C2

Cách 1:

Xếp bạn thứ vào ghế A1 có cách chọn.

Tiếp theo xếp bạn vào ghế A2, bạn phải khác giới với bạn ngồi ghế

A nên có cách chọn

Tiếp tục xếp bạn cịn lại vào ghế B1 có cách chọn Xếp bạn vào ghế B2 có cách chọn

Sau xếp bạn cịn lại vào ghế C1 có cách chọn Bạn cuối cách lựa chọn ngồi ghế C2.

Số phần tử A là: A =6.3.4.2.2.1 288=

Vậy xác suất cần tìm

( ) A 288720 25

P A = = =

W

Cách 2:

Xếp học sinh nữ vào dãy ghế có 3! cách Xếp học sinh nam vào dãy ghế có 3! cách

Ở cặp ghế đối diện hai bạn nam nữ đổi chỗ cho nên có 23 cách

Số phần tử A là:

3

3!.3!.2 288

A = =

Vậy xác suất cần tìm

( ) A 288720 25

P A = = =

W

Cách 3:

Xếp bạn nam thứ có cách, bạn nam thứ có cách, bạn nam thứ có cách

Xếp bạn nữ vào ba ghế cịn lại có 3! cách Số phần tử A là: A =6.4.2.3! 288=

Vậy xác suất cần tìm

( ) A 6.4.2.3!6! 288720 25

P A = = = =

W

CÂU TƯƠNG TỰ

Câu 1: Có hai dãy ghế đối diện nhau, dãy có bốn ghế Xếp ngẫu nhiên học sinh, gồm nam nữ, ngồi vào hai dãy ghế cho ghế có học sinh ngồi Xác suất để học sinh nam ngồi đối đối diện với học sinh nữ khơng có hai học sinh giới ngồi cạnh A

8

35. B

1

35. C

2

35. D

4 35.

Lời giải Chọn B

Mỗi cách xếp học sinh vào ghế hoán vị phần tử, số phần tử không gian mẫu là: W =8!=40320

Gọi A biến cố: “Mỗi học sinh nam ngồi đối diện với học sinh nữ khơng có hai học sinh giới ngồi cạnh nhau”

Cách 1.

Với cách xếp ta có hai tường hợp NỮ na

m

NỮ na m

na m

NỮ na m

NỮ na

m

NỮ na m

NỮ NỮ na

m

NỮ na m

Như ta có A =2.4!.4! 1152= Vậy xác suất biến cố A là: ( )

1152 40320 35

P A = =

Cách

8 cách (nam nữ, giả sử nam)

3 cách

(nữ) cách (nam) cách (nữ)

4 cách (nữ) cách

(nam) cách (nữ)

1 cách (nam) Theo cách có A =8.4.3.3.2.2.1.1 1152=

Do xác suất biến cố A là: ( )

1152

40320 35

P A = =

Câu 2: Một bàn dài có hai dãy ghế đối diện nhau, dãy có ghế Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho học sinh trường X học sinh trường Y vào bàn nói Tính xác suất để học sinh ngồi đối diện khác trường với

A

2

63. B

4

63. C

8

63. D

5 63.

1

A B1 C1 D1 E1

2

A B2 C2 D2 E2

Mỗi cách xếp 10 học sinh vào 10 ghế hốn vị 10 phần tử, số phần tử không gian mẫu là: W =10!=3628800

Gọi A biến cố: “bất học sinh ngồi đối diện khác trường với nhau”

Cách 1:

¾ Xếp bạn thứ vào ghế A1 có 10 cách chọn

¾ Tiếp theo xếp bạn vào ghế A2, bạn phải khác trường với bạn ngồi ghếA1 nên có cách chọn

¾ Tiếp tục xếp bạn lại vào ghế B1 có cách chọn Xếp bạn vào ghế B2 có cách chọn

¾ Tiếp tục xếp bạn lại vào ghế C1 có cách chọn Xếp bạn vào ghế C2 có cách chọn

¾ Tiếp tục xếp bạn lại vào ghế D1 có cách chọn Xếp bạn vào ghế D2 có cách chọn

¾ Sau xếp bạn lại vào ghế E1 có cách chọn Bạn cuối cịn cách lựa chọn ngồi ghế E2.

Số phần tử A là: A =10.5.8.4.6.3.4.2.2.1 460800=

Vậy xác suất cần tìm

( ) A 3628800460800 638

P A = = =

W

Cách 2:

Xếp học sinh trường X vào dãy ghế có 6! cách Xếp học sinh trường Y vào dãy ghế có 6! cách

Ở cặp ghế đối diện hai bạn nam nữ đổi chỗ cho nên có 26 cách

Số phần tử A là:

5

5!.5!.2 460800

A = =

Vậy xác suất cần tìm

( ) A 3628800460800 638

P A = = =

W

nhau, dãy có năm ghế ghế ngồi học sinh Tính xác suất để tổng số thứ tự hai em ngồi đối diện nhau A

1

126 B

1

252 C

1

945 D

1 954 Lời giải

Chọn C

Mỗi cách xếp 10 học sinh vào 10 ghế hoán vị 10 phần tử, số phần tử khơng gian mẫu là: W =10!=3628800

Gọi A biến cố: “Tổng số thứ tự học sinh ngồi đối diện nhau”

Giả sử số vị trí 10 học sinh u u1, , ,2 u10 Theo tính chất cấp số cộng, ta có cặp số có tổng sau đây:

1 10

u +u =u +u =u +u =u +u =u +u 10

cách cách

6 cách

4 cách cách cách

cách cách

1 cách cách Theo cách có A =10.8.6.4.2=3840

Do xác suất biến cố A là: ( )

3840 3628800 945

P A = =

Câu 41: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2; 2;4- ), B(- 3;3; 1- ) mặt phẳng ( )P : 2x y- +2z- 8=0 Xét M điểm thay đổi thuộc ( )P , giá trị nhỏ 2MA2+3MB2

A 135 B 105 C 108 D 145

Lê Tài Thắng, Trịnh Thu Hương Lời bình

Đây tốn cực trị hình học khơng gian (cũng giống dạng tốn cực trị hình học phẳng) Sử dụng kiến thức “tâm tỉ cự” giúp học sinh thấy chất hình học toán, đồng thời xây dựng lên ý tưởng đề ý tưởng chung để giải quyế dạng toán

* Tâm tỉ cự: Trong không gian, cho hệ n điểm A A1, , , An n số thực 1, , , n

k k k thỏa mãn k1+k2+ + kn = ¹k 0 Khi đó, tồn một điểm I không gian thoả mãn: k IA1 1+k IA2 2+ + k IAn n =0

uuur uuur uuur r

Điểm I gọi tâm tỉ cự hệ điểm Ai gắn với hệ số ki * Sử dụng “tâm tỉ cự” để giải số tốn cực trị hình học.

Bài toán tổng quát 1: Cho n điểm A A1, , , An n số thực k k1, , , kn thỏa mãn k1+k2+ + kn = ¹k 0 Cho đường thẳng d mặt phẳng ( )P . Tìm điểm M đường thẳng d mặt phẳng ( )P cho

1 2 n n k MAuuuur+k MAuuuur+ +k MAuuuur

có giá trị nhỏ Phương pháp:

+ Tìm điểm I thỏa mãn: k IA1 1+k IA2 2+ + k IAn n =0 uuur uuur uuur r

+ k MA1 1+k MA2 2+ + k MAn n =k MI

uuuur uuuur uuuur uuur

+ Điểm M cần tìm hình chiếu vng góc I đường thẳng d mặt phẳng ( )P

Bài toán tổng quát 2: Cho n điểm A A1, , , An n số thực k k1, , , kn thỏa mãn k1+k2+ + kn = ¹k 0 Cho đường thẳng d mặt phẳng ( )P . Tìm điểm M đường thẳng d mặt phẳng ( )P cho

2 2

1 2 n n

T =k MA +k MA + +k MA có giá trị nhỏ (hoặc giá trị lớn nhất). Phương pháp:

+ Tìm điểm I thỏa mãn: k IA1 1+k IA2 2+ + k IAn n =0 uuur uuur uuur r

+ T =k MA1 12+k MA2 22+ + k MAn n2

2 2

1 2 n n

kMI k IA k IA k IA

= + + + + .

Nếu k>0, T nhỏ điểm M cần tìm hình chiếu vng góc I đường thẳng d mặt phẳng ( )P

Lời giải Chọn A

Gọi I x y z( ; ; ) điểm thỏa mãn 2IA+3IB =0 uur uur r

suy I (- 1;1;1) 27

IA = ; IB2=12

; d I P( ,( )) =3

2

2MA +3MB ( ) ( )

2

2MI IA 3MI IB

= uuur+uur + uuur+uur 2

5MI 2IA 3IB

= uuur + uur + uur =5MI2+90 Suy 2MA2+3MB2nhỏ Û MI nhỏ

Mà MI ³ d I P( ,( )) =3

Vậy 2MA2+3MB2³ 5.9 90 135+ = CÂU TƯƠNG TỰ

Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với A(2;1;3) , (1; 1;2)

B

-, C(3; 6;1- ) Điểm M x y z( ; ; ) thuộc mặt phẳng (Oyz) cho

2 2

MA +MB +MC đạt giá trị nhỏ Tính giá trị biểu thức P = + +x y z.

A P =0 B P =2 C P =6 D P = -

Lời giải Chọn A

Gọi G trọng tâm tam giác ABC Suy ra: G(2; 2;2- ) Ta có:

2 2

2 2

MA +MB +MC =MAuuur +MBuuur +MCuuur

( ) (2 ) (2 )2

MG GA MG GB MG GC

= uuur+uuur + uuur+uuur + uuur+uuur 2 2 2 2

3MG GA GB GC

= + + + .

Do tổng GA2+GB2+GC2 không đổi nên MA2+MB2+MC2 đạt giá trị nhỏ MG2 nhỏ hay MG nhỏ

Mà M nằm mặt phẳng (Oyz) nên M hình chiếu vng góc G lên mặt phẳng (Oyz) Suy ra: M(0; 2;2- )

Vậy P = + + = + -x y z ( )2 + =2

Câu 2: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho điểm A(1;1;1), B(0;1;2), ( 2;1;4)

C

mặt phẳng ( )P :x y z- + + =2 Tìm điểm N Ỵ ( )P cho

2 2

2

S = NA +NB +NC đạt giá trị nhỏ nhất.

A

4;2;4

3

Nổỗỗỗ- ửữữữữ

ỗố ứ. B N(- 2;0;1). C

1 3; ; 4

Nổỗỗỗ- ửữữữữ

ỗố ứ. D N(- 1;2;1).

Chọn D

Với điểm I ta có

( ) (2 ) (2 )2

2 2

2

S = NA +NB +NC = NIuur+IAuur + NIuur+IBuur + NIuur+ICuur

( )

2 2

4NI 2NI IA2 IB IC 2IA IB IC

= + uur uur+uur+uur + + +

Chọn điểm I cho 2IA+IB+IC =0 uur uur uur r

2IAuur+IBuur+ICuur = Û0r 4IAuur+ABuuur+ACuuur =0rSuy tọa độ điểm I I (0;1;2) .

Khi S =4NI2+2IA2+IB2+IC2, S nhỏ N hình chiếu

I lên mặt phẳng ( )P .

Phương trình đường thẳng qua I vng góc với mặt phẳng ( )P

0

x t

y t

z t

ìï = + ïï

ï = -íï

ï = + ïïỵ

Tọa độ điểm N t( ;1- t;2+ Ỵt) ( )P Þ t- 1+ + + + = Ût t t = - 1Þ N(- 1;2;1)

Câu 3: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;2;1), B(2; 1;3- ) Tìm điểm M mặt phẳng (Oxy) cho MA2- 2MB2 lớn

A

3 ; ;0 2

M ổỗỗỗ ửữữữữ

ỗố ứ. B

1

; ;0

2

Mổỗỗỗ - ửữữữữ

ỗố ø. C M(0;0;5). D M(3; 4;0- ).

Lời giải Chọn D

Gọi điểm E thỏa EA- 2EB =0 uuur uuur r

Suy B trung điểm AE , suy (3; 4;5)

E

-

Khi đó: MA2- 2MB2=( ) ( )

2

2

MEuuur+EAuuur - MEuuur+EBuuur 2 2 2

2

ME EA EB

= - + - .

Do MA2- 2MB2 lớn Û ME nhỏ Û M hình chiếu (3; 4;5)

E

lên (Oxy) Û M(3; 4;0- )

Chú ý: Ta làm trắc nghiệm sau + Loại C M(0;0;5) khơng thuộc (Oxy)

+ Lần lượt thay

3 1; ;0 2

Mổỗỗỗ ửữữữữ

ỗố ứ,

1; 3;0

2

Mổỗỗỗ - ửữữữữ

Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1;4;5), B(3;4;0) , (2; 1;0)

C

mặt phẳng ( )P : 3x- 3y- 2z- 12=0 Gọi M a b c( ; ; ) thuộc ( )P cho MA2+MB2+3MC2 đạt giá trị nhỏ Tính tổng a b c+ +

A 3 B 2 C - D -

Lời giải Chọn A

Gọi I x y z( ; ; ) điểm thỏa mãn IA+IB+3IC =0 uur uur uur r

Ta có: IA= -(1 x;4- y;5- z)

uur

, IB =(3- x;4- y;- z)

uur

và 3IC =(6 ; 3 ; 3- x - - y - z)

uur

Từ ta có hệ phương trình:

1

4 3

5

x x x x

y y y y

z z z z

ì ì ï - + - + - = ï = ï ï ï ï ï - + - - - = Û ï = í í ï ï ï - - - = ï = ï ï ï ï

ợ ợ ị I (2;1;1) .

Khi ú: ( )

2

2 2 .

MA =MAuuur = MIuuur+IAuur =MI + MI IAuuur uur+IA

( )2

2

2 2 .

MB =MBuuur = MIuuur+IBuur =MI + MI IBuuur uur+IB

( )2 ( )

2

2 2

3MC =3MCuuur =3MIuuur+ICuur =3MI +2MI ICuuur uur +IC Do đó: S=MA2+MB2+3MC2=5MI2+IA2+IB2+3IC2

Do IA2+IB2+3IC2 không đổi nên S đạt giá trị nhỏ MI đạt giá trị nhỏ Tức M hình chiếu I lên mặt phẳng ( )P : 3x- 3y- 2z- 12=0

Vectơ phương IM n =(3; 3; 2- - )

r

Phương trình tham số IM là:

2 3 x t y t z t ìï = + ïï ï = -íï ï =

-ïïỵ , (tỴ ¡ )

Gọi M(2 ;1 ;1 2+ t - t - t) Ỵ ( )P hình chiếu I lên mặt phẳng ( )P

Khi đó: ( ) ( ) ( )

1

3 3 2 12 22 11

2

t t t t t

+ - - - = Û - = Û =

Suy ra:

7; 1;0

2

Mổỗỗỗ - ö÷÷÷÷

Câu 42: Có số phức zthỏa mãn

2

z = z+ +z

z- 1- i = -z 3+ i ?

A 4 B 3 C 1 D 2

Bạn thân Quý BN, Hà Thị Mai, Thanh Minh Lời bình

Đây tốn tìm số phức cách giải hệ phương trình Cách làm phổ biến đặt z= +x yi x y, ,( Ỵ ¡ ) đưa hệ phương trình đại số để giải Đây câu hỏi thuộc chương số phức Dạng tốn tìm số phức thỏa mãn điều kiện cho trước

Mức độ câu hỏi: Vận dụng thấp Kiến thức cần vận dụng:

- Các phép toán số phức - Modun số phức

- Kiến thức giải phương trình Lời giải Chọn B

+Gọi z= +x yi x y, ,( Ỵ ¡ ).Khi đó, ta có:

1 3

2

z i z i

z z z

ìï - - = - + ïï

íï = + + ïïỵ

( ) (2 )2 ( ) (2 )2 2

1 3

4

x y x y

x y x

ìïï - + - = - + + ï Û íï + = + ïïỵ ( )

5

x y

x x x

ìï -ï = ïï Û í ïï - + = ïïỵ . + ( )

5x - x+2x =0

2

2

5 24

0

5

x x x x x x éìï ³ ïêïíê ï - = êïïỵ Û êìïê <

ïïêí

êïïêïỵë + = x 85;0;245

ì ü ï ï ï ù ẻ -ớ ý ù ù ù ù ợ þ.

CÂU TƯƠNG TỰ

Câu 1: Cho số phức z số thực 2 4 z z z z - +

+ + số thực Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn

2 z+ + -z z z = z

A 0. B 2. C 4. D 8.

+Điều kiện z2+2z+ ¹4 Û z¹ - ±1 i 3.Vì số phức z số thực nên 2 4 z z z z - + ¹

+ + ; Đặt

2 2 4 z z w z z - + = ¹ + + .

Ta có wz2+2wz+4w=z2- 2z+4

2 2( 1) 4 0

1 w z z w + Û + + =

- ( )1 .

Vì w số thực khác nên ( )1 phương trình bậc hai với hệ số thực Vì tồn số phức z khơng thựcÞ ( )1 có hai nghiệm phức z z1, 2 không thực

1

z z

Þ = = = Þ z =2 +Đặt z= +x yi (x y, Ỵ ¡ );

2

2

z = Þ x +y = ;

2 z+ + -z z z = z 2

2x 2y x y

Þ + = + Xét hệ 2 2 2 x y

x y x y

ìï + = ïïí

ï + = +

ïïỵ Û

2 4

2 x y x y ìï + = ïïí ï + = ïïỵ 0; 0; x y y x é = = ± ê Û ê = = ±êë

Vì số phức z khơng phải số thực z¹ - ±1 i nên z= ±2i

Câu 2: [THPTQG 2017] Có số phức z thỏa mãn z- 3i =5 z z- là số ảo

A 0 B Vô số C 1 D 2

Lời giải Chọn C

+ Điều kiện z¹ Đặt z= +x yi x y,( , Ỵ R) Cách 1:

+ Ta có

2 2

3 ( 3) 16

z- i = Û x + y- = Û x +y - y= ( )1

( ) ( )

( ) ( ) ( )

2

2 2 2 2

4 4

4 4 4 4

x yi x yi

z x yi x x y yi

z x yi x y x y x y

é ù

+ -

-+ êë úû - +

= = =

- + - + - + - +

+

z

z- số ảo ( )

( )

( )

2

2

2

2 2

4

4 0

4

4

x x y

x x y

x y x y ìï - + = ï - + ï Û = Û íï - + ù - + ùợ

T ( )1, ( )2 ta có hệ:

2 2 16 16

4 13

24 13 x y

x y y

x

x y x

y éìï = ïêíê ï = êïỵ ìï + - = ê ïï Û ìïê í êïï = ï + - = ï ï ï ï ê ỵ íêï -ïê = ïêïïỵë 16 24 13 13 z i Þ =

Nhận xét: Học sinh thường mắc sai lầm thiếu điều kiện z¹ dẫn đến khơng loại nghiệm

Cách 2: Vì z

z- số ảo ,( ) z

bi b R z ị = ẻ -4 bi z bi Þ = - + .

3 5

1

bi

z i i

bi

- = Û - =

- +

( ) (3 )

4

5

1

b b i

bi i bi

bi bi

+ + - - +

Û = Û =

- + - +

( )2 ( )

2

9b 4b 25 b

Û + + = × + Û b= 23

.Vậy có số phức z thỏa mãn

Câu 3: [THPTQG 2018] Có số phức z thỏa mãn ( ) (5 )

z z- - i + i = - i z

A 2 B 3 C 1 D 4

Lời giải Chọn B

Phân tích : Nếu đặt z= +x yi (x y, Ỵ ¡ )thì thấy khối lượng tính tốn lớn đến hệ phương trình phức tạp Nghĩ đến phép lấy mô đun hai vế biểu thức số phức phép suy Ta thực giả thiết toán đưa dạng sau:

(a bi z+ ) = +c di

(a bi z+ ) = +c di với a b c d, , , số thực a bi c di z + = + a bi c di z + = +

với a b c d, , , số thực Sau lấy mô đun hai vế, ta phương trình ẩn z

( ) (5 )

z z- - i + i = - i zÛ z z - 4z - i z +2i =(5- i z)

( ) (2 )

z z i z z i

Û - + = + - Þ z (z - 5)2+ =1 16z2+ -(2 z)2

2 2

10 26 17 4

z zổỗ z ửữ z z

ỗố - + ÷÷ø= - +

10 4

z z z z

Û - + + - =

( )

1

z ổỗz z ửữ

- ỗố - + ữữứ= ( )

9 z z z é = ê Û ê ê - + = ë .

Câu 43: Cho hàm số y=f x( ) liên tục ¡ có đồ thị hình vẽ Tập hợp tất giá trị thực tham số m để phương trình f(sinx) =m có nghiệm thuộc khoảng ( )0;p

A é-êë1;3) B (- 1;1) C (- 1;3) D é-êë 1;1)

Ngonguyen Quocman, Dấu Vết Hát, Nhân Lê Lời bình

Đây tốn tương giao đồ thị Đề cho đồ thị hàm f x( ) nên ta nghĩ đến việc dùng đồ thị để giải Để sử dụng đồ thị cần đưa

(sin )

f x

dạng f x( ) Từ ta nghĩ đến việc đặt ẩn phụ để đưa hàm ban đầu sử dụng đồ thị để giải tốn tương giao Chú ý tìm miền giá trị cho biến

Lời giải Chọn D

Đặt t =sinx, xỴ ( )0;p nên tỴ (0;1ùúû (xem hình trên)

Khi phương trình trở thành: f t( ) =m t, Ỵ (0;1ûúù Đồ thị f t( ) (0;1ùúû hình vẽ

Từ đồ thị ta có: Phương trình f(sinx) =m có nghiệm thuộc khoảng ( )0;p Û phương trình f t( ) =m có nghiệm nửa khoảng (0;1ùúûÛ mỴ -êëé 1;1).

Mức độ câu hỏi: Vận dụng thấp

Kiến thức vận dụng: Đặt ẩn phụ, tìm điều kiện cho ẩn phụ (lượng giác),

biết quan sát đồ thị miền cho trước, biết dùng đồ thị để biện luận tương giao

CÂU TƯƠNG TỰ

Câu 1: Cho hàm số y=f x( ) xác định, liên tục ¡ có đồ thị hình vẽ Có giá trị nguyên m để phương trình ( )

2

2 6f - x- 9x =m- có nghiệm

A 13 B 12 C 8 D 10 Lời giải

Chọn B Với

2 0;

3

xỴ ê úé ùê ú

ë û, ta có 0£ 6x- 9x2 = (1 )- - x2 £ 1Û 0³ - 6x- 9x2 ³ -

3 6x 9x

Û ³ - - ³ - Dựa vào đồ thị cho suy ra (3 6 9 2) 5;1

f - x- x Ỵ -ê úéë ù û

Khi phương trình ( )

2 6f - x- 9x =m-

có nghiệm

5

2

m-Û - £ £

7 m Û - £ Ê

Do mẻ Â nờn mẻ -{ 7;- 6;- 5;- 4;- 3; 2; 1; 0; 1; 2; 3; 4; 5- - }, có 13 giá trị

m thỏa đề.

Câu 2: Cho hàm số y=f x( ) xác định ¡ có đồ thị hình bên Có giá trị ngun tham số m để phương trình: ( )

4

4 sin cos

f éêë x+ xùúû=m

A 2 B 4 C 3 D 5

Lời giải Chọn D

Đặt t = ( )

4

4 sin x+cos x = -4 2sin 2xị tẻ ỳộ ựở û2;4 Do phương trình ( )

4

4 sin cos

f éê x+ x ùú=m

ë û có nghiệm Û phương trình ( )

f t =m

có nghiệm đoạn é ùê úë û2;4

Dựa vào đồ thị cho ta thấy: phương trình f t( ) =m có nghiệm t với 2;4

tỴ ê úé ùë ûÛ 1£ m£ 5

Vậy mỴ {1;2;3;4;5}

Câu 3: Cho hàm số y=f x( ) liên tục ¡ có đồ thị hình vẽ Có giá trị nguyên tham số m để phương trình ff x( (sinm)) = có nghiệm thuộc khoảng ( )0;p

A 1 B 2 C 3 D 4

Lời giải Chọn D

Đặt t =f(sinx), xẻ ( )0;p ị sinxẻ (0;1ỳựỷị tẻ -ởộờ 1;1)

Quan sát đồ thị cho: u cầu tốn Û mỴ -( 1;3ùúû

Câu 4: Cho hàm số y=f x( ) liên tục ¡ có đồ thị hình vẽ Gọi S tập hợp tất giá trị nguyên tham số m để phương trình

(sin ) 3sin

f x = x m+

có nghiệm thuộc khoảng ( )0;p Tổng phần tử S

Lời giải Chọn B

t t =sinx, xẻ ( )0;p ị sinxẻ (0;1ựỳỷị tẻ (0;1ựỳỷ

Gi D1 l ng thng qua điểm (1; 1- ) song song với đường thẳng

3

y= x có phương trình y=3x- 4.

Gọi D2 đường thẳng qua điểm ( )0;1 song song với đường thẳng y=3x có phương trình y=3x+1

Do phương trình f(sinx) =3sinx m+ có nghiệm thuộc khoảng ( )0;p phương trình f t( ) =3t+m có nghiệm thuộc nửa khoảng (0;1ùúû

Câu 44: Ông A vay ngân hàng 100 triệu đồng với lãi suất 1%/ tháng Ơng ta muốn hồn nợ cho ngân hàng theo cách: Sau tháng kể từ ngày vay, ông bắt đầu hoàn nợ; hai lần hoàn nợ liên tiếp cách tháng, số tiền hoàn nợ tháng ông A trả hết nợ sau năm kể từ ngày vay Biết tháng ngân hàng tính lãi số dư nợ thực tế tháng Hỏi số tiền tháng ông ta cần trả cho ngân hàng gần với số tiền đây?

A 2,22triệu đồng B 3,03 triệu đồng.C 2,25 triệu đồng.D. 2,20 triệu đồng

Nguyễn Văn Viễn, Binh Hoang, Bui Van Nam

Lời bình

Phân tích tốn gốc:

Ý tưởng câu xuất phát từ tốn lãi kép, mở đầu cho phương trình mũ chương trình sách giáo khoa 12 hành Tuy nhiên, mức độ câu hỏi nâng lên tốn kiểu trả góp; u cầu kiến thức học sinh phải hiểu chất tốn, đồng thời có tích hợp, ghi nhớ tái kiến thức lớp 11, tổng n số hạng đầu cấp số nhân Chúng ta làm rõ tốn gốc sau đây:

Bài tốn: Ơng A vay ngân hàng số tiền S (triệu đồng) với lãi suất r%/ tháng Ơng ta muốn hồn nợ cho ngân hàng theo cách: Sau tháng kể từ ngày vay, ơng bắt đầu hồn nợ; hai lần hồn nợ liên tiếp cách tháng, số tiền hoàn nợ tháng ông A trả hết nợ sau n năm kể từ ngày vay Biết tháng ngân hàng tính lãi số dư nợ thực tế tháng Hỏi số tiền tháng ông ta cần trả cho ngân hàng bao nhiêu?

Lời giải

Gọi x số tiền ơng A hồn nợ tháng, sau tháng kể từ ngày vay

Số tiền ông A nợ ngân hàng sau tháng là: S+S r =S(1+r) (triệu đồng)

Sau hoàn nợ lần thứ số tiền ơng A cịn nợ là: S(1+r)- x (triệu đồng)

Sau hoàn nợ lần thứ số tiền ơng A cịn nợ là:

( ) ( ) ( )2 ( )

1 1 1

S + -r x+ëêéS +r - x rûúù - x=S +r - xéêë +r + ùúû

(triệu đồng)

Sau hoàn nợ lần thứ số tiền ơng A cịn nợ là:

( )2 ( ) { ( )2 ( ) }

1 1 1

S +r - xëêé +r + +ûúù S +r - xéêë +r + ùúûr - x ( )3 ( ) (2 )

1 1

S r xé r r ù

= + - êê + + + + úú

ë û(triệu đồng).

…

Lý luận tương tự, sau hoàn nợ lần thứ n số tiền ơng A cịn nợ ngân hàng là:

( ) ( ) ( )

1 n n n

S +r - xéêê +r - + +r - + + ùúú

ë û

(1 ) ((1 )) (1 ) (1 )

1

n

n r n x n

S r x S r r

r r

+ - é ù

= + - = + - êê + - úú

ë û

-Vì sau n tháng ơng A trả hết nợ, cho nên: (1 ) (1 )

n x n

S r r

r

é ù

+ - êê + - úú=

ë û

( ) ( )

1

n n

S r r

x

r + Û =

+ -

Vậy số tiền tháng ông ta cần trả cho ngân hàng

( ) ( )

1

n n

S r r

x

r + =

+ - Lời giải

Chọn A

Với S =100 triệu đồng, r =0,01 n=5.12=60 tháng thì:

( )

( )

60 60 100.0.01 0.01

2,22 0.01

x= + »

+

triệu đồng CÂU TƯƠNG TỰ

Câu 1: Sinh viên B gia đình gửi tiết kiệm số tiền 300 triệu đồng vào ngân hàng theo mức kì hạn tháng với lãi suất tiết kiệm 0,4%/ tháng Mỗi tháng, vào ngày ngân hàng tính lãi, sinh viên B rút số tiền để trang trải chi phí cho sống Hỏi hàng tháng sinh viên rút số tiền xấp sỉ để sau năm học đại học, số tiền tiết kiệm vừa hết?

A 5.633.922 đồng B 5.363.922 đồng C 5.633.923 đồng D 5.336.932 đồng Lời giải

Chọn C

Áp dụng công thức thiết lập, với S =3.108; r =0,004; n =60 Khi đó, số tiền hàng tháng mà sinh viên B rút là:

( ) ( )

5.633.923

1

n n

S r r

x

r +

= »

+

đồng

Câu 2: Một người vay ngân hàng 200 triệu đồng với lãi suất 0,6% tháng theo thỏa thuận: Sau tháng kể từ ngày vay ơng bắt đầu trả nợ đặn tháng người trả cho ngân hàng triệu đồng hết nợ (biết rằng, tháng cuối trả triệu đồng) Hỏi sau tháng người trả hết nợ ngân hàng

A 24 B 23 C 22 D 25

Lời giải Chọn A

Vì sau n tháng ơng A trả hết nợ, ta có ( ) ( ) 1 n n

S r r

x

r + =

+

-( )(1 )n

x x Sr r

Û = - + (1 )

n x

r

x Sr

Û + =

- log(1r) 23,9

x n x Sr + ổ ửữ ỗ ữ = ỗỗỗ - ữữằ

ố ứ thỏng.

Vậy sau 24 tháng người trả hết nợ ngân hàng

Câu 3: Anh C làm với mức lương khởi điểm x (triệu đồng)/tháng, số tiền lương nhận vào ngày đầu tháng Vì làm việc chăm có trách nhiệm nên sau 36 tháng kể từ ngày làm, anh C tăng lương thêm

10% Mỗi tháng, giữ lại 20% số tiền lương để gửi tiết kiệm vào ngân

hàng với kì hạn tháng lãi suất 0,5%/tháng, theo hình thức lãi kép (tức tiền lãi tháng nhập vào vốn để tính lãi cho tháng tiếp theo) Sau 48 tháng kể từ ngày làm, anh C nhận số tiền gốc lãi

100 triệu đồng Hỏi mức lương khởi điểm người bao nhiêu?

A 8.991.504 đồng B 9.891.504 đồng C 8.981.504 đồng D 9.881.505 đồng Lời giải

Chọn A

+ Lãi suất r =0,5%=0,005

+ Số tiền gốc ban đầu gửi vào tháng A=0,2 x + Số tiền gốc lãi nhận sau 36 tháng

36 36

1

(1 ) (1 )

(1 ) r 0,2 (1 ) r

A A r x r

r r

+ - +

-= + = +

+ Bắt đầu từ tháng thứ 37 số tiền gốc người gửi vào ngân hàng

(x+x.10%).20%=0,22 x

+ Số tiền gốc lãi nhận sau 48 tháng là: 12

12

36 12

13

(1 ) (1 ) 0,22 (1 )

(1 ) (1 )

0,2 (1 ) 0,22 (1 )

r

S A r x r

r

r r

x r x r

r r + -= + + + + - + -= + + + Suy ra:

13 36 12

0,2(1 ) (1 ) 0,22(1 ) (1 ) rS

x

r r r r

= é ù é ù

+ êë + - úû+ + êë + - úû Theo giả thiết tốn ta có:

8

13 36 12

0,005 10 8.991.504

0,2(1 0,005) (1 0,005) 0,22(1 0,005) (1 0,005)

x= ´ »

é ù é ù

+ êë + - úû+ + êë + - úû

đồng

Câu 45: Trong không gian Oxyz, cho điểm E(2;1;3) , mặt phẳng ( )P : 2x+2y z- - 3=0

mặt cầu ( ) ( ) ( ) ( )

2 2

: 36

S x- + y- + z- =

Gọi D đường thẳng qua E , nằm ( )P cắt ( )S hai điểm có khoảng cách nhỏ Phương trình D

A

2 9

x t

y t

z t

ìï = + ïï

ï = + íï

ï = +

ïïỵ . B

2 3

x t

y t

z

ìï = -ïï

ï = + íï

ï =

ïïỵ . C

2

x t

y t

z

ìï = + ïï

ï = -íï

ï =

ïïỵ . D

2 3

x t

y t

z t

ìï = + ïï

ï = + íï

ï =

-ïïỵ .

Nguyễn Duy Chiến, Nguyễn Khải Lời bình

Kết quen thuộc lớp 9: Trong dây qua điểm E

một đường trịn, dây vng góc với bán kính qua E dây ngắn

Lời giải Chọn C

Mặt cầu ( )S có tâm I (3;2;5) bán kính R =6

2 2

1

IE = + + = <R Þ điểm E nằm mặt cầu ( )S .

Gọi H hình chiếu I mặt phẳng ( )P , A B hai giao điểm

D với ( )S .

Khi đó, AB nhỏ Û AB ^HE , mà AB ^IH nên AB ^(HIE) Þ AB ^IE Suy ra: uD n EIP; (5; 5;0) 1; 1;0( )

é ù

=ê ú= - =

-ë û

uur uur uur

(S)

(P)

I

H

 A

Vậy phương trình D

2

x t

y t

z

ìï = + ïï

ï = -íï

ï =

CÂU TƯƠNG TỰ

Câu 1: Trong không gian Oxyz, cho điểm E(2;1;3) , mặt phẳng ( )P : 2x+2y z- - 3=0 mặt cầu ( ) ( ) ( ) ( )

2 2

: 36

S x- + y- + z- =

Gọi D đường thẳng qua

E , nằm ( )P cắt ( )S hai điểm có khoảng cách nhỏ Biết D

có vec-tơ phương u =(2018; ;y z0 0) r

Tính T =z0- y0

A T =0 B T = - 2018 C T =2018 D T =1009 Lời giải

Chọn C

Mặt cầu ( )S có tâm I (3;2;5) bán kính R =6

2 2

1

IE = + + = <R Þ điểm E nằm mặt cầu ( )S .

Gọi H hình chiếu I mặt phẳng ( )P , A B hai giao điểm

D với ( )S .

Khi đó, AB nhỏ Û AB ^HE , mà AB ^IH nên AB ^(HIE) Þ AB ^IE Suy ra: uD n EIP; (5; 5;0) 1; 1;0( )

é ù

=ê ú= - =

-ë û

uur uur uur

Suy u =(2018; 2018;0- )

r

, T =z0- y0=2018

Câu 2: [Sở GD&ĐT Hà Nội-2017] Trong không gian Oxyz, cho điểm

1 3; ;0 2 Mổỗỗỗ ửữữữữ

ỗ ữ

ỗố ứ

v mt cu ( )

2 2

:

S x +y +z =

Đường thẳng d thay đổi, qua điểm M, cắt mặt cầu ( )S hai điểm phân biệt Tính diện tích lớn S tam giác

OAB

(S)

(P)

I

H

 A

A S = B S =4 C S =2 D S =2 Lời giải

Chọn A

Mặt cầu ( )S có tâm O(0;0;0) bán kính R =2

Vì OM = <1 R nên M thuộc miền mặt cầu ( )S Gọi A, B giao điểm đường thẳng với mặt cầu Gọi H chân đường cao hạ từ O tam giác OAB

Đặt x=OH , ta có 0< £x OM =1, đồng thời HA= R2- OH2 = 8- x2 Vậy diện tích tam giác OAB

2

1

2

OAB

S = OH AB =OH HA =x - x

Khảo sát hàm số f x( )=x 8- x2 (0;1ùúû, ta (()()0;1max17fxfùúû==.

Vậy giá trị lớn SDOAB = 7, đạt x=1 hay H º M, nói cách khác d^OM

Câu 3: Trong không gian Oxyz, cho điểm E(1;1;2), mặt phẳng ( )P :x y z+ + - 4=0 mặt cầu ( )

2 2

:

S x +y +z =

Gọi D đường thẳng qua E , nằm ( )P

cắt ( )S hai điểm có khoảng cách nhỏ Phương trình D

A

1

x t

y t

z t

ìï = + ïï

ï = + íï

ï = +

ïïỵ . B

1

x

y t

z

ìï = ïï

ï = + íï

ï =

-ïïỵ . C

1

x t

y t

z

ìï = -ïï

ï = + íï

ï =

ïïỵ . D

1 2

x t

y t

z t

ìï = + ïï

ï = + íï

ï =

-ïïỵ .

Mặt cầu ( )S có tâm O(0;0;0) bán kính R =3

2 2

1

OE = + + = <RÞ điểm E nằm mặt cầu ( )S .

Gọi H hình chiếu O mặt phẳng ( )P , A B hai giao điểm D với ( )S

Khi đó, AB nhỏ Û AB ^HE , mà AB ^OH nên AB ^(HOE)

AB OE

Þ ^ .

Suy ra: uD n EOP; ( 1;1;0)

é ù

=ê ú=

-ë û

uur uur uuur

Vậy phương trình D

1

x t

y t

z

ìï = -ïï

ï = + íï

ï =

ïïỵ .

Câu 4: Trong không gian Oxyz cho điểm E(1;1;1), mặt cầu ( )

2 2

:

S x +y +z = mặt phẳng ( )P :x- 3y+5z- 3=0 Gọi D đường thẳng qua E , nằm ( )P cắt ( )S hai điểm A B, cho tam giác OAB tam giác

A

1 1

:

2 1

x y z

d - = - =

- B

1 1

:

2 1

x y z

d - = - =

- .

C

1 1

:

2 1

x y z

d - = - =

- D

1 1

:

2 1

x y z

d - = - =

- .

Lời giải Chọn C

(S)

(P)

O

H

 A

Mặt cầu ( )S có tâm O(0;0;0) bán kính R =2

2 2

1 1

OE = + + = <R Þ điểm E nằm mặt cầu ( )S .

Gọi K hình chiếu O lên AB Vì DOAB nên

3 .

2

OA R

OK = = = =OE

Suy K º E Do AB ^OE Suy ra: uD n OEP; (8; 4; 4) 2; 1; 1( )

é ù

=ê ú= - - =

-ë û

uur uur uuur

Vậy phương trình D

1 1 1

: :

2 1 1

x y z x y z

d - = - = - Û d - = - =

- .

Câu 46: Một biển quảng cáo có dạng hình elip với bốn đỉnh A1, A2, B1, B2 hình vẽ bên Biết chi phí sơn phần tơ đậm 200.000đồng/m2 phần cịn lại

100.000đồng/m2

Hỏi số tiền để sơn theo cách gần với số tiền đây, biết A A1 =8m, B B1 2=6m tứ giác MNPQ hình chữ nhật có

3

MQ = m?

A 7.322.000 đồng B 7.213.000 đồng C 5.526.000 đồng D 5.782.000 đồng Nam Phương, Duy Phạm Lê, Lê Thảo

(S)

(P)

O

H

 A

Lời bình

Đây dạng tốn liên quan đến thực tiễn có kết hợp khéo léo ba nội dung: Xác định phương trình Elip hình học lớp 10, ứng dụng tích phân việc tính diện tích hình phẳng tốn tính cho phí cho diện tích hình phẳng

Với quan điểm cá nhân để giải tốn ta có ba bước như sau:

Bước 1:Tính diện tích Elip

+ Tính theo cơng thức S( )E =pab

+ Tìm phương trình Elip sau sử dụng cơng thức hình phẳng để tính diện tích Elip

Bước 2:Tính diện tích hình phẳng theo u cầu đề bài.

Bước 3: Tính chi phí cho cơng việc hình phẳng theo yên cầu đề bài. Lời giải

Chọn A

Giả sử phương trình elip ( )

2 2 :x y E

a +b = .

Theo giả thiết ta có 2

8

6

A A a a

B B b b

ì ì ì

ï = ï = ï =

ï Û ï Û ï

í í í

ï = ï = ï =

ï ï ï

ỵ ỵ ỵ

( ) : 2 1 16

16

x y

E y x

Þ + = Þ = ±

-

Diện tích elip ( )E là: S( )E =pab=12p( )m2 . Ta có: MQ =3

( ) ( )

M d E

N d E

ỡù = ầ ùù

ị ớù

= Ç

ïïỵ với d y: =32

3 3;

2

Mổỗ ửữữ

ị ỗỗ- ữữ

ỗố ứ v

3 3;

2

Nổỗỗỗ ửữữữ ữ

ỗố ứ.

Khi đó, diện tích phần khơng tơ màu

4

2

3

4 16 d

4

S = ỗổỗỗ - x ữữữửữx= p

-ỗố ứ

ũ ( )m2

Diện tích phần tơ màu S¢=S( )E - S =8p+6 3. Số tiền để sơn theo yêu cầu toán là:

( ) ( )

100.000 200.000 7.322.000

T = ´ p- + ´ p+ »

đồng Cách 2:

Vì elip có độ dài trục lớn 2a= Û8 a=4, độ dài trục bé 2b= Û6 b=3 nên elip có diện tích S =pab=12p

Gắn hệ trục tọa độ Oxy cho A A1 trùng Ox, B B1 trùng Oy elip có

phương trình tắc

2 16 x +y =

Vì MQ =3 nên NP =3 nên điểm N có tọa độ

3 ;

2

N xổỗỗỗ ửữữữữ

ỗố ứ N thuộc elip nên

2

0

3

16

9 x

æ ổử ữử ỗ ỗ ữữ ỗ ỗ ữữ ỗ ỗ ữữ ỗ ỗố ứữữ

ỗ ữ

ỗ ữ

= ỗ - ữ= ữ

ỗ ữ

ỗ ữ

ỗ ữ

ỗ ữ

ỗ ữ

ỗố ứ Ta cú

2 2

2

1

16 16

x +y = y = ổỗ - x ửữữ

ỗ ữ

ỗ ữ

ỗố ứ.

Gi S1 l din tớch hỡnh phng giới hạn đường

3 , 0, 0, 16

x

y= - y= x= x=

Do tính đối xứng hình elip nên diện tích phần tơ đậm

2 2

1

4 d

16 x

S = S = ị - x

Đặt x=4sintÞ dx=4cos dt t Khi x= Þ0 t =0.Khi

2

3

Do

( )

3 3 3

2

0 0

1 3.4 sin cos d 48 cos d 24 cos2t d 24 sin2

2

S t t t t t t t t

p p p p

ỉ ư÷

ỗ ữ

= - = = + = ỗỗ + ữữ

ỗố ứ

ũ ũ ũ

8p

= + .

Diện tích phần lại elip 12p- (8p+6 3) =4p- Do số tiền cần làm biển quảng cáo

(8 200000) (4 100000)

T = p+ + p- » 7322000

đồng CÂU TƯƠNG TỰ

Câu 1: Một mặt bàn hình elip có chiều dài 120 cm, chiều rộng là 60 cm Anh Hải muốn gắn đá hoa cương cho mặt bàn theo hình (phần đá hoa cương trắng phần đá hoa cương màu vàng), biết phần màu vàng elip có chiều dài 100 cm chiều rộng 40 cm Biết đá hoa cương màu trắng có giá đ

2

600.000 / m

đá hoa cương màu trắng có giá đ

650.000 / m

Hỏi số tiền để gắn đá hoa cương theo cách gần với số tiền đây?

A 355.000 đồng B 339.000 đồng C 368.000 đồng D 353.000 đồng Lời giải

Chọn A

Gọi phương trình tắc elip ( )E có dạng:

2

2

x y

a +b =

Với 2

1,2 0,6

A A a

B B b

ìï = =

ïí

ï = =

ïỵ

0,6 0,3 a b ìï = ï Û íï =

( ) : 2 0,36 0,09 L

x y

E

® + =

2

10,36

2

yx

Û=±-Suy diện tích hình elip lớn là:

( ) ( )

0,6 0,6

2 2

0

1

4 0,36 0,36 0,18

2

L

E

S = ò - x dx= ò - x dx= p m

Với

1 2

' ' 0,5

' ' 0,4 0,2

A A a a

B B b b

ì ì

ï = = ï =

ï Û ï

í í

ï = = ï =

ï ï

ỵ ỵ ( )

2

2

: 0,25

0,25 0,04

N

x y

E y x

® + = Û = ±

- Suy diện tích hình elip nhỏ là:

( ) ( )

0,5 0,5

2 2

0

2

4 0,25 0,25 0,1

5

N

E

S = ò - x dx= ò - x dx= p m

Gọi S S1; 2 diện tích phần gắn đá hoa cương màu trắng phần gắn đá hoa cương màu vàng Ta có: ( ) ( )

2

2 EN 0,1

S =S = p m

Suy ra: S1=S( )EL - S( )EN =0,18p+0,1p=0,08p Gọi T tổng chi phí Khi ta

có

0,08 600000 0,1 650000 355.000

T = p + p ; (đồng).

Câu 2: Một mặt bàn hình elip có chiều dài 120 cm, chiều rộng là 60 cm Anh Phượng muốn gắn đá hoa cương dán gạch tranh mặt bàn theo hình (phần đá hoa cương bên điểm nhấn bên tranh gồm miếng gạch với kích thước miếng 25 cm x 40 cm) Biết đá hoa cương có giá tranh gạch có giá 300.000 vnđ/bộ Hỏi số tiền để gắn đá hoa cương dán gạch tranh theo cách gần với số tiền đây?

Lời giải Chọn A

Gọi phương trình tắc elip ( )E có dạng:

2

2

x y

a +b =

Với 2

1,2 0,6

0,6 0,3

A A a a

B B b b

ì ì

ï = = ï =

ï Û ï

í í

ï = = ï =

ï ï

ỵ ỵ ( )

2

2

: 0,36

0,36 0,09

x y

E y x

® + = Û = ±

- Suy diên tích hình elip là:

( ) ( )

0,6 0,6

2 2

0

1

4 0,36 0,36 0,18

2

E

S = ò - x dx= ò - x dx= p m

Gọi S S1; diện tích phần đá hoa cương tranh

Ta có: ( )

2 2x0,25x0,4 0,2

S = = m

Suy ra: ( ) ( )

2 E 0,18 0,2

S =S - S = p- m

Gọi T tổng chi phí Khi ta có

(0,18 0,2 600000 300000) 519.000

T = p- + ;

(đồng)

Câu 3: Một mảnh vườn có dạng hình trịn bán kính 5m Phần đất canh tác trồng rau (phần tơ đen) hình vẽ bên dưới, hình chữ nhật ABCD

MNPQ có AB =MQ =5m Biết 1m2đất canh tác cần 30.000

(đồng) tiền mua hạt giống Hỏi số tiền cần để mua hạt giống trồng hết diện tích phần đất canh tác gần với số sau

Lời giải Chọn A

Phương trình đường trịn ( )

2 25 .

x +y = C

Diện tích hình phẳng giới hạn đường tròn ( )C đường thẳng ,

AD BC là:

2

0

25 25 25 d

3

S = ò - x x= p+

Diện tích hình phẳng giới hạn đường tròn ( )C đường thẳng ,

MN QP

là S2=S1

Suy diện tích đất canh tác

( )2

50 25 25

3

IJ KL

S =S +S - S = p+ - m

Do số tiền là: 2.119.800đồng

Câu 4: Một cổng có hình dạng Parabol có khoảng cách chân cổng 8m Người treo tâm phơng hình chữ nhật có đỉnh M N, nằm Parabol hai đỉnh P Q, nằm mặt đất (như hình vẽ ) Ở phần phía ngồi phơng (phần khơng tơ đen) người ta mua hoa để trang trí với chi phí cho

2

1m

A 3.733.300đồng B 3.373.400đồng C 3.437.300đồng D 3.434.300đồng Lời giải

Chọn A

Phương trình ( )P có dạng ( )

2 .

y=ax +b P

( )P

qua B(4;0) M(2;6)()

21

:8

2

PyxÞ=-+

Diện tích hình phẳng giới hạn ( )P trục Oxlà

( )

4

2

0

1 128

2 d m

2

S = ổỗỗỗ - x ửữữữữx=

ỗố ứ

ũ

Diện tích phần trồng hoa

( )2

128 24 56 m

3

MNPQ

S =S - S = - =

Câu 47: Cho khối lăng trụ ABC A B C ¢ ¢ ¢ tích Gọi M N, trung điểm đoạn thẳng AA¢ BB¢ Đường thẳng CM cắt đường thẳng C A¢ ¢ P , đường thẳng CN cắt đường thẳng C B¢ ¢ Q Thể tích khối đa diện lồi A MPB NQ¢ ¢

A 1 B

1

3. C

1

2. D

2 3.

Nguyễn Văn Ái, Phạm Chí Tuân, Phi Hung Hoang Lời bình

Với tốn tính thể tích khối đa diện ( )H thuộc dạng khơng quen thuộc, ta có hai cách phổ biến:

+ Phân chia khối đa diện ( )H thành khối nhỏ + Dùng phương pháp phần bù thể tích

Lưu ý thêm rằng, để so sánh thể tích hai khối chóp, hai khối lăng trụ ta thường quy so sánh diện tích đáy chiều cao

Lời giải Chọn D

Gọi D trung điểm CC¢, h S V, , chiều cao, diện tích đáy thể tích khối lăng trụ ABC A B C ¢ ¢ ¢

Thế ta có: SDMN =S S; C PQ¢ =4S. Cách 1:

Suy

( )

1.4 . 1 .

3 1

C C PQ MND A B C C MND A MPB NQ

h h

S h S S

V V V

V

V V S h

¢ ¢ ¢ ¢

 Â

ổ ửữ

ỗ ữ

- ỗỗ + ữ ổ ử

- + ỗố ữứ ỗ ữ

ữ

= = = - çç + ÷÷=

Do

2 A MPB NQ

V ¢ ¢ =

Cách 2:

Gọi K trung điểm PQ Ta có VA MP B NQ¢ ¢ =VNB K MA P¢ ' +VN B KQ ¢ .

Mặt khác: NB K MA P ' MA P ( ,( )) CDM ( ,( )) C MND

Sh

V ¢ =S ¢ d N MA P¢ =S d N CDM = V =

( )

( )

1. . , 1 .

3

N B KQ B KQ

h S h

V ¢ = S ¢ d N B KQ¢ = S =

Vậy '

2

A MPB NQ NB K MA P N B KQ

S h S h

V ¢ ¢ =V ¢ +V ¢ = + =

Cách 3:

Nếu nắm kỹ ví dụ SGK (Ví dụ trang 11) ta có nhận xét rằng: Có thể phân chia khối lăng trụ tam giác thành khối tứ diện tích Từ ta có:

'

1 2

3 4

3 3

A MPB NQ NB K MA P N B KQ M A KP N B KQ N B KQ

h

V ¢ ¢ =V ¢ +V ¢ = V ¢ +V ¢ = V ¢ = S = S h=

CÂU TƯƠNG TỰ

Câu 1: Cho lăng trụ ABC.A¢ ¢ ¢BC tích Gọi M , N hai điểm nằm hai cạnh AA¢ BB¢ cho M trung điểm AA¢ và

2

BN = BB¢

Đường thẳng CM cắt đường thẳng C A¢ ¢ P đường thẳng

CN cắt đường thẳng C B¢ ¢ Q Thể tích khối đa diện lồi A MP' B N¢ Q bằng

A 13

18. B

23

9 . C

7

18. D

5 9. Lời giải

Chọn B

Ta có: ' ' '

1 1 13

1

3 3

A B C CMN ABC A B C

V V

A A B B

A M B N CC

CC ¢ ¢ ¢

ổ ửữ ổ ửữ

ỗ ữ ỗ ữ

= ốốố đđ + đđ + đứđứ = ốốố + + ứứ =

è ø è ø .( )*

Mặt khác: SC PQ¢ =6SA B C¢ ¢ ¢

6

3

C C PQ C A B C ABC A B C V ¢ V ¢ ¢ ¢ V ¢ ¢ ¢

Þ = = =

Vậy

13 23

9

A MPB NQ C C PQ A B C CMN

V ¢ ¢ =V ¢ - V ¢ ¢ ¢ = - = Chú ý chỗ ( )* tính cách khác sau:

A B NM A B HM M NH S ¢ ¢ =S ¢ ¢ +S

1 7

1

2SABB A¢ ¢ 6SA B B¢ ¢ 12SABB A¢ ¢ SABMN 12SABB A¢ ¢ 12SABB AÂ Â

= + = ị = - =

Lại có: VA B C CMN¢ ¢ ¢ =VABC A B C ¢ ¢ ¢- VC ABMN ( ( ))

2 ,

3d C ABMN SABMN =

-5 13

12

= - =

Câu 2: Cho lăng trụ ABC.A¢ ¢ ¢BC tích Gọi M , N P điểm nằm cạnh A B¢ ¢, B C¢ ¢ BC cho M trung điểm A B¢ ¢;

3 N

B¢ = B C¢ ¢

1

BP = BC

Đường thẳng NP cắt đường thẳng BB¢ E đường thẳng EM cắt đường thẳng AB Q Thể tích khối đa diện lồi

AQPCA MNC¢ bằng

A

23

6 . B

23

3 . C

19

3 . D

19 .

Lời giải Chọn A

Theo Thalets ta có:

1

EB EQ EP BP

EB¢=EM =EN =B¢N =

Suy d E( ,(A B C¢ ¢ ¢)) =3d(B,(A B C¢ ¢ ¢)) Mặt khác:

1 3

2

B MN A B C

B M B N B A S

S B C

¢ ¢ ¢ ¢

¢ ¢

¢ ¢ ¢ ¢= =

=

( )

( ) ( ( ))

1

, ,

3

MB N B B C

E M N A

V ¢ = d E MB N¢ S ¢ = d B A B C¢ ¢ ¢ S ¢ ¢ ¢ . 3.6

8VABC A B C¢ ¢ ¢

= = =

Có:

3

1 27 QPB

M E

B N

E B

V EB

V ¢ E

ổ ửữ

ỗ ữ

=ỗỗ Âữữ= ỗố ø

Suy ra:

1 26

27 27

BQPB MN EMB N E BQP EMB N EMB N EM NB

V ¢ =V ¢ - V =V ¢ - V ¢ = V ¢

Vậy

26 23

6

27 A B C

AQPCAMNC ABC BQP B MN

V =V ¢ ¢ ¢- V ¢ = - =

Câu 48: Cho hàm số f x( ) có bảng xét dấu đạo hàm sau:

Hàm số ( )

3

3

y= f x+ - x + x

đồng biến khoảng đây? A

(1;+¥ )

B (- ¥ -; ) C (- 1;0 ) D ( )0;2

Trương Đức Thịnh, Trần Minh Ngọc Lời bình

- Đây dạng tốn xét tính đơn điệu hàm số cho công thức ( ) ( )

y=f u xéêë ùúû+g x

đụ ta đọ biết dấu củaf x'( ) vỏ g x( ) lỏ hỏm cụ thể Hướng giải lỏ tợnh đạo hỏm yđ=u x f u xđ( ) đờởỡ( )ỳỷỹ+g xđ( ), từ dấu

( ) ( ) u x f u xđ đở ỷờ ỳ

ë û dấu g x'( ) ta đưa kết luận phù hợp với toán.

- Dạng ngồi cách cho dấu f x'( ) thơng qua bảng biến thiên, ta gặp trường hợp cho dấu f x'( ) thông qua đồ thị

- Ngồi ta với tốn trắc nghiệm ta cịn có cách thử trực tiếp để loại trừ đáp án sai từ đưa đáp án đúng.

Lời giải Chọn C

Cách 1:

Ta có ( ) ( )

2

' '

y = éêf x+ + - x + ùú

ë û.

Suy hàm số đồng biến khoảng (- 1;1 ) Do ta chọn C Cách 2:

3 3 25 1 0

2

yÂỗổửỗỗỗ ữữữữ= ộờờfÂỗỗỗổử ổỗ ữữữữ+ -ỗỗỗỗ + ÷ư÷÷÷úùú<

è ø êë è ø è øúû suy A D sai.

( )2 ( ) (0 1) y¢- = éêëf¢ + - + ùúû<

suy B sai Vậy C CÂU TƯƠNG TỰ

Câu 1: Cho hàm số f x( ) có bảng xét dấu đạo hàm sau:

Hàm số ( )

3

3 12

y= f x+ - x + x

nghịch biến khoảng đây? A (- ¥ -; ) B (- 1;0 ) C ( )0;2 D (2;+¥ )

Lời giải Chọn D

Ta có ( ) ( ) ( )

2

3 3 12 '

y¢= f x¢ + - x + = éêëf x+ + - x + ùúû

Xét dấu f x¢ +( 3) - x2+4 ta có bảng:

Hàm số ( )

3

3

y= f - +x +x + x - x

nghịch biến khoảng đây? A (- ¥ -; ) B (2;+¥ ) C ( )0;2 D (- 2;1 )

Lời giải Chọn D

Ta có ( ) ( ) ( )

2

3 ' 2

y¢= - f¢- +x + x + x- = -ëêé f - +x + x + x- ùúû

Xét dấu f¢- +( x 1) x2+2x- ta có bảng:

Suy hàm số nghịch biến khoảng (- 3;1 ) Do ta chọn D Câu 3: Cho hàm số f x( ) có bảng xét dấu đạo hàm sau

Hàm số ( )

3

3 2 2018

2

y= f x+ - x - x + x+

đồng biến khoảng đây?

A (1;+¥ ) B (- ¥ -; 1) C

1 1;

2

ỉ ư÷

ỗ- ữ

ỗ ữ

ỗ ữ

ỗố ứ. D ( )0;2 .

Li gii Chn C

Ta có ( )

2

3 3

y¢= f x¢ + - x - x+

Xét ( )

2

0 2

y¢³ Û f x¢ + ³ x + -x

Từ bảng biến thiên f x¢( ) ta suy bảng biến thiên f x¢ +( 2) sau

Suy ra:

( 2) 1 1

2

x

f x x

x

é- < < ê

¢ + > Û ê > Þ - < < ê

Mà

2

2 1

2 x + -x < Û - < <x

Do ( )

2

2 1

2 f x¢ + ³ x + -x Þ - < <x

Câu 4: Cho hàm số f x( ) có bảng xét dấu đạo hàm sau

Hàm số ( )

3

2

3

y=f x+ + x - x+

nghịch biến khoảng đây?

A (1;+¥ ) B (- ¥ -; 2) C

1 1;

2

ổ ửữ

ỗ- ữ

ỗ ữ

ỗ ữ

ỗố ứ. D (- 1;7).

Lời giải Chọn C

Ta có ( )

2

2 2

y¢= f¢ x+ + x -

Xét ( )

2

0

yđê í fđ x+ ê - x

Từ bảng biến thiên f x¢( ) ta suy bảng biến thiên f¢(2x+1) sau

Từ suy ra:

(2 1) 52 12 1

2

x

f x x

x

é

ê- < <

¢ + < Û ê Þ - < <

ê > ê ë

Mà

2

4 2

2

x x x

- > Û - < < Þ - < <

Do ( )

2

2

Câu 49: Gọi S tập hợp tất giá trị tham số m để bất phương trình

( ) ( ) ( )

2 1 1 6 1 0

m x - +m x - - x- ³

nghiệm với xỴ ¡ Tổng giá trị tất phần tử thuộc S

A

- B 1 C

1

- D

1 2.

Trương Quốc Toản, Nguyễn Ngọc Hố Lời bình

Đây toán xác định tham số m để bất phương trình nghiệm với xỴ ¡ ;

Thơng thường để giải tốn lập tham số m dạng ( ),

m³ f x " Ỵ ¡x

m£ f x( )," Ỵ ¡x , song để ý việc cô lập tham số m trường hợp gặp nhiều khó khăn;

Dễ thấy bất phương trình cho có nghiệm x=1 nút thắt để giải toán, toán trở thành:

(x- 1)ém x2( 3+x2+ + +x 1) m x( + -1) 6ù³ 0," Ỵx ( )1

ê ú

ë û ¡ .

Đến nhận xét biểu thức ( ) 2( 1) ( 1) 6 0

g x =m x +x + + +x m x+ - =

khơng có nghiệm x=1 hàm số ( ) ( 1) 2( 1) ( 1) 6

f x = x- éêëm x +x + + +x m x+ - ùúû

đổi dấu qua điểm x=1 Nghĩa là, yêu cầu toán khơng thoả mãn

Do đó, u cầu tốn thoả mãn điều kiện cần ( ) 2( 1) ( 1) 6 0

g x =m x +x + + +x m x+ - =

có nghiệm x=1, từ ta tìm giá trị tham số m;

Kiểm tra giá trị m tìm từ ta tới lời giải toán Lời giải

Chọn C

Đặt ( ) ( ) ( ) ( )

2 1 1 6 1

f x =m x - +m x - - x

-Ta có: ( ) ( ) ( ) ( )

2

1 1

f x = x- éêëm x +x + + +x m x+ - ùúû

Giả sử x=1 nghiệm phương trình ( ) ( ) ( )

2 1 1 6 0

g x =m x +x + + +x m x+ - =

hàm số ( ) ( ) ( ) ( )

2

1 1

f x = x- éêëm x +x + + +x m x+ - ùúû

đổi dấu qua điểm

1

x= , nghĩa m x2( 4- 1) +m x( 2- 1) - 6(x- 1) ³ 0 khơng có nghiệm với

Do đó, u cầu tốn thoả mãn điều kiện cần ( ) 2( 1) ( 1) 6 0

g x =m x +x + + +x m x+ - =

có nghiệm x=1

1

4 3

2 m m m m é = ê ê Þ + - = Û ê = -ê ë .

Điều kiện đủ:

Với m=1, ( ) ( ) ( ) 2

1 0,

f x = x- x + x+ ³ " Ỵ ¡x

Với

3 m=

-, ( )

( )2( )

2

3

3 0,

4

x

f x = - x + x+ ³ " Ỵ ¡x

Vậy

3 1;

2

S =ìïïíï - ỹùùýù

ù ù

ợ ỵ, tng cỏc phn tử thuộc S

3

1

2

- = - CÂU TƯƠNG TỰ

Câu 1: Có giá trị tham số m để hàm số

( ) ( )

9 3 7 4 2019

y=x + m - m x + m - m + m x +

đồng biến ¡ ?

A 3 B 2 C 4 D 1

Lời giải Chọn A

Ta có ( ) ( )

8

9

y¢= x + m - m x + m m - m+ x

( ) ( )

3 9 5 1 4 3 7 4

x éx m m x m m m ù

= êë + - + - + úû=x g x3. ( )

với ( ) ( ) ( )

5

9

g x = x + m m- x+ m m - m+

Nếu g( )0 ¹

0 m m m ìï ¹ ùù ùùù ớù ùù

ùùùợ Thì y¢ đổi dấu qua điểm x=0, hàm

số khơng đồng biến ¡

Do để hàm số đồng biến ¡ điều kiện cần g( )0 =0

( )

0

7

3 m

m m m m

m é = ê ê ê Û - + = Û ê = ê = ê ê ë .

Điều kiện đủ:

Với

4 m=

có

4 9 20 0,

9

yÂ=x ỗổỗỗx + ữữữửữ " ẻx

ỗố ứ Ă nờn hm s ó cho đồng biến trên ¡ . Vậy với m m m é = ê ê ê = ê ê = ê ê

ë hàm số cho đồng biến ¡ .

Câu 2: Gọi S tập hợp tất giá trị tham số m để hàm số ( ) 10 ( 20)

5

f x = m x - mx + x - m - m- x

đồng biến R Tổng giá trị tất phần tử thuộc S

A

2. B - C

5

2. D

1 2. Lời giải

Chọn D

Ta có: ( ) ( )

2 20 20

f x¢ =m x - mx + x- m - m -( ) 2( 1) ( 1) 20( 1)

f x¢ m x m x x

Û = - - - + +

( ) ( 1) 2( 1) ( 1) 20 ( 1 ) ( )

f x¢ x ém x x x m x ù x g x

Û = + êë - + - - - + úû= +

Để hàm số đồng biến ¡ f xÂ( ) 0," ẻ Ăx

- Nu x= - nghiệm g x( ) f x( ) đổi dấu x qua

1

x= - Do điều kiện cần để hàm số đồng biến ¡ x= - 1 phải là

nghiệm g x( ) =0

2

4 20 5

2 m m m m é = -ê ê Þ - + + = Û ê = ê ë .

- Với m= - ( ) ( ) ( ) 2

1 14 0,

f x¢ = x+ x - x+ ³ " Ỵ ¡x

, m= - thỏa mãn

- Với

5 m=

( ) ( ) ( )

2 2

1

1 25 50 60 0,

f x¢ = x+ x - x+ ³ " Ỵ ¡x

,

5 m= thỏa mãn Vậy

5; 2

S =ìïïíï - üïïýï

ï ï

ỵ þ, tổng phần tử S

5 2 2- =2.

Câu 3: Gọi S tập hợp tất giá trị tham số m để bất phương trình

( ) ( ) ( )

2 ln4 16 3 ln2 4 14 ln 2 0

m x- + m x- - x- ³

A

- B - C

7

- D

1 2. Lời giải

Chọn A

Đặt t =ln ,x tỴ ¡ ta

( ) 2( 16) 3 ( 4) 14( 2) 0

f t =m t - + m t - - t- ³

(t 2)ém t2( 2t2 4t 8) 3m t( 2) 14ù 0

Û - êë + + + + + - úû³ Û (t- 2) ( )g t ³

Ta có bất phương trình cho nghiệm " ẻx (0;+Ơ ) f t( ) 0," Î ¡t - Nếu t=2 nghiệm g t( ) f t( ) đổi dấu t qua

2

t= Do điều kiện cần để f t( ) ³ 0, " Ỵ ¡t t =2 phải nghiệm của

( ) g t =

( )

1

2 32 12 14

7 m

g m m

m é ê = ê

Þ = Û + - = Û ê

ê = -ê

ë .

Với

1 m=

( ) ( ) ( )

2 2

2 18 0,

4

f t = t- t + t+ ³ " Ỵ ¡t

nên

1 m=

thoả mãn Với

7 m=

( ) ( ) ( )

2 2

2 49 196 420 0, 64

f t = t- t + t+ ³ " Ỵ ¡t

nên

7 m=

thoả mãn

Vậy

1;

2

S =ỡùùớù - ỹùùýù

ù ù

ợ ỵ Nờn tổng phần tử S

1

Câu 50: Cho hàm số ( )

4

f x =mx +nx +px +qx r+

, (với m n p q r, , , , Ỵ R) Hàm số ( )

y=f x¢

có đồ thị hình vẽ bên dưới:

Tập nghiệm phương trình f x( ) =r có số phần tử

A 4 B 3 C 1 D 2

Đồn Trí Dũng, Đinh Xn Thạch, Tơn Thất Thái Sơn Lời bình

Các câu hỏi liên quan đến giả thiết đồ thị hàm f x¢( ) ngày mở rộng

Câu hỏi không mức đánh đố, địi hỏi người giải cần có kiến thức tốt phần đồ thị

Chìa khóa toán giả thiết hàm số f x( ) có dạng cụ thể bậc 4, nên ( )

f x¢

hàm bậc ba, từ ta dễ dàng tìm dạng hàm số f x¢( ) Đến ta có hai hướng giải quyết:

Hướng 1: Do r =f( )0 , đồng thời kẻ bảng biến thiên, ta thấy

nhu cầu cần giải so sánh r f( )3 Như vậy, ta nghĩ đến

việc dùng tích phân để so sánh, ( ) ( ) ( )

3 d

ff - f x x=ị ¢

nên việc tính tích phân dễ Tuy nhiên, ta phải dựa vào hàm số f x¢( ) tìm từ trước, khơng thể dùng diện tích hình phẳng, hình vẽ khó so sánh diện tích

Hướng 2: Đồng hệ số f x¢( ) ta vừa tìm với f x¢( ) suy từ giả thiết Từ đó, f x( ) =r đơn phương trình đại số thông thường Đây hướng tự nhiên

Cách Ta có  

3

4

    

f x mx nx px q  1

Dựa vào đồ thị yf x  ta thấy phương trình f x 0 có ba nghiệm đơn 1,

5 4, 3.

Do f x  m x 1 4  x 5 x 3 m0

Hay  

3

4 13 15

    

f x mx mx mx m  2

Từ  1  2 suy

13



n m

, pm q15m Khi phương trình f x  r  mx4nx3px2qx0



4 13 15 0

3

 

   

 

 

m x x x x

 3x413x3 3x245x0

    

2

3 5  0

x x x 

0 3 x x x

       

 .

Vậy tập nghiệm phương trình f x  r

5 ;0;3

      

S

Cách 2.

Dựa vào đồ thị yf x  ta thấy phương trình f x 0 có ba nghiệm đơn 1,

5 4, 3.

Do f x  m x 1 4  x 5 x 3 m0.

           

3

0

3 d d

f f f x x m x x x x

        

 3  0

f f r

  

Ta có bảng biến thiên hàm số yf x  sau:

CÂU TƯƠNG TỰ

Câu 1: Cho hàm số ( )

4

x x x x

y=f x =m +n +p +q +r

m n p q r, , , , Ỵ R Biết hàm số y=f x¢( ) có đồ thị hình vẽ bên Tập nghiệm phương trình f x( ) =r có tất phần tử?

A 3. B 4. C 5. D 6.

Lời giải Chọn A

Ta đặt ( ) ( ) ( )

7

2

6

y=f x =k x+ ỗổỗỗx- ữữửữữx

-ỗố ứ .

Xét:

( ) ( )

( ) ( )

7

0

7

7 65219

2 x

6 1552

7 65219

2

6 1552

S k x x x d k

S k x x x dx k

ỡùù ổ ử

ùù ỗ ữữ

ù = + ỗ - ữ - =

ù ỗỗ ữ

ï è ø

ïïï íï

ï ỉ ử

ù ữ

ù = + ỗ - ữ - =

ù ỗ ữ

ù ỗỗ ÷

ï è ø

ïï ïỵ

ị

ị

Do đó:

( ) ( ) ( ) ( )

7

3

1

0

6

x x

Lập bảng biến thiên ta được:

Từ bảng biến thiên ta suy phương trình f x( ) = =r f( )0 có tất nghiệm

Câu 2: Cho hàm số ( )

4

x x x x

y=f x =m +n +p +q +r

m n p q r, , , , ẻ R Bit rng hm s y=f xÂ( ) có đồ thị hình vẽ bên Tập nghiệm phương trình f x( ) =16m+8n+4p+2q r+ có tất phần tử?

A 3. B 4. C 5. D 6.

Lời giải Chọn B

Ta đặt y=f x¢( ) =k x( +1)(x- 1)(x- 4) Xét:

( )( )( )

( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1

1

1

1 2

1

2

16

1 x

3

x x

37

1 x

12

S k x x x d k

S S f x d f x d ff

S k x x x d k

-ìïï

ï = + - - =

ùù

ùù ị > Â > - Â Û >

-íï

ïï = + - - =

ïï ïïỵ

ị

ị ị

ò

Lại thấy: ( ) ( ) ( ) ( )

1

1

x x

f x d f x d ff

-Â < - Â ị <

-ò ò

Từ bảng biến thiên ta suy phương trình f x( ) =16m+8n+4p+2q r+ =f( )2 có tất nghiệm

Câu 3: Cho hàm số ( )

4

f x =ax +bx +cx +dx m+

, (với a b c d m, , , , Î R) Hàm số ( )

y=f x¢

có đồ thị hình vẽ bên dưới:

Tập nghiệm phương trình f x( ) =m có số phần tử là:

A 1 B 2 C 3 D 4

Lời giải Chọn C

Cách 1: Ta có ( )

3

4

f x¢ = ax + bx + cx d+ ( )1

Dựa vào đồ thị ta cóf x¢( ) =a x( - 4)( x+5)(x+3) =4ax3+13ax2- 2ax- 15a ( )2 a¹

Từ ( )1 ( )2 suy

13

b= a

, c= - a d= - 15a Khi đó: f x( ) =mÛ ax4+bx3+cx2+dx=0Û

4 13 15 0

3

a xỗổỗỗ + x - x - xữữửữữ=

ỗố ø

4

3x 13x 3x 45x

Û + - - =

0 3 x x x é = ê ê ê Û ê =

ê = -ê ê

ë .

Vậy tập nghiệm phương trình f x( ) =m

5;0; 3

S =ìïïíï - üïïýï

ï ï

Cách 2: Từ đồ thị ta có a¹

( )

f x =mÛ ax +bx +cx +dx m+ =m ( )

0

0 x

ax bx cx d

é = ê

Û ê + + + =êë

Ta có ( )

3

'

f x = ax + bx + cx d+

có nghiệm

5

3; ;

4

x = - x = - x =

Áp dụng định lý Viet ta có:

1

1 2 3

3 4 b

x x x

a c

x x x x x x

a d

x x x

a ìïï + + =-ïï ïï ïï + + = íï ïï ïï = -ïïïỵ 13 4 2 15 4 b a c a d a ìïï- =-ïï ïï ïï Û -íï = ïï ïï = -ïïïỵ 13 15 b a c a d a ìïï = ïï ïï Û íï = ï = -ïï ïïỵ .

Thế vào ( )2 ta có:

3 13 15 0

5

3

x

a x x x

x é = -ỉ ư÷ ê ç + - - ÷= Û ê ç ÷ ç ữ ờ ỗố ứ ờ = .

Vy tập nghiệm phương trình f x( ) =m

5;0; 3

S =ìïïíï - üïïýï

ù ù

ợ ỵ.

Cõu 4: Cho hm số y=f x( ) có đạo hàm liên tục R Hàm số y=f x¢( ) có đồ thị hình vẽ bên dưới:

Số nghiệm thuộc đoạn éë-ê 2;6ùúû phương trình f x( ) =f( )0

A 5 B 2 C 3 D 4

Lời giải Chọn B O  

 x

y 2  O

 2 1 x

 Quan sát hình vẽ, ta cú: f xÂ( ) = xẻ -{ 2;0;2;5;6}

 Gọi S1, S2, S3, S4 diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y=f x¢( ) với trục hồnh (hình vẽ trên)

 Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

6

3

0

d 0

f x x¢ =ff - S =S S- - > Þff >

ò

 Bảng biến thiên :

Vậy phương trình f x( ) =f( )0 có nghiệm phân biệt éë-ê 2;6ùúû