Nâng cao và phát triển toán 6 - Vũ Hữu Bình

Tìm thương của một phép chia, biết rằng nếu thêm 15 vào số bị chia và thêm 5 vào số chia thì thương và số dư không đổi.. 35.[r]

 VŨ HỮU BÌNH

PHẦN SỐ HỌC : Phần I:

TÓM TẮT LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP ỨNG DỤNG

Chương 1.

ÔN TẬP VÀ BỔ TÚC VỀ SỐ TỰ NHIÊN

§1 : Tập hợp số tự nhiên

Khái niệm tập hợp khái niệm , ta hiểu tập hợp thơng qua ví dụ ( xem Sơ lược tập hợp phần chuyên đề)

Tập hợp số 0; 1; 2; 3; gọi tập hợp  số tự nhiên Ta xác định

 số thứ tựnhư sau:

a) số tự nhiên nhỏ nhất;

b) a<b chỉkhi điểm a ởbên trái điểm b tia số

Để dễ dàng ghi đọc số tự nhiên, người ta dùng hệ ghi số: đơn vị số định hàng, ta thay số đơn vị hàng liền

trước

Hệ ghi sốthường dùng hệ thập phân Trong hệ thập phân, người ta

dùng mười kí hiệu để ghi số, chữ số 0; 1; 2; ;9 mười đơn vị

một hàng ta làm thành đơn vịở hàng liền trước Trong hệ thập phân, ta có :

1000 100 10

abcd = a+ b+ c+d

1

1 10 1.10 2.10 1.10 0.10

n n

n n n n

a a − a a a a =a +a − − + +a +a +a

Ví dụ1 Viết tập hợp sau tìm số phần tử tập hợp đó:

a) Tập hợp A số tự nhiên x mà :x=2

b) Tập hợp B số tự nhiên x mà x+ <3

d) Tập hợp D số tự nhiên x mà x: 2=x:

e) Tập hợp E số tự nhiên x mà x+ =0 x Giải : a) A={ }4 , có phần tử

b) B={ }0;1 , có hai phần tử

c) C = ∅, khơng có phần tử

d) D ={ }0 có phần tử

e) E={0; 1; 2; 3; ,} có vơ số phần tử ( E ) Ví dụ2 Viết tập hợp sau cách liệt kê phần tử nó:

a) Tập hợp A số tự nhiên có hai chữ số, chữ số hàng chũ lớn

hơn chữ sốhàng đơn vị

b) Tập hợp B số tự nhiên có ba chữ số mà tổng chữ sốbằng

Giải: a) A={97; 86; 75; 64; 53; 42; 31; 20 }

b) B={300; 201; 210; 102; 111; 120}

Ví dụ 3: Tìm số tự nhiên có năm chữ số, biết viết thêm chữ số

vào đằng sau số số lớn gấp ba lần số có cách viết thêm chữ số2 vào đằng trước sốđó

Giải

Cách 1: Gọi số phải tìm lad abcde, ta có phép nhân:

3 abcde

abcde ×

Lần lượt tìm chữ số số bị nhân từ phải sang trái: 3e tận nên

4

e= , ta có 3.4=12, nhớ sang hàng chục; 3d +1tận nênd =1 ;

3c tận nên c=7, ta có 3.7 =21, nhớ sang hàng nghìn ;

Ta :

285714 857142

×

Cách Đặt abcde= x, ta có abcde2=3.2abcde

Hay 10x+ =2 200000( +x)

10x+ =2 600000+3x

7x=599998

x=85714

Số phải tìm 85714

Chú ý : 1) Khai thác cách giải 1, ta có tốn : Tìm số tự nhiên nhỏ có chữ sốđầu tiên ởbên trái 2, chuyển chữ số xuống cuối sốđó tăng gấp ba lần

Giải : Gọi số phải tìm a an n−1an−2 a a2 1, an =2, ta có :

1 2

1 2

2 n n

n n

a a a a

a a a a

− −

− −

×

Giải cách tiếp tục chữ số số bị nhân dừng lại, ta số nhỏ phải tìm 285714

2) Khai thác cách giải 2, ta có tốn tổng qt : Tìm số tự nhiên có năm chữ số, biết viết thêm chữ số vào đằng sau số số lớn gấp ba lần số có viết thêm chữ số vào đằng trước số

Giải :Đặt abcde= x, gọi y chữ số viết thêm vào, ta có:

( )

3

10 100000

7 299999

42857

abcdey yabcde

x y y x

x y

x y

=

+ = +

Do x có năm chữ số nên y 2 Với y =1 ta có

42857

x= ; với y =2 ta có x=85714 BÀI TẬP

1 Các tập hợp A B C D, , , cho sơ đồ sau ( h.1)

Viết tập hợp A; B; C; D cách liệt kê phần tử tập hợp

2 Hãy xác định tập hợp sau cách tính chất đắc trưng

phần tử thuộc tập hợp đó:

a) A={1;3;5;7; ;49}

b) B={11;22;33;44; ;99}

c) C = {tháng1; tháng 3; tháng 5; tháng 7; tháng 8; tháng 10; tháng 12}

3 Tìm tập hợp số tự nhiênx, cho:

a) x+ =3 b )8 – 5x=

c) x: 2=0 d) :x=0

e)5 12x=

4 Tìm số tự nhiên a b,sao cho: 12< < <a b 16

5 Viết số tự nhiên có bốn chữ số có hai chữ số 3, số chữ số

6 Với hai chữ số I X, viết số La Mã ? (mỗi chữ số viết nhiều lần, khơng viết liên tiếp ba lần)

7 a)Dùng ba que diên, xếp dược số La Mã nào?

Hình 1

D

C

A

B

c a b m

n

1 3

2

b) Để viết số La Mã từ 4000 trở lên, chẳng hạn số 19520, người ta

viếtXIXmDXX (chữ m biểu thị một nghìn, m chữ đầu từ mille, tiếng Latinh nghìn) Hãy viết số sau chữ số La Mã :

7203;121512

8 Tìm số tự nhiên có tận băng 3, biết xóa chữ sốhàng đơn vị

thì sốđó giảm 1992 đơn vị

9 Tìm số tự nhiên có sáu chữ số, biết chữ số hàng đơn vị chuyển chữ sốđó lên hàng sốđó tăng lên gấp lần

10. Cho bốn chữ số a,b,c,d khác khác Lập số tự nhiên lớn số tự nhiên nhỏ có bốn chữ số gồm bốn chữ sốấy Tổng chữ số

bằng 11330 Tìm tổng chữ số a+ + +b c d

11 Cho ba chữ sốa, b, c cho 0< < <a b c

a) Viết tập hợp A số tự nhiên có ba chữ số gồm cảba chữ sốa, b, c

b) Biết tổng hai số nhỏ tập hợp A 488 Tìm ba chữ sốa, b, c

nói

12 Tìm ba chữ sốkhác khác 0, biết dùng cảba chữ số lập thành số tự nhiên có ba chữ số hai số lớn có tổng 1444

# Ví dụ : 50

Bài tập : 264 đến 268, 274, 275

§2 CÁC PHÉP TÍNH VỀ SỐ TỰ NHIÊN

Ta xác định N hai phép toán: phép cộng phép nhân Phép cộng có

ba tính chất: giao hốn, kết hợp, cộng với số 0.Phép nhân có ba tính chất : giao

hóa, kết hợp , nhân với Giữa phép nhân phép cộng có quan hệ : Phép nhân

phân phối phép cộng Giữa thứ tự phép tốn có quan hệ:

,

a b< ⇒ + < +a c b c a b< ⇒ab bc< ( với c>0)

Trong phạm vi số tự nhiên, phép trừ thực số bị trừ lớn

hơn số trừ, phép chia thục sốbị chia chia hết cho số

chia Với cặp số tự nhiên a b bất kì(b≠0) , bao giờcũng tồn

chia hết, q thương Nếu r≠0, ta phép chia có dư, qlà thương r sốdư phép chia a cho b.

Ví dụ : Cho A=137.454 206,+ B=453.138 110.− Khơng tính giá trị A

và B , chứng tỏ A=B

Giải: Chú ý 454 = 453 + 138 = 137 + Do :

137.(453 1) 206 137.453 137 206 137.453 343

A= + + = + + = + ,

453.(137 1) 110 453.137 453 110 137.453 343

B= + − = + − = +

Vậy A=B

Ví dụ5* Tìm kết phép nhân : 𝐴 = 33 … … … 3�������

50𝑐ℎữ𝑠ố

99 … … …

�������

50𝑐ℎữ𝑠ố

Giải:

Viết 99 … … … 9�������

50𝑐ℎữ𝑠ố

thành hiệu áp dụng tính chất phân phối phép

nhân phép trừ :

𝐴 = 33 … … … 3������� (1

50𝑐ℎữ𝑠ố

0 … … …

������� −1)

50𝑐ℎữ𝑠ố

= 33 … … … 3�������

50𝑐ℎữ𝑠ố

0 … … …

������� −

50𝑐ℎữ𝑠ố

33 … … …

�������

50𝑐ℎữ𝑠ố Đặt phép tính trừ :

−

  49 sè 49 sè

33 33 00 00 33 33 33 32 66 67

Ví dụ6* Tổng hai số tự nhiên gấp ba hiệu chúng Tìm thương hai số tự nhiên

Giải : Cách 1, Gọi hai số tự nhiên cho a vàb a( >b) Ta có :

a b+ =3(a b− )

Nên a+ =b 3a−3b

Ví dụ7 Khi chia số tự nhiên a cho 54, ta sốdư 38 Chia sốa cho 18 ,

ta thương 14 cịn dư Tìm sốa

Giải : Từ phép chia thứ ta có a=54x+38 (1), từ phép chia thứ hai ta có

18.14 (2)

a= +r , đóx, r ∈  0< <n 18

Từ (1) ta có : a=54x+ =38 18.3x+18.2 18.(3+ = x+ +2)

Như r =2 a=18.14+ =2 254

Ví dụ 8* Chứng minh A luỹ thừa 2, với :

2 20

4 2

A= + + + + +

Giải : 20

4 2

A= + + + + +

20 21

2A= + + + +8 2 +2

Suy : 21

2A− =A + − +8 (4 )

Vậy 21

2 A=

BÀI TẬP

13 Có thể viết hay khơng chín số vào bảng vuông x 3, cho :

Tổng sốtrong ba dòng theo thứ tựbằng 352, 463, 541; tổng sốtrong ba cột theo thứ tự 335, 687, 234?

14 Cho chín số xếp vào thành hàng ngang, sốđầu tiên 4, số cuối tổng sốởba ô liền 17 Hãy tìm chín sốđó

15 Tìm sốcó ba chữ số, biết chữ sốhàng trăm gấp bốn lần chữ số hàng

đơn vị viết sốấy theo thứ tựngược lại giảm 594 đơn vị

16 Thay dấu * sơ thích hợp:

**** ***− =**

Biết sốbị trừ, số trừ hiệu không

đổi đọc số từ phải sang trái ( Ví dụ : số

135 đọc từ phải sang trái số 531)

18 Hiệu hai số Nếu tăng số gấp lần, giữ nguyên số hiệu chúng 60 Tìm hai sốđó

Nhân chia

19 Tìm hai số biết tổng chúng gấp lần hiệu chúng, tích chúng gấp 24 lần hiệu chúng

20 Tìm hai số biết tổng chúng gấp lần hiệu chúng, cịn tích

của chúng gấp 192 lần hiệu chúng

21 Tích hai số 6210 Nếu giảm thừa sốđi đơn vị tích 5265 Tìm thừa số tích

22 Bạn Bảo làm phép nhân, sốnhân 102 Nhưng viết số nhân, bạn quên không viết chữ số nên tích bị giảm 21870 đơn vị so với

tích Tìm sốbị nhân phép nhân

23 Một học sinh nhân 78 với số nhân số có hai chữ số, chữ số

hàng chục gấp ba lần chữ số hàng đơn vị Do nhầm lẫn bạn viết đổi thứ tự

hai chữ số số nhân, nên tích giảm 2808 đơn bị so với tích Tìm số nhân

24 Một học sinh nhân số với 463 Vì bạn viết chữ số tận tích riêng cột nên tích 30524 Tím sốbị nhân

25 Hãy chứng tỏ hiệu sau viết thành tích hai thừa số nhau: 11111111 – 2222

26 Chỉ hai số khác cho nhân số với ta kết số gồm toàn chữ số

27* Tìm kết phép nhân sau:

 

50 c/sè 50 c/sè 33 3.33 3

28 Chứng minh số sau viết thành tíchcủa số tự

nhiên liên tiếp:

a) 111 222 b) 444 222

Chia có dư

30 Tìm sốbị chia sốchia, biết : thương 6, sốdư 49, tổng só bị chia, số chia sốdư 595

31 Một phép chia có thương 4, số dư 25 Tổng số bị chia số chia sốdư 210 Tìm sốbị chia số chia

32 Trong năm,c ó ngày chủ nhật? Có nhiều bao

nhiêu ngày chủ nhật?

33 Ngày 19-8-2002 vào ngày thứ Tính xem ngày 19-8-1945 vào ngày

trong tuần?

34. Tìm thương phép chia, biết thêm 15 vào số bị chia thêm vào số chia thương số dư khơng đổi

35 Tìm thương của phép chia, biết tăng số bị chia 90 đơn vị, tăng

sốchia đơn vịthì thương sốdư khơng đổi

36 Tìm thương của phép chia, biết tăng số bị chia 73 đơn vị, tăng

sốchia đơn vịthì thương khơng đổi, cịn sốdư tằng thêm đơn vị

37 Xác định phép chia, biết sốbị chia, sốchia, thương số dư bốn số sốsau:

a) 3, 4,16, 64, 256, 772

b) 2,3,9, 27,81, 243,567

38. Khi chia số tự nhiên gồm ba chữ số cho số tự nhiên gồm ba chữ số nhau, ta thương cịn dư Nếu xố chữsố số bị chia xố chữ số số chia thương phép chia số dư giảm trước 100 Tìm số bị chia số chia lúc đầu

Lũy thừa Phối hợp phép tính

40 Tính a 10 15

4 b 515 30 c 27 : 916 10

d 72 543 42

108

A= e

10 10

9

3 11 B= + 41 Tính giá trịcác biểu thức:

a 1310 8 6510

2 104

+

b ( ) ( 2 2) ( )

1+ + + +2 100 +2 +3 + + 10 65.111 13.15.37−

42 Tìm số tự nhiên x, biết rằng:

a 128x = b x15 =x

c ( )3

2x+1 =125 d (x−5) (4 = x−5)6

43 Cho 100

3 3

A= + + + + Tìm số tự nhiênn, biết 2A+ =3 3n

44 Tìm số tự nhiên có ba chữ số, biết bình phương chữ số hàng chục tích hai chữ số số tự nhiên trừ số gồm ba chữ số theo thứ tự ngược lại 495

45 Tính nhanh:

a 19.64+76.34

b 35.12+65.13

c 136.68+16.272

d (2+ + + +4 100 36.333 – 108.111) ( )

e (19991999.1998 – 19981998.1999.)

46 Khơng tính cụ thể giá trị A B, cho biết số lớn

lớn bao nhiêu?

c A=25.33 10;− B=31.26 10.+

d A=32.53 31;− B=53.31 32.+

47 Tìm thương phép chia sau mà khơng tính kết cụ thể số bị

chia sốchia: 37.13 13 24 37.12

− +

48 Tính :

a 101 100 99 98 1

101 100 99 98 1

A= + + + + + + +

− + − + + − +

b 3737.43 4343.37 2 100

B= −

+ + + +

49 Vận dụng tính chất phép tính để tìm kết cách nhanh

chóng:

a A=1990.1990 1992.1998;−

b (1374.57+687.86 : 26.13 74.14) ( + )

c (124.237 152 : 870+ ) ( +235.122 ;)

d 423134.846267 423133

846267.423133 423134 −

−

50 Tìm số tự nhiên a, biết rằng:

a 697 :15.a 364 17 a

+ =

b 92.4 27 a 350 315 a

+

− = +

51.Tìm số tự nhiên x, biết rằng:

a 720 : 41 −(2x−5) =2 53

 

b (x+ +1) (x+2) (+ x+3)+ + (x+100)=5750

52 Hãy viết năm dãy tính có kết 100, với sáu chữ số với dấu phép tính (và dấu ngoặc cần)

53 a) Hãy viết dãy tính có kết 100, với năm chữ sốnhư với dấu phép tính (và dấu ngoặc cần)

54 a) Hãy viết dãy tính có kết 1000000,với năm chữ số

cùng với dấu phép tính (và dấu ngoặc cần)

b) Cũng hỏi với sáu chữ số khác

55.Cho số123456789 Hãy đặt dấu “+” “-” vào số để có kết quảbằng 100

56 Cho số987654321 Hãy đặt số dấu “+” “ – ” vào chữ số để kết quảphép tính bằng:

a) 100 b) 99

§3 TÍNH CHẤT CHIA HẾT TRÊN TẬP HỢP SỐ TỰ NHIÊN

Định nghĩa: Cho hai số tự nhiên avà b , đób≠0 Ta nói a chia hết

cho b tồn số tự nhiên q cho a = bq Khi ta cịn nói: a bội

b, b ước a

Các tính chất chung:

1) Bất sốnào khác chia hết cho

2) Tính chất bắc cầu: a chia hết cho b b chia hết cho c a chia

hết cho c

3) Số chia hết cho số b khác

4) Bất sốnào chia hết cho

Tính chất chia hết tổng hiệu

5) Nếu a b chia hết cho m a+bchia hết cho m, a b− chia hết

cho m

Hệ quả: Nếu tổng hai số chia hết cho m hai sốấy chia hết

cho m sốcòn lại chia hết cho m

6) Nếu hai số a b chia hết cho m, số không chia hết cho m

Tính chất chia hết tích

7) Nếu thừa số tích chia hết cho m tích chia hết cho m

8) Nếu a chia hết cho m b chia hết cho n ab chia hết cho m n Hệ quả: Nếu a chia hết cho b an chia hết cho bn

Ví dụ 9: Chứng minh rằng:

a) ab+ba chia hết cho 11

b) ab ba− chia hết cho với a>b Ví dụ10: Quan sát ví dụ:

14 19+ =33 chia hết cho 11, 1419 chia hết cho 11; 49+ =55 chia hết cho 11,

649 chia hết cho 11

Hãy rút nhận xét chứng minh nhận xét

Giải: Nhận xét : ab+cd chia hết cho 11, abcd chia hết cho 11

Thật abcd =100.ab+cd =99.ab+(ab+cd), chia hết cho 11

Ví dụ11: Cho số abc chia hết cho 27 Chứng minh bca chia hết cho 27

Giải:

27 27

1000 27

999 27

27.37 27 abc

abc

a bc a a bc

a bca ⇒

⇒ +

⇒ + +

⇒ +

 

  

Do 27.37a27 nên bca27

BÀI TẬP

57. Có thể chọn số dãy số sau để tổng chúng 70 không?

a) 1, 2, 3, … , 29, 30;

58 Cho số: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17 Có thểphân chia hay khơng số thành hai nhóm cho:

a) Tổng số thuộc nhóm I gấp đơi tổng số thuộc nhóm II?

b) Tổng số thuộc nhóm I tổng số thuộc nhóm II?

59. a) Có ba số tự nhiên mà tổng chúng tận 4, tích chúng tận hay khơng?

b) Có tồn hay không bốn số tự nhiên mà tổng chúng tích

chúng số lẻ?

60. Chứng minh không tồn số tự nhiên a b c, , mà

333, a b c+ =a

335; 341 a b c+ =b a b c+ =c

61 a) Chứng minh viết thêm vào đằng sau số tự nhiên có hai chữ số số gồm hai chữ sốấy viết theo thứ tựngược lại số chia hết cho 11

b) Cũng chứng minh số tự nhiên có chữ số 62 Chứng minh ab=2.cd abcd chia hết cho 67

63. Chứng minh rằng:

a) abcabc chia hết cho 7, 11 13

b) abcdeg chia hết cho 23 29, biết abc=2deg

64 Chứng minh ab+cd+eg chia hết cho 11 abcdeg chia hết

cho 11

65. a) Cho abc+deg chia hết cho 37 Chứng minh abcdeg chia hết cho

37

b) Cho abc−deg chia hết cho Chứng minh chia hết cho

67 Cho ba chữ số khác khác Lập tất số tự nhiên có ba chữ

số gồm cảba chữ sốấy Chứng minh tổng chúng chia hết cho 37

68. Có hai số tự nhiên x y mà (x+ y)(x−y)=1002 hay khơng?

69. Tìm số tự nhiên có hai chữ số, cho viết tiếp sau số 1999 ta

được số chia hết cho 37

70. Cho n số tự nhiên Chứng minh rằng:

a) (n + 10)(n + 15) chia hết cho

b) n n( + 1)(n + 2) chia hết cho cho

c) n n( + )( n + 1) chia hết cho cho

71. Tìm số tự nhiên a b , cho a chia hết cho b b chia hết cho

a

72. Một học sinh viết số tự nhiên từ đến abc Bạn phải viết tất m

chữ số Biết m chia hết cho abc, tìm abc

73. Cho số tự nhiên viết theo thứ tự giảm dần từ9 đến

Có thể đặt hay khơng số dấu “+” “ – ” vào sốđó để

kết phép tính bằng:

a) b)

74 Cho tổng + + + … + Xóa hai sốbất kì thay hiệu chúng làm nhiều lần Có cách làm cho kết cuối

được hay không?

75*. Chứng minh tổng số ghi vé xổ số có sáu chữ số mà tổng ba

chữ số đầu tổng ba chữ số cuối chia hết cho 13 (các chữ số đầu 0)

# Ví dụ : 41

Bài tập: 227; 487; 560

Gọi A a a= n n−1 a a a2 0 Ta có:

A   a0  2; A   a0 

A   a a1  4; A  25  a a1  25 A   a a a2  8; A  125  a a1  125 A   an +an−1 + + a1+a0 

A   an +an−1 + + a1+a0 

Ví dụ12: Tìm số tự nhiên có chữ số, chia hết cho cho 27 biết hai chữ số sốđó 97

Giải: Gọi n số phải tìm, n phải tận n phải chia

hết cho Xét n=*975 chia hết cho nến * = Thử lại: 6975 không chia hết cho

27

Xét n=*970 chia hết *=2 Thử lại: 2970 chia hết cho 27

Số phải tìm 2970

Ví dụ 13: Hai số tự nhiên a 2a có tổng chữ số k Chứng

minh a chia hết cho

Giải: Ta biết số tổng chữ số có số dư phép chia cho 9, hiệu chúng chia hết cho

Như vậy: –a k

Và a−k9

Suy ra: (2a−k) (− a−k)9

Do a 

Ví dụ14: Chứng minh số gồm 27 chữ số chia hết cho 27

Như A=B C B chia hết cho 9, C chia hết cho

Vậy A chia hết cho 27

Ví dụ15. Cho số tự nhiên ab lần tích chữ số

a) Chứng minh b chia hết cho a

b) Giả sửb = ka k ( ∈N), chứng minh k ước 10

c) Tìm số ab nói

Giải:a) Theo đề bài: ab = 3ab

10 3 (1) 10

a b ab

a ba a b a ⇒ + = ⇒ + ⇒  

b) Do b=ka nên k <10 Thay b=ka vào (1):

10

10 (2)

10

a ka a ka k ak k + = ⇒ + = ⇒  c) Do k <10 nên k ∈ {1 ; ; 5}

Với k =1, thay vào (2) : 11=3 ,a loại

Với k=2, thay vào (2) : 12=6a⇒ =a 2;

b=ka=2.2=4 Ta có ab=24=3.2.4

Với k=5, thay vào (2) : 15=5a⇒ =a 1;

b=ka=5.1=5 Ta có ab=15=3.1.5

Đáp số: 24 15

Chú ý Cách giải câu c không thông qua câu a b

( )

1

3 –

1

–

a b ab

a ab b

b b

a a

a b= a

⇒ + =

⇒ =

⇒ =

Ta thấy 10a chia hết cho3a−1 , mà a 3a−1 nguyên tố (thật

3a – 1 10

3a 11

a Loại Loại

b

Đáp số: 15 24

Ví dụ16*. Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết sốđó chia hết cho tích chữ số

Giải: Gọi số phải tìm ab, ta có 10a+b  ab (1)

Suy b  a Đặt b=ka (2) k < 10 (k N∈ )

Thay b=ka vào (1) ta có 10a+ka  akb

{ }

10 a ka 10 k 1, k 2, ⇒  ⇒  ⇒ ∈

Nếu k=1 b=a Thay vào (1) ta 11a a 2⇒11a⇒ =a

Vậy ab = 11

Nếu k =2 b=2a Xét số 12, 24, 36, 48 ta có số 12, 24, 36 thỏa

mãn đề

Nếu k =5thì b=5a⇒ab=15 thỏa mãn đềbài

Kết luận: Có số thỏa mãn đềbài 11, 12, 15, 24, 36

BÀI TẬP

76. Cho A = 13! – 11!

a) A có chia hết cho hay khơng?

b) A có chia hết cho hay khơng? c) A có chia hết cho 155 hay khơng?

77 Tổng số tự nhiên từ đến 154 có chia hết cho hay khơng? Có chia hết cho hay không?

78 Cho

11 11 11 11

A= + + + + + Chứng minh A chia hết cho 79. Chứng minh với số tự nhiên n n2+ +n khơng chia hết

80 Trong số tự nhiên nhỏ 1000, có số chia hết cho

nhưng không chia hết cho 5?

81. Tìm số tựnhiên chia dư 1, cịn chia cho 25 dư 82 Tìm số tựnhiên chia cho dư 3, chia cho 125 dư 12

83. Có phép trừ hai số tự nhiên mà số trừ gấp lần hiệu số bị trừ

bằng 1030 hay không?

84 Điền chữ số thích hợp vào dấu *, cho:

a) 521* chia hết cho

b) *8 * chia hết cho 9, biết chữ số hàng chục lớn chữ số hàng

nghìn

85. Tìm chữ số a b, cho:

a) a – b = 4và 1a b chia hết cho

b) a – b = 6và 5a + b chia hết cho

86 Tìm số tự nhiên có ba chữ số, chia hết cho 9, biết chữ số hàng chục trung bình cộng hai chữ số

87. Tìm hai số tự nhiên chia hết cho 9, biết rằng:

a) Tổng chúng *657 hiệu chúng 5*91

b) Tổng chúng 513* số lớn gấp đôi số nhỏ

88 Bạn An làm phép tính trừ số bị trừ số có ba chữ số, số trừ số gồm chữ sốấy viết theo thứ tự ngược lại An tính hiệu 188 Hãy chứng tỏ An tính sai

89. Tìm số tự nhiên có ba chữ số, chia hết cho 45, biết hiệu số

và số gồm ba chữ sốấy viết thei thứ tựngược lại 297

90. Chứng minh rằng:

a) 28

10 +8 chia hết cho 72

b) 20

8 +2 chia hết cho 17

91 a) Cho 60

2 2

b) Cho 1991

3 3

B= + + + + Chứng minh B chia hết cho 13 41 92. Chứng minh rằng:

a) 2n + 11 111

n

 chia hết cho b) 10n+18n−1 chia hết cho 27

c) 10n +72n−1 chia hết cho 81

93 Chứng minh rằng:

a) Số gồm 81 chữ số chia hết cho 81

b) Số gồm 27 nhóm chữ số 10 chia hết cho 27

94 Hai số tự nhiên a 4a có tổng chữ số Chứng minh

rằng a chia hết cho

95* a) Tổng chữ số 100

3 viết hệ thập phân 459 hay

không?

b) Tổng chữ số 1000

3 A, tổng chữ số A B, tổng chữ

số B CTính C

96 Cho hai số tự nhiên a b tùy ý có số dư phép chia cho theo

thứ tự r1 r2 Chứng minh r r1 ab có sốdư phép chia cho

9

97 Một sốtư nhiên chia hết cho có ba chữ sốđều chẵn, khác khác Chứng minh tồn cách đổi vị trí chữ sốđểđược số chia hết cho

98* Tìm số abcd, biết sốđó chia hết cho tích số ab cd

99* Tìm số tự nhiên có chữ số, biết sốđó 45 lần tích chữ số

của

100 Một cửa hàng có hịm hàng với khối lượng 316kg, 327 kg, 336kg,

338kg, 349kg, 351kg Cửa hàng bán hịm, số lượng hàng bán

buổi sáng gấp bốn lần khối lượng hàng bán buổi chiều Hỏi hòm lại hòm

101 Từ bốn chữ số 1, 2, 3, lập tất số tự nhiên có chữ số gồm chữ số Trong số đó, có tồn số mà số chia hết cho sốcịn lại hay khơng?

102*. Chứng minh tất số tự nhiên khác có bảy chữ số

lập bảy chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, khơng có hai số mà số chia hết cho số cịn lại

# Ví dụ: 38 , 44, 49, 52, 69

Bài tập: 193; 203; 204; 209 đến 211; 217; 239; 240; 242; 244; 247; 248; 252; 258;

279 đến 282; 481 đến 483; 486 đến 553; 559

§5: SỐ NGUYÊN TỐ HỢP SỐ

Số nguyên tố số tự nhiên lớn 1, có hai ước (tức khơng có ước khác khác nó) Hợp số số tự nhiên lớn 1, có nhiều hai ước (tức có ước khác khác nó)

Ví dụ17.Điển chữ số thích hợp phép phân tích thừa số nguyên tố:

abcd e

fcga n

abc c

ncf …

Giải: Ta có abcd =e n abc ⇒e n =abcd abc: =10⇒e n, ∈{ }2;5

nef c abc. = ⇒n c. ≤ ⇒9 n c, ∈{ }2;3

Suy n=2 , e=5, c=3

Vì fcga.5=abcd ⇒ =f

6930 1386 693 231

Ví dụ 18. Tìm số ngun tố p cho p+2 p+4 số nguyên tố

Giải:Số p có ba dạng: 3k, 3k +1, 3k+2 với *

k∈N

Nếu p=3k p=3 (vì p số ngun tố), p+ =2 5, p+ =4 7 số nguyên tố

Nếu p=3k+1 p+ =2 3k+3 chia hết cho lớn nên p+2 hợp số, trái với đề

Nếu p=3k+2 p+ =4 3k+6 chia hết cho lớn nên p+4 hợp số, trái với đề

Vậy p =3 giá trị phải tìm

Ví dụ 19. Một số nguyên tố p chia cho 42 có số dư r hợp số Tìm số dư r

Giải: Ta có p=42k+ =r 2.3.7.k+r (k r, ∈N , 0< <r 42)

Vì p số nguyên tố nên r không chia hết cho 2; 3;

Các hợp số nhỏ 42 không chia hết cho 9, 15, 21, 25, 27, 33, 35, 39 Loại số chia hết cho 3, cho 25 thỏa mãn

Vậyr =25

BÀI TẬP

103.Ta biết có 25 số nguyên tố nhỏ 100 Tổng 25 số nguyên tố số chẵn hay lẻ?

105.Tìm bốn số nguyên tố liên tiếp, cho tổng chúng số nguyên tố 106.Tổng hai số nguyên tố 2003 hay khơng?

107.Tìm hai số tự nhiên, cho tổng tích chúng số nguyên tố 108.Các số sau số nguyên tố hay hợp số?

a) A=11…1 (2001 chữ số 1);

b) B =11…1 (2000 chữ số 1);

c) C =1010101;

d) D=1112111;

e) E = + + + …+1! 2! 3! 100!;

g) G=3.5.7.9−28;

h) H =311141111

109. Tìm số ngun tố có ba chữ số, biết viết số theo thứ tự ngược lại ta số lập phương số tự nhiên

110. Tìm số tự nhiên có bốn chữ số, chữ số hàng nghìn chữ số hàng đơn vị, chữ số hàng trăm chữ số hàng chục số viết dạng tích ba số nguyên tố liên tiếp

111.Tìm số nguyên tố p, cho số sau số nguyên tố:

a) p+2 p+10; b) p+10 p+20;

c) p+2, p+6, p+8, p+12, p+14

112. Tìm số nguyên tố, biết số tổng hai số nguyên tố hiệu hai số nguyên tố

114 Hai số nguyên tố gọi sinh đôi chúng hai số nguyên tố lẻ liên tiếp Chứng minh số tự nhiên lớn nằm hai số ngun tố sinh đơi chia hết cho

115. Cho p số nguyên tố lơn Biết p+2 số nguyên tố

Chứng minh p+1 chia hết cho

116. Cho p vàp+ số nguyên tố (p > 3) Chứng minh p +

hợp số

117. Cho p p – số nguyên tố Chứng minh 8p + hợp

số

118.Đố vui. Ngày sinh bạn

Một ngày đầu năm 2002, Huy viết thư hỏi ngày sinh Long nhận

thư trả lời:

- Mình sinh ngày a, tháng b, năm 1990 + cvà đến d tuổi Biết

459007 a b c d =

Huy tính ngày sinh Long kịp viết thư mừng sinh nhật bạn Hỏi Long sinh ngày ?

119. Một số nguyên tố chia cho 30 có sốdư r Tìm r biết r khơng

số nguyên tố

120. Chứng minh rằng:

a) Số 17 không viết dạng tổng ba hợp số khác

b*) Mọi số lẻ lớn 17 đều viết dưới dạng tổng của ba hợp số khác

nhau

# Ví dụ: 36, 40, 63 đến 68, 92 đến 94, 96, 97, 129

§6 ƯỚC VÀ BỘI

Bằng cách phân tích số thừa số ngun tố, ta dễ dàng tìm

ước (ước số) sốđó

Ví dụ20. Tìm sốchia thương phép chia có sốbịchia 145, số dư 12 biết thương khác (sốchia thương số tự nhiên)

Giải: Gọi x số chia, a thương, ta có 145=ax+12(x>12) Như x

là ước 145 12 133− =

Phân tích thừa số nguyên tố: 133=7.19

Ước 133 mà lơn 12 19 133

Nếu số chia 19 thương Nếu số chia 133 thương 1, trái với đềbài

Vậy sốchia 19, thương

Ví dụ21* Hãy viết số108 dạng tổng số tự nhiên liên tiếp lớn

Giải: Giả sử số 108 viết dạng tổng k số tự nhiên liên tiếp

1, 2, ,

n+ n+ n+k với k n, ∈,k ≥2,n+ ≥1 Ta có:

( ) ( ) ( )

( )

( )

1 108

2

108

2 216

n n n k

n k k

n k k

+ + + + + + = + +

= + + =

Bài tốn đưa đến việc tìm ước 216 Ta đưa hai nhận xét sau để

giảm bớt sốtrường hợp phải xét:

1) 2n+ + > ≥k k

2) Hiệu (2n+ + − =k 1) k 2n+1 số lẻ nên hai số 2n+ +k 1và kcó

số chẵn, số lẻ

Do ta cần tìm ước lẻ 216, đồng thời hai số 2n+ +k kcó

tích 216, chọn k số nhỏhơn

Phân tích thừa số nguyên tố: 3

Với k = 2n+ + =k 72 ta n = 34, 108=35 36 37+ +

Với k = 2n+ + =k 24 ta n = 7, 108= + +8 16+

Với 2n+ + =k 27 thìk =8 , ta n = 9, 108 10 11 17= + + + BÀI TẬP

121 Tìm số tự nhiên x y , cho:

a) (2x+1)(y−3)=10 b) (3x−2)(2y−3)=1

c) (x+1 2)( y− =1) 12 d) x+ =6 y x( −1)

e) x− =3 y x( +2)

122. Một phép chia số tự nhiên có số bị chia 3193 Tìm số chia

thương phép chia đó, biết số chia có hai chữ số

123. Tìm số chia phép chia, biết rằng: Số bị chia 236, số dư 15, số chia số tự nhiên có hai chữ số

124.Tìm ước 161 khoảng từ10 đến 150

123. Tìm hai số tự nhiên liên tiếp có tích 600

126.Tìm ba số tự nhiên liên tiếp có tích 2730

127.Tìm ba số lẻ liên tiếp có tích 12075

128 Một tờ hóa đơn bị dây mực, chỗ dây mực biểu thị dấu * Hãy phục hồi lại chữbị dây mực( dấu * thay cho nhiều chữ số)

Giá mua hộp bút : 3200 đồng

Giá bán hộp bút : *00 đồng Số hộp bút bán : * chiếu

Thành tiền : 107300 đồng

129 Tìm số tựnhiên n, biết rằng: 1+ + +2 + =n 820

Tân Hùng gặp hội nghị học sinh giỏi toán Tân hỏi số nhà Hùng, Hùng trả lời:

- Nhà đoạn phố, đoạn phốấy có tổng sốbằng 161 Nghỉ chút, Tân nói

- Bạn số nhà 23 !

Hỏi Tân tìm ?

132. Đặt bốn số tự nhiên khác nhau, khác 0, nhỏhơn 100 vào vị trí A, B, C, D ỏ hình cho mũi tên từ sốđếước sốở vị trí A có giá trị lớn giá trị nhận

133 Tìm số tựnhiên n, cho:

a) n+4 chia hết cho n+1;

b)

4

n + chia hết cho n+2

c) 13n chia hết cho n−1

134. Tìm số tựnhiên có ba chữ số, biết tăng gấp n lần cộng

chữ số với n ( n số tự nhiên, gồm nhiều chữ số)

# Ví dụ: 33; 37; 70; 95

Bài tập:199, 212, 312 đến 321, 386

§7 ƯỚC CHUNG ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT

Ước chung lớn hai hay nhiều số số lớn tập hợp

ước chung số Ước chung lớn a b c, , kí hiệu ƯCLN (a,b,c) (a,b,c) Ta có (a,b)= d ⇔ tồn a b′ ′ ∈,  cho

; ; ( ) 1 a=d a b d b′ = ′ ′ ′a ,b =

Ví dụ 22. Tìm số tự nhiên a biết 264 chia cho a dư 24, 363 chia

Giải: Số 264 chia cho adư 24 nên a ước 264 24− =240, a>24

Số 363 chia cho a dư 43 nên a ức 363 43 320,− = a>43

Do a ước chung 240 320, đồng thời a>43

ƯCLN (240,320)=80 ước chung lớn 43 80

Vậy a=80

Ví dụ 23 Xác định số chia thương phép chia số tự nhiên biết sốbị chia sốdư viết sau

4 52610

4 66

210

36

Số chia

Thươn

g

Giải: Tính tích chữ số thương với sốchia, ta được:

452 46− =406; 466 2− =464; 210 36 174− =

Phép chia có dạng:

452610 Sè chia 406 Thg

466 464

210 174 36

Sốchia ước chung 406,464, 174 lớn 46 Từđó ta tìm : Số

BÀI TẬP

135. Tìm số tự nhiên a biết 398 chia cho a dư 38 , cịn 450 chia cho a dư 18

136. Tìm số tự nhiên a biết 350 chia cho a dư 14 , cịn 320 chia cho a dư 26

137. Cị 100 90 bút chì thưởng cho số học sinh,

còn lại 18 bút chì khơng đủ chia Tính số học sinh

thưởng

138. Phần thưởng cho học sinh lớp học gồm 128 vở, 48 bút chì,

192nhãn Có thể chia nhiều thành phần thưởng

nhau, phần thưởng gồm vở, bút chì, nhãn vở?

139. Ba khối 6, 7, theo thứ tự có 300 học sinh, 276 học sinh, 252 học sinh xếp hàng dọc để diễu hành cho số hàng dọc khới Có thể

xếp nhiều thành hàng dọc để khối khơng có lẻhàng? Khi

mỗi khối có hàng ngang?

140 người ta muốn chia 200 bút bi, 240 bút chì 320 tẩy thành số phần thưởng Hỏi chia nhiều phần thưởng , phần thưởng có bút bi, bút chì, tẩy?

141. Tìm số chia thương phép chia số tự nhiên có sốbị chia 9578 sốdư liên tiếp 5,3,

(Ví dụ: phép chia

Ví dụ: phép chia

1855

25 15

463

Thì 2; 1; sốdư liên tiếp)

Bài tập: 270 đến 273, 277, 278, 325 đến 327, 336, đến 356, 359, đến 362, 365

đến 371, 493

§8 BỘI CHUNG BỘI CHUNG NHỎ NHẤT

Bội chung nhỏ hai hay nhiều số số nhỏ khác tập hợp

các bội chung sốđó Bội chung nhỏ a b c, , kí hiệu BCNN

(a b c, , ) [a b c, , ] Ta có :[ ]a b, = ⇔m tồn x y, ∈N cho

, , ( , ) m=a x m=by x y =

Ví dụ 24. Tìm số tự nhiên a nhỏ cho a chia cho 3, cho 5, cho sốdư theo thứ tự 2, 3,

Giải:

3 ( 4,

a= m+ m∈N)⇒2a = 6m+ chia cho dư

5 ( ) 10

a= n+ n∈N ⇒ a= n+ chia cho dư ( ) 14 8,

a= p+ p∈N ⇒ a= p+ chia cho dư

Do đó: 2a− ∈1 BC(3,5,7) Để a nhỏ 2a−1 BCNN(3,5, 7) (3,5,7)

2 105

2 106

53

BCNN a a a

= − =

= =

Ví dụ 25 Một số tự nhiên chia cho dư 1, chia cho dư 2, chia cho dư 3, chia cho dư 4, chia hết cho 13

a) Tìm số nhỏ có tính chất

b) Tìm dạng chung tất số có tính chất

Giải: a) Gọi x số phải tìm x+2chia hết cho 3; 4; 5; nên x+2 bội

(3, 4,5, 6) 60

BCNN = nên x+ =2 60 ,n x=60n−2(n=1, 2,3 .) Ngoài x phải số nhỏ có tính chất x phải chia hết cho 13

Lần lượt cho n=1; 2;3 ta thấy đến n=10 x=598 chia hết cho 13 Số nhỏ

nhất phải tìm 598

b) Số phải tìm phải thỏa mãn hai điều kiện: x+2 chia hết cho 60 (1)

x chia hết cho 13 (2)

Từ (1) suy x+182 chia hết cho 60

Từ (2) suy x+182 chia hết cho 13

Vì (13, 60)=1 nên x+182=780k hay x=780k−182(k =1, 2, 3, )

Với k =1, giá trị nhỏ x 598

( Trong cách biến đổi trên, ta thêm bội 60 vào x+2, ta 62, 122, 182, ,

x+ x+ x+ số 182 chia hết cho 13)

BÀI TẬP

142 Tìm bội chung 40, 60, 126 nhỏhơn 6000

143 Một thi chạy tiếp sức theo vòng tròn gồm nhiều chặng Biết

chu vi đường tròn là330m , chặng dài75m , địa điểm xuất phát kết thúc

cùng chỗ Hỏi thi có chặng?

144. Ba tô khởi hành lúc từ bến Thời gian cảđi lẫn xe thứ 40 phút, xe thứ hai 50 phút, xe thứ ba 30 phút Khi

trở bến, xe nghỉ10 phút tiếp tục chạy Hỏi sau bao lâu:

a) Xe thứ xe thứ hai rời bến?

b) Xe thứ hai xe thứba rời bến? c) Cảba xe rời bên?

145 Một đơn vị đội xếp hàng 20, 25,30 dư15 , xếp hàng 41 vừa đủ Tính sốngười đơn vịđó biết sốngười chưa đến 1000

146. Tìm số tự nhiên có ba chữ số, cho chia cho 17, cho 25

147. Tìm sốtư nhiên n lớn có ba chữ số, cho n chia cho dư 7,

chia cho 31 dư 28

148 Tìm số tự nhiên nhỏhơn 500 , cho chia cho 15, cho 35

sốdư theo thứ tự 8, 13

149. a) Tìm số tự nhiên lớn có ba chữ số, cho chia cho 2, cho ,

cho 4, cho 5, cho ta sốdư theo thứ tự 1, 2,3, 4,5

b) Tìm dạng chung số tự nhiên a chia cho dư 3, chia cho

dư 4, chia cho dư 5, chia hết cho 13

150 Tìm số tự nhiên nhỏ chia cho dư6 , chia cho1 dư10 , chia cho 15 dư chia hết cho 13

151. Tìm số tự nhiên nhỏ chia cho 8,10,15, 20 theo thứ tự 5, 7, 12, 17

và chia hết cho 41

152. Tìm số tự nhiên nhỏ chia cho 5, 7, theo thứ tự 3, 4,

153. Tìm số tự nhiên nhỏ chia cho 3, cho 4, cho 5, theo thứ tự 1, 3,

154 Trên đoạn đường dài 4800m có cột điện trồng cách nhay 60 ,m

trồng lại cách 80 m Hỏi có cột trồng lại, biết

hai đầu đoạn đường có cột điện?

155 Ba tàu cập bến theo lịch trình sau: tàu I 15 ngày cập bến,

tàu I 20 ngày cập bến, tàu I 12 ngày cập bến Lần đầu ba cập bến vào

ngày thứ Hỏi sau bao lâu, cảba tàu cập bến vào ngày thứ 6?

156. Nếu xếp số sách vào túi1 vừa hết, vào túi 12

cuốn thừa cuốn, vào túi 18 thừa biết số sách

trong khoảng từ 715 đến 1000 Tính sốsách đó?

157. Hai lớp , 6A Bcùng thu nhặt số giấy vụn Trong lớp 6A

,một bạn thu 25kg, cịn lại bạn thu 10kg Tính số học sinh lớp, biết

rằng số giấy lớp thu khoảng từ 200kg đến 300kg

ra tiếng kêu “ bíp” lúc 10 h sáng Tính thời điểm để hai phát tiếng

“bíp”

159. Có hai đồng hồ(có kim kim phút) Trong ngày, thứ chạy nhanh phút, thứ hai chạy chậm phút Cả hai đồng hồ lấy lại xác Hỏi sau bao lâu, cảhai đồng hồ lại chạy xác?

# Ví dụ: 76 đến 79, 82 , 83, 86

Bài tập: 322 đến 324, 328 đến 335, 357, 358, 363, 364, 372 đến 376, 494, 495

Chương II

SỐ NGUYÊN

Tập hợp số nguyên gồm số tự nhiên số

Ta xác định thứ tự sau: điểm a bên trái điểm b trục số

Ta xác định hai phép tốn: phép cộng phép nhân Phép cộng có

bốn tính chất: giao hốn, kết hợp, cộng với số , cộng với số đối Phép nhân có

ba tính chất: giao hốn, kết hợp, nhân với số

Giữa phép nhân phép cộng có quan hệ: phép nhân phân phối phép cộng Giữa thứ tự phép tốn có quan hệ:

với với

Trừ số cộng với số đối số trừ Phép trừ hai số nguyên thực

Phép chia thực phạm vi số nguyên số bị chia chia hết cho số chia

   1, 2, 3,

 ; 3; 2; 1; 0; 1; ; ; .    



 ab

a b, 



0

;

a    b a c b c

Trong trường hợp chia hết cho , ta nói: bội ước

Ước chung ( bội chung) hai hay nhiều sốlà ước ( bội) tất

các sốđó

§ THỨ TỰ TRÊN TẬP HỢP SỐ NGUYÊN

160.Điền vào chỗ trống từ “ nhỏhơn” “ lớn hơn” cho đúng:

a) Mọi sốnguyên dương … số ;

b) Mọi sốnguyên âm … số ;

c) Mỗi sốnguyên dương … số nguyên âm;

d) Trong hai sốnguyên dương, số có giá trị tuyệt đối lớn số … ;

e) Trong hai số nguyên âm, số có giá trị tuyệt đối lớn thù sốấy …

161. Hãy tìm :

a) Sốngun dương lớn có hai chữ số ;

b) Số nguyên âm lớn có hai chữ số

162. Tính biết rằng:

a) ; b) ;

163. Cho sốnguyên a Hãy điền vào chỗ trống dấu để

khẳng định sau đúng:

a) a avới a ; b) a với a ;

c) Nếu ; d) Nếu ;

e) Nếu

164. Các khẳng định sau có với sốngun dương a b khơng?

Cho ví dụ

a) ; b)

a b a b b

a

 

0

b a

3,

a  b a5,b 6 a5,b 5

, , , ,

    

0

a a a a0 a a

0

a a a

Ví dụ26. Tìm số ngun , biết , vế phải tổng số nguyên liên tiếp viết theo thứ tự giảm dần

Giải:

với số hạng vế phải

Ta có suy ,

BÀI TẬP

165. Tìm tổng số nguyên âm nhỏ có chữ số số nguyên

dương lớn có chữ số

166.Điền vào chỗ trống cho đúng:

a) Sốđối số nguyên âm môt số …

b) Hai sốnguyên đối có giá trị tuyệt đối … c) Hai số nguyên có giá trị tuyệt đối … d) Số … nhỏhơn sốđối ;

e) Nếu a ;

f) Nếu a  ;

g) Nếu

167. Tìm số nguyên , biết :

a) ; b) ;

c) ; d) ;

e) sốnguyên dương nhỏ nhất; g) số nguyên âm lớn

168.

a) Cho bảng vng hình bên Điền số vào

x 1010   9 x

0    9 x  1

9 

2

x n 

 n  1

0

n 9 x x 9

0 a  

0 a

0

a a a  x 13

x  x  1

25 x 10 x  2 12

x 10x

3 3

ô trống sau cho tổng sốởba dòng một, hai, ba

lần lượt Tính tổng sốở cột

b) Cho bảng vng Có thểđiền hay

khơng chín số ngun vào chín bảng cho tổng số ba dòng tổng sốở ba cột ?

169.a) Có mười liên tiếp ghi số 6, thứ tám ghi số

Hãy điền số vào ô trống để tổng ba sốởba ô liền

b) Một bảng vng có hai góc ghi số Hãy điền số vào cịn lại, cho tổng hai số hai liền ( hai ô liền hai ô có cạnh chung)

170. Tìm số nguyên , biết rằng:

, vế trái tổng số nguyên liên tiếp viết theo thứ tự tăng dần

171 Tìm số nguyên , cho:

a) ; b) ; c)

172. Tìm số nguyên biết rằng:

173. Tìm số nguyên biết rằng:

, , ,

174.Cho

Tính

5,11,



3 3

5,3, 1, 2,



4



44 3

x

 1  2 19 20 20 x    x x   

a

a a a a a a

, ,

a b c a b 11,b c 3,c a

, , ,

a b c d

a   b c d a c d 

3 a b d 

4 a b c 

1 49 50 51

x x x  x x x 

1 47 48 49 50 50 51

x     x x x x x x x x x  x50

8

Ví dụ27.a) Cho bảng vng hình bên

Tìm tích sốở dịng, tích sốở cột

b) Viết chín số nguyên khác vào bảng vng Biết tích sốở dòng số âm Chứng minh ln ln tồn cột mà tích số cột số âm

Giải : a) Tích sốở dịng bằng:

; ;

Tích sốở cột bằng:

; ;

b) Chứng minh phản chứng Giả sử ba cột, tích số cột

đều sốdương tích chín số bảng sốdương Theo đềbài tích số dịng số âm nên tích chín số bảng số âm, mâu thuẫn với

Vậy phải tồn cột mà tích số cột số âm

Ví dụ 28. Thay dấu * biểu thức dấu phép tính cộng, trừ, nhân thêm dấu ngoặc để kết là: số lớn nhất; số nhỏ

nhất

Giải:Có hai cách đặt dấu ngoặc:

a) Xét khả giá trị lớn , giá trị nhỏ

nhất

b) Trường hợp giá tri lớn , giá trị nhỏ là:

Như giá trị lớn 9; giá trị nhỏ

BÀI TẬP

175. Thực phép tính sau cách nhanh chóng: 3

3 3

 

5.2   4 40      2 4   3 24  6 5.7 210

   

5 2  6 60 2. 4 5 40    4 3 784

 1

 1

1 3 

1 2  12 3 9

1   2

1 2  12.37

1 2.3  5

5



5 −4

2

− −4 −3

6

a) ;

b) 127 57   127 43 ;

c) ;

d) ;

e) ;

f) ;

g) ;

h)

176. Thay dấu * biểu thức dấu phép tính cộng,

trừ, nhân thêm dấu ngoặc đểđược kết quảlà: số lớn ; số nhỏ

177. Tìm số nguyên x, cho:

a) ;

b) ;

c)

178. Cho dãy số

Tính

§ 12 TÍNH CHIA HẾT TRÊN TẬP HỢP SỐ NGUYÊN

Ví dụ 29: Số chia cho số nguyên trừ Lấy kết chia cho trừ Lại lấy kết chia cho trừ Cuối ta số

Tìm số

Giải: Ta được:

( )

2

36=a a+1

14  125     3 8

13 34 87.34

25 68   34  250

1 99 100 A      

1 11 397 399 B        

1 97 98 99 100 C           

100 99 98

2 2 2

D      

1 4  

 2

1

x   

x x  x1x 2

1, 2, 3, , 100

a a a a a11, a2  1,ak ak2.ak1 k,k3 a100

36 a a

a a a a

a − a 36 : :  −  −  − = −     

 a a a a a a a

36 36

: : 0; : 0,

 −  −  =  −  − =

   

    

 a a a a a a a a a

2

36 36 36

: ; ;

 −  = − = = +  

Do nên ước Ta có:

So sánh bảng, ta chọn

Đáp số: BÀI TẬP

179 Tìm số nguyên , biết rằng:

a)

b)

180 Tính tổng biết tổng số nguyên âm lẻ có hai chữ số, tổng sốnguyên dương chẵn có hai chữ số

181 Cho

a) Viết dạng tổng quát số hạng thứ ;

b) Tính giá trị biểu thức

182 Cho

a) chia hết cho , cho , cho hay không?

b) có ước nguyên, có ước tự nhiên ?

183 Cho dãy số 1; -3; 5; -7; 9; -11; 13; -15; 17; -19

Có thể tìm hay khơng năm số số trên, cho đặt đấu “+”

hoặc “-“ nối sốđó với nhau, ta kết quảbằng:

a) 15 b) 20 ?

184 Thay dấu * biểu thức1* * 3* * * * *8 * dấu “+ ”

hoặc “-” để giá trị biểu thức bằng:

a) ; b)

185 Tìm số nguyên , cho:

∈

a a2 36

2

a 36

+

a 36

a 36 8 3 0

a a2 a=3

3 = a

x y

(x+2)(y− =3) 5; (x+1)(xy− =1) 3;

A+B A

B

2 11 14 17 98 101

A= − + − + − + + −

n A

A

1 99 100

A= + − − + + − − −

A

A

13

− −4

a) n+5 chia hết cho

b) chia hết cho

c) chia hết cho

d) chia hết cho

2;

n− 2n+1 n−5;

2

3 13

n + n− n+3;

2

3

Phần II

CHUYÊN ĐỀ ĐIỀN CHỮ SỐ

Các toán điền chữ số khơng u cầu kĩ tính tốn mà cịn địi hỏi lập luận xác hợp lí

Ví dụ 30(2): Thay chữbởi chữ số thích hợp:

Giải: So sánh cột hàng đơn vị cột hành chục, ta thấy có nhớ Do

cột hành chục:

(nhớ)

ở cột hành trăm:

(nhớ )

ở cột hành đơn vị:

Các chữ sốđược điền đầy đủnhư sau:

Ví dụ 31(2). Tìm chữ số biết tổng tổng

bốn chữ số chẵn liên tiếp chữ số thỏa mãn hai phép trừsau:

Giải: Xét phép trừ thứ nhất: Ở cột hành trăm ta có nên phép trừ hàng đơn vị hàng chục có nhớ Do cột hành trăm:

+a b c

a c b b c a

+ c b

1 + +

b c =10+ ⇒ =c b

1 + +

a a 9⇒ =a

9 14

+ = ⇒ =

c c

495 459 954

+

, ,

a b c a + b + c

, ,

a b c

9 a b c c b a

−

2 b a c a b c

−

(nhớ) (1)

Xét phép trừ thứ hai: Ở cột hành trăm ta có nên phép trừ hàng chục

có nhớ Do cột hàng trăm: (nhớ) (2)

Từ (1) (2) suy (3)

Từ (2) (3) suy

Số không tổng bốn số chẵn liên tiếp có thểbằng:

Trường hợp cho loại

Trường hợp

Từđó:

Ta được:

Ví dụ32(2). Thay dầu chữ số thích hợp phép chia sau:

Giải: Gọi thương , ta thấy nhân với sốchia tích riêng có ba

chữ số, cịn nhân với sốchia tích riêng có hai chữ số Do

9

= a

Ởdòng , ta hạ liên tiếp hai chữ sốở sốbị chia xuống, Số chia , ta hạ liên tiếp chữ sốở sốbị chia xuống,

1 − −

a c 0⇒ = −c a

> b a

− −

b a = ⇒ = −2 a b

= − c b

( 3) ( 4) 20

+ + = − + + − = − ≤

a b c b b b b

20

0 12+ + + = 8+ + + =20 3b− =7 12 3b=19,

3b− =7 20 3b=27 b=9 6;

= − = = − = a c 695 596 99 + 965 695 270 + * ***** ** *** **8 000 ** ** 00 A B C

ab a A

8 C a>8,

B b=0

Số chia nhân với tích riêng có hai chữ số nên số chia nhỏhơn Vậy sốchia

Sốbịchia Tồn bộphép tính là:

Ví dụ 33(6). Thay chữ số chữ số khác thích hợp

trong phép nhân sau:

Giải: Biến đổi đẳng thức cho thành:

Phân tích thừa số ngun tố: ,

Trường hợp thứ cho Trường hợp thứ hai cho

loại

Vậy ta có

Ví dụ 34(2). Tìm số tự nhiên có ba chữ số, biết hai cách viết: viết thêm chữ số5 vào đằng sau sốđó viết thêm chữ số vào đằng trước sốđó

thì cách viết thứ cho số lớn gấp năm lần so với cách viết thứ hai

Giải: Gọi số phải tìm , ta có:

8 C 13

12

908.12 10896.= 10896 12

108 908 00096

96 00

, ,

a b c

ab cc abc=abcabc

.11 = =1001 ab c abcabc

=1001:11=91 ab c

91=7.13 ab c 13.7 91.1

13, = =

ab c ab=91,c=1

= b c

13.77.137=137137

abc

5

× abc

Nếu tìm chữ số, chẳng hạn tìm số bị nhân nên lời giải phức tạp Để giải gọn hơn, đặt , ta có

Tìm từ đẳng thức ta Số phải tìm:

Ví dụ35(7).Điền chữ số thích hợp vào chữ sốtrong phép nhân sau:

Giải: Ở tốn này, tìm số lời giải phức tạp Đặt

ta có:

Như 14y chia hết cho , mà nên y chia hết cho

Chú ý số có bốn chữ số nên có trường hợp:

Ta có ba đáp số:

Ví dụ36(5).Điền chữ số thích hợp vào dấu * phép nhân sau:

Biết hai sốđều chẵn tích sốcó ba chữ sốnhư nhau:

Giải: Gọi tích , ta có nên tích chia hết cho , mà số nguyên tố,

do phải có thừa số chia hết cho

c c

1,3,5, 7,9 abc= x

(1000+x).5 10= x+5

x x=999 999

x

a b c d m n

c d m n a b

, ,

= =

ab x cdmn y

( )

2 10000x+y =100y+x 19999x=98y

2857x=14 y

2857 (14, 2857)=1 2857 y

2857; 14; 5714, 8571, 42

= = = = =

y x y x x

142857 285714

×

285714 571428

×

428571 857142

×

* * * *=* * *

aaa 37 37

Mặt khác tích chia hết cho (vì thừa số chia hết cho ) nên chia

hết cho

Xét hai trường hợp: , loại;

Ta có đáp số:

Ví dụ37(6). Tìm chữ số , biết rằng:

Giải: Biến đổi đẳng thức cho thành nhân: Như ước 900 Ta có phận biết:

a)

b) nên

c) Tích chia hết tồn thừa số chia hết cho Do có sốdư phép chia hai chia hết cho

Từba nhận xét đó, ta có , hoặc

Nếu , thỏa mãn

Nếu , loại

Nếu , loại

Ta có đáp số:

Ví dụ 38(4)*. Chứng minh thay chữ chữ số để có phép tính đúng:

a) (1)

b) (2)

Giải: a) Hai số HỌC VUI, VUI HỌC có tổng chữ số nên, có

cùng số dư chia hết cho , hiệu chúng chia hết cho Vế trái (1) chia hết cho cịn vế phải khơng chia hết cho Vậy khơng thể có phép tính

đúng

b) Chú ý rằng, số tổng chữ số có sốdư chia cho

4 aa

4, a∈{ }4;8

444 : 74=6 888 : 74 12.= 74.12=888

a b

900 :(a b+ )=ab

( )

+ =900

ab a b ab

+ a b 18; + ≤ a b 100 <

ab a+ <b 9;

( + )

ab a b 3

ab a+b 3

+

a b 12 15, 18

12 + =

a b ab=900 :12=75 12.+ = 15

+ =

a b ab=900 :15=60 18

+ =

a b ab=900 :18=50 7,

= =

a b

1991 HOÏC VUI VUI HỌC− =

1992 TỐN LÍ SỦ VẼ+ + + =

9

chia cho Ta lại ý chữ số khác nên tổng chúng bằng:

Tổng chia hết cho Suy vế trái (2) chia hết cho , vế phải khơng chia hết cho Vậy khơng thểcó phép tính

BÀI TẬP

Thay dấu * chữ sốbởi chữ số thích hợp (từbài 186 đến 203)

186(2).

187(2). a) ;

b)

188(2). a) biết chữ số lẻ;

b) ;

c)

189(2). a) ;

b)

190(2).

191(2) .

192(2) .

193(4)

194(2).

Biết sốbị nhân có tổng chữ sốbằng 18 không đổi đọc từ phải

T O Á N L Í S Ử V Ẽ+ + + + + + + + + 10

0 9+ + + + =45

9

ab+bc+ca=abc

874

abc+ab+ =a

1037

abc+ab+ =a

acc b=dba a

ac ac=acc

ab ab=acc

1abc.2=abc8

ab= b

deg.4

abc =gabcde abcde+ =g 15930

abc−ca=ca−ac

3576

abcd+abc=

0

3462 * abcd

abcd

−

* * * * * * * * * * * * *7 * * * * *

195(2)

196(2)

197(2)

198(5) a)

c)

b)

biết tích số có ba chữ số

199(6)

200(2)

201(2)

a) b)

******* ** *** **8**

** **

*** ***

202(2) .

203(4) .

204(4). Tìm chữ số số tự nhiên , cho:

ab b= ab

260abc abc: =626

* * * * * * * * * * * * * * * *

×

ddd

ab cb=

ab cd =bbb

* *.* * * *=

deg.6 deg

abc = abc

20* * : 13 * *7=

***** ** ** **

*** ***

:11

abc = + +a b c

(ab+cd ab cd)( − )=2002

a x

2

205(2). Tìm số tựnhiên có năm chữ số, biết viết thêm chữ số vào

đằng trước số số lớn gấp bốn lần so với số có cách viết thêm chữ số vào sau sốđó

206(2). Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết viết thêm chữ số

vào bên phải chữ số vào bên trái sốấy tăng gấp lần

207(2). Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết viết xen vào hai chữ

số sốđó sốđó tăng gấp lần

208(2). Tìm số tự nhiên có bốn chữ số, cho nhân sốđó với ta số gồm bốn chữ sốấy viết theo thứ tựngược lại

209(4). Tìm số tự nhiên có bốn chữ số, cho nhân nói với ta số

gồm chữ số sốấy viết theo thứ tựngược lại

210(4). Tìm số tự nhiên có năm chữ số, cho nhân với ta số

gồm chữ số sốấy viết theo thứ tựngược lại

211(4). a) Tìm số tự nhiên có ba chữ số, biết xóa chữ số hàng trăm

thì sốấy giảm lần

b) Giải tốn khơng cho biết chữ sốbị xóa thuộc hàng

212(6). Tìm số tự nhiên có ba chữ số khác nhau, biết xóa chữ số ta sốước

213(2). Tìm số tự nhiên có bốn chữ số, biết xóa chữ số hàng nghìn sốấy giảm lần

214(2). Tìm số tự nhiên có bốn chữ số, biết chữ sốhàng trăm xóa chữ số0 sốấy giảm lần

215(2). Một số tự nhiên tăng gấp lần viết thêm chữ số vào chữ số hàng chục hàng đơn vị Tìm sốấy

216(2). Tìm số tự nhiên , biết xóa nhiều chữ số tận số mà

217(4)*. Tìm số tự nhiên có chữ số tận , biết sốcó ba chữ số chín chữ số ba sốđó khác khác

7

8

2

2 36

99

4

9

9

9

n

n

9

0

9

A B A=130 B

x x, , 3x x

218(2)*. Tìm số tự nhiên x có sáu chữ số, biết tích , , , , 6x x x x x số có sáu chữ số gồm sáu chữ sốấy

a) Cho biết sáu chữ số số phải tìm 1, 2, 4, 5, 7,

b) Giải tốn khơng cho điều kiện a DÃY CÁC SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT

I Dãy cộng

Xét dãy sốsau:

a) Dãy số tựnhiên: 0, 1, 2, 3,…

b) Dãy số lẻ: 1, 3, 5, 7,…

c) Dãy số chia cho dư 1: 1, 4, 7, 10,…

Trong dãy số trên, số hạng, kể từ số hạng thứ hai, lớn số

hạng đứng liền trước số đơn vị, số đơn vị dãy a), dãy b), dãy c) Ta gọi dãy dãy cộng

Xét dãy cộng 4, 7, 10, 13, 16, 19,… Hiệu hai số liên tiếp dãy Số

hạng thứ dãy là19, bằng:4+ −(6 3) ; số hạng thứ 10 dãy

( )

4+ 10 31.− =

Tổng quát, dãy cộng có số hạng đầu a1 hiệu hai số hạng liên tiếp d số hạng thứ n dãy cộng (kí hiệu an) bằng:

1 ( 1)

n

a = + −a n d (1)

Để tính tổng số hạng dãy cộng

4 10 25 28 31+ + + + + + (gồm 10 chữ số)

ta viết: A= + + + +4 10 25 28 31+ + 31 28 25 10

A= + + + + + +

Do (4 31 10) 175

A= + =

Tổng quát, dãy cộng có n số hạng, số hạng đầu a1, số hạng cuối an tổng n số hạng tính sau:

( )

n

a a n

S = + (2) (*)

Trường hợp đặc biệt, tổng n số tự nhiên liên tiếp

( 1)

2 n n+

+ + + + = (3)

Ví dụ39(2). Bạn Lâm đánh số trang sách dày 284 trang dãy

số chẵn2, 4, 6,…

a) Biết chữ số viết giây Hỏi bạn Lâm cần phút đểđánh

số trang sách?

b) Chữ số thứ 300 mà bạn Lâm viết chữ số nào?

Giải: a) Dãy 2, 4, 6,8 có số, gồm chữ số nào?

Dãy 10,12, ,98 có : 98 10 : 1( − ) + =45 (số), gồm :2 45× =90 (chữ số)

Dãy 100,102, , 284 có (284 100 : 93− ) + = (số), gồm 93× =279 (chữ số)

Bạn Lâm phải viết tất cả: 90 279+ + =373 (chữ số), hết 373 giây hay phút 13 giây

b) Viết dãy số chẵn từ đến 98 phải dùng: 90+ =94 (chữ số), lại 300 : 94=206 (chữ số) để viết số chẵn có ba chữ số kể từ 100

ta thấy: 206 : 3=68 dư Số chẵn thứ 68 kể từ 100 là: 100+(68 2− ) =234

Hai chữ số chữ số thuộc 236

Vậy chữ số thứ 300 mà bạn Lâm viết chữ số thuộc số 236

Ví dụ 40(5)* . Tìm số tự nhiên

n lớn để tích số tự nhiên từ đến

Giải: Số n lớn phải tìm thừa số phân tích 1.2.3 1000 thừa

số nguyên tố Các thừa số chứa bội Do cần tìm số

lượng bội ,

5 , 53 , 54 dãy 1, 2,3 ,1000

Cách Các bội dãy1, 2,3 ,1000 5,10, ,1000 gồm :

(1000 : 200− ) + = (số)

Các bội

5 25,50, ,1000 gồm :

(1000 25 : 25 40− ) + = (số)

Các bội

5 125, 250, ,1000 gồm :

(1000 125 :125 8− ) + = (số)

Các bội

5 625 gồm số

Do số thừa số phân tích 1.2.3 1000 thừa số nguyên tố 200 40 249.+ + + =

Số n lớn để tích 1.2.3 1000 chia hết cho 5n 249

Cách Kể từ 1, số lại có bội 5,

5 số loại có bội 25

,

5 số lại có bội 125, … Do số thừa số phân tích 1.2.3 1000

ra thừa số nguyên tốbằng :

2

1000 1000 1000 1000

200 40 249

5 5

 

+ + + = + + + =

 

Tổng quát : Số thừa số a phân tích 1.2.3 n thừa số nguyên tố :

2

       + + + + +                     k

n n n n n

a a a a a với k sốmũ lớn cho ≤

Kí hiệu   

  n

m số tự nhiên lớn không vượt

n

m (nếu n chia hết hoc m   

  n

m thương đúng, n khơng chia hết cho m       n

m thương hụt,

ta gọi   

  n

m phần nguyên

n m )

Ví dụ 41(3). Có số tự nhiên chia hết cho 13 n chia

hết cho Chọn ta dãy (1) số chia hết cho 13, ta dãy:

 1993

111, 1111, , 11 chữsố

(1)

Giải: Số gồm n chữ số chia hết cho 13 n chia hết cho

Chọn dãy (1) số chia hết cho 13, ta dãy:

   

6 12 18 1992

11 1, 11 1, 11 1, 11 chữsố chữsố chữsố chữsố

(2)

Số số hạng dãy (2) số số hạng dãy ϵ, 12,18, ,1992 (3)

Các dãy (1) (2) khơng dãy cộng, cịn dãy (3) dãy cộng Số số hạng dãy (3) (1992 : 332.− ) + =

Do dãy (2) có 332 số, tức có 332 số dãy (1) chia hết cho13

II- Các dãy khác

Ví dụ42(2). Tìm số hạng thứ 100 dãy viết theo quy luật:

a)3, 8, 15, 24, 35, … (1)

b) 3, 24, 63, 120, 195, … (2)

c)1, 3, 6, 10, 15, … (3)

d)2, 5, 10, 17, 26,… (4)

1.2 2.3 ;

2 (dãy(3));

2

1 ,1 2+ + (dãy(4))

Giải: a) Dãy (1) viết dạng:

1.3, 2.4,3.5, 4.6,5.7,

Mỗi số hạng dãy (1) tích hai thừa số, thừa số thứ hai lớn

thừa số thứ đơn vị Các thừa số thứ làm thành dãy: 1, 2,3, 4,5, ;

dãy có số hạng thứ 100 100

Số hạng thứ 100 dãy(1) bằng: 100.102 10200.=

b) Dãy (2) viết dạng: 1, 4, 7,10,,13, là: 1.3, 4.6, 7.9,10.12,13.15,

Số hạng thứ 100 dãy 1, 4, 7,10,13, là: 99.3+ =298

Số hạng thứ 100 dãy 298.300 89400.=

c) Dãy (3) viết dạng:

1.2 2.3 3.4 4.5 5.6 , , , , , 2 2

Số hạng thứ 100 dãy (4) bằng:

1 100+ =10001

BÀI TẬP

219(2). Tìm chữ số thứ 1000 viết liên tiếp liền số hạng dãy

số lẻ 1, 3, 5, 7, …

220(2). a) Tính tổng số lẻ có hai chữ số

b) Tính tổng số chẵn có hai chữ số

221(2). Có số hạng dãy sau có tận hay khơng?

1; 2; 2+ + +3; 2+ + + …3 4;

222(2). a) Viết liên tiếp số hạng dãy số tự nhiên từ đến 100 tạo

thành số A Tính tổng chữ số A

223(5). Khi phân tích thừa số nguyên tố, số 1000! chứa thừa số nguyên tố với sốmũ bao nhiêu?

224(5). Tích A= 1.2.3….500 tận chữ số ?

225(5). a) Tích B= 38.39.40… 74 có thừa số phân tích

thừa số nguyên tố?

b) Tích C = 31.32.33… 90 có thừa số phân tích thừa số

nguyên tố?

226(5).Có số tự nhiên đơng thời số hạng cảhai dãy sau:

3, 7, 11, 15, …, 407 (1) 2, 9, 16, 23, …, 709 (2)

227(3). Trong dãy số1, 2, 3, …, 1990, chọn nhiều

sốđể tổng hai sốbất kì chọn chia hết cho 38?

228(2)*. Chia dãy số tự nhiên kể từ thành nhóm (các số đặt dấu ngoặc)

( ) (1 , 2, , 4, 5, , 7, 8, 9, 10 , 11, 12, 13, 14, 15 , ) ( ) ( ) ( ) …

a) Tìm số hạng nhóm thứ100

b) Tính tổng số hạng thuộc nhóm thứ 100

229(2). Cho 1 2,

S = +

2 5,

S = + +

3 9,

S = + + +

4 10 11 12 13 14,

S = + + + +

Tính S100

b) 1.4, 4.7, 7.10,

231(2). Cho 20 21

1 3 , B :

A= + + + + + =

Tính B−A

232(2). Cho 20 100

1 4 , B

A= + + + + + =

Chứng minh

3

B A<

233(2). Tính giá trị biểu thức:

a) A= + 99 + 999 + 99 … 9���

50 chữ số

a) A= + 99 + 999 + 99 … 9���

200 chữ số ĐẾM SỐ

Ví dụ 43(2).Có số abcd mà ab<cd?

Giải:Xét trường hợp:

Nếu ab=10 cd có thểbằng: 11,12, ,99 có 89 số

Nếu ab=11 cd có thểbằng: 12,13, ,99 có 88 số

………

Nếu ab=97 cd có thểbằng: 98,99 có số

Nếu ab=98 cd bằng: 99 có số

Vậy có tất cả: 89+ + + + =4005 (số)

Chứ số a có cách chọn (1, 2,3, ,9)

Với cách chọn a, chữ số b có 10 cách chọn (0,1, 2, 9)

Với cách chọn ab, chữ số c có cách chọn (1,3,5,7,9) để tạo với chữ số

2 tận làm thành số chia hết cho

Tất có: 9.10.5=450 (số)

Cách 2. (dùng cách lập dãy cộng) Số thỏa mãn đề nhỏ 1012, lớn

nhất là9992, cách 20số lại có số Tất số phải đếm lập thành dãy:

1012,1032,1052,1072,1092, 2012, ,9992 gồm (9992 1012 : 20 450− ) + = (số)

Nhận xét: Qua ví dụ ta thấy: Nếu việc chọn đối tượng A thực cách với cách chọn A chọn đối tượng B n cách

thì việc chọn Avà B theo thứ tự thực m n cách chọn

Ví dụ 45(2). Có số tự nhiên có bốn chữ số abcd,

1; 1?

b− =a d− =c

Giải: Chữ số a có cách chọn (1, 2, ,8) , chữ số b có cách chọn (b= +a 1)

, chữ số ccó cách chọn (0,1, ,8) , chữ số d có cách chọn (d = +c 1)

Tất cảcó:8.1.9.1 72= (số)

Ví dụ 46(2). Có số tự nhiên có ba chữ số có chữ số 5?

Giải: Chia ba loại số:

a) Số phải đếm có dạng 5ab: Chữ số a có cách chọn (từ 0đến

khác 5), chữ số b có cách chọn Các số thuộc lại có: 9.9=81 (số)

b) Số phải đếm có a b5 : Chữ số a có cách chọn (từ đến khác

), chữ số b có cách chọn (0 đến khác 5) Các số thuộc loại có: 8.9=72 (số)

chú ý ba dạng bao gồm tất số phải đếm ba dạng

phân biệt nên sốlượng số tự nhiên có ba chữ sốtrong có chữ số

5 là:

81 72 72+ + =225

Chú ý: Trong nhiều trường hợp, để đếm số có tính chất đó, ta lại

đếm trước hết số khơng có tính chất Xét ví dụsau:

Ví dụ 47(2)*. Có số chứa chữ số số tự

nhiên

a) có ba chữ số b) từ 1đến 999

Giải: a) Ta đếm số tự nhiên có ba chữ số bớt số ba chữ số khơng chưa số

Sốcó ba chữ sốlà: 100,101, ,999, có 900 số (1) Trong số trên, số khơng

chứa số1 có dạng abc , a có cách chọn (từ đến 9), b có cách

chọn trên, có: 8.9.9=648 (số) (2)

Vậy sốlượng số phải đếm là: 900 648− =252 (số)

b) Ta thêm chữ số vào dãy 1, 2, ,999 thành dãy 000, 001, ,999 để

đếm sốđược dễ dàng

Trước hết ta đếm số không chưa chữ số dãy này: số có

dạng abc chữ số a b c, , có cách chọn (từ0 đến khác

1), tất cảcó: 9.9.9=729 (số) Vậy số lượng số từ đến khơng chứa chữ số1

có: 729 728− = (số)

Sốlượng số từ 1đến 999có chứa chữ số1 là: 999 728− =271 (số)

Ví dụ48(2)*. Viết 999 số tự nhiên liên tiếp kể từ Hỏi:

a) Chữ số có mặt lần? b) Chữ số có mặt lần?

Giải: a) Cách 1: Ta thêm số vào để số(việc khơng ảnh hưởng

đến sốlượng chữ số phải đếm) Ởtrăm thứ (từ đến 99 ), chữ số có

10 lần hàng đơn vị (thuộc số 2,12, 22, ,92) có 10 lần hành chục (thuộc số

20, 21, , 29 ) nên có 20 lần Ở trăm khác vậy, riên trăm thứ ba (từ 200

đến 299) có thêm 100 chữ số hàng trăm Vậy chữ số có mặt:

20.10 100+ =300 (lần)

Trong cách này, ta đếm chữ số trăm, trăm lại đếm tùng

hàng đơn vị, tức “ bổ ngang” trước “bổ dọc” Cách 2.(“bổ dọc” trước “ bổ ngang”)

Chữ số có hàng đơn vị số: 2,12, ,992 , gồm (992 :10 100− ) + =

(lần)

Chữ số có hàng chục số: 20, 21, , 29;120,121, ,129; ;920,921, ,929 gồm 10.10 100= (lần)

Chữ số có hàng trăm số: 200, 201, , 299 gồm 100 lần

Vậy chữ số có tất 300 lần

Cách 3. Bổ sung thêm số vào để dãy: 000, 001, ,999 , số

lượng chữ số khơng thay đổi Ta có 1000 số, gồm 3000 chữ số, số lượng

mỗi chữ số từ 0đến 9đều Do chữ số có mặt: 3000 :10=300

(lần)

b) Nếu xét dãy 000, 001, ,999 số0 có mặt 300 lần Sau ta bớt

số chữ số viết thêm vào hàng trăm 100 lần(thuộc số từ 000 đến 099),

ở hàng trục 10 lần(thuốc số 000) Vậy sốlượng chữ số là: 300 111 189− =

BÀI TẬP

234 (2). Bạn Tâm đánh số trang có 110 trang cách viết

dãy số tự nhiên1, 2, 3,…, 110 Bạn Tâm phải viết tất cảbao nhiêu chữ số?

235 (2). Một cô nhân viên đánh máy liên tục dãy số chẵn

2 : 2, 4, 6, 8, 10, 12 …

Cơ phải đánh tất 2000 chữ số Tìm chữ số cuối mà cô đánh

236 (2). Bạn Mai viết dãy số lẻ 1, 3, 5, …, 245

b) Nếu chữ số viết giây viết đến số 245

giây? Sau phút, bạn Mai viết đến chữ số nào?

237 (2). Bạn Hùng viết dãy số lẻ 1, 3, 5, 7, … để đánh số trang

sách Tính xem chữ số thứ200 mà bạn Hùng viết chữ số nào?

238 (2). Để đánh số trang sách, người ta viết dãy số tự nhiên

bắt đầu từ phải dùng tất 1998 chữ số

a) Hỏi sách có trang?

b) Chữ số thứ 1010 chữ số nào?

239 (2).Có số tự nhiên chia hết cho 3, có bốn chữ số tận

bằng ?

240 (2). Tuấn muốn đến nhà bạn, không nhớ số nhà, chỉbiết số

nhà bạn số chia hết cho có hai chữ số Biết số nhà cuối dãy phốđó

là 135 ? Hỏi Tuấn phải gõ cửa nhiều số nhà? (các số nhà không

đánh số a b, , )

241 (2). Tìm sốlượng số tự nhiên có bốn chữ sốmà:

a) Số tạo hai chữ sốđầu (theo thứ tự ấy) cộng với số tạo hai chữ số

cuối (theo thứ tự ấy) nhỏhơn 100

b) Số tạo hai chữ sốđầu (theo thứ tự ấy) lớn số tạo hai chữ số

cuối (theo thứ tự ấy)?

242 (4). Trong số tự nhiên từ đến 252, xoá số chia hết cho 2nhưng

khơng chia hết cho 5, xố số chia hết cho không chia hết cho Cịn lại số?

243 (2).Có số tự nhiên có ba chữ sốmà:

a) Các chữ sốđều chẵn?

b) Chữ số hàng chục chữ số lẻ?

244 (4).Có số tự nhiên có bốn chữ sốtrong đó:

245 (2). Có biển số xe máy khác nhau, số xe lập hai chữ đứng đầu ba chữ số đứng sau? (bảng chữ có 25 chữ, khơng có biển số

000)

246 (2). Trong số tựnhiên có ba chữ số, có số:

a) Chứa chữ số 4?

b) Chứa hai chữ số 4?

247 (4).Có số tự nhiên chia hết cho 5, có bốn chữ số, có

chữ số 5?

248 (4).Có số tự nhiên có ba chữ số, biết cộng với số gồm

ba chữ sốấy viết theo thứ tựngược lại số chia hết cho 5?

249 (2).Có số chẵn có ba chữ số, chữ số khác nhau?

250 (2).Có số tựnhiên có ba chữ sốtrong có hai chữ số nhau?

251 (2). Trong số tự nhiên có bốn chữ số, có số có ba chữ sốnhư nhau?

252 (2). Trong số tựnhiên có ba chữ số, có số:

a) Chia hết cho , có chứa chữ số 5?

b) Chia hết cho , có chứa chữ số 4?

c) Chia hết cho , không chứa chữ số 3?

253 (2). Viết liên tiếp số tự nhiên từ 1đến 999 ta số tự nhiên A

a) Số A có chữ số?

b) Tính tổng chữ số số A 254 (2)*. Viết dãy số tự nhiên từ đến 999

a) Chữ số1 viết lần?

b) Chữ số viết lần?

256 (2)*. Trong số tự nhiên từ đến 10000;

a) Có số chứa chữ số ?

b) Số chứa chữ số hay số khơng chứa chữ số có nhiều hơn?

257 (2). Viết dãy số chẵn100, 200, …, 390 Hỏi chữ số viết

lần?

258 (4). Từ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, lập tất số tự nhiên có bảy chữ số

trong chữ sốtrên có mặt Chứng minh tổng tất sốđó chia

hết cho

259 (2).Cho ba chữ số a b c, , khác khác Gọi A tập hợp số tự nhiên có ba chữ số lập cảba chữ số

a) Tập hợp A có phần tử?

b) Tính tổng phần tử tập hợp A, biết rằnga + b + c = 17

260 (2). Từ chữ số 1, 2, 3, lập tất số tự nhiên mà chữ số

đều có mặt lần Tìm tổng sốấy

261 (2). Tìm tổng số tự nhiên có ba chữ số lập chữ số 2, 3, 0,

trong :

a) Các chữ số giống nhau; b) Các chữ số khác

SƠ LƯỢC VỀ TẬP HỢP I – Tập hợp phân tử tập hợp:

Ví dụ49 (4). Có số tự nhiên từ 10 đến 24 chia hết cho

trong hai số 2và3 ?

Giải: Trong số tự nhiên từ đến :

0

Các số tự nhiên chia hết cho là: 10,12,14, , 24 gồm: (24 12 : 8− ) + = (số)

Các số chia hết cho là:12,15,18, 21, 24 gồm số

Có số có mặt ởhai dãy trên, bội 6;12,18, 24 gồm số

Vậy có 10+ − = (số) chia hết cho hai số Để minh họa ví dụ 49 , hình 4, ta

vẽ vịng trịn đóA chứa

số chia hết cho 2,B chứa số chia hết cho

3,E chứa số tự nhiên từ 10 đến 24 Như

vậy miền gạch sọc chứa số chia hết hết cho số Các số

không chia hết cho không chia hết cho

3 thuộc miền để trắng, Sự minh họa

giúp ta hiểu rõ toán hơn, thấy rõ quan hệ

giữa tập hợp số chia hết cho 2, chia hết

cho phạm vi từ 10

Hình

Tập hợp khái niệm khơng định nghĩa

Ví dụ : Tập hợp số tự nhiên nhỏ 10, tập hợp học sinh

lớp, tập hợp chữ dòng, tập hợp chữ dòng, tập hợp điểm nằm hai điểm A B

Một đối dượng (người, vật, số, hình,…) tập hợp phần tử

của tập hợp

Để minh họa tập hợp, người ta vẽ đường cong kín không tự cắt, phần tử tập hợp biểu diễn điểm bên đường (xem hình 4) Sơ đồ mang tên nhà toán học Anh Ven (1834-1923),

người đưa cách biểu tập hợp

Để thuận tiện, ta chấp nhận trường hợp tập hợp khơng chứa phần tử cả, tập hợp gọi tập hợp rỗng kí hiệu ∅ Ví dụ: tập

3

, ,

A B E

3

24

E

A B

22 20 16 14

10

24 12 18

21

19 15

Trên hình , ta thấy phần tử tập hợp A phần tử tập hợp E, phần tử tập hợp B phần tử tập hợp E Ta nói A

tập hợp E B, tập tập hợp E , kí hiệu A⊂E B, ⊂E

Ví dụ: Tập hợp số lẻ tập hợp tập hợp số tự nhiên

Ta quy ước tập hợp rỗng tập hợp tập hợp Đương

nhiên, tập hợp tập hợp tập hợp

Ví dụ50 (1). Cho tập hợp: A={a, b, c, d, e}

a) Viết tập hợp có phần tử

b) Viết tập hợp A có hai phần tử

c) Có tập hợp A có ba phần tử?

d) Có tập hợp A có bốn phần tử? e) Tập hợp A có tập hợp con?

Giải: a) Các tập hợp A có phần tửlà: { } { } { } { } { }a , b , c , d , e

b) Các tập hợp A có hai phần tửlà: { } { } { } { } { }a,b , a c, , a d, , a e, , b c, ,

{ } { } { } { } { }b d, , b e, , c d, , c e, , d e,

c) Ta có nhận xét: Có tập hợp A có hai phần tửthì có

nhiêu tập hợp A có ba phần tử việc lấy đi hai phần tử A ứng với

việc để lại ba phần tử A.Chẳng hạn:

Tập hợp { }a b, ứng với tập hợp {c d e, , }

Có 10 tập hợp A có hai phần tử Do có 10 tập hợp

A có ba phần tử

d) Có tập hợp A có hai phần tử Do đó, với nhận xét tương tự ởcâu c, có tập hợp A có bốn phần tử

e) Các tập hợp bao gồm:

- Tập hợp rỗng (khơng có phần tử nào); - Các tập hợp có phần tử: tập hợp;

- Các tập hợp có hai phần tử: 10 tập hợp;

- Các tập hợp có ba phần tử: 10 tập hợp;

- Các tập hợp có bốn phần tử: tập hợp;

- Chính tập hợp A (có năm phần tử)

Vậy số tập hợp A là:

1 10 10 32.+ + + + + =

Chú ý: Người ta chứng minh rằng: Nếu tập hợp có n phần tử

số tập hợp 2n

II – Các phép toán tập hợp:

Xét tập hợp A, B, E ởhình 4, ta có:

{ }

A = 10; 12; 14; 16; 18; 20; 22; 24

{ }

B = 12; 15; 18; 21; 24

{ }

C = 10; 11; 12; ; 23; 24

Các số chia hết cho số thuộc miền gạch sọc

chấm chấm Đó hợp A vàB, kí hiệu A∪B Ta có:

A∪ =B {10; 12; 14; 15; 16; 18; 20; 21; 22; 24}

Hợp hai tập hợp gồm phần tử thuộc hai tập hợp

đó

x A∈ ∪ ⇔ ∈B x A hc x B∈

Các số vừa chia hết cho 2, vừa chia hết cho thuộc miền chấm chấm Đó

giao hai tập hợp A B, kí hiệu A∩B Ta có A∩ =B {12,18, 24 } Giao

hai tập hợp tập hợp gồm phần tử chung hai tập hợp

∈ ∩ ⇔ ∈ ∈

Ta thấy số phân tử A m , số phân tử B n, số phân tử

A∩B p số phân tử A∪B làm + – n p Trường hợp A∩ = ∅B số

phân tử A∪B m .+ n

Ví dụ 51(7). Gọi A tập hợp số tự nhiên khác0 , nhỏ hơn30, chia hết

cho3;

B tập hợp số tự nhiên khác0, nhỏhơn30, chia hết cho 9;

C tập hợp số tự nhiên khác , nhỏhơn 30, chia hết cho

a) Tìm phần tử B∪C, A∩C, B∩C

b) Hãy xác định tập hợp A∪B, A∩B

c) Trong ba tập hợp A B C, , tập hợp tập hợp hai

tập hợp lại?

Giải: a) A={3;6;9;12;15;18; 21; 24; 27 ,}

{9;18; 27 ,}

=

B

{5;10;15; 20; 25 }

=

C

{5;9;10;15;18; 20; 25; 27 ,}

∪ =

B C

{ }15 ,

∩ = ∩ = ∅

A C B C

b) A∪ =B A A, ∩ =B B

c) B⊂ A

Ví dụ 52(7). Có số tự nhiên có hai chữ số, khơng chia hết cho số

nào hai số và5 ? Tìm tổng chúng

Hình

a) Gọi A tập hợp số tự nhiên chia hết cho

3 có hai chữ số,

B tập hợp số tự nhiên chia hết cho

5 có hai chữ số,

E tập hợp số tự nhiên có hai chữ

số

Các số tự nhiên có hai chữ số 10, 11, …, 99

gồm 90 số (số phần tử củaE )

Trong có 30 số chia hết cho (số phân tử

củaA ),

18 số chia hết cho (số phân tử

củaB ),

số chia hết cho đồng thời

và (số phần tử A∩B)

Các số chia hết cho hai số gồm:

30 18 6+ − =42(số) (số phần tử A∪B)

b) Tổng số tự nhiên có hai chữ số khơng chia hết cho số hai số

3 S S= −1 (S2+ −S3 S ,4) đó:

1

S tổng số có hai chữ số (tổng số thuộc E),

2

S tổng số chia hết cho có hai chữ số (tổng số thuộc A),

3

S tổng số chia hết cho có hai chữ số (tổng số thuộc B),

4

S tổng số chia hết cho đồng thời có hai chữ số (tổng số

thuộc A∩B)

Ta có: ( ) ( )

10 99 90 12 99 30

4905, 1665

2

+ +

= = = =

S S

( ) ( )

3

10 95 18 15 90

945, 315

2

+ +

= = = =

S S

Do đó: = −( + − )=

B

Ta có : ( ) ( )

10 99 90 12 99 30

4905, 1665,

2

S = + = S = + =

( ) ( )

3

10 95 18 10 99 90

945, 315

2

S = + = S = + =

Do đó:S =4905−(1665 945 315+ − )=2610

III Hai tập hợp nhau

Nếu A tập hợp B B tập A hai tập hợp A B

bằng nhau, kí hiệu: A=B

Ví dụ: tập hợp số chẵn chia hết cho 5, B tập hợp số có tận

cùng A={a b c, , },B={b a c, , }

Như vậy, để chứng tỏ A=B ta chứng minh: Với x thuộc A x

thuộc với c thuộc x thuộc

Ví dụ53(7). Cho a b hai số tự nhiên tập hợp ước chung a

và b, tập hợp ước chung 7a+5b và4a+3b Chứng minh rằng:

a) A=B

b) ( ) (a b, = 7a+5 , 4b a+3b)

Giải: a) Bước 1: Gọi d ÖC a b∈ ( , ) , ta chứng minh (7 , a )

∈ + +

d ÖC a b b

Thật vậy, a b chia hết cho d nên (7a+5b)chia hết cho d, (4a+3b) chia

hết cho d

Bước 2: Gọi d′∈ÖC a(7 +5 , 4b a+3b) Ta chứng minh d ÖC a b′∈ ( , )

Thật vậy, 7a+5bvà 4a+3b chia hết cho d′ nên khử b, ta được:

( ) ( )

3 7a+5b −5 4a+3b chia hết cho d′, tức a chia hết cho d′

Khử a, ta được: 4( a+3b) (−4 7a+5b)chia hết cho d′, tức b chia hết cho d′

Vậy d ÖC a b′∈ ( , )

Bước 3: Kết luận

A

B B A

b) Ta có A=B, nên số lớn thuộc số lớn thuộc , tức

( ) (a b, = 7a+5 ,b 4a+3b)

BÀI TẬP

262 (5). Các tập hợp sau cho cách rõ tính chất đặc trưng phần tử Hãy viết tập hợp cách liệt kê phần tử nó:

a) A={x∈ ; số nguyên tố nhỏhơn 10} ;

b) B= ∈{x ; số có hai chữ số, chữ số hàng chục gấp ba chữ sốhàng đơn

vị };

c) C={x∈ ; x ước 10} ;

263 (5). Hãy viết tập hợp sau cách rõ tính chất đặc trưng phần tử thuộc tập hợp đó:

a) A={1; 4;9;16; 25;36; 49};

b) B={1; 7;13;19; 25;31;37};

c) C={2; 6;12; 20;30}

264 (1). Cho tập hợp:

{ }

{ }

1; 2;3; ; 3; 4;5

= =

A B

Viết tập hợp vừa tập hợp A , vừa tập hợpB

265 (1). Cho A={a b c, , } Tìm tất tập hợp củaA

266 (1). Ta gọi A tập hợp thực B A B⊂ A B≠ Hãy viết tập hợp thực tập hợp B={1; 2;3}

267 (1). Cho tập hợp A={1; 2;3; 4}

a) Viết tập hợp A mà phần tử số chẵn

b) Viết tập hợp A

268(1). Chứng minh A B B D⊂ , ⊂ A D⊂

a) Chia hết cho mà không chia hết cho 3?

b) Chia hết cho môt hai số 3? c) Không chia hết cho không chia hết cho 3?

270(7). Trong số tự nhiên từ1 đến 1000, có số:

a) Chia hết cho số 2, 3, 5?

b) Không chia hết cho tất số tự nhiên từ đến 5?

271(7). Kết điều tra lớp học cho thấy: có 20 học sinh thích bóng đá, 17 học sinh thích bơi, 36 học sinh thích bóng chuyền, 14 học sinh thích bóng đá bơi, 13 học sinh thích bơi bóng chuyền, 15 học sinh thích bóng đá bóng chuyền, 10 học sinh thích ba mơn, 12 học sinh khơng thích mơn Tính xem lớp học có học sinh?

272(7). Trong 100 học sinh có 75 học sinh thích tốn, 60 học sinh thích văn

a) Nếu có học sinh khơng thích cảtốn văn Hỏi có học sinh thích cảhai mơn Văn Tốn

b) Có nhiều học sinh thích cảhai mơn Tốn Văn?

c) Có học sinh thích cảhai mơn Văn Tốn?

273(7). Tổng kết đợt thi đua “100 điểm 10 dâng tặng thầy cô”, lớp 6A có 43

bạn từ điểm 10 trởlên, 39 bạn từ2 điểm 10 trở lên, 14 bạn từ

điểm 10 trởlên, bạn điểm 10, khơng có điểm 10 Tính xem

trong đợt thi đua đó, lớp 6A có điểm 10?

274(1). Tìm tập hợp tập hợp sau:

a) A={9;5;3;1; ;}

b) B tập số tự nhiên x mà x=0;

c) C tập số lẻ nhỏhơn 10;

d)D tập hợp số tự nhiên x mà x: 0=

275(1). Cho tập hợp:

A tập hợp hình chữ nhật có chiều dài 18m, chiều rộng 10m B tập hợp hình chữ nhật có chu vi 56m

a) Trong tập hợp trên, có tập hợp tập hợp tập hợp khác?

b) Trong tập hợp trên, có hai tập hợp nhau?

276(5). Gọi A tập hợp số tự nhiên có ba chữ số chữ số hàng

chục tổng chữ sốhàng trăm chữ sốhàng đơn vị, B tập hợp số

chia hết cho 11 có ba chữ số Hai tập hợp A B có khơng? 277(7). Cho a b, ∈N Chứng minh rằng:

a) ( ) (a b, = a a b, + )

b) ( ) (a b, = 5a+2 ; 7b a+3b)

c) ( ), ;

2

a b a b = a + 

  với a,b số lẻ

278(7)*. Cho a,b,c số lẻ Chứng minh rằng:

( , , ) , ,

2 2

a b b c c a a b c =  + + + 

 

TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG CỦA MỘT LŨY THỪA

I Tìm chữ số tận cùng

Ví dụ54(2). Chứng minh rằng: 102 102

8 −2 chia hết cho 10

Giải: Ta thấy số có tận nâng lên lũy thừa (khác 0)

tận (vì nhân hai số có tận với nhau, ta số có tận

cùng 6) Do ta biến đổi sau:

( ) ( )

( )

25 25

102

25

102 25

8 8 64 ( 6).64 4; 2 16 ( 6).4

= = = =

= = = =

Vậy 8102−2102 có chữ số tận nên chia hết cho 10

Nhận xét:Để tìm chữ số tận lũy thừa ta làm sau:

- Các số có tận 0; 1; 5; nâng lên lũy thừa (khác 0) tận

cùng 0; 1; 5;

- Các số có tận 3, 5, nâng lên lũy thừa số có tận

bằng

II Tìm hai chữ số tận cùng

Ví dụ55(2). Tìm hai số tận 100

2

Giải: Chú ý rằng: 10

2 =1024, bình phương số có tận 24 tận

cùng 76, số có tận 76 nâng lên lũy thừa (khác 0) tận

cùng 76 Do đó:

( )10 ( )5 ( )5

100 10 10

2 = =1024 = 1024 = 76 = 76

Vậy hai chữ số tận 100

2 76

Ví dụ56(2). Tìm hai chữ số tận 1991

7

Giải: Ta thấy:

7 =2401, số có tận 01 nâng lên lũy thừa

tận 01 Do đó: 1991 1988 3 ( )4 497 ( )497 ( )

7 =7 = 343= 01 343= 01 343 43.=

Vậy 71991 có hai chữ số tận cung 43

Nhận xét: Để tìm hai chữ số tận lũy thừa, cần ý đến

những sốđặc biệt:

- Các số có tận 01, 25, 76 nâng lên lũy thừa (khác 0)

tận 01, 25, 76;

- Các số 320 (hoặc 2

81 ); ;51 ;99 có tận 01;

- Các số 20 4

2 ; ;18 ; 24 ; 68 ; 74 có tận 76; - Số 26n(n>1) có tận 76

III Tìm ba chữ số tận trở lên

Cần ý số có tận 001, 376, 625 nâng lên lũy thừa

(khác 0) có tận 001, 376, 625 Số có tận 0625 nâng lên

lũy thừa (khác 0) tận 0625

Ví dụ57(20) Tìm bốn chữ số tận 1992

5

Giải: 1992 ( )4 498 ( )498

Trên tốn tìm chữ số tận lũy thừa giải

phương pháp số học lớp Vấn đề nghiên cứu đầy đủhơn dùng đẳng thức học lớp

BÀI TẬP

279(4). Chứng tỏ ( 21)

17 +24 −13 10

280(4). Chứng tỏ với số tự nhiên n:

a)

7 n−1 chia hết cho 5;

b) 34n+1+2 chia hết cho 5;

c)

2 n+ +3 chia hết cho 5;

d)

2 n+ +1 chia hết cho 5;

e) 92n+1+1 chia hết cho 10

281(4). Tìm số tự nhiên n để n10+1 chia hết cho 10

282(4). Có tồn số tự nhiên n để n2+ +n chia hết cho hay không?

283(2)*. Cho số tự nhiên n Chứng minh rằng:

a) Nếu n tận chữ số chẵn n 6n có chữ số tận

như

b) Nếu n tận số lẻ khác

n tận Nếu n

tận chữ số chẵn khác n4 tận c) Số

n n có chữ số tận

284(2). Trong số tự nhiên từ đến 1000, có số có tận

bằng mà viết dạng 8m+5n(m n, ∈N)? 286(2). Tìm hai chữ số tận của:

a) 51

51 ; b) 999999; c) 666

6 ; d) 14 ;101 e) 16 ;101

287(5). Tìm 20 chữ số tận 100! HỆ GHI SỐ VỚI CƠ SỐ TÙY Ý

1 Thế hệ ghi số số k?

Trong hệ ghi sốcơ số k , người ta dùng k kí hiệu để ghi số k đơn vị

trong hàng làm thành đơn vịở hàng liền trước

Số a an n−1 a a a2 hệ ghi số số k, kí hiệu a an n−1 a a a2 0( )k , hệ thập

phân có giá trịbằng

1

ankn+an− kn− + a k +a k+a

2 Đổi số viết hệ ghi số k thành số viết hệ thập phân ngược

lại

Ví dụ58(2).Đổi số 1203( )5 thành số viết hệ thập phân

Giải: Cách 1: ( )

1203 =1 5. +2 5. +0 178. + = Nhận xét: Ta thấy

1 5. +2 5. +0 3. +

( ) ( )

1 5. 5. 3. 5. 5. 3.

= + + + = + +  +

Do giải sau:

Cách 2: Lấy chữ số hàng cao nhân với 5, cộng với chữ số bên

phải nhân với 5, tiếp tục phép cộng với chữ số hàng đơn

vị, ta kết quả:

( )5 ( )

1203 = 1.5+2 5+0 3 +

Ví dụ 59(2). Đổi số 178 hệ thập phân thành số viết hệ ghi số

số

Nhận xét: Chia 178 thành nhóm, nhóm đơn vị, 35 nhóm,

cịn lại dư Chia 35 thành nhóm, nhóm đơn vị, nhóm, dư lại Lại chia thành nhóm đơn vị, nhóm nhóm, dư Số khơng chia

thành nhóm đơn vị Do số 1, 2, 0, (là thương cuối số dư, kể từ số dư cuối trở lên) chữ số từ hàng cao đến hàng thấp số

178 hệ ghi sốcơ số

Vậy: 178 1203= ( )5

Tổng quát, muốn đổi số viết hệ thập phân thành số viết hệ

ghi số số k, ta lấy sốđó chia cho k, lấy thương chia cho k, , tiếp tục thương nhỏhơn k Thương cuối chữ số từ hàng cao đến hàng thấp số phải tìm

3 Các phép tính hệ ghi số số k

Trong hệghi số k, phép tính thực tương tự

hệ thập phân, cần lưu ý rằng:

- Trong phép cộng, kết quảđược k viết nhớ

- Trong phép trừ, đơn vị hàng cao đổi thành k đơn vị hàng thấp tiếp

theo

Ví dụ60(2). Thực phép tính sau hệ ghi số

( )8 ( )8 ( )8 ( )8 ( )8 ( )8 ( )8 ( )8

5435 +3252 ; 1245 −316 ; 214 32 ; 356 :13

Giải: (Trong lời giải này, sốđều viết hệ ghi số8):

II Hệghi số

1 Thế hệ ghi số 2?

Một hai hệ ghi số đáng ý hệ ghi số sô (hoặc hệ nhị phân) Trong hệ ghi số người ta dùng hai kí hiệu để ghi số 1, hai

hàng đơn vị

hàng cao 35 178

2

7

7 25 13 x

7 4

4 3 2

-7 -7 + 10 3

Giá trị số1011( )2 hệ thập phân là: ( )

3

2

1011 =1.2 +0.2 +1.2 11.+ =

Ví dụ 61(2). An có 15 viên bi đựng bốn hộp Muốn lấy số bi,

An cần lấy số hộp có số bi định lấy, không thừa không thiếu viên Hỏi hộp đựng viên bi?

Giải: Bốn hàng từ thấp lên cao hệ nhị phân hàng 1, hàng 2, hàng 4, hàng Mọi số từ đến 15 hệ thập phân viết hệ nhị phân có

khơng q bốn chữ số, ví dụ: 15 1111 , 14 1110 , 13 1101= ( )2 = ( )2 = ( )2 ,

Như vậy, bốn hộp An theo thứ tự đựng 1, 2, 4, viên bi thỏa mãn yêu cầu toán Chẳng hạn muốn lấy 14 viên bi An chọn hộp chứa 8, 4, viên bi, muốn lấy 13 viên bi An chọn hộp chứa 8, 4, viên bi

2.Các phép tính hệ nhị phân

Các quy tắc cộng nhân hệ nhị phân đơn giản:

0 0+ =0; 1;+ = 1;+ = 1 10;+ = 0.0=0; 0.1 0;= 1.0=0; 1.1 1.=

Rõ ràng ta không cần thuộc “bảng cửu chương” làm tính hệ thập phân

Ví dụ 62 (2) Thực phép tính sau hệ nhịphân: ( )2 ( )2

1010 +110 ; 1001( )2 −110 ;( )2 1011 101 ;( )2 ( )2 1010( )2 :11 ( )2

3 Hệ nhị phân máy tính điện tử

Đối với chúng ta, thực phép tính hệ nhị phân nhiều thời gian, quy tắc tính tốn lại đơn giản Hơn nữa, hệ ghi số

dùng hai kí hiệu (là 1) cho tương ứng với hai trạng thái khác

của dòng điện (là “khơng” “có”) Do hệ nhịphân sử dụng máy

tính điện tử: kí hiệu gọi bit (viết tắt binary digit:

chữ số nhị phân)

Trong hệ nhị phân, sốbất kì viết dạng dãy kí hiệu

và 0, cịn máy tính điện tử sốđó thể tổ hợp tín hiệu

Ởmáy tính điện tử, phép cộng ta đặt thêm dòng nhớ, phép nhân ta cần dịch hàng sốbị nhân tích riêng, cơng việc

đó máy tính điện tử hoàn toàn tựđộng

Tuy bên trong, máy tính điện tử làm việc với hệ nhịphân số

viết dạng nhị phân dài nên người ta dùng hệ ghi số số (hệ

Octal) hệ ghi số số 16 (hệ Hexa): chữ hệ số Octal tương đương

với cụm ba chữ số nhịphân (3 bit), chữ số hệ Hexa tương đương

với cụm bốn chữ số nhị phân (4 bit) Một số chữ số nhịphân gọi

một bai (byte) Các loại máy tính điện tử thường làm việc với

bai, có lại với bai BÀI TẬP

288 (2).Đổi số sau thành số viết hệ thập phân:

a) 206 ;( )7 b) 32075 ( )8

289 (2).Đổi số:

a) 141 hệ thập phân thành số viết hệ ghi sốcơ số 4;

b) 19 hệ thập phân thành số viết hệ nhị phân

290 (2). a) Đổi số 12221( )3 thành số viết hệ ghi sốcơ số mà không đổi qua hệ thập phân

b) Đổi số 758( )9 thành số viết hệ ghi số số mà không đổi qua hệ thập phân

291 (2). Trong hệ ghi sốcơ số k ta có:

a) 2( ) ( )k k =11 ?( )k b) 12 5( ) ( )k k =62( )k ?

c) 21 2( ) ( )k k =112( )k ? d) 11 11( )k ( )k =121 ?( )k

292 (2). Trong hệ ghi sốcơ số k thì:

a) 15( )k chia hết cho 4( )k ? b) 75( )k chia hết cho 7( )k ?

a) 144( )5 +330 ;( )5 b) 1024( )5 −132 ;( )5

c) 124 32 ;( )5 ( )5 d) 211 :13 ( )5 ( )5

294 (2). Thực phép tính sau hệ nhịphân:

a) 1011( )2 +110 ;( )2 b) 1100( )2 −101 ;( )2

c) 110 11 ;( )2 ( )2 d) 1001 :11 ( )2 ( )2

295 (2).Người ta thả sốbèo vào ao sau ngày bèo phủ kín mặt ao

Biết sau ngày diện tích bèo phủtăng gấp đơi Hỏi:

a) Sau ngày, bèo phủđược nửa ao?

b) Sau ngày thứ nhất, bèo phủđược phần ao?

296 (2).Linh thích chơi tem có sau gói tem, gói theo thứ tự có 1, 2, 4, 8, 16,32 tem Hãy chứng tỏ bạn muốn mượn Linh

một số tem từ đến 63 Linh cần lấy số gói có số tem yêu

cầu (mà không cần mở gói ra)

297 (2). Có thể dùng cân đĩa có hai đĩa cân với năm cân, cân để đĩa cân, để cân tất vật có khối lượng số tự nhiên từ kg

đến 30 kg khơng?

298 (2).Đố vui: Đốn tháng sinh

Bạn Tú viết lên bảng bốn dòng “Tháng Tươi vui”: 8, 9, 10, 11,12

“Tháng Bền bỉ”: 4, 5, 6, 7,12

“Tháng Hoạt bát”: 2, 3, 6, 7, 10,11

“Tháng Mạnh mẽ”: 1, 3, 5, 7, 9,11

Một bạn cho biết sinh vào tháng Bền bỉ Hoạt bát, Tú khơng nhìn bảng mà đốn bạn sinh vào tháng 6, Tú làm nào?

299 (2). Cho 2 30

1 2

300 (2). Theo truyền thuyết, người phát minh bàn cờ 64 ô nhà vua

Ấn Độthưởng cho phần thưởng tùy ý Ơng xin vua thưởng cho mình:

1 hạt thóc cho thứ nhất, hạt thóc cho thứ hai, hạt thóc cho thứba,

8 hạt thóc cho thứtư,

và tiếp tục vậy, số hạt thóc ô gấp đôi số hạt thóc ởô trước, cho

đến ô cuối

Yêu cầu tưởng đơn giản, kho thóc nhà vua khơng

đủđểthưởng Tính số hạt thóc mà người phát minh bàn cờ yêu cầu

301 (2).Đố vui: Giá tiền ngựa

Một lái bn hí hửng mua ngựa với giá rẻ “chỉbằng tiền đinh đóng

móng ngựa”: chân ngựa có đinh, đinh thứ có giá xu (1 đồng

bằng 100 xu), đinh thứ hai giá xu, đinh thứ ba giá xu, đinh

thứtư giá xu, vậy: giá đinh sau gấp đôi giá đinh trước

Hãy tính giá tiền ngựa theo giao ước

MỘT SỐ VẤN ĐỀ LỊCH SỬ VỀ SỐ NGUYÊN TỐ

Số nguyên tố nghiên cứu từ nhiều kỉ trước Công nguyên

cho đến nhiều toán số nguyên tố chưa giải trọn vẹn

I – Sàng Ơ – – tô – xten (Eratosthene)

Làm để tìm tất số nguyên tố giới hạn đó,

chẳng hạn từ đến 100 ?

Ta làm sau: Trước hết xóa số1

Giữ lại số xóa tất cảcác mà lớn

Giữ lại số (số bị xóa) xóa tất cảcác mà lớn

Các số 8, 9, 10, bị xóa Khơng cần xóa tiếp bội số lớn 10

cũng kết luận khong hợp số

Thật vậy, giả sử n hợp số chia hết cho số a lớn 10 100,

n< a>10 nên n phải chia hết cho số b nhỏhơn 10, n bị xóa

Nhà toán học cổ Hi Lạp Ơ – – tô – xten (thế kỉ III trước Công nguyên)

người đưa cách làm Ông viết số giấy cỏ sậy căng

một khung dùi thủng hợp số vật tương tự sàng: hợp sốđược sàng qua, số nguyên tố giữ lại Bảng số nguyên tốđược gọi

sàng Ơ – – tơ – xten

Ví dụ63 (5).Dùng bảng số nguyên tố nhỏhơn 100, nêu cách kiểm

một số nhỏ 10000 có số ngun tốkhơng? Xét tốn số 259,353

Giải: Cho số n<10000 (n>1) Nếu n chia hết cho số k (1< <k n)

thì nlà hợp số Nếu n khơng chia hết cho số nguyên tố ( ≤ )

p p n n số

nguyên tố

Số 259 chia hết hợp số

Số 353 không chia hết cho tât số nguyên tố p mà p2 ≤353 (đó

số nguyên tố 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17) nên 353 số nguyên tố

II – Sự phân bố sốnguyên tố

Từ đến 100 có 25 số nguyên tố, trăm thứ hai có 21 số nguyên tố,

trong trăm thứ ba có 16 số ngun tố, … Trong nghìn có 168 số ngun

tố, nghìn thứ hai có 145 số ngun tố, nghìn thứba có 127 số nguyên

tố, … Như xa theo dãy số tự nhiên, số nguyên tốcàng thưa dần

Ví dụ64 (5). Có tồn 1000 số tự nhiên liên tiếp hợp số khơng?

Giải: Có Gọi A=2.3.4 1001 Các số A+2, A+3, , A+1001 1000 số tự nhiên

liên tiếp rõ ràng hợp số(đpcm)

khơng? Có số ngun tố cuối khơng? Từ kỉIII trước Cơng ngun, nhà tốn học cổ Hi Lạp Ơ – clit (Euclde)đã chứng minh rằng: Tập số ngun tố vơ hạn

Ví dụ65 (5)*. Chứng minh khơng thể có hữu hạn số nguyên tố

Giải: Giả sử có hữu hạn số nguyên tố p p1, 2, ,pn pn số lớn

nhất số nguyên tố

Xét số A= p p1 pn +1 A chia cho số nguyên tố pi (1≤ ≤i n) dư

(1)

Mặt khác A hợp số (vì lơn số nguyên tố lớn pn) A

phải chia hết cho số nguyên tốnào đó, tức A chia hết cho số (1 )

i

p ≤ ≤i n (2), mâu thuẫn với (1)

Vậy khơng thể có hữu hạn số nguyên tố(đpcm)

Qua phân bố số nguyên tố, nhà toán học Pháp Bec – tơ – đưa

dự đốn: Nếu n>1 n 2n có số ngun tố Năm 1852, nhà

toán học Nga Trê – bư – sép chứng minh mệnh đề Ơng cịn chứng

minh được:

Nếu n>3 n 2n−2 có số ngun tố Ta có mệnh

đềsau: Nếu n>5 n 2n có hai số ngun tố

Ví dụ 66 (5)*. Cho số tự nhiên n>2 Chứng minh số n! −1 có

một ước nguyên tố lớn n

Giải: Gọi a= −n! Do n>2 nên a>1 Mọi số tự nhiên lớn có

nhất ước nguyên tố Gọi p ước nguyên tố a Ta chứng minh p>n

Thật giả sử p≤n tích 1.2.3 n chia hết cho p, ta có n! chia hết cho ,

mà a chia hết cho p nên chia hết cho p, vơ lí

Chú ý: Từbài tốn ta suy có vơ số ngun tố

Ví dụ 67 (5). a) Chứng minh số nguyên tố m lơn viết

được dạng 6n+1 6n−1(n∈)

b) Có phải số có dạng 6n±1(n∈) số nguyên tố hay không?

Giải: a) Mỗi số tự nhên chia cho có số dư 0, 1, 2, 3, 4, Do số tự nhiên viết số dạng 6n−2, 6n−1, , 6n n+1, 6n+2, 6n+3 Vì m số nguyên tố lớn nên m không chia hết

cho 2, khơng chia hết cho 3, m khơng có dạng 6n−2, , 6n n+2, 6n+3 Vậy m

viết dạng 6n+1 6n−1 (Ví dụ: 17=6.3 1, 19− =6.3 1+ )

b) Không phải số có dạng 6n±1 (n∈) số nguyên tố Chẳng hạn 6.4 25+ = không số nguyên tố(đpcm)

Liệu có cơng thức mà với giá trị tự nhiên chữ cho ta số nguyên tố không? Cho đến nay, người ta chưa tìm thấy cơng thức

như Tuy nhiên có số biểu thức mà với nhiều giá trị chữ, biểu thức cho ta số nguyên tố

Biểu thức

2n +29 cho giá trị nguyên tố với n=0, 1, 2, , 28

Biểu thức

41

n + +n Ơ – le (Euler 1707 – 1783) đưa có giá trị nguyên

tố với n=0, 1, 2, ,39 (còn với n=40 402+40 41 40 40 41+ = ( + )+41 chia hết cho

41)

Biểu thức

79 1601

n − n+ cho giá trị nguyên tố với n=0, 1, 2, , 79

(cịn với n=80 biểu thức 412)

Số Phec – ma Nhà toán học kiêm luật gia Pháp Phéc – ma (Pierre de Fermat 1601 – 1665) xét biểu thức 2m+1 m=2n với n=0, 1, 2, 3, 4, cho số

nguyên tố 3,+ =

2 + =1 5,

2 + =1 7,

2 + =1 257, 216+ =1 65537 Với n=5, số

32

2 + =1 4294967297, Phec – ma cho số ngun tốvà ơng đưa giả

thuyết: Biểu thức 2m+1 với m lũy thừa cho ta số nguyên tố

Ý kiến đứng vững lâu Mãi đến năm 1732, Ơ – le bác bỏ giả

thuyết cách số 32

2 +1 chia hết cho 641 Đây ví dụ

Các số dạng 2m+1 với m lũy thừa gọi số Phéc – ma IV – Biểu diễn sốdưới dạng tổng sốnguyên tố

Năm 1742 nhà tốn học Đức Gơn – bách viết thư báo cho Ơ – le biết ông mạo hiểm đưa toán: Mọi số tự nhiên lơn biểu diễn dạng tổng ba số nguyên tố. Ơ – le trả lời theo ông, mọi số chẵn lớn biểu diễn dạng tổng hai số nguyên tố

Nếu chứng minh hai mệnh đề chứng minh mệnh đề cịn lại Trong 200 năm, nhà toán học giới khơng giải

tốn Gơn – bách – Ơ – le Đến năm 1937, nhà toán học Liên Xô Vi – nô – gra –

đốp giải trọn vẹn tốn cách chứng minh rằng: Mọi số lẻ đủ lớn biểu diễn dạng tổng ba số ngun tố

Cho đến nay, tốn Gơn – bách – Ơ – le chưa chứng minh hồn tồn

Ví dụ 68 (5). Cơng nhận mệnh đề nói Ơ – le, chứng minh

tốn Gơn – bách

Giải: Cho số tự nhiên n>5, ta chứng minh n viết dạng

tổng ba số nguyên tố Xét hai trường hợp:

a) Nếu n chẵn n= +2 m với m chẵn, m>3

b) Nếu n lẻ n= +3 m với m chẵn, m>2

Theo mệnh đề Ơ – le, m chẵn, m>2 nên mviết dạng tổng hai số

nguyên tố Do n viết dạng tổng ba số nguyên tố BÀI TẬP

302 (5). Tìm 10 số tự nhiên liên tiếp chứa nhiều số nguyên tố

303 (5). Chứng minh số nguyên tố lớn viết

dạng 4n+1 4n+3(n∈)

304 (5). Cho biểu thức

p

n= + Xét xem với p 3, 5, 7, n số

305 (5). Số dạng M =2n−1 gọi số Mec – xen (Mersenne, nhà toán học kiêm

cha cố Pháp kỉ XVII) Xét xem với n 2, 3, 5, 7,11 M số nguyên tố

hay hợp số?

306 (5). Viết số chẵn từ 20 đến 30 dạng tổng hai số nguyên tố

307 (5). a) Viết số 7, 8, 9,10 thành tổng hai số nguyên tố lớn

hơn

b)* Chứng minh số tự nhiên n lớn biểu diễn

dạng tổng hai số nguyên tố lớn

(Hướng dẫn: Xét hai trường hợp n lẻ n chẵn)

CÁC VẤN ĐỀNÂNG CAO VỀTÍNH CHIA HẾT, ƯỚC VÀ BỘI I – Dấu hiệu chia hết cho 11

Cho A= a a a a a a5

( ) ( )

11 11

A ⇔ a +a +a + − a +a +a +  Chứng minh:

( ) ( )

0 10 10 10 10 10

A= a + a + a + + a + a + a +

Chú ý rằng:

10 =99 1,+ 104 =999 1, ,+ tổng quát:

2

10 k = bội 11 1,+ 10 11 1,= −

10 =1001 1,− 105 =100001 1, ,−

Tổng quát

10 k+ = bội 11 1.− Do đó: A= (bội 11+a0+a2+a4+ ) + (bội

1

11− − − −a a a ) = bội 11+(a0+ + +a2 a4 ) (− a1+ + +a3 a5 )

Như điều kiện cần đủ để số chia hết cho 11 là: tổng chữ số

hàng lẻ tổng chữ số hàng chẵn sốđó có hiệu chia hết cho 11

Ví dụ 69 (4). Vận dụng dấu hiệu chia hết cho 11 để tìm chữ số x y cho:

62 427

A= xy chia hết cho 99

Tổng chữ số hàng lẻ A (từ phải sang trái) 4+ + +x hay x+17

Tổng chữ số hàng chẵn A (từ phải sang trái) 2+ +y hay y+4

Tổng chữ số A x+ +y 21

( ) ( )

11 17 11

13 11

A x y

x y

⇔ + − +

⇔ + −

 



Do đó: x– = 9y (nếu x>y ) y–x=2 (nếu y>x )

{ } 21 6;15

A ⇔ + +x y  ⇔ + ∈x y Trường hợp x–y=9 cho ta x=9,y=0 Khi

đó x+ =y (loại)

Trường hợp y–x=2 y x+ phải chẵn nên y+ =x Ta được:

6

2; 2

x= − = y= + =

Đáp số:x=2, 4y= ;

6224427

A=

II – Số lượng ước số (*)

Nếu dạng phân tích thừa số nguyên tố số tự nhiên A a b cx y z

… số lượng ước A (x+1)(y+1)(z+1) …

Thật ước A số có dạng mnp…trong đó: m có x+1 cách chọn (là

1, , , ,a a … ax) n có y+1 cách chọn (là1, , , ,b b2 … by)

p có z+1 cách chọn (là1, , , ,c c2 … cz),…

Do đó, số lượng ước A (x+1)(y+1)(z+1)

Ví dụ 70(6).Tìm số nhỏ có 12 ước

Giải: Phân tích số phải tìm thừa số nguyên tố:

x y z

Số 12 có bốn cách viết thành tích hay nhiều thừa số lớn

12, 6.2, 4.3, 3.2.2 Xét trường hợp:

a) n chứa thừa số nguyên tố : Khi x+ =1 12 nên x=11 Chọn thừa số

nguyên tố nhỏ 2, ta có số nhỏ trường hợp 211

b) n chứa hai thừa số nguyên tố: Khi (x+1)(y+ =1) 6.2 (x+1)(y+ =1) 4.3 , x=5, 1y= x=3, 2y= Để n nhỏ ta chọn thừa số nguyên tố nhỏ ứng với số mũ lớn, ta có

2 96

n= = hoặcn=2 33 =72 Số nhỏ

nhất trường hợp 72

c) n chứa ba thừa số nguyên tố: Khi (x+1)(y+1)(z+ =1) 3.2.2 nên

2,

x= y= =z Số nhỏ trường hợp là2 3.52 =60

So sánh ba số 11

2 , 72, 60 ba trường hợp, ta thấy số nhỏ có 12 ước

số 60

III – Toán chia hết liên quan đến số ngun tố, ƯCLN, BCNN

Ngồi tính chất nêu §3, với kiến thức số nguyên tố, số nguyên tố nhau, ƯCLN, BCNN, ta có thêm số tính chất chia hết :

1) Nếu tích chia hết cho số nguyên tố p tồn thừa số tích chia hết chop

Hệ quả: Nếu n

a chia hết cho số nguyên tố p a chia hết cho p

2) Nếu tích ab chia hết cho m b m hai số nguyên tố

nhau a chia hết cho m

Thật vậy, phân tích m thừa số nguyên tố :

1

1 (1)

n

k

k k

n

m=a a a

Vì ab chia hết cho m nên ab chứa tất thừa số nguyên tố a a1, 2, an với số mũ lớn số mũ thừa số nguyên tố (1) Nhưng b

và mnguyên tố nên b không chứa thừa số nguyên tố

thừa số a a1, 2, an Do a chứa tất thừa số a a1, 2, an với số mũ lớn

hoặc số mũ thừa số nguyên tố (1) tức a chia hết cho m

Thật vậy, a chia hết cho m n nên a bội chung m n a chia hết cho BCNN m n( , )

Hệ quả: Nếu a chia hết cho hai số nguyên tố m n a chia

hết cho tíchmn

Các tính chất cung cấp thêm công cụ để chứng minh quan hệ chia hết số

Ví dụ 71(7):Tìm số tự nhiên n cho 18n+3 chia hết cho

Giải :Cách

( )

18

14

4

4 7

4

4

n n n n n n n + ⇔ + + ⇔ + ⇔ + − ⇔ − ⇔ −      

Ta lại có ( )4, =1 nên n−1 7

Vậy n=7k+1 (k∈) Cách 2.

( )

18

18 21 18 18 18

n n n n + ⇔ + − ⇔ − ⇔ −    

Ta lại có (18, 7)=1 nên n– 7

Vậy n=7k+1 (k∈)

Nhận xét: Việc thêm bớt bội hai cách giải nhằm đến biểu thức chia hết cho mà ởđó hệ số n

Ví dụ72(5): Tìm số tự nhiên có ba chữ sốnhư nhau, biết sốđó

viết dạng tổng số tự nhiên liên tiếp

Ta có: 111

n.(n )

a

+ = , đó: ( )

1 37 n n+ = . a

Vì n n( +1) chia hết cho số nguyên tố 37 nên tồn hai thừa số

n, n+ chia hết cho 37 Chú ý n n+1 nhỏhơn 74 (vì n.(n+ )

số có

ba chữ số) nên ta xét hai trường hợp:

a) n=37 37 38 703

2

n.(n+ )= . =

, loại

b) n+ =1 37 36.37 666

2 = , thỏa mãn tốn Vậy số phải tìm 666,

viết dạng 3+ + +…+36

Ví dụ 37 (7) Cho biết a+4b chia hết cho 13, (a, b∈) Chứng minh

10a b+ chia hết cho 13

Giải:Đặt a+4b=x; a10 + =b y Ta biết x13 , ta cần chứng minh y13 Cách 1: Xét biểu thức:

( ) ( )

10x – y=10 a+4b – 10a b+ =10a+40 10 a – b− =39b Như vậy, 10x – y13.

Do x13 nên 10 13x  Suy y 13 Cách 2: Xét biểu thức:

( ) ( )

4y – x=4 10a b – a+ +4b =40a+4b a – b− =39a. Như 4y – x 13.

Do x 13 nên 13y  Ta lại có (4 13, )=1 nên y 13 Cách 3: Xét biểu thức:

( ) ( )

3x+ =y a+4b a b+ 10 + =3a+12b+10a b+ =13a+13b. Như 3x + y13.

( )

9 10 90 91 18

x+ y= +a b+ a b+ = +a b+ a+ b= a+ b.

Như x y+ 13

Do x 13 nên9y 13 Ta lại có (9 13, )=1 nên y13

Nhận xét: Trong cách giải trên, ta đưa biểu thức mà sau rút

gọn có số hạng bội 13, số hạng thứ hai (nếu có) bội 13

Hệ số a x 1, hệ số a y 10 nên xét biểu thức 10x – y nhằm

khử a (tức làm cho hệ số a 0), xét biểu thức 3x+y nhằm tạo hệ số

của a 13

Hệ số b x 4, hệ số b y nên xét biểu thức 4y – x nhằm khử

b, xét biểu thức x+9y nhằm tạo hệ số b 13

Ví dụ 74 (7) Cho số tự nhiên chia hết cho gồm sáu chữ số Chứng minh chuyển chữ số tận lên đầu tiên, ta số chia hết cho

Giải:

Gọi số chia hết cho cho X =abc deg, ta cần chứng minh Y =gabc dechia hết cho Đặtabc de=nthì X =10n+g , Y =100000g n+

Cách 1: Với dụng ý làm xuất 21n bội 7, ta xét 2X + =Y 20n+2g+100000g+ =n 21n+100002g Biểu thức chia hết cho 21

100002 bội 7, mà 2X chia hết cho 7, Y chia hết cho

Cách 2: Với dụng ý khử n , ta xét10 Y – X =1000000g+10n –10n – g=999999y , bội Ta lại có X chia hết cho suy 10Y chia hết cho 7, mà (10 7, )=1

nên Y chia hết cho

Các cách khác: Xét 3Y – X để xuất 7n , xét X +4Y để xuất 14n , … Ví dụ 75 (7) Tìm số tự nhiên, biết tích với số tự nhiên liền sau có tận 00

a) Có thừa số n, n+1 chia hết cho 100: Khi n số có

tận 00 99

b) Khơng có thừa số chia hết cho 100: Chú ý (n,n+ =1) nên n n+1 có số chia hết cho 25, số chia hết cho Có hai khảnăng: Nếu n

chia hết cho 25, n+1 chia hết cho xét n có tận 25, 50, 75, chọn n có tận 75 để n+1 chia hết cho Nếu n+1 chia hết cho 25, cịn n chia hết cho

xét n+1 có tận 25, 50, 75 chọn n+1 có tận 25 để n chia hết cho

Vậy số tự nhiên phải tìm số có tận 00, 99, 75, 24

Ví dụ76(8) Thêm ba chữ sốvào đằng sau số523 để số chia hết cho số 6; 7; 8;

Giải: Số phải tìm 523*** chia hết cho 6; 7; 8; nên phải chia hết cho 504 (6 9)

BCNN ; ; ; .

Xét số523999 chia cho 504 dư 343 Do ta có số:

523999 343 523656

523656 504 523152

– ,

– .

=

=

Đó hai số phải tìm

Ví dụ 77 (8) Chứng minh p số nguyên tố lớn (p –1)(p+1) chia hết cho 24

Giải

Ta có (p –1) (p p+1 3) mà ( )p,3 =1 nên

(p –1)(p+1 3) (1)

p số nguyên tố lớn nên p số lẻ, p –1 p+1 hai số chẵn

liên tiếp Trong hai số chẵn liên tiếp, có số bội nên tích chúng chia hết cho (2)

Từ (1) (2) suy (p –1)(p+1) chia hết cho hai số nguyên tố

và

Vậy (p –1) (p p+1 24)

Ví dụ78(8). Tìm số tự nhiên nhỏ chia cho dư 1, chia cho dư

Giải: Gọi n sốchia cho dư 1, chia cho dư

Cách 1 Vì n khơng chia hết cho 35 nên n có dạng 35k+r k ,r( ∈,r<35), r chia dư 1, chia dư

Số nhỏhơn 35 chia cho dư 5, 12, 19, 26, 33, có 26 chia cho

5 dư Vậyr=26

Số nhỏ có dạng 35k+26 26

Cách Ta có n−1 5 ⇒ − +n 10 5 ⇒ +n 5 (1)

Ta có n –5 7 ⇒ − +n 14 7 ⇒ +n 7 (2) Từ (1) (2) suy n+9 35

Số n nhỏ có tính chất n=26

Cách 3: n=5x+ =1 7y+ ⇒5 5x=5y+2y+ ⇒4 2(y+2)5⇒ +y 5

Giá trị nhỏ y 3, giá trị nhỏ n 5. + =26

Ví dụ79(8)*. Tìm số tự nhiên n có bốn chũ số cho chia n cho 131 dư

112, chia n cho 132 dư 98

Giải: Cách 1: Ta có 131x+112=132y+98⇒

( )

( )

131 131 14 14 131

131 14

132 131 14 98 132 131 1946

x y y y

y k k

n . k . k

⇒ = + − ⇒ − ⇒

⇒ = + ∈

⇒ = + + = +

 

Do n có bốn chữ số nên k =0, n=1946

Cách 2: Từ 131x=131y+ −y 14 suy

( )

131 x−y = −y 14 Nếu x> y y−14≥131⇒ ≥y 145⇒n có nhiều bốn

chữ số

Vậy x= y, y=14, n=1946

Cách 3: Ta có n=131x+112 nên

132n=131 132+ x+14784 (1)

Từ (1) (2) suy 132n−131n=131 132. (x−y)+1946

( )

131 132 1946 n . x y

⇒ = − +

Vì n có bốn chữ số nên n=1946 V – Các toán vềƯCLN, BCNN

1) Tìm hai số biết ƯCLN chúng

Ví dụ 80(7) Tìm hai số tự nhiên, biết tổng chúng 84, UCLN

của chúng 6.

Giải:

Gọi hai số phải timg avà b (a≤b) Ta co ( )a b, =6 nên '

6 ,

a= a '

6

b= b ( ' ')

,

a b = (a b a b, , ,' '∈N)

Do a b+ =84nên ( ' ')

6 a +b =84suy '

' 14

a + =b

Chọn cặp số ' '

,

a bnguyên tố có tổng 14(a' ≤b'), ta được:

Ví dụ 81(7) Tìm hai số tựnhiên có tích 300, UCLN

Giải: Gọi hai số phải tìm a b (a≤b)

Ta có ( )a b, =5nên ' '

5 ,

a= a b= btrong (a b', ')=1

Do ab=300nên ' '

25a b =300 suy a b' '=12=4.3

Chọn cặp số ' '

,

a b nguyên tốcùng có tích ( ' ')

12 a <b ta được:

'

a

'

b 13 11

a 18 30

b 78 66 54

a 15

b 60 20

'

a

'

2) Các toán phối hợp BCNN số với UCLN chúng

Ví dụ82(8). Cho a=1980,b=2100

a) Tìm ( )a b, [ ]a b,

b) So sánh [ ]a b, ( )a b, với ab Chứng minh nhận xét hai số tự nhiên

avà b khác 0tùy ý Giải

a) 2 2

1980=2 5.11, 2100=2 3.5

( )

1980, 2100 3.5 60,

UCNLN = =

( ) 2

1980, 2100 7.11 69300

BCNN = =

b) [1980, 2100 1980, 2100]( )=1980.2100( 4158000) Ta chứng minh

rằng [ ]a b, ( )a b, =a b

Cách Trong cách giải này, thừa sốriêng coi thừa số

chung, chẳng hạn achứa thừa số 11,bkhông chứa thừa số11 coi bchừa

thừa số11 với sốmũ Với cách viết này, ví dụtrên ta có:

2

1980=2 5.7 11

2

2100=2 3.5 7.11

(1980, 2100)là tích thừa số chung với số mũ nhỏ 2 5.7 112 0 =60

[1980, 2100] tích thừa số chung với sốmũ lớn 2 7.112 2 =69300. Bây ta chứng minh trường hợp tổng quát:

[ ]a b, ( )a b, =a b ( )1

Khi phân tích thừa số nguyên tố, thừa số nguyên tố hai vế ( )1

chính thừa số nguyên tố có avà b Ta chứng tỏ hai vế chứa

Gọi plà thừa số nguyên tố tùy ý thừa số nguyên tốnhư Giả sử số mũ ptrong a x,số mũ p blà ytrong xvà ycó thể

Khơng tính tổng quát, giả sử x≥ y Khi vế phải (1) chứa p với s mũ x+y Còn vếtrái, $[a, b]$ chứa p với sốmũ y nên vếtrái chứa p với

sốmũ x+y

Cách Gọi d =( , )a b a=da b, =db′(1), ( , )a b =1 Đặt ab m

d = ( )2 , ta cần chứng minh [ ]a b, =m

Để chứng minh điều này, cần chứng tỏ tồn số tự nhiên x, y cho

m=ax, m=byvà (x, y) =

Thật từ (1) (2) suy '

.b m a ab

d

= = ,

'

.a m b ba

d

= = Do đó, ta chọn ' '

, ,

x=b y=a ( )x y, =1 (a b', ')=1

Vậy ab [ ]a b, ,

d = tức [ ]a b, ( )a b, =ab

Ví dụ 83(8). Tìm hai số tự nhiên biết UCLN chúng 10, BCNN

của chúng 900

Giải : Gọi số phải tìm a b, giả sử a≤b Ta có ( , )a b =10 nên a=10a',

'

10

b = b , ' '

( , )a b =1,a′≤b Do ab=100 ' '(1)a b Mặt khác [ ], ( , ) 900.10 9000(2)

ab= a b a b = =

Từ (1) (2) suy a b' '=90 Ta có trường hợp :

'

a

'

a 10 20 50 90

b 90

0

45

18

10

3) Tìm UCLN hai sốbằng thuật tốn Ơ – clit

Ví dụ84(7). Cho hai số tự nhiên a b a( >b)

a) Chứng minh a chia hết cho b ( , )a b =b

b) Chứng minh a khơng chia hết cho b ƯCLN hai số ƯCLN số nhỏ sốdư phép chia số lớn cho số nhỏ

c) Dùng nhận xét để tìm UCLN(72, 6).B

Giải : a) Mọi ước chung a b hiển nhiên ước b Đảo lại, a chia

hết cho b nên b ước chung a b Vậy ( , )a b =b

d) Gọi $r$ số dư phép chia a cho b a( >b) Ta có a=bk+r k( ∈N), cần

chứng ( , )a b =( , ).b r

Thật vậy, a b chia hết cho d r chia hết cho d, ước

chung a b ước chung b r(1) Đảo lại b r chia

hết cho d a chia hết cho d, ước chung b r ước chung a b(2) Từ (1) (2) suy tập hợp ước chung a b tập hợp ước chung b r Do hai số lớn hai tập hợp nhau, tức ( , )a b =( , ).b r

c) 72chia 56 dư 16 nên (72, 56)=(56,16) ;

56chia 16 dư nên (56,16)=(16,8) ;

16chia hết (16,8)=8 Vậy (72, 56)=8

trinhg kết thức với số dư 0) Theo chứng minh ví dụ ta có ( ) ( ) (a b, = b r, = r r1, 2)= (rn−1,rn)=rnvì rn−1 chia hết chp rn

Như UCLN a b( , ) số chia cuối dãy phép chia liên tiếp a

cho b, b cho r r1, 1 cho r2, , r r1, , 2 sốdư phép chia theo thứ tự

trên

Trong thực hành = ta đặt tính sau :

Việc thực dãy phép chia liên tiếp gọi thuật tốn Ơ

clit

Trường hợp tìm ƯCLN ba số, ta tìm ƯCLN hai số tìm UCLN kết với số thứba

Ví dụ 85(7). Tìm UCLN A B( , ), biết A số gồm $1991$ chữ số 2, B số

gồm $8# chữ số

Giải: Ta có $1991$ chia cho dư 7, cịn chia cho dư

Theo thuật toán Ơ- clit : ( , )A B =(22 2, 22 2)=(22 222 2n )==(22…2, 2) =2$

Ví dụ 86(8)*. Tìm hai số, biết bội chung nhỏ ước chung lớn chúng có tổng 19

Giải : Gọi a b hai số phải tìm, d UCLN a b( , )

( )

( )

'

'

' '

,

,

a d a UCLN a b d b d b

a b

 = 

= ⇔ =

 =



4) Hai số nguyên tố Ví dụ87(7). Chứng minh rằng:

a) Hai số tự nhiên liên tiếp (khác 0) hai số nguyên tố

b) Hai số lẻ liên tiếp hai số nguyên tố c) 2n+1 3n+1(n∈ Ν) hai số nguyên tố

a) a a b+

b)

a a b+ ;

c) ab a b+

Ví dụ 89(7). Tìm số tự nhiên n để số 9n+24 3n+4 số nguyên tố

cùng

5) Tìm ƯCLN biểu thức số

Ví dụ90(7).Tìm ƯCLN 2n−1 9n+4(n∈)

Ví dụ91(7)*.Tìm ƯCLN ( 1)

2 n n+

2n+1( *)

n∈

BÀI TẬP

308(4).a) Tìm chữ số a để

9

8 58 laàn a a a  a

 chia hết cho 11 b) Tìm chữ số a b c d, , , *, cho

0 5482 * abcd +abcd =

309(4). Thay dấu * chữ số thích hợp để:

a) 53* chia hết cho 11;

b) 859*4 chia hết cho 11; c) 81*372 chia hết cho 11; d) *1994* chia hết cho 88; e) *1994* chia hết cho 99

310(4). Chứng minh số 192021…7980 (viết liên tiếp số tự nhiên từ 19 đến 80) chia hết cho chia hết cho 11

311(4).Cho số tự nhiên chia hết cho 11 gồm bốn chữ số khác khác Chứng minh đổi vị trí chữ số để bảy số chia hết cho 11

312(6). Cho 13 17

13 17

313(6).Tìm số tự nhiên n có 48 ước, biết n phân tích thừa số ngun tố có dạng 3x y x+ =y 12

314(6). Tìm số tự nhiên A, biết rằng: A chia hết cho 5, chia hết cho 49 có 10

ước

315(6).Tìm số tự nhiên nhỏ có ước 316(6).Tìm số tự nhiên nhỏ có: a) 10 ước;

b) 21 ước; c) ước

317(6)*. Tìm số tự nhiên khác nhỏ 60 có nhiều ước

318(6). Số n có tổng ước 2n gọi số hoàn chỉnh (hoặc hoàn hảo,

hoàn toàn, hoàn thiện)

a) Chứng minh số 28 số hoàn chỉnh

b) Chứng minh n số hồn chỉnh tổng nghịch đảo ước n

2

c) Tìm số hồn chỉnh n biết dạng phân tích n thừa số nguyên tố ;

n= p n=22p; n=24p với p số nguyên tố lớn

319(6).Tìm tổng ước số 220 284 khơngkể số

320(6).Số tự nhiên n có 54 ước Chứng minh tích ước n n27

321(6)*. Số tự nhiên n có 39 ước Chứng minh rằng:

a) n số bình phương số tự nhiên a; b) Tích ước n bằnga39

322(8). Cho a số nguyên tố lớn Chứng minh (a−1)(a+4) chia hết cho

b) ƯCLN hai số tự nhiên 16, số lớn 96 Tìm số nhỏ 326(7).Tìm hai số tự nhiên biết rằng:

a) Hiệu chúng 84, ƯCLN 28, số khoảng từ 300 đến

440

b) Hiệu chúng 48, ƯCLN 12 327(7).Tìm hai số tự nhiên:

a) Có tích 720, ƯCLN b) Có tích 4050, ƯCLN 328(8).Tìm hai số tự nhiên:

a) Có tích 2700, BCNN 900 b) Có tích 9000, BCNN 900

329(8).BCNN số tự nhiên 770, mốt số 14 Tìm số Tìm hai số tự nhiên a b (bài 330, 331, 332), biết rằng:

330(8).

a) ab=360, [ ]a b, =60

b) ( )a b, =12, [ ]a b, =72

c) ( )a b, =6, [ ]a b, =180

d) ( )a b, =15, [ ]a b, =2100( )a b,

e) ab=180, [ ]a b, =20( )a b,

331(8)*.

a) [ ]a b, +( )a b, =55;

b) [ ]a b, −( )a b, =5;

c) [ ]a b, +( )a b, =35

Đến năm 2010, số tuổi số năm sinh Hoàng có BCNN gấp 133 lần ƯCLN Tính năm sinh Hồng

334(8)* Tìm số tự nhiên có ƯCLN 12, biết rằng: hai số ấy, ƯCLN

chúng, BCNN chúng bốn số khác có hai chữ số 335(8) Cho a=123456789, b=987654321

Chứng minh rằng:

a) ( , )a b =9;

b)* [ ]a b, chia cho 11 dư

336(7) Tìm ƯCLN số sau thuật toán Ơ-clit:

a) (187231,165148 ;)

b)  

100 chữ số chữ số

( 11 , 11 ). 

337(7). a) Tìm ƯCLN tất số tự nhiên có chín chữ số, gồm chữ số từ đến

b) Tìm ƯCLN tất số tự nhiên có sáu chữ số, gồm chữ số từ đến

6

338(7) Chứng minh với số tự nhiên n, số sau hai số nguyên tố nhau:

a) 7n+10 5n+7;

b) 2n+3 4n+8

339(7) Cho a b hai số nguyên tố Chứng minh số sau

cũng hai số nguyên tố nhau:

a) b a b− (a>b);

b) 2

a +b ab

340(7) Chứng minh số c nguyên tố với a với b c nguyên tố với tích ab

b) 5n+1 chia hết cho 7;

c) 25n+3 chia hết cho 53

342(7) Tìm số tự nhiên n để số sau nguyên tố nhau:

a) 4n+3 2n+3;

b) 7n+13 2n+4;

c) 9n+24 3n+4;

d) 18n+3 21n+7

343(7) Chứng minh có vơ số số tự nhiên n để n+15 n+72 hai số

nguyên tố

344(7) Tìm ƯCLN :

a) Hai số chẵn khác liên tiếp ;

b) ab ba+ 33

345(7). Cho ( )a b, =1 Tìm :

a) (a b a b+ , − ) b) (7a+9 ,3b a+8b)

346(7) Tìm ƯCLN của 7n+3 8n−1 (n∈*)

Khi hai số nguyên tố ? Tìm n khoảng từ 40 đến 90 để

chúng không nguyên tố

347(7) Cho số tự nhiên chia hết cho có ba chữ số chữ số hàng chục chữ sốhàng đơn vị

Chứng minh tổng chữ số chia hết cho

348(7). Cho biết 3a+2b chia hết cho 17 (a b, ∈) Chứng minh 10a b+

chia hết cho 17

349(7) Cho biết a−5b chia hết cho 17 (a b, ∈) Chứng minh 10a b+ chia

hết cho 17

b) Chứng minh rằng: Nếu 2x+3y chia hết cho 17 9x+5y chia hết cho 17

(x y, ∈)

Điều ngược lại có khơng?

351(7). Cho số tự nhiên chia hết cho 37 có ba chữ số Chứng minh

bằng cách hốn vịvịng quanh chữ sốta hai số chia hết cho 37

352(7) Cho số tự nhiên chia hết cho gồm sáu chữ số Chứng minh chuyển chữ sốđầu xuống cuối cùng, ta số chia hết cho

353(7). Cho số abcdeg chia hết cho 37 Chứng minh rằng:

a) Các số thu hốn vị vịng quanh chữ số cho

chia hết cho 37

b) Nếu đổi chỗ a d , ta số chia hết cho 37 Cịn có thểđổi chỗ

hai chữ số cho mà số chia hết cho 37?

354(7) Điền vào dấu * chữ số thích hợp để:

a) 77∗ chia hết cho 13

b) 43 5∗ ∗ chia hết cho 1375

c) 579∗∗∗ chia hết cho 5, ,9

355(7) Điền chữ số thích hợp vào chữđể :

a) aba chia hết cho 33;

b)ab ba+ chia hết cho 7;

c) ab ba+ chia hết cho 15

356(7) a) Tìm x∈∗ để11.2x chia hết cho 2x−1

b) Tìm x y, ∈∗ để 154x=(4x+1)y

357(8) Tìm số tự nhiên nhỏ gồm tồn chữ số cho chia hết cho số

gồm 100 chữ số

358(8). Cho số A=10101 0101 gồm n chữ số (chữ sốđầu cuối 1, chữ

359(7) Tìm số tự nhiên x, biết ba số 36, 45, x sốnào ước tích hai số

360(7). Số 5135 chia hết cho 13, hiệu 135 130− = chia hết cho 13 Số 25146 chia

hết cho 11, hiệu 146−25=121 chia hết cho 11 Số 45759 chia hết cho 7, hiệu 759−45=714 chia hết cho

Hãy phát biểu thành tốn chứng minh tốn

361(7). Số 4564 chia hết cho 7, hiệu 456−4.2=448, hiệu 44 8.2− =28 chia hết

cho Số 4011 chia hết cho 7, hiệu 401 1.2− =399, hiệu 39 9.2− =21 chia hết cho

Hãy phát biểu thành tốn chứng minh tốn

362(7). Chứng minh dấu hiệu chia hết cho số abcdeg

3

g+ +e d− −c b− a chia hết cho (ví dụ số 45759 chia hết cho vì: 9.1 5.3 7.2 5.1 4.3+ + − − =21 chia hết cho 7)

363(8). Tìm số tự nhiên n có hai chữ số cho 2n bình phương số

tự nhiên, 3n lập phương số tự nhiên

364(8). Tìm số tự nhiên n nhỏ khác 0, cho: n chia cho bình phương số tự nhiên; n chia cho lập phương số tự nhiên; n chia cho lũy thừa bậc năm số tự nhiên

365(7). Tìm hai số tự nhiên liên tiếp có hai chữ số, biết số chia hết cho 4, số chia hết cho 25

366(7) Tìm số tự nhiên có hai chữ số, cho bình phương tận

cùng hai chữ sốấy theo thứ tự

367(7) Tìm hai số tự nhiên liên tiếp có ba chữ số, biết số chia hết cho 125, số chia hết cho

368(7). Tìm hai số tự nhiên liên tiếp có tích số có sáu chữ số, ba chữ

số tận

Trong buổi họp mặt đầu xuân Tân Mùi 1991, bạn Thủy đố bạn điền chữ sốvào dòng chữsau :

MÙI MÙI = TÂN MÙI

Bạn trả lời giúp

371(7) Tìm số tự nhiên có ba chữ số, biết nhân với số gồm ba chữ

sốấy viết theo thứ tựngược lại ta tích số có sáu chữ số, hai chữ

số tận

372(8) *. Chứng minh ( )a b, =(a+b a b,[ ], )

373(8). Tìm dạng chung số tự nhiên n, cho n chia cho 30 dư 7, n chia cho 40 dư 17

374(8). Tìm số tự nhiên nhỏ , cho chia cho 29 dư 5, chia cho

31 dư 28

375(8). Tìm số tự nhiên có bốn chữ số, cho chia cho dư 7, chia cho 125 dư

376(8) Bài tốn Hàn Tín điểm binh

Hàn Tín tướng giỏi giúp Lưu Bang lập nên nhà Hán bên Trung

Quốc Khi điểm binh, muốn biết số quân, ông cho xếp hàng 3, hàng 5, hàng tính số người lẻ hàng Nếu tính số người lẻ hàng thứ tự a, b, c số quân

( )

70a+21b+15c±B 105

a) Tính số quân khoảng 2200 2400− xếp hàng dư 1, xếp hàng

thì dư 2, xếp hàng dư b) Giải thích cách làm

SỐCHÍNH PHƯƠNG

Sốchính phương bình phương số tự nhiên Với kiến thức lớp 6, ta chứng minh số tính chất sau:

1) Sốchính phương tận 0, 1, 4, 5, 6, 9; tận

bằng 2, 3, 7,

Thật vậy, giả sử A=k2 k =a b cx y z (a, b, c … số nguyên tố)

2 2

( x y z ) x y z A= a b c =a b c

Từ tính chất suy :

- Sốchính phương chia hết cho phải chia hết cho - Sốchính phương chia hết cho phải chia hết cho - Sốchính phương chia hết cho phải chia hết cho 25 - Sốchính phương chia hết cho phải chia hết cho 16

3) Số lượng ước số phương số lẻ Đảo lại, số có số lượng ước số lẻ sốđó sốchính phương

Thật vậy, A=1 A số phương có ước Ta giả sử A>1 có

dạng phân tích thừa số ngun tố A=a b cx y z số lượng ước

bằng (x+1)(y+1)(z+1 )

a) Nếu A sốchính phương x y z, , chẵn, nên x+1, y 1, z 1, + + lẻ,

sốlượng ước A số lẻ

b) Nếu sốlượng ước A số lẻ (x+1)(y+1)(z+1 ) lẻ,

thừa số x+1, y 1, z 1, + + lẻ, suy x y z, , chẵn

Đặt x=2 ,x y′ =2 ,y z′ =2 , z′ (x y z′ ′ ′ ∈, , , ) A=(a b cx' y' z' 2) nên A số

chính phương

Ví dụ 92(5). Tìm số nguyên tố ab a( > >b 0) cho ab ba− số

phương

Giải: ab ba− =(10a+ −b) (10 b a)+ =9a−9b

=9(a−b)=3 (2 a−b)

Do ab ba− sốchính phương nên a b− sốchính phương

Ta thấy 1≤ − ≤a b nên a b− ∈{ }1;4

Với a b− =1 ab∈{21;32;43;54;65;76;87;98} Loại hợp số 21, 32, 54, 65, 76,

Vậy ab 43 73

Khi : 43 34− = =9 32 73 37− =36=62

Ví dụ 93(5). Tìm sốchính phương có bốn chữ số, viết chữ số 3, 6, 8,

Giải : Gọi n2 sốchính phương phải tìm

Sốchính phương khơng tận 3, n2 phải tận bằng

Số có tận 86 chia hết cho 2, khơng chia hết khơng số phương Vậy n2 có tận bằng 36

Sốchính phương 8836=942

Ví dụ94(5). Một số tự nhiên gồm số chữ số sáu chữ số sốchính phương khơng?

Giải :Giả sử n2 sốchính phương gồm một số chữ số sáu chữ số

Nếu n2 tận bằng phải tận bằng một số chẵn chữ số0 Ta bỏ

tất chữ số tận số cịn lại tận phải số phương Xét hai trường hợp: số cịn lại tận 06 tận

bằng 66.Các số khơng số phương (vì chia hết cho không chia

hết cho 4)

Nếu n2 tận lập luận dẫn đến mâu thuẫn

Vậy số có tính chất đềbài nêu khơng thể sốchính phương

Ví dụ95(6). Viết liên tiếp từ đến 12 số A=1234 1112 Số A có 81

ước khơng?

Giải:Sốlượng ước A 81, số lẻ nên A sốchính phương (1)

Mặt khác, tổng chữ số A 51 nên A chia hết cho khơng

chia hết cho 9, A khơng sốchính phương (2), mâu thuẫn với (1) Vậy A khơng thể có 81 ước

Giải : Gọi số phải tìm n, ta có 135n=a2(a∈N) hay 5.3 n=a2 Số

phương chứa thừa số nguyên tố với sốmũ chẵn nên n=3.5.k2(k∈N)

Với k=1 n=15, với k=2 n=60, với k≥3 n≥135, có nhiều hai

chữ số, loại

Vậy số phải tìm 15 60

Ví dụ97(5)*. Tìm sốchính phương có bốn chữ số cho hai chữ sốđầu giống nhau, hai chữ số cuối giống

Giải: Cách 1 Gọi số phương phải tìm

2

aa ( , ,1 9, 9) n = bb a b∈N ≤ ≤a ≤ ≤b

Ta có

1100 11 11.(100 ) 11.(99 ) (1) n =aabb= a+ b= a+b = a+ +a b

Do 99a+ +a b chia hết cho 11 nên a b+ chia hết cho 11, a b+ =11

Thay a b+ =11 vào (1) n2 =11.(99a+11)=11 (92 a+1)

Do 9a+1 phải sốchính phương

Thử với a=1, 2, 3, , có a=7 cho 9a+ =1 82 sốchính phương

Vậy a=7, suy b=4 Ta có 7744 11 8= 2 =882

Chú ý:Có thể khơng cần thửbằng cách làm sau: Đặt 9a+ =1 d2 ( )1 , ta có 9a=d2− =1 (d+1)(d−1)

Vì (d+ −1) (d− =1) nên hai thừa sốnày khơng có ước chung

Vậy thừa số phải bội Hơn từ (1) suy d có

số (vì a≤9 hay 9a+ <1 100)

Do d− <1 d + =1 9,d =8

Thay vào (1), a=7,b= − =11

Cách 2: Biến đổi

11.(100 ) 11

n =aabb= a+b = a b, a b0 =11k2(k∈)

Lần lượt cho k 4, 5, 6, 7, 8, ta a b0 =11k2 thứ tựbằng 176, 275, 396,

539, 704, 891 có số 704 có chữ số hàng chục Vậy k = aabb=11.11.82 =882 =7744

BÀI TẬP

377(5). Các tổng sau có sốchính phương hay không ?

2 20

) 3 ; a A= + + + +

2

b)B=11 11+ +11 ; 10

) 10 8; c C = +

10

100 50

) 100! 7; e) 10 5;

) 10 10

d D E g G

= + = +

= + +

378(5). Các số sau có sốchính phương hay không?

a) A=2004000; b) B=20012001

379(5). Chứng tỏ số sau khơng sốchính phương:

a) abab; b) abcabc; c) *ababab 380(5). Chứng tỏ tổng sau khơng sốchính phương:

A=abc bca+ +cab

381(5). Cho bốn chữ 0, 2, 3, Tìm sốchính phương có bốn chữ số gồm cảbốn chữ số

BÀI TẬP

382 (5). Tìm sốchính phương có bốn chữ số gồm chữ số 7, 4, 2,

383 (5). Tìm sốchính phương có bốn chữ số gồm cảbốn chữ số 0, 2, 3,

384 (5). Cho số tự nhiên gồm 15 chữ số Có cách viết thêm chữ số

385 (5). Một số tự nhiên gồm có chữ số 1, hai chữ số 2, ba chữ số 3, bốn chữ số sốchính phương hay khơng?

386 (6). Viết dãy số tự nhiên từ đến 101 làm thành sốA a) A có hợp số hay khơng?

b) A có sốchính phương hay khơng?

c) A có thểcó 35 ước hay khơng?

387 (5). Từ năm chữ số 1, 2, 3, 4, lập tất số tựnhiên có năm chữ số gồm cảnăm chữ sốấy Trong sốđó, có số sốchính phương khơng? Có số chia hết cho 11 khơng?

388 (5). Tìm số tự nhiên n có hai chữ số, biết 2n+1 3n+1 số

chính phương

389 (5). Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết nhân với 45 ta sốchính phương

390 (5). a) Các số tự nhiên n 2n có tổng chữ sốbằng Chứng minh

rằng n chia hết cho

b)* Tìm số phương n có chữ số, biết n chia hết cho nhân n với tổng chữ số khơng đổi

391 (5). Tìm số tự nhiên có hai chữ số, cho cộng với số gồm hai chữ

sốấy viết theo thứ tự ngược lại ta sốchính phương

392 (5). Tìm số phương có bốn chữ số, biết rằng: chữ số hàng trăm,

hàng nghìn, hàng chục, hàng đơn vị theo thứ tự làm thành bốn số tự nhiên liên tiếp tăng dần

393 (5). Tìm sốchính phương có bốn chữ số, biết chữ sốhàng nghìn chữ sốhàng đơn vị sốchính phương viết dạng ( )2

5n+4 với n∈N 394 (5)*. Cho số tự nhiên A gồm 100 chữ số 1, số tự nhiên B gồm 50 chữ số

Chứng minh A B− sốchính phương

Chương I

ĐOẠN THẲNG

BÀI ĐIỂM VÀ ĐƯỜNG THẲNG

Trong mục này, cần ý đến:

1 Ba hình hình học không định nghĩa: điểm, đường thẳng, mặt phẳng

2 Hai tính chất bản:

- Tính chất xác định đường thẳng: Có đường thẳng đường thẳng qua hai điểm phân biệt

- Tính chất thứ tự ba điểm đường thẳng: Trong ba điểm thẳng hàng, có điểm điểm nằm hai điểm lại

3 Một quan hệ hình học khơng định nghĩa: Điểm nằm hai điểm khác

4 Một quan hệ hình học định nghĩa: Ba điểm thẳng hàng

Ví dụ1: Cho hai đường thẳng cắt Nếu vẽ thêm đường thẳng thứba

cắt cảhai đường thẳng sốgiao điểm đường thẳng thay đổi nào?

Giải Nếu đường thẳng thứ ba qua giao điểm hai đường thẳng trước sốgiao điểm khơng đổi (h 6a)

Nếu đường thẳng thứ ba không qua giao điểm hai đường thẳng trước sốgiao điểm tăng thêm (h 6b)

Hình

Ví dụ 2: Giải thích hai đường thẳng phân biệt có điểm chung khơng có điểm chung

Giải: Nếu hai đường thẳng có hai điểm chung chúng trùng Do đó, hai đường thẳng phân biệt khơng có đến hai điểm chung: chúng có điểm

chung, chúng khơng có điểm chung

a c

b

b

c a

BÀI TẬP

1 Cho bốn điểm A B C D, , , ba điểm A B C, , thẳng hàng, ba điểm

, ,

B C D thẳng hàng Giải thích bốn điểm A B C D, , , thuộc đường

thẳng

2 Vẽ năm điểm A B C D O, , , , cho ba điểm A B C, , thẳng hàng, ba điểm

, ,

B C Dthẳng hàng, ba điểm C D O, , không thẳng hàng

a) Giải thích ba điểm A B D, , thẳng hàng

b) Kẻ đường thẳng, đường thẳng qua hai điểm năm điểm nói Kể tên đường thẳng hình vẽ (các đường thẳng trùng kể đường thẳng)

3 Cho điểm A B C D E, , , , thuộc đường thẳng theo thứ tự Điểm C

nằm hai điểm nào? Điểm C không nằm hai điểm nào?

4 Cho A B C, , ba điểm thẳng hàng Điểm nằm hai điểm lại

nếu A không nằm hai điểm B C, B không nằm hai điểm A C 5 Cho bốn điểm A B C D, , , điểm B nằm hai điểm A C, điểm B nằm hai điểm A D Có thể khẳng định điểm D nằm hai

điểm B C hay không?

6 a) Hãy xếp 10 điểm thành hàng, hàng có điểm

b) Hãy xếp điểm thành hàng, hàng có điểm

c) Người ta trồng 12 thành hàng, hàng có Vẽ sơ đồ vị trí 12

cây

∽ Ví dụ: 11,12

Bài tập: 26 đến 31, 34

BÀI TIA ĐOẠN THẲNG

Trong mục này, cần ý đến: 1. Một tính chất bản:

Tính chất xác định tia: Mỗi điểm O đường thẳng chia đường thẳng

- Tia Ox hình gồm điểm O phần đường thẳng bịchia điểm O

- Đoạn thẳng AB hình gồm điểm A, điểm B tất cảcác điểm nằm A

và B

Ví dụ 3. Cho ba điểm A B C, , hai tia BA BC đối Trong ba điểm A B C, , điểm nằm hai điểm lại?

Giải: Điểm gốc B hai tia đối BA, BC nằm hai điểm lại A C

(h.7)

Chú ý: Cần nhớ kết (mà khơng cần vẽ hình) để nhận điểm nằm

hai điểm khác

Ví dụ 4. Điểm B nằm hai điểm A C Tìm tia đối nhau, tia

trùng

Giải (h.7): Các tia BA BC đối nhau, tia AB AC trùng nhau, tia CA CB trùng

Chú ý: Cần nhớ kết (mà khơng cần vẽ hình) để nhận hai tia trùng đối

Ví dụ 5. Cho hai đoạn thẳng AB CD cắt

nhau điểm O nằm hai đầu đoạn

thẳng

a) Kểtên đoạn thẳng có hình vẽ

b) Điểm O điểm chung hai đoạn thẳng

nào?

Giải (h.8)

a) Trên hình vẽ có đoạn thẳng: OA, OB, OC, ,

OD AB, CD

b) Điểm O điểm chung cặp đoạn thẳng: OA OB,

OA OC,

OA OD, OA CD,

OB OC, OB OD, OB CD,

OC OD, OC AB,

OD AB, AB CD

BÀI TẬP

Hình

C B

A

Hình

D

C

7 Gọi O điểm đường thẳng xy Vẽ điểm A thuộc tia Ox, vẽ

điểm B C thuộc tia Oy cho C nằm O B

a) Trên hình vẽ có tia, đoạn thẳng?

b) Kể tên cặp tia đối

8. Cho năm điểm A B C M N, , , , cho: Điểm C nằm hai điểm A B,

điểm M nằm hai điểm A C, điểm N nằm hai điểm C B Khi đó:

a) Tia CM trùng với tia nào? Tại sao?

b) Tia CN trùng với tia nào? Tại sao?

c) Vì điểm C nằm hai điểm M N?

9 Cho điểm B nằm hai điểm A C, điểm C nằm hai điểm B D Vì điểm B nằm hai điểm A D?

Hướng dẫn: Chứng tỏ BA BD hai tia đối

10 Cho điểm B nằm hai điểm A C, điểm D nằm hai điểm B C Hỏi điểm D có nằm hai điểm A B khơng? Vì sao?

11 Cho điểm B nằm hai điểm A C, điểm D thuộc tia BC khơng

trùng B Hỏi điểm B có nằm hai điểm A D khơng? Vì sao?

12. Cho ba điểm A B C, , không thẳng hàng Hãy vẽ đường thẳng a không

qua A B C, , cho đường thẳng a:

a) Cắt hai đoạn thẳng AB AC;

b) Không cắt đoạn thẳng AB, AC, BC

13 a) Vẽsáu đoạn thẳng cho đoạn thẳng cắt ba đoạn thẳng khác

b)* Vẽtám đoạn thẳng cho đoạn thẳng cắt ba đoạn thẳng khác

14 a) Trên hình có điểm Không nhấc bút khỏi giấy, vẽ đoạn thẳng

qua tất cả9 điểm

b) Trên hình 10 có 13 điểm Khơng nhấc bút khỏi giấy, vẽ năm đoạn thẳng

đi qua tất cả13 điểm

∽ Ví dụ: 13

VẼĐOẠN THẲNG CHO BIẾT ĐỘ DÀI

Trong mục này, cần ý đến: 1 Hai tính chất bản:

- Tính chất độ dài đoạn thẳng: Mỗi đoạn thẳng có độ dài xác định Độ dài

đoạn thẳng sốdương

- Tính chất cộng độ dài đoạn thẳng: Nếu điểm M nằm hai điểm A B

thì AM +MB= AB Ngược lại, AM +MB= AB điểm M nằm hai điểm A B

2. Một quan hệ hình học định nghĩa: Hai đoạn thẳng

3. Để giải thích điểm A nằm hai điểm O B, ta dùng nhận xét:

Nếu hai điểm A B thuộc tia Ox cho OA OB< điểm A nằm hai điểm O B

Ví dụ 6. Cho đoạn thẳng AB=3cm Điểm C thuộc đường thẳng AB cho

1

BC = cm Tính độdài đoạn thẳng AC

Giải:Xét hai trường hợp:

a) C thuộc tia đối tia BA (h.11a):

Hai tia BA, BC đối ⇒ B nằm A C

3

AB BC AC AC AC cm

⇒ + = ⇒ + = ⇒ =

b) C thuộc tia BA, C nằm A B (vì BC<BA) (h.11b):

1 3

AC CB+ =AB⇒ AC+ = ⇒ AC= − = cm

Ví dụ7.Ba điểm A B C, , có thẳng hàng không, nếu:

a) AB=3cm AC, =4cm BC, =7cm?

b) AB=3cm AC, =4cm BC, =5cm?

Giải: a) AB+AC= + =3 7( )cm nên AB+AC =BC Vì A nằm B C Do ba điểm A B C, , thẳng hàng

b) Giả sử ba điểm A B C, , thẳng hàng phải có điểm nằm hai điểm

cịn lại Nếu A nằm B C AB+AC=BC⇒ + =3 5, vơ lí Nếu B nằm

+ = ⇒ + =

C B

A

Hình 11

b) a)

Vậy ba điểm A B C, , không thẳng hàng

Ví dụ 8. Chứng tỏ hai điểm A B thuộc tia Ox OA OB<

thì điểm A nằm hai điểm O B

Giải (h.12): Các điểm A, B không trùng O

thuộc tia Ox nên ba điểm O A B, , thẳng hàng Trong

ba điểm thẳng hàng, có điểm nằm hai điểm lại Ta chứng tỏ khơng thể có trường hợp O B nằm hai điểm lại

Thật vậy, điểm A B, không trùng O thuộc tia Ox nên O không nằm

giữa A B Điểm B không nằm hai điểm B nằm O A OB+BA OA= nên AO OB> , trái với đềbài

Do A nằm O B BÀI TẬP

15. Ba điểm A B C, , có thẳng hàng hay khơng nếuAB=4cm, AC =5cm,

6

BC = cm?

16. Cho đoạn thẳng AB Trên tia đối tia AB lấy điểm C, tia đối

tia BA lấy điểm D cho BD= AC Chứng tỏ CB= AD

17. Cho đoạn thẳng AB có độ dài 8cm Trên tia AB lấy điểm C cho

2

AC = cm, tia BA lấy điểm D cho BD=3cm Tính độ dài CB CD,

18. Cho ba điểm A B C, , thẳng hàng Biết AB=5cm, BC =2cm Tính độ

dài AC

BÀI TRUNG ĐIỂM CỦA ĐOẠN THẲNG

Trung điểm đoạn thẳng điểm nằm hai đầu đoạn thẳng cách

đều hai đầu

Ví dụ 9. Cho điểm M trung điểm đoạn thẳng AB Chứng tỏ

2 AM = AB

Giải. (h.13)

Hình 12

M trung điểm AB

⇒ M nằm A B

⇒ AM +MB= AB (1)

M trung điểm AB ⇒ AM =MB (2)

Từ (1) (2): AM +AM =AB

⇒ 2AM = AB ⇒ AM = AB

Ví dụ 10. Cho đoạn thẳng AB có độ dài a Trên tia AB lấy điểm M cho

a

AM = Hãy chứng tỏ điểm M trung điểm AB

Giải (h.14) Gọi N trung điểm AB

2 AB a

AN = =

Ta lại có

2 a

AM = nên AM = AN

Các điểm M N, thuộc tia AB AM = AN nên M ≡N

Vậy M trung điểm AB

BÀI TẬP

19. Cho đoạn thẳng AB=5cm, điểm C nằm A B, điểm D E

theo thứ tựlà trung điểm AC CB Tính độ dài DE

20. Cho đoạn thẳng AB=5cm, điểm C nằm A B cho AC=2cm,

các điểm D E theo thứ tự trung điểm AC CB Gọi I trung điểm

của DE Tính độ dài DE, CI

21 Cho đoạn thẳng AB=1m Lấy A1 trung điểm AB, A2 trung điểm AA1, A3 trung điểm AA2,… Cứ tiếp tục A20 trung

điểm AA19 Tính độ dài AA20

22. Cho đoạn thẳng AB=a, điểm C nằm A B, điểm M trung điểm

của AC, điểm N trung điểm CB

a) Hãy chứng tỏ

2 a MN =

b) Kết câu a cịn hay khơng điểm thuộc đường thẳng

A M B

Hình 13

a/2 a M

A B

23 Cho điểm C thuộc đoạn thẳng AB có CA=a CB, =b Gọi I trung điểm

của AB Tính độ dài IC

24. Cho điểm C thuộc đường thẳng AB không thuộc đoạn thẳng AB

Biết CA=a, CB=b Gọi I trung điểm AB Tính độ dài IC Phần II Chuyên đề

Tính sốđiểm, sốđường thẳng, sốđoạn thẳng Ví dụ 11(1).

a) Cho 100 điểm khơng có ba điểm thẳng hàng Cứ qua hai

điểm ta vẽđược đường thẳng Có tất cảbao nhiêu đường thẳng?

b) Cũng hỏi câu a 100 điểm có ba điểm thẳng hàng

Ví dụ 12(1). Trên mặt phẳng có bốn đường thẳng Số giao điểm đường thẳng có thểbằng bao nhiêu?

Ví dụ 13(1). Cho n điểm (n>2) Nối cặp hai điểm n điểm

thành đoạn thẳng

BÀI TẬP

25(1) Cho n điểm A A A1, 2, 3, ,A nn( ≥2)trong khơng có ba điểm thẳng

hàng Cứqua hai điểm ta kẻđược đường thẳng

a) Kểtên đường thẳng hình vẽ n=4

b) Tính sốđường thẳng hình vẽ n 20

c) Tính sốđường thẳng theo n

d) Tính n biết sốđường thẳng kẻđược 1128

e) Sốđường thẳng có thểđược 2004 khơng?

26(1).Cho 100 điểm có bốn điểm thẳng hàng, ngồi khơng có

ba điểm thẳng hàng Cứ qua hai điểm ta vẽ đường thẳng Hỏi có tất cảbao nhiêu đường thẳng?

27(1). Cho n điểm khơng có ba điểm thẳng hàng Cứ qua hai

điểm ta vẽđược đường thẳng Biết có tất cả105 đường thẳng Tính n?

28(1). Cho bốn điểm, hai điểm có đường thẳng

29(1). a) Cho ba đường thẳng cắt đơi Hỏi có giao điểm hình vẽ?

b) Vẽ ba đường thẳng cho số giao điểm (của hai ba đường thẳng) 0, 1, 2,

30(1)*. Cho 101 đường thẳng hai đường thẳng cắt

nhau, khơng có ba đường thẳng đồng quy Tính dốgiao điểm chúng

31(1)*. Cho n đường thẳng hai đường thẳng cắt

nhau, khơng có ba đường thẳng đồng quy Biết số giao điểm

đường thẳng 780 Tính n

32(2). Cho 10 điểm Nối cặp hai điểm 10 điểm thành đoạn thẳng Tính sốđoạn thẳng mà hai mút thuộc tập 10 điểm cho điểm

đã cho:

a) Khơng có ba điểm thẳng hàng;

b) Có ba điểm thẳng

33(2). Cho n điểm Nối cặp hai điểm n điểm thành đoạn

thẳng Tính n biết có tất cả435 đoạn thẳng

34(1). Một đường thẳng chia mặt phẳng thành miền Hỏi

a) Hai đường thẳng chia mặt phẳng thành miền?

b) Ba đường thẳng chia mặt phẳng thành miền?

c) Bốn đường thẳng chia mặt phẳng thành nhiều miền?

LỜI GIẢI HOẶC CHỈ DẪN

ÔN TẬP VÀ BỔ TÚC VỀ SỐ TỰ NHIÊN. 1. A={a b c, , }; B={a b m n, , , }; C ={ }1;3 ; D={1; 2;3; 4}

2. a) A tập hợp số lẻ nhỏhơn 50

b) B tập hợp số tự nhiên có hai chữ số, chữ số giống

c) C tập hợp tháng có 31 ngày năm dương lịch

3. a) { }; b) { }; c) { }; d) *

4.Có ba đáp số: a=13; b=14 a=13; b=15 a=14; b=15

5. Có 12 số:

- Chữ số đứng đầu : 3312; 3321; 3213; 3231; 3123; 3132

- Chữ số đứng đầu : 2133; 2313; 2331

- Chữ số1 đứng đầu : 1233, 1323, 1332

6. Các số chứa chữ số X : IX, XI, XII, XIII

Các số chứa hai chữ số X là: XIX , XXI, XXII, XXIII

Các số chứa ba chữ số X là: XXIX , XXXI, XXXII, XXXIII

Số chứa bốn chữ số X là: XXXIX

Tổng cộng có 13 số

7.a) Ghi bảy số:

b) VIImCCIII, CXXImDXII

8. Biểu thị sốcịn lại sau xố chữ số phần số phải tìm gồm 10 phần

và đơn vị, hiệu chúng 1992

Đáp số: Số phải tìm 2213

9.Đáp số: 102564

10. Giả sử a> > > >b c d Số lớn : abcd, số nhỏ : dcba

Xét tổng:

1 3

a b c d

d c b a +

Lần lượt chứng tỏ: d+ =a 10, c+ =b 12 Suy ra: a+ + + =b c d 22

100 51

11 9

6 4

b)

8

a b c a c b +

Xét phép cộng cột hàng đơn vị cột hàng chục, ta thấy c b+ khơng có nhớ

Do : c+ =b 8; a+ =a Suy ra: a=2

Từ 2< <b c b+ =c 8, ta được: b=3; c=5

Vậy a=2; b=3; c=5

12. Gọi chữ số phải tìm a, b, c a> > >b c Hai số lớn lập

cảba chữ số abc acb, ta có abc+acb=1444

So sánh cột đơn vị cột hàng chục, ta thấy phép cộng c b+ khơng có nhớ

Vậy c+ =b 4, mà b> >c nên b=3, c=1

Xét cột hàng trăm: a+ =a 14 nên a=7 Ba chữ số phải tìm 7, 3,

13. Tổng số bảng tính theo ba dịng 1356, tổng số bảng

tính theo ba cột lại 1256 Khơng có chín sốnào

14. Gọi số ô thứ hai, ba, tư a, b, c, ta có : 4abc∗∗∗∗8 Do 4+ + = + +a b a b c nên c=4 Như cách hai ô, số viết lặp lại Ta

điền sơ bộđược:

4 84 84 8∗ ∗ ∗

Sử dụng tiếp điều kiện tổng ba sốởba ô liền 17, ta kết quả:

4 8

15.Xét hai trường hợp:

1

a a −

a a −

16. abba+cdc=ee

Lần lượt tìm được: a=1, c=9, e=2, b=0, d =7

Ta có: 1001 979− =22

17. Tổng số từ đến bằng: 9+ + + + =45

Tổng ba lần tổng sốở cạnh là: 17.3 45− =6

Do tổng ba sốởđỉnh tam giác Các số xếp hình 17

Hình 17. 18.Xét hai trường hợp:

a) Sốbị trừtăng gấp ba

Sốbị trừ ×3

Hai lần số trừ:

60 4+ =64

Số trừ Số trừ: 64 : 2=32

Sốbị trừ Sốbị trừ: 32 4+ =36

60

12

b) Số trừtăng gấp ba số trừ:

Số trừ Hai lần số trừ:

60 12− =48

Sốbị trừ Số trừ: 48 : 2=24

Sốbị trừ ×3 Sốbị trừ: 24 4+ =28

19. Gọi hiệu hai số a tổng chúng 5a, tích chúng 24a

Số nhỏbằng: (5a−a): 2=2a

Số lớn bằng: (5a+a): 2=3a

Số nhỏ: 24

a a =

Số lớn: 24 12

a

a =

20.Đáp số: Số lớn: 64 Số nhỏ: 48

21. Sốbịnhân: 135 Số nhân: 46

22 Bảo nhân số bị nhân với 12, tích bị giảm đi: 102 12 90− = lần số bị nhân hay 21870 Vậy sốbị nhân 243

23.Đáp số: 62

24. Do đặt sai vị trí tích riêng nên bạn học sinh nhân số bị nhân với

4 3+ + Vậy sốbịnhân bằng:

30524 :13 2348=

25 11111111 2222 1111.10001 1111.2 1111.9999 1111.3.3333 3333.3333− = − = = =

26 Lấy chia cho 7, sau bổ sung vào sốbị chia chữ số số dư bằng 0, ta sốbị chia gồm sáu chữ số9, thương 142857

Tiếp tục bổ sung chữ số vào số bị chia, ta số thứ hai

Hai số phải tìm là: 142857 142857142857 27 Biến đổi:

  =  =  

50 ch÷ sè 50 ch÷ sè 50 ch÷ sè 50 ch÷ sè 50 ch÷ sè 50 ch÷ sè

33 33 11 1.3 33 11 99 Giải tiếp ví dụ

Đáp số:  

49 ch÷ sè 49 ch÷ sè

11.111 88

28 a) Ta có nhận xét: 111222 :111 1002= Do đó:

111222 111.1002 111.3.334 333.334

= = =

b) Chia 444222 cho 222 2001 Do đó:

444222 222.2001 222.3.667 666.667

= = =

29 Số bịchia 35 lần số chia Nếu tăng thêm 1056 số bị chia 57 lần số

chia Vậy 1056 bằng: 57 35 22− = (lần số chia) Sốchia: 1056 : 22 48=

Sốbịchia: 48.35 1680=

30 Đáp số: 475 71

31 Đáp số: 153 32

32. Ta thấy 365 : 52= (dư 1) nên năm có 52 ngày chủ nhật

366 : 52= (dư 2) nên năm có nhiều 53 ngày chủ nhật

33. Từ 19 – – 1945 đến 19 – – 2002 có 57 năm, có 14 năm nhuận, gồm 365.57 14 20819+ = (ngày), tức 2974 tuần, lẻ ngày

Vậy ngày 19 – – 1945 vào chủ nhật

34. Gọi a b sốbị chia sốchia lúc đầu, x r thương sốdư phép

35.Đáp số: Thương phép chia 15

36.Đáp số: Thương 17

37. Ta thấy thương khác nên sốbị chia lớn số chia Ta thấy:

a) khơng số chia số lớn số cho chia dư 1, mà

không thuộc sốđã cho

4 khơng số chia số lớn sốđã cho chia hết cho 4, mà không thuộc sốđã cho Cũng vậy, số16 64 không số chia

Xét số chia 256, sốbị chia 772, ta có: 772 chia cho 256 dư Bốn số thuộc sốđã cho Vậy sốbị chia 772, sốchia 256, thương 3, sốdư b) Nếu sốchia sốdư 1, khơng có mặt dãy sốđã cho

Chú ý 243 567 chia hết cho 81 nên sốchia 3, 9, 27, 81 sốdư 0, khơng có mặt dãy sốđã cho

Vậy sốchia 243, sốbịchia 567, thương 2, sốdư 81

38. Gọi sốbịchia lúc đầu aaa, sốchia lúc đầu bbb, sốdư lúc đầu r Ta có:

2

aaa= bbb r+ ( )1

2 100

aa= bb r+ − ( )2

Từ ( )1 ( )2 suy ra:

( )

2 100

00 00 100

2

aaa aa bbb bb

a b

a b

− = − +

⇒ = +

⇒ = +

Ta có:

b

a

Thử trường hợp, ta ba đáp số:

555 222; 777 333; 999 444

13 100

aaa= bb r+ − ( )2

Từ ( )1 ( )2 suy ra:

000 13 00 100

0 13

a b

a b

= +

= +

Như vậy, 13b tận nên b=3, a0 40= Sốbị chia sốchia lúc đầu 4444 333

40. a) 4 810 15 =2 220 45 =265

b) 1030 ; c) 328

d) ( ) ( )

( )

3

3 6 4 12

2

2 2 3

2

2 3

A= = = =

e) 11 510(9 4 ) 16109 3 16

B = + = =

41. a) Đáp số:

b) Có thừa sốbằng Đáp số: 0

42. a) x=5 ; b) x=0 x=1 c) x=2 ; d) x=5 x=6

43.Ta có: 99 100

3 3

A= + + + + (1)

2 100 101

3A=3 + + +3 +3 (2)

Lấy (2) trừ(1) ta được: 101

2A=3 −3

Do 2A+ =3 3101 Theo đềbài, 2A+ =3 3n

Vậy n=101

44. Gọi số tự nhiên phải tìm abc (1≤ ≤a 9;0≤b c, ≤9) Số viết theo thứ tựngược lại cba

5

a c− =

Xét số: 0,6 1,7 2,8 3,9 4b b b b b

chỉ có 0b có b2 =0.5 0= cho b=0

và 4b có b2 =4.9 36= cho b=6

Đáp số: 500 964

45. a) 19.64 76.34 38.32 38.68+ = +

=38 32 68( + )=38.100 3800=

b) 35.12 65.13 35.12 65 12 1+ = + ( + )

=35.12 65.12 65 12 35 65+ + = ( + )+65

=1200 65 1265+ = c) 136.68 16.272 136.68 32.136+ = +

=136 68 32( + )=136.100 13600= d)

e)

46. a) A=1998.1998 1998 1996 2= ( + )=1998.1996 1998.2+

( )

1996.2000 1996 1998 1996.1998 1996.2

B= = + = +

A lớn B là: (1998 1996 2− ) , tức

b) A lớn B 100

c) A=25 31 2( + )−10 25.31 25.2 10 25.31 40= + − = + ( )

31 25 10 31.25 31 10 31.25 41

B= + + = + + = + A nhỏhơn B

d) A nhỏhơn B 10

47. Biến đổi sốbịchia đểđược số chia

b) 3737.43 4343.37 37.101.43 43.101.37 0− = − = Sốbịchia 0, sốchia khác nên thương

49. a) Đáp số:

b) Sốbịchia bằng: 1374.57 1374.43 1374 57 43+ = ( + )=1374.100 137400= Số chia bằng:

( ) ( )

26.13 74 13 1+ + =26.13 74.13 74+ + = 26 74 13 74 1300 74 1374+ + = + =

Đáp số: 100 c) Đáp số: d) Đáp số:

50. a) 15.a 364 697 :17 41

a

+ = =

364

15 41

a + =

364

41 15 26

a = − =

364 : 26 14

a= =

Trang 108-112

b) Đáp số: a= 14

51. a) x= 14; b) x=

52. 55 55+ − +(5 5)=100

(5.5 5− × − −) (5 5)=100

(5 5+ × + ×) (5 5) (5 : 5)=100

(5 5+ + × +) 5.5 100=

(555 55 : 100− ) =

b) 222 22

2

− ; 333 33 999 99 ; ;

3

− … − ;

99 99 ; 55 55 (5 5) 99

+ + − + ;

5 (5 5) (5 5) ; (5 5) (5 5)

5 − ⋅ + − + ⋅ + ⋅ ; (5 5) 5 5+ + +

54. a) 5 66 6

(5 5) (5 5); (5 5) : 5;

6

+  − 

+ ⋅ + +  

 

b) 3 3 3; 33 3

3

+ +

−  ⋅ +   

   

   

3

3 6

33.3 ; 6

3

+  +   + − 

   

   

55 1 78 100+ + − + + + + =

1 34 67 100+ + − + − + =

1 23 56 100+ − + + + + =

1 23 56 78 100+ − + + + − =

12 67 100+ − + + + + =

12 67 100+ − + + + + =

12 89 100+ − + − + + =

12 89 100+ − + − + + =

123 6 100− − − − − + − =

123 45 67 100+ − + − =

123 45 67 89 100− − + =

98 100+ − + − − + + = 98 100− + − + + + − = 98 100+ + − + + + − = 98 100+ − + + + + + = 76 100+ + + + − + + = 76 100+ + + − + + + = 76 54 32 100− + + − + =

b) 65 99+ + + + + + + = 43 21 99+ + + + + + =

57. a) Có, chẳng hạn: 12 13 14 15 16+ + + + =70

b) không Tổng năm số lẻ số lẻ, không thểbằng 70 58 a) Có, chẳng hạn:

Nhóm I : 13 15 17+ + + + + =54

NhómII: 11+ + =27

b) Khơng Tổng chín số lẻ số lẻ, không chia hết cho

59. a) Giả sửcó ba số tự nhiên có tổng tận 4, tích tận Tích số lẻ nên cảba sốđều lẻ, tổng chúng số lẻ, tận Vậy không tồn ba số tựnhiên

b) Không tồn tại, tích bốn số số lẻ cảbốn sốđều lẻ, tổng chúng số chẵn

60. Từ a b c + =a 333 suy alà số lẻ Tương tư b c số lẻ

Nhưng a b c + a số chẵn, vô lí

61. a) abba=1001a+110b chia hết cho 11

b) abcdeg =1000⋅abc+deg =2001⋅deg chia hết cho 23, 29

64. deg 10000.abc = ab+100×cd +eg =9999×ab+99×cd+(ab+cd+eg) chia hết cho

11

65. a) abcdeg 1000= ×abc+deg =999×abc+(abc+deg) chia hết cho

b) abcdeg 1000= ×abc+deg =1001×abc−(abc−deg) chia hết cho

c) Trong tám số, tồn hai số có sốdư phép chia cho Sau áp dụng kết câu b

66 n=20 20 20a a a=20 20 1000a a +20a=(20 1000a +20 ).1000a +20a 1001.20 1000a 20a

= +

Theo đềbài n chia hết cho 7, mà 1001 chia hết 20a chia hết cho

Ta có 20a=196 (4+ +a), chia hết 4+a chia hết cho Vậy a=3

67. Gọi ba chữ số a, b, c Tổng sốtheo đềbài 222.(a+ +b c) chia hết

cho 37

68. Giả sử tồn số tự nhiên x y mà

(x+y x)( − y) 1002= ( )1

Không thể xảy trường hợp x y có số chẵn, số lẻ xảy

thì

x+y x– y lẻ nên tích (x+y)(x−y) số lẻ, trái với ( )1

Vậy x y phải chẵn lẻ Khi x+y x–y chẵn nên tích (x+ y)(x−y) chia hết cho 4, 1002 khơng chia hết cho 4, vơ lí

Vậy khơng tồn số tự nhiên x y mà (x+ y)(x−y)=1002

69. Gọi số phải tìm ab.Ta có:

1999ab: 37

⇒199900+ab: 37

⇒26+ab: 37

Vậy ab∈{11; 48;85}

70.a) Xét hai trường hợp: n chẵn n lẻ

b) Xét ba trường hợp : n=3 ,k n=3k+1,n=3k+2 (k∈)

71.Cách 1. a b ⇒ =a bk k1( 1∈); b≠0

b a ⇒ =b ak2(k2∈);a≠0

Suy :a=bk1=ak k2 1⇒k k2 1= ⇒1 k1 =k2 =1 Vậy: a b hai số tựnhiên

nhau khác

Cách 2. a b: ⇒ab ;b≠0

b : a ⇒b a a; ≠0

Suy :a b a

72. Số chữ số viết từ1 đến abc là: 1.9 2.90 3.( 99) 108

m= + + abc− = abc−

Ta có 3.abc−108 chia hết cho abc nên 108 chia hết cho abc Vậy abc=108

73.Được, chẳng hạn:

9 5− + − + − + − + = − + − + + − − − =5

b) Không thểđặt được:

Cách 1:Dù đặt dấu “ ”+ “ ”− thếnào dãy tính viết dạng:

(9 *8 * * * * * 3* *1) ( ) ( ) ( ) d =

Tổng hiệu hai số tự nhiên liên tiếp số lẻ nên dấu ngoặc số lẻ,

do d số lẻ, khơng thểbằng

Cách 2. Giả sửta đặt đấu “ ”+ sốđã cho thìdãy tính :

Số 45 trừ số chẵn lần hay nhiều lần củng số lẻ, khơng thể

có kết q

Vậy không thểđặt dấu “ ”+ “ ”− vào sốđã cho để kết quảbằng

74. Tổng lúc đầu 45, số lẻ Mỗi lần xố hai số a, b thay hiệu

của chúng tổng giảm đi: (a+b) (− a b− )=2b số chẵn Do tổng

luôn số lẻ Vậy không ta kết quảbằng

75. Cách 1. Chia vé xổ số thành hai loại: vé dạng abcabc vé dạng

abcdeg mà abc≠deg (ví dụ 812650)

Mỗi vé thuộc dạng thứ chia hết cho 13 Ghép hai vé thuộc dạng thứ hai

abcdegvà degabc thành cặp, tổng hai số 1001 abc + 1001 deg chia

hết cho 13

Cách 2. Ghép vé số A với vé số A′ =999999−A A′ ≠ A có tính chất

như số A (là tổng ba chữ số đầu tổng ba chừ số cuối) ta thấy

999999

A+A′= chia hết cho 13

(Ví dụ А=812650 thìA′ =187349, А=982748 A′ =017251, tổng A+A′

chia hết cho 13)

76. Ta thấy 13! 11! có tận chúng chứa thừa số 10 DoА2,

А

Để chứng minh А155, ta viết A dạng:

( )

13! 11! 11! 12.13 11!.155

А= − = − −

77. Gọi A tổng số tự nhiên tờ1 đến 154

(1 154).154

155.77

+

= =

A

A không chia hết cho 2; A chia hết cho 78. A tận bàng nên chia hết cho

79. Ta thấy ( )

1

n + =n n n+ Tích hai số tự nhiên liên tiếp tận 0,

2, Do n2+ +n tận 6, 8, 2, không chia hết cho

80. Các số chia hết cho khơng chia hết cho có tận 2, 4, 6, 8;

mỗi chục có bốn số

Từ0 đến 999 có 100 chục nên có:

chia hết cho

81. Các số chia hết cho 25 có tận 00, 25, 50, 75 nên số chia cho 25

dư có tận 03, 28, 53, 78

Các số chia hết cho có hai chữ số tận tạo thành số chia hết số chia

cho dư có hai số tận tạo thành số chia cho dư Trong số 03, 28, 53, 78 có số53 chia cho dư

Vậy số chia cho dư 1, chia cho 25 dư số có tận 53

82.Trước hết tìm số chia cho 125 dư 12, số cố tận 012, 137, 262, 512, 637, 762, 887 Trong số trên, chọn số chia cho dư

Đáp số: Các số có tận 387

83. Khơng có phép trừ hai số tự nhiên đềbài Giải thích: Nếu số trừ gấp ba lần hiệu sốbị trừ chia hết cho 4, mà 1030 không chia hết cho

84. a) 5216; b) 24867

85. a) Số 3a b  ⇒ + + + +7 a b 3 ⇒13+ +a b3⇒ +a chia cho dư 2( )1

Ta có а− =b nên:

4≤ ≤a

0≤ ≤b

Suy 4≤ + ≤a b 14 ( )2

Mặt khác a−b số chẵn nên a+b số chẵn( )3

Từ ( )1 , ( )2 , ( )3 suy га: а+ ∈b {8;14 }

Với a+ =b 8; a− =b ta a=6; b=2

Với a+ =b 14; a− =b ta a=9; b=5

b) 9a + b  ⇒512 10+ (a+b)9

( )

504 a b a b

⇒ + + + + +  ⇒ +a b chia cho dư

Do a+ ≥ − =b a b nên a+ =b 10 Từđó tìm được:a=8; b=2

86 Gọi số phải tìm abc Do a+ +b c chia hết cho 2b= +a c nên 3b chia hết

cho 9, suy b chia hết cho Như b∈{0;3;6;9} Do abc5 nên c∈{ }0;5

Xét số ab0 với a=2b, ta số 630

87. a) Tổng hai sốbằng 9657, hiệu chúng 5391 Các sốđó 7524 2133

b) Tổng hai số phải tìm số chia hết có thểbằng 5130 5139

Nếu tổng hai số 5130 số nhỏ 5130 : 1710= , số lớn 3420, thỏa

mãn tốn

Nếu tổng hai số 5139 số nhỏ 5139 : 1713= , loại khơng chia hết

cho

Đáp số:1710 3420

88 Chú ý số bị trừ số trừ có số dư phép chia hiệu phải chia hết cho

Chú ý: Bỏ từ“ngược lại” đềbài, toán

89 Gọi số phải tìm abc, ta tìm đượca c− =3

Đáp số:360; 855

90. a) Số 28

10 +8 chia hết cho (vì tổng chữ số 9) chia hết cho (vì tận

cùng 008) nên chia hết cho 72

b) 8 20 ( )3 20 24 20 20 ( 4 ) 20

8 +2 = +2 =2 +2 =2 + =1 17

Vậy 20

8 +2 chia hết cho 17

91. a) Viết A dạng: A=2 2( + )+2 23( + )+

hoặc ( 2) 4( 2)

2 2 2

A= + + + + + +

hoặc ( 3) 5( 3)

2 2 2 2

A= + + + + + + + +

b) B có 996 số hạng, 996 chia hết cho 4, cho

Chia B thành nhóm ba số hạng, nhóm chia hết cho 3+ 2+34 =91 nên B

chia hết cho 13

Chia B thành nhóm bốn số hạng, nhóm chia hết cho 3+ 2+34+36 =820

92. Chú ý số n số có tổng chữ sốbằng n có sốdư phép chia cho 9, 111

n

n − 

ch÷ sè

chia hết cho a) 111 111

n n

n+ = n+ −n

 

 

ch÷ sè ch÷ sè

chia hết cho

b) 10n +18n− =1 10n− −1 9n+27n 99 9 27 111 27

n n

n n  n n

= − + =  − +

 

 

ch÷ sè ch÷ sè

chia hết cho 27

c) 10n+72n− =1 10n− −1 9n+81n 99 9 81 111 81

n n

n n  n n

= − + =  − +

 

 

ch÷ sè ch÷ sè

chia hết cho

81

93 a) Gọi A=111 1

81 ch÷ sè

; B=111 1

9 ch÷ sè

Đặt C = A B:

  

10 010 01 01 C =

8 ch÷ sè ch÷ sè ch÷ sè

gồm chữ số 64 chữ số 0, chia hết cho

Ta thấy A=B C mà Bvà C chia hết cho 9, A chia hết cho 81

b) Gọi A=1010 10 (27 cặp chữ số10), B=1010 10 (9 cặp chữ số 10)

Đặt C = A B: ; chứng minh B9, C3

94. Giải tương tự ví dụ 13

95. a) 100 50

3 =9 Số chữ số 3100 không 50 nên tổng chữ số khơng

q:9.50=450, 459

b) Số 1000

3 (tức 9500) khơng có q 500 chữ số Kí hiệu tổng chữ số n ( )

S n , ta có:

( )1000

3 9.500 4500

= ≤ =

A S , B=S A( )< + + + =4 9 31 Chú ý 31000 chia hết A, B, C chia hết cho Suy B∈{9;18; 27} ba trường hợp ta

đều có C =S B( )=9

96. Ta có a=béi 9+r1, b=béi 9+r2 Để chứng minh r r1 2 ab có số dư

1 2

9 r r r r

=béi + − =béi

Chú ý: Nhận xét cho ta cách kiểm tra kết phép nhân Chẳng hạn cần kiểm tra kết phép nhân sau: 438.23=9974 Ta có r1 =6, r2 =5, r r1 =30 chia

dư Còn ab=9974 chia dư Vậy chắn phép nhân làm sai

Trong thực hành ta thường thử kết phép nhân cách viết r1, r2, m, n

hình 18, m sốdư r r1 2 chia cho 9, n sốdư ab chia cho Nếu m=n có nhiều khả phép nhân làm Nếu m≠n

chắn phép nhân làm sai

Nhận xét cho ta cách kiểm tra kết phép chia

97. Chứng minh abc chia hết cho số bac chia hết cho

98. Xét abcd ab cd Đặt ab=m, cd =n (100m+n mn) ( )1 Do n m

Đặt n=km ( )2 với k∈, k <10, thay vào ( )1 ta (100m+km mkm)

(100 )

⇒ +k km ⇒100k⇒ ∈k {1; 2; 4;5} (vì k <10)

Thay k 1, 2, 4, vào ( )2 ( )1 ta hai giá trị thỏa mãn toán 1734 17.34 1352 13.52

99. Gọi n=abcde=45 .a b c d e



n mà e≠0 nên e=5⇒n lẻ ⇒a, b, c, d lẻ

Suy n25 ⇒ =d (vì d lẻ)

( )

9⇒ + + +12

 

n a b c ⇒(a+ + +b c 9) ⇒(a+ + ∈b c) {6;15; 24} Chú ý + +

a b c số lẻ nên a+ + =b c 15 ( )1

Ta thấy ( )

Hình

r2 r1

Từ ( )1 suy a, b, c∈{9;5;1}, {9;3;3}, {7;7;1}, {7;5;3}, {5;5;5} Do ( )2 nên cần

xét {9;5;1} {7;7;1} Trong trường hợp đầu ta có a b c =45, n=45.45.35=70875,

loại Trong trường hợp sau ta có a b c =49⇒ =n 45.49.35=77175 thỏa mãn đềbài

Vậy số phải tìm 77175

100. Tổng khối lượng hàng 2017 kg, số chia cho dư 2, số kilôgam hàng

đã bán số chia hết sốkilôgam hàng lại phải số chia cho dư Do hịm cịn lại chứa 327 kg

101. Số lớn lập 4321, số nhỏ 1234 Nếu tồn hai sốđược lập

là x y mà x y thương

Cách 1. Nếu thương chữ số x phải 2, 4, 6, trái với đềbài

Nếu thương x chia hết cho 3, trái với đề tổng chữ số x

bằng 10

Cách 2. Chú ý x y có tổng chữ sốbằng 10 nên số chia cho dư ( )1 Nếu thương phép chia x cho y 2, sốbị chia x chia cho thứ tựdư 2, dư 3, trái với ( )1

Vậy không tồn hai số mà số chia hết cho sốcòn lại

102. Chú ý sốđược lập có tổng chữ sốbằng 28, số chia cho dư

Giải tương tựnhư cách

103. Trong 25 số nguyên tố (từ đến 97) có số chẵn nhất, cịn 24 số

là số lẻ Do tổng 25 sốđó số chẵn

104.Trong ba số nguyên tố có tổng 1012, phải có số chẵn, số 2; số

nhỏ ba số nguyên tố

105.Đáp số: 2, 3, 5,

106. Tổng hai số nguyên tốbằng 2003, số lẻ, nên hai số nguyên tố

phải Khi số 2001, số hợp số Vậy không tồn hai số nguyên

tố có tổng 2003

- Nếu 1+a số chẵn 1+ =a (vì 1+a số nguyên tố) Khi a=1, khơng

số ngun tố: loại

Đáp số: Hai số tự nhiên phải tìm

108. Tất cảđều hợp số a) A3

b) B11

c) C101

d) D=1112111=(1111000 1111 1111+ )

e) E3 1! 2! 3+ =  , 3! 100!+ + chia hết cho

g) Số 3.5.7.9 28− chia hết cho

h) Số 311 141 111=(311 110 000 31 111 31 111+ )

109. Xét sốcó ba chữ số lập phương số tự nhiên, 125, 216, 343, 512, 729 có số 125 thỏa mãn toán (521 số nguyên tố).Đáp số: 521

110. Số n=abba chia hết cho 11 lại tích ba số nguyên tố nên số

nguyên tố phải 11 Xét tích 5.7.11 385= (loại); 7.11.13 1001= (đúng); 11.13.17=2 431 (loại)

111 a) b) Đáp số: p=3 Xét p dạng p=3 ;k p=3k+1;p=3k+2 (k∈) )

c Đáp số: p=5 Xét p dạng p=5k; p=5k+1; p=5k+2; p=5k+3;

p= k+ (k∈)

112 Gọi a, b, c, d, e số nguyên tố cho a= + = −b c d e ( giả sử b≥c)

Chứng minh c= =e 2, nên b, a, d ba số lẻ liên tiếp nhau, sau chứng

minh b=3 Số nguyên tố cần tìm (5= + = −3 2)

113 Các số nguyên tố lớn có dạng 3k+1 3k+2 (k∈) Có ba số mà

có hai dạng nên tồn hai số thuộc dạng, hiệu chúng (là d 2d) chia

hết cho 3, d chia hết cho Mặt khác dchia hết cho d hiệu hai

114 Gọi hai số nguyên tố sinh đôi p p+2 Chứng minh p+1 chia hết

cho chia hết cho

115 p số nguyên tố lớn nên p lẻ, p+1 2 ( )1

p số nguyên tố lớn có dạng 3k+1 3k+2 (k∈)

Dạng p=3k+1 không xảy Dạng p=3k+2 cho ta ( )2

Từ ( )1 ( )2 suy p+1 6

116 p số nguyên tố lớn nên p có dạng 3k+1 3k+2 (k∈) Nếu 3k+2thì p+4 hợp số, trái với đề Vậy p có dạng 3k+1, p+8 hợp

số

117 Xét p dạng: 3k ( p=3), 3k+1, 3k+2 (k∈) Dạng thứ ba khơng

thỏa mãn đểbài (vì 8p−1 hợp số), hai dạng cho 8p+1 hợp số

118 Ta có abcd =59007, c+ =d 102, 1≤ ≤a 31, 1≤ ≤b 12 Phân tích thừa số

nguyên tố: abcd =3.13.17.89 Trong ước abcd, có hai số 13 89 có

tổng 102 Tuổi Long 89, d =13, c=89 Còn lại ab=3.17

Do b≤12 nên b=3, a=17 Vậy Long sinh ngày 17 1989− −

119 Giải tương tựnhư ví dụ 19 Đáp số: r=1

120 a) Tổng ba hợp số khác nhỏ bằng: 18+ + =

b) Gọi 2k+1 số lẻ lớn 17 Ta ln có 2k+ = + +1 (2k−12) Cần

chứng minh 2k−12 hợp số chẵn (hiển nhiên) lớn (dễ chứng minh)

121 a) x y số tự nhiên nên 2x+1 y−3 ước 10 (y>3)

Các ước 10 1, 2, 5, 10

2x+1 số lẻnên:

2x+1 y−3 x y

1 10 13

3x−2 2y−3 x y

1 1

c)

2y−1 x+1 x y

1 12 11

3

d) x+ −  x

1

⇒ − + − x  x

7

⇒ −  x

Đáp số: x=2; y=8 x=8; y=2

e) Đáp số: x=3; y=0

122. Sốchia 31, thương 103

123 Đáp số: 17 124 Đáp số: 23

125. Phân tích 600 thừa số nguyên tố:

600=

Ghép thừa số lại đểđược tích hai số tự nhiên liên tiếp:

( )

3

2 = = 24 25

Đáp số: 24 25

126 2730 = = 13 13 14 15

127

12075 23 21 23 25 = =

128. Bán x hộp bút với giá y trăm đồng hộp, 1073 trăm đồng nên

1073

x y = Như y ước 1073 y>32

Phân tích thừa số nguyên tố: 1073 29 37 = Loại trường hợp y= 1073 không thực

129.Ta có: ( 1) 820

n n+

=

( 1) 1640

n n

⇒ + =

Tìm n=40

130. Giả sử số 100 viết dạng k số lẻ liên tiếp n+2, n+4, …n+2k ta

có: (n+2) (+ n+4)+ + (n+2k)=100 với n lẻ, k >1

Có hai đáp số: 49 51+ 19+ + +

131. Tổng sốnhà 161, số lẻ nên sốnhà lẻ số số nhà lẻ

Gọi số nhà Hùng (ở đoạn phố) x, số số nhà n Trung bình cộng

của hai sốnhà cách nhà Hùng x Ta có x n =161

Phân tích thừa số nguyên tố: 161 7.23= Loại trường hợp đoạn phố có 23 số nhà,

Số nhà Vậy đoạn phố có số nhà, số nhà 23 Đó số nhà

của Hùng

132. Gọi bốn sốở vị trí A B C D, , , a b c d, , , Theo chiều mũi tên b số lớn

Ta có b≤99⇒ ≤c 49⇒ ≤d 24⇒ ≤a 12

Giá trị lớn a mà ta chọn 12, d =24, c=48, b=96

133. a) n=0; n=2

b)

4

n + n+ ⇒n n( +2) (−2 n+2)+8n+2⇒8n+2

Đáp số : n=0, 2;

c) 13(n− +1) 13n− ⇒1 13n−1

Đáp số : n=2; n=14

134. Gọi số phải tìm abc, ta có abc+1001 10+ n+ =n abc n Suy abc n

Đặt abc =n k (k∈) nk +111n=nkn

Chia hai vế cho n≠0 ta k+111=nk tức 111=k n( −1) Như k n−1

ước 111

k n−1 n abc

1 111 112 112

3 37 38 114

37 148

111 222

135. Ta thấy : 398 – 38=360a; a>38 450 18− =432a; a>18

Vậy a ước chung 360 420, đồng thời a>38

Phân tích thừa số nguyên tố:

360=2 5;

432=2

ƯCLN( )

360, 432 =2 =72

Ước chung 360 432 mà lớn 38 72

Vậy a=72

136. a∈ƯC(336, 294) a>26

Đáp số : a=42

137. Số học sinh ước chung 100 4− =96 90 – 18=72, đồng thời lớn 18

Đáp số: 24 học sinh

138. Số phần thưởng lớn ƯCLN(128, 48,192)

Đáp số: Chia nhiều thành 16 phần thưởng, phần gồm vở, bút chì,

12 nhãn

139. Số hàng dọc nhiều ƯCLN(300, 276, 252)

Đáp số: Xếp nhiều thành 12 hàng dọc Khi đó, khối có 25 hàng ngang,

khối có 23 hàng ngang, khối có 21 hàng ngang

140. Số phần thưởng phải tìm ƯCLN(200, 240,320)=40 Mỗi phần thưởng có

bút bi, bút chỉ, tẩy

142. Đáp số: 2520, 5040

143. Chiều dài ngắn đường chạy tính mét BCNN(330,75)=1650

gồm 1650 : 75=22 chặng

144. a) giờ; b) ; c) 10

145.Đáp số: 615 người

146. Gọi số phải tìm n

( )

9 17 , 25

n+ ∈BC Từđó b=425k−9

Đáp số: 416 841

147. n+1! 8 ⇒ + +n 64 8 ⇒ +n 65 8 ( )1 31 62 31 65 31

n+  ⇒ + +n  ⇒ +n  ( )2

Từ ( )1 ( )2 : n+65 BCNN 8,31 ( ) 65 248

n ⇒ + 

( *)

248 65

n k k

⇒ = − ∈ Với k =3 n=679;

Với k=4 n=927;

Với k=5 n=1175

Để n số lớn có ba chữ số, ta chọn n=927

148. Gọi số phải tìm n, ta tìm n+22∈BC 15,35( )

Đáp số: 83, 188, 293, 398

149. a) Gọi số phải tìm n

Ta có n+ ∈1 BC 2,3, 4,5, 6( )

Từđó n=60k−1 (k∈)

Biến đổi:

1 60 300 60 299 60

a+  ⇒ + −a  ⇒ −a  ( )1

13 13.23 13 299 13

a ⇒ −a  ⇒ −a  ( )2

Từ ( )1 (1) ( )2 suy ra: a−299 BCNN 60,13 ( )⇒ −a 299 780

Dạng chung a là: a=780k+299 (k∈)

150. Gọi n số phải tìm

( )

2 BC 8,12,15

n+ ∈

Do n=120k−2 (k∈)

Lần lượt cho k 1, 2,3, đến k =5 598 bội 13

Đáp số: n nhỏ 598 151.Đáp số: 4797

152. Gọi a số phải tìm Số 2a chia cho 5, cho 7, cho dư

2a−1 BCNN 5, ,9( )

Đáp số: a=158

153. Gọi a số phải tìm Số 2a chia cho 3, cho 4, cho dư

2a−2 BCNN 3, 4,5( )=60

Đáp số: a=31

154. Khoảng cách hai cột liên tiếp khơng phải trồng lại (tính mét) bội chung nhỏ 60 80, tức 240 ( )m

Số cột trồng lại: 4800 21

240 + = (cột)

155. Số ngày phải tìm BCNN 15, 20,12, 7( )

Đáp số: 420 ngày

157. Gọi số giấy lớp thu x ( )kg x−26 11 ; x−25 10

( )

15 BC 11,10

x− ∈ ngồi 200< <x 300 Ta tìm x=235, lớp 6A có 20

học sinh, lớp 6B có 22học sinh

158. BCNN 60, 62( )=31.60

Thời gian để hai thiết bị phát tiếng "bíp” 31.60 giây hay 31

phút Lúc 10 31 phút

159. Đồng hồ thứ lấy lại xác chạy nhanh 12 giờ, tức 720 phút, lại chỉđúng sau: 720 : 2=360 (ngày)

Đồng hồ thứ hai lấy lại xác chạy chậm 12 giờ, tức 720

phút, lại chỉđúng giờ sau: 720 : 3=240 (ngày)

Số ngày để cảhai đồng hồ giờđúng BCNN 360, 240( )=720

Đáp số: 720 ngày

SỐ NGUYÊN

160. a) lớn ; b) nhỏhơn ; c) lớn ; d) lớn ; e) nhỏhơn 161. a) 99; b) −10

162.a) ; b) ; c)

163. a) a ≥a ; b) a ≥0 ; c) Nếu a>0 a =a; d) Nếu a=0 a= a ;

e) Nếu a<0 a< a

164. a) Sai, ví dụ: a=5, b= −5

b) Sai, ví dụ: a=3, b= −10

165. ( )− + =9

168. a) Các số phải điền vào dòng một, hai, ba theo thứ tự −4; −3; −2 Tổng

các sốở cột một, hai, ba theo thứ tựbằng −1; 9; −1

b) Khơng thể điền vậy, khơng có chín số mà cộng theo dịng được: 5+ − + =( )3 4, cộng theo cột được: − + + =1 2

169.a) Điền vào ô trống số a b c d e g h i, , , , , , , :

6 a b c d e g −4 h i Ta có 6+ + == + +a b a b c suy c=6

Do cách hai ơ, số lại viết lặp lại Với nhận xét này, ta điền

sơ bộvào bảng

Lặp lại nhận xét số –4,

cuối ta điền đủnhư bảng

b) Nhận xét cách ô, số lại lặp lại

6 a b d e − h 4

6 −4 b −4 e − h 4

6 −4 −4 −4 − 2 −4 −2

170 x= −19

171. Xét trường hợp :

0

a> − <a nên a> −a; a=0thì − =a nên a= −a

a< − >a nên a< −a

Đáp số : a) a nguyên dương; b) a=0 ; c) a nguyên âm

172. a=5,b=6,c= −3

173. Lần lượt tính b= −1,c= −2,d = −3 Do a= − − − − =1 ( 3)

174. Ta có (x1+x2)+(x3+x4)+ + (x49+x50)=1.25=25 Do x51 = −25 Vậy x50 = −1 x51 =26

175. a) −42.1000= −42000 ; b) −127 57( +43)= −127.100= −12700; c) −3400;

d) (−25 68 68.125) + =68.100=6800

g) Cộng nhóm bốn số, ta ( )−8 50=–400

h) Cộng nhóm bốn số, ta 0.25=0

i) 100 99 98 97

( )

2 2 D= − + + + + +

Đặt M biểu thức dấu ngoặc, ta có:

100 99 98

2M =2 +2 +2 + + +2

99 98

2 2

M = + + + + +

Suy 100

2

M = −

Vậy 100 ( 100 )

2 1

D= − − =

176.Có cách đặt dấu ngoặc:

(1* * * 4)

 

  ; 1* * 3( )* 4; (1* * 3* 4) ( ); 1*(2 * * 4) ; 1* * 3* 4 ( )

Giá trị lớn 36 [(1 2).3 4+ ] =36 (1 2).(3.4)+ =36

Giá trị nhỏ là-23 1−[(2.3).4]= −23

[ ]

1− 2.(3.4) = −23

177 a) 1; b) hoặc 1; c)-1

178 Số thứ ba bằng-1, số thứ tư Như số 1, -1, -1 lặp lại tuần

hồn Do đó: a1=a4 =a7 = = a100 Vậy a100 =1

179 a) x+2 ước Lần lượt cho x+2 1, -1, 5,-5, ta x -1,-3,

3,-7 Các cặp số ( ; )x y ( 1;8), ( 3; 2), (3; 4), ( 7; 2)− − − −

b) Có ba cặp số ( 2;1), (2;1), ( 4;0)− −

180 A= − − −11 13 15 99− − , 10 12 14 98

= + + + +

B

Do

45 số hạng

( 1) ( 1) ( 1) ( 1).45 45 A B+ = − + − + + − = − = −

181 a) A gồm sốchia cho dư 2, tức chia cho thiếu 1, số mang dấu

"+" n lẻ mang dấu "=" n chẳn Dạng tổng quát số hạng thứ n A ( 1)− + −(3 1),n+N

b) Xét 2

100=2 nên A có ước tự nhiên, có 18 ước nguyên

(± ± ± ± ±1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100± ± ± ± )

183 a) Được, chẳng hạn:1 ( 7)+ − − + −( 15) 17+ =15

b) Khơng được, tổng số lẻ số lẻ, không thểbằng 20

184 Nếu thay dấu * dấu-thì biểu thức bằng:

1 9− − − − − − − − = −1 44= −43

a) Cần tăng thêm 30 để biểu thức -13, Muốn thay dấu "=" trước số

8 dấu "+" ta được:

1 6− − − − − + + − = −7 13

b) Biểu thức 5− − − − − − − −7 có giá trị bằng-43, số lẻ Mỗi lần thay

một dấu "=" đằng trước số a biểu thức dấu "+" giá trị

biểu thức tăng thêm 2a (là số chẵn) Do giá trị biểu thức số

lẻ, không thểbằng-4

185 a) (n− +2) :n−2 nên 7n−2

Đáp số: n −5,1,3,9

b) 2n+1n− ⇒5 2(n− +5) 11n− ⇒5 11:n−5

Đáp số: n −6, 4, 6,16

c) 13n+3 Đáp số: n −16, 4, 2,10− −

d)

3 ( 1) ( 1) 4

+  − ⇒ − + − +  − ⇒  −

n n n n n n n Đáp số: n − −3, 1, 0, 2,3,5

ĐIỀN CHỮ SỐ 186 Cùng bớt bc ta được:

00 + = ab ca a

Lần lượt tìm được: a=1,b=9,c=8

187 a) Đổi chỗ chữ sốở cột:

87 87 + ⇒

a b c a a c b c b b

a c

Do bb+ <c 110 nên:

874>aaa>874 110− =764⇒aaa =777

Suy ra: bb+ =c 874 777− =97

Ta có: 97≥bb>97 10− =87⇒bb=88

b) Viết đẳng thức thành: aaa+bb+ =c 1037 tìm a=9,b=3,c=5

188 a) a chữ số lẻ nên b c lẻ Ta lại có b c khác để a+c Vậy

{ }

, ∈ 3;7;9

b c

Lần lượt xét b 9; 7; ý a b c, , lẻ, khác

Đáp số: 177.3=531

b) ac ac =acc

Thực phép chia acc cho ac 10 Vậy c=0;a=1

Đáp số: 10.10=100

c) Xét chữ sốđầu tiên bên trái thừa số tích, ta có a a ≤a nên a=1

Ta có 1b b=1 cc

Ta thấy b≤4 b≥5 thì:

1 2b b≥15.15=225 > cc Xét tích 10.10, 11.11, 12.12, 13.13, 14.14, ta có đáp số: 12.12=144

189. a) Đặt abc= A thì:

(1000+A).2=10A+8 2000 10

1992 249 + = +

= =

A A

A A

Đáp số: 1249.2=2498

b) Chuyển thành phép trừ: ab=b0−b

Đáp số: 45=9.5

190.Đặt abcd = A thì: (10A+g).4=100000g+A ( )1

và A+ =g 15390 ( )2

Từ ( )1 ta được: A=2564 g

Đưa vềbài tốn tìm hai sốbiết tổng tỉ số, được: g =6; A=15384

191. abc−ca=ca−ac ( )1

Vế phải ( )1 nhỏhơn 100 nên abc−ca<100, a=1 Ta có: 1bc− = −c1 c1 1c ( )2

Xét vế phải ( )2 ta có: c>1 phép trừ cột đơn vị phải 11−c, phép trừ

ở cột đơn vị vế trái c−1 Do c− = −1 11 c, suy c=6

3576 3576 11

− =

⇒ =

d abcd abcd

d abcd

Thực phép chia 3576d cho 11, ta tìm d =1 từ ta tìm abc =325

Đáp số: 3251 325+ =3576

193. Chú ý hiệu chia hết cho

Đáp số: 38470 3847− =34623

194

( ) ( )

1 * * * * ** *

* * * * * × a b b a

c d

Ta thấy ac<10 mà ac tận nên ac=7

Xét hai trường hợp;

- Trường hợp Khi b=8 (Do a+ =b 9), ta có: 1881.7 tích riêng ( )2 có năm

chữ số, Loại

- Trường hợp a=7;c=1: Khi d =1 (để tích riêng ( )1 có bốn chữ số), thỏa mãn

đềbài:

7 2 1 2 7 2 7 9

×

195. Ta thấy:

1ab ab: 100

⇒ +ab ab 100

⇒ ab

{10; 20; 25;50}

⇒ab∈

Dễ thấy b≠0 nên ab=25

Thử: 25.5 125,=

Đáp số: 25.5=125

196. Áp dụng tính chất chia hết mọt tổng cho số:

( )

260000 :abc+ =1 626 260000 :abc=625

260000 : 625 =

abc

416 =

abc

Vậy: 260416 : 416=625

197 Chữ số hàng chục sốnhân 0, chữ sốđơn vị sốnhân (bạn

đọc tự giải thích) Gọi sốbị nhân abc để tích riêng thứ tận

=

c Để tích riêng thứ hai có ba chữ số a=1

Số bị nhân 1.b Chú ý 1.9b sốcó bốn chữ số nên b>1, cịn 1.8b

sốcó ba chữ số nên b<3, b=2

Sốbị nhân 121, số nhân 809, tích 97889

198. a) ab cd =ddd=d.111=3.3.37

Hai số ab cd; có tích chia hết cho số nguyên tố 37 nên tồn số chia hết cho 37, Giá sử ab37 Khi ab∈{37;74 }

Nếu ab=37⇒37 7c =999⇒c7=999 : 37=27

Nếu ab=74⇒74 4c =666⇒c4=666 : 74=9, loại

Đáp số: 37.27=999

b) Tích chia hết cho 111 nên chia hết cho số nguyên tố 37 Do số bị

nhân chia hết cho 37 (bằng 37 74), số nhân chia hết cho

có đáp số:

37.3 111; 37.6= =222; 37.9=333; 74.3=444;74.9=666

c) Có hai đáp số: 37.21=777;15.37=555

199.Đặt abc=x deg, = y 1000( x+y)=1000y+ ⇒x, 857x=142 y

Chú ý (857,142)=1 nên ychia hết cho 857 857, cịn x=142 Ta có: 142857.6=857142

200. Thương **7 2000 **7 153

≥ ⇒ > Mặt khác **7 2099 **7 161

13

≤ ⇒ ≤ Do

**7=157

sốbịchia: 157.13=2041

201. a) 10098 : 99=102

b) 1089708 :12=90809

+ aa bb cc abc 00

⇒ +aa⇒ = ⇒a cb

a

11

89 100

+ ⇒cb =

cb

Vậy: 198 :11 8.= + +

Cách 2: 100a+10b+ =c 11a+11b+11c

89 10 89 1, 89

⇒ a= c+ ⇒b a=cb⇒ =a cb=

203. Không tồn hai số ab cd, Xem 68

204. ( )2 ( ) ( )2

12 3+ x = 3 4 +  =x  4+x Như

( )2 2

1 96 9a  ⇒ = ⇒a 4+x =1296 : 9=144=12

Đáp số: a=2;x=8

205.Đáp số:17948

206.Đáp số: 77

207.Cách 1: Viết aabb=99.ab thành aabb+ab=ab00

Cách 2: aabb=99.ab 1100 11 990 99 110 88

5 4,

⇒ + = +

⇒ =

⇒ = ⇒ = =

a b a b

a b

a b a b

208.Xét phép nhân:

4 × a b c d

d c b a

4d tận a nên a chẵn, ta lại có 4a<10⇒ =a

Ta được:

2

2 ×

b c d

d c b

2.4 8, ≥ =

d mà 4d tận nên d =8.Ta được:

2 8 × b c c b

4c+3 tận b nên b lẻ, ta lại có 4b<10⇒ =b

2 =

c Khơng thỏa mãn tốn, c=7 cho số phải tìm là:2178 Thử lại: 2178.4=8712

209. Gọi số phải tìm abcd Ta có phép nhân ( )1

1

9

9

×

× a b c d

d c b a b c

c b

Từ ( )1 ta tìm được: 1;

= =

a d

Ta có phép nhân ( )2

Từ ( )2 : b<2 b≥2 tích có năm chữ số

Xét b=1 c=7 ( để 11 9c  ), 1179.9 có năm chữ số, loại

Xét b=0 c=8 (để 01 9c  ), Khi 1089.9=9801, thỏa mãn đềbài

Đáp số: 1089

210.Gọi số phải tìm abcde tìm a=1;e=9 Ta có phép nhân ( )1 ( )

1

1

9

× b c d

d c b

Từ ( )1 ta tìm b<2 9d +8 tận b

Xét b=1 9d+8 tận ⇒9d tận 7,

⇒ =d loại b=1 chữ so d tích phải

Xét b=0 9d+8 tận 0⇒9d tận 2⇒ =d Khi tích 98 01.c Để

tích chia hết cho9 c=0 c=9

Thử:

10089.9=90801, loại 10989.9=98901,

Đáp số: 10989

211. a) abc=9.bc⇒100a+bc=9.bc 8.bc =100a⇒2.bc=25 a

Như có đáp số:

Nếu xóa chữ số hàng chục: có đáp số 135, 225, 315, 405

Nếu xóa chữ sốhàng trăm: có đáp sốnhư câu a

212. Gọi n=abc

Số abc xóa c ab Ta có: abc ab: ⇒ =c

Số ab0 xóa b a0 Ta có: ab0a0⇒ab a ⇒b a ( )1

Số ab0 xóa a b0 Ta có:ab a0 0⇒ab b ⇒10a b b+  ⇒10a b ( )2

Từ ( )1 , đặt b=ka k( ∈N) Thay b=ka vào ( )2 10a ka ⇒10 k

Do b≠a nên k∈{ }2;5

Với k=2 ta có abc=120; 240; 360; 480

Với k=5 ta có abc=150

213. abcd =9.bcd Đặt bcd = x, ta có: 1000a+ =x 9x⇒1000a=8x⇒ =x 125 a

Lần lượt cho a từ đến ta đáp số:

1125, 2250, 3375, 4500, 5625, 6750, 7875

214 Có đáp số: 2025, 4050, 6075

215. Đáp số:45

216. Gọi C số tạo k chữ số tận bị xóa A, ta có A=10 k B+C,

do đó10 kB+ =C 130 B

Như 10 kB≤130B ⇒ =k 1, k=2

Với k=1 10B+ =C 130B ⇒ =C 120B C có chữ số, loại

Với k =2 100B+ =C 130B ⇒ =C 30B C có hai chữ số Vậy C bằng30;60;90

Có số thỏa mãn tốn 130;260;390

127.Đặt x=ab2 Ta có:

2

2

= × =

x a b

x c d

( )1

2

3

= × =

x a b

x e g ( )2

,

a b, c, d, e, g khác nhận giá trị 1, 3, 5, 7, 8,

Dễ thấy d chẵn nên d =8 Từ ( )1 suy b=9 Từ ( )2 suy g =7 Do

{ }

, , ∈ 1; 3;

a c e

1 2 ×

1 ×

218.a) Ta có:

****** =

x

2x=****** 3x=****** 4x=****** 5x=****** 6x=******

Ta ý sau số trên, hiệu hai số sáu số Mỗi chữ số 1, 2, 4, 5, 7, khơng thể có mặt hai lần cột Thật vậy,

chữ số a có cột số 5x 2x chẳng hạn hiệu hai số (là 3x) phải có chữ số cột (chữ số ứng với trường hợp phép trừ

khơng có nhớ cột bên phải sang, chữ số ứng với trường hợp ngược lại) Điều

này vơ lí chữ số không thuộc tập hợp chữ sốđã cho

Do chữ số1, 2, 4, 5, 7, có mặt lần cột Tổng chữ sốở

mỗi cột bằng: 2+ + + + + =4 27

Suy ra:

2 27.111111 21 2999997

142857 + + + + + =

= =

x x x x x x

x x

Các số ,x ,x ,x ,x 6x thứ tựbằng 285714, 428571, 571428, 714285, 857142

b) Gọi x=abcdeg Ta có a=1 để 6x có sáu chữ số

xét x, ,x ,x ,x ,x 6x, chữ sốđầu tiên số sau lớn chữ sốđầu tiên số

trước nên sáu chữ số sáu chữ số khác

khác

Các chữ sốđầu tiên chữ số x, sáu chữ số x khác

nhau, khác 0, có chữ số1

Các chữ số tận x, ,x ,x ,x ,x 6x phải khác (vì có hai

số tận giống hiệu chúng tận 0, trái với nhận xét

trên) Do phải có số tận

Vậy 3x tận 1, x tận Suy ,x ,x ,x ,x 6x theo

thứ tự tận 4, 1, 8, 5,

Như số x gồm sáu chữ số 4, 1, 8, 5, 2, Sau giải tiếp câu a

DÃY CÁC SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT

219.Đó chữ số thuộc số 703

220. a)2475 ; b)2430

221. Số hạng thứ n dãy ( 1)

+ n n

Nếu số hạng thứ n dãy có chữ số tận 2thì n n( +1) tận

Điều vơ lí n n( +1) tận bằng0, hoặc2,

Vậy khơng có số hạng dãy

222. a) Ta bổ sung thêm số vào vị trí dãy số (không làm kết bị

thay đổi) Tạm chưa xét đến số 100 Từ đến 99 có 100 số, ghép thành 50 cặp:

và99, 1và98, và97,… cặp có tổng chữ sốbằng 18 Tổng chữ số 50 cặp bằng: 18.50=9.100=900 Thêm số 100 có tổng chữ số Đáp số: 901

b) Đáp số:27000001

223. Ta nhớ lại: 1000! 1.2.3 999.1000=

Trong dãy số1, 2, 3, …, 999, 1000:

- Các bội là7, 14, 21, …, 994; gồm: 994 142

− + = (số)

- Các bội

7 là49, 98, 137, …,980; gồm: 980 49 20 49

−

+ = (số) - Các bội

7 là343, 686; gồm số

- Không có bội

7

Như phân tích thừa số nguyên tố, 1000! chứa thừa số với số mũ: 142+20+ =2 164

224. Đáp số:124

225. a) 1.2.3 74 1.3.5 73.2.4.6 74 1.2.3 37 1.2.3 37

= = =

B

( ) 37

1.3.5 73

= nên B chứa 37 thùa số

b) 1.2.3 90(1.4.7 88 2.5.8 89)( )3.6.9 90 1.2.3 30 1.2.3 30

= =

C

( )( ) 30

1.4.7 88 2.5.8 89

Biểu thức dấu ngoặc thứ tích số chia cho dư , biểu thức

trong dấu ngoặc thứ hai tích số chia cho dư 2, C chứa 30 thừa

số

Chú ý: Tổng quát, phân tích thừa số nguyên tố, tích (n+1)(n+2 2) ( )n chứa

n thừa số 2, tích (n+1)(n+2 2) ( )n chứa n thừa số

226. Dãy ( )1 gồm số chia cho dư 3, dãy ( )2 gồm số chia cho dư Gọi

số phải tìm n n−3 4, n−2 7 nên n− +3 4, n− +2 7 suy n+5 28 28

⇒ =n k−

Do 3≤ ≤n 407 nên k=1, 2, ,14 Vậy có 14 số phải tìm

227 Cần đếm số lẻ chia hết cho 19 dãy 2, 3, …,990 Đó số 9, 57, …, 957 , gồm (1957 19 : 38 1− ) + =52 (số)

228. a) Nhóm thứ có số, nhóm thứ hai có số, nhóm thứ có số, …, nhóm

thứ 99 có 99 số Như trước nhóm thứ 100 có 99+ + + + =4950 (số) Số

hạng đầu nhóm thứ 100 là4951

b) Nhóm thứ 100 có 100 số, số nhóm là4951, số cuối nhóm

là: 4951 99+ =5050 Tổng số nhóm bằng: (4951 5050 100 : 2+ ) =500050

229. Chú ý số số hạng S S1, 2, ,S99 theo thứ tựbằng 2, 3, 4, …, 100 Đáp số: S100 =515100

230. a) 50.55=2750

b) 148.151=22348

231 20

1 3 = + + + +

A ( )1

2 20 21

3A= +3 + + +3 ( )2

Lấy ( )2 trừ ( )1 2A=321−1 Cịn 2B=3 21 Do 2B−2A=1 ⇒ − =B A

232. 100

3A=4 − <1 B nên < B

A

233. a) 

50 chö

9 99 999 99 = + + + +

sè

A

2 50

10 10 10 10 = − + − + − + + −

2 50

10 10 10 10 50 = + + + + −

 50 -

11 50

= −

ch sè



ĐẾM SỐ 234.Đáp số: 222chữ số

235. Chữ số thứ 2000 chữ số số1276

236. a) 314 chữ số

b) Viết tất hết 314 giây Sau phút, bạn Mai viết đến chữ số số237

237. Từ đến có: 1

− + = (số lẻ), gồm:

1.5=5 (chữ số)

Từ 11 đến 99 có: 99 11 45

− + = (số lẻ), gồm:

2.45=90 (chữ số)

Từ 101 đến 999 có: 999 101 450

− + = (số lẻ), gồm:

3.450 1350= (chữ số)

Như chữ số thứ 200 rơi vào số lẻ có ba chữ số 90+ <200< +5 90 1350.+

Ta thấy: 200− +(5 90)=105; 105 : 3=35

Do chữ số thứ 200 chữ sốhàng đơn vị số lẻ thứ 35 kể từ101 Số lẻđó là:

( )

101+ 35 2− =169

Vậy chữ số thứ 200 chữ số số169

238. a) Cuốn sách có 720 trang

b) Chữ số thứ 1010 chữ số số374

239. 300 số

240. Dãy số lẻ chia hết cho có hai chữ sốlà: 15, 21, 27, ,99

Gồm (99 15 : 15− ) + = (số)

Tuấn phải gõ cửa nhiều 15 số nhà

241. a) Các số phải đếm có dạng abcd ab+cd <100

Đáp số: 4095 số

b) Có 4905 số Chú ý hai chữ số đầu 10 hai chữ số cuối 00, 01, 02,…, 09

242. Các số phải xóa có tận 2, 4, 6,8,5 Mỗi chục xóa số, cịn lại số từ

đến 250 có 25 chục, lại 5.25 125= (số) Xét số251, 252, số 251 giữ lại

Vậy lại 126 số

243. a) Các số phải đếm có dạng abc a nhận giá trị, b nhận giá trị, c

nhận giá trị Có: 4.5.5 100= (số)

b) Có 9.5.10=450 (số)

b) Các số phải đếm có dạng abcd a có cách chọn, b có 10 cách chọn, c

có 10 cách chọn, d có cách chọn (nếu a+ +b c lẻ d =1, 3, 5, 7, 9; + +

a b c chẵn d =0, 2, 4, 6, 8) Vậy có: 9.10.10.5=4500 (số)

245.Có 25.25 cách lập kí hiệu gồm hai chữ Có 999 cách lập số từ 001 đến 999

Tất cảcó : 25.25.999=624375 (biển số xe)

246.a) Các số phải đếm gồm ba dạng :

4bccó 9.9=81(số)

a c có 8.9=72 (số)

ab có 8.9=72 (số)

Tất cảcó : 81 72 72+ + =225 (số)

b) Các số phải đếm gồm ba dạng : 44 , 4, 44,c b a có 26 s

247.Xét bốn dạng 5ab0, 0, 50,a b ab abc5,có 81 + 72 + 72 + 648 = 873 (số)

248.Các số phải đếm có dạng abc Ta có abc +cba : Với cách chọn ab (từ 10 đến99) ccó cách chọn phụ thuộc vào a(nếu a = 5k cbằng

hoặc 5, a=5k+1thì c 9, a=5k+2 c

hoặc 8, a = k + c 7, a=5k+4 c 6) Vậy có: 90.2 = 180 (số)

249.Các số phải đếm có dạng abc Nếu c = a có cách chọn (từ đến 9), b

có cách chọn (từ đến 9, khác a)

Nếu c = 2, 4, 6, 8thì a có cách chọn (từ đến 9, khác c), bcó cách chọn

(từ 0đến 9, khác a)

Vậy có : 9.8 + 8.8.4 = 328 (số)

250.Đếm sốcó ba chữ số bớt sốcó ba chữ sốkhác Đáp số: 252 số

251. Các số phải đếm gồm bốn dạng :

• Dạng baaa : Chữ số b có cách chọn (từ đến ), chữ số a có cách chọn

(từ đến khác b) Có : 9.9 = 81 (số)

Tất cảcó : 81.4 = 324 (số)

252. a) Sốcó ba chữ số, chia hết cho gồm 180 số Trong số khơng chứa chữ số có dạngabc, a có cách chọn, b có cách chọn, c có cách chọn (là 0) gồm 8.9 = 72 (số)

Vậy có : 180 − 72 = 108 (số phải đếm)

Có : 225 − 144 = 81 (số phải đếm)

c) Số phải tìm có dạng abc, a có cách chọn, b có cách chọn, c có cách chọn

( a+ =b 3k c=0, 6,9; a+ =b 3k+1 c=2,5,8nếu a+ =b 3k+2 1, 4, 7),

=

c

Có 8.9.3=216

253. a) Từ đến có 9số, gồm : 1.90=90 (chữ số)

Từ 10 đến 99 có 90số, gồm : 2.90 180= (chữ số)

Từ 100đến 999có 900 số, gồm : 3.900=2700 (chữ số)

Số A có : 180 2700+ + =2889 (chữ số) :

b) Cách Giả sử ta viết số B số tự nhiên từ 000đến 999 (mỗi sốđều viết

ba chữ số), tổng chữ số B tổng chữ số A B có : 3.1000=3000 (chữ số), chữ số từ 0đến có mặt :

3000 :10=300 (lần)

Tổng chữ số B (và A) :

(0 + + + − +9).300=45.300=13500

Cách Xét dãy số tự nhiên từ đến 999:

0,1, 2, ,998,999(1)

Tổng chữ số dãy (1) tổng chữ số A

Dãy (1) gồm 1000 số Ghép 1000 số thành 500 cặp : 999 ; 998 ; 997 ; tổng quát : a 999 - a

Ở cặp, phép trừ 999−aở cột ( hàng đơn vị, hàng chục, hàng tram)

khơng có nhớ, tổng chữ số 999−a cộng với tổng chữ số a tổng chữ số 999, tức 27

Tổng chữ số dãy ( )1 , tức tổng chữ số A: 27.500 13500=

254 a) Cách cách Giải theo phương pháp ví dụ 48

Cách Cần đếm số chữ số dãy: 1, 2,3, ,999 ( )1

Số chữ số hai dãy Ở dãy (2) có 1000 số, số gồm ba chữ số,

số lượng chữ số từ đến Mỗi chữ số (từ đến 9) c0s

mặt :

3.1000 :10=300 (lần)

Vậy dãy (1), chữ số1 viết 300lần

• Vào hàng trăm 100lần ( chữ số hàng tram số từ 000 đến 099);

• Vào hàng chục 10lần ( chữ số hàng chụccủa số từ 000 đến 099);

• Vào hàng trăm 1lần ( chữ số hàng tram số từ 000);

Vậy chữ số 0ở dãy ( )1 viết là: 300 111 189− = (lần)

255. Dãy số tự nhiên có ba chữ số gồm 900số Ta tính xem dãy có bao

nhiêu số khơng chứa chữ số 4, có 648số ( cách giải, xem ví dụ 47 Các số phải đếm

có: 900 648− =252(số)

256. a) Trước hết ta đếm số không chứa chữ số : Từ đến có số, từ 10

đến 99 có 9.9=81 (số), từ 100 đến 999 có

9 =729 (số), từ 1000 đến 9999 có

4

9 =6561 (số), số10000 khơng đếm có chứa chữ số

Vậy có 7380 số khơng chứa chữ số Cịn lại : 10000 7380− =2690 (số) có chứa chữ

số

b) Có 3440 số chứa chữ số (giải ví dụ47) Số khơng chứa chữ số có nhiều

hơn số chứa chữ số1

257.Chữ số có hàng đơn vị 29 lần, hàng chục 15 lần, hàng trăm 50 lần,

tổng cộng 94 lần

258.Có 7.6.5.4.3.2.1 số, chữ số có mặt hàng : 6.5.4.3.2.1 = 720 (lần), mà 720 chia hết cho9

259.a) Tập hợp A có phần tử

b) Ở hàng đơn vị, chục, trăm, chữ số a b c, , có mặt lần Tổng

chữ sốở hàng : (a + +b c).2 = 17.2 = 34

Tổng phần tử A : 34.111 = 8774

260.Lập : 4.3.2.1=21 số tự nhiên gồm cảbốn chữ số1, 2,3,

Mỗi chữ số có mặt lần hàng Tổng 24 số nói : 60 + 600 + 6000 + 60000 = 66660

261.a) Có 3.4.4 = 48 (số) Mỗi chữ số 2, 3, xuất hàng trăm : 48 : =16

(lần), chữ số 2, 3, 0, xuất hàng chục hàng đơn vị : 48 : = 12 (lần) Do tổng phải tìm :

(2+ +3 1600 120 12) ( + + )=20784

SƠ LƯỢC VỀ TẬP HỢP

262.a) A={2;3;5;7}

b) B ={31 ; 62; 93} ;

c) C ={1 ; 2; 5;10} ;

263 a) { }

; ;1

= = ∈ ≤ ≤

A x x n n N n

b) B={x x=6n+1;n∈N;0≤ ≤n 6}

c) C ={x x=n n( +1 ;) n∈N;1≤ ≤n 5}

264.Có bốn tập hợp : ∅; ; ; 3; 4{ } { } { }

265 Có tám tập hợp con: ∅;{ } { } { } { } { } { } {a ; b ; c ; a; b ; a;c ; b;c ; a; b;c}

266.Có bảy tập hợp thực Blà: { } { } { } { } { } { }

; ; ; ; 1; ; 1;3 ; 2;3 ∅

267.a) Có ba tập hợp : { } { } { }2 ; ; 2;

b) Tập hợp A có 16 tập hợp :

- Tập hợp rỗng∅

- Các tập hợp gồm phần tử : có tập hợp { } { } { } { }1 ; ; ;

- Các tập hợp gồm hai phần tử: có tập hợp { } { } { } { } { } { }1; ; 1;3 ; 1; ; 2;3 ; 2; ; 3;

- Các tập hợp gồm ba phần tử: có tập hợp {2;3; ; 1;3; ; 1; 2; ; 1; 2;3 } { } { } { }

- Chính tập hợp A

268. A⊂ B nên với x∈A thỉx∈B ⊂

B Dnên với x∈B thìx∈D

Như : với x∈A x∈D, A⊂ D

269. a) Có 50 số chia hết cho 2, loại 16 số chia hết cho3, 34 số

b) Có 33 số chia hết cho3 Thêm vào 34 sốđếm câu a Đáp số: 67số

c) Có tất 100 số, loại 67sốđếm câub, 38 số

270 a) Gọi A B C D E G H, , , , , , tập hợp số từ đến 1000 mà theo thứ tự

chia hết cho2, chia hết cho3, chia hết cho5, chia hết cho 3, chia hết cho 5, chia hết cho 0, chia hết cho cảba số (h 19) Số phần tử tập hợp

Hình 19 Ta có:

1 =1000 : 2=500,

s

[ ]

2 = 1000 : =333,

s

3 =1000 : 5=200,

s

[ ]

4 = 1000 : =166,

s

5 =1000 :10=100,

s

[ ]

6 = 1000 :15 =66,

s

[ ]

7 = 1000 : 30 =33

s

Các số phải tìm gồm:

1+ + − − − + =2 734

s s s s s s s ( số)

b) Còn lại : 1000 734 − = 266 (số)

271.(h 20)

Cách Ta điền vào hình số lượng phần tử tập hợp Lần

lượt điền vào sơ đồ hình 20 số 10, 4, 3, 5, 1, 0, 18, 12 Lớp học có 53 học

sinh

Cách Số học sinh thích môn : 20 17 + +36 14 13 15 − − − + 10 = 41

Hình 20

272. (h.21) Gọi số học sinh thích hai mơn Văn Tốn x, số học sinh thích Tốn mà khơng thích Văn 75 .− x

a) Ta có : 75− +x 60 100+ = 40

=

x

Có 40 học sinh thích hai môn

b) 60 học sinh (nếu tất sốthích Văn thích tốn)

c) 75− +x 60 100≤ ⇒ ≥x 35 Có 35học sinh thích cảhai mơn Văn Tốn

Hình 21

273. Gọi tập hợp học sinh đạt 4, 3, 2, điểm 10 theo thứ tự A, B,C, D

Theo đề tập hợp gồm 5, 14, 39, 43 người Ta có A⊂ ⊂ ⊂B C D (xem h

22)

Hình 22

Số học sinh đạt điểm 10 : 43−39=4

Số học sinh đạt điểm 10 : 39−14= 25

Số học sinh đạt điểm 10 : 14 − =5

275. a) A⊂ B, C ⊂D, D⊂C

b) C = D

276. Không, chẳng hạn 209 thuộc B không thuộc A 277.a) b) Bạn đọc tự giải

c) Trước hết ta thấy a, b số lẻ nên

2 a+b

∈ Gọi d∈UC a b( ), a d , b d nên a+b d Suy

2 a b

d +

 mà d lẻ nên a b

d +

 Vậy , a b d∈UC a + 

 

Gọi ,

2 a b d′∈UC a + 

  a d ′, a b

d + ′



Suy a+b d ′, b d ′ Vậy d′∈UC a b( ),

Tập hợp ước chung a b tập hợp ước chung avà

2 a+b

Vậy ( ), ,

2 a b a b =a + 

 

278. Giải tương tự 277c

TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG CỦA MỘT LŨY THỪA

279 Chữ số tận

280. a) ( )4

7 n− =1 n− =1 2401n− =1 1 1− , tận Vậy

7 n−1 5

b) ( )4

3 n+ + =2 n.3 2+ =81 2n + =1.3 2+ , tận Vậy 34n+1+2 chia hết

cho

c) ( )4

2 n+ + =3 n.2 16 3+ = n + =6.2 3+ , tận 5, chia hết cho

d)

2 n+ +1 tận

e) ( )2

9 n+ + =1 n.9 81 1+ = n + =1.9 1+ , tận 0, chia hết cho 10

281. n tận

282. Không Lần lượt xét n tận 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, n2 + +n

tận 2, 4,

283. a) Cách 1: Xét trường hợp n tận 0, 2, 4, 6, 6n tận

cũng

Cách 2: Xét hiệu 6n− =n 10n n chẵn

Nếu n tận n2 tận 8, n4 tận

c) Nếu n tận n5 tận

Nếu n tận 1, 3, 7, n4 tận (câu b) Ta có n5 =n n4 =1.n

nên chữ số tận

n n

Nếu n tận 2, 4, 6, n4 tận (câu b) Ta có n5 =n n4 =6.n

nên chữ số tận

n 6n Nhưng chữ số tận 6n

của n (câu a) Vậy chữ số tận n5 n

Chú ý: Dùng kiến thức lớp giải câu c cách chứng minh

10 n −n ,

tức ( )( )

1 10 n n + n − 

Thật vậy,

n sốchính phương nên khơng tận 2, 3, 7, tức chia cho

không thể dư hay Nếu

5

n  n5 Nếu

n chia dư n2−1 5 Nếu n2

chia dư

1

n +  Do n n( 2−1)(n2+1 5) tức n5−n5 Dễ dàng chứng

minh

2

n −n Vậy n5−n10

284. Ta thấy

n tận 5, 8m phải tận Xét lũy thừa

của ta thấy

8 =64, 83 =512, 84 =4096, 85>10000 Vậy số phải đếm có dạng

4

8 +5n với n=1, 2,3, 4,5 Có chữ số

285.Cách 1. Chứng minh A5 cách nhóm A thành nhóm bốn số Ta

lại có A2 nên A10 Vậy A tận Cách Hãy chứng minh 21

2

A= − (xem ví dụ 8)

( )5

21

2 2 2 16 2 6.2

A= − = − = − = − , tận

286. a) 51 ( )2 25 ( )25

51 = 51 51= 01 51=51

b) 99 ( ) ( ) ( )

99 2

99 =99 k+ = 99 k.99= 01 99k = 99

c) ( )133 ( )

666

6 = 6= 76 6=56

d) 101 101 ( )101 101 ( 2)50 ( )50

14 16 = 14.16 =224 = 224 224= 76 224 ( )76 224 24

=  =

287.Ta chứng minh 100! tận 24 chữ số Thật số thừa số

trong 100! 100 100 24

5 + 25 = Số thừa số 100! lớn 24

(cụ thểlà : 100 100 100 100 100 100 50 25 12 97

2 16 32 64

     

+ + +  +  + = + + + + + =

Xem ví dụ 40

HỆ GHI SỐ VỚI CƠ SỐ TÙY Ý

288 a) 104 ; b) 13373. 289 a) 2031(4)

290. a) (3)

12221 =1.3 +2.3 +2.3 +2.3 1+

( ) ( ) ( )

2 2

9

1.9 2.3 2.3 1.9 8.9 187 = + + + + = + + =

b) ( ) ( ) ( ) ( )

9

758 =7.9 +5.9 8+ = 2.3 3+ + 1.3 3+ + 2.3 2+

( )

5

3

2.3 1.3 1.3 2.3 2.3 211222

= + + + + + =

291. a) 2.2=11( )k với k>2 Chuyển sang hệ thập phân : 4= +k Vậy k =3

b) k =8

c) 21 112( )k = ( )k với k >2 Chuyển sang hệ thập phân :

( ) 2

2k+1 2=k + + ⇒k 4k+ =2 k + +k

Vì k ≠0 nên k =3

d) 11 11( )k ( )k =121( )k với k >2 Chuyển sang hệ thập phân :

( ) ( )

1

k+ k+ =k + k+

( )

.( 1)

k k+ + k+ = k + k+ , với k >2

292 a) 15( )k 4 với k >5 Chuyển sang hệ thập phân :

k+  , k+1 4 Vậy k =4n+3 với n=1, 2,3,

b) Khơng có hệ ghi sốnào

293. a) 1024( )5 ; b) 342( )5 ; c) 13003( )5 ; d) 12( )5

294. a) 10001( )2 ; b) 111( )2 ; c) 10010( )2 ; d) 11( )2

295.a) ngày ; b)

32

296. Số 63 viết hệ nhị phân 111111( )2 Do số từ đến 63 viết

trong hệ nhịphân không chữ số, nên tổng hay nhiều số sáu số 32, 16, 8, 2,

297. Chọn năm cân có khối lượng 1kg, 2kg, 4kg, 8kg, 16kg cân vật có khối lượng số tự nhiên từ1 đến 30 kg

8, 4, 2, hệ nhịphân Để dễ nhớ, để khỏi lộ bí mật, hàng mang

tên Tươi vui, Bền bỉ, Hoạt bát, Mạnh mẽ (có chữ trùng với chữ

đầu tiên Tám, Bốn, Hai, Một)

Chẳng hạn 6=110( )2 Số hệ nhị phân có đơn vị hàng 4, hàng 2, khơng có

đơn vị hàng Tú viết số vào dòng Bền bỉ, Hoạt bát, khơng viết vào

dịng cịn lại Khi bạn cho biết tháng sinh có ởdịng Bền bỉ, Hoạt bát,

Tú cần lấy 2+ thành 6, tháng sinh bạn

299.Cách 1. 30

1 2

A= + + ++

30 31

2A= +2 ++2 +2

Suy : 31

2 A= −

Vậy : 31

1 A+ =

Cách 2. Dùng hệ nhịphân :

( )

= 31chữ số

A 111

( )

+ = = 31 31chữ số

1 100

A

300. Gọi số hạt thóc phải tìm A Ta có :

2 63

1 2 2

A= + + + ++

Ta tính : 64

2 A= −

(Số thóc lớn, rải mặt Trái Đất lớp thóc dày 9mm)

301. Gọi giá tiền 20 đinh đóng móng ngựa S

Cách 1: 18 19

1 2 (1)

S = + ++ +

19 20

2S = +2 +2 +2 (2)

Lấy (2) trừ (1) : S =220 − =1 1048575 (xu)

=10485, 75 (đồng)

Cách 2. Viết S hệ nhịphân = 

(2) 2031chữ số

11

S nên

+ =  (2) 2031chữ số

1 100

S Trong hệ thập phân 20

1

S+ = , S =220−1

MỘT SỐ VẤN ĐỀ LỊCH SỬ VỀ SỐ NGUYÊN TỐ

302. Xét dãy 10 số tự nhiên liên tiếp k k, +1,,k+9 Nếu k=2 dãy chứa số

Vậy 2, 3, 4, …, 11 mười số phải tìm

303 Số ngun tố lớn khơng có dạng 4n 4n+2, nên có dạng 4n+1 4n+3

304 Với p 3, 5, n số nguyên tố Với p=9 n=171 3

Chú ý Với số nguyên tố p (3≤ ≤p 31), n số nguyên tố

305. Với n 2, 3, 5, M theo thứ tự 3, 7, 31, 127, số nguyên tố

Với n=11 M =2047=23.89

Chú ý Với n 2, 3, 5, 7, 13, 19, 31, 61 M số ngun tố Có hay khơng có

vơ số số ngun tố Mec – xen có hay khơng có vơ số số ngun tố Phec –

ma, tốn chưa có lời giải

306. Bạn đọc tự giải

307. a) 7= +3 4, 8= +3 5, 9= +4 5, 10= +3

b) Xét hai trường hợp:

- Trường hợp n lẻ (n=2k+1,k∈): Viết ndưới dạng n k= +(k+1 ) Do n>6 nên

1 1.

k+ > >k Sau chứng minh (k k, + =1) 1.

- Trường hợp nchẵn: Lại xét hai trường hợp: Nếu n=4 (k k∈) viết n dạng:

(2 1) (2 1)

n= k− + k+ Do n>6 nên k> ⇒1 2k+ >1 2k− >1 1. Sau chứng minh (2k−1, 2k+ =1) 1.

Nếu n=4k+2 (k∈) viết ndưới dạng:

(2 1) (2 3 )

n= k− + k + Do n>6 nên k > ⇒1 2k + >3 2k− >1

Sau chứng minh (2k −1, 2k+3)=1.

CÁC VẤN ĐỀNÂNG CAO VỀTÍNH CHIA HẾT,

ƯỚC VÀ BỘI

308. a) Chứng minh 5a chia hết cho 11, a=2

b) Tổng chia hết cho 11 Đáp số: 49840+4984=54824

309. a) (7+ − +3) (* 11.)  Đáp số: * =

b) (4+ + − +9 8) (* 11.)  Đáp số: * =

e) A x= 1994 99y  ⇔ A  11 A 9

Từ A 11 tìm x y− =8 y x− =3.

Từ A 9 tìm x y+ =4 x y+ =13.

Ta ý x y+ x y− phải chẵn lẻ

Trường hợp x y− =8; 4x y+ = loại

Trường hợp y x− =3; y x+ =13 cho ta x =5;y =8 Đáp số: 519948

310. Gọi n=192021 7980. Tính tổng chữ số hàng chẵn (kể từ phải sang trái), ta được: 1+(2 10 8+ + + ) + =279. Tính tổng chữ số hang lẻ, được:

( )

9+ + + +1 6=279. Do n chia hết cho 11

Tổng chữ số n bằng: 279.2=558, n chia hết cho 311.Ta biết abcd 11 ⇔(a c+ ) (− b d+ ) 11.

Nếu đặt avà c vị trí hàng nghìn hàng chục có cách đặt avà c, có cách

đặt bvà d nên có 2.2=4(số) chia hết cho 11 (là abcd adcb cbad cdab, , , ).

Nếu đặt bvà d vị trí hàng nghìn hàng chục có số chia hết cho

11

Vậy có thêm số chia hết cho 11 312. Số19acó nhiều ước

313. Ta có (x +1)(y+ =1) 48 x y+ =12. Đáp số: Số phải tìm

2

314. A 5, 49 A  nên A chứa thừa số nguyên tố Số10 có cách

viết thành tích hai thừa số lớn 1 5.2 (và viết thành tích

của nhiều hai thừa số lớn 1) Do đó: A=5 7x yvới x ≥1;y≥2.

A có 10 ước nên: (x +1)(y+ =1) 10 Suy ra: x+ =1 2; 5.y+ =

Vậy:

1; 4; 5.7 12005

x = y= A= =

315. Ta biết rằng: Nếu số A phân tích thừa số nguyên tốđược a b cx y z A có

(x+1)(y+1)(z+1 ) ước

Viết thành tích hay nhiều thừa số lớn ta được: 3.2 Xét

Do x + =1 6 nên x =5. Do

A a= Chọn a nhỏ 2, ta có số nhỏ trường hợp

2 =32.

b) A chứa hai thừa số nguyên tố: A a b= x. y

Do x+ =1 3;y+ =1 2(giả sử x y≥ ) ta x=2;y=1.Do A a b= .Để Anhỏ

nhất ta chọn thừa số nguyên tố nhỏứng với sốmũ lớn, ta có

2 12=

So sánh hai trường hợp trên, ta thấy 12<32. Vậy số nhỏ có ước 12. 316. a) Xét dạng

a

.

a b

Đáp số: Số nhỏ 48 b) Đáp số:

2 3 =576.

c) Đáp số:

2 3=24.

317. Gọi n số nhỏhơn 60 Trước hết ta tìm xem n có nhiều ước

Xét bốn trường hợp:

a) nchứa thừa số nguyên tố (n a= x): Xét 2x(chọn a nhỏ để số mũ

lớn nhất), ta thấy:

2 <60<2 Số

2 có ước

b) n chứa hai thừa số nguyên tố (n a b= x y): Xét 2 3x y(chọn a b, nhỏ để

sốmũ lớn nhất), ta có:

4

2 60< <2 3 Số

2 3 có 10 ước

2

2 3 <60<2 Số 2

2 3 có ước

3

2.3 <60<2 Số 2.33 có ước

c) n chứa ba thừa số nguyên tố: Xét 2 5x y z ta có:

2

2.3.5<60=2 3.5. Số 2.3.5 có ước

d) nchứa bốn thừa số nguyên tố trở lên: Không xảy trường hợp

2.3.5.7>60

Như n có nhiều 10 ước, n chứa hai thừa số nguyên tố Bây ta tìm tất số có 10 ước, Vì 10=5.2 nên

.

n a b= Ta có

2 3=48

thỏa mãn tốn, cịn

2 3=48 thỏa mãn tốn, cịn

2 5>60

Vậy số nhỏ 60 số 48 số có nhiều ước (có 10

ước)

b) Gọi ước n d d1, 2, ., dk

1

, , ., k

n n n

d d d tất cảcác ước n Ta có:

1 + k

d +d + d = n nên

1

+ 2 , k

n n n

n

d +d + d =

1 1 1

+ 2. k

d +d + d =

c) Số n=2p có ước 1, 2, , p p Do n số hoàn chỉnh nên 2n= + + +1 2 p 2 (1)p

Thay n =2p vào (1) 4p= +3 ,p p=3,n=6.

Với

2 p

n= p ta có đáp số n=28.

Với

2

n= p ta có đáp số n=496.

Chú ý: Người ta chứng minh 2n −1 số nguyên tố 1( )

2n− 2n −1 số

hoàn chỉnh (1)

Ví dụ số sau số hồn chỉnh: ( ) 2( ) 4( )

2 2 − =1 6, 2 − =1 28, 2 − =1 496,

Số nguyên tố dạng 2n −1 gọi số nguyên tố Mec – xen (xem tập 305) Ơ – le

chứng minh số hồn chỉnh chẵn có dạng (1) có dạng Cho đến

người ta chưa biết có tồn số hồn chỉnh lẻ hay không

319. Số

220=2 5.11 có 12 ước, tổng ước 220 khơng kể 284 (bạn đọc tự tính)

Số

284=2 71có ước, tổng ước 284 khơng kểchính 220

Chú ý: Cặp số 220 284 có tính chất: Số tổng ước số (khơng kể số ấy) Người ta gọi cặp số cặp số bạn bè (hoặc cặp số than mật) Cặp sốbạn bè nhỏ 220 284, 1184 1210

320. Gọi ước n theo thứ tự lớn dần d d1, 2, , d54

Ta có d d1 54 =d d2 54 = = d d27 28 =n Do tích ước nbằng 27

.

n

321. a) Sốlượng ước nlà số lẻ nên n sốchính phương (xem chuyên đề số phương),

( ).

n a a= ∈

b) Gọi ước ntheo thứ tự tăng dần d d1, 2, ,d39

Ta có

1. 39 38 19 21 ,

d d =d d = =d d = =n a ( )2 2 20

d = =n a nên d20 =a

Vậy 38 39

1 2 .39 .

d d d =a a a=

322. Chứng minh (a−1)(a+4) chia hết cho chia hết cho

323. Gọi bốn số tự nhiên liên tiếp n n, +1,n+2,n+3. Chứng minh tích

( 1)( 2)( 3)

324. Gọi ba số chẵn liên tiếp 2 , 2a a+2, 2a+4 (a∈). Xét tích:

( )( ) ( )( )

2a a2 +2 2a+4 =8a a+1 a+2

Chứng minh a a( +1)(a+2) chia hết cho chia hết cho

325. a) Gọi số lớn a=4 (k k∈). Do số nhỏ 8=4.2 nên k >2 ( )k, 2 =1.

Vậy k =2n+1 (n=1, 2,3, ) số lớn có dạng 4 2( n+1 ) b) Đáp số: 16 80

326. a) Gọi hai số phải tìm avà b, ta có: a b− =84,a=28 ',a b=28 'b

(a b', ' ,= ) suy a b'− =' 3.

Do 300≤ < ≤b a 400 nên 11≤ < ≤b' a' 15.

Trường hợp a' 15, ' 12= b = loại trái với (a b', ')=1. Trường hợp a' 14, ' 11= b = cho a=392,b=308.

b) Có vơ sốđáp số: a=12 ',a b=12 'b với a'=2n+5, 'b =2n+1 (n∈) 327. a) Đáp số: (120,6 , 30, 24 ) ( )

b) Có cặp số: (3, 1350 , 6, 675 , 27, 150 , 54, 75) ( ) ( ) ( ) 328. a) Gọi hai số phải tìm avà b

( )

. 2700

( , ) 3

, 900

= a b = =

UCLN a b

BCNN a b

( )

3 '

( , ) 3 '

', '

 =  = ⇔ =

 =



a a

UCLN a b b b

a b

Theo đềbài: a b =2700

nên '.3 'a b =2700

suy 2

' ' 300 2 3.5

a b = =

Giả sử a b≥ a'≥b' Chọn hai số a b', ' có tích 300, ngun tố nhau,

' ',

a ≥b ta được:

a’ 300 100 75 25

Suy ra:

a 900 300 225 75

b 12 36

Đáp số: 900 3; 300 9; 225 12; 75 36

b) Đáp số: 900 10; 450 20; 180 50; 100 90

329. Gọi số phải tìm x,thì [14,x]=770.

Ta có: 770=x k k ( ∈),770 14.55, ( ,55) 1,= k = k ước 14

Vậy k bằng: 1, 2,7,14,tương ứng xbằng 770,385,110,55. 330. a) ( , )a b =ab a b:[ ], =360 : 60=6.

Đặt a=6 ',a b=6 'b ( ', ') 1, 'a b = a ≤b' (giả sử a b≤ )

Do ab=360 nên a b' ' 10.= Vậy a' 1, ' 10= b = a'=2, ' 5.b = Tương tựta có: a=6, 60b= a' 12, '= b =30.

b)

12 ' ( , ) 12 12 '

( ', ') 1

a a UCLN a b b b

a b

=  

= ⇔ =

 =



Ta có: a b UCLN a b BCNN a b. = ( , ). ( , ) 12.72=

nên 12 '.12 ' 12.72a b =

suy a b' '=6.

Giả sử a b≥ a'≥b' Chọn hai số a b', 'có tích 6, nguyên tố nhau, ' ',

a ≥b ta được:

a’

Do

a 72 36

b’ b 12 24

Đáp số: 72 12; 36 24

c) Đáp số: 180 6; 90 12; 60 18; 36 30

d) Đáp số: cặp (15, 31500), (45, 10500), (60, 7875), (105, 4500), (180, 2625), (315, 1500), (375, 1260), (420, 1125)

e) Gọi d =( , )a b d a b ,[ ]=a b =180 d.20.d =180 Suy d =3

[ ]a b, ab da b' ' d

= = Theo đề bài, ta có:da b' '+ =d 55 hay d a b( ' '+d)=55 Như ' '

a b+ ước 55, mặt khác a b' ' 2+ ≥

Ta có

d a b' ' 1+ a b' ' a' b' a b

11 = 22 1 4 11 44

5 11 10 = 2.5

2

10

5 10

50 25

1 55 54 = 2.33

2

54 27

1

54 27

b) Giải tương tựcâu a) ta được: d a b( ' ' 1− =) Từđó:

d a b' ' 1− a b' ' a' b' a b

1 6

3

5 2 10

c) Có cặp số (1, 36), (4, 9), (5, 40), (7, 42), (14, 21), (35, 70)

332 Gọi ( , )a b =d a=da b', =db', ( ', ')a b =1,

' '

ab=d a b ⇒d d.6 =d a b2 ' '

' '

a b

⇒ = Giả sử a≤b a'≤b', ta có a' 1, '= b =6 a'=2, 'b =3

Chú ý a+ =b d a( '+b') nên 30=d a( '+b') a'+b' ước 30 Vì loại

trường hợp a' 1, '= b =6 Trường hợp a'=2, 'b =3 cho ta d =6,a=12,b=18

Cặp số phải tìm 12 18

333. Gọi tuổi Hoàng a, năm sinh b a b+ =2010,[ ]a b, =133( , )a b Giải

bài Hoàng sinh năm 1995

334. Gọi hai số phải tìm a b(giả sử a<b) Ta có (a b, )=12 nên 12 ', 12 ',

a= a b= b ( ', ')a b =1, 'a <b'

Ta có [ ]a b, =ab: ( , ) 12 ' 'a b = a b

Theo đềbài a≠12,b≠12 nên b'> >a' 1,[ ]a b, <100 nên a b' ' 8≤

Nếu a'≥3 b'≥4, a b' ' 12≥ (loại) Vậy a'=2

Do a=24,b=36 Cịn (a b, )=12,[ ]a b, =72

335. a) Ta thấy b−8a=9 Gọi d∈ƯC(a b, ) 9d Mặt khác, a b chia

hết cho Vậy (a b, )=9

b) [ ], ab

a b = Ta thấy 13717421

9

a = , số có dạng bội

11 + 3, cịn b có dạng bội 11 + 5.Do [ ],

9 a

a b = b có dạng (bội11 + 3)(bội11 + 5) = bội 11 + 4. 336.a) 1; b) 1111

337. a) Hiệu hai số 123456798 123456789 9, nên ƯCLN phải tìm

là 1, 3, 9.Chú ý số có chín chữ số từ1 đến chia hết cho

Vậy ƯCLN phải tìm

b) ƯCLN phải tìm

338. a) Gọi d∈ƯC(7n+10, 5n+7) 5(7n+10) 7( 5− n+7)d ⇒1d⇒ =d

b) Gọi d ƯCLN(2n+3, 4n+8) (4n+ −8) 2(2n+3)d ⇒2d

Do d ước số lẻ 2n+3 nên d =1

339. a) Gọi d∈ƯC( ,b b−a) a−b d b d ,  , a d Ta có ( , )a b =1 nên d =1

b) Giả sử 2

a +b ab chia hết cho số ngun tố d vơ lí

340. Giả sử ab c chia hết cho số ngun tố d vơ lí

341 a) 4n−5 13 13 13 13 4( 2) 13 ⇒ − + ⇒ + ⇒ +

 



n n n

Do (4,13)=1 nên n+2 13

Đáp số: ( *)

13

n= k− k∈

b) Đáp số : ( *)

7

n= k− k∈

c) (25n+3 53)  ⇒(25n+ −3 53 53.) 

b) n số chẵn c) n số lẻ

d) Giả sử 18n+3và 21n+7 chia hết cho số nguyên tố d

( ) ( )

6 21n+7 −7 18n+3  d⇒21  d

Vậy d∈{ }3;7

Hiển nhiên d ≠3 21n+7 khơng chia hết cho Như (18n+3, 21n+7)≠1 (18 7)

⇔ n+  (cịn 21n+7 ln chia hết cho 7) ⇔(18n+ −3 21 7)  ⇔18(n−1 7)  ( 7)

⇔ n− 

Vậy n≠7k+1(k∈) (18n+3, 21n+7)=1

343. Bài tốn khơng u cầu tìm giá trị n mà cần vô số giá trị n để (n+5,n+72)=1 Do ngồi cách giải trên, giải sau:

Gọi d∈ ƯC (n+5,n+72) 57  d Do (n+15 )  d , 57  d nên tồn n

cho n+15=57k+1 d =1 Nếu ta chọn n=57k−14(k=1, 2,3, ) (n+15,n+72)=1, rõ ràng có vơ số giá trị n

344. a)

b) ƯCLN (ab+ba,33) 33 (a+b)3, 11 trường hợp lại

345. a) ƯCLN(a b a b+ , − ) a b lẻ, a bcó

một số chẵn số lẻ

b) 29

346.(7n+3,8n−1)bằng 31

Nếu n≠31k+4(k∈) (7n+3, 8n− =1)

Với 40< <n 90, ta có n=66 (7n+3, 8n− =1) 31

347. Ta có X =abb=100a+11b chia hết cho Cần chứng minh Y = +a 2b chia hết

cho Xét 3X +Y

348.Đặt x=3a+2 ;b y =10a+b Cần chứng minh y 17

Có thểxét biểu thức: 2y−x x,8 +y,9x−y,10x−3 , y

b) Xét 2( x+3y) (+ 9x+5y)

351. Cho abc 37 , chứng minh bca,cab chia hết cho 37

352 Ta có X =abcdeg =100000a n+ chia hết cho ( với n=bcdeg) Cần chứng

minh Y =bcdega=10n+a chia hết cho

Có thể giải nhiều cách : xét 4X +Y , 3X −Y, 10X −Y …

Chú ý: a) Từ tốn trên, ta có tốn sau: Cho sáu chữ số xếp thành vịng trịn

Biết đọc từ chữ sốnào theo chiều kim đồng hồ, ta số có sáu chữ số chia hết cho Chứng minh đọc từ chữ số theo chiều kim

đồng hồ, ta số có sáu chữ số chia hết cho

b) Khi xét 10X −Y ta 999999a , số chia hết cho 7,11,13,37 Do tốn

cũng ta thay 11,13,37 353.a) Xem ý a b

b) Ta có abcdeg 37 ⇔abc+deg 37 ( dễ chứng minh)

( ) ( ) ( )

100 10 37

⇔ a+d + b+ + +e c g 

Như đổi chổ a d, ta số chia hết cho 37 Đổi chỗ b e, c

và g, ta có thểđược số chia hết cho 37

Nhận xét: Nếu abcdeg 37 đổi chổ a d, b e, c g, số

vẫn chia hết cho 37 Ta có tât 2.2.2=8 số chia hết cho 37

Theo câu a, số abdega cdegab chia hết cho 37 Như ta có thêm 16

số chia hết cho 37

Do số abcdeg 37 cách đổi chổ chữ số, ta có thêm 23 số

cũng chia hết cho 37

(Chú ý hốn vị vịng quanh chữ số số abcdeg hai dạng bcdega vàcdegab, ta không kể tiếp ba dạng degabc , egabcd, gabcde ba dạng

này trùng với dạng đổi chỗ a d , b e, c g sốban đầu)

354. a) 77 13x  ⇒4077 100 13+ x 

( )

4069 104 13 13 ⇒ + x+ − x  ⇒ −x 

2 x

⇒ = Số 4277 chia hết cho 13

b) Số 43 1375x y  nên cần chia hết cho 125 ( tìm y=7 ), chia hết cho 11 (

355. a) 858,363

b) a b+ 7 Có 11 đáp số: 61 16, 52+ +25, 43 34, 95 59, 86+ + +68 ( hoán vị

của tổng trên), 77 77+

c) 96+69, 87+78 ( hoán vị tổng trên)

356. a)11.2 2x  x−1 mà (2 , 2x x− =1) nên 11 2 x−1

Đáp số: x=1, x=6

b) x=19,y=38

357.Đó số gồm 300 chữ số1

358. Chú ý tổng chữ số hàng lẻ A n tổng chữ số A

cũng n

a) n chia hết cho 99

b) So với trường hợpa, cần thêm điều kiện A 101 , cần thêm điều kiện n

chẵn Vậy n phải chia hết cho 198

359.36x45⇒4x5, 45 36x  ⇒5 4,x  x=20k k( =1, 2,3, )

Theo đềbài 36.45 20k nên 81k

Đáp số:20, 60,180,540,1620

360. Một số chia hết cho 7,11,13 hiệu số tạo ba chữ số tận

cùng số nghìn số chia hết cho 7,11,13

361. Một số chia hết cho hiệu số chục lần chữ sốđơn vị

số chia hết cho

Chứng minh: Gọi số chục n, chữ sốđơn vị a

Ta có X =10n+a Y, = −n a

Xét 2X Y+ =20n+2a n+ −2a=21 (1).n 

Nếu Y7 từ ( )1 suy 2X 7, X 7.

Nếu X 7 từ (1) suy Y 7.

362.abcdeg=100000a+10000b+1000c+100d +10e+g

100002a 2a 10003b 3b 1001c c 98d 2d 7e 3e g

= − + − + − + + + + + =

7 2a 3b c 2d 3e g

= − − − + + +

Từ ( )1 : 2

2 4

a  ⇒a ⇒a  ⇒ n ⇒n

Từ ( )2 : 3

2 8

b n ⇒b  ⇒b ⇒b  ⇒ n

Do nên (3)

Từ(2): (4)

Từ(3) (4): Do có hai chữ số nên n=72

;

364 Ta thấy phải chia hết cho , cho , cho

Đặt Khi đó:

(1)

(2)

(3)

Từ (1), (2), (3) ta thấy:

, , Để nhỏ ta chọn

, , Để nhỏ ta chọn

, , Để nhỏ ta chọn

Vậy

365 Đáp số: ;

366 Gọi số phải tìm , ta có nên

Đáp số:

367 Gọi hai số tự nhiên liên tiếp phải tìm

Xét hai trường hợp:

a) n+1 8

số lẻcó ba chữ số chia hết cho 125 nên

Khi Trong số trên, có Hai số phải tìm

Khi Trong số trên, có Hai số phải tìm

Kết luận: Có hai đáp số: ;

368 Gọi hai số tự nhiên phải tìm n+1, ta có: Có đáp số: ; ;

369 hay Trường hợp , cho

Trường hợp , cho

370 Đặt MÙI = , ta có TÂN hay , tức Giải tương tựbài trên, ta có đáp số:

371 Gọi số phải tìm, số viết từ theo thứ tự ngược lại Theo đềbài

và tân khác

Tích mà tận khác nên phải có số chia

hết cho , số chia hết cho

Giả sử có dạng , Tương ứng có dạng , phải

chia hết

372 Gọi , , cần chứng minh (1)

Ta có ; b=db′, nên (2)

Ta có (3)

Nhận xét (2) (3), ta thấy để chứng minh (1), cần chứng minh Hãy chứng tỏ có ước ngun tố

mâu thuẫn với

373 Cách 1.

Vậy Do ( )

Cách

374 Gọi số phải tìm , ta có (

Để nhỏ nhất, ta chọn nhỏ nhất,

Khi

Có số thoảmãn đềbài là:

376 a) bội bội

Đáp số: 2302

b) Gọi số quân

(1)

(2)

(3)

Cộng (1), (2), (3) bội suy bội

SỐ CHÍNH PHƯƠNG

377 a) Ta biết sốchính phương chia hết cho phải chia hết cho

chia hết cho , chia cho dư , khơng phải sốchính phương b) tận nên khơng sốchính phương

c) Khơng sốchính phương tận d) Khơng sốchính phương tận

e) chia hết cho khơng chia hết khơng số

phương

g) chia hết cho không chia hết khơng số

phương

378 a) Số phương tận phải chứa thừa số nguyên tố với số mũ chẵn, phải tận số chẵn chữ số Vậy khơng số phương

b) Biến đổi

Số khơng sốchính phương (vì chia hết cho không chia hết cho

) Vậy khơng sốchính phương 379 a) , vơ lí

b) , vơ lí

c) , vơ lí

Vậy khơng sốchính phương

381 Sốchính phương khơng tận ,

Sốchính phương tận phải tận

Do số phương lập bốn chữ số phải tận Số phương chia hết cho phải chia hết cho , tận

hoặc Xét số ta thấy:

;

;

Vậy sốchính phương phải tìm

382 Đáp số:

383 Đáp số:

384 Khơng, số tạo thành chia hết cho không chia hết cho

385 Khơng, lí

386 a) Tổng chữ số nên , hợp số

b) chia hết cho khơng chia hết khơng sốchính phương

c) khơng sốchính phương nên sốlượng ước số lẻ

387 Tổng chữ số số lập , chia hết cho không chia

hết cho , nên số lập khơng số phương Các số

khơng chia hết cho tổng chữ số số số lẻ

388 Ta có nên Tìm số phương lẻ khoảng Tương ứng số , số

bằng , có số phương Đáp số:

389 Đáp số:

390 a) Gọi tổng chữ số số , ta có , ,

đó , tức

b) Số phương phải tìm chia hết cho , cho có ba chữ số Có hai đáp số:

và

391 Gọi số phải tìm , ta có:

( )

ab ba+ = n n∈N

11

a b

392 Giả sử

( 1) ( 2)( 3)

= + + +

n a a a a Chữ số tận số phương

có thểbằng

Tương ứng ta có Chỉ có 4356 66= 2, cịn ba trường hợp bị loại

393. Số 5n+4tận Xét hai trường hợp:

a) Trường hợp 5n+4tận (5n+4)2có tận Cần tìm số có

dạng * * bình phương số tận Khơng có số thỏa mãn

điều kiện vì:

742 =5476 * * 7056 84< < = 2

b) Trường hợp 5n+4tận (5n+4)2tận Cần tìm số có

dạng * * 1là bình phương số tận Ta thấy

= < < =

2

29 841 * * 2401 49 , 392 =1521 Vậy sốchính phương phải tìm 1521

394.Đặt  50 chư õsố

C 11 1= B 2C= , cịn    50

50 chư õsố 50 chư õsố 50 chư õsố

A 11 00 11 C.10= + = +C

Do A B C.10− = 50+ −C 2C C.10= 50− =C C(1050−1).Ta lại có

 50

50 chư õsố

10 − =1 99 9C.=

Vậy 2

50 chư õsố

A B C.9C 9C− = = =(3C) =(33 3) , sốchính phương

395. Với n=1 1! 1= =

Với n=2thì 1! 2! 3+ = , khơng sốchính phương

Với n=3 1! 2! 3! + + = =

Với n≥4thì 1! 2! + + +n! tận nên khơng sốchính phương ( Thật

1! 2! 3! 4! 33+ + + = , 5!,6!, tận 0)

HÌNH HỌC

1. Bốn điểm A B C D, , , thuộc đường thẳng BC

2 (h.23)

a) Ba điểm A B D, , thuộc đường thẳng BC

b) Các đường thẳng

, , , , ,

AB AC AD BC BD CD trùng

nhau, kí hệu đường thẳng a. Có

năm đường thẳng:

, , ,

OA OB OC ODvà a.

3. (h.24) Điểm Cnằm hai điểm Avà D A, E B, D B,

và E.

4. Trong ba điểm thẳng hàng, có điểm nằm hai

điểm cịn lại Điểm A khơng nằm hai điểm cịn lại, điểm B khơng nằm hai điểm cịn lại, Cnằm hai điểm lại

5. Hình 25 b) thỏa mãn đềbài D khơng nằm B C

6. a) Xem hình 26

b) Xem hình 27

c) Xem hình 28

O

D C

B A

Hình 23

a

D C

B A

Hình 24

E

b) a)

Hình 25

D

C A B C D

7. (h 29)

a) Có tia, có đoạn thẳng

b) Có cặp tia đối nhau: Ax

,

Ay

Oxvà Oy,

Cx Cy,

Bxvà By

8.(h 30): a) Các tia CMvà CA trùng Mnằm A C(1)

b) Các tia CNvà CBtrùng Nnằm Cvà B(2)

c) Cnằm Avà B nên tia CAvà CBđối (3) Từ (1), (2), (3) suy

tia CMvà CNđối nhau, Cnằm giữaM N.

9. Ta chứng tỏ tia BAvà BDđối Thật vậy, Bnằm Avà Cnên tia BAvà BCđối (1), Cnằm Bvà Dnên tia BCvà BDtrùng (2) Từ (1) (2) suy tia BAvà BDđối nhau, Bnằm Avà D.

10.Điểm D không nằm hai điểm Avà B.Hãy chứng tỏ tia BA BD đối

11. Điểm B nằm hai điểm Avà D.Thật vậy, B nằm Avà Cnên tia

BAvà BCđối nhau, D thuộc tia BCnên tia BCvà BD trùng Vậy tia

,

BA BDđối nhau, Bnằm giữaA D. 12 a) Xem hình 31a

b) Xem hình 31b

Hình 28 Hình 27

Hình 26

Hình 29

O C B

A

y

x

Hình 30 N M

C B

13. a) Xem hình 32

b) Xem hình 33

14. a) Xem hình 34 Chú ý đoạn thẳng thứ thứ hai phải vẽ vượt

ngồi điểm cho

b) Xem hình 35 Chú ý đoạn thẳng thứ ba thứ tư phải vẽ vượt

điểm cho

15. Ba điểm A B C, , khơng thẳng hàng

Giải tương tựcâu b) ví dụ

16. (h 36) Các tia ACvà ABđối nên Anằm Cvà B,suy CA AB CB+ =

(1) Các tia BAvà BDđối nên Bnằm Avà D,suy AB BD AD+ = (2) Ta

Hình 31

a) b)

A

B

C a

a

C B

A

Hình 32

Hình 33

Hình 34

Hình 35

5

1

1

Hình 36

D B

Hình 29

B C

O

A y

x

a C

B

A

a)

C B

A a

17 (h.37) Các điểm Cvà Bthuộc tia ABmà AC AB< nên Cnằm Avà B

AC CB AB CB CB 6(cm)

⇒ + = ⇒ + = ⇒ =

(h.29)

a)Có tia, có đoạn thẳng

b) Có cặp tia đối nhau: Ax Ay, Ox Oy , Cx Cy , Bx By

8.(h.30): a) Các tia CM CA trùng M nằm A C (1)

b) Các tia CN CB trùng N nằm C B (2)

c) C nằm A B nên tia CA CB đối (3) Từ (1), (2), (3) suy

tia CM CN đối nhau, C nằm M N

9. Ta chứng tỏ tia BA BD đối Thật vậy, Bnằm A C

nên tia BA BC đối (1), C nằm B Dnên tia BC BD

trùng (2) Từ (1) (2) suy tia BA BD đối nhau, B nằm A D

10. Điểm D không nằm hai điểm A B Hãy chứng tỏ tia BA BD đối

11.Điểm Bnằm hai điểm Avà D Thật vậy, Bnằm Avà Cnên tia BA

và BC đối nhau, D thuộc tia BCnên tia BCvà BDtrùng Vậy tia BA, BDlà đối Do đó, Bnằm A D

12. a) Xem hình 31a

b) Xem hình 31b

Hình 37 C

A B D

Hình 30 N M

B C

Hình 36

D B

A C

Hình 34 Hình 35

4

1

5

13 a) Xem hình 32

b) Xem hình 33

14 a) Xem hình 34 Chú ý đoạn thẳng thứ thứ hai phải vẽ vượt điểm cho

b) Xem hình 35 Chú ý đoạn thẳng thứba thứ tư phỉa vẽvượt

ngoài điểm cho

15.Ba điểm A B C, , không thẳng hàng

Giải tương tựcâu b) ví dụ

16. (h.36) Các tia ACvà AB đối nên Anằm Cvà B, suy CA AB+ =CB

(1) Các tia BA BD đối nên B nằm A D, suy AB+BD=AD (2)

Ta lại có CA=BD(3) Từ (1), (2), (3) suy CB=AD

17. (h.37) Các điểm Cvà B thuộc tia ABmà AC<ABnên C nằm A B

2 6( )

AC CB AB CB CB cm

⇒ + = ⇒ + = ⇒ =

Các điểm C D thuộc tia BA mà BD<BC nên D nằm B C

Hình 37

D B

Hình 40 B A1 A2 A3 A Hình 41

C M N A B

B N

A M

C

18. Xét hai trường hợp: C thuộc tia BA (khi AC = cm) thuộc tia đối

tia BA (khi AC = 7cm)

19. (h.38) 2,5

2 2 2

AC CB AC CB AB

DE=DC CE+ = + = + = = = (cm)

20. (h.39) CB=AB−AC = − =5 (cm) 1,5 2,5

2

AC CB

DE=DC CE+ = + = + = (cm) I trung điểm DE 2,5 1, 25

2

DE DI

⇒ = = = (cm)

1, 25 0, 25

CI =DI−DC= − = (cm)

21. (h.40)

1

1

AA = AB, 12 2

AA = AB, 3 13

AA = AB, …, 20 120 120

2

AA = AB= (m)

22 a) Bạn đọc tự giải

b)Trường hợp C thuộc tia đối tia AB (h.41):

Ta có

2 CA CM = ,

2 CB

CN = , CA CB< ⇒ M nằm C N Do :

2 2 2

CB CA CB CA AB a

MN =CN−CM = − = − = = Kết câu a

Trường hợp C thuộc tia đối tia BA, kết câu a Giải tương tự

23.Trường hợp a>b (h.42a) :

2

a b a b

IC =IB CB− = + − =b −

Hình 43

B I

A C

Hình 44

c) b)

a)

- Trường hợp a<b (h 42b) : Giải tương tự trên,

2 b a IC = − - Trường hợp a=b I ≡C

24. - Trường hợp C thuộc tia đối tia AB (h 43):

2 2

AB b a a b

IC =CA AI+ = +a = +a − = +

- Trường hợp C thuộc tia đối tia BA: Giải tương tự trên,

2 a b IC= +

CHUYÊN ĐỀ

25 a)Có đường thẳng: A A1 2, A A1 3, A A1 4, A A2 3, A A2 4, A A3 4

b)Có: 20 19 : = 190 (đường thẳng) c) Có: ( 1)

2 n n−

(đường thẳng)

d) Giải ( 1) 1128

n n−

= , n=48 e) Giải ( 1) 2004

2 n n−

= Khơng tìm số tự nhiên n thỏa mãn n n( − =1) 4008 (vì tích hai số tự nhiên liên tiếp khơng tận 8)

26.Có 4945 đường thẳng Giải tương tự ví dụ 11b 27. Ta có ( 1) 105

2 n n−

= nên n n( − =1) 210=2.3.5.7 15.14= Vậy n=15

28. Nếu bốn điểm thẳng hàng có đường thẳng (h.44a) Nếu có ba điểm thẳng hàng có đường thẳng (h 44b) Nếu khơng có ba điểm thẳng hàng có đường thẳng (h.44c)

29 a) Nếu ba đường thẳng đồng quy có giao điểm (h.45b) Nếu ba đường thẳng khơng đồng quy có ba giao điểm (h.45d)

30. Mỗi đường thẳng cắt 100 đường thẳng cịn lại tạo nên 100 giao điểm Có 101 đường thẳng nên có 101 100 giao điểm, giao điểm tính hai lần nên có: 101 100 : = 5050 (giao điểm)

Chú ý: Tổng quát với n đường thẳng, có ( 1)

2 n n−

giao điểm

31. Từ ( 1) 780

n n−

= , ta tính n=40

32 a) Số đoạn thẳng có: 10 : = 45

Chú ý: Tổng quát với n điểm, số đoạn thẳng ( 1)

2 n n−

b)Điều kiện có ba điểm thẳng hàng khơng ảnh hưởng đến số đoạn thẳng đếm 33.Đáp số: n=30

34 a) miền (h.46)

b) 4, miền (h.47)

c) 11 miền (h 48)

Chú ý: Tổng quát, n đường thẳng chia mặt phẳng nhiều thành ( 1)

n n+

+ miền

Thật vậy, mặt phẳng bị chia thành nhiều miền khơng có hai đường thẳng song song, khơng có ba đường thẳng đồng quy Một đường thẳng chia mặt phẳng thành miền Đường thẳng thứ hai cắt đường thẳng trư

ớc, bị chia thành hai tia nên tạo thêm hai miền Đường thẳng thứ ba cắt hai đường thẳng trước, bị chia thành hai tia đoạn thẳng nên tạo thành ba miền mới….Cứ vậy, đường thẳng thứ n cắt n−1 đường thẳng trước, bị chia thành tia n−2 đoạn thẳng nên tạo thêm n miền Vậy số miền có:

( ) n n( 1)

+ + + +…+ = + + + +…+ = + +

Hình 48 Hình 47

Hình 46

d) c)

b) d)

b) a)