Tuyển tập đề thi vào lớp 10 - Tp. Hà Nội

Một ô tô dự định đi từ tỉnh A đến tỉnh B với vận tốc 48km/h. Sau khi đi một giờ ô tô bị chắn đường bởi xe hỏa 10 phút. Tính quãng đường AB. Trên tia đối của tia DC lấy một điểm S và qu[r]

(1)

ĐỀ THI VÀO LỚP 10

MƠN TỐN THÀNH PHỐ HÀ NỘI

(2)

LỜI NĨI ĐẦU

Để góp phần định hướng cho việc dạy - học ở các trường việc ôn tập, rèn luyện kĩ cho học sinh sát với thực tiễn giáo dục, nhằm nâng cao chất lượng kì thi mơn tốn thành phố Hà Nội qua năm có đáp án chi tiết

Về nội dung kiến thức, kĩ năng: Tài liệu biên soạn theo hướng bám Chuẩn kiến thức, kĩ BộGDĐT, tập trung vào kiến thức bản, trọng tâm kĩ vận dụng, viết theo hình thức Bộđề ôn thi dựa đề thi vào lớp 10 năm thành phố Hà Nội Mỗi đềthi có hướng dẫn giải chi tiết!

Hy vọng Bộ tài liệu ôn thi có chất lượng, góp phần quan trọng nâng cao chất lượng dạy - học ởcác trường THCS kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT năm học 2020-2021 năm

Mặc dù có sựđầu tư lớn thời gian, trí tuệ đội ngũ người biên soạn, song tránh khỏi hạn chế, sai sót Mong sựđóng góp thầy, giáo em học sinh toàn tỉnh để Bộ tài liệu hồn chỉnh hơn.

Chúc thầy, giáo em học sinh thu kết cao kỳ thi sắp tới!

Tác giả: Nguyễn Cơng Lợi TÀI LIỆU TỐN HỌC

(3)

Bài I. ( 2,0 điểm ) Cho hai biểu thức 4( 1)

25

+ =

−

x A

x

15

:

25 5

 −  + = + 

− + −

 

x x

B

x x x

với x≥0;x≠25

1) Tìm giá trị biểu thức A x=9 2) Rút gọn biểu thức B

3) Tìm tất giá trị nguyên x để biểu thức P= A B đạt giá trị nguyên lớn nhât

Bài II. (2,5 điểm)

1) Giải toán cách lập phương trình hệphương trình :

Hai đội cơng nhân làm chung cơng việc sau 15 ngày làm xong Nếu đội thứ làm riêng ngày dừng lại đội thứ hai làm tiếp cơng việc ngày hai đội hồn thành 25% cơng việc Hỏi đội làm riêng ngày hồn thành xong công việc trên?

2) Một bồn nước inox có dạng hình trụ với chiều cao 75, m diện tích đáy

2

0 32, m Hỏi bồn nước đựng đầy mét khối nước ? (Bỏ qua bề dày bồn nước)

Bài III.(2,0 điểm)

1) Giải phương trình:

7 18

− − = x x

2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng

( ) :d y=2mx m− +1 parabol

2

( ) :P y=x

a) Chứng minh ( )d cắt ( )P hai điểm phân biệt

b) Tìm tất giá trị m để ( )d cắt ( )P hai điểm phân biệt có hồnh độ 1,

x x thỏa mãn

1 2

1

−

+ = +

x x x x

Bài IV.(3,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB<AC) nội tiếp đường trịn

( )O Hai đường cao BE CF tam giác ABC cắt điểm H 1) Chứng minh bốn điểm B, C, E, F thuộc đường trịn 2) Chứng minh đường thẳng OA vng góc với đường thẳng EF

Thời gian làm bài: 120 phút

(4)

3

a +b +ab= Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ P Hết

Cán coi thi khơng giải thích thêm

Họ tên thí sinh:……… Số báo danh:……… Họ tên, chữ kí cán coi thi số 1: Họ tên, chữ kí cán coi thi số 2:

(5)

Đề số Bài 1.(2,0 điểm)

Cho hai biểu thức 4

1

A x

x

 



3 1 2

2 3 3

B x

x x x

  

   với x 0,x 1 a) Tính giá trị biểu thức A x 9

b) Chứng minh 1

1

B

x





c) Tìm tất giá trị x để

A x

B  

Bài 2.(2,0 điểm)

Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi 28 mét độ dài đường chéo 10 mét Tính chiều dài chiều rộng mảnh đất theo đơn vị mét

Bài 3.(2,0 điểm)

a) Giải hệ phương trình

2

x y

    

   



b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d) :y (m2)x 3 parabol

2

( ) :P y x

i) Chứng minh ( )d cắt ( )P hai điểm phân biệt

ii) Tìm tất giá trị m để ( )d cắt ( )P hai điểm phân biệt có hồnh độ số nguyên

Bài (3,5 điểm)

Cho đường tròn ( ; )O R với dây cung AB không qua tâm Lấy S điểm bất

kì tia đối tia AB (S khác A) Từ điểm S vẽ hai tiếp tuyến SC SD, với

đường tròn ( ; )O R cho điểm C nằm cung nhỏ AB (C D, tiếp điểm) Gọi H

là trung điểm đoạn thẳng AB

a) Chứng minh năm điểm C D H O S, , , , thuộc đường trịn đường kính SO b) Khi SO 2R, tính độ dài đoạn thẳng SD theo R tính số đo CSD

(6)

điểm F thuộc đường tròn cố định Bài (0,5 điểm)

Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  1 x 1 x x Hết

(7)

Đề số

Bài I (2,0 điểm)

Cho hai biểu thức

5

x A

x

 



3 20 ,

25

x B

x x



 



 với x 0,x 25

1) Tính giá trị biểu thức A x = 2) Chứng minh

5

B x

 

3) Tìm tất giá trị x để AB x 4

Bài II (2,0 điểm)

Giải toán sau cách lập phương trình, hệphương trình:

Một xe ô tô xe máy khởi hành từ A để đến B với vận tốc xe khơng đổi tồn quảng đường AB dài 120 km Do vận tốc xe ô tô lớn vận tốc xe máy 10 km/h nên xe ô tô đến B sớm xe máy 36 phút Tính vận tốc xe

Bài III (2,0 điểm)

1) Giải hệ phương trình

4

x y

   



   



2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): y = mx + 5.

a) Chứng minh đường thẳng (d) qua điểm A(0;5) với giá trị m b) Tìm tất giá trị m để đường thẳng (d) cắt Parabol (P): y = x2 hai điểm

phân biệt có hồnh độ làx x1, (với x1 x2 ) cho x1  x2 Bài IV (3,5 điểm)

Cho đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác nhọn ABC Gọi M N điểm cung nhỏ AB cung nhỏ BC Hai dây AN CM cắt điểm I Dây MN cắt cạnh AB BC điểm H K

1) Chứng minh bốn điểm C, N, K, I thuộc đường tròn 2) Chứng minh NB2 = NK.NM

3) Chứng minh tứ giác BHIK hình thoi

(8)

Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức P = a2 + b2 + c2

Hết

(9)

Đề số

Bài I (2,0 điểm)

Cho biểu thức

8

A x





2 24

9

x x

B

x x



 



 với x ≥ 0; x ≠

1) Tính giá trị biểu thức 𝐴 x = 25

2) Chứng minh

3

x B

x

 



3) Tìm x để biểu thức P = A.B có giá trị số nguyên

Bài II ( 2,0 điểm)

Giải toán cách lập phương trình hệphương trình.

Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích 720𝑚2 Nếu tăng chiều dài thêm 10m giảm chiều rộng 6m diện tích mảnh vườn khơng đổi Tính chiều dài chiều rộng mảnh vườn

Bài III ( 2,0 điểm)

3

4

1

2

5

1

x

x y

x

x y

  

  



  

  



2) Trong mặt phẳng tọa độ 𝑂𝑥𝑦 cho đường thẳng (d): y = 3x + m2 - parabol

(P): y = x2

a) Chứng minh (𝑑) cắt (𝑃) hai điểm phân biệt với 𝑚

b) Gọi 𝑥1; x2 hoành độ giao điểm (𝑑) (𝑃).Tìm 𝑚 để (𝑥1+ 1)(x2+ 1) =

Bài IV(3,5 điểm)

Cho đường tròn (𝑂) điểm 𝐴 nằm ngồi đường trịn Kẻ tiếp tuyến 𝐴𝐵 với đường trịn (𝑂) (𝐵 tiếp điểm) đường kính 𝐵𝐶 Trên đoạn 𝐶𝑂lấy điểm 𝐼 ( 𝐼 khác 𝐶,

𝐼khác 𝑂) Đường thẳng 𝐴𝐼 cắt (𝑂) hai điểm 𝐷 𝐸 (𝐷 nằm 𝐴 𝐸) Gọi 𝐻là trung điểm𝐷𝐸

1) Chứng minh bốn điểm 𝐴,𝐵,𝑂,𝐻 nằm đường tròn 2) Chứng minh AB BD

AE  BE

3) Đường thẳng 𝑑đi qua 𝐸 song song với 𝐴𝑂,𝑑 cắt 𝐵𝐶 𝐾 Chứng minh 𝐻𝐾// 𝐷𝐶 4) Tia 𝐶𝐷 cắt 𝐴𝑂tại điểm 𝑃, tia 𝐸𝑂 cắt 𝐵𝑃 điểm 𝐹 Chứng minh tứ giác 𝐵𝐸𝐶𝐹

hình chữ nhật

(10)

(11)

Đề số 5

Bài I (2,0 điểm)

Cho hai biểu thức

2

x P

x + =

−

1

4

x x

Q

x x

− − = +

−

+ với x > 0, x ≠ 1) Tính giá trị biểu thức P x =

2) Rút gọn biểu thức Q

3) Tìm giá trị x để biểu thức P

Q đạt giá trị nhỏ

Bài II (2,0 điểm) Giái toán sau cách lập phương trình hệphương trình:

Một tàu tuần tra chạy ngược dịng 60km, sau chạy xi dịng 48km dịng sơng có vận tốc dịng nước 2km/giờ Tính vận tốc tàu tuần tra nước yên lặng, biết thời gian xuôi dịng thời gian ngược dịng

1) Giải hệ phương trình 2( )

( )

x y x x y x  + + + = 



+ − + = − 

2) Cho phương trình : x2 - (m + 5)x + 3m + = (x ẩn số)

a Chứng minh phương trình ln có nghiệm với số thực m

b Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 độ dài hai cạnh góc vng

một tam giác có độ dài cạnh huyền

Bài IV (3,5 điểm)

Cho nửa đường trịn tâm O có đường kính AB Lấy điểm C đoạn thẳng AO (C khác A, C khác O) Đường thẳng qua C vuông góc với AB cắt nửa đường trịn K Gọi M điểm cung KB (M khác K, M khác B) Đường thẳng CK cắt đường thẳng AM, BM H D Đường thẳng BH cắt nửa đường tròn điểm thứ hai N

1) Chứng minh tứ giác ACMD tứ giác nội tiếp 2) Chứng minh CA.CB = CH.CD

3) Chứng minh ba điểm A, N, D thẳng hàng tiếp tuyến N nửa đường tròn qua trung điểm DH

4) Khi M di động cung KB, chứng minh đường thẳng MN qua điểm cố định

(12)

(13)

Bài I (2,0 điểm)

1) Tính giá trị biểu thức A x x

+ =

− x = 2) Cho biểu thức P x x

x x x x

− +

 

= + 

+ + −

  với x > x≠1

a)Chứng minh P x x

+ =

b)Tìm giá trị x để 2P=2 x+5

Bài II (2,0 điểm) Giải tốn cách lập phương trình:

Một phân xưởng theo kế hoạch cần phải sản xuất 1100 sản phẩm số ngày quy định Do ngày phân xưởng sản xuất vượt mức sản phẩm nên phân xưởng hoàn thành kế hoạch sớm thời gian quy định ngày Hỏi theo kế hoạch, ngày phân xưởng phải sản xuất sản phẩm?

1) Giải hệ phương trình:

4

5

x y y

1

x y y

 + =  + − 



 − = −  + − 

2) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y = -x + parabol (P): y = x2

a) Tìm tọa độ giao điểm (d) (P)

b) Gọi A, B hai giao điểm (d) (P) Tính diện tích tam giác OAB

Bài IV (3,5 điểm)

Cho đường trịn (O; R) có đường kính AB cố định Vẽ đường kính MN đường trịn (O; R) (M khác A, M khác B) Tiếp tuyến đường tròn (O; R) B cắt đường thẳng AM, AN điểm Q, P

1) Chứng minh tứ giác AMBN hình chữ nhật

2) Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q thuộc đường tròn Đề số 6

(14)

Với a, b, c số dương thỏa mãn điều kiện a + b + c = Tìm giá trị lớn biểu thức Q= 2a+bc+ 2b ca+ + 2c ab+

Hết

Cán coi thi không giải thích thêm

(15)

Bài I: (2,0 điểm)

Với x > 0, cho hai biểu thức A x x

+

= B x x

x x x

− + = +

+ 1) Tính giá trị biểu thức A x = 64

2) Rút gọn biểu thức B 3) Tìm x để A

B >2

Bài II: (2,0 điểm) Giải tốn cách lập phương trình:

Quãng đường từ A đến B dài 90 km Một người xe máy từ A đến B Khi đến B, người nghỉ 30 phút quay trở A với vận tốc lớn vận tốc lúc km/h Thời gian kể từ lúc bắt đầu từ A đến lúc trở đến A Tính vận tốc xe máy lúc từ A đến B

Bài III: (2,0 điểm)

1) Giải hệ phương trình: 3(x 1) 2(x 2y)

4(x 1) (x 2y)

+ + + = 

 + − + = 

2) Cho parabol (P) : y =

2x

2 đường thẳng (d) : y = mx −

2m

2 + m +1

a) Với m = 1, xác định tọa độ giao điểm A, B (d) (P)

b) Tìm giá trị m để (d) cắt (P) hai điểm phân biệt có hồnh độ x1, x2

cho x1−x2 =2

Bài IV: (3,5 điểm)

Cho đường tròn (O) điểm A nằm bên (O) Kẻ hai tiếp tuyến AM, AN với đường tròn (O) (M, N tiếp điểm) Một đường thẳng d qua A cắt đường tròn (O) hai điểm B C (AB < AC, d không qua tâm O)

1) Chứng minh tứ giác AMON nội tiếp 2) Chứng minh AN2 = AB.AC

Tính độ dài đoạn thẳng BC AB = cm, AN = cm Đề số 7

(16)

Với a, b, c số dương thỏa mãn điều kiện a + b + c + ab + bc + ca = 6abc, chứng minh: 12 12 12

a +b +c ≥

Hết

(17)

Bài I (2,5 điểm)

1) Cho biểu thức

2

x A

x + =

+ Tính giá trị biểu thức A x = 36

2) Rút gọn biểu thức : 16

4

x x

B

x x x

  + = + 

+ − +

  (với x ≥ 0, x≠16)

3) Với biểu thức A B nói trên, tìm giá trị nguyên x để giá trị biểu thức B(A – 1) số nguyên

Bài II (2,0 điểm) Giái toán sau cách lập phương trình hệ phương trình: Hai người làm chung cơng việc 12

5 xong Nếu người

làm thời gian để người thứ hồn thành cơng việc người thứ hai Hỏi làm người phải làm để xong công việc?

2

6

x y

x y  + = 



 − = 

2) Cho phương trình : 2

(4 1)

x − m− x+ m − m= (ẩn x) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1,x2 thỏa mãn điều kiện x12+x22 =7

Bài IV (3,5 điểm) Cho đường tròn (O; R) đường kính AB Bán kính CO vng góc với AB, M điểm cung nhỏ AC (M khác A C), BM cắt AC H Gọi K hình chiếu H AB

1) Chứng minh tứ giác CBKH tứ giác nội tiếp 2) Chứng minh ACM = ACK

3) Trên đoạn thẳng BM lấy điểm E cho BE = AM Chứng minh tam giác ECM tam giác vuông cân C

4) Gọi d tiếp tuyến đường tròn (O) điểm A Cho P điểm nằm d cho hai điểm P, C nằm nửa mặt phẳng bờ AB

AP MB R

MA = Chứng minh đường thẳng PB qua trung điểm đoạn thẳng HK

Đề số 8

(18)

Họ tên, chữ kí cán coi thi số 1: Họ tên, chữ kí cán coi thi số 2:

(19)

Bài I(2,5 điểm)

Cho A x 10 x 5

x 25

x 5 x 5

= − − −

− + Với x≥0, x≠25

1) Rút gọn biểu thức A 2) Tính giá trị A x = 3) Tìm x để A 1

3

<

Bài II (2,5 điểm)

Giải tốn sau cách lập phương trình hệ phương trình:

Một đội xe theo kế hoạch chở hết 140 hàng số ngày quy định Do ngày đội chở vượt mức nên đội hoàn thành kế hoạch sớm thời gian quy định ngày chở thêm 10 Hỏi theo kế hoạch đội xe chở hàng hết ngày?

Cho Parabol (P):

y=x đường thẳng (d): y=2x−m2+9

1) Tìm toạ độ giao điểm Parabol (P) đường thẳng (d) m =

2) Tìm m để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) hai điểm nằm hai phía trục tung

Bài IV (3,5 điểm)

Cho đường trịn tâm O, đường kính AB = 2R Gọi d1 d2 hai tiếp tuyến

đường tròn (O) hai điểm A B.Gọi I trung điểm OA E điểm thuộc đường tròn (O) (E không trùng với A B) Đường thẳng d qua điểm E vng góc với EI cắt hai đường thẳng d1 d2 M, N

1) Chứng minh AMEI tứ giác nội tiếp

2) Chứng minh ∠ENI= ∠EBI ∠MIN=900

3) Chứng minh AM.BN = AI.BI Đề số 9

(20)

Hết

(21)

Bài I (2,5 điểm)

Cho biểu thức A x x 3x x

x x

+ = + −

−

+ − , với x ≥ x ≠ 1) Rút gọn biểu thức A

2) Tìm giá trị x để A

=

3) Tìm giá trị lớn biểu thức A

Bài II (2,5 điểm)

Giải toán sau cách lập phương trình:

Một mảnh đất hình chữ nhật có độ dài đường chéo 13m chiều dài lớn chiều rộng 7m Tính chiều dài chiều rộng mảnh đất

Cho parabol (P) : y = − x2 đường thẳng (d) : y = mx −

1) Chứng minh với giá trị m đường thẳng (d) ln cắt parabol (P) hai điểm phân biệt

2) Gọi x1, x2 hoành độ giao điểm đường thẳng (d) parabol (P)

Tìm giá trị m để : 2

1 2 1

x x +x x −x x =3

Bài IV (3,5 điểm)

Cho đường tròn (O) có đường kính AB = 2R điểm C thuộc đường trịn (C khác A, B) Lấy điểm D thuộc dây BC (D khác B, C) Tia AD cắt cung nhỏ BC điểm E, tia AC cắt tia BE điểm F

1) Chứng minh FCDE tứ giác nội tiếp 2) Chứng minh DA.DE = DB.DC

3) Chứng minh CFD =OCB Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác FCDE,

chứng minh IC tiếp tuyến đường tròn (O) 4) Cho biết DF = R, chứng minh tg AFB=2

Bài V (0,5 điểm)

Giải phương trình : 2

x +4x+ =7 (x+4) x +7

Hết

Đề số 10

(22)

Bài I (2,5 điểm) Cho biểu thức: A x 1 1

x 4 x 2 x 2

= + +

− − + với x ≥ x ≠ 1) Rút gọn A

2) Tính giá trị A x = 25 3) Tìm x để 1

A 3 = −

Bài II (2,5 điểm) Giải tốn sau cách lập phương trìnhhoặc hệ phương trình:

Hai tổ sản xuất may loại áo Nếu tổ thứ may ngày, tổ thứ hai may ngày hai tổ may 1310 áo.Biết ngày tổ thứ may nhiều tổ thứ hai 10 áo Hỏi tổ ngày may áo?

Cho phương trình (ẩn x): x2 – 2(m+1)x + m2 + =

1) Giải phương trình cho m =

2) Tìm giá trị m để phương trình cho có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn:

2 2 1 2

x +x =10

Bài IV (3,5 điểm) Cho (O;R) điểm A nằm bên ngồi đường trịn Kẻ tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C tiếp điểm)

1) Chứng minh ABOC tứ giác nội tiếp

2) Gọi E giao điểm BC OA Chứng minh BE vng góc với OA OE.OA = R2

3) Trên cung nhỏ BC (O;R) lấy điểm K (K khác B C) Tiếp tuyến K (O;R) cắt AB, AC theo thứ tự P Q Chứng minh tam giác APQ có chu vi khơng đổi K chuyển động cung nhỏ BC

4) Đường thẳng qua O vng góc với OA cắt đường thẳng AB, AC theo thứ tự M, N Chứng minh PM + QN ≥ MN

Bài V (0,5 điểm) Giải phương trình

( )

2 1 2 1 1 3 2

x x x 2x x 2x 1

4 4 2

− + + + = + + +

Hết

Đề số 11

(23)

Bài I: Cho biểu thức :

x x

P

x x x x

    = +    

− +     1) Rút gọn biểu thức P

2) Tính giá trị biểu thức P x = 3) Tìm x để P = 13

3

Bài II : Giải tốn cách lập phương trình

Tháng thứ hai tổ sản xuất 900 chi tiết máy Tháng thứ hai tổ I vượt mức 15% tổ hai vượt mức 10 % so với tháng thứ , hai tổ sản xuất 1010 chi tiết máy Hỏi tháng thứ tổ sản xuất chi tiết máy?

Bài III : Trên hệ trục toạ độ Oxy, cho Parapol (P) có ptrình : 1 2

y= x đường thẳng (d)

có phương trình y = mx +

a) CMR: với giá trị m đường thẳng (d) cắt Parabol (P) hai điểm phân biệt

b) Gọi A ,B hai giao điểm (d) (P) Tính diện tích ∆AOB theo m ( O gốc toạ độ)

Bài IV: Cho đtrịn (O), đường kính AB = 2R E điểm nằm đường trịn ( E khác A B) Đường phân giác góc AEB cắt đoạn thẳng AB F cắt đường tròn (O) điểm thứ hai K

a) Chứng minh ∆KAF đồng dạng ∆KEA

b) Gọi I giao điểm đường trung trực đoạn EF với OE Chứng minh đường tròn (I) bán kính IE tiếp xúc với đường trịn (O) E tiếp xúc với đường thẳng AB F c) Chứng minh MN // AB , M N giao điểm thứ hai AE , BE

với đường trịn (I)

d) Tính giá trị nhỏ chu vi ∆KPQ theo R E di chuyển đường tròn (O), với P giao điểm NE AK, Q giao điểm MF BK

Bài V: Tìm giá trị nhỏ biểu thức A biết ( ) (4 )4 ( ) (2 )2

1

A= x− + x− + x− x−

Hết

Họ tên thí sinh:……… Số báo danh:……… Đề số 12

(24)

Bài ( 2,5 điểm)

Cho biểu thức: 3 6 4

1

1 1

x x

P

x

x x

−

= + −

−

− +

1/ Rút gọn biểu thức P 2/ Tìm x để 1

2

P<

Bài ( 2,5 điểm) Giải tốn sau cách lập phương trình:

Một người xe đạp từ A đến B cách 24 km Khi từ B trở A người tăng vận tốc lên km/h so với lúc đi, thời gian thời gian 30 phút Tính vận tốc xe đạp từ A đến B

Bài ( điểm)

Cho phương trình

0 x +bx+ =c

1/ Giải phương trình b= −3và c =2

2/ Tìm b, c để phương trình cho có hai nghiệm phân biệt tích chúng

Bài ( 3,5 điểm)

Cho đường tròn (O; R) tiếp xúc với đường thẳng d A Trên d lấy điểm H không trùng với điểm A AH < R Qua H kẻ đường thẳng vng góc với d, đường thẳng cắt đường trịn tai hai điểm E B ( E nằm B H )

1/ Chứng minh ABE=EAH ∆ABH ∆EAH

2/ Lấy điểm C d cho H trung điểm đoạn thẳng AC, đường thẳng CE cắt AB K Chứng minh AHEK tứ giác nội tiếp

3/ Xác định vị trí điểm H để AB=R 3

Bài 5 ( 0,5 điểm)

Cho đường thẳng y =(m−1)x+2

Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng lớn Hết

Đề số 13

(25)

Bài 1:(2,5 điểm)

Cho biểu thức 3 2 : 1 1 1

( 2)( 1) 1 1

a a a a

P

a

a a a a

 + + +    = −   + 

−

+ −  + − 

 

1/Rút gọn biểu thức P 2/Tìm a để 1 1 1

8 a P

+

− ≥

Bài 2:(2,5 điểm)

Một ca nơ xi dịng khúc sơng từ bến A đến bến B dài 80 km, sau lại ngược dòng đến địa điểm C cách bến B 72 km Thời gian ca nơ xi dịng thời gian ngược dịng 15 phút Tính vận tốc riêng ca nơ biết vận tốc dịng nước km/h

Bài 3:(1 điểm)

Tìm toạ độ giao điểm A B đồ thị hai hàm số y = 2x + y = x2

Gọi D C hình chiếu vng góc A B trục hồnh Tính SABCD

Bài 4:(3 điểm)

Cho (O) đường kính AB = 2R, C trung điểm OA dây MN vng góc với OA C Gọi K điểm tuỳ ý cung nhỏ BM, H giao điểm AK MM

a) CMR: BCHK tứ giác nội tiếp b) Tính AH.AK theo R

c) Xác định vị trí điểm K để (KM+KN+KB) đạt giá trị lớn tính giá trị lớn

Bài 5:(1 điểm)

Cho hai số dương x, y thoả mãn điều kiện: x + y = Chứng minh: x2y2(x2+ y2) ≤

Hết

Đề số 14

(26)

A/ Lý thuyết (2đ): Học sinh chọn đề

Đề 1: Nêu điều kiện để A có nghĩa

Áp dụng : Với giá trị x 2x−1 có nghĩa

Đề 2:Phát biểu chứng minh định lý góc có đỉnh bên đường trịn

B Bài tập bắt buộc (8đ)

Bài (2,5đ) Cho biểu thức P = :

2 2

 −   + 

+ −

   

 − −   − 

   

x x x

x x x x x

a/ Rút gon P

b/ Tính giá trị P x =

−

c/ Tìm m để có x thỏa mãn P = mx x- 2mx +

Bài (2đ) giải tốn cách lập phương trình

Theo kế hoạch, cơng nhân phải hồn thành 60 sản phẩm thời gian đinh Nhưng cải tiến kỹ thuật nên người công nhân làm thêm sản phẩm Vì , hoàn thành kế hoạch sớm dự định 30 phút mà vượt mức sản phẩm.Hỏi theo kế hoạch , người phải làm snr phẩm?

Bài (3,5 đ)

Cho tam giác ABC vuông A Lấy điểm M tùy ý A B Đường tròn đường kính BM cắt đường thẳng BC điểm thứ hai E Các đường thẳng CM, AE cắt đường tròn điêmt thứ H K

a/ Cm tứ giác AMEC tứ giác nội tiếp b/ cm góc ACM góc KHM

c/ cm đường thẳng BH, EM AC đồng quy

d/Giả sử AC<AB , xác định vị trí M để tứ giác AHBC hình thang cân.

Hết

Đề số 14

(27)

A-Lý thuyết(2 điểm) Thí sinh chọn hai đề sau:

Đề Định nghĩa phương trỡnh bậc hai ẩn số nghiệm nú Hóy tỡm nghiệm chung phương trỡnh : x+ 4y = x – 3y = -4

Đề Phát biểu định lý góc có đỉnh bên ngoaỡ đường trũn Chứng minh định lý trường hợp hai cạnh góc cắt đường trũn

B- Bài tập bắt buộc (8 điểm)

Bài 1: Cho biểu thức P = 

  

 

+ − + − 

  

 

−

x x

x : 1

a) Rút gọn P

b) Tính GT P x =

3

2

+

c) Tìm GT x thoả mãn P x =6 x−3− x−4

Bài 2:Giải toán cách lập phương trình

Để hồn thành cơng việc , hai tổ phải làm chung 6h Sau 2h làm chung tổ hai bị điều làm việc khác , tổ hồn thành nốt cơng việc lại 10h Hỏi tổ làm riêng sau hồn thành cơng việc

Bài3:

Cho đường tròn (O;R) , đường thẳng d khơng qua O cắt đường trịn hai điểm phân biệt A,B Từ điểm C d(C nằm ngồi đường trịn), kẻ hai tiếp tuyến CM, CN tới đường tròn(M,N thuộc O) Gọi H trung điểm AB, đường thẳng OH cắt tia CN K

1) C/m điểm C,O,H,N thuộc đường tròn 2) C/m : KN.KC=KH.KO

3) Đoạn thẳng CO cắt (O) I, chứng minh I cách CM,CN,MN

4) Một đường thẳng qua O song song với MN cắt tia CM,CN E F.Xác định vị trí điểm C d cho diện tích tam giác CEF nhỏ

Hết

Đề số 15

(28)

A- Lý thuyết (2đ) thí sinh chọn đề sau

Đề 1,Phát biểu viết dạng tổng quát củaqui tắc khai phương tích Áp dụng tính: P = 50

2

−

Đề Định nghĩa đường trịn Chứng minh đường kính dây lờn đường tròn

B- Bài tập bắt buộc (8 điểm)

Bài 1 (2,5 đ)

Cho biểu thức P = :

4

2

   − 

+ −

   

 + −   − 

   

x x x

x

x x x x

a/ Rút gọn P

b/ Tìm giá trị x để P = -1

c/ Tìm m để với giá trị x>9 ta có: m( x-3)P > x +

Bài 2 (2đ) Giải toán cách lập phương trình:

Theo kế hoạch, hai tổ sản xuất 600 sản phẩm thời gian định Do áp dụng kỹ thuật nên tổ I vượt mức 18%, tổ II vượt mức 21% , thời gian quy định họ hồn thành vượt mức 120 sản phẩm Hỏi số sản phẩm giao tổ theo kế hoạch?

Bài 3 (3,5đ) Cho đường trịn (O), đường kính AB cố định, điểm I nằm giã A O cho AI =

3AO Kẻ dây MN vng góc với AB I Gọi C điểm tùy ý thuộc cung lớn

MN, cho C không trùng với M,N B Nối AC cắt MN E

a/ Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp đường tròn b/ Chứng minh AME đồng dạng với ACM AM2 = AE.AC c/ Chứng minh AE.AC – AI.IB = AI2

d/ Hãy xác định vị trí điểm C cho khoảng cách từ N đến tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CME nhỏ

Hết

Đề số 16

(29)

A.Lí thuết (2 điểm): Học sinh chọn hai đề sau:

Đề 1: Phát biểu định nghĩa nêu tính chất hàm số bậc Ap dụng: Cho hai hàm số bậc y = 0,2x-7 y = 5-6x Hỏi hàm số đồng biến , hàm số nghịch biến ,vì sao?

Đề 2: Nêu dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp đường tròn

B.Bài tập bắt buộc(8 điểm):

Bài 1(2,5 điểm): Cho biểu thức P = 

  

 

− − − + 

  

 

+ + −

x x x

x x

1

:

a) Rút gọn P

b) Tìm GT x để P<0 c) Tìm GTNN P

Bai2(2 điểm): Giải toán bằngcách lập phương trình

Một cơng nhân dự định làm 150 sản phẩm thời gian định.Sau làm 2h với xuất dự kiến ,người cảI tiến cácthao tác nên tăng xuất sản phẩm hoàn thành 150 sản phẩm sớm dự kiến 30 phút Hãy tính xuất dự kiến ban đầu

Bài3(3,5 điểm): Cho đường trịn (O) đường kính AB cố định đường kính EF (E khác A,B) Tiếp tuyến B với đường tròn cắt tia AE,AF H,K Từ A kẻ đường thẳng vng góc với EF cắt HK M

a) Chứng minh tứ giác AEBF hình chữ nhât b) Chứng minh tứ giác EFKH nội tiếp đường tròn c) Chứng minh AM trung tuyến tam giác AHK

d) Gọi P,Q trung điểm tương ứng HB,BK,xác định vị trí đường kính EF để tứ giác EFQP có chu vi nhỏ

Hết

Đề số 17

(30)

A.Lí thuết (2 điểm): Học sinh chọn hai đề sau:

Đề 1: Thế phép khử mẫu biểu thức lấy Viết công thức tổng quát Ap dụng tính :

2

3

2− + −

Đề 2: Phát biểu chứng minh định lí góc có đỉnh bên đường trịn

B.Bài tốn bắt buộc( 8điểm):

Bài 1(2,5 điểm): Cho biểu thức: P = ( ) 

  

 

− − + 

  

 

− + − −

2

:

4

x x x

x x

x

a) Rút gọn P

b) Tính GT P biết x= 6-2

c) Tìm GT n để có x thoả mãn P.( x+1)> x+n

Bài 2(2 điểm): Giải tốn cách lập phương trình

Một ca nô chạy sông 8h, xuôi dòng 81 km ngược dòng 105km Một lần khác chạy khúc sơng ,ca nơ chay 4h, xi dịng 54km ngược dịng 42km Hãy tính vận tốc xi dịng ngược dịng ca nơ, biết vân tốc dịng nước vận tốc riêng ca nô không đổi

Bai3(3,5 điểm): Cho đường trịn (O) đường kính AB=2R, dây MN vng góc với dây AB I cho IA< IB Trên đoạn MI lấy điểm E( E khác M I).Tia AE cắt đường tròn điểm thứ hai K

a) Chứng minh tứ giác IEKB nội tiếp

b) C/m tam giác AME,AKM đồng dạng AM2 =AE.AK

c) C/m: AE.AK+BI.BA=4R2

d) Xác định vị trí điểm I cho chu vi tam giác MIO đạt GTLN Hết

Đề số 18

(31)

A.Lí thuết (2 điểm): Học sinh chọn hai đề sau:

Đề1: Phát biểu hai quy tắc đổi dấu phân thức Viết công thức minh hoạ cho tong quy tắc áp dụng: Thực phép tính :

a b

b a b a

a

− + + −

2 2

2

Đề 2: Phát biểu định lí góc nội tiếp đường trịn Chứng minh định lí trưịng hợp tâm O nằm cạnh góc

B.Bài toán bắt buộc(8 điểm):

Bài1(2,5 điểm): Cho biểu thức P = 

  

 

− + + 

  

 

− −

−

2 1 :

1 x x x x

x x

a) Rút gọn P

b) Tìm GT x để P>0

c) Tìm số m để có GT x thoả mãn P x =m− x

Bài 2(2 điểm): Giải tốn cách lập phương trình

Một xe tải xe khởi hành từ A đến B.Xe tải với vận tốc 40km/h, xe với vận tốc 60km/h Saukhi xe nửa đường xe nghỉ 40 phút chạy tếp đến B; xe tải quãng đường lại tăng vân tốc thêm 10km/h đến B chậm xe nửa Hãy tính quãng đường AB

Bài 3(3,5 điểm): Cho đường trịn (O) điểm A nằm ngồi đường trịn Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB,AC cát tuyến AMN với đường tròn( B,C,M,N thuộc đường tròn;

AM<AN) Gọi I giao điểm thứ hai đường thẳng CE với đường tròn (E trung điểm MN)

a) Chứng minh điểm A,O,E,C nằm đường trịn b) Chứng minh :góc AOC = gócBIC;

c) Chứng minh : BI//MN

d) Xác định vị trí cát tuyến AMN để diện tich tam giác AIN lớn Hết

(32)

A Lí thuyết (2 điểm): Học sinh chọn hai đề sau:

Đề 1: Phát biểu tính chất phân thức đại số Các đẳng thức sau hay sai,vì sao?

( ) 5 15 25 ; 1 2 − − = − − = + + m m m m x x

Đề 2: CMR: cạnh góc vng cạnh huyền tam giác vng tỉ lệ với cạnh góc vng cạnh huyền tam giác vng hai tam giác vng đồng dạng

B Bắt buộc(8 điểm):

Bài1(2,5 điểm): Cho biểu thức P= 

     + + + −       − − − + : 1 1

3 x x

x x

a) Rút gọn P

b) Tìm GT nguyên x để P nhận GT nguyên dương

Bai 2(2 điểm):Giải toán cách lập phương trình

Một người dự định xe đạp từ A đến B cách 36km thời gian định.Sau nửa quãng đường người dừng lại nghỉ 18 phút.Do để đến B hẹn người tăng vận tốc thêm 2km/h qng đường cịn lại Tính vận tốc ban đầu thời gian xe lăn bánh đường

Bai3(3,5 điểm):

Cho tam giác ABC vuông A,đường cao AH Đường trịn đường kính AH cắt cạnh AB,AC E F

1) Chứng minh tứ giác AEHF hình chữ nhật 2) Chứng minh: AE.AB = AF.AC

3) Đường thẳng qua A vng góc với EF cắt cạnh BC I Chứng minh I trung điểm BC

4) Chứng minh rằng: diện tích tam giac ABC gấp đơi diện tích hình chữ nhật AEHF tam giác ABC vuông cân

Hết

(33)

Bài

Cho biểu thức: A = : 1

1 1

 + +  + +

 

 + + + − 

 

x x

x

x x x x x

a/ Rút gọn A b/ Tìm x để A =

Bài 2:

Một công nhân dự tính làm 72 sản phẩm thời gian định.Nhưng thực tế xí nghiệp lại giao làm 80 sản phẩm Vì vậy, người làm thêm sản phẩm song thời gian hoàn thành công việc tăng so với dự định 12 phút

Tính suất dự kiến, biết người làm khơng q 20 sản phẩm

Bài 3:

Cho đường trịn O bán kính R, dây AB cố định (AB< 2R) điểm M tùy ý cung lớn AB (M khác A,B) Gọi I trung điểm dây AB (O’) đường tròn qua M tiếp xúc với AB A Đường thẳng MI cắt (O), (O’)lần lượt giao điểm thứ hai N,P

1/ Cm IA2 = IP.IM

2/ Cm tứ giác ANBP hình bình hành

2/ Cm IB tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác MBP

4/ Cm M di chuyển trọng tâm G tam giác PAB chạy cung tròn cố định

Bài 4:

Trong hệ tọa độ vng góc xOy, cho Parabol y = x2 (P) đường thẳng y = x + m (d)

Tìm m để (d) cắt hai nhánh (P) A B cho tam giác AOB vuông O?

Hết

(34)

A.Lý thuyết (hs chọn đề)

1/ Định nghĩa bậc hai số học chứng minh công thức : ab = a b với a ≥ 0; b ≥ 2/ Nêu dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp đường tròn

B Bài toán

1, Cho biểu thức

A = 1 :

1

a a

a a a a

 + +   

−  −   −   − − 

   

a/ Rút gọn A

b/Tìm giá trị a để A >

6

2 Giải toán sau cách lập phương trình:

Một tơ dự định từ tỉnh A đến tỉnh B với vận tốc 48km/h Sau ô tô bị chắn đường xe hỏa 10 phút Do , để đến tỉnh B hạn , xe phải tăng vận tốc thêm 6km/h Tính qng đường AB

3/ Cho đường trịn (O;R ), dây CD có trung điểm H Trên tia đối tia DC lấy điểm S qua S kẻ tiếp tuyến SA, SB với đường tròn Đường thẳng AB cắt đường thẳng SO; OH E F

a/ Chứng minh tứ giác SEHF nội tiếp b/Chứng minh OE.OS = R2

c/ OH.OF = OE.OS

d/ Khi S di động tia đối tia DC chứng minh đường thẳng AB qua điểm cố định

Hết

Thời gian làm bài: 120 phút.

(35)

Bài 1: Cho biểu thức

A = 

  

 

− − − 

  

 

− + −

− −

+

2 1 : 2

1

x x

x x x x

x x

1) Rút gọn A

2) Với GT x A đạt GTNN tìm GTNN

Bài 2:Giải tốn cách lập phương trình

Một người xe máy từ A đến B cách 120km với vận tốc dự định trước Sau 1/3 quáng đường AB người tăng vận tốc lên 10km/h qng đường cịn lại Tìm vận tốc dự định thời gian lăn bánh đường,biết người đến B sớm dự định 24phút

Bài3:

Cho đường trịn (O) bán kính R dây BC cố định Gọi A điểm cung nhỏ BC Lấy điểm M cung nhỏ AC,kẻ tia Bx vng góc với tia MA I cắt tia CM D

1) Chứng minh gúc AMD= gúc ABC MA tia phân giac góc BMD

2) Chứng minh A tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác BCD góc BDC có độ lớn khơng phụ thuộc vào vị trí điểm M

3) Tia DA cắt tia BC E cắt đường tròn (O) điểm thứ hai F, chứng minh AB tiếp tuyến đường tròn ngoai tiếp tam giác BEF

4) Chứng minh tích P=AE.AF khơng đổi M di động Tính P theo bán kính R ABC =α

Bài4:

Cho hai bất phương trình : 3mx -2m>x+1 (1) m - 2x < (2)

Tìm m để hai bất phương trình có tập hợp nghiệm Hết

(36)

A/ lý thuyết : Học sinh chọn đề

Đề 1: Phát biểu định nghĩa nêu tính chất hàm số bậc Trong hàm số sau đây, hàm số hàm số bậ ? Vì sao? y = – 2x ; y = x +

x

Đề 2 : Phát biểu dấu hiệu nhận biết hình bình hành

B/ Bài tập

1/ Xét biểu thức: B =(

1

a a

+ − -

1

a a

− + -

8 a a− ) : (

3 a a

a

− −

−

-1

a− ) a) Rút gọn B

b) So sánh B với

2/ Giải tốn cách lập phương trình

Nếu hai vòi nước chảy vào bể , sau đầy Nếu vịi chảy 20 phút vịi chảy 30 phút

6 bể Hỏi vịi chảy phải đầy bể

Bài 3 Cho nửa đường trịn đường kính AB điểm C,D thuộc nửa dường tròn cho cung AC < 900 góc COD = 900 Gọi M điểm nửa đường tròn, cho C

điểm cung AM Các dây AM BM cắt OC, OD E, F a/ Tứ giác OEMF hình gì? Tại sao?

b/ Chứng minh D điểm cung MB

c/ Đường thẳng d tiếp xúc với nửa đường tròn M cắt tia OC, OD I K Chứng minh tứ giác OBKM OAIM nội tiếp

Hết

(37)

Bài 1: Cho biểu thức P = 3

2 1

1

a a a

a

a a a

a

 

 +  +

−  − 

 

 − + +   + 

   

a) Rút gọn P

b) Xét dấu biểu thức P 1−a

Bài 2: Giải tốn cách lập phương trình

Một ca nô xuôi từ A đến B với vận tốc 30km/h, sau lại ngược từ B A Thời gian xi thời gian ngược 1h20 phút Tính khoảng cách hai bến A B biết vận tốc dòng nước 5km/h vận tốc riêng ca nô xuôi ngược

Bài 3:

Cho tam gíac ABC cân A, A < 900, cung tròn BC nằm tam giác ABC tiếp xúc với AB,AC B C Trên cung BC lấy điểm M hạ đường vng góc

MI,MH,MK xuống cạnh tương ứng BC ,CA, BA Gọi P giao điểm MB,IK Q giao điểm MC,IH

a) Chứng minh tứ giác BIMK,CIMH nội tiếp b) Chứng minh tia đối tia MI phân giác góc HMK c) Chứng minh tứ giác MPIQ nội tiếp Suy PQ//BC

d) Gọi (O1) đường tròn qua M,P,K,(O2) đường tròn qua M,Q,H; N giao

điểm thứ hai (O1) (O2) D trung điểm BC Chứng minh M,N,D thẳng

hàng

Bài 4: Tìm tất cặp số (x;y) thoả mãn phương trình sau: 5x- x(2+y)+y2 +1=0

Hết

(38)

Bài 1:

Cho biểu thức M = : 1

2 2

 + +   + +  + − + −

   

 + −   + − 

   

x x x x x x

x x x x

a/ Rút gọn M b/ Tính M x =

2(3+2 2)

Bài 2:

Hai vòi nước chảy vào bể khơng có nước chảy đầy bể 48 phút Nếu chảy riêng vịi thứ chảy đầy bể nhanh vịi thứ hai giờ.Hỏi chảy riêng vịi chảy đầy bể bao lâu?

Bài 3:

Cho đường tròn (O1) ( O2) tiếp xúc A tiếp tuyến chung Ax Một đường thẳng d tiếp xúc với (O1) , ( O2) điểm B,C cắt Ax M.Kẻ đường kính B O1D, C O2E

a/ Cmr M trung điểm BC b/ Cmr tam giác O1MO2 vuông

c/ Cmr B,A,E thẳng hàng; C,A,D thẳng hàng

d/ Gọi I trung điểm DE Cmr đường tròn ngoại tiếp tam giác IO1O2 tiếp xúc với

đường thẳng BC

Bài 4:Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm x2- (2m-3)x + =

x2 +x + (m-5) =0

Hết

(39)

Bài 1:

Cho biểu thức

B = (2

1

x x x x x

+ −

− − ) : (1-

2

x x x

+ + + ) a/ Rút gọn B

b/ Tìm B x = 5+

Bài 2:

Hai người thợ làm công việc 12 phút xong Nếu người thứ làm giờ, người thứ làm hai người làm ¾ cơng việc Hỏi người làm cơng việc xong

Bài 3:

Cho nửa đường trịn đường kính AB K điểm cung AB Trên cung KB lấy M (M ≠ K,B ) Trên tia AM lấy N cho AN = BM Kẻ dây BP//KM Gọi Q giao điểm đường thẳng AP, BM

a/ So sánh tam giác AKN BKM b/ Cm tam giác KMN vuông cân c/ Tứ giác ANKP hình gì? Tại sao?

d/ Gọi R,S giao điểm thứ QA QB với đường tròn ngoại tiếp tam giác OMP, chứng minh M di động cung KB trung điểm I RS ln nằm đường trịn cố định

Bài Giải phương trình

2

1

x

x x x

+ + = + +

Hết

(40)

Bài

Cho biểu thức

Q = (

9

x x

x

− −

− ) : (

9

( 3)( 2)

x x x

x x x x

− + − − +

+ − − + )

a/ Rút gọn Q

b/ Tìm giá trị x để Q <

Bài 2 Một đoàn xe vận tải dự định điều số xe loại vận chuyển 40 hàng Lúc khởi hành , đoàn xe giao thêm 14 Do , phải điều thêm xe loại xe phải chở thêm 0,5 Tính số lượng xe phải điều theo dự định Biết xe chở số hàng

Bài

Cho đoạn thẳng AB điểm C nằm A,B Người ta kẻ nửa mặt phẳng bờ AB hai tia Ax By vng góc với AB tia Ax lấy điểm I Tia vng góc với CI C cắt tia By K Đường trịn đường kính IC cắt IK P

a/ Cm tứ giác CPKB nội tiếp b/ Cm AI.BK= AC.CB

c/ Cm tam giác APB vuông

d/ Giả sửA,B,I cố định Hãy xác định vị trí điểm C cho diện tích hình thang vng ABKI lớn

Bài

Chứng minh đường thẳng có phương trình y = (m-1)x + 6m - 1991 (m tùy ý)luôn qua điểm mà ta xác định tọa độ

Hết

(41)

Bài 1:

Xét biểu thức

P = 1

9

3

 − 

− +

 

 − + − 

 

x x

x

x x :

3

1

3

 −  −

   +   

x x a/ Rút gọn P

b/ Tìm giá trị x để P =

5

Bài

Một xe tải xe khởi hành từ tỉnh A đến tỉnh B Xe với vận tốc 30km/h, xe với vận tốc 45km/h Sau ¾ quãng đường AB, xe tăng vận tốc thêm 5km/h quãng đường cịn lại Tính qng đường AB, biết xe đến tỉnh B sớm xe tải 20 phút

Bài 3:

Cho đường tròn (O), dây AB điểm C trịn nằm tia AB Từ điểm cung lớn AB kẻ đường kính PQ đường trịn , cắt dây AB D.Tia CP cắt đường tròn điểm thứ hai I.Các dây AB QI cắt K

a/ Cm tứ giác PDKI nội tiếp b/ Cm CI.CP = CK.CD

c/ Cm IC tia phân giác góc ngồi đỉnh I tam giác AIB

d/ Giả sử A,B,C cố định Cmr đường tròn (O)thay đổi qua B đường thẳng QI ln qua điểm cố định

Bài Tìm giá trị x để biểu thức

y = x - x−1991 đạt giá trị nhỏ tìm GTNN

Hết

(42)

Bài

Cho biểu thức

A = 1- 52

1 1

 − −   + − − 

 

x

x x x :

1

4

x x x

− + + a/ Rút gọn A nêu điều kiện phải có x b/ Tìm giá trị x để A =

2

−

Bài

Một ô tô dự định từ tỉnh A đến tỉnh B với vận tốc 50km/h Sau 2/3 quãng đường với vận tốc đó, đường khó nên người lái xe phải giảm vận tốc 10km quãng đường cịn lại Do tơ đến tỉnh B chậm 30 phút so với dự định Tính quãng đường AB

Bài

Cho hình vng ABCD điểm E cạnh BC Tia Ax vng góc với AE cắt cạnh CD kéo dài F Kẻ trung tuyến AI tam giác AEF kéo dài cắt cạnh CD K.Đường thẳng qua E song song với AB cắt AI G

a/ Chứng minh AE = AF

b/Chứng minh tứ giác EGFK hình thoi

c/ Chứng minh tam giác AKF CAF đồng dạng AF2 = KF.CF

d/Giả sử E chuyển động cạnh BC, chứng minh FK = BE + DK chu vi tam giác ECK không đổi

Bài

Tìm giá trị x để biểu thức y = x2 2x2 1989 x − +

(Đk x ≠ 0) đạt giá trị nhỏ tìm GTNN

Hết

(43)

Bài

Cho A= 2 42 : 32

2

x x x x

x x x x x

 + −  − − −

 − + −  −

 

a/ Rút gọn A

b/ Tính giá trị A |x | =

Bài

Một xe tải từ tỉnh A đến B với vận tốc 40km/h Sau 1giờ 30 phút, xe khởi hành từ tỉnh A để đến tỉnh B với vận tốc 60km/h Hai xe gặp chúng nửa quãng đường AB

Tính quãng đường AB

Bài

Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn P trung điểm cung AB không chứa C D Hai dây PC PD cắt AB E F Các dây AD PC kéo dài cắt I: dây BC PD kéo dài cắt K Chứng minh rằng:

a/ Góc CID góc CKD b/ Tứ giác CDFE nội tiếp c/ IK // AB

d/ Đường tròn ngoại tiếp tam giác AFD tiếp xúc với PA A

Bài 4:

Tìm giá trị x để biểu thức : M = ( 2x - 1)2 – |2x-1| +

Đạt giá trị nhỏ tìm GTNN Hết

(44)

Thay vào A ta có : ( ) ( ) ( )

4 4 1

1

25 25 16

+ + + = = = = − − x A x

2) Rút gọn biểu thức B

Với x≥0, x≠25, ta có 15 :

25 5

 −  + = +  − + −   x x B

x x x

( 15)( ) :

5 5  −  +   = +  + − +  −   x x B x x

x x

( )

( )( )

15 1

: 5 − + − + = − + −

x x x

B

x

x x

( )( )

15 10

: 5 − + − + = − + −

x x x

B

x

x x

( 5)( 5) 51

+ − = ⋅ + + − x x B x

x x

1 = + B x

3) Tìm tất giá trị nguyên x để biểu thức P= A B đạt giá giá trị nguyên lớn

Ta có 4( 1)

25 25

+

= = ⋅ =

− + −

x P A B

x x x

Để P nhận giá trị nguyên x∈ 25( −x) hay 25− ∈x U( )4 = − − −{ 4; 2; 1; 1; 2; 4}

Khi đó, ta có bảng giá trị sau:

25−x −4 −2 −1

x 29 27 26 24 23 21

=

P A B −1 −2 −4

Đánh giá Thỏa mãn Thỏa mãn Thỏa mãn Thỏa mãn Thỏa mãn Thỏa mãn Do P đạt giá trị nguyên lớn nên ta có P=4 Khi giá trị cần tìm x

24

=

x

Bài II. (2,5 điểm)

1) Giải tốn cách lập phương trình hệphương trình :

(45)

- Vì hai đội làm 15 ngày hồn thành xong cơng việc Như ngày hai đội làm

15 (cơng việc) Suy ra, ta có phương trình :

1 1 15

x+ =y (1) - Ba ngày đội đội thứ làm

x (công việc) - Năm ngày đội thứ hai làm

y (công việc)

- Vì đội thứ làm ngày dừng lại đội thứ hai làm tiếp ngày hai đội hồn thành xong

25

%= (cơng việc) Suy ra, ta có phương trình :

4

x+ =y (2) - Từ (1) (2) ta có hệ phương trình :

1 1 1

24 15 24

1

3 40

40

x

x y x

. y y

x y

 + =  =

   =

 ⇔ ⇔

   =

  + =  =

 



(TMĐK)

- Vậy thời gian để đội thứ làm riêng hồn thành xong cơng việc 24 (ngày) thời gian để đội thứ hai làm riêng hồn thành xong cơng việc

40 (ngày)

2) Số mét khối nước đựng bồn thể tích bồn chứa Như số mét khối đựng bồn : ( )3

0 32 75 56 V = , , = , m

Bài III. (2,0 điểm)

1) Giải phương trình: ( )

7 18

x − x − =

 Cách :

Đặt 2( )( )

0 *

t=x t≥

*Phương trình ( )1 trở thành : t2− −7t 18=0 2( )

Ta có : ( )2 ( ) 2

7 4.1 18 121 11 11

∆ = − − − = = ⇒ ∆ =

Suy :Phương trình ( )2 có hai nghiệm phân biệt là:

( )

1

7 11 /

t = + = t m 2 11 2( )

t = − = − ktm Thay t=9 vào ( )* ta có :x2 = ⇔ = ±9 x

Vậy nghiệm phương trình : x= ±3

(46)

( )

2

2 ô

9  + = ⇔  − =  ⇔ = ⇔ = ±

x v li x

x x

Vậy nghiệm phương trình : x= ±3

2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng

( ) :d y=2mx m− +1 parabol

2

( ) :P y=x

a) Xét phương trình hồnh độ giao điểm 2 ( )

2 1

− + − x mx m

Để ( )d ln cắt ( )P hai điểm phân biệt phương trình ( )1 có hai nghiệm phân

biệt với ∀m Ta có :

( )2 ' ' 0 = ≠  

∆ = − > ∀



a

b ac m Xét ' ( ) 2

1 1 0,

∆ =m − m − =m −m + = > ∀m

Vậy ( )d cắt ( )P hai điểm phân biệt

b) Tìm tất giá trị m để ( )d cắt ( )P hai điểm phân biệt có hồnh độ x x1,

thỏa mãn ( )

1 2

1

−

+ = +

x x x x

Ta có

1 ≠ ⇒0 − ≠ ⇒ ≠ ±1

x x m m

Hai nghiệm phương trình : x1= −m 1;x2 = +m

Biến đổi biểu thức ( )2 ta có : 2

1 2 2 2

1 2

1

− + − +

+ = + ⇒ x x = x x ⇒ +x x = − +x x

x x x x x x x x

Thay x1= −m 1;x2 = +m vào biểu thức x1+x2 = − +2 x x1 ta có :

( )( )

-1+ + = +1 -2 -1 + ⇒1 -1- 2=2

m m m m m m

( )( )

2

2 3

⇔m − m− = ⇔ m− m+ =

( ) 3 1 =  − =  ⇔ ⇔  = − + =   m m m L m

Kết Luận : Với m=3 thỏa mãn yêu cầu toán

Bài IV. (3,0 điểm)

(47)

1) Chứng minh bốn điểmB, C, E, F thuộc đường trịn Xét tứ giác BCEF ta có :

= °90

BEC (BE đường cao) = °90

BFC (CF đường cao)

⇒BCEF tứ giác nội tiếp (đỉnh E, F nhìn cạnh BC góc vng) 2) Chứng minh đường thẳng OA vng góc với đường thẳng EF

Vẽ tiếp tuyến Ax hình vẽ ⇒BAF =ACB(tính chất đường tiếp tuyến dây cung)

Do tứ giác BCEF nội tiếp ⇒ AFE= ACB

Ta suy BAF = AFE⇒EF Ax// (do hai góc so le trong)

Lại có Ax⊥OA⇒OA⊥EF (đpcm) 3) Chứng minh ∆APE∽∆ABI

Ta có :  AEB=ABI ( Vì    AEB+EFC= ABI+EFC =180°)

Mặt khác  APE+PAI = °90 (vì AI ⊥PE)

x M

D

S I

P

K H

E

F

O

B C

(48)

Ta có BE/ /CS vng góc AC

/ /

BS CF vng góc AB BHCS

⇒ hình bình hành nên H K S, , thẳng hàng

Ta có AE AC =AH AD AE AC = AM AS

⇒ AH AD AM AS AH AM AHM ASD  AHM ASD AS AD

= ⇒ = ⇒ ∆ ∆ ⇒ = ∆ HMSD

⇒ Nội tiếp đường tròn

Kết hợp PMID nội tiếp đường tròn ⇒PIM  =PDM =HSM ⇒HS PI//

Bài V. ( 0,5 điểm)

Ta có 2 2

3

a + +b ab= ⇔a +b = −ab thay vào P ta

( )2

4 2 2

2

P=a +b −ab= a +b − a b −ab = −(3 ab)2−2a b2 2−ab= −9 6ab a b+ 2−2a b2 2−ab 2

9 7ab a b

= − − ( )2 49 49

2

2 4

ab ab   = − + + + +   85 ab   = − +  +   Vì 2

3

a +b = −ab, mà ( )2 2

0 3

a b+ ≥ ⇔a +b ≥ − ab⇒ −ab≥ − ab⇔ab≥ − ( )1

Và ( )2 2 2

0

a b− ≥ ⇔a +b ≥ ab⇒ −ab≥ ab⇔ab≤ ( )2

Từ ( )1 ( )2 suy 3 7 1

2 2 2

ab ab ab

− ≤ ≤ ⇔ − + ≤ + ≤ + ⇔ ≤ + ≤

1 81

4 ab

 

⇔ ≤ +  ≤

 

2

81

4 ab

 

⇔ − ≤ − +  ≤ −

 

2

81 85 85 85

4 ab 4

  ⇔ − + ≤ − +  + ≤ − +   85 21 ab   ⇔ ≤ − +  + ≤  

Vậy MaxP=21 Dấu = xảy 2 23 ab a b = −   + =  3 3 a b v b a  =  =   ⇔   = − = −    

(49)

9

A  



Vậy x 9

2

A

b)

  

3

2 3 3

x x

B

x x x x x x

 

   

     

     

3 2

1

1 3

x x x

x

x x x x

   

  



   

Với x 0;x 3

Suy điều phải chứng minh

c) :

1

A x x

B x x



  

  (x 0;x 1;x 3)

5

4 4

A x x x

x x

B          

 2

4

x x x

      

Mà  x 22 0 với x thỏa mãn điều kiện xác định

 2

2 2

x x x x

         

So với điều kiện, thỏa mãn Vậy x 4

4

A x

B  

Bài Nửa chu vi là: 28 : 214 (m)

Gọi chiều dài mảnh đất x (mét) Điều kiện: 0 x 14 Chiều rộng mảnh đất 14x (mét)

Ta có chiều dài lớn chiều rộng nên x 14  x x

Vì độ dài đường chéo 10 mét nên ta có phương trình: x2 14x2 102

(50)

Bài

a) Hệ phương trình tương đương với: 2

2

x y x y          

9

2 2

x x

x y y

                         1

2 1

1

2 1

2

x x

y y

x

y x x

y y                                                  

Vậy hệ phương trình có nghiệm (x y; )=(1; 1 ),(1; 3)

b)

i) Xét phương trình hồnh độ giao điểm ( )P ( )d : x2 m2x 3

 

2 2 3 0

x m x

     (*)

Vì ac  3 nên phương trình ln có nghiệm phân biệt trái dấu, suy ( )d cắt

( )P điểm phân biệt (đpcm)

ii) Áp dụng hệ thức Vi-et cho phương trình (*) 2

2

x x m

x x

    

  



Vì x x1; 2 nguyên, nên x x1; 2 U( 3) , ta có bảng sau:

1

x 1 3 1 3

2

x 3 1 3 1

1

x x 2 2 2 2

m 4 4 0

Vậy m 0 m  4

Bài 4.

a)

(51)

Ta có OH HS (tính chất trung điểm dây cung)

H nằm đường tròn đường kính SO

Ta có C D, tiếp điểm nên OC SC OD; SD

C D, nằm đường trịn đường kính SO

b) Ta có OD R SO; 2R

Do đó, SD  SO2 OD2  4R2R2 R 3

Và ta có OSD 300 (Cạnh đối diện nửa cạnh huyền)

Tương tự, ta có SC SD R 3;OSC 300

Do đó, tam giác SCD cân có CSD 600, suy tam giác SCD c)

Ta có AK SC// nên   1s 

AKD SCD  đSD  1s 

2

SHD  đSD (đường tròn đường kính

SO)

AKD AHD

  , nên tứ giác ADHK nội tiếp

Gọi I giao điểm tia AK đoạn thẳng BC P, giao điểm tia BK SC

H

C

B A S

I K P

E

H

C D

O

B A S

(52)

Gọi M trung điểm OH R, trung điểm OA, dễ chứng minh M cố định, MR

đường trung bình OAH, từ suy MR HA// , mà HA vng góc OH MR vng

góc OH OMR vng

Có  1  

2

MOR AOB ADBEDF

DFE OMR

  ∽ (g – g)  DF  DE  DB

OM OR OA

DFB OMA

    (c – g – c) DFB OMA (góc tương ứng)

 Mà DFB kề bù AFB; OMA kề bù AMH

   1

2

AFB AMH AFB AMB

   

Xét đường trịn ( ;M MA) có: AMB góc tâm chắn cung AB Mà AFB  12AMB (cmt)



AFB

 góc nội tiếp chắn cung AB đường tròn ( ;M MA)

Mà M A, cố định

F thuộc đường tròn ( ;M MA) cố định S di chuyển tia đối tia AB Bài Điều kiện: 0 x

Dùng: a  b  a b a b, , 0

R M

P K

F E

H

C O

B A S

(53)

Bài 1:

1) Khi x = thì:

9

A

3

9

+ +

= = = −

− −

2) Ta có:

( )

( )( )

( )( ) ( )( )

3 x 20 x

3 20 x

B

x 25

x x x

3 x 15 20 x x

x

x x x x

− + −

−

= + =

−

+ + −

− + − +

= = =

−

+ − + −

Vậy B

x

=

− với x≥0, x≠25

3) Với x≥0, x≠25, ta có:

( )( )

( )

A B x

x

x x

x x x

1 x x

x

= −

+

⇔ = ⋅ −

− −

⇔ + = −

⇔ + = + −

⇔ = − + >

 − =

⇔ 

− = − 

x

= 

⇔  =

 (thỏa mãn điều kiện)

Vậy x∈{ }9;1 giá trị cần tìm

Bài 2:

Đổi 36 phút =

Gọi vận tốc xe máy x (km/h) (x > 0)

⇒ Vận tốc ô tô x + 10 (km/h)

(54)

Giải phương trình được: x1 = 40 (thỏa mãn điều kiện)

x2 = – 50 (không thỏa mãn điều kiện)

Vậy vận tốc xe máy 40 km/h,

vận tốc ô tô 40 + 10 = 50 (km/h)

Bài 3:

1) ĐK: x≥0, y≥1

x y x y x

x y

4 x y x y

 + − =  + − =  =

 ⇔ ⇔

  

+ − =

− − = − − = 

  

 

x

x x

y

1 y

 =  =  =

 

⇔ ⇔ ⇔  =

− =

+ − =  

 

 (thỏa mãn điều kiện)

Vậy nghiệm hệ phương trình (1; 5)

2.a) Thay x = 0, y = vào phương trình y = mx + 5, ta được: 5=m.0 5+ ⇔ =5 5 (đúng với m)

Vậy đường thẳng (d) qua điểm A(0; 5)

2.b) Xét phương trình hồnh độ giao điểm (P) (d):

2

x =mx+ ⇔5 x −mx 5− =0 (*)

Vì ac = – < nên phương trình (*) ln có hai nghiệm trái dấu

⇒ (d) ln cắt (P) hai điểm phân biệt có hồnh độ x1, x2, với

1 2

x < <0 x (do x <x ) Mà x1 > x2 nên:

x1+x2 < ⇔0 m<0 (theo hệ thức Vi-ét)

Vậy m < giá trị cần tìm

Bài 4:

(55)

1) Ta có  N , C1 góc nội tiếp chắn cung nhỏ MA, MB

Mà MA =MB (GT)

1 1

N C

⇒ =

⇒ Bốn điểm C, N, K, I thuộc đường trịn (theo tốn cung chứa góc) 2) Ta có B , M 1 góc nội tiếp chắn cung nhỏ NC, NB

Mà NC =NB (GT)

1 1

B M

⇒ =

∆NBK ∆NMB có: BNM chung, B 1=M1

⇒ ∆NBK ∆NMB (g.g)

2

NB NK

NB NK.NM

NM NB

⇒ = ⇒ =

3) Xét đường tròn qua bốn điểm CNKI có: N2 =K1 (hai góc nội tiếp chắn cung CI)

Mà N2 =ABC (hai góc nội tiếp chắn cung AC (O))

1 

K ABC

⇒ =

Do hai góc vị trí đồng vị nên KI // BH Chứng minh tương tự ta HI // BK

Tứ giác BHIK có cạnh đối song song nên hình bình hành Cách 1:

Vì MA =MB nên C2 =C1, hay CM tia phân giác góc ACB

Tương tự, AN tia phân giác góc BAC

∆ABC có hai đường phân giác AN CM cắt I

⇒ BI đường phân giác thứ ba ∆ABC

Hình bình hành BHIK có BI đường phân giác góc B nên hình thoi Cách 2:

Vì H , K 1 góc có đỉnh bên đường trịn nên:

2 1

N

C K

B

1

1 1

2

(56)

Nhận xét: Phần có nhiều cách chứng minh

4) (P) có góc M1 góc nội tiếp, góc P1 góc tâm chắn cung BK

1 11

M P

2

⇒ =

Mà ∆PBK cân P (vì PB = PK)

 1 0  0 

1

180 P

PBK 90 P 90 M

2

−

⇒ = = − = − (1)

(O) có đường kính DN qua N điểm cung BC

DN BC

⇒ ⊥ DN qua trung điểm BC

⇒ ∆DBC cân D

 1800 BDC 1

DBC 90 BDC

2

−

⇒ = = −

Trong (O), dễ thấy 1 

1

M BDC

2

=

 

1

DBC 90 M

⇒ = − (2)

Từ (1) (2) ⇒PBK =DBC

⇒ ba điểm D, P, B thẳng hàng

Lại có P1 =BDC ( 2M ) = 1 hai góc vị trí đồng vị

⇒ PK // DC

Chứng minh tương tự ba điểm D, Q, C thẳng hàng QK // DB Do đó, PK // DQ QK // DP

⇒ Tứ giác DPKQ hình bình hành

⇒ E trung điểm đường chéo PQ E trung điểm đường chéo DK

1

P

Q

B K

O

C

N M

1

3 1

E D

(57)

Từ DN⊥BC⇒DBK +BDN=90

   

1

DBK M 90 (do BDN M )

⇒ + = =

 

PBK DBK

⇒ = ⇒ ba điểm D, P, B thẳng hàng Cách 3:

(P) có góc M1 góc nội tiếp nên 1 

1

M BK

2sđ

=

Mà 1 1 1 

1

M B nên B BK

2sđ

= =

Suy BN tiếp tuyến B (P)

BN PB

⇒ ⊥

Lại có 

DBN=90 (góc nội tiếp chắn nửa (O))

BN DB

⇒ ⊥

Do ba điểm D, P, B thẳng hàng

Câu 5:

Ta có: 2

(a−b) ≥ ⇔0 a +b ≥2ab

Tương tự: 2 2

b +c ≥2bc ; c +a ≥2ca

Suy ra: 2

2(a +b +c )≥2(ab+bc+ca)⇔ ≥P

Dấu “=” xảy ⇔ = = ⇔a b c ab=bc=ca = ⇔ = = =3 a b c

Vậy P= ⇔ = = =9 a b c

Dựa theo lời giải thầy Bùi Văn Tuân (Hà Nội) Vì a≥1, b 1≥ nên:

(a 1)(b 1)− − ≥ ⇔0 ab a− − + ≥ ⇔ + ≤b 0 a b ab 1+

Tương tự: b c+ ≤bc ; c a+ + ≤ca 1+

Do đó:

2

2 2

2(a b c) ab bc ca

2(a b c) 12

a b c

(a b c) 36 (do a b c 0)

a b c 2(ab bc ca) 36

P 2.9 36

P 18

+ + ≤ + + +

⇔ + + ≤

⇔ + + ≤ + + >

⇔ + + + + + ≤

⇔ + ≤

⇔ ≤

Dấu “=” xảy ⇔ ba số a, b, c có hai số Nhưng ba số a, b, c đồng thời ab+bc+ca=9

(58)

Bài I (2,0 điểm)

1) x = 25 nên ta có: Khi ta có:

2) Ta có:

3) P = A.B nên ta có:

+) Ta có x ≥ nên P > +) x ≥ =>

Nên :

Để P∈ Z => P∈{1;2}

+) P = <=> x = 16 (thỏa mãn điều kiện) +) P = <=>x = (thỏa mãn điều kiện) Vậy x∈{ ;16}

Bài II (2 điểm).

Giải toán bằng cách lập phương trình, hệphương trình Gọi chiều rộng mảnh vườn hình chữ nhật x (x > 0; đơn vị: m)

Vì diện tích của mảnh vườn hình chữ nhật 720 m2 nên chiều dài là: (m)

Sau thay đổi kích thước:

Chiều rộng của mảnh vườn hình chữ nhật là: x – (m) Chiều dài của mảnh vườn hình chữ nhật là: +10 (m)

5

x =

7

5 13

A= = +

2 24 ( 3) 24

9

3 ( 3)( 3) ( 3)( 3)

3 24 24

( 3)( 3) ( 3)( 3)

( 3) 8( 3) ( 8)( 3)

( 3)( 3) ( 3)( 3)

x x x x x

B

x

x x x x x

x x x x x x

x x x x

x x x x x x

x x x x x

− + − = + = + − − − + − + + + − − + − = = − + − + − + − + − + = = = − + − + +

7

8 3

x P

x x x

+ = = + + + 7 3 3 x x + ≥ <=> ≤

+ P < ≤ 4 720 x 720 x

(59)

Phương trình có hai nghiệm phân biệt: x = 24 (thỏa mãn điều kiện); x = -18 (loại)

Vậy chiều rộng mảnh đất hình chữ nhật 24 m; chiều dài mảnh đất hình chữ nhật là: 720:24 = 30 (m)

Bài III ( điểm)

Điều kiện: x ≠ 1; y ≠ -2

Đặt (b ≠ 0) Khi hệ phương trình trở thành:

Khi ta có:

Vậy hệ phương trình có nghiệm (2;-1)

2) Trong mặt phẳng tọa độOxy cho đường thẳng (d): y = 3x + m2 – 1 parabol (P): y= x2

a) Chứng minh (d) cắt (P) hai điểm phân biệt với m

Xét phương trình hồnh độ giao điểm (d) (P): x2 = 3x + m2 -

<=> x2 - 3x - m2 + = (*)

<=>Phương trình (*) ln có hai nghiệm phân biệt với m <=>(d) cắt (P) hai điểm phân biệt với m

b) Gọi x1; x2là hoành độcác giao điểm (d) (P) Tìm m để (x1+1)(x2+1)=1 Ta có: (x1+1 x)( 2+ = ⇔1) x x1 2+(x1+x2)=0

Áp dụng hệ thức Vi-et cho (*):

3 2 x x y x x y  − =  − +    + =  − +  1 x a x b y  =  −    = + 

3 4 14

2 10

a b a b a a

a b a b a b b

− = − = = =

   

<=> <=> <=>  + =  + =  + =  =     2 ( ) 1 x x x TM y y  =  −  =  <=>   = −   = + 

2 2

( 3) 4.1.( m 1) 4m m ∆ = − − − + = + > ∀

1 2 x x

x x m

+ =

 

= − +



(60)

1) Vì AB tiếp tuyến (O) nên AB ⊥ BO ⇒ góc ABO = 90o

Vì H trung điểm dây DE (O) nên OH ⊥ DE ⇒ góc AHO = 90o

Suy góc ABO + góc AHO = 180O⇒ AHOB tứ giác nội tiếp

Suy bốn điểm A, H, O, B nằm đường tròn

2) Có góc ABD = góc AEB (góc tạo tia tiếp tuyến dây cung góc nội tiếp

chắn cung BD)

Xét ∆ ABD ∆ AEB có chung góc BAE, góc ABD = góc AEB nên Tam giác ABD đồng dạng với tam giác AEB(g-g)=>

3) Vì ABOH tứ giác nội tiếp nên góc OAH = góc OBH

Vì EK // AO nên góc OAH = góc HEK

Suy góc OBH = góc HEK ⇒ BHKE tứ giác nội tiếp ⇒ góc KHE = góc KBE Vì BDCE tứ giác nội tiếp nên góc KBE = góc CDE

Suy góc KHE = góc CDE ⇒ KH // CD

4) Gọi F’ giao điểm BP đường tròn (O)

Gọi AQ tiếp tuyến thứ (O)

Vì BDQC tứ giác nội tiếp nên góc QDC = góc QBC(1)

Vì ABOQ tứ giác nội tiếp đường trịn đường kính AO nên góc QBC = góc QAO (2) Từ (1), (2) ⇒ góc QDC = góc OAQ ⇒ APDQ tứ giác nội tiếp

⇒ góc PDA = góc PQA (3)

Có góc PDA = góc EDC = góc EBC (4)

Ta có ∆ ABP = ∆ AQP (c.g.c) ⇒ góc PQA = góc PBA (5) Từ (3), (4), (5) ⇒ góc PBA = góc EBC

Suy góc PBE = góc ABC = 90o⇒ góc F’BE = 90o ⇒ F’E đường kính (O)

c1

K O

E A

C I D

F

H P

Q

AB BD AE = EB

(61)

(*) Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số khơng âm, ta có

Khi x = y = x + y =

Ta có nên từ (*) suy

Khi x = 10, y = –6 x = –6, y = 10 x + y =

Vậy GTLN P x = y = GTNN P x = 10, y = –6 x = –6, y = 10

ĐỀ SỐ

Bài I (2,0 điểm)

1) Với x = ta có 12

P= + = −

2) Với

4 x x Q x x − − = + − +

( 1)( 2)

4

x x x

x

− − + − =

−

3 2 ( 2)

4 ( 2)( 2)

x x x x x x x x

x x x x x

− + + − + +

= = = =

− − + − −

3

3)P x x

Q x x

+

= = + ≥ (Do bất đẳng thức Cosi) Dấu xảy x x

x

= <=> = Vậy giá trị nhỏ P

Q

Bài II (2,0 điểm)

Gọi t1 thời gian tàu tuần tra chạy ngược dòng nước

Gọi t2 thời gian tàu tuần tra chạy xi dịng nước

2

6 ( ) 12 ( 6)( 6)

x+ =y x+ + y+ <=> x+y = + +x y + x+ y+

2

2 ( 6)( 6) ( 6) ( 6) 12

( ) 12 ( 6)( 6) 2( ) 24

( ) 2( ) 24

4

x y x y x y

x y x y x y x y

x y x y

x y

+ + ≤ + + + = + +

=> + = + + + + + ≤ + +

<=> + − + − ≤

<=> − ≤ + ≤

2 (x+6)(y+6) ≥

( ) 12

( 4)( 3)

4( 0)

x y x y x y x y x y Do x y + ≥ + +

<=> + − + + ≥ <=> + ≥ + + >

(62)

1

1 2

2 2 2 2 1(2)

60 48 60 48

4

(1); (2)

1

60 48

4 16 48

1

6 ( )

2 ( ) V 22 (km/ h)

− =

 − = −  − = −

 

<=> <=>  − =  = +

 

<=> − = − <=> + − = +

= − 

<=>  = => = 

t t

t t t t

t L

t TM

Bài III (2,0 điểm)

1) Với điều kiện x ≥−1, ta có hệ cho tương đương:

7( )

6( ) 12

( )

1

3

x y x y x

x y x x y x

x y x y x

x y

x

 + + + =  + =  <=>

  + − + = −  + − + = −    + =   + =  = 

<=> <=> <=> + = = − + =

  

 2)

a) 2

( 5) 4(3 6) ( 1)

∆ = m+ − m+ =m − m+ = m− ≥ ∀m Do đó, phương trình ln có nghiệm với m b) Ta có

1

5

3

x x m x x m

+ = +



 = +



Để x1 > 0;x2 > điều kiện m >-5 m > -2 <=> m > -2 (Điều kiện để S > 0;P > 0)

Yêu cầu toán tương đương :

2 2

1 2

25 ( ) 25

5

( 5) 2(3 6) 25

3

4 12 0,

2 hay m = -6, m > -2 <=> m =

+ = <=> + − =

+ = +



<=> + − + = 

= +

 <=> + − = > −

<=> =

x x x x x x

x x m

m m Do

x x m

m m m

m

Bài IV (3,5 điểm)

(63)

1) Tứ giác ACMD nội tiếp

C/m: góc ACD = góc AMD = 900

2) CA.CB = CH.CD

C/m: tứ giác ANHC nội tiếp suy góc DAC = góc CHB(cùng bù góc NHC) suy tam giác CAD đồng dạng với tam giác CHB

3) Ba điểm A, N, D thẳng hàng tiếp tuyến N qua trung điểm DH

* tứ giác ACMD nội tiếp suy góc ADC = góc AMC, tứ giác CHMB nội tiếp suy góc AMC = góc HBC = góc NMA suy góc ADC = góc NMA nên tứ giác DNHM nội tiếp góc DNH = 900 góc ANB = 900 suy điều phải chứng minh

* Vì NJ tiếp tuyến (O) suy góc JND = góc ONB = góc OBN = góc NDH suy tam giác NJD cân J suy JN = JD mà tam giác NDH vng N suy góc JNH + góc JND = góc JDN + góc JHN = 900 góc JNH = góc JHN suy tam giác INH cân J suy JN

= JH JH = JD nên J trung điểm DH

4) MN qua điểm cố định M di chuyển cung KB

Gọi Q giao điểm MN AB; OJ cắt MN L

Ta chứng minh MJ tiếp tuyến (O) suy MN vng góc OJ tam giác OLQ đồng dạng với tam giác OCJ (g – g) suy OL OQ

OC = OJ suy OL.OJ = OQ.OC Theo

hệ thức lượng tam giác vng OMJ ta có OL.OJ = OM2 = R2 (R bán kính (O)) suy

OQ.OC = R2 suy

2

R OQ

OC

= O, C cố định R không đổi suy OQ không đổi suy Q cố định MN qua Q

Bài (0,5 điểm)

L

Q

N H

B O

A

C

(64)

Vậy 2( ) 2.4 2

2

a b

M ≤ + − = − = −

Khi a = b = M = 2-1 Vậy giá trị lớn M 2-1

Cách khác:

Với hai số thực dương không âm a, b thỏa 2

4

a +b = ta có:

( )2 2 ( 2)

2

a b+ =a + ab b+ = a +b + ab= + ab Suy ( )2

4

a b+ = + ab (do 2+ ab>0; ,a b>0)

Hay a b+ = 2+ ab ⇔ + =a b 2+ ab Khi đó, biểu thức M viết lại thành:

2 2

ab ab

M

a b ab

= =

+ + + + (1)

Mặc khác: 2+ ab> ⇔4 2+ ab > 4=2

( )( )

2ab 2ab 2ab

⇒ = + + + − (2)

Từ (1) (2) ta có: 2

2

4 2

ab ab

M

ab ab

+ −

= =

+ −

Áp dụng BĐT Cô-si cho số không âm a, b ta được: 2

4

2

a b

ab≤ + = =

4 2ab 2.2 2 2

⇒ + − ≤ + − = −

2 2

2

M −

⇒ ≤ = −

Dấu “=” xảy khi: 2

0

2

a b

a b a b

= ≥ 

⇔ = =  + =



Vậy GTLN biểu thức M 1− a= =b

ĐỀ SỐ

(65)

2 x

2P x x

x

+

= + ⇔ = +

2 x 2x x

⇔ + = + x >

2x x

⇔ + − = x >0 ( x 2)( x 1)

⇔ + − = x >0

1

x x

2

⇔ = ⇔ =

Bài II:

Gọi x sản phẩm xưởng sản xuất ngày theo kế hoạch (x > 0)

⇒ Số ngày theo kế hoạch : 1100

x

Số ngày thực tế 1100

x+5 Theo giả thiết tốn ta có : 1100

x - 1100

x+5 =

2

1100(x 5) 1100x 2x(x 5)

2x 10x 5500

⇔ + − = +

⇔ + − =

x 50 hay x 55

⇔ = = − (loại)

Vậy theo kế hoạch ngày phân xưởng phải sản xuất 50 sản phẩm

Bài III:

1) Hệ phương trình tương đương với: Đặt u

x y

=

+

1 v

y

=

− Hệ phương trình thành :  + =  + =  =  =

⇔ ⇔ ⇔

   

− = − − = − = + =

   

4u v 8u 2v 10 9u u

u 2v u 2v 2v u v

Do đó, hệ cho tương đương : 

=

 +  + =  = −

 ⇔ ⇔

  

− = =    =

 − 

1 1

x y x

x y

1 1 y 1 y

y 2)

a) Phương trình hồnh độ giao điểm (P) (d)

2

6

= − +

x x ⇔ x2+ − =x 0⇔ =x hay x= −3

Ta có y (2)= 4; y(-3) = Vậy tọa độ giao điểm (d) (P) B(2;4) A(-3;9) b) Gọi A’, B’ hình chiếu A B xuống trục hồnh

Ta có S∆OAB =SAA 'B'B−S∆OAA '−S∆OBB'

(66)

2  

Bài IV:

1) Tứ giác AMBN có góc vng, góc nội tiếp chắn nửa đường trịn

2) Ta có ANM =ABM (cùng chắn cung AM)

và ABM =AQB (góc có cạnh thẳng góc)

vậy ANM =AQB nên MNPQ nối tiếp

3) OE đường trung bình tam giác ABQ

OF // AP nên OF đường trung bình tam giác ABP Suy F trung điểm BP

Mà AP vng góc với AQ nên OE vng góc OF

Xét tam giác vng NPB có F trung điểm cạnh huyền BP Xét tam giác NOF = OFB (c-c-c) nên 

ONF=90

Tương tự ta có 

OME=90 nên ME // NF vng góc với MN

4)

MNPQ APQ AMN

2S =2S −2S =2R.PQ AM.AN− =2R.(PB BQ) AM.AN+ −

Tam giác ABP đồng dạng tam giác QBA suy AB BP

QB=BA ⇒

2

AB =BP.QB

Nên áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có

PB BQ+ ≥2 PB.BQ =2 (2R) =4R

Ta có AM.AN AM2 AN2 MN2

2

+

≤ = = 2R2

A B

P

Q O

F

E N

M

(67)

2

= + + + = + + ≤ (Áp dụng bất đẳng thức với số dương

u=a+b v=a+c)

Vậy ta có 2a+bc (a b) (a c)

+ + +

≤ (1)

Tương tự ta có :

2b ca+ (a b) (b c)

+ + +

≤ (2)

2c ab+ (a c) (b c)

+ + +

≤ (3)

Cộng (1) (2) (3) vế theo vế ⇒ ≤Q 2(a+ + =b c)

Khi a = b = c =

3thì Q = giá trị lớn Q

ĐỀ SỐ

Bài I: (2,0 điểm)

1) Với x = 64 ta có 64

8

64

A= + = + = 2) Ta có :

( 1).( ) (2 1) 2

1

.( ) 1

x x x x x x x x x

B

x x x x x x x x

− + + + + +

= = = + =

+ + + +

3) Với x > ta có :

3 2 3

:

2 2

2 4.( 0)

A x x x

B x x x

x x x x Do x

+ + +

> ⇔ > ⇔ >

+

⇔ + > ⇔ < ⇔ < < >

Bài II: (2,0 điểm)

Gọi x (km/h) vận tốc từ A đến B, vận tốc từ B đến A x+9 (km/h) Theo đề ta có:

90 90

5

9

x + x+ = −

10 10

9

x x

⇔ + =

+ ⇔ x x( +9)=20(2x+9)

2

31 180

x x

⇔ − − = ⇔ =x 36 (vì x > 0)

Bài III: (2,0 điểm)

1) Hpt cho tương đương với hpt:

 + + + =  + =  + =  =  =

⇔ ⇔ ⇔ ⇔

    

+ − − = − = − = − = = −

    

3x 2x 4y 5x 4y 5x 4y 11x 11 x 4x x 2y 3x 2y 6x 4y 10 6x 4y 10 y

(68)

2

1

2x =mx−2m + +m

2

2 2

x mx m m

⇔ − + − − = (*)

Để (d) cắt (P) điểm phân biệt x1, x2 phương trình (*) phải có nghiệm phân biệt

Khi 2

' m m 2m m

∆ = − + + > ⇔ > − Khi: m > -1, từ (*) ta có: x1+x2 =2m;x1.x2 =m2−2m−2 (định lý Vi-et)

Nên: x1−x2 =2

2

1 2

x x x x

⇔ + − =

1 2

(x x ) 4x x

⇔ + − =

2

4m 4(m 2m 2)

⇔ − − − =

2

m m

⇔ = − ⇔ = −

Cách khác: Khi m > -1 ta có:

1 2

x −x = ' ' '

' '

b b

a a

− + ∆ − − ∆

⇔ − = ∆ =2 2m+2

Do đó, u cầu tốn ⇔2 2m+ =2 ⇔2 m+ =2 2 1

m m

⇔ + = ⇔ = −

Bài IV (3,5 điểm)

1/ Xét tứ giác AMON có hai góc đối 

ANO=90



AMO=90 nên tứ giác nội tiếp

2/ Hai tam giác ABM AMC đồng dạng nên ta có AB AC = AM2 = AN2 = 62 = 36

2

6

AC (cm)

AB

⇒ = = =

BC AC AB (cm)

⇒ = − = − =

3/ MTN 1MON AON

= = (cùng chắn cung MN đường tròn (O)), AIN =AON

(do điểm N, I, M nằm đường trịn đường kính AO chắn cung 900)

Vậy:   AIN =MTI =TIC nên MT // AC có hai góc so le

4/ Xét ∆AKOcó AI vng góc với KO Hạ OQ vng góc với AK Gọi H giao điểm OQ AI H trực tâm ∆AKO, nên KMH vng góc với AO Vì MHN vng góc với AO nên đường thẳng KMHN vng góc với AO, nên KM vng góc với AO Vậy K nằm đường thẳng cố định MN BC di chuyển

Bài IV: (0,5 điểm)

Cách 1: Từ giả thiết cho, ta có 1 1 1

ab+bc +ca+ + + =a b c Theo bất đẳng thức Cơ-si ta có: A O B C N M I T K Q P H

(69)

2 2 2

2a +b +c + ≥ ⇔2 2a +b +c ≥ − =2

2 2

1 1

3 a b c

 

⇔ + + ≥

  (đpcm)

Cách 2: a + b + c + ab + bc + ca = 6abc 1 1 1

a b c ab bc ac

⇔ + + + + + =

Dễ chứng minh:

2 2

1 1 1 (1)

ab bc ac a b c

1 1 3 1 (2)

a b c a b c

+ + ≤ + +

 

+ + ≤  + + 

 

Từ (1) (2) Suy ra: 12 12 12 12 12 12

a b c a b c

 

≤ + + +  + + 

 

Đặt: t 12 12 12 t 3t t t ĐPCM

a b c

= + + ⇒ ≤ + ⇔ ≥ ⇒ ≥ ⇒

Cách 3:

Từ: a b c ab bc ca 6abc 1 1 1

bc ac ba c a b + + + + + = ⇔ + + + + + = Ta lại có 2. 12 + 12 + 12≥2. + + 

a b c  bc ac ba(*)

Ta có

2

1 1 1

1 2

a a a a a

 −  ≥ ⇔ − + ≥ ⇔ ≥ −

 

 

Tương tự 12 2.1

b ≥ b− ;

1

2

c ≥ c− nên 12 12 12 1

a b c a b c

 

+ + ≥  + + −

  (**)

Từ (*) (**) ta có 3. 12 + 12 + 12≥2. + + + + +1 1−3

a b c  bc ac ba a b c

3. 12 + 12 + 12≥2.6 3− =9

a b c  hay 2

1 1

3

 + + ≥

 

a b c 

Cách 4:

Áp dụng BĐT Cơ si ta có 12 12 a +b ≥ab

Tương tự cuối ta 22 22 22 2 a +b +c ≥ ab+bc+ac (1)

(70)

Lấy (1) + (2) 2 2 2 2

3 12

1 1

3

a b c abc

a b c

⇔ + + + ≥ =

⇔ + + ≥

(ĐPCM)

ĐỀ SỐ

Bài I: (2,5 điểm)

1) Với x = 36, ta có : A = 36 10 36

+ = = +

2) Với x ≥, x ≠ 16 ta có :

B = x( x 4) 4( x 4) x x 16 x 16 x 16  − +  +

+

 

 − −  +

  =

(x 16)( x 2) x (x 16)(x 16) x 16

+ + = + − + − 3) Biểu thức B (A – 1) = x x x

x 16 x

  + + − −     −  + =

x 16− số nguyên

⇔ x – 16 = ±1 hay x – 16 = ±2 ⇔ x = 15 hay x = 17 hay x = 14 hay x = 18

Đặt x số người thứ hồn thành cơng việc ⇒ x + số người thứ hai hoàn thành cơng việc Vậy ta có phương trình :

1

x x 12+ + = ⇔ x =

Vậy người thứ làm xong công việc người thứ hai làm xong công việc

1)

2 x y x y  + =    − =  ⇔

2 x y

5 5 [pt(2) 3pt(1)] y  + =   − = − −  ⇔ y x =    =  ⇔ x y =   =  2) ∆ = (4m – 1)2 – 12m2 + 8m = 4m2 + > 0, ∀m

Vậy phương trình có nghiệm phân biệt ∀m Ta có : x1 + x2 = b

a

− = 4m – x1.x2 = c

a = 3m2 – 2m Do đó, ycbt ⇔ (x1 + x2)2 – 2x1x2 =

⇔ (4m – 1)2 – 2(3m2 – 2m) = ⇔ 10m2 – 4m – = ⇔ m = hay m =

5 −

Bài IV: (3,5 điểm)

(71)

1) Tứ giác CBKH có hai góc đối  

90

HCB=HKB= nên tứ giác CBKH nội tiếp vịng trịn đường kính HB

2) Góc  ACM = ABM chắn cung AM   ACK =HCK =HBK chắn cung HK Vậy  ACM =ACK

3) Xét tam giác MAC EBC có hai cặp cạnh EB = MA, AC = CB góc MAC = MBC chắn cung MC nên tam giác

Vậy ta có CM = CE 

45

CMB= chắn cung CB =900

Vậy tam giác MCE vuông cân C 4) Xét tam giác PAM OBM

Theo giả thuyết ta có AP MB R AP OB

MA = ⇔MA=MB Mặt khác ta có

 

PAM =ABM chắn cung AM tam giác đồng dạng

Vì tam giác OBM cân O nên tam giác PAM cân P Vậy PA = PM

Kéo dài BM cắt d Q Xét tam giác vng AMQ có PA = PM nên PA = PQ P trung điểm AQ nên BP qua trung điểm HK, định lí Thales (vì HK//AQ)

Bài V: (0,5 điểm)

M = x2 y2 xy

+ với x, y số dương x ≥ 2y Ta có x(2y)2 2

M 2(x= +y ) ≤

2 2 2 2 2

x 4y x y 3y

4(x y ) 4(x y ) + = + +

+ + (Bất đẳng thức Cauchy) = 3y2 2 3y2 2

4 4(x+ +y ) 4(4y≤ + +y ) 20 5= + = (Thay mẫu số số nhỏ hơn) Suy Max

M 5= x = 2y, giá trị nhỏ M =

2 đạt x = 2y

A K B

O E

(72)

( )( ) ( )( ) ( ( )( ) )

5

5 10 25 10 25

5 5 5

5

x

x x x x x x

x A x − + − − + − + = = = − + − + − + − = +

2/ Với x = ta có x =3 Vậy

4 5

3 = − =−

+ − =

A 3/ Ta có:

( )

1 15

0

3 3

2 20 ( 0)

2 20 10 100

x x x

A

x x

x Vì x

x x x

− − − − < ⇔ − < ⇔ <

+ +

⇔ − < + > ⇔ < ⇔ < ⇔ <

Vậy với ≤ x < 100 x ≠ 25 A < 1/3

Bài

Gọi x khối lượng hàng chở theo định mức ngày đội ( x > 0, tấn) Số ngày quy định

x

140 ngày

Do chở vượt mức nên số ngày đội chở 140−1 x khối lượng hàng đội chở

( ) ( )( )

2

140

1 140 10 140 150

140 700 150 15 700

x x x x

x

x x x x x x

 −  + = + ⇔ − + =

 

 

⇔ + − − = ⇔ + − =

Giải x = 20 x = - 35 ( loại) Vậy số ngày đội phải chở theo kế hoạch 140:20=7 ( ngày)

Bài 3:

1/ Với m = ta có (d): y = 2x +

Phương trình hồnh độ điểm chung (P) va (d) x2 = 2x + <=> x2 – 2x – =

Giải x = => y = 16

(73)

hai nghiệm trái dấu

 ac < => m2 – <

 (m – 3)(m + 3) <

Giải có – < m <

Bài

1/ Xét tứ giác AIEM có góc MAI = góc MEI = 90o

=> góc MAI + góc MEI = 180o.=> tứ giác AIEM nội tiếp

2/ Xét tứ giác BIEN có góc IEN = góc IBN = 90o

 góc IEN + góc IBN = 180o

 tứ giác IBNE nội tiếp

 góc ENI = góc EBI = ½ sđ AE (*)  Do tứ giác AMEI nội tiếp

=> góc EMI = góc EAI = ½ sđ EB (**) Từ (*) (**) suy

góc EMI + góc ENI = ½ sđ AB = 90o

3/ Xét tam giác vuông AMI tam giác vng BIN có góc AIM = góc BNI ( cộng với góc NIB = 90o)

 ∆AMI ~ ∆ BNI ( g-g)



BN AI BI AM =

 AM.BN = AI.BI

4/ Khi I, E, F thẳng hàng ta có hình vẽ Do tứ giác AMEI nội tiếp

nên góc AMI = góc AEF = 45o

Nên tam giác AMI vng cân A

Chứng minh tương tự ta có tam giác BNI vuông cân B

(74)

CÁCH 1:

2

1

4 2011 4 2010

4

1

(2 1) ( ) 2010

4

M x x x x x

x x

x

= − + + = − + + + +

= − + + +

Vì

(2x−1) ≥0 x > 4x

⇒ > , Áp dụng bdt Cosi cho số dương ta có: x + 4x

1

2

4

x x

≥ = =

 M =

(2 1) ( ) 2010

4

x x

x

− + + + ≥ + + 2010 = 2011

 M ≥ 2011 ; Dấu “=” xảy 

1

2 2

1 1

4

0 x x x

x x x

x x x x x  =   =   − =       = ⇔ = ⇔ =       > >     = −     > 

⇔ x = Vậy Mmin = 2011 đạt x =

2

CÁCH 2: M = 2x² + 2x² + 1/4x - 3x + 2011

Do x > nên áp dụng Cosi cho số dương 2x², 2x² 1/4x ta có 2x² + 2x² + 1/4x ≥ 33 x = 3x

 M = (2x² + 2x² + 1/4x) - 3x + 2011 ≥ 3x -3x + 2011 = 2011

 M ≥ 2011 Dấu "=" 2x² = 1/4x <=> x³ =1/8 <=> x = 1/2Vậy Mmin = 2011 đạt

x =

(75)

Áp dụng cô si cho ba số x x x , ,

2 ta có

4 8

2 + + ≥ =

x x x x x

x Dấu ‘=’ xẩy 1

8

x

x x

= = ⇔ x³ =1/8 ⇔ x =

mà

2

1 ≥

    

 −x Dấu ‘=’ xẩy x = 1/2=> 2010 2011

1

0+ + + =

≥

M Vậy Mmin = 2011

đạt x =

ĐỀ SỐ 10

Bài I: (2,5 điểm) Với x ≥ x ≠ ta có :

1) A =

9

3

x x x

x x x + + − − + − =

( 3) ( 3)

9 9

x x x x x

x x x

− + + − +

− − −

3

9

x x x x x

x − + + − − = − 9 x x − = − 3( 3) x x − = − 3 x = + 2) A =

3

x =

+ ⇔ x+ =3 ⇔ x =6 ⇔ x = 36 3) A

3

x =

+ lớn ⇔ x+3 nhỏ ⇔ x =0 ⇔ x =

Gọi x (m) chiều rộng hình chữ nhật (x > 0) ⇒ chiều dài hình chữ nhật x + (m)

Vì đường chéo 13 (m) nên ta có : 2

13 =x + +(x 7) ⇔ 2x2+14x+49 169− =0

⇔ x2 + 7x – 60 = (1), (1) có ∆ = 49 + 240 = 289 = 172

Do (1) ⇔ 17

2

x= − − (loại) hay 17

x=− + =

Vậy hình chữ nhật có chiều rộng m chiều dài (x + 7) m = 12 m

1) Phương trình hồnh độ giao điểm (P) (d) là:

-x2 = mx – ⇔ x2 + mx – = (2), phương trình (2) có a.c = -1 < với m

⇒ (2) có nghiệm phân biệt trái dấu với m ⇒ (d) cắt (P) điểm phân biệt

2) x1, x2 nghiệm (2) nên ta có :

x1 + x2 = -m x1x2 = -1

(76)

hai góc CAD =CBE chắn cung CE, nên ta

có tỉ số : DC DE DC.DB DA.DE

DA =DB⇒ =

3) Gọi I tâm vòng tròn ngoại tiếp với tứ giác FCDE, ta có CFD =CEA (cùng chắn cung CD)

Mặt khác CEA =CBA (cùng chắn cung AC)

tam OCB cân O, nên CFD =OCB

Ta có : ICD  =IDC=HDB

OCD =OBD HDB OBD + =900

⇒  

OCD DCI+ =90 nên IC tiếp tuyến với đường tròn tâm O

Tương tự IE tiếp tuyến với đường tròn tâm O

4) Ta có tam giác vng đồng dạng ICO FEA có góc nhọn

 1 

CAE COE COI

2

= = (do tính chất góc nội tiếp) Mà tgCIO CO R

R IC

2

= = = ⇒ tgAFB =tgCIO=2

Bài V: (0,5 điểm)

Giải phương trình : 2

4 ( 4)

x + x+ = x+ x + Đặt t =

7

x + , phương trình cho thành : t2+4x=(x+4)t ⇔

( 4)

t − +x t+ x= ⇔ (t−x t)( − =4) ⇔ t = x hay t = 4,

Do phương trình cho ⇔ 2

7

x + = hay x + =x ⇔ x2 + = 16 hay

2

7

x x

x  + = 

 ≥

 ⇔ x

2 = ⇔ x = ±3

Cách khác :

2

4 ( 4)

x + x+ = x+ x + ⇔ x2+ +7 4(x+ − − +4) 16 (x 4) x2+ =7

⇔ 2

(x+4)(4− x +7 ) (+ x + −7 4)( x + +7 4)=0

⇔ 2

7 ( 4)

x + − = hay − + +x x + + = ⇔ 2

7

x + = hay x + =x ⇔ x2 = ⇔ x = ±3

ĐỀ SỐ 11

Bài I: 1) Ta có:

A O B

D

(77)

( ) ( )( )

x x 2 x

A

x 2

x 2 x 2

+

= =

−

− +

2) Tính giá trị A x = 25 Với x = 25 ta có A 25 5

3 25 2

= = −

3) Tìm x để A 1 3 = −

Khi

( )

1 x 1

A 3 x x 2

3 x 2 3

1 1

4 x 2 x x tmdk

2 4

= − ⇔ = − ⇔ = − + −

⇔ = ⇔ = ⇔ =

Bài II:

Giải cách lập phương trình:

Gọi số áo tổ may ngày x ( *

x∈N ; áo/ngày)

Số áo tổ may ngày x + 10 (áo) ngày tổ thứ may 3(x +10) (áo)

5 ngày tổ thứ may 5x (áo)

Tổ may ngày tổ may ngày 1310 áo nên ta có pt:

( )

3(x+10) + 5x = 1310 3x+30+5x=1310 8 x 1310 30 8 x 1280

x 160 tmdk

⇔

⇔ = − ⇔ =

⇔ =

Vậy ngày tổ may 160 + 10 = 170 áo Mỗi ngày tổ may 160 áo

Cách 2:Học sinh làm theo nhiều cách khác nhau: chẳng hạn giải cách lập hệ pt: Gọi số áo tổ may ngày x ( *

x∈N ; áo/ngày)

Số áo tổ may ngày y ( *

y∈N ; áo/ngày) ngày tổ thứ may 3x (áo)

5 ngày tổ thứ may 5y (áo)

Vì tổ thứ may ngày, tổ thứ hai may ngày hai tổ may 1310 áo nên ta có pt: 3x + 5y = 1310

Mỗi ngày tổ may nhiều tổ 10 áo nên ta có pt:

(78)

Cho phương trình (ẩn x): x2 – 2(m+1)x + m2 + =

1)Giải phương trình cho m = Khi m =

Phương trình 2

x −4 x+ =3 0

Vì + (-4) + = 0, theo hệ thức Vi-ét pt có hai nghiệm phân biệt:

;

1 2

x =1 x =3

2)Tìm giá trị m để phương trình cho có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn: x12 +x22 =10

x2 – 2(m+1)x + m2 + = (1)

*) Pt có hai nghiệm ⇔ Δ 0'≥

( )2 ( 2 ) 2 2

m 1 m 2 0 m 2m 1 m 2 0 1

2m 0 m 2

⇔ + − + ≥ ⇔ + + − − ≥ ⇔ − ≥ ⇔ ≥

*) Áp dụng hệ thức Vi-ét cho pt (1) ta có:

( )

.

1 2 2 1 2

x x 2 m 1 x x m 2

+ = + 



= + 

Ta có

( )

.

( ) ( )

( )

( ông tmđk)

2 2 2

1 2 1 2 1 2

2 2

2

x x 10 x x 2x x 10

2 m 1 2 m 2 10

4 m 2m 1 2m 4 10 0

4m 8m 4 2m 14 0

2m 8m 10 0

m 1 tmdk

m 5 kh

+ = ⇔ + − =

⇔ + − + =

⇔ + + − − − =

⇔ + + − − =

⇔ + − =

=  ⇔  = −

Vậy với m = thoả mãn yêu cầu đề

Bài IV

(79)

1) Chứng minh ABOC tứ giác nội tiếp Xét (O):

AB⊥OB (AB tiếp tuyến (O)) ⇒ góc OBA = 90o

Chứng minh tương tự: góc OCA = 90o

⇒ góc OBA +góc OCA = 180o

Xét tứ giác ABOC:

góc OBA +góc OCA = 180o (cmt)

Mà B C hai đỉnh đối

⇒tứ giác ABOC tứ giác nội tiếp (dhnb tgnt)

2) Gọi E giao điểm BC OA Chứng minh BE vng góc với OA OE.OA = R2

Ta có AB, AC hai tiếp tuyến (O)

⇒ AB = AC AO phân giác góc BAC (t/c hai tiếp tuyến cắt nhau) ⇒∆ABC tam giác cân A (dhnb tam giác cân)

Mà AO phân giác góc BAC (cmt) ⇒ AO⊥BC (t/c tam giác cân)

⇔AO⊥BE

Xét tam giác OBA vuông B: AO⊥BE (cmt)

⇒OE.OA=OB2 (hệ thức lượng tam giác vuông)

⇔OE.OA=R2

3) Trên cung nhỏ BC (O;R) lấy điểm K (K khác B C) Tiếp tuyến K (O;R) cắt AB, AC theo thứ tự P Q Chứng minh tam giác APQ có chu vi không đổi K chuyển động cung nhỏ BC

Xét (O):

PB, PK hai tiếp tuyến (O) (gt) ⇒PK = PB (t/c hai tiếp tuyến cắt nhau) Chứng minh tương tự QK = QC

Ta có chu vi tam giác APQ = AP + AQ + PQ = AP + AQ + PK + KQ Mà PK = PB; KQ = QC (cmt)

⇒Chu vi tam giác APQ = AP + AQ + PB + QC = AP + PB + AQ + QC

1

N

Q E

C

(80)

góc M = góc N (tc tam giác cân) ⇒ góc A + góc M1 = 180o (*)

Ta có góc A + góc BOC = 180o (tứ giác OBAC tgnt)

Chứng minh góc BOC = góc POQ ⇒ góc A + 2góc POQ = 180 o (**)

Từ (*) (**) ta có góc M1 = góc POQ

Ta có góc PON góc ngồi ∆MOP ⇒ góc PON = góc P1 + góc M1

⇔góc POQ + góc O1 = góc P1 + góc M1

Mà góc M1 = góc POQ (cmt)

⇒góc O1 = góc P1

Xét ∆ONQ ∆PMO: gócM1 = gócN1 (cmt)

gócO1 = gócP1 (cmt)

⇒∆ONQ đồng dạng với ∆PMO ⇒ NQ ON

MO = PM (đn tam giác đồng dạng) ⇒PM.NQ = OM.ON = OM2

Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số PM>0 PN >0 ta có:

.

2

PM PN 2 PM PN

PM PN 2 OM PM PN 2OM PM PN MN

+ ≥

⇔ + ≥ ⇔ + ≥ ⇔ + ≥

Câu V Giải phương trình

( )

( ) ( )

( )( )

2 2 3 2

2

2 2

2

1 1 1

x x x 2x x 2x 1

4 4 2

1 1 1

x x x 2x 1 2x 1

4 2 2

1 1 1

x x 2x 1 x 1

4 2 2

1 1 1 1

x x x x x 1

2 2 2 2

− + + + = + + +

   

⇔ − +  +  =  + + +   

 

⇔ − + + =  + + 

    

⇔  −  + + + = +  +

    

Điều kiện: 1 ( 2 ) 1

x x 1 0 x

2 2

 +  + ≥ ⇔ ≥ −

 

 

Phương trình tương đương:

(81)

( 2 ) 2 2

1 1

x x 1 1 0 x x 0

2 2

1 1

x 0 x

2 2

x 0

   

⇔ +  + − = ⇔ +  =

   

 + =  = −

 

⇔ ⇔

= =

 



(

;

®k)

tm

1

S 0

2  

 

⇒ = − 

 

ĐỀ SỐ 12

Câu I

1 Rút gọn P Điều kiện: x≥0

( ) ( ) ( )

 + +  +   + +   + 

     

=  ⇔ =

 +    +   

     

⇔ = + +

x x 1

x 1 x x x x x 1

P P

x x

x x 1 x x 1

1

P x 1

x

2 Với x= ⇒ = + + =4 P 2 1 1 7

2 2

3 Tìm x để:

=13 ⇔ + + 1 =13 ⇔ + + = ⇔ − + =

P x 1 3x 3 x 3 13 x 3x 10 x 3 0

3 x 3

Đặt t = x >0

− + =

2

3t 10t 3 0

Ta có:

'= − = ⇒ 2 − + = ⇔ = , =

1 2

1

Δ 25 16 3t 10t 0 t t 3

3

Với 1 = ⇒ =

1 1

t x

3 9

Với t3 = ⇒ =3 x 9

(82)

(Điều kiện: 0< x < 900)

Tháng thứ hai tổ I vượt mức 15% nên tổ I sản xuất số chi tiết máy là: x + x.15%= x.115% (chi tiết máy) (1)

Tháng thứ hai tổ II vượt mức 10% nên tổ II sản xuất số chi tiết máy là: (900 - x) + (900 – x).10% = (900 – x) 110% ( chi tiết máy) (2)

Trong tháng hai hai tổ sản xuất 1010 chi tiết máy, nên từ (1) (2) ta có phương trình:

( − )

+ =

⇔ + =

⇔ =

110 900 x

115x

1010

100 100

5x 99000 101000

5x 2000

x 400

Vậy tháng thứ tổ I sản xuất 400 (chi tiết máy)

Vậy tháng thứ tổ II sản xuất được: 900 – 400 = 500 (chi tiết máy)

Câu III

1 Phương trình hồnh độ giao điểm (P) (d) nghiệm phương trình: (1) 1 2 = + ⇔ 2 − − = ( )

x mx 1 x 4mx 4 0 1

4

(1) có hai nghiệm phân biệt với m a.c = - < (2) Vậy (d) cắt (P) hai điểm phân biệt

2.Phương trình (1) có: Δ 4m 0'= 2 + >

Phương trình (1) có nghiệm:

, x

= − 2 + = + 2 +

1 2

x 2m 2 m 1 2m 2 m 1

Ta chọn: = − 2 +

A

x 2m 2 m 1

= + 2 +

B

x 2m 2 m 1

Thay vào (d): y = mx + ta được: yA = mxA + yB = mxB +

Gọi A’ B’ hình chiếu A B lên trục Ox

Gọi S1 diện tích hình thang ABB’A’ ta có:

(83)

( ) ( )

( )( )

'

= = − <

= = + −

2 AOA A A A

2 AOA A A

1

S S y x do x 0

2 1

S S mx 1 x

2

Gọi S3 diện tích tam giác BOB’: ( )

( )( )

'

= =

= = +

3 BOB B B

1

S S y x

2 1

S S mx 1 x

2

Vậy 2 + 3 = ( A + )(− A)+ ( B + )( ) (B A < )

1 1

S S mx 1 x mx 1 x do x 0

2 2

( ) ( )

+ = 2 − 2 + −

2 3 B A B A

1 1

S S m x x x x

2 2

Diện tích:

( ) ( ) ( ) ( )

( )

.

= − −

= − + − − − − − = −

= + = +

ABO 1 2 3

2 2 2 2 2 2

ABO B A B A B A B A

ABO B A

2 2

ABO

S S S S

1 1 1

S m x x x x m x x x x

2 2 2

1

S x x

2 1

S 4 m 1 2 m 1 dvdt 2

Câu IV.

(84)

2 Do EK đường phân giác góc AEB

nên K điểm cung AB suy

OK⊥AB

Mà OK = OE nên cân O   ( )

OKE=OEK

Mặt khác: I giao điểm đường trung trực EF OE nên IF = IE ∆IEFcân I

  ( )

IFE IEF

⇒ =

Từ (3) (4) suy raIFE =OKE

Vậy IF // OK ⇒IF⊥AB OK( ⊥AB)

Vậy đường tròn ( I; IE ) tiếp xúc với AB

+) Ta có: E, I, O thẳng hàng OI = OE – IE = R – IE nên đường tròn ( I; IE ) tiếp xúc với (O; R)

3 AE cắt (I) M, BE cắt (I) N

Mà  o

MEN=90 suy MN đường kính đường tròn ( I ) nên MN qua I

Hơn EF phân giác góc MEN

Theo chứng minh tương tự câu a ta suy raIF⊥MN Vậy MN // AB

4 Theo đề ta có NF cắt AK P, MF cắt BK Q

Suy   o

PFQ=MFN=90 ( hai góc đối đỉnh)

Mà góc o

PKQ=90 ( góc nội tiếp chắn nửa đường trịn ( O ) )

Vậy tứ giác PKQF tứ giác nội tiếp đường tròn Suy KPQ =KFQ ( chắn cung KQ )

Mà MFE =KFQ( đối đỉnh)

Mặt khácMFE  =MNE=ABE ( chắn cung ME MN // AB )

Hơn nữaPKF =ABE ( chắn cung AE )

Suy PKF =KPQvàFKQ =QPF (chắn cung FQ)

Vậy  o

FPK=PKQ=90 suy PKQF hình chữ nhật

Mặt khác:   1 o

PAF KEB AEB 45 APF

2

= = = ⇒ ∆ vuông cân P

Suy AP = PF = KQ Suy ra: PK + KQ = AK

Mà∆AKB vuông cân K ⇒AK=2R

Vậy chu vi tam giác KPQ là:

(85)

Đặt x – = t, đó:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

* ⇔ = + + − + + −

⇔ = + + + + + − + − + + −

⇔ = + + + − + = + ≥ ≥

4 4 2 2

2

4 3 2 4 3 2 2

4 2 4 2 4 4

A t 1 t 1 6 t 1 t 1

A t 4t 6t 4t 1 t 4t 6t 4t 1 t 1

A 2t 12t 2 6t 12t 6 8t 8 8 do t 0

Vậy Amin = = tức x – = hay x =

_Hết