Đại số 8 - tập 2

PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN SỐ ... Giải một số phương trình cơ bản đã biết ... Xét sự tương đương của hai phương trình ... PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN ... Giải phương trình ... Tìm điề[r]

(1)

 Sưu tầm

CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG ĐẠI SỐ

BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN TẬP

(2)

ĐẠI SỐ - TẬP

CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN SỐ

CHỦ ĐỀ 1: MỞ ĐẦU VỀ PHƯƠNG TRÌNH

Dạng 1: Xét xem số cho trước có nghiệm phương trình hay khơng?

Dạng Giải số phương trình biết

Dạng Xét tương đương hai phương trình

CHỦ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN

Dạng 1: Nhận dạng phương trình bậc ẩn

Dạng Giải phương trình 10

CHỦ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯA ĐƯỢC VỀ DẠNG ax b 0+ = 15

Dạng 1: Sử dụng phép biến đổi thường gặp để giải số phương trình đơn giản 15

Dạng Tìm điều kiện để biểu thức chứa ẩn mẫu xác định 15

Dạng Giải phương trình đặc biệt 16

Dạng Giải phương trình cách đặt ẩn phụ 16

CHỦ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH 20

Dạng Giải phương trình dạng tích 20

Dạng Đưa phương trình tích dạng đơn giản 20

Dạng Đưa dạng phương trình tích cách sử dụng đẳng thức 21

Dạng Đặt ẩn phụ kết hợp sử dụng đẳng thức dạng đơn giản 21

CHỦ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU 25

Dạng Tìm điều kiện xác định biểu thức 25

Dạng Giải phương trình chứa ẩn mẫu 25

CHỦ ĐỀ GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH 28

Dạng Bài toán liên quan đến chuyển động 28

Dạng Bài tốn liên quan đến hình học 28

Dạng Bài toán liên quan đến suất 29

Dạng Bài toán liên quan đến công việc làm chung, làm riêng 29

Dạng Bài tốn liên quan đến tính tuổi 29

Dạng Bài toán liên quan đến tỉ số phần trăm 29

ÔN TẬP CHỦ ĐỀ 33

Dạng Phương trình quy phương trình bậc 33

Dạng Phương trình chứa ẩn mẫu 33

Dạng Phương trình có cách giải đặc biệt 34

Dạng Giải tốn cách lập phương trình 34

ĐỀ KIỂM TRA CHỦ ĐỀ 38

ĐỀ SỐ 38

ĐỀ SỐ 40

CHUYÊN ĐỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH 42

CHỦ ĐỀ LIÊN HỆ GIỮA THỨ TỰ VÀ PHÉP CỘNG 42

Dạng Sắp xếp thứ tự số trục số Biểu diễn mối quan hệ tập số 42

Dạng Xét tính sai So sánh 43

CHỦ ĐỀ LIÊN HỆ GIỮA THỨ TỰ VÀ PHÉP NHÂN 46

Dạng Xét tính sai khẳng định cho trước 46

Dạng Dùng tính chất để so sánh chứng minh 46

CHỦ ĐỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN 49

Dạng Xét xem số có nghiệm bất phương trình hay khơng? 49

Dạng Viết kí hiệu tập hợp biểu diễn tập nghiệm bất phương trình trục số 49

Dạng Xét tương đương hai bất phương trình 50

CHỦ ĐỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN 53

(3)

Dạng Giải bất phương trình dạng 54

Dạng Các toán số 54

Dạng Bất phương trình dạng đặc biệt 54

CHỦ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 59

Dạng Rút gọn biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối 59

Dạng Giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối 60

Dạng 3* Giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối nâng cao 60

ÔN TẬP CHỦ ĐỀ 65

ĐỀ KIỂM TRA CHUYÊN ĐỀ 68

ĐỀ SỐ 68

(4)

CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN SỐ

CHỦ ĐỀ 1: MỞ ĐẦU VỀ PHƯƠNG TRÌNH

I TĨM TẮT LÝ THUYẾT

1 Khái niệm phương trình ẩn

- Phương trình ẩn x phương trình có dạng:

A(x) = B(x)

trong A(x) B(x) biểu thức biến x

- Ví dụ:

+ Phương trình 3x2 − =2 5x+1

x phương trình ẩn x + Phương trình t( )2 t t

t

− = − phương trình ẩn t

2 Các khái niệm khác liên quan

- Giá trị x0 gọi nghiệm phương trình A(x) = B(x) đẳng thức A x( )0 =B x( )0

- Giải phương trìnhlà tìm tất nghiệm phương trình

- Hai phương trình gọi tương đương chúng có tập nghiệm Chú ý: Hai phương trình vô nghiệm tương đương

II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN

Dạng 1: Xét xem số cho trước có nghiệm phương trình hay không?

Phương pháp giải: Để xem số thực x0 có nghiệm phương trình A(x) = B(x) hay khơng, ta thay x0 vào phương trình để kiểm tra:

- Nếu A x( )0 =B x( )0 đúng, ta nói x0 là nghiệm phương trình cho

- Nếu A x( )0 =B x( )0 khơng đúng, ta nói x0 khơng nghiệm phương trình cho

1A Hãy xét xem số −1 có nghiệm phương trình sau hay khơng? a) 2x2 3x 3x3

x

+ − = − + ; b) 5t2 + + =8t t( 3−3t)−6

1B Trong giá trị y = y = 1, đâu nghiệm phương trình

( )

2 y 3y 3y 2y

− + = − +

− ?

2A Cho phương trình x m

x

+ = − Tìm giá trị tham số m để phương trình có nghiệm x =

2B Tìm a để phương trình 3t2 a 2t2

2t

+ − = − +

− nhận t = nghiệm với a tham số

Dạng Giải số phương trình biết

Phương pháp giải: Ta thường sử dụng số biến đổi quen thuộc sau đây:

Loại 1: Phương trình dạng A =B Cách giải 1: Ta có A B B

A B ≥  = ⇔  = ±

(5)

Cách giải 2: Xét hai trường hợp:

Trường hợp 1: Với A 0≥ , ta có A B= Trường hợp 2: Với A 0< , ta có A= −B

Loại 2: Phương trình dạng A = B Cách giải: Ta có A B A B

A B =  = ⇔ 

= − 

Loại 3: Phương trình dạng AB 0= Cách giải: Ta có AB A B

=  = ⇔  =



3A Giải phương trình:

a) x 2− =3; b) x+ = −2; c) x− =2x 3− ; d) x x

2 − = +

3B Giải phương trình:

a) x 0+ − = ; b) − + + =x 0; c) 2x− =3x 1+ ; d) x x

2 + = −

4A Giải phương trình: a) x (x 2)

3

 +  − =  

  ; b) ( )

2

x +1 2x 5− =0; c) x 2x 32( − −) (9 2x 3− =) 0; d) 2x2 −3x 0+ =

4B Giải phương trình: a) 3x ( 4x)

4

− − − = ; b) (x2 −4 x 12 x 7) + − + =0; c) 4 x(− + )+x x( −16)=0; d) x2+6x 0− =

Dạng Xét tương đương hai phương trình

Phương pháp giải: Thơng thường ta thực theo bước sau đây: Bước 1: Tìm tập nghiệm S ,S1 2 hai phương trình cho

Bước 2: Nếu S1 =S2, ta kết luận hai phương trình tương đương; S1 ≠S2, ta kết luận hai phương trình khơng tương đương

5A Các cặp phương trình sau có tương đương khơng? Vì sao? a) x 3x 1− ( + =) 9x x 22( − ) (− x 2− )=0;

b) 3x2+ =2 2x 1− = −1

5B Các cặp phương trình sau có tương đương khơng? Vì sao? a) x2−6x 0+ = (x2 +1 2x 6)( − )=0

(6)

6A Cho hai phương trình: 2x2 −5x 0+ = (1) 2x x 2( ) 2x

3

 

− −  + =

  (2) a) Chứng minh x

2

= nghiệm chung (1) (2)

b) Chứng minh x= −5 nghiệm (2) không nghiệm (1) c) Hai phương trình cho có tương đương khơng? Vì sao?

6B Cho hai phương trình: −2x2 +3x 0+ = (1) 2x x 1( ) 2x

5

 −  − + =

 

  (2) a) Chứng minh x

2

= nghiệm chung (1) (2)

b) Chứng minh x= −1 nghiệm (2) không nghiệm (1) c) Hai phương trình cho có tương đương khơng? Vì sao?

7A Cho phương trình ẩn x, tham số m:

( )

2

mx − m x 0+ + = (x 2x 1− )( − =) Tìm m để hai phương trình tương đương

7B Tìm giá trị tham số m để hai phương trình x2 =16 2m x 32( − = −) m tương đương

III BÀI TẬP VỀ NHÀ

8 Trong số −1 1, số nghiệm, số khơng nghiệm phương trình

2

x x 5x

2 x 1?

6

+ − − = + + − +

9 Cho phương trình y2 3y m 2y2 y

3 −

− + − = − + Tìm giá trị tham số m để phương trình nhận y= −3 nghiệm

10 Giải phương trình sau:

a) x 1− = 3x 5− ; b) x 1 x 3( )

 

+ + + =

 

  ;

c) 3x2−4x 0− = ; d) x 2x 1( − ) + + 2x x+ ( − =1)

11 Các cặp phương trình sau có tương đương khơng? Vì sao? a) x 2− =(4 x x 2− )( − ) x2 −5x 0+ = ;

b) x 2 x x

+ = +

− − x – =

12 Cho hai phương trình: 5x2 +3x 0− = (1) − +x2 8x 0− = (2)

a) Chứng minh x 1= nghiệm chung hai phương trình (1) (2) b) Chứng minh x

5

= − nghiệm (1) không nghiệm (2) c) Hai phương trình cho có tương đương khơng? Vì sao?

(7)

(m x+ ) −2 2m x 0( + ) − =

(x 2x 1+ )( + =) Tìm giá trị tham số m để hai phương trình tương đương

14* Cho phương trình (m2 + −m x) =(m m 3− )( − ) m tham số

a) Chứng minh:

i) Khi m = phương trình có tập nghiệm ; ii) Khi m= −3 phương trình có tập nghiệm ∅ b) Giải phương trình cho m =

HƯỚNG DẪN

1A. a) Thay x = -1 vào VT VP PT ta VT = -2 VP = Vì VT ≠ VP nên x = -1 không nghiệm PT cho

b) Tương tự, VT = VP = -2 nên t = -1 nghiệm PT cho

1B.Tương tự 1A

y = không nghiệm y = nghiệm PT cho

2A.Thay x = vào phương trình ta có: 4 m

+ = −

Từ tìm 21 m= −

2B.Tương tự 2A.Tìm a = 14 3A.a) Ta có 3

2 x

x

− = 

− = ⇔  − = −

 Từ tìm x ∈{-1; 5}

b) Vì | + x| = -2 -2 < nên PT vô nghiệm c) Cách Điều kiện 2x - ≥ hay

2 x≥ Khi e− =x 2x− ⇔ − = ±3 x (2x−3) Giải ta

3

x= (TMĐK) x = -2 (không TMĐK) Cách Xét hai trường hợp:

Trường hợp 1. Nếu - x ≥0 hay x ≤ - x = 2x - Giải

3

x= thỏa mãn x ≤

Trường hợp 2. Nếu - x ≤ hay x ≥ d) Ta có 3

2 2

x− = + ⇔ − = +x x x

2 x− = − −x Giải tìm

2 x= −

3B.Tương tưj 3A

a) x∈ −{ 5;1} b) x∈∅ c) x=0 d) x=

4A. a) Ta có ( 2)

3

x x x

 +  − = ⇔ + =

 

  x - = Giải tìm 1;

3 x∈ − 

 

b) Ta có ( 2) 5

(8)

c) Ta có x2(2x− −3) (9 2x− = ⇔3) (x2−9 2)( x− =3) Giải tìm 3; ;33

2 x∈ − 

 

d) Biến đổi dạng (x - 1) (2x - 1) = Giải tìm 1;1

2 x∈  

 

a) 1; x∈ − 

  b) x∈ − −{ 7; 4; 4}

c) x∈ −{ 2; 4} d) x∈ −{ 7;1}

5A. PT x−2 3( x+ =1) có tập nghiệm 1 1; S = − 

 

( ) ( )

2

9 2

PT x x− − x− = có tập nghiệm 2 1; S = ± 

 

Vì S1 ≠S2 nên hai PT không tương đương

b) PT 3x2+ =2 PT 2x− = −1 có tập nghiệm S1= ∅ Suy hai PT tương đương với

5B.tương tự 5A

a) Tương đương b) Không tương đương

6A. a) Thay

x= vào (1) (2) thấy thỏa mãn nên

x= nghiệm chung hai PT cho b) Thay x = -5 vào (2) thấy thỏa mãn nên x = -5 nghiệm (2) Thay x = -5 vào (1) thấy không thỏa mãn nên x = -5 không nghiệm (1)

c) Cách Tìm tập nghiệm (1) (2) 1;

2 S =   

 

3 5;

2 S = − 

 

Vì S1 ≠S2 ⇒Hai phương trình khơng tương đương

Cách Theo ý b, x = -5 nghiệm (2) không nghiệm (1) nên hai PT khơng có tập nghiệm

a) b) HS tự làm

c) Hai phương trình cho khơng tương đương

7A. PT (x - 1) (2x - 1) = có tập nghiệm 1;1 S =  

 

* Điều kiện cần: Để hai PT tương đương x =

x= nghiệm

( 1) PT mx − m+ x+ = Từ tìm m =

* Điều kiện đủ: Thử lại thấy m = hai PT cho tương đương

7B.Tương tự 7A Tìm m∈∅

8 Tương tự 1A.x = ± không nghiệm phương trình

9.Tương tự 2A Tìm m = 25 10.Tương tự 3A Tìm

a) 3; 2 x∈  

  b) x= −3 c)

7 1;

3 x∈ − 

  d)

1 8; ;1

2 x∈ − − 

 

(9)

12.Tương tự 6A

Hai phương trình khơng tương đương

13.Tương tự 7A m∈∅

14. a) i) Khi m = 2, PT có dạng õ2 = Từ S = ii) Khi m = -3, PT có dạng có: 0x2 = 30 Từ S = ∅ b) Thay m = vào PT tìm 1;

2 S = − 

 

(10)

CHỦ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN

I TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Khái niệm

Phương trình bậc ẩn là phương trình có dạng: ax b 0+ =

trong a, b hai số cho a 0≠

2 Các quy tắc

a) Quy tắc chuyển vế:

Khi chuyển vế hạng tử từ vế phương trình sang vế cịn lại, ta phải đổi dấu hạng tử đó: A(x) B(x) C(x)+ = ⇔ A(x) C(x) B(x)= −

b) Quy tắc nhân (hoặc chia) với số khác 0:

Khi nhân (hoặc chia) hai vế phương trình với số khác ta phương trình tương đương với phương trình cho:

A(x) B(x) C(x)+ = ⇔mA(x) mB(x) mC(x)+ =

A(x) B(x) C(x) A(x) B(x) C(x)

m m m

+ = ⇔ + = (m 0≠ )

3 Cách giải phương trình bậc

Ta có:

ax b 0+ = ⇔ax= −b (sử dụng quy tắc chuyển vế) x b

a

⇔ = − (sử dụng quy tắc chia cho a 0≠ )

Dạng 1: Nhận dạng phương trình bậc ẩn

Phương pháp giải: Dựa vào định nghĩa phương trình bậc ẩn

1A Hãy xét xem phương trình sau có phương trình bậc ẩn hay khơng? Nếu có

chỉ hệ số a b

a) 3x 0− = b) 0x 0+ = c) 1x

2 = d)

2

x

7 − =

1B Trong phương trình sau đâu phương trình bậc ẩn? Vì sao?

a) x 0+ = b) 2x − =5 c)

5x+ = d)

2

3x

3 − + =

2A Tìm m để phương trình sau phương trình bậc ẩn x:

a) (m2 −4 x m 0) + − = b) (m x− ) −6x 0+ = c) x 2m m 3( − )− =m d) (m x 5)

m + +

=

−

2B.Tìm k để phương trình sau phương trình bậc ẩn x:

a) 2k x 0− − = b) (k2 +3 x 0) + = c) 5k 3x k

2

− + − =

d) 3kx

(11)

3A Chứng minh phương trình sau phương trình bậc ẩn với giá trị tham số m:

a) (m2 +1 x 0) − = ; b) (m2 +2m x m 0+ ) + − =

3B Chứng minh phương trình sau phương trình bậc ẩn với giá trị tham số m:

a)

2

m m

x

3

+ − =

b) (2m x m 0− + ) − − =

Dạng Giải phương trình

Phương pháp giải: Sử dụng quy tắc chuyển vế nhân (chia) với số khác để giải phương trình cho

4A Giải phương trình sau:

a) x− = −2x 3+ ; b) 3x 1( + = +) x 1; c) 2x

5 −10= ; d) ( )

1

x 8x 16

− + =

4B Giải phương trình sau:

a) x 5+ = − +x 3; b) 1(2x 3) 1x + +3 =12; c) 10x 11

2

+ − =

; d) 2x 1x 5

+  − =

 

 

a)

2

m

1 x

4

 

 + −  − =

 

 

m= 5;

b) (m2 +5m x− ) = −1 2m m= −2

a) 3m x m

 

− − =

 

 + 

 

1 m

2 = ; b) (m2 10m 25 x) m

5

+ + = − m= −3

6A Cho biểu thức A t m 52( ) (t m t) (t m)

  = + − +  + + −

  với m tham số a) Rút gọn A b) Khi m= −1, tìm t để A =

6B Cho biểu thức B my= 3−my y 42( + )+m 4y y m( + )( − ) với m tham số a) Rút gọn B b) Khi m 3= , tìm y để B =

7.Trong phương trình sau đâu phương trình bậc nhất? Chỉ rõ a b

a)

2

x 3x x

+ =

; b) (x x 5− )( + −) x2 =0;

c) 2x 0+ = ; d)

3 x

2 0

− +

(12)

8. Tìm giá trị tham số m để phương trình sau phương trình bậc nhất: a) (4m2+4m x 0+ ) + = ; b) m (x 7)

2

− − = ; c)

2

m m

x 2m 4 16

 

 − +  − + =

 

 

; d) mx

2m + = − +

a) x x 3( − +) (2 x 3− )=0; b) x 2x 1( − −) x x 22( + )+x3− + =x

10 Giải phương trình sau: a) 2x

5 + =4 5; b)

5x 3x 2x 4;

4

+ − +

− = +

c) 11x x 1;

+ = +

d) x x 3(x 1) x

3

+ − +

− − − = −

11 Cho biểu thức P 1y 6m 32( ) (1 2m y y) 1(y m)

3 2

 

= − − + −  + + −

  với m tham số a) Rút gọn P b) Tìm y để P = m

2 =

a) − +16 8m m x m− − +11 0= m = b) x m 2m2( − −1) m 2m x 1= ( + ) m =

13* Cho phương trình (m2 +1 x 2m 0) − = (m tham số)

a) Chứng minh phương trình bậc ẩn với giá trị m b) Tìm m để nghiệm phương trình:

i) Đạt giá trị lớn nhất; ii) Đạt giá trị nhỏ

14* Cho phương trình (m2+ +m x) (− m2 − + =m 1)

a) Chứng minh phương trình bậc ẩn với giá trị tham số m b) Tìm m để nghiệm phương trình:

i) Đạt giá trị lớn nhất; ii) Đạt giá trị nhỏ

HƯỚNG DẪN 1A. a), c) PT bậc ẩn

b), d) PT bậc ẩn

2A.a) ĐK m2− ≠4 Tìm m≠ ±2 b) ĐK m− =1 Tìm m=1

c) ĐK 2m m( − >3) Tìm m < m > d) Biến đổi

1

m x

m m

+ + =

− −

ĐK m m

+ ≠ 

 − ≠

 Tìm

3 m m

(13)

a) Tìm

k≠ b) Tìm ∀ ∈k  c) Tìm

5

k< b) Tìm k k

≠   ≠ −



3A. a) ta có a=m2+ ≠ ∀ ∈1 m  ⇒ĐPCM

b) Biến đổi a=(m+1)2+ ≠ ∀ ∈2 m  ⇒ĐPCM

a) Ta có

2

0 m

a= + ≠ ∀ ∈m  ⇒ĐPCM

b) Ta có a= 2m− + ≠ ∀ ∈1 m  ⇒ĐPCM

4A. a) Biến đổi x + = Tìm x = -4 b) Biến đổi 5x + = Tìm

5 x= − c) Biến đổi 21

5x−10= Tìm 21

4 x= d) Nhận xét 0

0 A A B

B

= 

= ⇔  =

 Tìm

1 2;

2 x∈ − 

 

a) Tìm x = -1 b) Tìm 17 16 x= − c) Tìm 21

10

x= d) Tìm 15; x∈− 

 

5A. a) Với m= 5, PT trở thành 7 x2 x

−

= ⇔ = −

b) Với m= −2, PT trở thành 12 5 12 x x −

− = ⇔ =

a) Tìm x= −1 b) Tìm 17 20 x=

6A a) Rút gọn ta ( )

B= − m +m y−m b) Với m=3 B= −33y−9 Tìm

11 y= −

7.Tương tự 1A

a), c) Không PT bậc ẩn b) Biến đổi 15 0x− =

là PT bậc ẩn vứi a=2 b= −15 d) Biến đổi

2 x

− + =

Là PT bậc ẩn với

2

a= − b=

8.Tương tự 2A

a) Tìm

(14)

c) Tìm

m≠ b) Tìm m m ≠   ≠ 

9. a) Biến đổi dạng (x - 3) (x + 2) = Tìm x ∈{-2; 3} b) Thu gọn dạng -2x + = Tìm

2 x=

a) Tìm

x= b) Tìm 197 19 x= c) Tìm

19

x= d) Tìm x= −43

a) Rút gọn ta ( 2) (1 ) P= − m+ y + −m y− m b) Khi

2

m= 1

P= y− Tìm y=

a) Tìm x = 12 b) Tìm x = -3

13* a) Ta có a=m2+ ≠ ∀ ∈1 m ⇒ĐPCM b) Ta có 22

1 m x

m

=

+ Xét

2 1 m x m m m = = + +

Mà m m m x

m m

+ ≥ = ∀ ⇒ ≤ Do đó:

i) xmin = − ⇔ = −1 m ii) xmax = − ⇔ =1 m

14* Tương tự 13

a) Ta có

2

1

2

a=m + + =m m+  + ≠ ∀ ∈m

  ⇒ĐPCM

b) Ta có

2 2 1 1 m m x m m m m − + = = − + + + +

Cách i) Ta có ( ) 2 m x m m m + − = − ≤ ∀ ∈ + + 

Từ tìm xmax = ⇔ = −3 m ii) Ta có ( )

( ) 2 1

3

m x m m m − − = ≥ ∀ + +

Từ tìm min 1

x = ⇔ =m

Cách

- Khi m > ta có m m

+ ≥ Tìm

1

x = ⇔ =m

- Khi m < ta có m m

+ ≤ − Tìm xmax = ⇔ = −3 m

(15)

(16)

CHỦ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯA ĐƯỢC VỀ DẠNG ax b 0+ =

• Sử dụng quy tắc học trước để đưa phương trình cho dạng ax b 0+ =

• Chú ý đến kiến thức liên quan, bao gồm: - Các đẳng thức đáng nhớ;

- Cách giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối bản; - Các quy tắc đổi dấu;

-

Dạng 1: Sử dụng phép biến đổi thường gặp để giải số phương trình đơn giản

Phương pháp giải: Thực quy tắc chuyển vế đổi dấu, quy tắc nhân, đẳng thức Quy đồng mẫu thức khử mẫu để biến đổi phương trình dạng ax b 0+ =

a) 7x 3x 12− = + ; b) 3x x x;− + = − c) 2x x

4

− + = −

d) 10x 6x

12

+ = + +

a) 4x x 7− = + ; b) 10x 12 3x x;− − = + c) 5x 3x

3

− = +

d) 7x 2x 16 x

6

− + = −

a) (1 x− ) (2 + x 2+ )2 =2x x 3( − −) 7; b) (2 x− ) (3− x 4− )3 =8 x ;( − )2

c) 3x 6x 3x

4

− + − = −

; d)

( )

2 x 2x

x

5 1 12 .

12

− −

+ −

= +

a) (1 2x− )2 =3x x 3( − +) (x ;− )2 b) (1 x+ ) (3+ −1 x)3 =6 x ;( + )2 c) x x x x;

4

− − + = − −

d)

3x x

5x 7x

5 15 1 x.

15

− −

+ +

= + −

Dạng Tìm điều kiện để biểu thức chứa ẩn mẫu xác định

Phương pháp giải: A(x)

B(x) xác định B(x) 0≠

Chú ý: A(x).B(x) A(x)

B(x) ≠ 

≠ ⇔  ≠ 

3A Tìm điều kiện x để giá trị phân thức sau xác định:

a)

( )

2x

P ;

4x 2x − =

+ − − b)

( )

( ) ( )( )

2

5 x 2x

Q

2x x x 2x − + +

=

+ − + +

(17)

a)

( )

2

2x 5x P

x 2x x 8x

2 − + =

  − + +  + +

 

; b)

( ) ( ) (2 )

2

x

Q

x x x x + −

=

+ − + +

Dạng Giải phương trình đặc biệt

Phương pháp giải: Xét phương trình (ẩn x) dạng : x a x c x e x g

b d f h

+ + + = + + +

Bước 1: Nếu a b c d e f+ = + = + = + =g h k, ta cộng phân thức thêm Nếu a b c d e f− = − = − = − =g h k, ta cộng phân thức thêm −1

Bước 2: Quy đồng từ phân thức, chuyển vế nhóm nhân tử chung

Chú ý: Có thể mở rộng số phân thức nhiều tùy toán ta cộng trừ số thích hợp

4A Giải phương trình sau: a) x x x x 5;

7

+ + + = + + +

b) x 12 x 10 x x 6;

21 23 25 27 − + − = − + − c) x x x x 1;

3

+ + + +

+ = + Gợi ý: Cộng thêm d) x m x n x p

n p p m n m + + + + + + =

+ + + với m, n, p số dương

a) x 81 x 82 x 84 x 85;

19 18 16 15

+ + + = + + + b) x 22 x 21 x 20 x 19

8 10 11

− + − + − + − = ; c) x 12 x 13 x 15 x 16;

7

− + +− + = − + +− + d) x 19 x 13 x x

3

+ + + = + + +

Gợi ý: Cộng thêm

Dạng Giải phương trình cách đặt ẩn phụ

Phương pháp giải: Tùy thuộc phương trình mà ta lựa chọn cách đặt ẩn phụ phù hợp để làm giảm phức tạp phương trình cho

5A Giải phương trình sau: a) 3x 6x (3x ;)

2

− − − = + −

b) ( ) ( )

2

2 x x 5x

x 2x

3

+ − − +

+ + − =

5B Giải phương trình sau: a) x 2x 5(2 x) 0;

2

− −

+ − − − = b) x x 1 2x

3

− + −

− − =

(18)

a) 5x x 1+ ( − =) 5x 7;+ b) 2x 3x;

4

− −

+ = c) (x 3− )2 −x x 4( + )+ =5 0; d) ( )( )

2

3x x 2x 11

3 2

− + − + =

7 Tìm điều kiện x để giá trị phân thức sau xác định:

a)

( + )

=

− + + − 7x

P ;

x 3x x b) 2( ) ( ) (2 )

10x

Q

x x x x +

=

+ − + +

a) (2x 1− )3+6 3x 1( − )2 =2 x 1( + )3+6 x ;( + )3 b) (x 2− ) (2 + −3 2x) (2− 4x x 5− )( − ) (= x ;+ )2 c) x x 3( ) x;

3

− − −

− + =

d)

x x

1 x

3 x 1.

7

+ − − +

= + +

a) 18 x 17 x 16 x 15 x;

5

− + − = − + − b) x 30 x 28 x 26

10

− + − + − = − ;

c) x 81 x 82 x 83 x 84 x 85 x 86;

19 18 17 16 15 14

+ + + + + = + + + + + d) 20 x 22 x 24 x 26 x

3

− + − = − + −

HƯỚNG DẪN 1A. a) Chuyển vế rút gọn 4x = 16, tìm x = b) Đưa PT dạng 5x = 15, tìm x =

c) Quy đồng, khử mẫu thu 6x - + 24 = - 2x Từ tìm 13

8 x= −

d) Quy đồng, khử mẫu thu 30x + = 36 + 24x +32 Từ tìm 59

6 x=

a) x = b) x = c) x = 14 d) x =

2A. a) Triển khai đẳng thức rút gọn 8x + 12 = Từ tìm

2 x= −

b) Sử dụng đẳng thức, biến đổi phương trình dạng: (x - 3) (2x2 - 4x) = Sưe dụng phương pháp giải PT tích tìm x ∈{0; 2; 3}

c) quy đồng khử mẫu ta 48x - 16 = Từ tìm

(19)

d) Quy đồng khử mẫu ta 3x + = 2x + 63 Từ tìm x = 57

a) x = b)

x=− c) 28 15

x= d) x = -82

3A.a) ĐK 2( )

x+ − − x ≠ ⇔ ≠x

b) ĐK 2( ) ( )( )

2x x+ −2 x +1 2x+4 ≠ ⇔ ≠ −0 x

3B. a) Do ( 2) 2( 1)2

x

x x x  x x

− + +  + + = + + > ∀ ∈

  

Từ ĐK cần tìm x∈ b) ĐK ( )( )

2

2 1

2 x

x x

x ≠ −  

− + + ≠ ⇔ 

≠ −



4A. a) Cộng phân thức thêm thực nhóm hạng tử

( ) 1 1

9

7

x+  + − − =

 

Từ tìm x = -9

b) Cộng phân thức thêm -1 nhóm hạng tử thu

( ) 1 1

33

21 23 25 27

x−  + − − =

 

Từ tìm x = 33

c) Sau cộng đưa dạng ( 13) 1 1

x+  + − − =

 

Từ tìm x = -13

d) Đưa dạng (x m n ) 1 n p p m n m

 

+ + +  + + =

+ + +

 

Từ tìm x= − − −m n p

a) ( 100) 1 1 100 19 18 16 15

x+  + − − = ⇔ = −x

 

b) ( 30) 1 1 30 30 10 11

x−  + + + = ⇔ −x = ⇔ =x

 

c) (19 ) 1 1 19 19

x   x x

−  + − − = ⇔ − = ⇔ =

 

d) ( 28) 1 1 28 28

x+  + − − = ⇔ +x = ⇔ = −x

 

5A.a) Đặt 2 t t

t = x− ⇒ + = +t Tìm

3 t= − ⇒ = −x

b) Ta có ( ) ( ) ( )

2 1

3

x x

x

x+ − + = + − + Đặt x + = t, ta tìm t = ⇒ x = -1

(20)

b) Đặt x− =1 t t( ≥0), tìm

t= − (KTM)⇒ ∈∅x

6.Tương tự 1A

a) 10

x= b) 31 12

x=− c)

x= d) x=4

7. Tương tự 3A a) ĐK:

2 3 x x

 ≠ −    ≠ 

b) ĐK

2 x x

≠ −   

≠ − 

8.Tương tự 2A

a) 12

x= − b) x=8 c) 73 23

x= d) 11 13 x= −

9.Tương tự 4A

a) (23 ) 1 1 23

x   x

−  + − − = ⇔ =

 

b) ( 10) 1 10 10

x−  + + = ⇔ =x

 

c) ( 100) 1 1 1 100 19 18 17 16 15 14

x+  + + − − − = ⇔ = −x

 

d) (14 ) 1 1 14

x   x

−  + − − = ⇔ =

 

(21)

CHỦ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH

Chú ý rằng:

1 Phương trình A(x).B(x) A(x) B(x)

= 

= ⇔  =  Mở rộng, phương trình

A(x) B(x) A(x).B(x) M(x)

M(x) = 

 = 

= ⇔ 

 = 



II.BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TỐN Dạng Giải phương trình dạng tích

Phương pháp giải: Áp dụng công thức: A(x)

A(x).B(x)

B(x) = 

= ⇔  = 

a) (3x x 1− )( + =) 0; b) (x2 +2 2x 1)( − =) 0; c) (x 2x x 5+ )( + )( − )=0; d) (x 7) x 4x

2 +

 

+  − =

 

a) x x 3( + )( − )=0; b) (x 2+ ) (2 4x 6+ )=0;

c) (x2 −16 x)( − )=0; d) (4x 3) 3x 11 x 12

+ −

 

+  − =

 

Dạng Đưa phương trình tích dạng đơn giản

Phương pháp giải: Thực bước sau

Bước Biến đổi đưa phương trình cho dạng phương trình tích Bước Áp dụng công thức:

A(x) A(x).B(x)

B(x) = 

= ⇔  = 

a) 2x 3x 2( − ) (= 3x 3x ;− )( − ) b) x x 2( − )( + )=x2 −5x; c) (x 2x 1− )( + +) 2x 2;= d) (x 2+ )3−9 x 2( + )=0

a) (2x 1− ) (2 + x 2x 1− )( − =) 0; b) (3 2x− )2 +4x2 − =9 0; c) x 2(x x 3)( ) 0;

2

− + − − =

(22)

3A Cho phương trình 2m m x( )( ) m

x

− + = − Tìm giá trị tham số m để phương trình có nghiệm x =

3B Tìm giá trị tham số a để phương trình ( )

3

2 t a 10 2a a

2t

+ − − = − + +

− nhận t = nghiệm

Dạng Đưa dạng phương trình tích cách sử dụng đẳng thức

Bước Biến đổi đưa phương trình cho dạng phương trình tích cách sử dụng đẳng thức đáng nhớ cách hợp lý

Bước Áp dụng công thức: A(x) A(x).B(x)

B(x) = 

= ⇔  = 

a) (x 2− ) (2 − 2x 3+ )2 =0; b) 2x 1( + )2 −4 x 1( + )2 =0; c) (x 1+ )2 +2 x 1( + + =) 0; d) (x x− )( 2− + + =9) x

4B Giải phương trình sau: a) ( ) ( )

2

7 x

x 0;

−

− + = b) 4x2 +(x 1− ) (2 − 2x 1+ )2 =0; c) x3+ =1 (x x ;+ )( − ) d) x2−4x 0.− =

a) (x 3+ ) (3− x 1− )3 =0; b) x4 +x2 − =2 0; c) x3+3x2 +6x 0;+ = d) x3−6x2 +8x 0.=

a) (x 2+ ) (3+ x 1+ )3 =0; b) 2x4 +3x2 − =5 0; c) x4 −8x3−9x2 =0; d) x3−4x2+ − =4 x

Dạng Đặt ẩn phụ kết hợp sử dụng đẳng thức dạng đơn giản

Phương pháp giải: Phát đặt ẩn phụ để đơn giản phương trình

a) (2x 1+ )2−2x 2;− = b) (x2 −3x) (2 +5 x2 −3x)+ =6 0; c) (x2 − −x x)( 2−x)− =2

a) (5 2x− )2 +4x 10 8;− = b) (x2 +2x x+ )( +2x 1+ =) 3; c) x x x( − )( − + − =x 1)

III BÀI TẬP VỀ NHÀ 7 Giải phương trình sau:

(23)

c) 2x x 3( ) x 0;

3

 +  +  − =

   

    d) ( )

2 x 4x

x

4 +

 

−  − =

 

8 Giải phương trình sau: a) 2x 1(2x x 10)( ) 0;

6

+ − + − =

b) (4x x 5− )( + )=x2 −25; c) x 3( ) (x x 2)( ) 0;

2

− − +

− = d) x x 3( )3 x(x 3)

+ − + =

9 Tìm giá trị tham số m để phương trình ( ) ( )( )

2

5

y 1

9 15y m 2 m m

3

+

− + = + + + nhận

y

= nghiệm

a) (x 1− ) (2− 2x 5+ )2 =0; b) x2 − −(1 x) (2 − 2x 1− )2 =0; c) x3+ = −8 2x x ;( + ) d) 4x2 +8x 0.− =

11 Giải phương trình sau: a) (4x 5− )2+7 4x 5( − − =) 0; b) (x 3+ )2(x2 +6x 1+ =) 9;

c) 2x 8x 8x( − )( 2− +x 2)−126 0.=

HƯỚNG DẪN 1A. a) Ta có (3x−2)(x+ = ⇔1) 3x− =2 x+ =1 Từ tìm 2;

3 x∈ − 

 

b)

x= c) 3; 3;5 x∈ − − 

  d)

18 7;

5 x∈ − 

 

a) x∈ −{ 4;3} b) 2; x∈ − − 

 

c) x∈ ±{ 4; 7} d) 5; x∈ − − 

 

2A. a) Biến đổi (3x - 2) (x - 1) = Từ tìm 2;1

3 x=  

 

b) Đưa dạng (x - 5) (x + 4) = 0, từ tìm x∈ −{ 4;5} c) Đưa dạng (x - 1) (2x + 3) = 0, từ tìm 3;1

2 x∈ − 

 

d) Đưa dạng (x + 2) (x + 5) (x - 1) = suy x∈ − −{ 5; 2;1}

a) x∈ 1 4; 

  b)

3 0; x∈  

  c)

15 7; x∈  

  d)

2 ; ;

x∈  

(24)

3A. 4; x∈  

  Vì x = nghiệm nên thay vào PT ta có:

( )( )

2

4 m m− m+ = −

Sau đưa dạng (2m−3 16)( m+17)=0 Giải ta 17 3;

16

m∈− 

 

3B.Tương tự 3A Tìm 1; a∈ − − 

 

4A. a) Áp dụng đẳng thức thu (− −x 3)( x+ =1) Từ tìm 5;

3 x∈ − − 

 

b) Đưa dạng ( ) (2 )2 6x+3 − 2x+2 =0 Từ tìm 1;

4 x∈ − − 

 

c) Đưa dạng (x + 2)2

= 0, từ tìm x = -2 d) Đưa dạng (x + 3) (x - 2)2

= 0, từ tìm x ∈{-3;2}

a) x ∈{-17; -1} b) x ∈{0; 6} c) x ∈{±1} d) x ∈{-1;5}

5A. a) Cách 1: Khai triển HĐT rút gọn 3x2 + 6x + = Vì (3(x2 + 2x + 1) + < với x nên giải x∈∅ Cách Chuyển vế đưa (x + 3)3 = (x - 1)3⇔ x + = x - Từ tìm x∈∅

b) Đặt x2 = t với t ≥ ta t2 + t - = Giải ta t = (TM) t = -2 (KTM) Từ tìm x = ±1

c) Biến đổi (x+1) ( x+1)2+3= ⇔ = −0 x

d) Biến đổi dạng x(x - 2) (x - 4) = Tìm x ∈{0; 2; 4}

a)

x= − b) x= ±1 c) x∈ −{ 1; 0;9} d) x∈ ±{ 1; 4}

6A.a) Đặt t = 2x + ta t2 - t - = Giải ta t = -1 t =

Từ tìm được: x = -1 x= b) x∈{ }1; c) x∈ −{ 1; 2}

a) x∈ ± 

  b) x∈{0; 2− } c) x∈ −{ 1; 2}

7.Tương tự 1A

a) x∈ ± 

  b)

1 1;

3 x∈   

  c)x∈ − −{ 6; 3; 2} d)

20 2;

13 x∈ ± − 

 

(25)

a) 21; 2 x∈− 

  b)

4 5;

3 x∈ − − 

  c)x∈{ }3; d)

5 ; ; 3; 2

x∈ − − − 

 

9.Tương tự 3A Tìm m = -2 10.Tương tự 4A

a) 6; x∈ − − 

  b)

;1 x∈  

  c)x= −2 d)

1 ; 2 x∈  − 

 

a) 3; x∈ − 

  b)x∈ −{ 6; 0} c)

7 ;1 x∈ − 

 

(26)

CHỦ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU

1 Lưu ý

Khi giải phương trình chứa ẩn mẫu, ta cần đặc biệt ý đến điều kiện xác định (ĐKXĐ) là tất mẫu thức phải khác

2 Cách giải phương trình chứa ẩn mẫu

Bước 1. TìmĐKXĐ phương trình

Bước Quy đồng mẫu hai vế phương trình khử mẫu Bước Giải phương trình vừa nhận

Bước Kiểm tra kết luận

Dạng Tìm điều kiện xác định biểu thức

Phương pháp giải: Biểu thức A(x)

B(x) (với A(x), B(x) đa thức) xác định ⇔B(x) 0.≠

1A Tìm ĐKXĐ biểu thức sau:

a) A x 3; x

+

= +

− b)

2 x

B :

2x x −   = −  − +  

1B Tìm ĐKXĐ biểu thức sau:

a) C 5x x; 3x

+

= −

− b)

3 5x

D :

4 x 3x   = +  − +  

2A Chứng minh biểu thức sau xác định với giá trị x: a) A 25 7x 7;

3 x x

−

= −

+ + b)

2

x 10 x

B

2 4x 2x

+ +

= −

+ +

2B Chứng minh biểu thức sau xác định với giá trị t: a)

2

2 3t t

C ;

2 2t 4t

− −

= +

+ + b)

2

t 2t

D

3 3t t

+ −

= −

− +

Dạng Giải phương trình chứa ẩn mẫu

Phương pháp giải: Áp dụng bước giải phần Tóm tắt lý thuyết

3A Giải phương trình sau: a) 0;

2x 3x 5− − − = b)

4 4x

2x 3− +4x −9 = 2x 3+

3B Giải phương trình sau: a) 2x ;

2x 1+ +4x −1= 2x 1− b)

2

x x

x x 25 x

+ = +

+ −

−

4A Giải phương trình sau: a) 24x ;

x x x 3x 2 +

− =

+ + + + b)

( )

3

2 x x 2 3

x

x x 2x

+ +

+ =

−

− + +

4B Giải phương trình sau: a) 2 x x 1;

x x x 6x

+ −

− =

− −

− + − b)

6 x

x x x x

−

− =

+

+ − +

(27)

2 2

1

x +3x x+ − − −x = −x −4

5B Giải phương trình chứa ẩn mẫu sau:

2 2

2x x 3x 12 x 4x x 10x x 4x 45

− + − = −

+ − − + − −

6 Tìm ĐKXĐ biểu thức sau:

a) M ; 2x 2x

= +

− − b) ( )( )

x x

P

x x x +

= − +

− +

7 Chứng minh biểu thức sau xác định với giá trị x:

( )( )

2

x

A x

2 x x 4x

−

= +

+ + +

8 Giải phương trình sau: a) 1 3x 122 ;

x x x − − = + − − b) 2

x 12x 12 12 ; x 3x x 3x

− + + = + + − + − c)

1 2x x x x x

−

+ =

− − + +

9 Giải phương trình chứa ẩn mẫu sau:

2 2

1

2x +5x x− − −1 2x= −5x 7−

10 Cho phương trình ẩn y:

( )( )

m y

1 y m y 2m+ + + = y m y 2m+ + + a) Giải phương trình với m =

b) Tìm giá trị tham số m để phương trình có nghiệm y=

HƯỚNG DẪN 1A.a) A xác định ⇔ − ≠ ⇔ ≠x x

b)

x≠ x≠1

a)

x≠ b) x≠0 x≠3

2A. a) Ta có

2

1

2

x + + =x x+  + > ∀x

 

b) Ta có

2

2 11

4

2

x + x+ = x+  + > ∀x

 

2B.Tương tự 2A HS tự chứng minh 3A.a) ĐKXĐ:

2

(28)

Quy đồng mẫu rút gọn ta ( 2)( )

x x x

− + =

− −

Suy tìm

x= (TMĐK) b) Tương tự câu a) ta

2

x= − (KTMĐK) Vậy phương trình vơ nghiệm

a) x = -1 b) x =

4A. a) Phân tích x3+3x+ =2 (x+1)(x+2), ta tìm x= − b) x3− =8 (x−2)(x2+2x+4), ta tìm x = (KTMĐK) Vậy phương trình vơ nghiệm

a) x = = KTM) b) x =

4 x=

5A. mẫu thức chung (x+1)(x+2)(x−2) Từ ta x = -7

5B.Tương tự 5A PT có nghiệm x= −13.MTC =(x−1)(x+5)(x−9)

6.Tương tự 1A

a)

x≠ x≠1 b) x≠1;x≠ −3 x≠0

7.Tương tự 2A HS tự chứng minh 8. Tương tự 3A

a)

x= b) x=0 c) x=0

9.Tương tự 5A Tìm

3

x= x= −4

10. a) Với m=1, PT trở thành

( )( )

1

1 2

y

y+ + y+ = y+ y+ + Giải ta tìm y = -3

b) Vì y = nghiệm PT nên thay vào tìm m= −

(29)

CHỦ ĐỀ GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH

1 TĨM TẮT LÝ THUYẾT

Các bước để giải toán cách lập phương trình : Bước 1 Lập phương trình :

- Đặt ẩn điều kiện cho ẩn phù hợp

- Biểu diễn kiệu toán chưa biết thông qua ẩn đại lượng biết - Lập phương trình biểu diễn mối quan hệ đại lượng

Bước Giải phương trình lập

Bước 3 Kiểm tra điều kiện đưa kết luận toán

Dạng Bài toán liên quan đến chuyển động

Phương pháp giải : Sử dụng số kiến thức sau :

- Công thức cần ghi nhớ S v.t= s (thường tính theo đơn vị km) quãng đường, v (thường tính theo đơn vị km/giờ) vận tốc, t (thường tính theo đơn vị giờ) thời gian

- Các toán chuyển động có lực cản (ví dụ lực cản gió, dịng nước, ) cần ý tính vận tốc xuôi ngược chiều với lực cản sau:

Vận tốc xuôi = Vận tốc thực + Vận tốc cản Vận tốc ngược = Vận tốc thực - Vận tốc cản

1A Một ô tô từ Hà Giang Hà Nội với vận tốc 60km/ từ Hà Nội Hà Giang với vận tốc 50km/ Thời gian lúc thời gian lúc 48 phút Tính quãng đường từ Hà Giang đến Hà Nội

1B Một xe máy từ Lạng Sơn Nam Định với vận tốc 42km/ từ Nam Định Lạng Sơn với vận tốc 36km/ giờ, thời gian lúc nhiều thời gian lúc 60 phút Tính quãng đường từ Lạng Sơn đến Nam Định

2A Một tàu chở hàng khởi hành từ thành phố Hồ Chí Minh với vận tốc 36km/ Sau tàu chở khách từ với vận tốc 48km/ đuổi theo tàu hàng Hỏi tàu khách gặp tàu hàng

2B Hai tơ khởi hành lúc A để đến B Ơ tơ thứ với vận tốc 40km/ giờ, ô tô thứ hai với vận tốc 50km/ Biết ô tô thứ tới B chậm tơ thứ hai 30 phút Tính độ dài quãng đường AB

3A Một canô xuôi khúc sông từ A đến B hết 10 phút ngược dòng từ B A hết 1giờ 30 phút Biết vận tốc dòng nước 2km/giờ Tính vận tốc riêng canơ

3B Một canơ xi dịng từ bến A đến bến B ngược dòng từ B A Tính khoảng cách hai bến A B, biết vận tốc dòng nước 3km/giờ

Dạng Bài tốn liên quan đến hình học

Phương pháp giải: Ta sử dụng công thức cần ghi nhớ sau đây:

- Diện tích chu vi hình chữ nhật là: S a.b= C a b= ( + ) với a, b kích thước

- Diện tích hình vng S a= với a độ dài cạnh hình vng

- Cơng thức Pytago tam giác vuông: a2 =b2 +c2 với a cạnh huyền; b, c cạnh góc vng

4A Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi 56m Nếu tăng chiều dài thêm 3m giảm chiều rộng 1m diện tích khu vườn tăng thêm 5m2 Tính kích thước khu vườn ban đầu

(30)

Dạng Bài toán liên quan đến suất

Phương pháp giải: Ta sử dụng công thức: A N.t= , với A khối lượng công việc, N suất, t thời gian

5A Một đội thợ mỏ lập kế hoạch khai thác than, theo ngày phải khai thác 40 than Nhưng thực hiện, ngày đội khai thác 45 than Do đội hồn thành kế hoạch trước ngày vượt mức 10 than Hỏi theo kế hoạch đội phải khai thác than?

5B Một đội thợ mỏ khai thác than, theo kế hoạch ngày phải khai thác 55 than Khi thực hiện, ngày đội khai thác 60 than Do đó, đội hoàn thành kế hoạch trước ngày mà vượt mức 15 than Hỏi theo kế hoạch, đội phải khai thác than?

Dạng Bài tốn liên quan đến cơng việc làm chung, làm riêng

Phương pháp giải: Ta coi công việc đơn vị, biểu diện khối lượng đội theo đơn vị thời gian (ngày, ) Từ thiết lập phương trình

6A Hai vòi nước chảy vào bể sau 12 đầy bể Nếu vịi I chảy

giờ khóa lại, mở vịi II chảy tiếp 18 hai chảy đầy bể Hỏi vịi chảy đầy bể?

6B Hai lớp 8A 8B trồng hoa vườn trường sau 24 hồn thành cơng việc Nếu hai lớp làm 10 lớp 8A nghỉ để lớp 8B làm tiếp 35 hai lớp hồn thành nửa cơng việc Tính thời gian lớp làm riêng để hồn thành cơng việc

Dạng Bài tốn liên quan đến tính tuổi

Phương pháp giải: Ta vận dụng liệu đề để lập phương trình với ý sau năm tuổi người tăng lên

7A Biết cách năm tuổi bố gấp lần tuổi Hiện tuổi bố gấp lần tuổi Tính tuổi hai bố

7B Hiệu số tuổi hai anh em Tính tuổi người nay, biết tuổi em cách năm nửa tuổi anh

Dạng Bài toán liên quan đến tỉ số phần trăm

Phương pháp giải: Chú ý đổi phần trăm phân số tính tốn

8A Hai tổ công nhân sản xuất 800 sản phẩm tháng đầu Sang tháng thứ hai tổ I làm vượt mức 15%, tổ II vượt mức 20% Do cuối tháng hai tổ sản xuất 945 sản phẩm Hỏi tháng đầu tổ sản xuất sản phẩm

8B Năm 2016 dân số Nam Định Bắc Ninh triệu người Năm 2017 dân số Nam Định

tăng 1,2%, dân số Bắc Ninh tăng 1,1% Tổng dân số hai tỉnh năm 2017 4045000 người Tính số dân tỉnh năm

9 Một ô tô hết quãng đường Đầu tiên ô tô với vận tốc 40km/giờ, sau với vận tốc 60km/giờ Hỏi ô tô thời gian với vận tốc 40km/giờ?Bao nhiêu thời gian với vận tốc 60 km/giờ? Biết quãng đường dài 360km

10 Một tàu thủy chạy khúc sông dài 80km, hết 20 phút Biết vận tốc dòng nước 4km/giờ Tính vận tốc tàu thủy nước n lặng

11. Một nơng dân có mảnh ruộng hình vng Ơng ta khai hoang mở rộng thêm thành mảnh ruộng hình chữ nhật, bề thêm 8m, bề thêm 12m Diện tích mảnh ruộng hình chữ nhật diện tích mảnh ruộng hình vng 3136m2 Hỏi độ dài cạnh mảnh ruộng hình vng ban đầu bao nhiêu?

(31)

13 Hai người thợ làm công việc 16 xong Nếu người thứ làm

người thứ hai làm 25% cơng việc Hỏi người làm cơng việc xong?

14 Tuổi bố gấp 2,4 lần tuổi Biết năm trước bố gấp 11

4 lần tuổi con, hỏi tuổi tuổi bố bao nhiêu?

HƯỚNG DẪN 1A. Gọi quãng đường Hà Giang - Hà Nội x x( >0,km)

Quãng đường (km)

Vận tốc (km/giờ)

Thời gian (giờ)

Đi HG-HN x 60

60 x

Về HN-HG x 50

50 x

Theo đề ta có PT 48

50 60 60 x x

− =

Giải PT thu x = 240 (TMĐK) Kết luận

1B.Tương tự 1A Quãng đường Lạng Sơn - Nam Định 252km 2A. Gọi thời gian tàu khách đến lúc gặp x (x > 0, giờ)

Quãng đường (km)

Vận tốc (km/giờ)

Thời gian (giờ) Tàu hàng 36(x + 2) 36 x +

Tàu khách 48x 48 x

Theo ta có PT 36 (x + 2) = 48x Giải tìm x = (TMĐK) Kết luận

2B.Tương tự 2A Tìm x = (giờ)

Từ tìm qng đường AB 300km

3A. Cách Gọi vận tốc riêng canô x (x > 0, km/giờ) Vận tốc canơ xi dịng x + 2, ngược dòng x - Theo ta có PT 7( 2) 9( 2)

6 x+ =6 x− Giải tìm x = 16 (TMĐK) Kết luận Cách 2: Gọi quãng đường AB x (x > 0, km)

Vì vận tốc canơ xi dịng vận tốc ngược dịng 4km/giờ nên ta có PT 6 x x

− = Giải tìm x = 21

Từ tìm vận tốc riêng canô 16km/giờ

3B.Tương tự 3A Quãng đường AB 108km 4A. Gọi chiều dài khu vườn x ( x > 0, m) Chiều rộng khu vườn 28 - x (m)

Theo ta có PT x(28−x) (= x+3 28)( − − +x 1) Giải tìm x = 19 (TMĐ)

Từ tìm chiều rộng khu vườn là: 19m

4B.Tương tự 4A Ta lập PT x x( −12) (= x+3)(x− −12 1.5) Từ tìm chiều dài 27m, chiều rộng 15m

(32)

(tấn/ngày) Kế hoạch x 40

40 x

Thực tế x + 10 45 10

45 x+

Theo ta có PT 10

40 45 x x+

− =

Giải PT tìm x = 800 (TMĐK) kết luận

5B Tương tự 5A Theo kế hoạch đội cần khai thác 1485 6A. Gọi thời gian vịi I chảy đầy bể x (x > 12, giờ) Trong vòi I chảy

x(bể), vịi II chảy 1 12−x (bể) Theo ta có PT 31 18 1

24

x x

 

+  − =

 

Giải PT tìm x= 30 (TMĐK) Kết luận

6B Tương tự 6A Ta lập PT 10 35 1 24 24 x

 

+  − =

 

Từ tìm thời gian lớp 8A hồn thành cơng việc 40 giờ, lớp 8B hoàn thành 60

7A. Gọi tuổi (x x∈, tuổi) Tuổi bố 3x

Theo ta có PT 3x− =4 5(x−4) Giải tìm x=8 (TMĐK) Kết luận

7B.Tương tự 7A Ta lập PT 2(x−4)= +x Từ tìm em 16 tuổi, anh 24 tuổi

8A. Gọi số sản phẩm tháng đầu tổ I sản xuất x x( ∈) Số ản phẩm tháng đầu tổ II sản xuất 800 - x

Theo ta có 115 120(800 ) 945 100x+100 −x = Giải PT tìm x = 300 (TMĐK) Kết luận

8B.Tương tự 8A Năm 2017, dân số Nam Định triệu, dân số Bắc Ninh triệu 9.Tương tự 1A

10.Tương tự 2A 11.Tương tự 3A 12.Tương tự 4A 13.Tương tự 5A 14.Tương tự 7A

(33)

(34)

ÔN TẬP CHỦ ĐỀ

Xem phần Tóm tắt lý thuyết các từ Bài đến Bài

Dạng Phương trình quy phương trình bậc 1A Giải phương trình sau:

a) 3x x 5( + −) (x 2+ )2 =2x2 +7; b) (4x x 3+ )( − −) x2 =3x x 2( + )+1

a) (2x x 3+ )( − +) (x x 4− ) (=3 x 5− )2; b) 2x x 2( + )( + )= − +(x 1) (2 + 3x − )2

a) ( ) ( )

19 5x

4 x 2 x 5;

5 10

−

+ −

− = −

b) x 1( ) 9x 2x 1( )

3

− + − − = + −

2B Giải phương trình sau: a) 12x x 3 x 2( );

21

− + − − =

b) 5x 1 2x 9x

2 12

− − − = −

 

 

3A Giải phương trình sau: a) (5x 4− )2+3 16 25x( − 2)=0

b) (4x 3) 15x 15x x ( )

12 12

 −   − 

−  −  = −  −

   

a) x 3( − +) (2x 1+ ) (2 − x 4+ )2 =0; b) 2x 2x x 2x

8

− − −

   

−  + =  + 

   

Dạng Phương trình chứa ẩn mẫu 4A Giải phương trình sau:

a) x x 2; x x − + =

+ b) ( )( )

2 3x 11 ; x x x x

−

− =

+ − + −

c) 296 2x 3x 1; x x x 16

− −

+ = +

+ −

− d)

2

3

2 2x 16 x x x 2x

+

− =

+ + − +

4B Giải phương trình sau: a) x x 2;

x x − + + =

− + b) ( )( )

1

(35)

c) 3x 22 ; x 1 x x

+

= −

− − + d)

2

3

1 2x x x x x

−

− =

− − + +

Dạng Phương trình có cách giải đặc biệt 5A Giải phương trình sau:

a) x x x x 2; 2015 2016 2017 2018

− + − = − + − b) x 2x 12 3x 14 4x 25

12 14 25 27

− − − = − − −

Gợi ý: Thêm bớt

a) ;

x x 2− + − =x x 4− + − b) 2x 2x 2x 2x

2

− + + = + + +

Gợi ý: Thêm bớt

Dạng Giải toán cách lập phương trình

6A Lúc sáng, xe máy khởi hành từ A để đến B Đến 30 phút ô tô thứ hai khởi hành từ A để đến B với vận tốc lớn vận tốc ô tô thứ 20km/giờ hai xe gặp lúc 10 30 phút Tính vận tốc xe máy tơ?

6B Một ô tô dự định từ A đến B khoảng thời gian định với vận tốc định trước Nếu ô tô với vận tốc 35km/giờ chậm Nếu với vận tốc 50km/giờ đến sớm Tính quãng đường AB thời gian dự định lúc đầu

III BÀI TẬP VỀ NHÀ 7 Giải phương trình sau:

a) (x 2x 3+ )( − ) (= 2x x ;− )( + ) b) x x 2( + )2−4x2 =(x x− )( +2x + )

a)

x 1 2x

2x 3x

5

x ;

3

− −

+ −

+ = − b) ( ) ( )

2 2

2x x 7x 14x

5 15

+ − − = − −

a) (2x 1+ ) (2− x 2+ )2+3x x( − )=0; b) 7x 2x 2x 7x 2x

6

− −

 + = −  + 

   

   

10 Giải phương trình sau: a)

( )

x 2

; x x x x

+ = +

− − b) ( )( )

5 x

0; x x x

+

+ =

− − −

c) x 2 2x x ;

2x 2+ = x −2x 3− +6 2x− d) 2

4

x x −x − +x 1 x− − = +

a) 201 x 203 x 205 x 0;

99 97 95

(36)

b)

2 2

x x x x x x 13 x x 16

2

+ + + + + = + + + + +

Gợi ý: Bớt

12 Một xí nghiệp dự định sán xuất 1500 sản phẩm 30 ngày Nhưng nhờ tổ chức hợp lý nên thực tế sán xuất ngày vượt 15 sản phẩm Do xí nghiệp sản xuất vượt mức dự định 255 sản phẩm mà cịn hồn thành trước thời hạn Hỏi thực tế xí nghiệp rút ngắn ngày?

13 Hai công nhân giao làm số sản phẩm, người thứ phải làm người thứ hai

10 sản phẩm Người thứ làm 20 phút, người thứ hai làm giờ, biết người thứ làm người thứ hai 17 sản phẩm Tính số sản phẩm người thứ làm giờ?

14* Giải phương trình:

( )

2 2

2

1 1

8 x x x 4 x x

x x x x

 +  +  +  = + +  +   + 

       

       

15* Gia đình bác An muốn mua tivi mới, bác An tham khảo giá hai cửa hàng

cùng loại tivi thích Giá niêm yết hai cửa hàng vào dịp cuối năm nên: Cửa hàng A thông báo khuyến mại giảm giá 15% tặng thêm 800000 đồng; Cửa hàng B khuyến mại giảm giá 20% Bác An mua tivi cừa hàng A tính tiết kiệm 200000 đồng so với số tiền mua tivi cửa hàng B

a) Giá tivi niêm yết tiền?

b) Tính xem với số tiền bỏ để mua tivi bác An giảm giá phần trăm?

HƯỚNG DẪN 1A. a) Biến đổi 3x x( + − +5) (x 2)2 =2x2+7 11x− =4 Giải ta được: x = 1b) Tương tự, tìm x = -2

a) 84; 23

x= b) x= −

2A.a) Quy đồng mẫu, ta

( ) ( )

16 x+2 −10x+19 15= x− −2 100 Từ tìm 181

9 x= b) Tương tự, tìm 59

167 x=

a) x = 10,75 b) x =

3A. a) Áp dụng đẳng thức, ta có

( )2 ( )( )

5x−4 −3 5x−4 5x+4 =0

(5x 4)( 10x 16)

⇔ − − − =

Từ tìm 4; 5 x= −

b) ta có ( )

15

3 15

3 12

12

3 x x

x x

x

 − − =

 − −  − − + = ⇔

  

   + =

Vậy 2, 37 15

x= − x= x= −

(37)

a) 8; 3

x= − x= b) 3,

x= x= x= −

4A.a) ĐKXĐ: x≠0 x≠ −2

Quy đồng khử mẫu, ta được: ( )( ) ( )

2 2

x− x+ +x = x x+

Giải ta x= −1 b) Tương tự, tìm x = c) Tương tự, tìm x =

d) Tương tự, phương trình vơ nghiệm

a) Vô nghiệm b) x=3 c) 10

x= − d) x=2 x= −5

5A.a) Phương trình

5

1 1

2015 2016 2017 2018

x− x− x− x−

       

⇔ − +  − =  − +  − 

       

( ) ( ) ( )

2 13 13 13 2020

2015 14 25 27

x x x

x− − − −

⇔ − = −

Từ tìm x = 2020 b) Phương trình

1 12 14 25

1 1

12 14 25 27

x x x x

PT ⇔ − − −   − − =   − − −   − − 

       

( ) ( ) ( )

2 13 13 13 13

12 14 25 27

x x x

x− − − −

⇔ − = −

Từ tìm x = 13

a) x= −2 b) x=

6A. Gọi vận tốc xe máy x (km/giờ) ĐK: x > 0) Theo đề bài, ta có phương trình: 3( 20)

2x= x+ Giải ta x = 40 (TMĐK)

Kết luận

6B.Tương tự 6A Gọi thời gian dự định x (x > 0, giờ)

Giải PT 35(x+2)=50(x− ⇔ =1) x

Quãng đường AB dài 350km, thời gian dự định

7. a)

x= b) x= −2

8. a) 17 37

x= b) 12 x= −

9. a) x = b) , 19

x= x= x= −

10. a) x = -1 b) x = -2 c) x = d) x = x =

11. a ) x = 300

b) Gợi ý: Bớt phân số Đáp số: x = 1; x = -2

12. ngày

13. 60 sản phẩm

14* Đặt x2 12 a x

+ = ý

2

x a

x

 +  =

 

(38)

( ) ( )2 ( ) ( )2 a+ +2 4a = x+4 +4 a+2 a⇔ x+4 =16

15. a) Gọi giá niêm yết tivi x (đồng) (ĐK: x > 0) Theo đề ta có phương trình: 0,85x - 800000 = 0,8.x - 200000 Giải ta x = 12000000 (TMĐK)

Kết luận

b) Bác giảm giá 21,67%

(39)

ĐỀ KIỂM TRA CHỦ ĐỀ

Thời gian làm đề 45 phút

ĐỀ SỐ

PHẦN I TRẮC NGHIỆM (4 ĐIỂM)

Khoanh vào chữ đứng trước câu trả lời

Câu 1.Cho phương trình sau, phương trình bậc ẩn là:

A

x− = B 0x 0+ = C 2x

3 − = D 4x 0− =

Câu Giá trị x = nghiệm phương trình sau đây: A 5x 0− = B 2,5x 6+ = C x 2x 5− = − D 3x 0− =

Câu Tập nghiệm phương trình (3x x 1− )( − =) là: A S={ }1 B S 1;7

3   =     C S 1;

7

 

= − − 

  D

7 S

3   =    

Câu Điều kiện xác định phương trình 25x x

x x − = − + − là: A x 1≠ B x 3≠

C x≠ −3 x 1≠ D x≠ −3 x 1≠

Câu Với giá trị m phương trình (m2 −4 x 0,5m 0) + = phương trình bậc ẩn:

A m 2≠ m≠ −2 B m 0≠

C m ≠ −2 D Mọi m

Câu Với giá trị m phương trình m x 3( + )=8 có nghiệm x =1:

A m = B m =

C m 3≠ D m= −1

Câu Trong phương trình sau, phương trình tương đương với phương trình 3x 15 0− = A x= −5 B 3x= −15

C (x2 +1 x 5)( − )=0 D x 0+ =

Câu Số nghiệm phương trình 2x3 +16 0= là: A nghiệm B nghiệm C nghiệm D Vô nghiệm

II TỰ LUẬN (6 ĐIỂM)

Bài (3 điểm) Giải phương trình sau: a) 2x 10 2x 3;

4

− − = −

b) (x 9− )2+x2 −81 0;= c) (3x 2x 9− − )( + )=0; d) 23

(40)

Bài (2,5 điểm) Một người xe máy từ nhà đến công ty với vận tốc 40km/giờ Người lại cơng ty làm việc xe máy quay nhà với vận tốc 30km/giờ, tổng cộng thời gian hết 30 phút Tính quãng đường từ nhà đến công ty

Bài (0,5 điểm) Giải phương trình:

x x x x x 95

x 99

99 97 93 95

− − − − −

 + −  + +  + + =

     

     

HƯỚNG DẪN

PHẦN I TRẮC NGHIỆM (4ĐIỂM)

Câu 1.C Câu A Câu C Câu B Câu B Câu C Câu D Câu A

PHẦN II TỰ LUẬN (6ĐIỂM) Bài 1.a) Tìm x = 42

b) Tìm x = x =

c) PT đưa dạng : 3x− − =5 2x+ =9 Tìm tập nghiệm PT cho

; ;

S = − 

 

d) ĐK 0;3 x≠  

  Tìm x=

Bài 2. Gọi quãng đường từ nhà đến công ty x (km/h; x > 0) Vậy thời gian người từ nhà đến cơng ty

40 x

(giờ) 30

x

(giờ)

Thời gian thời gian không kể thời gian làm việc người 30 phút = 3,5 (giờ) Vì ta có phương trình: 3,

40 30 x + x =

Giải phương trình tìm x = 60 (TMĐK)

Bài 3. Ta biến đổi phương trình dạng

( ) 1 1

100

99 97 93 95

x−  + + + + + =

  Từ tìm x = 100

(41)

ĐỀ SỐ

PHẦN I TRẮC NGHIỆM (4 ĐIỂM)

Câu 1.Cho phương trình sau, phương trình bậc ẩn là:

A x 0+ = B x x+ =0 C x 6y 0− = D 0x 0− =

Câu Giá trị x = nghiệm phương trình sau đây: A x 0+ = B 5x 10 0− = C x2 + =5 D 2x 10 0− =

Câu Tập nghiệm phương trình x x( +3)=0 là: A S={ }0 B S={0;− 3} C S={0;− 3, 3} D S= ∅

Câu Điều kiện xác định phương trình x

x x −

+ =

− + là: A x≠ −1 B x 2≠ x≠ −1 C x 2≠ D x 2≠ x≠ −1

Câu Với giá trị m phương trình 2x 2(m 1)

m 3− + + = phương trình bậc ẩn:

A m 2≠ B m≠ −1 C m≠ −1 m 2≠ D Mọi m

Câu Với giá trị tham số m phương trình x2 + =1 m x 3( + ) có nghiệm x 2= : A m = B m= −2

C m 0≠ D m= −1

Câu Trong phương trình sau, phương trình tương đương với phương trình

4x 3x 2− = +

A x x+ = − B 5x 4x 2− = − C x2 − =9 D 2x x 6− = +

Câu Số nghiệm phương trình (x2−4 x)( + =1) là: A nghiệm B nghiệm C nghiệm D Vô nghiệm

II TỰ LUẬN (6 ĐIỂM)

Bài (3 điểm) Giải phương trình sau: a) x 4x 1;

4

− −

+ = b) x 11( − ) (−2 x 11+ )=2018; c) 2x 5− = −7 x; d)

2

3

2x 1 x x

2x

x

x x x

 

− −

+ =  −  +

+  − + 

Bài (2,5điểm) Một người ô tô từ A đến B với vận tốc dự định 50km/giờ Sau

3 quãng đường với vận tốc dự định tơ giảm tốc độ với vận tốc 30km/giờ Vì cịn cách B 48km tơ hết thời gian dự định Tính quãng đường AB

(42)

HƯỚNG DẪN

Câu A Câu A Câu D Câu A Câu A Câu B Câu D Câu B

II PHẦN TỰ LUẬN (6ĐIỂM) Bài 1.a) Tìm x = 2,2

b) Tìm x = 2073

c) Tìm x = x = -2

d) Điều kiện x≠ −1 Tìm x = x =

Bài 2. Gọi độ dài quãng đường AB x (km/h; x > 0) Vậy thời gian dự định để ô tô từ A đến B

50 x

(giờ) Thời gian thực tế ô tô

3 quãng đường đầu

75 x

(giờ) thời gian người nốt qng đường cịn lại (chưa kể qng đường 48km cuối) 14

90 x−

(giờ) Theo đề ta có phương trình 144 75 90 50

x x− x

+ = , tìm x = 360 (TMĐK)

Vậy độ dài quãng đường AB 360 (km)

Bài 3. Biến đổi PT dạng:

( ) ( )

8 2x 5x 25 2x 5x

 − +   − + =

   

Đặt 2

t= x − x ta có PT ⇔(8t+25)(t+3)=9 Tìm t= −2 33

8 t= − Với t= −2 ta x=2

2 x=

Với 33 33 33

2 10

8

t= − ⇒ x − x+ = ⇔ x − x+ =

5

2

2 x

 

⇔ −  + =

  (PT vô nghiệm)

Kết luận

(43)

CHUYÊN ĐỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH

CHỦ ĐỀ LIÊN HỆ GIỮA THỨ TỰ VÀ PHÉP CỘNG

1 Thứ tự tập hợp số

- Mối quan hệ tập hợp *⊂ ⊂ ⊂ ⊂    - Biểu đồ Venn

- So sánh hai số a b tập số thực

Ký hiệu Cách đọc

a = b a b

a > b a lớn b

a < b a nhỏ b

a ≥ b a lớn b a không nhỏ b a ≤ b a nhỏ b a không lớn b Chú ý:

0

A ≥ với A;

0 A

− ≤ với A;

A ≥ với A số thực

A

− ≤ với A số thực

2 Bất đẳng thức

- Hệ thức dạng a>b hay a( <b a; ≥b a; ≤b) gọi bất đẳng thức; a b gọi vế trái vế phải

- Khi cộng số vào hai vế bất đẳng thức, ta bất đẳng thức chiều bất đẳng thức cho, cụ thể sau:

+ Nếu a > b a + c > b + c; + Nếu a < b a + c < b + c; + Nếu a ≥ b a + c ≥ b + c; + Nếu a ≤ b a + c ≤ b + c

Dạng Sắp xếp thứ tự số trục số Biểu diễn mối quan hệ tập số

Phương pháp giải: Dựa vào kiến thức học lớp để làm

1A. Sắp xếp số sau từ bé đến lớn biểu diễn trục số: a) 2; 4; 0, 4; ; ; ;1

2

− − b) − 3; 1;3; 6−

1B. Sắp xếp số sau từ lớn đến bé biểu diễn trục số:

a) − − − −7; 8; 1; 5; 0, 3,8; b) 3; 1; 0; 2; 5;1

5 −

−

2A.Điền kí hiệu thích hợp vào chỗ trống:

(44)

2B.Điền kí hiệu thích hợp vào chỗ trống:

a)   b) I∩ =

Dạng Xét tính sai So sánh

Phương pháp giải: Dựa vào kiến thức bản, tính chất, để đưa đánh giá, so sánh

3A. Hãy xét xem khẳng định sau hay sai? Vì sao? a) ( 5) 3− + > −1 b) ( 4)− − >6; c)

3− > +2 d)

2

7

x − ≥ −

3B. Hãy xét xem khẳng định sau hay sai? Vì sao? a) 3.(2)− >6 b) 1

5 − < − +

c) − + <2 7; d)

1 x

− − ≤

4A. Cho a < b, so sánh:

a) a + b + 1; b) - a - b

4B. Cho a > b, so sánh

a) a + b 2b; b) 1- a - b

5A. Cho m > n, chứng minh:

a) m + 2017 > n + 2016 b) n - < m +

5B. Cho m > n, chứng minh:

a) 2019 - n > 2018-m; b) -1 - m < -n +

6A. Cho x - > Chứng minh x + > 20

6B. Cho x + > 15 Chứng minh x - >

7A. Cho a > b Chứng minh a + + + + + + 10 > b + 54

7B.Cho m ≤ n Chứng minh m + 1+3 + + +23 + 25 ≤ n + 169 III BÀI TẬP VỀ NHÀ

8. Sắp xếp số sau từ bé đến lớn biểu diễn trục số: a) 0; 2;5; ; 10;− − b) ; ; 4;− − −

9.Điền kí hiệu thích hợp vào chỗ trống:

a) I R ; b) I∩Q N

10. Hãy xét xem khẳng định sau hay sai? Vì sao? a) 4.1 3;

2> b)

2

3

7< +7; c) 16− ≥4 0; d)

3 x + <

11. So sánh x y trường hợp sau: a) 2;

3

x− ≤ −y b) − − > − −3 x y

12. So sánh x trường hợp sau:

a) x− ≤ −9 9; b) 2

x x x

− − >

13*. Cho a> b Chứng minh a + + + + + 18 + 20 > b + 108

(45)

A Ô tơ xe số a > 60; B Xe đạp xe số a > 50; C Xe máy xe số a ≤ 50; D Xe máy xe số a > 50

HƯỚNG DẪN 1A. a) Thứ tự xếp: 4; 2; 0, ; ; ; 41

4

− −

Biểu diễn trục số:

b) Thứ tự xếp: − 3; 1; 6;3− Biểu diễn trục số

1B.Tương tự 1A HS tự biểu diễn trục số

a) Thứ tự xếp: 8; 3; 0; -1; -5; -7; -8 b) Thứ tự xếp: 5; 2;1; 0; 1;

2

− −

2A. a)  ⊂ ; b) ∩ =I I

2B. a)  ⊃ b) I∩ = ∅

3A. a) Ta có (-5)+3=-2>-1 Vậy khẳng định sai b) Ta có - (-4)=6 Vậy khẳng định sai

c) 4

2

− < ⇔ − < + Vậy khẳng định sai d)

2

0 7

3

x ≥ ⇔ x − ≥ −

Vậy khẳng định sai

a) Khẳng định sai; b) Khẳng định sai; c) Khẳng định đúng; d) Khẳng định

4A. a) a< ⇔ + < +b a b

b) a< ⇔ − > − ⇔ − > −b a b a b

a) a b+ > + =b b 2b b) 1− < −a b

(46)

5B.Tương tự 5A HS tự chứng minh

6A. x− > ⇔8 (x− + > + ⇔ + >8) 11 11 x 20 (ĐPCM)

6B.Tương tự 6A Gợi ý: Cộng hai vế với -7 7A. Ta thấy + + + + + 10 = 54

Khi đó: a> ⇒ + + + + + +b a 10> + + + + + +b 10 55 54

b b

= + > + (ĐPCM)

7B Tương tự 7A

Gợi ý: Kiểm tra kết tổng + + + + 23 + 25

8. HS tự biểu diễn trục số

a) Thứ tự xếp: 2;0; ; 10;5− − b) Thứ tự xếp: 4;− − 9; ; 5−

9. a) I ⊂ b) (I∩)⊂

a) Khẳng định sai b) Khẳng định c) Khẳng định d) Khẳng định sai

11. a) 2 2 2

3 3 3

x− ≤ − ⇔y x− + ≤y− + ⇔ ≤x y

   

b) − − > − − ⇔ − − > − − ⇔ − > − ⇔ <3 x y 3 x y x y x y

12.Tương tự 11

a) x≤0; b) x<0

13* Tương tự 7A

Gợi ý: Kiểm tra kết tổng + + + +18 + 20

14. Chọn phương án C

(47)

CHỦ ĐỀ LIÊN HỆ GIỮA THỨ TỰ VÀ PHÉP NHÂN

1 Tính chất

- Khi nhân (hay chia) hai vế bất đẳng thức với số dương ta bất đẳng thức chiều với bất đẳng thức cho

- Với ba số a, b, c c > 0, ta có: + Nếu a > b ac > bc;

+ Nếu a < b ac < bc; + Nếu a ≥ b ac ≥ bc; + Nếu a ≤ b ac ≤ bc

2 Tính chất

- Khi nhân (hay chia) hai vế bất đẳng thức với số âm ta bất đẳng thức ngược chiều với bất đẳng thức cho

- Với ba số a, b, c c <0, ta có: + Nếu a > b ac < bc;

+ Nếu a < b ac > bc; + Nếu a ≥ b ac ≤ bc; + Nếu a ≤ b ac ≥ bc

3 Tính chất bắc cầu

Nếu a > b b > c a > c

Tương tự cho bất đẳng thức với dấu <; ≥; ≤

Dạng Xét tính sai khẳng định cho trước 1A. Hãy xét xem khẳng định sau hay sai? Vì sao? a) ( 5).4− < −( 4).4; b) 2.0≤ −3.0;

c) 3.5 3.4;

2 <2 d) 7x

− ≥

1B.Hãy xét xem khẳng định sau hay sai? Vì sao? a) ( 12).( 5)− − > −( 12).2; b)

2 0;

x ≥

c) 3 ;

5

− < d) 13 ( 3).5 13 ( 5).( 3).+ − > + − −

Dạng Dùng tính chất để so sánh chứng minh 2A. Cho a > b, so sánh:

a) − +3a − +3b b) 3− a 3− b

2B. Cho a > b, so sánh:

a) 3a+5 3b+5 b) 2a−3 2b−4

3A. a) Cho m > m < Chứng minh m < m b) Cho a > b > Chứng minh a2− b2 >

3B. a) Cho m > 2, chứng minh m2−2m>0 Cho a < 0; b < a > b Chứng minh 1

a<b

Suy kết tương tự a≥ >b

(48)

4. Các khẳng định sau hay sai ? Vì sao?

a) ( 9).3− > −( 5).( 9);− b) ( 7)− 2+ ≤11 7.9 11+

5. Cho a > b Chứng minh:

a) 2− − < −a ;b b) 3(a− >3) 3(b−3)

6. Số a âm hay dương nếu:

a) 8− a>4 ;a b) 5a≤30 ;a c) 6a≥12 ;a d) −5a>15a

7. So sánh x y nếu: a) 2

3

x− ≤ −y b) 3− − > − −x y

8. So sánh x y nếu:

a) −13x+14≤ −13y+14; b) 9x−10≤9y−10

9. Cho x > Chứng minh x x

+ ≥ Từ tìm giá trị nhỏ x x

+

10. Cho x≥2 Chứng minh x

x

+ ≥ Từ tìm giá trị nhỏ x x

+

11. Chứng minh 2

1

3

x x

− +

≤ ≤

+ + với giá trị x

HƯỚNG DẪN 1A a) Tính -20 < -16 Vậy khẳng định

b) Tính ≤ Vậy khẳng định c) Chia hai vế cho

2, ta < Vậy khẳng định sai d) Vì x2 ≥ ∀ ∈0 x  nên khẳng định x=0

a) Khẳng định b) Khẳng định c) Khẳng định d) Khẳng định sai

2A. Sử dụng mối liên hệ thứ tự phép nhân, phép cộng, thu a) -3a + < -3b + 4; b) - 3a < - 3b

a) 3a + > 3b + 5; b) 2a - > 2b -

3A. a) Ta có M < Mà m > nên m.m < m.1 hay m2 < m

b) Từ a > b > 0, ta suy a2 > ab > b2 Sử dụng tính chất bắc cầu liên hệ thứ tự với phép cộng ta có a2 - b2 >

3B.a) Tương tự 3A ý a) với ý m > m >

b) Chú ý a < b < ab > Khi a > b, nhân hai vế với

ab> ta thu 1

b> a Tương tự a > 0, b > 0, a > b ta 1

a <b

4.Tương tự 1A

a) Khẳng định sai b) Khẳng định

5.Tương tự 2A HS tự chứng minh

6. a) Do -8 < nên a < b) ≤ 30 nên a ≥ c) Do < 12 nên a ≤ d) Do -5 < 15 nên a <

7. HS tự làm

a) x≤y; b) x<y

8. HS tự làm

(49)

9. Ta có (x−1)2 ≥0 với x Suy x2+ ≥1 x Vì x > nên

2

1

x x

+

≥ , tương đương 2 x+ ≥ Từ suy giá trị nhỏ x

x

+ x =

10. Từ x≥2 ta có x− ≥2 2x− >1 Suy ( )( )

2 2

x− x− ≥ hay x + ≥ x Lập luận tương tự 9., ta có ĐPCM Từ suy giá trị nhỏ x

x

+

2 x =

11 Chú ý

2

2 3

1

2 4 x + + =x x+  + ≥ >

  với x

Khi đó, tương tự 9, ta biến đối ( )2 x

− − ≤ để nhận 22

1

3

x x

− + ≤

+ + biến đổi

( )2

2 x

− + ≤ để 22

3

x x

− + ≤

+ +

(50)

CHỦ ĐỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN

1 Bất phương trình ẩn

Bất phương trình ẩn x bất phương trình có dạng:

( ) ( )

A x < B x A x( ) > B x( ) A x( )≤B x( ) A x( )≥B x( ) Trong A(x) vế trái B(x) vế phải

Ví dụ: 2x2−5x+ ≥3 bất phương trình ẩn x

4

2t− < +t bất phương trình bậc ẩn t

2 Nghiệm bất phương trình ẩn

Giá trị x0được gọi nghiệm bất phương trình A(x) < B(x) bất đẳng thức A(x0) < B(x0)

Tương tự dạng bất phương trình cịn lại

3 Giải bất phương trình ẩn

Giải bất phương trình là tìm tập nghiệm bất phương trình

4 Hai bất phương trình tương đương

Hai bất phương trình gọi tương đương chúng có tập nghiệm Chú ý: hai bất phương trình vơ nghiệm tương đương

Dạng Xét xem số có nghiệm bất phương trình hay khơng?

Phương pháp giải: Để xem x0 có nghiệm bất phương trình A(x) < B(x) hay không, ta thay

x0 vào bất phương trình để kiểm tra:

- Nếu bất đẳng thức thu ln đúng, ta nói x0 nghiệm bất phương trình cho

- Nếu bất đẳng thức thu khơng đúng, ta nói x0 khơng nghiệm bất phương trình cho

1A Hãy xét xem số x = có nghiệm bất phương trình sau hay khơng? a) 2

3 x

x

+ ≤ − b) 3

3

x − + >x x +

1B. Trong giá trị y = y = -2, đâu nghiệm bất phương trình

3

3 ?

(y−1)+ − ≥y + y + y

2A. Cho bất phương trình 6 x

x+ + > −m Tìm m để bất phương trình có nghiệm x =

2B.Tìm a để bất phương trình

2

6 t + + <a 2(t+1)− t + nhận t= −4là nghiệm

Dạng Viết kí hiệu tập hợp biểu diễn tập nghiệm bất phương trình trục số

Phương pháp giải; Thực theo bước sau:

Bước Vẽ trục số điền giá trị 0, giá trị nghiệm bất phương tình trục số Bước Gạch bỏ phần không thuộc tập nghiệm, rõ cho học sinh cách dùng dấu ); (; [;]

3A. Viết kí hiệu tập hợp biểu diễn tập nghiệm bất phương trình sau trục số:

a) x>4; b) x< −5; c) x≥7; d)

4

x≤

3B. Viết kí hiệu tập hợp biểu diễn tập nghiệm bất phương trình sau trục số a) x≤ −3; b) 7;

5

x< c) x≥ −9; d) x>5

(51)

a)

b)

4B. Hình vẽ biểu diễn tập nghiệm bất phương trình nào? a)

b)

Dạng Xét tương đương hai bất phương trình

Phương pháp giải: Thực theo bước sau:

Bước 1: Sử dụng vài biến đổi (liên hệ thứ tự phép cộng, phép nhân) để tìm tập nghiệm S1, S2 hai bất phương trình cho

Bước Nếu S1 =S2, ta kết luận hai bất phương trình tương đương; S1 ≠S2, ta kết luận hai bất phương trình khơng tương đương

5A. Các cặp bất phương trình sau có tương đương khơng? Vì sao? a) x≤3 2x≤6; b)

3

x + > 3x+ < −1

5B. Các cặp bất phương trình sau có tương đương khơng? Vì sao> a) 2+ >x − < −x 2; b) (x2+1)x≥0 2x4 ≥0

6A. Cho hai bất phương trình

5 12

x+ ≥ m + m + x≥7 Tìm m để hai bất phương trình tương đương

6B. Tìm giá trị m để hai bất phương trình x< −2

4

m m

x< + − tương đương

7. Hãy xét xem số x = có nghiệm bất phương trình sau hay khơng? a) (x−3) (2 < x−2)(x+1) b)

2

3 32

3

x

x x x

− + ≥ − +

8 Trong giá trị y = y = -3, đâu nghiệm bất phương trình

( )

2

3 ?

3 y

y  +  y y

− +  < − +

 

9.Tìm a để bất phương trình

t

t + + + < −a t nhận

2

t= nghiệm

10. Viết kí hiệu tập hợp biểu diễn tập nghiệm bất phương trình sau trục số: a) 3;

4

x≥ − b) x< −11; c) x≤0; d) x>

(52)

a) x≥0 x− ≥ −3 3; b) x<0 − ≤x2

12. Cho bất phương trình: 3

7

m m m

x− ≤ + + + + + x≤0 Tìm m để hai bất phương trình tương đương

HƯỚNG DẪN 1A.a) Thay x = vào BPT, ta

3≤ − (vô lý) Vậy x = nghiệm BPT

b) Thay x=1 vào BPT, ta được:

> (luôn đúng) Vậy x = nghiệm BPT

Ta có y = khơng phải nghiệm, y = -2 nghiệm BPT

2A.Thay x = vào BPT, ta được: 3 m

+ + > −

Từ tìm 11 m> −

2B.Tương tự 2A Tìm 65

2 a<−

3A. a) Kí hiệu tập hợp {x∈ x>4} Biểu diễn trục số:

b) Kí hiệu tập hợp {x∈ x> −5}

c) Kí hiệu tập hợp: {x∈ x≥7} Biểu diễn trục số

d) Kí hiệu tập hợp:

x x

 ∈ ≤ 

 

  

Biểu diễn trục số

3B.Tương tự 3A HS tự biểu diễn tập nghiệm trục số 4A a) x < -10 b) x ≥

4B.a) x ≤ -5 b) x >

5A. a) Tập nghiệm BPT x≤3 S1={x x ≤3} Tập nghiệm BPT 2x≤6là S2 ={x x ≤3} Vì S1 = S2nên hai BPT tương đương

b) Tập nghiệm BPT x2 + > S1= Tập nghiệm BPT 3x+ < −1 S2 = ∅ Vì S1 ≠S2 nên hai BPT khơng tương đương

(53)

6A. Ta biến đổi BPT x+ ≥5 m2+2m +12 thành x≥ m2+2m +7 Hai BPT tương đương

2 7 m m

⇔ + + =

Giải ta m = m = -2

6B.Tương tự 6A Tìm m = m = -5 7.Tương tự 1A

a) Có b) Khơng

8.Tương tự 1A Cả hai giá trị nghiệm BPT 9.Tương tự 2A Đáp án: a >

10.Tương tự 3A HS tự biểu diễn tập nghiệm trục số

a)

x x −

 ≥ 

 

  b) {x x<11} c) {x x≤0} d) a) {x x> 5}

12.Tương tự 6A Tìm m = -9

(54)

CHỦ ĐỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN

Bất phương trình bậc ẩn bất phương trình có dạng ax b+ <0 (hoặc

0; 0;

ax b+ > ax b+ ≤ ax b+ ≥ ) a, b hai số cho a≠0 * Các quy tắc

- Quy tắc chuyển vế; Khi chuyển hạng tử từ vế bất phương trình sang vế cịn lại, ta phải đổi dấu hạng tử

Ví dụ A a( )+B x( )<C x( )⇔ A x( )<C x( )−B x( )

- Quy tắc nhân (hoặc chia) với số khác 0: Khi nhân (hoặc chia) hai vế bất phương trình với số khác ta phải giữ nguyên chiều bất phương trình (nếu số dương) đổi chiều bất phương trình (nếu số âm) ta bất phương trình tương đương với bất phương trình cho

Ví dụ:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

A x +B x <C x ⇔mA x +mB x <mC x với m>0 ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) A x B x C x A x B x C x

m m m

+ < ⇔ + < với m>0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

A x +B x <C x ⇔mA x +mB x >mC x với m<0 ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) A x B x C x

A x B x C x

m m m

+ < ⇔ + > với m<0

* Cách giải bất phương trình bậc ẩn ax b+ <0(a>0) Ta có:

0

ax b+ < ⇔ax< −b (sử dụng quy tắc chuyển vế)

b x

a

⇔ < − (sử dụng quy tắc chia cho số dương)

* Tương tự cho trường hợp lại (chú ý tuân thủ hai quy tắc trên)

Dạng Nhận dạng bất phương trình bậc ẩn

Phương pháp giải: Dựa vào định nghĩa bất phương trình bậc ẩn

1A. Hãy xét xem bất phương trình sau có bất phương trình bậc ẩn hay khơng? a) 0x+ ≥3 0; b) x− <1 0; c) 0;

3x≤ d) 2

1

x

+ >

1B. Trong bất phương trình sau đâu bất phương trình bậc ẩn? Vì sao?

a) −2 x + >3 0; b) 0;

3 x

− = c) 0;

x+ ≤ d)

3

x

− −

≥

2A.Tìm m để bất phương trình sau bất phương trình bậc ẩn x:

a) (2m2−4)x m− ≥0 b) (3m−1)x3− + <x 0; c) 2 0;

3 x

m

m + m− − ≤ d)

(2 9) 5 10 m x

m

+ +

+

2B.Tìm a để bất phương trình sau bất phương trình bậc ẩn x:

a) a−5 x<6; b) (2a2−1)x+ ≥7 0; c) 0;

3

a a

x

− + − <

d)

ax a −

≤

−

3A. Chứng minh bất phương trình sau bất phương trình bậc ẩn với giá trị tham số m:

(55)

3B. Chứng minh bất phương trình sau bất phương trình bậc ẩn với giá trị tham số m:

a)

2 0;

5

m m

x

+ − >

b) ( 4m− +5 1)x<2

Dạng Giải bất phương trình dạng

Phương pháp giải: Sử dụng đẳng thức, quy tắc chuyển vế nhận (chia) với số khác để giải bất phương trình cho

4A. Giải bất phương trình sau:

a) 2x− >8 0; b) 3− x≤0; c) 1; 3x

− < d)

2

x x

x

+ − ≥ + +

4B. Giải bất phương trình sau:

a) 3x+15<0; b) − − >3x 2; c) 11 1; 5 x− ≤ −

d) 12

x x

− < −

5A. Giải bất phương trình sau biểu diễn tập nghiệm trục số: a) (2x+3)(2x− <1) (2x−5)2 b) (x−1)(x+ <2) (x−1)2+3

5B. Giải bất phương trình sau biểu diễn tập nghiệm trục số:

a) (x+1)2+2x2 <(2x+3)2− −(x 3) ;2 b) (x x− + −7) (3 x)2 >3(x+1)2

6A. Giải bất phương trình sau viết tập nghiệm kí hiệu tập hợp: a) 7( 2) 2( 1);

6

x− x+

− > b) 2

2

x

x− + > x−

6B. Giải bất phương trình sau viết tập nghiệm kí hiệu tập hợp: a) 1;

7 21 x+ x+

− > b) 3( 2)

3

x x

x

− −

+ > − +

Dạng Các toán số

Phương pháp giải:

Bước 1. Sử dụng quy tắc (hoặc thiết lập bất phương trình dựa giả thiết tốn) để giải cacsbaats phương trình cho

Bước 2. Dựa vào nghiệm giải đánh giá đưa kết luận theo yêu cầu tốn

7A. Tìm số tự nhiên n thỏa mãn đồng thời hai bất phương trình: 3(n+ +2) 4n− <3 24 (n−3)2−43≤ −(n 4)(n+4)

7B. Tìm số tự nhiên n thỏa mãn

a) 5(2 )− n ≥ − −3n 42; b) (n+1)2 ≤ + +3 (n 2)(n−2)

8A. Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết chữ số hàng chục lớn chữ số hàng đơn vị số lớn 13 nhỏ 29

8B. Một số tự nhiên có ba chữ số biết chữ số hàng trăm lớn chữ số hàng đơn vị 1, chữ số hàng chục chữ số hàng đơn vị Tìm số đó, biết số lớn 210 nhỏ 303

Dạng Bất phương trình dạng đặc biệt

x a x c x e x g

b d f h

+ + + +

+ < +

Phương pháp giải:

(56)

- Sau quy đồng phân thức, chuyển vế nhóm nhân tử chung đưa dạng

( ) 1 1

0 x k

b d f h

 

−  + − − <

 

Chú ý 1: Cần xét xem 1 1 b d f h

 

+ − −

 

  số âm hay dương để đưa đánh giá dấu (x−k)

Chú ý 2: Có thể mở rộng số phân thức nhiều tùy toán ta cộng trừ số thích hợp

a)

6

x+ + x+ > x+ +x+

b) 2

1007 1008 2017 2015

x− + x− < x− + x−

9B. Giải bất phương trình sau: a) 3 3

2

x+ x+ x+ x+

+ > + b) 10 12

100 101 204 206

x x x x

− − − −

+ > +

10. Trong bất phương trình sau đâu bất phương trình bậc nhất? Chỉ rõ a b a) 0;

x− > b) ( )( )

2 2x−3 x+ −3 2x ≥0;

c) 3x− <8 0; d) 10

5 x+

=

11.Tìm m để bất phương trình sau bất phương trình bậc nhất:

a) ( ) ( )

1 0;

m− x − m− x> b) ( )

4 0; m − x− ≤ c) ( 2)

2 3+ m x−m + ≥9 0; d) (32 2)

m x

m m

+ −

12. Giải bất phương trình sau: a) (4 3) (2 )( 4) 0;

2 x

x− + −x x+ ≤ b) x(1 2− x) (+ x+1) (2+ x−2)2<0; c) x2(2x− +1) (x+2)2−2x3− + >x

13. Giải phương trình sau:

a) 1;

32 16

x− −x x+

− > + b) ( )

2

3

2

x

x x

+ − +

− − − ≤

14. bạn An taxi Uber đến trường, biết taxi Uber bạn rẻ gấp đôi km so với xe taxi truyền thống chịu giá mở cửa xe 5000 đồng (giá mở cửa xe bạn đặt xe dù hay không tài khoản tự động trừ tiền) Biết số tiền bạn An phải trả số trịn chục nghìn, bạn A phải trả lớn 25000 đồng nhỏ 35000 đồng Tính số tiền bạn An xe taxi truyền thống đến trường

15. Giải bất phương trình sau: a) 92 88 84 80 16;

2

x− x− x− x−

+ + + ≥ b) 50 49 48 47

5

x+ x+ x+ x+

+ − − >

(Gợi ý: a) tách tử theo x - 100;

b) tách tử theo x + 45)

HƯỚNG DẪN 1A.a) Khơng, hệ số ẩn x

b) Có c) Có

(57)

1B. a) Khơng, ẩn x nằm dấu giá trị tuyệt đối b) Khơng, dấu "=" thể phương trình c) Khơng, ẩn x nằm mẫu số

d) Có

2A. Dựa vào định nghĩa BPT bậc ẩn, ta có: a) 2m2− ≠ ⇔ ≠ ±4 m

b) 1

m− = ⇔ =m

c) m2+3m− ≠ ⇔ ≠4 m m≠ −4 d) 9

5 10

m

m m

+ ≠ 

⇔ ≠ −

 + ≠

 m≠ −2

a) a≠5 b)

a≠ ± c) a≠9 d) a≠0 a≠3

3A. a) m2+ > ∀ ∈3 m  b) ( )

2

2 15

4

2

m m m   m

− + + = − +  + < ∀ ∈

 

 

  

4A. a) 2x− > ⇔8 2x> ⇔ >8 x b) 3− x≤ ⇔ − ≤ − ⇔ ≥0 3x x c) 1 12

3x 3x x

− < ⇔ − < − ⇔ >

d) 5

2 6

x x x

x x

+ + −

− ≥ + ⇔ ≥ ⇔ ≥ −

a) x< −5 b) x< −2 c) x≤4 d) với ∀ ∈x R

5A. (2 2)( 1) (2 5)2 20 25

6

x+ x− < x− ⇔ x− < − x+ ⇔ <x

Học sinh tự biểu diễn tập nghiệm

b) (x−1)(x+2) (< x−1)2+ ⇔ − < − + ⇔ <3 x 2x x Học sinh tự biểu diễn tập nghiệm

5B.Tương tự 5A Học sinh tự biểu diễn tập nghiệm trục số

a) 16

x> b) 13 x<

6A.Tương tự 4A

a) x>10;{x x >10} b) ;

12 12

x< x x< 

 

a)

x< − b) x>8

7A Giải 3(n+2)+4n− <3 24m, ta n<3 Giải (n−3)2−43≤(n−4)(n+4), ta n≥ −3 Từ tìm n∈{0;1; 2}

7B. 13 {0;1; 2;3; 4}

(58)

8A. Gọi số cần tìm là: ab=10a b a b+ ,( , ∈,a≠0) Từ giả thiết, ta có: ab−10a b+ =10a+ − =a 11a−2 Giải 11a− >2 13 11a− <2 29 ta được: 15 31

11< <a 11 Suy a=2,b=0 Vậy ab=20

8B.Tương tự 8A Số cần tìm 211

9A. a) Cộng thêm phân thức, ta có: 8 8

6

x+ +x+ > x+ + x+ Từ tìm x< −8

b) BPT tương đương: 2 2 2014 2016 2017 2015

x− + x− < x− + x−

Cộng thêm - phân thức, ta được: (2 2018) 1 1 2014 2016 2017 2015

x−  + − − <

 

Từ tìm x < 1009

a) x < b) x < -97

10. a) Không phải

b) BPT bậc ẩn với a = b = -9 c) Không phải

d) Không phải

11 Tương tự 2A

a) m=1 b) m≠ ±2 c) ∀ ∈m  d) 2,

m≠ − m≠ m≠ −4

a) 48

x≥ b) x>5 c) x> −

a) 166

x<− b) x≤

14. Gọi số tiền An phải trả xe truyền thống x (đồng) Theo giả thiết, số tiền An trả Uber là: 500

2 x+

(đồng) Mà 25000 5000 35000

2 x

< + < số tiền trịn chụ, suy 5000 30000

2 x

+ = Từ tìm x = 50000 (đồng)

15. a) x≥100 b) x< −45

(59)

(60)

CHỦ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

1 Giá trị tuyệt đối số

Giá trị tuyệt đối số a, ký hiệu a , định nghĩa khoảng cách từ số a đến số trục

số

Như vậy: a =a a≥0 a = −a a<0 Ta viết:

0 a khi a a

a a

≥ 

= − ≤



2 Tính chất

Ta ln có: a ≥0; − =a a; a2 =a2

3 Cách giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

a) Giải phươmg trình dạng a = b Cách giải: Ta có a b a b

a b

= 

= ⇔ 

= −



b) Giải phương trình dạng a =b

Cách giải: Ta làm theo hai cách sau: Cách 1: Xét trường hợp

Trường hợp Với a≥0 phương trình có dạng a=b; Trường hợp Với a<0 phương trình có dạng − =a b Cách 2: Ta có

0 b

a b a b

a b

≥  

= ⇔ =

  = − 

Dạng Rút gọn biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối

Bước 1. Dựa vào định nghĩa tính chất để phá dấu giá trị tuyệt đối Bước 2. Sử dụng biến đổi đại số để thu gọn biểu thức

1A. Rút gọn biểu thức sau: a) A= − + +3 5x x≤0; b) B= −3x2−8x2+ −x khi x≥2; c) C= − +x 2x−3

1B. Rút gọn biểu thức sau: a)

( )

3

2 0;

1

x x

D khi x

x x

+

= <

+

b) E= 2x2+ − −1 3x +5khi x≥0; c) F =x2−3x+ 3x+ −1

2A. Thu gọn biểu thức a)

2

4 1

;

4

x x x

M khi x

x

+ − − + −

= ≥

(61)

b) 12 2

N = − x + x + + x + x khi− ≤ ≤x

2B. Thu gọn biểu thức a)

3

4 1

1;

x x x

P khi x

x x

+ − − − −

= >

+ +

b) ( 3)( 4) 13 13

Q= x+ x− + − x− khi ≤ <x

Dạng Giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

Bước 1. Sử dụng công thức linh hoạt theo cách viết để chuyển giải phương trình bậc

Bước 2.Đổi chiếu điều kiện để đưa kết luận tập nghiệm

3A. Giải phương trình sau:

a) 5x − =3 4; b) 2− − x =2

c) 3x− + = −1 3x−1 ; d) 1

2

x+

− =

3B. Giải phương trình sau: a) 1;

3

x+ − = b) 10 5%

4

x− + =

c) 3− 4x− = − +3 4x−3 d) 11 11

2 3

x

x −

− = −

a) 5− x = −5 ;x b) 3x+ −2 7x+ =1 0;

c) x2−2x− + + =3 x 0; d)

4 x− = x+

4B. Giải phương trình sau:

a) 2x+ = −4 ;x b) 15x− −7 5x+ =3 0; c) x2− +9 x+ =3 0; d) 31

3

x

x− = −

a) 5x = +x b) 7x− −3 2x+ =6 0; c)

3 0;

x − − + =x x d) 2x− −3 21=x

a) 9− =x ;x b) x−15 + =1 ;x

c) 4x2− +1 2x x− =1 0; d) 4− x = −4 x

Dạng 3* Giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối nâng cao 6A. Giải phương trình sau:

a) 3− + =x 4; b) 2x− − =1

(62)

III BÀI TẬP VỀ NHÀ 7. Rút gọn biểu thức sau:

a) A= − + −x x x≥9

b) B= −3x2−8x2+ −x x≥0;

c) 1

2

C=x+ x − +x x+ 

   x>1

8. Giải phương trình sau:

a) −3x =4; b)

3+ x + =1 5; c)

4

x− − = − −x d)

5 x

− +

=

9. Giải phương trình sau:

a) 2x− =1 2x−5 ; b) 7− − −x 3x =0;

c) x− +4 x2−5x+ =4 0; d) 2 x x x x − − − = +

10. Giải phương trình sau:

a) x− = − +6 5x 9; b) x+ =1 x2+x; c)

2 ;

x − x + = x d)

2 x x x x − − = − −

11. Giải phương trình sau: a) ;

4

x x + = x b) (x+3 2) x− =5 2x−5

12. Giải phương trình sau cách đặt ẩn phụ

a) x2−5x+ = −5 2x2+10x−11 b) x2+3x =(x+5 2)( −x)+6

HƯỚNG DẪN 1A. a) Vì x≤0 nên 5x = −5x Từ tìm A = - 5x

b) Vì x≥2nên x− = −2 x MẶt khác, ta ln có −3x2 =9x2 nên tìm B=x2+ −x c) Với x≥7, ta có C = 3x - 10 Với x < 7, ta có C = x +

a) 2 1 x D x − =

+ b)

2

2 E= x − x+ c) Nếu

3

x≥ − , F =x2−1 Nếu

x< − , F =x2−6x−3

2A. a) Vì

x≥ > nên 4x− =1 4x−1 2x+ =8 2x+8 Từ tìm

2 x x M x + − = +

b) Vì x

− ≤ ≤ nên 2+ x = +1 2x 4x = −4x Từ tìm N = −8x3+12x2−2x+1

a) 2 x P x x =

+ + b)

2

(63)

3A. a) Biến đổi

x = Từ tìm 10 x∈ ± 

 

b) Biến đổi 2− x = −1 Từ x∈∅

c) Biến đổi 3x− =1 Từ tìm 0;2 x∈  

 

d) Biến đổi

x+ = Từ tìm 4; 20 9 x∈ − − 

 

a) 17; 19 3 x∈  − 

  b) x∈∅ c)

7 ; 4 x∈  − 

  d) x∈{13;9}

4A.a) Trường hợp Xét - 5x = - 6x Tìm x =

Trường hợp Xét - 5x = 6x - Tìm x = 11 Vậy 1;

11 x∈  

 

b) Đưa PT dạng 3x+ =2 7x+1 Giải 1; 10 x∈ − 

 

c) Nhận xét: Vid

2

x − x− ≥ x+ ≥1 nên PT tương đương với

2 x x x  − − =   + =

 Giải hai

BPT ta x= −1

d) Tương tự ý a), tìm 1; 11 13 x∈ − 

 

a)

x= − b) 1;1 x∈   

  c) x= −3 d) x=5

5A.a) Cách Xét hai trường hợp

Trường hợp Với x≥0, ta có 5x= +x Tìm

2

x= (TMĐK x≥0)

Trường hợp Với x < 0, ta có -5x = x + Tìm

3

x= − (TMĐK x<0) Vậy

2

x= x= − Cách Ta có

( ) 5 x x x x x + ≥  = + ⇔  = ± + 

Giải ta tìm

x= x= − b) Tương tự ý a), tìm x∈∅

c) Tương tự ý a), tìm x∈ − −{ 1; 3} d) Tương tự ý a), tìm đơcj x = 24

(64)

6A.a) Xét hai trường hợp

Trường hợp Xét x− + =x Tìm x∈∅ Trường hợp Xét 3− + = −x Tìm x∈{6; 8− } b) Tương tự ý a), tìm 9;

2 x∈  − 

 

a) x∈ −{ 4; 0} b) x= ±2

7. a) A= −2 b) B=x2+ −x c)

8 C=x +

8. a)

3

x= ± b) x= ±1 c) 23 25; 4 x∈ − 

  d)

5 ; 8 x∈ − 

 

9. a)

x= b) 9; x∈ − 

  c) x=4 d) x=1

10. a)

x= b) x= ±1 c) x=2 d) x=2

11. a) 0; x∈  

  b)

5 x=

12.a) Đặt t=x2−5x+5, ta có t = − −2t

Giải PT ẩn t tìm t = -1 Từ tìm x∈{ }2;3 b) PT ⇔3 x2+3x = −(x2+3x)+16

Đặt

3 16

t=x + ⇒ t = − +t với t≤16 Giải PT ẩn phụ ta t = t = -8 Với t= ⇒4 x2+3x− = ⇔ =4 x 1;x=4

2

8

t= ⇒x + x+ = (vô nghiệm)

(65)

(66)

ÔN TẬP CHỦ ĐỀ

Xem phần Tóm tắt lý thuyết từ Bài đến

II BÀI TẬP

1A. Cho a≤b Chứng minh: a) 3;

5a 5b

− − ≥ − − b) 5(− − ≥ − −a 1) (5 b 1)

1B. So sánh x y nếu: a) 3;

4

x+ y+

> b) − +x 2018< − +y 2018

2A. Cho bất phương trình 2m 2x+10−mx<4 Tìm m để bất phương trình có nghiệm x= −3

2B. Tìm a để

t= nghiệm bất phương trình:

2

5

2

t t

a

t

+

+ ≥ −

−

3A. Giải bất phương trình sau biểu diễn tập nghiệm trục số: a) 3x− > +3 x 9; b) (x−4)(x− ≥ −1) x(1−x)

3B. Giải bất phương trình sau biểu diễn tập nghiệm trục số: a) 1;

3x− > +x b) ( ) ( )

2 4x 3x+2 − ≤7 2x−1

4A. Giải bất phương trình sau: a) 1 1;

3 21

x x

+ −

+ ≤ b) ( )( ) ( )

2 1 2 5 1

2

1

3

x x x

x − x+ − + ≤ + +

4B. Giải phương trình: a) 1;

4

x x+ x+

− ≥ − b) ( )( )

2

2 5

5

4 12

x+ x− −x + > −x −

2 2

2013 1007 2015 1008

x− x− x− x−

+ ≤ +

5B. Giải bất phương trình sau:

1 12 14

12 25 27

x− + x− > x+ + x+

6A. Trong hội khỏe Phù Đổng thành phố Hà Nội, bắn ná vịng chung kết diễn ba vận động viên A, B C Mỗi vận động viên bắn lần Vận động viên A bắn lượt với trung bình điểm lần bắn điểm, vận động viên B trung bình điểm lần bắn 9,1 điểm Vận động viên C bắn lượt đầu 8,5 9,5 điểm Hỏi lần bắn thứ ba điểm để đạt huy chương vàng?

6B. Tìm phân số tối giản có mẫu số 3, tử số bội Biết thêm vào tử phân số khơng lớn không nhỏ

7A. Giải phương trình

a) 3x− =5 7x+3 ; b) 7x+ − =9 x

7B. Giải phương trình

a) 64x+ = +1 x 65 ; b) 2− x =1

(67)

a) −5(n− + > −7) 5(m− +7) 3; b)

3

m+ >n+

9. Cho bất phương trình ( x−1)3+mx≤ −m Tìm x để bất phương trình có nghiệm x=10

10. Giải bất phương trình sau biểu diễn tập nghiệm trục số: a) 4x− < − +3 ;x b) (x+2)2−2(x+3)(x−4)>x(3−x)

11 Giải bất phương trình: a) 5;

4

x+ + − x ≥

b) ( ) ( ) ( )

2 2

3 13

6 15 10

x− − x− > x+ − x−

12. Giải bất phương trình sau: 15 17 19 2002 2004 2006

x x x

− − −

+ + >

13. Giải bất phương trình sau:

a) 2x− = +5 x ; b) 3x− − =1 2x

14.Gia đình bạn Việt hưởng ứng phong trào toàn dân tiết kiệm điện nên đặt mục tiêu hàng

tháng tiền điện nộp không 265000 đồng Biết 50kWh giá tiền toán kWh 1484 đồng, từ 50kWh kWh giá tiền 1533 đồng, từ 100 kWh giá kWh 1786 đồng tiền thuế GTGT (giá trị gia tăng) 10% Hỏi nhà bạn Việt hàng tháng nên tiêu thụ nhiều điện năng?

HƯỚNG DẪN

1A. a) 2 3

5 5

a≤ ⇒ −b a≥ − b⇒ − a− ≥ − b−

b) a≤ ⇒ − ≥ − ⇒ − − ≥ − − ⇒ − − ≥ − −b a b a b 5( a 1) (5 b 1)

1B. HS tự làm

a) x > y b) x > y

2A. Thay x = -3 vào bất phương trình ta được:

( ) ( )

2 10

7

m − + −m − < ⇔ m< ⇔ <m

2B.Tương tự 2A Đáp số: 103

20 a≥

3A HS tự biểu diễn tập nghiệm trục số a) 3x− > + ⇔3 x 2x>12⇔ >x

b) (x−4)(x− ≥ −1) x(1−x)⇔ x2−5x+ ≥4 x2− +x Suy 1

4 x hay x

− ≥ ≤ −

3B.Tương tự 3A HS tự biểu diễn tập nghiệm trục số

a) x< −28; b) x≤

4A.a) Quy đồng mẫu, ta có:

( )

1

7 11

3 21 x x

x x x

+ −

+ ≤ ⇔ + + ≤ − ⇔ ≤ −

b) Tương tự ý a) ta có:

( 2 ) ( )( ) ( )2 17

2

11

x − x + x− x+ ≤ x+ + ⇔ ≥ −x

a) 20 11

(68)

5A. Nhân phân số thứ thứ với môi phân số trừ 1, ta được; 2018 2018 2018 2018

2013 2014 2015 2016 x− + x− ≤ x− + x−

BPT tương đương 2x−2018≤0 Vậy x≤1009

5B.Tương tự 5A Đáp số: x>13

6A. Gọi số điểm vận động viên C đạt lần bắn thứ ba x Điều kiện: x>0 Theo đề ta có 8, 9, 9,1

3 x+ +

≥ Suy x≥9,

Vậy lần bắn thứ ba vận động viên C phải đạt 9,3 điểm

6B.Tương tự 6A Đáp số: 10

3

7A. a)

( )

2

3 1 ;

3

5 x x x

x x

x x x

= − 

− = +

 

− = + ⇔ ⇔



− = − + =

 

b) Phương trình vơ nghiệm

7B. a) 64; 66 63 65

x∈ − 

  b) x∈ ± ±{ 1; 3}

8. HS tự chứng minh

9.Đáp số: m≤ −4

10. a) x>5 b) 28

3 x>−

11. a)

2

x≤− b) x>4

12. Gợi ý: Trừ hai vế cho 3, sau biến đổi để tử số 1987 - x Đáp số: x < -1987

13. 2;8

3 x∈  

  b)

3 ;3 x∈  

 

14.Đáp số: 150kWh

(69)

ĐỀ KIỂM TRA CHUYÊN ĐỀ

Thời gian làm cho đề 45 phút

ĐỀ SỐ

Câu 1. Cho bất phương trình sau, đâu bất phương trình bậc ẩn? A 3x− <4 0; B 0x− ≤9 0; C.3x2+ >x 0; D.3 5− x=0

Câu 2. Giá trị x = nghiệm bất phương trình sau đây? A 5− >x 6x−12; B 2x+ <3 9;

C 4− x≥ +x 5; D.7− <x x

Câu 3. Nghiệm bất phương trình 3( x+5)≥0 là: A 3;

5

x> B

3

x≤ − C 5;

3

x≥ − D

3 x> −

Câu 4. Cho a > b Bất đẳng thức tương đương với bất đẳng thức cho? A a− > −3 b 3; B − + > − +3a 3b 4;

C 2a+ <3 2b+3; D − − < − −5b 5a

Câu 5. Hình vẽ biểu diễn tập nghiệm bất phương trình nào?

6

A x− ≥1 5; B x+ ≤1 7; C x+ <3 9; D x+ >1

Câu 6. Với giá trị m bất phương trình m(3x+ <1) bất phương trình bậc ẩn?

A m≠1 B

m≠ − C.m≠0; D.m≠8

Câu 7. Trong bất phương trình sau, bất phương trình tương đương với bất phương trình 2x+ >8 ?

A x≤4; B.x− >4 0; C.x< −4; D.x> −4

Câu 8. Cho x≤ y Khẳng định sau sai?

A 2+ x≤ +1 ;y B.− − ≤ − −x y 3;

C − ≥ −3x ;y D x> −4

PHẦN II TỰ LUẬN (6ĐIỂM)

Bài 1(1,0điểm) Giải bất phương trình sau biểu diễn tập nghiệm trục số:

a) 3x+ > +7 x b) x− ≤ − +4 3x

Bài 2.(3,0điểm) Giải bất phương trình sau:

a) 2x− > −7 11 ;x b) (x−2)2−x2−8x+ ≥3 0; c) ;

3

x− + x

− > d) ( ) ( )

5

x − + +x x+ < − x

Bài 3.(1,5điểm) Giải phương trình sau:

a) x− =9 3x+7; b) x2+2x− =1

(70)

HƯỚNG DẪN

Câu A Câu C Câu D Câu C Câu C Câu D Câu A Câu B

Bài 1. HS tự biểu diễn tập nghiệm trục số a) 3x+ > + ⇔7 x 2x> − ⇔ > −2 x

b) 10

x− ≤ − + ⇔x x≤ ⇔ ≤x

Bài 2. a) Biến đổi BPT 6x > 18 Suy x > b) Biến đổi BPT -12x + ≥0 Suy x ≤

12 c) Biến đổi BPT 22 - 9x > + 3x Suy x <

4

− d) Biến đổi BPT 5x + 12 < Suy x < 12

5

−

Bài 3. a) Cách Xét hai trường hợp:

Trường hợp Với x≥9, PT trở thành x− =9 3x+7 Giải ta x= −8 (KTM x≥9)

Trường hợp Với x<9, PT trở thành 9− =x 3x+7 Giải ta

2

x= (TM x<9) Cách Ta có

9 (3 7) x

PT

x x

+ ≥ 

⇔  − = ± +

 Giải ta

1 x= b) Ta có PT tương đương với

2

x + x− = ± Giải trường hợp ta x= −3

x= ±

Bài 4. Cách Xét hiệu

( 2 ) ( ) ( ) (2 )2

2 1 ,

a +b + − a b+ = a− + −b ≥ ∀a b Dấu "=" xảy ⇔ = =a b

Cách Ta có: (a−1)2 ≥ ∀ ⇒0 a a2+ ≥1 2a ∀a;

( )2

1

b− ≥ ∀ ⇒b b + ≥ab∀b

Cộng vế với vế BĐT trên, ta ĐPCM

(71)

ĐỀ SỐ

Câu 1. Cho bất phương trình sau, đâu bất phương trình bậc ẩn? A

2

4x 0;

x − < B

2

0x −2x+ ≤3 0; C

7 0;

2 x + > D x+ =3

Câu 2. Giá trị 2x= −1là nghiệm bất phương trình sau đây: A x− > −3 x 2; B 5x+ <1 15;

C −4x≤ −x 3; D 5x≥ −2 x

Câu 3. Cho a≤b Bất đẳng thức tương đương với bất đẳng thức cho:

A 2a+ >3 2b+3; B 5;

2 a b

− + ≥ − +

C 2− + ≤a 2b+1; d b− 7≤ −a

Câu 4. Tìm tất giá trị m bất phương trình m2+1(x+ ≥1) bất phương trình bậc ẩn:

A.m=1; B m≠ −1; C.m≠1; D Mọi số thực m

Bài 1.(2,0điểm) Giải bất phương trình sau biểu diễn tập nghiệm trục số:

a) 3x+2 3< +x 4; b) 2x− ≥ − +5 2x

a) ;

x− > − x b) (2x−2)2−4x2−5x+ ≤3 0; c) 2 5;

5 10

x− x−

− < d) x x( + +1) 2x x( + < +3) 3x2

a) 3x− =5 2x+7; b)

2x −4x− =1

Bài 4.(0,5điểm) Chứng minh với a, b, ta có:

( )

2

4

a +b + ≥ab+ a b+

HƯỚNG DẪN

PHẦN I TRẮC NGHIỆM

Câu B Câu B Câu B Câu D

PHẦN II TỰ LUẬN

Bài 1. HS tự vẽ hình để biểu diễn tập nghiệm trục số a) Ta có 3x+2 3< + ⇔x ( 1− )x< −4 Mà 3− =( 1− )2, từ tìm x< 1−

b) Ta có 2x− ≥ − + ⇔5 2x 4x≥8 Từ tìm x≥2

Bài 2. a) Ta có

3

(72)

Từ tìm 13 x≥

c) Quy đồng khử mẫu ta 10 3− x+ < x−5 Từ tìm 19

8 x>

d) Biến đổi bất phương trình dạng 3x2+7x<3x2+2 Từ tìm

7 x<

Bài 3.a) Ta có hai trường hợp:

Trường hợp 1: Với

x≥ , phương trình cho trở thành: 3x− =5 2x+7 Từ tìm x = 12 (TMĐK

3 x≥ ) Trường hợp Với

3

x< , phương trình cho trở thành: −(3x−5)=2x+7 Từ tìm

5

x= − (TMĐK x< ) Vậy 2;12

5 x∈ − 

 

b) Ta có hai trường hợp: Trường hợp Với

2x −4x− ≥1 0, phương trình trở thành: x2−2x− =3 Từ tìm x = -1 x = (TMĐK 2x2−4x− ≥1 0)

Trường hợp Với

2x −4x− <1 0, phương trình trở thành: x2−2x+ =2 Phương trình vơ nghiệm

Vậy x∈ −{ 1;3}

Bài 4. Biến đổi a2+b2+ ≥4 ab+2(a b+ ) dạng:

( ) (2 ) (2 )2

2

a b− + a− + −b ≥ (luôn đúng) Dấu "=" xảy a = b =

Định dạng
Số trang	72
Dung lượng	1,59 MB