Tính xác suất sao cho khối nào cũng có tiết mục được biểu diễn và trong đó có ít nhất 2 tiết mục của khối 12!. Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán.[r]
(1)GIẢI CHI TIẾT ĐỀ HỌC SINH GIỎI LỚP 12 TỈNH HẢI DƯƠNG 2018 - 2019
MÔN TOÁN TIME: 180 PHÚT
ĐỀ BÀI Câu I (2,0 điểm)
1) Cho hàm số
2
1
x y
x
có đồ thị C Tìm mđể đường thẳng d y: x m cắt C hai
điểm phân biệt A B cho PAB đều, biết P2;5
2) Một mảnh đất hình chữ nhật ABCDcó chiều dài AB25m, chiều rộng AD20mđược
chia thành hai phần vạch chắn MN(M N, trung điểm BCvàAD).
Một đội xây dựng làm đường từ Ađến C qua vạch chắn MN, biết làm đường
trên miền ABMN làm 15mvà làm miền CDNM làm 30m Tính thời gian ngắn mà đội xây dựng làm đường từ A đến C
Câu II (2,0 điểm).
1) Giải hệ phương trình
3 12 4 4 3 1(1)
3 4 3(2)
x y y x
xy x x
.
2) Trong thi: "Thiết kế trình diễn trang phục dân tộc" Đoàn trường THPT tổ chức vào tháng năm 2018 với thể lệ lớp tham gia tiết mục Kết có 12 tiết mục đạt giải có tiết mục khối 12, có tiết mục khối 11 tiết mục khối 10 Ban tổ chức chọn ngẫu nhiên tiết mục biểu diễn chào mừng ngày 26 tháng Tính xác suất cho khối có tiết mục biểu diễn có tiết mục khối 12
Câu III (2,0 điểm)
1) Cho dãy số un xác định
2
1
1
1, n ,
n
n
u
u u n
u
Xét tính đơn điệu bị chặn un .
2) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang cân ABCD (AB CD AB CD/ / , )có
AD DC ,D(3;3) Đường thẳng ACcó phương trình x y 0 , đường thẳng ABđi qua
( 1; 1)
M Viết phương trình đường thẳng BC.
Câu IV. (3,0 điểm)
Cho hình hộp đứng ABCD A B C D có đáy ABCD hình vng
1) Gọi S tâm hình vng A B C D SA, BC có trung điểm M N Tính
thể tích
(2)khối chóp S ABC theo a, biết MN tạo với mặt phẳng ABCD góc 600 AB a .
2) Khi AA AB Gọi R, S nằm đoạn thẳng A D , CD cho RS vng
góc với mặt
phẳng CB D
3
a
RS
Tính thể tích khối hộp ABCD A B C D theo a
3) Cho AA AB a Gọi G trung điểm BD, mp P thay đổi qua G cắt các
đoạn thẳng
AD , CD, D B tương ứng H, I , K
Tìm giá trị lớn biểu thức
1 1
T
D H D I D I D K D K D H
Câu V (1,0 điểm)
Cho số dương a, b, c Tìm giá trị nhỏ biểu thức
1
P
a ab abc a b c
.
HẾT.
LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu I (2,0 điểm)
1) Cho hàm số
2
1
x y
x
có đồ thị C Tìm mđể đường thẳng d y: x m cắt C hai
điểm phân biệt A B cho PAB đều, biết P2;5
2) Một mảnh đất hình chữ nhật ABCDcó chiều dài AB25m, chiều rộng AD20mđược chia
thành hai phần vạch chắn MN(M N, trung điểm BCvàAD) Một đội xây dựng làm đường từ Ađến C qua vạch chắn MN, biết làm đường miền
ABMN mỗi làm 15mvà làm miền CDNMmỗi làm được30m Tính thời gian ngắn mà đội xây dựng làm đường từ A đến C
Lời giải
Tác giả: Đoàn Thị Uyên ; Fb: Đoàn Uyên
Cách 1:
Hoành độ giao điểm đường thẳng d đồ thị ( )C nghiệm phương trình
2
1
x
x m x x
x2 (m 3)x m 1 1
(3)
2
2
0 6 9 4 4 1 12 0
1 ( 1)
m m m m
m m
(luôn đúng).
Gọi x x1, 2 nghiệm phương trình (1), ta có:
1 2
3
x x m
x x m
.
Giả sử A x 1; x1m, B x 2; x2m. Khi ta có:
2 2
AB x x
22 52 22 22
PA x x m x x
22 52 22 22
PB x x m x x
Suy PAB cân P.
Do PABđều PA2 AB2.
x1 22 x2 22 2x1 x22 x1 x22 4x1 x2 6x x1
2 4 5 0
5 m
m m
m
Vậy giá trị cần tìm m1,m5.
Cách 2:
Phương trình hồnh độ giao điểm đường thẳng d đồ thị ( )C là:
21
1
1
x
xmx
x
.
2
2x x x mx m
2 ( 3) 1 *
x m x m
Đường thẳng d đồ thị ( )C cắt hai điểm phân biệt phương trình * có nghiệm
phân biệt x1.
2
2
0 6 9 4 4 1 12 0
1 ( 1)
m m m m
m m
(luôn đúng).
Vậy phương trình * ln có nghiệm phân biệt x1.
Gọi A x 1;x1m; Bx2;x2 m giao điểm d C .
Vì x x1; 2 nghiệm phương trình * nên áp dụng hệ thức Viet, ta có:
1 2
3
x x m
x x m
Vì PAB nên H trung điểm AB Do đó, tọa độ Hlà:
(4)3 3
2 2
3
2
2
A B
H H H H
A B A B
H H
H H
x x m m m
x x x x
y y x m x m m m m m
y y
y y
3
;
2
m m
H
PAB
3
2
PH AB
PH AB
với 1 2
7
; ; ;
2
m m
AB x x x x PH
2
2
2
7
2
7
2 2
2
m m
x x x x
m
x x
Do phương trình 1 ln nên hệ phương trình tương đương với:
m 72 3x2 x12
m 72 3x2 x12 x x1 2
.
m 72 3m 32 4m 1
.
2 14 49 3 6 9 4 4
m m m m m
m214m49 3 m218m27 12 m12.
2m28m10 0 .
1 m m
Vậy giá trị cần tìm m1, m5.
2) Giả sử đường từ A đến C gặp vạch chắn MN E
đặt NEx m x( )( [0; 25]) AE x210 ;2 2
(25 ) 10
CE x .
Thời gian làm đường từ A đến C là: 2 100 (25 ) 100
( ) ( )
15 30 15 30
x
AE CE x
t x h
2
(25 )
'( ) ;
15 100 30 (25 ) 100
x x
t x
x x
2
'( ) (25 ) 100 (25 ) 100
t x x x x x .
2 2
(25 )
4 [(25 ) 100] (25 ) ( 100)
x x
x x x x
(5)2 2
0 25
4(25 ) ( 25) [400 (25 ) ]=0 x
x x x x
.
2 2 2
0 25
4(25 ) ( ) [20 (25 ) ]=0 x
x x x x
.
2
0 25
4(25 ) ( 5) 20 25 20 25 =
x
x x x x x x
.
2
0 25
4(25 ) ( 5) 5 45 =
x
x x x x x x
.
2
0 25
( 5)[4(25 ) ( 5) (45 )]=0 x
x x x x x
.
5;
x
20 725 10 725
(0) , (25) , (5)
30 30
t t t
Thời gian ngắn làm đường từ A đến C là
2 (giờ). CâuII (2,0 điểm).
1) Giải hệ phương trình
3 12 4 1(1)
3 4 3(2)
x y y x
xy x x
.
Lời giải
Tác giả:Nguyễn Thị Nga; Fb: Con Meo
Cách 1:
Điều kiện:
0 y x
.
1 3x 12 4 3x 1 y2 4 y
* .
Xét hàm số 4 0;
f t t t t
; từ * ta có f 3x1 f y 4
f t t
; f t 0 t Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên ta thấy: hàm số nghịch biến 0;1; đồng biến 1;
(6)+ Nếu 3x1 y thuộc 0;1 1; ta có : 3x 1 y y3x1 thay vào 2 ta có :
2 2
2
3 4 9
1
3 3
3 1
9
3 2
9
x x x x x x x x x
x
x x x
x x x x y
x x
x x
x
(thỏa mãn)
+ Nếu 3x1 y khơng thuộc 0;1 1;
1 1 1
3 1
x y
x y x y
x y
.
Từ 2
2
3x y x
vơ lý Vậy hệ có nghiệm x y; 1;4
Cách 2:
Điều kiện:
0 y x
.
1 4 3x 1 4 y 3x12 y2 3 3
3
x y
x y x y
x y
.
3
3
x y x y
x y
* .
Vì
1
x VP 2 0 3xy 0 x0
Từ
4
2
3 3
y
x x x x
3
3
x y
x y
.
Từ * 3x 1 y 0 y3x1thay vào 2 ta có:
2
2
(7)3
3
3
x x
x x
x x
.
2
1
3
1
9
2 x x
x x
x x
x
y4.
Vậy hệ có nghiệm x y; 1;4
Cách 3:
Điều kiện:
0 y x
.
Vì
1 0;
3
y x
nên 4x 4 x 3 3xy 0 x 0 3x 1 Mặt khác,
4
3 4
3
xy x x x y y
Đặt a y ; b 3x1 , a b, 1
1 a4 4a b4 4b a b a b a b2 4 0
* .
Vì ,a b1 nên 2
2 a b
a b
2 4
a b a b
Từ * a b hay y 3x 1 y3x1.
khi ta có: 3x x 1 4x 4 x3 9x2 x x3
2
2
9x x
3x x
(vì x0).
2
1
3
3
3 9 7 2 0
x x
x x x x
.
1
1
2 x
x x
x
y4.
Vậy hệ có nghiệm x y; là 1;4 CâuII
2) Trong thi: "Thiết kế trình diễn trang phục dân tộc" Đồn trường THPT tổ chức vào tháng năm 2018 với thể lệ lớp tham gia tiết mục Kết có 12 tiết mục đạt giải có tiết mục khối 12, có tiết mục khối 11 tiết mục khối 10 Ban tổ chức chọn ngẫu nhiên tiết mục biểu diễn chào mừng ngày 26 tháng Tính xác suất cho khối có tiết mục biểu diễn có tiết mục khối 12
(8)Lời giải Gọi không gian mẫu phép chọn ngẫu nhiên .
Số phần tử không gian mẫu là:
12 792
n C
Gọi A biến cố "Chọn tiết mục cho khối có tiết mục biểu diễn có hai tiết mục khối 12"
Chỉ có khả xảy thuận lợi cho biến cố A là:
+ tiết mục khối 12, hai tiết mục khối 10, tiết mục khối 11 + tiết mục khối 12, tiết mục khối 10, tiết mục khối 11 + tiết mục khối 12, tiết mục khối 10, tiết mục khối 11
Số kết thuận lợi cho biến cố A là: n A C C C42 .32 51C C C42 .31 52C C C43 .31 51 330.
Xác suất cần tìm
330 792 12 n A
P n
.
Câu III (2,0 điểm)
1) Cho dãy số un xác định
2
1
1
1, n ,
n
n
u
u u n
u
Xét tính đơn điệu bị chặn un .
2) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang cân ABCD (AB CD AB CD/ / , )có
AD DC ,D(3;3) Đường thẳng ACcó phương trình x y 0 , đường thẳng ABđi qua
( 1; 1)
M Viết phương trình đường thẳng BC.
Lời giải 1) Cho dãy số un xác định
2
1
1
1, n ,
n
n
u
u u n
u
Xét tính đơn điệu bị chặn un .
Ta có
2
1 2
2
1
;
1
1
n n n
n
n n n n
u u u
u n
u u u u
¥
Mà u1 1 0; giả sử với n k 1 ta có
1
1
0;
1
k k
k u
u k
u
¥
Khi ta có
1 2 0;
1
k k
k u
u k
u
¥ .
+ Xét
2
2
1 2
1
1
0,
1
n n
n
n n n
n n
u u
u
u u u n
u u
¥
1 ,
n n
u u n
¥ .
Do dãy số un giảm nên un u1, n * un 1, n *
*
0 un 1, n
dãy số
(9)2) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang cân ABCD(AB CD AB CD// , )có
AD DC , D(3;3) Đường thẳng ACcó phương trình x y 0 , đường thẳng ABđi qua
( 1; 1)
M Viết phương trình đường thẳng BC.
Lời giải
Kẻ CP AD// cắt AB tạo P, suy tứ giác ADCP hình thoi.
Gọi H ACDP ta có DH AC suy đường thẳng DH có phương trình x y 0 .
Khi toạ độ điểm H nghiệm hệ sau
6
4;2
x y
H x y
.
Gọi P x y ; ta có DHuuur uuurHP P5;1.
Đường thẳng PM có phương trình x 3y 0 .
Mặt khác đường thẳng DC PM// nên đường thẳng DC có phương trình là: x 3y 6
Tọa độ điểm C nghiệm hệ
3
6;
x y
C x y
.
Xét tam giác BCP ta có AD DC CP CB nên tam giác BCP cân C.
Vì B PM B t3 2;t, ta có
2
10 4
CP CB t t
1 11
5
t t
.
Với t 1 B5;1 P (loại) Với
11 43 11
;
5 5
t B
Vậy đường thẳng BC có phương trình 9x13y106 0 .
Câu IV. (3,0 điểm)
Cho hình hộp đứng ABCD A B C D có đáy ABCD hình vng
1) Gọi S tâm hình vng A B C D SA, BC có trung điểm M N Tính
thể tích
khối chóp S ABC theo a, biết MN tạo với mặt phẳng ABCD góc 600 AB a .
2) Khi AA AB Gọi R, S nằm đoạn thẳng A D , CD cho RS vng
góc với mặt phẳng CB D
3
a
RS
Tính thể tích khối hộp ABCD A B C D theo a.
(10)3) Cho AA AB a Gọi G trung điểm BD, mp P thay đổi qua G cắt các
đoạn thẳng
AD , CD, D B tương ứng H, I , K
Tìm giá trị lớn biểu thức
1 1
T
D H D I D I D K D K D H
Lời giải
Tác giả: Đoàn Tấn Minh Triết; Fb: Đoàn Minh Triết
1) Gọi H trung điểm AC SH trung tuyến tam giác SAC Mặt khác tam giác
SAC cân tạiS SH đường cao SH AC.
; ;
SAC ABC SAC ABC AC
SH ABC
SH SAC SH AC
Gọi I trung điểm AH, mà M trung điểm SA IM đường trung bình
tam giác
/ /
IM SH
SAH
IM SH
, 600
/ /
SH ABC
IM ABC MNI MN ABC
IM SH .
Tam giác ABC vuông cân B, có AB a BC a ;
3
2
4
AC a CI AC a
2
a
NC BC
; tam giác ABC vuông cân B A C 450
Xét tam giác CNI có
2 2 .cos 10 .tan 600 30
4
a a
NI CI CN CI CN ICN MI IN
30 1 30
2
2 12
SH MI a VS ABC S ABC SH AB BC SH a
2) Đặt AA m, A D n,
A B p m n p b
; 0
m n n p p m .
Mặt khác A R x A D ;
D S y D C.
Ta có
A R x m x n; 1
D S y m y p RS RA A D D S y x m x n y p.
Do đường thẳng RS vng góc với mặt phẳng CB D nên ta có:
1
y x m x n y p m n
RS B C
(11)2
1 3
2
3
x
y x
y x
y Vậy R, S điểm cho
2
A R A D
;
1
D S D C
2
2
1 1 3
3 3 3
ABCD A B C D
b b a
RS m n p RS RS b a V a
3) Vì AA AB a nên ABCD A B C D hình lập phương có G trung điểm BD nên G
là tâm ABCD A B C D Gọi E, F tâm ADD A BB C C E, F
là trung điểm A D B C ; G trung điểm EF.
1
2
4
GA GB GC GD GE GF D G D A D C D B
2 2
4
4 4
D A D C D B a a a
D G D H D K D I D G D I D K D H
D H D K D I D I D K D H
Vì bốn điểm H I K G, , , đồng phẳng nên:
GH kGI lGK D H D G k D I D G l D K D G
1 1
k l
D G D I D K D H
k l k l k l
do D I , D K , D H không đồng phẳng nên từ 1 2 ta được:
2 2
1
4 4 4
a a a
D I D K D H .
Mặt khác
2
2
1 1 1 1
3
T
D H D I D I D K D K D H D I D H D K a
2
8
3
T D H D I D K a
a .
Vậy giá trị lớn T
8
3a
Câu V (1,0 điểm)
Cho số dương a, b, c Tìm giá trị nhỏ biểu thức
1
P
a ab abc a b c
.
Lời giải
Tác giả: Bàn Thị Thiết; Fb: Bàn Thị Thiết
Vì a, b số dương nên:
4
4 4
4
a b
a b a b a b ab ab
Đẳng thức xảy a4b.
Vì a, b, c số dương nên:
(12)
3 3 16
4 16 16 16 12
12
a b c
a b c a b c a b c abc abc
Đẳng thức xảy a4b16c.
Từ 1 2 suy ra:
3 4 16
4 12
a b a b c
a ab abc a 4
3
a ab abc a b c
3
1
4 a b c
a ab abc
.
Do đó:
3
4 P
a b c a b c
.
Đặt: t a b c t 0
Xét: 3
3 6 12
( ) ( 0) '( )
4 2
t
f t t f t
t t t t t
1 '( )
4
f t t
Bảng biến thiên:
t
_ +
Từ bảng biến thiên ta có:
( ) 12, , ,
4
Pf a b c f a b c
Đẳng thức xảy khi:
1 21 16
1
1 84
4 1
336 a
a b c
b a b c
c
.
Vậy minP12.
HẾT.
4
'( )
f t
( )
f t
12