Để giải hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn ta giải từng bất phương trình của hệ bất phương trình. Khi đó tập nghiệm của hệ bất phương trình là giao của các tập nghiệm từng bất phương t[r]
(1)§3 BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN A TĨM TẮT LÝ THUYẾT
1 Giải biện luận bất phương trình dạng ax b 0 Giải bất phương trình dạng ax b (1)
Nếu a bất phương trình có dạng 0.x b - Với b tập nghiệm BPT S =
- Với b tập nghiệm BPT S Nếu a x b
a suy tập nghiệm ; b S
a Nếu a x b
a suy tập nghiệm ; b S
a
Các bất phương trình dạng ax b 0,ax b 0,ax b giải hồn tốn tương tự 2 Hệ bất phương trình bậc ẩn
Để giải hệ bất phương trình bậc ẩn ta giải bất phương trình hệ bất phương trình Khi tập nghiệm hệ bất phương trình giao tập nghiệm bất phương trình
B CÁC DẠNG TỐN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
DẠNG TOÁN 1: GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH DẠNG ax b 0 1 Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Giải biện luận bất phương trình sau
a) mx 2x 3m b) x m m x 3x
c) m2 x m 6x d) m m x2 x m2
Lời giải
a) Bất phương trình tương đương với m x 3m
Với m bất phương trình trở thành 0x 0suy bất phương trình nghiệm với x Với m bât phương trình tương đương với
2 m x
m
Với m bât phương trình tương đương với m x
m Kết luận
2
m bất phương trình nghiệm với x(có tập nghiệm S )
m bât phương trình có nghiệm x 3(có tập nghiệm S ;3 )
m bât phương trình có nghiệm x 3(có tập nghiệm S 3; ) b) Bất phương trình tương đương với m 2 x 4 m2
Với m bất phương trình trở thành 0x 0suy bất phương trình vơ nghiệm Với m bât phương trình tương đương với
2
2
m
x m
m Với m bât phương trình tương đương với
2
2
m
x m
m Kết luận
2
m bất phương trình vơ nghiệm
m bât phương trình có nghiệm x m 2
m bât phương trình có nghiệm x m
c) Bất phương trình tương đương với m 2x m
Với m bất phương trình trở thành 0x 6suy bất phương trình nghiệm với x Với m bât phương trình tương đương với 32
3 m x
(2)3
m bất phương trình nghiệm với x
m bât phương trình có nghiệm
2 3 m x
m
d) Bất phương trình tương đương với m3 x m2 2m
2 1
1 m
m x
m m (vì
2
2 1 0
2
m m m )
Với m bất phương trình trở thành 0x 0suy bất phương trình vơ nghiệm Với m bât phương trình tương đương với 2
1 m
m x
m Với m bât phương trình tương đương với 2
1 m
m x
m Kết luận
2
m bất phương trình vơ nghiệm
m bât phương trình có nghiệm 2 1 m
m x
m
m bât phương trình có nghiệm 2 1 m
m x
m
Ví dụ Tìm m để bất phương trình m2 m x m 6x vơ nghiệm
Lời giải
Bất phương trình tương đương với m2 m 6 x 2 m
Rõ ràng
3 m
m
m m bất phương trình ln có nghiệm Với m bất phương trình trở thành 0x suy bất phương trình vơ nghiệm Với m bất phương trình trở thành 0x suy bất phương trình vơ nghiệm Vậy giá trị cần tìm m m
Ví dụ Tìm m để bất phương trình 4m2 2x 4m2 5m x 12m có nghiệm x
Lời giải
Bất phương trình tương đương với 4m2 5m 9 x 4m2 12m
Dễ dàng thấy
1
4 9
4 m
m m
m bất phương trình khơng thể có nghiệm x Với m bất phương trình trở thành 0x 16 suy bất phương trình vô nghiệm
Với
m bât phương trình trở thành 27
x suy bất phương trình nghiệm với x Vậy giá trị cần tìm
4
m
Ví dụ Tìm m để bất phương trình 4m2 2m x 5m 3x m có tập nghiệm [ 1; )
Lời giải
Bất phương trình tương đương với 4m2 2m 2 x 4m 1 m 2 4m 1 x 4m 1
Với
2
2 1
2 m
m m
(3)Với
4
m m m bất phương trình tương đương với x
m Do để bất phương trình có tập nghiệm [ 1; ) 1
2 m
m (không thỏa mãn)
Với 2
4 m m
m bất phương trình tương đương với
2 x
m suy
2
4
m khơng thỏa mãn u cầu tốn
Với m m 4m bất phương trình tương đương với x
m Do để bất phương trình có tập nghiệm [ 1; ) 1
2 m
m (thỏa mãn)
Vậy m giá trị cần tìm
Ví dụ 5: Tìm m để hai bất phương trình sau tương đương
1
m x m (1) m x m 0(2)
Lời giải
* Với m bất phương trình (1) trở thành 0.x 0(vơ nghiệm), bất phương trình (2) trở thành
2
2
x x hai bất phương trình khơng tương đương
* Với m bất phương trình (1) trở thành 5
x x , bất phương trình (2) trở thành 0.x 0(nghiệm với x ) hai bất phương trình khơng tương đương
* Với m ta có m x
m ,
4
1 m x
m Suy hai bất phương trình tương đương
1
m m
m m
2 4 7 0 2 11
m m m
Đối chiếu với điều kiện m suy m 11 * Với m ta có
1 m x
m ,
4
1 m x
m hai bất phương trình khơng tương đương
* Với m ta có m x
m ,
4
1 m x
m Suy hai bất phương trình tương đương
1
m m
m m
2 4 7 0 2 11
m m m
Đối chiếu với điều kiện m suy m 11 Vậy hai bất phương trình tương đương m 11 2 Các tập luyện tập
Bài 4.66: Giải biện luận bất phương trình:
a) m x( m) x b) 3x m2 m x( 3) Bài 4.67: a) Tìm m để bất phương trình mx x m vơ nghiệm
b) Tìm m để bất phương trình m x2 9x 3m có nghiệm x Bài 4.68: Cho hàm số f x 2m x 3m
(4)b) Tìm m để f x với x 1;2
Bài 4.69: Tìm m để bất phương trình m 2x 2x có tập nghiệm [1; ) Bài 4.70: Tìm m để hai bất phương trình sau tương đương
2 m x 2m m x m2
DẠNG TOÁN 2: GIẢI HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN 1 Các ví dụ minh họa
Ví dụ Giải hệ bất phương trình sau:
a) 5
5
x x
x x b)
5
6
7
8
2
2
x x
x
x
c) 2
5
2
x x
x x d)
1
3
5
3
x x
x x x
x
Lời giải
a) Hệ bất phương trình tương đương với
5
3
5
2 x
x x
x x x
Suy hệ bất phương trình vơ nghiệm b) Hệ bất phương trình tương đương với
5 22
6 7
7
8 2 5
2
x x x
x x
x x
Vậy hệ bất phương trình có nghiệm x
c) Hệ bất phương trình tương đương với 7
x
x x
Vậy hệ bất phương trình có nghiệm x
d) Hệ bất phương trình tương đương với
2
5 11
2
11 x
x x
x
Vậy hệ bất phương trình có nghiệm 11 5 x Ví dụ Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm
a) 2 2
1
x x
m m x m m x m b)
1
2
m mx
m mx m
(5)a) Hệ bất phương trình tương đương với 2 32
2
x
m x m m
2
3
2 x
m m
x
m Suy hệ bất phương trình có nghiệm
2
3
3
2
m m
m
m
Vậy m giá trị cần tìm
b) Hệ bất phương trình tương đương với 2
2
4
m x m
m x m
Với m ta có hệ bất phương trình trở thành
x
x suy hệ bất phương trình vơ nghiệm
Với m ta có hệ bất phương trình tương đương với 2
2
4
m x
m m x
m
Suy hệ bất phương trình có nghiệm 22 2 1
m m
m
m m
Vậy
m giá trị cần tìm
Ví dụ Tìm m để hệ bất phương trình sau vơ nghiệm
a)
2 2
3
2
x x x
m x b)
1
2
mx x
x x
Lời giải
a) Hệ bất phương trình tương đương với
8 13
2
5 x
m x
Suy hệ bất phương trình vơ nghiệm 8 72
13 13
m
m
Vậy 72 13
m giá trị cần tìm
b) Hệ bất phương trình tương đương với
1
14
m x
x
Với m hệ bất phương trình trở thành
0
14 x
x (hệ bpt vô nghiệm)
Với m hệ bất phương trình
2 14
3 x
m x
suy hệ bất phương trình vô nghiệm
2 14
6 14
1 m m
m
(6)Với m hệ bất phương trình
2 14
3 x
m x
(hệ bpt ln có nghiệm)
Vậy giá trị cần tìm m
Ví dụ Tìm m để hệ bất phương trình
4
m x x
mx x có nghiệm
Lời giải
Hệ bất phương trình tương đương với
4
m x m
m x
Giả sử hệ bất phương trình có nghiệm 3
2 4
m
m m
2
8 26 15
4
m m m
2
m
Với
m hệ phương trình trở thành
3
3
1
3
2
3
x x
x x
x Với
2
m hệ phương trình trở thành
6
x
x x
Vậy giá trị cần tìm
m
3 Bài tập luyện tập
Bài 4.71: Giải hệ bất phương trình sau:
a)
4
3
3
2
4 x
x x
x
b)
4
12
3
4
2
x x
x x
c)
4
2
2 19
3
x x
x x d)
11
2
2
8
2 x
x x x
Bài 4.72: Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm
a) 3
1
x x
x m b)
2 3( 4)
3 8
2
x x
x x
m x m x m
Bài 4.73: Tìm m để hệ bất phương trình sau vơ nghiệm
a)
5
x x
m x b)
2
3
2
1
x x
x x
mx m x m
Bài 4.74: Tìm m để phương trình 15x211xy2y2 7 có nghiệm thỏa mãn
2 x y
m x my
DẠNG TỐN 3: BẤT PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN
(7)Ví dụ 1: Giải biện luận bất phương trình 1
mx m x
Lời giải
ĐKXĐ: x
Bất phương trình tương đương với 1 x
mx m (3)
1 x
mx m (4)
+ TH1: m ta có (3)
1 x
m x
m
(4)
1 x
m x
m
Nếu 1
2 m
m
m (3)
1 m x
m (4) x Suy nghiệm bất phương trình x ;1 m;
m
Nếu 1
2 m
m
m (3) x (4) x Suy nghiệm bất phương trình x \
Nếu 1
2 m
m
m (3) x (4)
1 m x
m Suy nghiệm bất phương trình x ;1 m 1;
m + TH2: m ta có (3) trở thành 1
0 x
x
x , (4) trở thành
1
x
x (vơ nghiệm) Suy nghiệm bất phương trình x 1;
+ TH3: m ta có (3)
1 x
m x
m
(4)
1 x
m x
m
Nếu 1
2 m
m
m (3)
1 1; m x
m (4)
1
;1 m;
x
m Suy với m nghiệm bất phương trình x \ 1;1 m
m Kết luận
1
2
m tập nghiệm bất phương trình S ;1 m; m
2
m tập nghiệm bất phương trình S \ 1
2
m tập nghiệm bất phương trình S ;1 m 1; m
0
m tập nghiệm bất phương trình S 1;
m tập nghiệm bất phương trình S \ 1;1 m m Ví dụ 2: Cho bất phương trình m2 4 x m 3 2
a) Giải bất phương trình m
b) Tìm m để bất phương trình nghiệm với x
(8)a) Khi m bất phương trình trở thành 3x 2
3 2
3
x
x
x
Vậy tập nghiệm bất phương trình S ( ; 2] b) ĐKXĐ: m2 x m (*)
Giả sử bất phương trình nghiệm với x (*) x Suy m2 m
Với m ta có bất phương trình trở thành 0.x 2(vơ nghiệm)
Với m ta có bất phương trình trở thành 0.x (đúng với x) Vậy m giá trị cần tìm
Ví dụ 3: Cho bất phương trình x 1(x 2m 2) a) Giải bất phương trình m
b) Tìm m để x 2;3 nghiệm bất phương trình cho
Lời giải
a) Khi m bất phương trình trở thành x 1(x 2)
Bất phương trình tương đương với
1
1 x
x x
1
1
2
x
x x
x x
Vậy tập nghiệm bất phương trình S [2; )
b) Bất phương trình tương đương với
1
1
2
x x x m
1
2
x x
x m
+ TH1: 2
2
m m : Ta có bất phương trình
2
x
x m
Suy tập nghiệm bất phương trình S [2m 2; ) Do x 2;3 nghiệm bất phương trình (*)
2;3 S 2m 2 m
Suy
2 m thỏa mãn yêu cầu toán
+ TH2: 2
2
m m : Ta có bất phương trình 1
1 x
x x
Suy
m thỏa mãn yêu cầu toán
+ TH3: 2
2
m m : Ta có bất phương trình 1
1 x
(9)Suy
m thỏa mãn yêu cầu toán Vậy giá trị cần tìm m
Ví dụ 4: Tìm tất giá trị m để
a) Bất phương trình mx (1) nghiệm với x b) Bất phương trình 2
1 mx
m
x (2) nghiệm với x (0; )
Lời giải
a) Cách 1: Ta có x 8 x x 8;8 + TH1: m ta có (1) mx x
m Suy tập nghiệm bất phương trình (1) S 4;
m Bất phương trình (1) nghiệm với x
4
8; 8
2
S m
m Suy
2
m thỏa mãn yêu cầu tốn
+ TH2: m bất phương trình (1) trở thành 0.x 0(đúng với x) Do m thỏa mãn yêu cầu tốn
+ TH3: m ta có (1) mx x m Suy tập nghiệm bất phương trình (1) S ;
m Bất phương trình (1) nghiệm với x
4
8; 8
2
S m
m
Suy
2 m thỏa mãn yêu cầu toán
Vậy 1
2 m giá trị cần tìm
Cách 2: Bất phương trình (1) nghiệm với x khimx 0, x 8;8 Xét hàm số f x mx Ta biết đồ thị đường thẳng
( 8)
( ) 0, 8;8
(8) f
f x mx x
f
8 2 1 1
8 2
2 m
m
m m
m
Vậy 1
2 m giá trị cần tìm b) Đặt 2
1 x t
(10)Với x ta có 2
2
1 2
x x
x x
1
2 t
Bất phương trình (2) nghiệm với x (0; ) bất phương trình mt 2m với
2 3
1
(0; ] 1 2
2 2
2 m
m
t m
m m m
Vậy
2
m giá trị cần tìm
Nhận xét : Bất phương trình 0, ;
0 f
f x ax b x
f , Bất phương trình
0, ;
0 f
f x ax b x
f Các trường hợp khác tương tự Ví dụ 5: Cho phương trình m 1 x2 4m 3 x 4m 1 0 (1) Tìm m
để phương trình (1) a) Có nghiệm lớn nghiệm nhỏ
b) Có nghiệm lớn
Lời giải
Đặt y x x y phương trình (1) trở thành
1 4
m y m y m
2
1 4 4
m y m y m m y m m
2
1
m y y (2)
a) Phương trình (1) có nghiệm lớn nghiệm nhỏ phương trình (2) có hai nghiệm trái
+ TH1: Với m phương trình (2) trở thành y y suy m khơng thỏa mãn u cầu tốn
TH2: Với m phương trình (2) phương trình bậc hai có hai nghiệm trái dấu
0 1
1
P m m
m
Vậy với m phương trình (1)
b) Ta có phương trình (1) có nghiệm lớn phương trình (2) có nghiệm dương
Với m phương trình (2) trở thành y y suy m thỏa mãn yêu cầu toán
Với m phương trình (2) phương trình bậc hai + TH1: Phương trình (2) có hai nghiệm dương phân biệt
1
0 1 5
5
0 1 4
4
0
0 m
m
S m m
m P
m
+ TH2: Phương trình (2) có hai nghiệm trái dấu m (theo câu a) + TH3: Phương trình (2) có nghiệm kép dương
1
0
4
0
1
m
m
m S
m m
(11)+ TH4: Phương trình (2) có nghiệm dương nghiệm không
1
0 1
1
0
1
S m
P
m m
(không tồn giá trị m )
Vậy
4
m giá trị cần tìm
Nhận xét: Để so sánh nghiệm phương trình bậc hai ax2 bx c 0 với số thực ta đặt y x quy việc xét dấu nghiệm phương trình bậc hai
2 Bài tập luyện tập
Bài 4.75: Giải biện luận bất phương trình 2 1
x m x
Bài 4.76: Tìm điều kiện m để phương trình 2x2 2m x m a) Có hai nghiệm khác dấu
b) Có hai nghiệm phân biệt âm c) Có hai nghiệm phân biệt dương
d) Có hai nghiệm giá trị tuyệt đối trái dấu
Bài 4.77: Giải biện luận bất phương trình x m2 x 5m2
Bài 4.78: a) Với giá trị m bất phương trình sau nghiệm với x [ 2; 3) b) Cho bất phương trình 2 2
1
x x
m
x x Tìm m để bất phương trình nghiệm với
x
c) Với điều kiện a b, bất phương trình a x b
x nghiệm với x Bài 4.79: Tìm m để phương trình x22x22m x 22x m 0có nghiệm phân biệt
§4 DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬC NHẤT A TĨM TẮT LÝ THUYẾT
1 Nhị thức bậc dấu a) Định nghĩa nhị thức bậc nhất:
Nhị thức bậc (đối với x) biểu thức dạng ax b, a b hai số cho trước với a 0
b x
a gọi nghiệm cảu nhị thức bậc f x ax b b) Dấu nhị thức bậc
Định lí: Nhị thức bậc f x ax bcùng dấu với hệ số a x lớn nghiệm trái dấu với hệ số a x nhỏ nghiệm
2 Một số ứng dụng
a) Giải bất phương trình tích
Dạng P x( ) (1) (trong P x tích nhị thức bậc nhất.) Cách giải: Lập bảng xét dấu củaP x Từ suy tập nghiệm (1) b) Giải bất phương trình chứa ẩn mẫu
Dạng ( ) ( ) P x
(12) Cách giải: Lập bảng xét dấu ( ) ( ) P x
Q x Từ suy tập nghiệm (2)
Chú ý: 1) Không nên qui đồng khử mẫu
2) Rút gọn bớt nhị thức có lũy thừa bậc chẵn (cần lưu ý việc rút gọn để tránh làm nghiệm) c) Giải bất phương trình chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối(GTTĐ)
Tương tự giải phương trình chứa ẩn dấu GTTĐ, ta thường sử dụng định nghĩa tính chất GTTĐ để khử dấu GTTĐ
Chú ý: Với B ta có A B B A B; A B A B
A B B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
DẠNG 1: LẬP BẢNG XÉT DẤU BIỂU THỨC CHỨA NHỊ THỨC BẬC NHẤT HAI ẨN 1 Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Lập bảng xét dấu biểu thức sau
a) 2x b) 4x 12
c) x2 d) 2x2 5x
Lời giải
a) Ta có 3
2
x x , a 2 Bảng xét dấu
x
2
2x
+ b) Ta có 4x 12 x 3, a 4
Bảng xét dấu
x 4x12 +
c) Ta có x2 x x , x x 2,x x Bảng xét dấu
x 2
x + | +
x | +
2
4
x + + d) Ta có
2
2 1
2 x
x x
x
Suy 2 2 2
2
x x x x x x
Bảng xét dấu
x
2
1 2 x + |
x | +
2x 5x + Ví dụ 2: Lập bảng xét dấu biểu thức sau
a) x
x b)
4 12 x
x x c) x x2 (x 2) d)
2
(13)Lời giải
a) Bảng xét dấu
x
2
2x
+ |
x | +
2 x
x + || b) Ta có 42 12 12
4
x x
x x
x x
Bảng xét dấu
x 4x12 | + | +
x + | + | +
x | | +
4 12 x
x x || + || + c) Ta có x x2 (x 2) x x x 2
Bảng xét dấu
x 2
x | + | + 2x + | + | +
2
x + | + | +
4 ( 2)
x x x
+ d) Ta có
2 2
2
2 2
1 1
4
1 1
x x x x
x
x x x
Bảng xét dấu
x
1
3
3x1 | + | +
1x + | + | +
x + | + | +
2
1 x
x || +
Ví dụ 3: Tùy vào m xét dấu biểu thức sau 2
x m
x
Lời giải
a) Ta có 2,
2
m
x x x m x
TH1:
2
m
m
:
Bảng xét dấu
x
2
m
2x m
+ | +
(14)2
x m
x
|| +
Suy 2;
2
x m m
x
x
2
0 ;2 ;
2
x m m
x x
TH2:
2
m
m
: Ta có 2 2
2
x m x
x x
Suy \
2
x m
x x
TH3:
2
m
m
:
Bảng xét dấu
x
2
m
2x m
+ |
x | +
2
x m
x
|| +
Suy ;2
2
x m m
x
x
2
0 ; 2;
2
x m m
x x
2 Bài tập luyện tập
Bài 4.80: Lập bảng xét dấu biểu thức sau
a) 4x b) 3x
c) x2 4x d) 3x2 10x Bài 4.81: Lập bảng xét dấu biểu thức sau
a) x
x b)
4 x x x c) x x2 (x 3) d)
2
2 1 x
x
DẠNG 2: ỨNG DỤNG XÉT DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬC NHẤT HAI ẨN VÀO GIẢI TOÁN 1 Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Giải bất phương trình sau
a) x 3x b) x x2 5x c) 2x x3 d) x 3x 3 x2
Lời giải
a) Ta có
1
1 2
3 x
x x
x Bảng xét dấu
x
3
1
x | + 3 x + |
x x +
Suy bất phương trình có tập nghiệm 2;1 S
(15)b) Ta có x x2 5x x x x Bảng xét dấu
x
1 x + | + | +
2 x | + | +
3 x | | +
2 x x x + +
Suy bất phương trình có tập nghiệm S ;1 2; c) Ta có 2x x3 2x x x2 x 2x x 0(vì 2 1 0 x x x ) Bảng xét dấu x
2
1 x | +
2x1 + | +
1 x x + +
Suy bất phương trình có tập nghiệm 1;1 S d) Ta có x 3x 3 x2 x x 3 x x 3 3 x x x x x x Bảng xét dấu x 3
x | +
3 x + | +
1 x x + +
Suy x x x ( ; 3] [0; ) Vậy tập nghiệm bất phương trình S ( ; 3] [0; ) Ví dụ 2: Giải bất phương trình sau a) x x x b) 1 x x x c) 1 x x Lời giải a) Bảng xét dấu x
3
2
3x1 + | + | +
2x1 | + | +
2x + | + | +
2 x x x + || || + Vậy tập nghiệm bất phương trình ( 1; ) [2; )
(16)b) Ta có 32 1 32
1
1
x x x x x
x x
x x
Bảng xét dấu
x 5 1
x + | + | +
x | + | +
x | | +
1
x
x x + || || + Vậy tập nghiệm bất phương trình S ( 5; 1) (1; )
c) ĐKXĐ: x x
Ta có 2 1 2
4
2 x x
x x
2
2
4
4
0 0
4
4
x x x x
x x
x
x x x x
Bảng xét dấu
x 4
x + | + | +
x | + | +
x | | +
4 x x
x
|| + + Kết hợp với điều kiện xác định suy tập nghiệm bất phương trình S ( 4; 0] [4; ) Ví dụ 3: Giải bất phương trình sau:
a) 2x 3x b) 2x c) x 1 x
Lời giải
a) Với
2
x ta có bất phương trình tương đương với 2x 3x x Kết hợp với điều kiện
2
x suy bất phương trình có tập nghiệm 1; Với
2
x ta có bất phương trình tương đương với
x x x
Kết hợp với điều kiện
2
x suy bất phương trình vơ nghiệm Vậy tập nghiệm bất phương trình S 1;
b) Ta có 4
2 1
x x
x
x x
2
2
1 1
x x
x x
x x
Vậy tập nghiệm bất phương trình S ; 0;1 4; c) Bảng xét dấu
x 1
(17)2
x | + Từ bảng xét dấu ta chia trường hợp sau
Với x 1 ta có bất phương trình tương đương với
x 1 x 2 3
(vô nghiệm)
Với 1 x ta có bất phương trình tương đương với
x 1 x 2 3 x
Kết hợp với điều kiện 1 x suy bất phương trình vơ nghiệm Với x2 ta có bất phương trình tương đương với
x 1 x 2 3 3
Kết hợp với điều kiện x2 suy bất phương trình có nghiệm x2 Vậy tập nghiệm bất phương trình S [2; )
Ví dụ 4: Giải bất phương trình sau:
a) x x
x b)
1
x
x x
c)
1 2
x x x
x
Lời giải
a) Với x2 ta có bất phương trình tương đương với
2
1
x x
x
x x
Kết hợp điều kiện x2suy tập nghiệm bất phương trình S1 [2;) Với x2 ta có bất phương trình tương đương với
2 2 2
1 1 0
x x x x x
x x x x
Bảng xét dấu
x
3
x + | + 3x2 | + 3x
x
+ || +
Kết hợp điều kiện x2suy tập nghiệm bất phương trình 2 ( ; 0) ( ; 2)2
S
Vậy tập nghiệm bất phương trình
2
S ( ; 0) ( ; )
3
S S
b) ĐKXĐ:
0
1 x x x
x
Ta có
2
4 4
1 1
1 1
0 x x 0
x x
x x x x x x
2
4 2
1
0 0
1 1
x x x x
x x x x x x x
Bảng xét dấu
x 1
x + | +
x | +
1
x x
+ || || +
(18)c) ĐKXĐ:
1
2 1
2
1
1
1
1
x x
x x
x
x x
x
Vì x 1 2x 1 0, x 1 nên bất phương trình tương đương với 1 1 2 2
0
x x x x x x
x
2 3
0
x x
x
Bảng xét dấu
x
x + | + | +
x
+ | + |
x | | +
2 3
1
x x
x
+ || + Kết hợp với điều kiện xác định suy tập nghiệm bất phương trình S (1;2] [3; )
Nhận xét:
* Đối với bất phương trình phức tạp nên đặt điều kiện xác định sau rút gọn cho biểu thức chung rút gọn biểu thức xác định dấu
* Nhiều cần phải nhân hay chia với biểu thức xác định dấu nhằm khử thức hay dấu giá trị tuyệt đối tốn trở nên đơn giản
Ví dụ 5: Cho hệ bất phương trình
2 2
0 (1)
2
2 (2)
x x
x x
mx
a) Giải hệ bất phương trình m 1 b) Tìm m để hệ bất phương trình có nghiệm
Lời giải
ĐKXĐ:
2
x x
Ta có
2
2 2
1
0
2
2
x
x x
x x
x x
Bảng xét dấu
x
2
2
2
x + | + 2x1 | +
2x11 x2
+ || || +
Kết hợp với điều kiện suy tập nghiệm bất phương trình (1) 1 2;1 2
S
a) Khi m 1 ta có bất phương trình 2 trở thành x x
Kết hợp với điều kiện suy tập nghiệm bất phương trình (2) S2 ; 2
(19)b) Với m0 bất phương trình 2 trở thành 0.x2 suy bất phương trình vơ nghiệm hệ bất phương trình vơ nghiệm
Với m0 bất phương trình (2) x m
Đối chiếu với điều kiện ta có
Nếu
2 m
m tập nghiệm bất phương trình (2)
2 ; S m
Hệ bất phương trình có nghiệm 1 2
0
0
0 2
2
m
m
S S m
m m
Nếu
2 m
m tập nghiệm bất phương trình (2)
2 ; \ S m Hệ bất phương trình có nghiệm 1 2
4
4
0 2
2
m
m
S S m
m m
Với m0 bất phương trình (2) x m
Đối chiếu với điều kiện ta có Nếu 2 m
m tập nghiệm bất phương trình (2)
2 ; \ S
m
Hệ bất phương trình có nghiệm 1 2
1
1
0 2
1
m
m
S S m
m m
Nếu 2 m
m tập nghiệm bất phương trình (2)
2 ; S m
Hệ bất phương trình có nghiệm 1 2
1 2 m m S S m m (loại)
Vậy hệ bất phương trình có nghiệm 1 m m 3 Bài tập luyện tập
Bài 4.82: Giải bất phương trình sau:
2
) 10
a x x b)
2x x 2 2x 4 c)
1 1
9
x x d)
2
1 2x x
e) 1
2
x x
x f)
2 x x
g) 22
x x
h)
3
3
x x
x x
Bài 4.83: Giải bất phương trình sau: a)
2 x