Đề thi thử thpt quốc gia năm 2015 môn thi : Vật lý thời gian làm bài: 90 phút

[r]

1 Sử dụng đạo hàm hàm số mũ và hàm số logarit Ví dụ : Chứng minh : a) e x  x  , x  R b) ln( x  1)  x , x  Giải : a) Xét hàm số f(x)= ex-x-1 , x thuộc R f’(x) =ex-1 , f’(x)=0 ex-1=0  x=0 x<0 => ex<1 => f’(x) <0=> f(x)>f(0)=0 x  0=> ex  1=> f’(x)  0=>f(x)  f(0)=0  Với x thuộc R , ta có ex-x-1  => đpcm b) Xét hàm số f(x)=ln(x+1)-x , x>0 f '( x)  1 1    0, x  x 1 x 1  f(x)<f(0)=0  ln( x  1)  x , x  , (đpcm) Ví dụ : Chứng minh : ln x  , x, x  0, x  x 1 x a b (ln  ln )  4, a, b,1  a  b b) a b a 1 b 1 a) Giải : a) Xét hàm số f  x   ln x  x 1 ,x 0 x x  ( x  1)( x ) ' ( x  1)    0, x  x 2x x x 1 x 1 ln x  => ln x   o 0<x<1 => f(x)>f(1)=0 => ln x  => x 1 x x x x 1 ln x  =>  o x>1 => f(x)<f(1)=0 => ln x  x 1 x x ln x  , x, x  0, x  (đpcm) => x 1 x x  4x =lnx-ln(x-1)-4x b) Xét hàm số f ( x)  ln x 1 1 1  4x  4x f '( x)   4  0, x  x x 1 x( x  1) f ' x  Hàm số nghịch biến trên (1,+oo)  f(a)>f(b) , Va,b , 1<a<b a b  4a  ln  4b , Va,b , 1<a<b a 1 b 1 a b  ln  4a  4b , Va,b , 1<a<b  ln a 1 b 1  a b   ln   ln   , Va,b , 1<a<b (đpcm) a  b  a 1 b 1   ln Ví dụ : Chứng minh : a) ab<ba ,  a,b 0<a<b<1 Lop12.net b a 1 b)  2a  a    2b  b  , a, b  R :  a  b 2     Giải : a) Xét hàm số f(x)= ln x , x thuộc (0,1) x  ln x > , x thuộc (0,1) => hàm số đồng biến trên khoảng (0,1) x2 f(a)<f(b) ,  a,b 0<a<b<1 ln a ln b   a,b 0<a<b<1 a b b ln a  a ln b  a,b 0<a<b<1 ln a b  ln b a  a,b 0<a<b<1 f’(x) =      Đpcm ln(1  x ) , x>0 x x x ln  (1  x ) ln(1  x ) x ln x  (1  x ) ln(1  x ) f '( x)  = , x>0 x 1  x  x 1  x  b) Xét hàm số f ( x)  Xét g(x)=xlnx, x>1 g’(x)=1+lnx>0 , x>1=> g(4x)<g(1+4x)=> f’(x)<0, x>0  f(a)  f(b), a, b :  a  b ln(1  4a ) ln(1  4b )  ,0  a  b a b  (1  4a )b  (1  4b )a ,  a  b   (1  4a )b (1  4b ) a  ,0  a  b 2a b 2a b b a 1   2a  a    2b  b  , a, b  R :  a  b (đpcm)     Ví dụ : Chứng minh 2x , x  x2 b) ln( x  1)  x  1, x  a) ln( x  1)  Giải : a) Xét hàm số : f (x)  ln( x  1)  2x , x  x2 x2 f '(x)     , x  x   x  2 ( x  1)( x  2)  f(x)>f(0)=0  đpcm b) Xét hàm số f(x)= ln( x  1)  x  1, x  f’(x)= 1  x 1   , x  ( x  1) x  2( x  1) f’(x)=0  x=5 o 1<x<5 => f’(x)>0 Lop12.net o x>5=> f’(x)<0 => f(x)  f(5)=2ln2-2<0=> đpcm Ví dụ : Chứng minh : a) x ln( x   x )    x , x ac b)   bc  bc b a    , a, b, c  0, a  b b Giải : a) Xét hàm số f(x)= x ln( x   x )    x , x f’(x) = ln( x   x ) f’(x)=0 x=0 o x<0 => f’(x)<0 o x>0=> f’(x)>0 => f(x)  f(0)=0 => đpcm ax b) Xét hàm số f ( x)    b x  b x b x a , a, b, a  b, x  , f(0)=   b / b x b a x a x ba ax ax  f '( x)    ln   (b  x) ln  =    b x  b x  a x b x  b x   ba ax ax ( a  b) ba  ln g '( x )   ln '    0, x  Đặt g ( x)   ,    b x  b x  (a  x) (b  x) ax ax => g(x) nghịch biến (0,+oo) , lim g ( x)  x  => g(x)>0 , x>0 => f’(x)>0, x>0 => f(c)>f(0) , c>0 => đpcm Lop12.net