Đang tải... (xem toàn văn)
2/ Nếu thí sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa phần đó.[r]
(1)SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẮK LẮK KỲ THI LẬP ĐỘI TUYỂN DỰ THI QUỐC GIA NĂM HỌC 2015 - 2016 MƠN: TỐN
(Thời gian: 180 phút, không kể phát đề) Ngày thi: 23/10/2014
ĐÁP ÁN, BIỂU ĐIỂM VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM (gồm trang)
A ĐÁP ÁN – BIỂU ĐIỂM
Câu Đáp án Điểm
1 Cho tập hợp
1; ; |2 i , 1,2,3 x x x x i
Với x x x x 1; ;2 3;
1; ;2 3
y y y y thuộc 3 ta xác định
2
1
, i i
i
d x y y x
2 , i 1,2,3 i i d x y Max y x
3
1
, i i
i
d x y y x
Chứng minh tồn số thực dương , , cho
1 , , , ,
d x y d x y d x y d x y
5
Ta có
2
1 1,2,3
3
2 2
2
2 1,2,3 1,2,3
1
2
3 1,2,3
3
i i i
i i i i i i
i i
i i i
i
y x Max y x
y x Max y x y x Max y x
y x Max y x
3
2
1,2,3
3
i i i i i
i
y x Max y x
d x y1 , 3d x y2 ,
1
Dễ thấy 1,2,3 2 3
1
, ,
i i i i i
i
Max y x y x d x y d x y
Mặt khác 1 2 3
1
1 1
i i i
y x y x y x y x
2 2 2 2
1
1
1 1 i i , , ,
i
y x d x y d x y d x y
1
Từ 1 , , ta có d x y1 , 3d x y2 , 3d x y3 , 3d x y3 ,
Vậy 3, 3, 3 suy điều phải chứng minh
2
Cho dãy số thực xn xác định
*
1 2
2015
3 ,
1
n n
n x
x
x n
x
Tìm
(2)lim n
nx
Dễ thấy 3, *
n
x n
1 2 21 1 2,
1 n n
n n
x
x n
x x
nên dãy xn bị chặn
1
Xét hàm số 2 , 3; 2
1
x
f x x
x
3
2
1
' , 3;
1
f x x
x
3
2
1 1
' , 3;
2
1 3 1
f x x
x
1
Xét phương trình
2
3 3;
1
3 15 3; 3 2
2 o
x
f x x x x
x
x x
1
1
1
1
1
'
2 2
n o n o
n
n o n o o
x x f x f x
f c x x x x x x n
1
Vậy im 15
2
l n o
nx x
3 Cho tứ diện ABCD, M điểm nằm phía tứ diện Gọi
1; ; ;2
M M M M hình chiếu vng góc M mặt phẳng (BCD CDA DAB ABC);( );( );( )
Chứng minh rằng: MM MM MM MM1 3 43MG
5
Qua M dựng mp song song với mặt (BCD CDA DAB ABC);( );( );( )
Các mặt phẳng cắt (BCD) theo giao giao tuyến
1 2, 3,
N N N N N N song song BC, CD, DB nên tam giác
1 N N N
Tương tự tam giác PP P1 3,Q1 3Q Q K K K, tam giác
(3)Các tứ diện MN N N1 3,MPP P1 3,MQ1 3Q Q ,MK K K1 tứ diện
Do M M M M1; ; ;2 tâm tam giác
N N N ,PP P1 3,Q1 3Q Q K K K,
1
Nên ta có:
1
2
3
4
1
3
1 3 3
MM MN MN MN
MM MP MP MP
MM MQ MQ MQ
MM MK MK MK
1
3 2
3 2
1
3
3
1
1
1
1
MM MM MM MM
MN MQ MK MN MK MP
MN MP MQ MP MQ MK MG
1
Vậy MM MM MM MM1 3 43MG
1
4 Tìm số tự nhiên a a a1; ; ; ;2 an thỏa mãn
1 n 2015
a a a a cho biểu thức P a a a a n lớn
có thể
(4)Thật vậy: giả sử tồn số 1, chẳng hạn a11,
các số cịn lại phải có số aj 2, ta giả sử a2 2, ngược lại dễ thấy
điều vơ lý
Khi ta thay a1 số a2 a2 1
2 3
2 2015
2
2 1
n
n n
a a a
a
a a a a a a
Vi phạm P a a a a n lớn
1
Ta chứng tỏ số a a a1; ; ; ;2 an khơng có số lớn
Thật giả sử a15
Khi ta thay a1 2 a12
1 2
1
1 2
2 2015
4
2
n n
n n
a a a a a a
a a
a a a a a a a
Mâu thuẫn với P a a a a n lớn
1
Suy n số tự nhiên cần tìm a a a1; ; ; ;2 an nhận giá trị 2,
3,
Tuy nhiên 4=2.2 4=2+2 nên thay số hai số
Trong n số có nhiều hai số giả sử có số 2
3
2.2.2 3.3
Tức thay ba số thành hai số để có tích lớn Lại có 2015=3.671+2
1
Từ suy có 672 số a a a1; ; ; ;2 a672 có 671 số số
thì tích 3 2671 đạt giá trị lớn
1
B HƯỚNG DẪN CHẤM
1/ Điểm làm theo thang điểm 20, tổng điểm thành phần khơng làm trịn số
2/ Nếu thí sinh làm cách khác cho điểm tối đa phần