Đáp án HSG Toán học lớp 9 Bình Xuyên, Vĩnh Phúc 2017-2018 - Học Toàn Tập

- Hướng dẫn chấm dưới đây chỉ trình bày vắn tắt một cách giải, các cách giải khác của HS nếu đúng thì tổ chấm thống nhất cho điểm theo thang điểm tương ứng.. - Với câu 4, nếu học sinh k[r]

1 (Hướng dẫn gồm 03 trang)

Lưu ý chung:

- Hướng dẫn chấm trình bày vắn tắt cách giải, cách giải khác HS tổ chấm thống cho điểm theo thang điểm tương ứng

- Với câu 4, học sinh khơng vẽ hình vẽ hình sai ý khơng chấm điểm ý - Tổ chấm chia nhỏ thang điểm so với đáp án, điểm toàn tổng số điểm của câu thành phần

Câu Nội dung trình bày Điểm

1 2,0 điểm a) (1,0 điểm)

ĐKXĐ: x0; x1 0,25

Với x0; x1 ta có    

2

2

1 1

1

x x x

A

x x

     

  

   0,25

2 (1 )

x x

A

x x

 



 0,25

1 x A

x 



Vậy, với x0; x1 A x x  

0,25 b) (1,0 điểm)

Với x0; x1, ta có A x x x



   0,25

1

3 0

x x

x x

 

     (1) 0,25

Mà x > nên (1) 4

x x

     0,25

Vậy để A x 

1

0

4 x

  0,25

2 2,0 điểm a) (1,0 điểm)

Từ giả thiết ta có p q p q   7 p > q

Mà p, q nguyên dương nên suy p – q, p + q ước nguyên dương 7, p – q < p + q

0,5 Do xảy p – q = p + q = 7, suy p = q =

Thử lại thấy thỏa mãn Vậy p = q = 0,5 b) 1,0 điểm

UBND HUYỆN BÌNH XUYÊN

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HƯỚNG DẪN CHÂM

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2017 - 2018

2 Với p = ta thấy p22p 2222 8 không số nguyên tố

Với p = ta thấy p22p 3223 17 số nguyên tố 0,5 Với p > p số nguyên tố nên p không chia hết cho p lẻ,

2 p

p 2 3 p22p p2 1 2p1 3M , p22plà hợp số Vậy có p = thỏa mãn

0,5 3 2,0 điểm

a) (1,0 điểm) ĐKXĐ: 3 x

Với 3 x PT trở thành  x 3 1 8 x 1 0 0,5

3

7

8

x x

x x

    

  

  

 0,25

Các giá trị x thỏa mãn

Vậy tập nghiệm PT S {4;7} 0,25

b (1,0 điểm)

Với a, b dương ta có

 

   

2

2 2 2 2

4 2

0 2 2

1

1

2

a b a b a b a b ab a b ab

a b ab ab a b

         

 

  

Chứng minh tương tự ta có

   

4 2

1

2

2

b a  a b ba b a

0,5

Từ (1) (2) suy

1 

Q

ab a b 



0,5 Mặt khác, từ đề suy

 2 1

2

2

ab a b ab ab Q

ab

       

Dấu “=” xảy a = b = Vậy max 1

Q   a b 4 3,0 điểm

a) 1,0 điểm

x

H K

D C

A O

B

3 Từ giả thiết suy OM = OA = OB = a, suy OM = OC = OD = a,

do tam giác MCD vng M 0,25

Từ ta có sin2MBA· sin2MAB· sin2·MCDsin2MDC·

= (sin2MBA c·  os2MBA· ) (sin 2MCD c·  os2MCD· )= + = 0,75 b) 1,0 điểm

Ta có MH2 = HA.HB (hệ thức lượng tam giác vuông MAB với đường cao

MH) ; mặt khác BH = AB – AH = 2a – AH. 0,25

suy MH2 = AH (2a - AH) 0,25

Nghịch đảo vế

   

1

1

AH a AH  MH 0,25

Mặt khác, ta có 2 12 12  2

MH  MA MB (hệ thức lượng tam giác vuông MAB với đường cao MH) Từ (1) (2) suy

  2

1 1

2

AH a AH MA MB

0,25 c) 1,0 điểm

Đặt b = MA MB MC MD, gọi K hình chiếu M CD

Ta có b = AB.MH.CD.MK = 4a2.MH.OH (do AB = CD = 2a, MK = OH) 0,25 Áp dụng BĐT 2, , y

2 x y

xy  x  , dấu “=” xảy x = y, ta có

OH.MH 2 2

2 2

OH MH OM a

   , từ 4 2 2 a

b a  a

0,25

Đẳng thức xảy MH = OH OH = MH =

2

a (áp dụng Pitago cho tam giác vuông cân OMH) 0,25

Vậy điểm H nằm hai điểm O A cho OH = 2 a

MA MB MC MD lớn nhất, giá trị lớn 2a4

0,25 5 1,0 điểm

Xét 1009 số từ 1009 đến 2017, tổng số chúng ln lớn 1009 1010 2019 2017   , ln tồn số thỏa mãn độ dài cạnh tam giác (*)

0,25 Chia 1009 số vào 500 tập hợp, theo nguyên lý Dirichlet, ln tờn tập

hợp chứa 1009 500

   

 

  số thỏa mãn tính chất (*) nói

0,25 Cịn số từ đến 1008 ta lấy tùy ý vào 500 tập hợp mà không ảnh hưởng

đến kết 0,25

Áp dụng suy luận vào tốn ta ln tìm phịng họp mà số người phịng có số ghi bìa họ số đo độ

dài cạnh tam giác (đpcm) 0,25