Chuyên đề cực trị hàm ẩn

Trong đề thi THPT quốc gia những năm gần đây hay đề tham khảo thi tốt nghiệp THPT năm 2020, các bài toán về xác định cực trị của hàm số cho bởi bảng biến thiên, đồ thị hay đạo hàm của [r]

CHUYÊN ĐỀ CỰC TRỊ HÀM ẨN

Trong đề thi THPT quốc gia năm gần hay đề tham khảo thi tốt nghiệp THPT năm 2020, toán xác định cực trị hàm số cho bảng biến thiên, đồ thị hay đạo hàm (ta gọi cực trị hàm ẩn) thường gây khó khăn cho nhiều thí sinh Bài viết giúp em có tìm hướng tiếp cận đơn giản để giải tốn thật dễ dàng

1 Dựa vào biến thiên đồ thị hàm f x  xác định số lần đổi dấu f x 

Nếu xác định số lần đổi dấu từ   sang   f x  ta xác định số điểm cực đại f x ; số lần đổi dấu từ   sang   f x  ta xác định số điểm cực tiểu f x 

* Lỗi thường gặp: Đếm thừa điểm mà qua đạo hàm khơng đổi dấu

Câu 1: (Đề tham khảo thi tốt nghiệp THPT năm 2020 lần 1)Cho hàm số f x  có bảng xét dấu f x  sau:

 

Số điểm cực trị hàm số cho

A B 2 C 1 D 3

Lời giải ChọnB

Dễ thấy, f x  lần đổi dấu từ   sang   lần đổi dấu từ   sang   nên hàm số có hai điểm cực trị

2 Cực trị hàm g x  f u x  

Để xác định số cực trị hàm g x  f u x   ta thường hướng đến việc xét dấu

       g x u x f u x 

Nếu g x  đổi dấu x0 TXĐ g x  x0 điểm cực trị Trường hợp đơn giản f x u x   , hàm đa thức nghiệm đơn nghiệm bội lẻ điểm cực trị g x 

* Lỗi thường gặp: Nhầm lẫn nghiệm chẵn nghiệm bội lẻ

x  1 0 

Câu 2: (Đề tham khảo TNTHPT lần năm 2020) Cho hàm số bậc bốn y  f x  có đồ thị hình vẽ Số điểm cực trị hàm số g x  f x 3x2

A B 3.

C D 11

Lời giải Chọn C

Từ đồ thị suy hàm số y  f x  có 3 điểm cực trị

1

x  x  x

Xét hàm số g x  f x 3x2, ta có g x 3x2 6x f x  3x2

  2 2

3

0

0

3

3 i, 1;2;3

x

x x

g x x

f x x

x x x i

  

   



          

    

Ta có đồ thị hàm số y x 3x2

Ta có nhận xét phương trình x3 3x2 x1 có 1 nghiệm; phương trình x3 3x2 x2 có 3 nghiệm; phương trình

3

3

3

x  x x có 1 nghiệm nghiệm đôi phân biệt, khác 0; 2

Như vậy, g x 0 có nghiệm đơn phân biệt Do hàm số g x  có điểm cực trị

Câu 3: Cho f x  đa thức bậc 4 hàm số y  f x  có đồ thị đường cong hình vẽ

Số điểm cực đại hàm số g x  f x 3x

A B 2. C 3. D 4.

Lời giải Chọn B

x y

1 -2

-4 y=f'(x)

-3 O

x y

4 O

x y

x=x2 x=x3

x=x1

-3

4

Ta có g x 3x2 3 f x 3x,  

 

3

3 (1)

0

' (2)

x g x

f x x

  

    

 



(1)  x

Dựa vào đồ thị cho

3

3

(2)      xx 3xx 1



Trong phương trình 3 2

2

x x  x       x



Cịn phương trình: x3  3x có nghiệm phân biệt:    2 x1 1,  1 x2 0

3

1 x

Ta có bảng biến thiên hàm số g x 

Vậy hàm số g x  có 2 điểm cực đại

3 Cực trị hàm g x  f u x   v x 

Để xác định số cực trị hàm g x f u x   v x  ta cần xét dấu

         g x u x f u x  v x

+ Hướng 1:Xét dấu g x  dựa vào đồ thị hai hàm y u x f u x y v x     ;   

+ Hướng 2: Đưa u x f u x    v x  dạng tích

* Lỗi thường gặp: Xác định sai dấu nhầm lẫn nghiệm chẵn nghiệm bội lẻ

Câu 4: Cho hàm số y  f x( ) có đạo hàm liên tục  Đồ thị hàm số y f x ( ) hình vẽ Số điểm cực trị hàm số y  f x( ) 5 x

A 3 B 4

C D

x y

y=f'(x)

4

Lời giải Chọn C

Ta có y f x( ) 5 x Suy y f x( ) 5

Dựa vào đồ thị ta có y f x ( ) cắt đường thẳng y 5 điểm x0 (x0 nghiệm đơn phương trình f x ( ) 5)

Vậy hàm số y  f x( ) 5 x có 1 điểm cực trị

Câu 5: Cho hàm số y  f x  hàm đa thức bậc bốn có đồ thị hàm số

 

y f x hình bên vẽ Hàm số ( ) ( ) 2

3

x

g x  f x    x x đạt cực đại điểm nào?

A x 1 B x  1

C x 0 D x 2

Lờigiải ChọnA

Ta có g x( ) xác định  g x( ) f x( ) ( x 1)2

Số nghiệm phương trình g x ( ) số giao điểm hai đồ thị ( )

y f x  parabol y (x 1)2; g x ( ) đồ thị y f x ( ) nằm paraboly (x 1)2 ngược lại

Từ đồ thị suy

0 ( )

x

g x x

x       

 

g x( ) đổi dấu từ dương sang âm qua x 1 Do hàm số đạt cực đại x 1

4 Dựa vào biến đổi đồ thị

Cho hàm số y  f x( ) có đồ thị  C a 0 Khi

+ Tịnh tiến  C lên a đơn vị ta đồ thị hàm số y  f x a + Tịnh tiến  C xuống a đơn vị ta đồ thị hàm số y  f x a + Tịnh tiến  C sang trái a đơn vị ta đồ thị hàm số y  f x a   + Tịnh tiến  C sang phải a đơn vị ta đồ thị hàm số y  f x a   + Lấy đối xứng  C qua Ox ta đồ thị hàm số y  f x 

+ Lấy đối xứng  C qua Oy ta đồ thị hàm số y  f x 

* Lỗi thường gặp: Biến đổi đồ thị sai

x y

1

-2 -1 O

x y

1

-2 -1 O

x y

x0

5

y=5

y=f'(x)

4

* Đặc biệt f x  hàm đa thức

1) Với hàm y f x  (có thể mở rộng với hàm y f x m )

Số điểm cực trị đồ thị hàm số y  f x  tổng số giao điểm đồ thị hàm số

 

y  f x với Ox số điểm cực trị không thuộc Ox đồ thị hàm số y  f x 

2) Với hàm y f x   (có thể mở rộng với hàm y  f x m)

Số điểm cực trị hàm số 2k 1 k số điểm cực trị dương

Câu 6: (Đề thi thử lần - Sở GDĐT Hà Nội năm 2020) Cho hàm số

3

y ax bx  cx d với a 0 có đồ thị hình vẽ Điểm cực đại đồ thị hàm số y  f4 x 1

A A 5;4 B B 3;2

C C 3;4 D D 5;8

Lời giải Chọn A

Từ đồ thị hàm số f x  ta thực phép biến đổi

    4  4 

f x   f x f  x f  x

Suy đồ thị hàm số y f 4 x có điểm cực đại A 5;4

  

Câu 7: Cho y  f x  hàm đa thức bậc bốn có đồ thị hàm số y  f x  hình bên vẽ Hỏi hàm số y f x   có điểm cực trị?

A B

C 2 D 4

Lờigiải ChọnA

Từ đồ thị hàm số f x  ta thấy f x  có hai cực trị dương nên hàm số y f x   có cực trị

x y

y=f(x)

1

-1 -1

O

x y

y=f(-x)

-1

-1

O

y

5 3

-1

y=f(4-x)

O

y

y=f(4-x)+1

5

O

x y

1

-1 -1 O

x y

Câu 8: (Đề thi thử lần – Chuyên ĐH Vinh lần năm 2020)

Cho f x ax4 bx3 cx2 dx e ae  0 Đồ thị hàm số  

y f x hình vẽ Hàm số y  4f x x2 có điểm cực tiểu?

A 3 B 4

C 2 D

Lời giải Chọn A

Xét hàm số g x 4f x x2

Ta có     ;    

2

x g x  f x  x g x   f x 

Đồ thị hàm số y f x  cắt đường thẳng

2

x

y điểm có hồnh độ 1;0;2

Bảng biến thiên g x 

x  1 0 

 

g x   0    1

g  g 2

 

g x g 0

 

Từ đồ thị f x  a 0 mà ae    0 e 0 g 0 4 0f  4.e0

Nhận thấy g x  có điểm cực tiểu đồ thị hàm số y g x   cắt trục hoành hai điểm phân biệt nên hàm số y  g x  có 3 điểm cực tiểu

x y

y=f'(x)

-

1

1 -1 O

x y

y=f'(x)

2 x y=

-

1

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Câu 1: Cho y  f x  hàm đa thức bậc có đồ thị hàm y  f x  hình vẽ Số điểm cực tiểu hàm số y  f x 

A B

C 2 D 3

Câu 2: Cho y  f x  hàm đa thức bậc có đồ thị hàm y  f x  hình vẽ Số điểm cực tiểu hàm số y  f x 

Số điểm cực tri ̣ của hàm số y  f x  là

A 4 B C 2 D 3

Câu 3: Cho hàm số f x  có bảng biến thiên sau

x  1 0 

y   0  

1

y 2

 

Hàm số y  f 3xđạt cực đại

A x  1 B x 2

C x 0 D x  3

Câu 4: Cho hàm số y  f x ax3 bx2  cx d có điểm cực

trị 0;a 2 a 3 có đồ thị đường cong hình vẽ Đặt

    

g x  f f x Số điểm cực trị hàm số

A B

C 10 D 6

x y

1 -1 O

x y

2 -1

-4 O

x y

a

2

y=f(x)

3

1

Câu 5: Cho hàm số y  f x ax4 bx3 cx2 dx e Biết hàm số y  f x  liên tục  có đồ thị hình vẽ bên Hỏi hàm số g x  f x x2  2 có điểm cực đại?

A B 3

C 1 D 2

Câu 6: Cho f x x4 ax3 bx2  cx d hàm số y  f x  có đồ thị đường cong hình vẽ Số điểm cực trị hàm số y  f f x  

 

A B 11

C 9 D 8

Câu 7: Cho y  f x  hàm đa thức bậc có đồ thị hàm số

 

y f x hình vẽ Đặt g x  f x m   Có giá trị nguyên tham số m để hàm số g x  có điểm cực trị?

A B

C D Vô số

Câu 8: Cho hàm số y  f x  có đạo hàm đến cấp hai 

 0 0;   1,

f  f x    x  Biết hàm số y  f x  có đồ thị hình vẽ Hàm số g x  f x 2 mx , với m tham số dương, có nhiều điểm cực trị?

A B

C D 3

x y

y=f'(x)

1

-4 O

x y

1 -1 O

x y

y=f'(x)

1 5 3

4 2

O 1

x y

y=f'(x)

5

-1

Câu 9: Cho hàm số y  f x  hàm đa thức bậc bốn thỏa mãn f   0 f 0 Biết hàm số y  f x  có đồ thị hình vẽ Hàm số

   2 2

2

x

g x  f x   x có điểm cực trị?

A B 8

C D 3

Câu 10: Cho hàm số y  f x  có đạo hàm  đồ thị hàm số y  f x  cắt trục hồnh điểm có hồnh độ  3; 2; ; ;3; ;5a b c với 1;1 4;4

3 a b c

        có dạng hình vẽ bên Có giá trị nguyên m để hàm số y  f x2  m 3 có điểm cực trị?

A 2 B 3 C 4 D Vô số

x y

3 c

b

a

-2

-3 O

x y

2 1

ĐÁP ÁN

Câu 1: Cho y  f x  hàm đa thức bậc có đồ thị hàm y  f x  hình vẽ Số điểm cực tiểu hàm số y  f x 

A B

C 2 D 3

Lời giải ChọnA

Từ đồ thị hàm số y  f x  ta thấy đạo hàm f x  đổi dấu từ

  sang   1 lần

Vậy hàm số y  f x  có 1 điểm cực tiểu

Câu 2: Cho y  f x  hàm đa thức bậc có đồ thị hàm y  f x  hình vẽ

Số điểm cực tiểu hàm số y  f x 

A 4 B C 2 D 3

Lời giải Chọn B

Từ đồ thi ̣ hàm số y  f x  suy f x  0, x Do đó, hàm sớ y  f x  không có cực tri ̣

Câu 3: Cho hàm số f x  có bảng biến thiên sau

x  1 0 

y   0  

1

y 2

 

Hàm số y  f3xđạt cực đại

A x  2 B x  4 C x  3 D x 3

Lời giải Chọn B

Thực biến đổi f x      f x f 3x

x y

1 -1 O

x y

2 -1

Điểm cực đại f x  1;2 Điểm cực đại f x  1; 2 Điểm cực đại

3  f x 4;1

Câu 4: Cho hàm số y  f x ax3 bx2  cx d có điểm cực trị 0;a 2 a 3 có đồ thị đường cong hình vẽ

Đặt g x  f f x   Số điểm cực trị hàm số

A 2 B 8 C 10 D 6

Lời giải Chọn B

       g x  f f x f x 

      

g x   f f x f x       0

f f x f x

  



   

   

0

f x f x a x

x a

 

  

    

, 2 a 3

 

f x  có nghiệm đơn phân biệt x1, x2, x3 khác a

Vì 2 a nên f x a có 3 nghiệm đơn phân biệt x4, x5, x6 khác x1, x2, x3, 0, a Suy g x 0 có 8 nghiệm đơn phân biệt

Do hàm số g x  có 8 điểm cực trị

Câu 5: Cho hàm số y  f x ax4 bx3 cx2 dx e Biết hàm số y  f x  liên tục

trên  có đồ thị hình vẽ bên Hỏi hàm số g x  f x x2  2 có điểm cực đại?

x y

a

2

y=f(x)

3

1

O

x y

y=a a

2

y=f(x)

3

1

A B 3 C 1 D 2

Lời giải Chọn C

Ta có y  2 2x f x x   20

2 2

2

2

2

x x x

x x x x

 

    

   

   

1

1

x x

 



   

1 5 1 5

2 2 x |  

2 

f  x   |  

 

g x  0  0  0 

Suy hàm số có cực đại

Câu 6: Cho f x x4 ax3 bx2  cx d hàm số y  f x  có đồ thị đường cong hình vẽ

Số điểm cực trị hàm số y  f f x  

A B 11 C 9 D 8

Lời giải Chọn A

Từ đồ thị giả thiết suy f x x x 2   1 x3 x f x 3x2 1 Ta có g x f f x    f f x f x       x3 x 3  x3 x  3x2 1

 

 

x y

y=f'(x)

1

-4 O

x  

 

0

x y

 1 1 1 1 3 1

x x x x x x x x

            3 0 1 1

0 1 0 ( 0,76)

1,32

1

3 x x x x x x

g x x x x a

x b b

x x x x                                                    

Do đó, hàm số g x  có điểm cực trị

Câu 7: Cho y  f x  hàm đa thức bậc có đồ thị hàm số y  f x  hình vẽ Đặt

   

g x  f x m Có giá trị nguyên tham số m để hàm số g x  có điểm cực trị?

A B C D Vô số

Lờigiải ChọnA

Ta có      

 ,, 00

f x m x g x f x m

f x m x

  



     

 

Do hàm số y  f x  xác định  Hàm sốg x  xác định 

Và ta lại có g x   f x m  g x Hàm sốg x  hàm số chẵnĐồ thị hàm số

 

y g x đối xứng qua trục Oy

Hàm số y g x  có điểm cực trịHàm số y g x   có điểm cực trị dương, điểm cực trị âm điểm cực trị 0

Dựa vào đồ thị hàm số y  f x , ta có:  

3

0 2

x x

f x x

Xét khoảng 0;, ta đượcg x   f x m  + Ta cóg x  f x m  

+  

3

1

0 2 2

5

x m x m

x m x m

g x x m x m

x m x m

       

 

       

 

          

 

      

 

 

+ Nhận thấy           m m m m Theo yêu cầu toán

 

1

3

3 3;

m m

m

m m



 

    

 

           

 

 



Câu 8: Cho hàm số y  f x  có đạo hàm đến cấp hai   0 0;   1,

6

f  f x    x 

Biết hàm số y f x  có đồ thị hình vẽ Hàm số g x  f x 2 mx , với m tham số dương, có nhiều điểm cực trị?

A 1 B 2 C D 3

Lời giải Chọn D

Từ đồ thị hàm số y  f x  suy f x    0, x 0;  Do đó, f x 2    0, x 0; 

Xét hàm số h x  f x 2 mx; h x 2 x f x 2 m Với x 0, h x  0 Phương trình h x 0 vơ nghiệm Với x 0 ta có   2  2 4  2 2  2 2

3

x h x  f x  x f x  f x 

x y

y=f'(x)

1 5 3

4 2

Từ đồ thị hàm số y f x ta thấy với x 0, đồ thị hàm số

 

y f x nằm đường thẳng

3

x y 

Do đó,  2 2 0,   0,

3

x

f x     x h x   x hay hàm số

 

y h x  đồng biến 0; Mà h 0   m 0 lim  

xh x   nên phương trình  

h x  có nghiệm x0  0;  Bảng biến thiên

x  x0 

y   0 

 

y

0

 0 h x

Khi phương trình h x 0 có nghiệm phân biệt

Đồng thời hàm số y h x   đạt cực tiểu x x 0, giá trị cực tiểu h x 0 0 Vậy hàm số y  h x  có 3 điểm cực trị

Câu 9: Cho hàm số y  f x  hàm đa thức bậc bốn thỏa mãn f    0 f 0 Biết hàm số y  f x  có đồ thị hình vẽ Hàm số

   

2 2

2

x

g x  f x   x có điểm cực trị?

A B

C D

Lờigiải ChọnA

Xét hàm số    2 2

2

x

h x  f x   x ;

  2  2 2 4 2  2 2 h x  x f x  x  x  x f x   x 

x y

2 1

1 O

x y

y=f'(x)

1

4

Từ đồ thị hàm số y  f x  hàm số y   x suy

  0, 2; 

f x      x x f x      x 0, x  ;2 Do đó, f x 2    x2 x2     2 x

Ta có bảng biến thiên

x   1 2 

 

g x  0     

 

 

g x f  0

 2

f f  2

Từ giả thiết f    0 f 2 0 suy g x  cắt trục hoành 4 điểm phân biệt hàm số g x  có 3điểm cực trị hàm số h x    g x có 7điểm cực trị

Câu 10: Cho hàm số y  f x  có đạo hàm  đồ thị hàm số y  f x  cắt trục hồnh điểm có hồnh độ  3; 2; ; ;3; ;5a b c với 1;1 4;4

3 a b c

        có dạng hình vẽ bên Có giá trị nguyên m để hàm số y  f x2  m 3 có điểm cực trị?

A 2 B 3 C 4 D Vô số

Lờigiải ChọnB

x y

3 c

b

a

-2

-3 O

x y

y=f'(x)

y=2-x 2

Từ hình vẽ ta thấy hàm số y  f x  đạt cực trị điểm  3; 2; ; ; ;5a b c Xét hàm số y g x   f x2  m 3

  2x  3

g x f x m

x

    

Khi đó, để xác định số điểm cực trị hàm số y g x   ta cần xác định số nghiệm hệ

 

0

2 3; 2; ; ; ;5

x

x m a b c

 

      

0

1 3

; ; ; ; ;

2 2 2

x

m m a m b m c m m

x  

  

              

  

  



Đặt

1 2m; m2 1; a 32 m; b 32 m; c 32 m; m2

x  x    x    x    x    x  

Ta có x1  x2 x3 x4 x5 x6 Với i1;2; ;7

Nếu xi 0 phương trình x xi có hai nghiệm phân biệt x  xi, dẫn đến x  xi hai điểm cực trị hàm số y g x  

Nếu xi 0 phương trình x xi có x 0, dẫn đến x  điểm cực trị hàm số y g x  

Nếu xi 0 phương trình x xi vơ nghiệm Do đó, hàm số y g x   có điểm cực trị

3

3 0

4

0 3 3 3

3

2

a m

x x b m a m b m

  

 



                 

 

