Một số mô hình ngẫu nhiên trong tài chính

Một số mô hình ngẫu nhiên trong tài chính Một số mô hình ngẫu nhiên trong tài chính Một số mô hình ngẫu nhiên trong tài chính Một số mô hình ngẫu nhiên trong tài chính Một số mô hình ngẫu nhiên trong tài chính

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ———————– TRẦN PHƯƠNG DUNG MỘT SỐ MƠ HÌNH NGẪU NHIÊN TRONG TÀI CHÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2012 Mục lục Lời mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 1.2 1.3 Quá trình ngẫu nhiên 1.1.1 Quá trình ngẫu nhiên 1.1.2 Q trình ngẫu nhiên thích nghi với lọc 1.1.3 Martingale 1.1.4 Thời điểm dừng 1.1.5 Quá trình Wiener hay chuyển động Brown 1.1.6 Kì vọng có điều kiện σ− trường Tích phân ngẫu nhiên 1.2.1 Tích phân Itơ 1.2.2 Vi phân ngẫu nhiên Itô công thức Itô 1.2.3 Phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính 1.2.4 Phép biến đổi độ đo định lí Girsanov Các khái niệm tài 1.3.1 Thị trường tài 1.3.2 Quyền chọn 10 1.3.3 Danh mục đầu tư 11 1.3.4 Danh mục tự cân đối tài 11 1.3.5 Ac-bit (Cơ hội có độ chênh thị giá) 12 1.3.6 Xác suất trung hòa rủi ro 12 Một số mơ hình ngẫu nhiên tài 2.1 13 Mơ hình định giá trái phiếu 13 2.1.1 Định giá trái phiếu với lãi suất cố định 14 2.1.2 Định giá trái phiếu với lãi suất ngẫu nhiên 17 2.2 2.3 2.4 2.5 Mơ hình định giá cổ phiếu 19 2.2.1 Mơ hình nhị phân 19 2.2.2 Mơ hình GBM 24 Mơ hình định giá quyền chọn 26 2.3.1 Mơ hình nhị phân định giá quyền chọn 27 2.3.2 Quyền chọn kiểu Âu 32 2.3.3 Quyền chọn kiểu Mỹ 34 Từ mơ hình với thời gian rời rạc đến mơ hình với thời gian liên tục 37 2.4.1 Tổng hợp kết thời gian rời rạc 37 2.4.2 Giới hạn mơ hình CRR 39 2.4.3 Mô hình Black - Scholes 41 2.4.4 Danh mục tự cân đối tài phịng hộ 45 Hàm lỗ - lãi số tính chất 47 2.5.1 Lãi - lỗ chiến lược khả đoán 48 2.5.2 Biểu diễn martingale 49 2.5.3 Hàm P &L martingale 51 2.5.4 Thị trường khơng có Acbit (Khơng kinh doanh chênh lệch giá) 53 2.5.5 Sự tồn P∗ 53 Kết luận 55 Tài liệu tham khảo 56 Lời mở đầu Hiện nay, mơ hình ngẫu nhiên trở thành đối tượng nghiên cứu quan trọng lí thuyết tốn tài chính, giúp có cơng cụ để phân tích định giá tài sản tài cách tốt Cơng trình có tính chất cách mạng việc tính tốn tài xuất vào năm 1973 F.Black M.Scholes tính giá trị hợp lý quyền chọn (“Pricing of Option and Corporate Liabilities”) Tiếp đó, có loạt cơng trình tính giá hợp lý quyền chọn loại hoạt động chứng khốn với mơ hình nhiều cấp độ từ đơn giản đến phức tạp khác nhau, đáng ý cơng trình J Cox, A Ross M Rubinstein năm 1976 Trong năm gần đây, có nhiều tài liệu nghiên cứu mơ hình ngẫu nhiên này, nhiên số chưa có nhiều tài liệu trình bày cách có hệ thống chưa thấy liên hệ số mơ hình, chẳng hạn mơ hình ngẫu nhiên trường hợp thời gian rời rạc với trường hợp thời gian liên tục Mục đích luận văn hệ thống lại cách số mô hình ngẫu nhiên tài chính, mối liên hệ số mơ hình rời rạc liên tục, cụ thể hợp đồng quyền chọn Luận văn cung cấp toán ứng dụng để làm rõ vấn đề nêu Bố cục luận văn bao gồm chương: • Chương trình bày số kiến thức chuẩn bị cần thiết, bao gồm q trình ngẫu nhiên, tích phân ngẫu nhiên, khái niệm thị trường tài cấu trúc • Chương chương chính, trình bày số mơ hình ngẫu nhiên tài chính, bao gồm mơ hình định giá trái phiếu, mơ hình định giá cổ phiếu mơ hình định giá quyền chọn, định giá quyền chọn đề cập đến mơ hình với thời gian rời rạc thời gian liên tục, đánh giá hội tụ từ trường hợp rời rạc đến liên tục, cụ thể từ mơ hình CRR đến mơ hình Black - Scholes Ngồi chương luận văn cịn trình bày hàm lỗ - lãi chiến lược khả đốn với tính chất Luận văn hồn thành nhờ có hướng dẫn giúp đỡ tận tình Tiến sĩ Trần Trọng Nguyên Qua đây, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy Cuối em xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo giảng dạy trường Đại học Khoa học tự nhiên tận tình cung cấp kiến thức tảng cho em năm học vừa qua Hà Nội, tháng 2012 Trần Phương Dung Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 1.1.1 Quá trình ngẫu nhiên Quá trình ngẫu nhiên Cho (Ω, F , P) không gian xác suất Một trình ngẫu nhiên (Xt , t ≥ 0) hàm hai biến X(t, ω) xác định R+ × Ω, lấy giá trị R hàm đo σ - trường tích BR+ × F , BR+ σ - trường tập Borel R+ Trong tài chính, q trình giá chứng khốn St , giá trái khốn Pt , giá sản phẩm phái sinh Ct xem trình ngẫu nhiên 1.1.2 Quá trình ngẫu nhiên thích nghi với lọc Một họ σ - trường (Ft , t ≥ 0) F gọi lọc thỏa mãn điều kiện thơng thường nếu: • (Ft ) họ tăng theo t, tức Fs ⊆ Ft s ≤ t, • (Ft ) liên tục phải, tức Ft = ∩ >0 Ft+ , • Nếu A ∈ F P(A) = A ∈ F0 Một trình ngẫu nhiên Y = (Yt , t ≥ 0) gọi thích nghi với lọc (Ft , t ≥ 0) với t, Yt đo σ - trường Ft Xét trình ngẫu nhiên X = (Xt ) σ - trường FtX sinh tất biến ngẫu nhiên Xs với s ≤ t : FtX = σ(Xs , s ≤ t) σ - trường chứa đựng thông tin diễn biến khứ trình X thời điểm t Ta gọi lọc tự nhiên trình X, lịch sử X Khi q trình X = (Xt , t ≥ 0) thích nghi với lịch sử 1.1.3 Martingale Định nghĩa 1.1 Cho q trình ngẫu nhiên X = (Xt )t≥0 thích nghi với lọc (Ft ) khả tích E|Xt | < ∞ với t ≥ Giả sử s t hai giá trị cho s ≤ t Khi đó: Nếu E(Xt | Fs ) ≤ Xs X gọi martingale trên; Nếu E(Xt | Fs ) ≥ Xs X gọi martingale dưới; Nếu E(Xt | Fs ) = Xs X gọi martingale lọc (Ft )t≥0 1.1.4 Thời điểm dừng Cho không gian xác suất (Ω, F , P) lọc (Ft ) Một biến ngẫu nhiên τ gọi thời điểm Markov với t ≥ {ω ∈ Ω : τ (ω) ≤ t} ∈ Ft Một thời điểm Markov gọi thời điểm dừng τ hữu hạn hầu chắn, tức P{ω ∈ Ω : τ (ω) < ∞} = 1.1.5 Quá trình Wiener hay chuyển động Brown Một trình ngẫu nhiên X = (Xt )t≥0 trình Wiener hay chuyển động Brown nếu: X0 = hầu chắn Hiệu Xt − Xs biến ngẫu nhiên chuẩn với kì vọng phương sai t − s, (s < t) Các số gia Xt4 − Xt3 Xt2 − Xt1 (với t1 ≤ t2 ≤ t3 ≤ t4 ) biến ngẫu nhiên độc lập Kí hiệu W = (Wt , t ≥ 0) chuyển động Brown Khi Wt martingale lọc tự nhiên nó, với Ft = FtW = σ(Ws , s ≤ t) σ− trường nhỏ sinh khứ W tính đến thời điểm t 1.1.6 Kì vọng có điều kiện σ− trường Cho (Ω, F , P) không gian xác suất, G ⊂ F σ− trường F , X : (Ω, F ) → (R, BR ) biến ngẫu nhiên Khi đó, biến ngẫu nhiên X ∗ gọi kì vọng có điều kiện X σ− trường G nếu: • X ∗ biến ngẫu nhiên đo G • Với tập A ∈ G ta có X ∗ dP = A XdP A Biến ngẫu nhiên X ∗ kí hiệu E(X|G) Mệnh đề 1.1 Cho X, Y biến ngẫu nhiên Ω Khi có tính chất sau: E(X|{Ω, ∅}) = EX Với a, b hai số thực E(aX + bY |G) = aE(X|G) + bE(Y |G) Nếu Y ∈ G E(XY |G) = Y E(X|G) Nếu G1 ⊆ G2 E(E(X|G2 )|G1 ) = E(X|G1 ) Nếu X độc lập với G E(X|G) = EX 1.2 1.2.1 Tích phân ngẫu nhiên Tích phân Itơ Cho f (t, ω) trình ngẫu nhiên Wt chuyển động Brown tiêu chuẩn, tất quỹ đạo f W xác định đoạn a ≤ t ≤ b Xét phân hoạch đoạn [a, b]: a = t0 < t1 < < tn = b lập tổng tích phân Sn (ω) = n−1 i=0 f (ti , ω)[W (ti+1, ω) − W (ti , ω)] f (ti , ω) giá trị f (t, ω) t = ti Khi max |ti+1 − ti | → 0, tồn biến ngẫu nhiên S ∗ (ω) cho E|Sn (ω) − S ∗ (ω)|2 → n → ∞ S ∗ (ω) gọi tích phân Itơ trình f (t, ω) đoạn [a, b] kí hiệu I= b a f (t, ω)dWt Giới hạn S ∗ (ω) giới hạn theo nghĩa bình phương trung bình Sn (ω), kí hiệu l.i.m Sn (ω) Vậy tích phân Itơ q trình ngẫu nhiên f (t, ω) giới hạn n→∞ theo nghĩa bình phương trung bình sau tồn tại: b I= f (t, ω)dWt = a f (ti , ω) Wti+1 − Wti l.i.m max|ti+1 −ti |→0 Các tính chất quan trọng tích phân Itơ E E t f (t, ω)dWs = 0, t ∈ [a, b] t f (s, ω)dWs Tích phân Itơ Xt = 1.2.2 t =E t f (s, ω)ds f (s, ω)dWs martingale σ− trường FtW Vi phân ngẫu nhiên Itô công thức Itô 1.2.2.1 Vi phân Itô Giả sử X = (Xt )t≥0 trình ngẫu nhiên cho: Hầu hết quỹ đạo t → Xt liên tục, Xt có biểu diễn Xt = X0 + t h(t, ω)ds + t f (s, ω)dWs h f trình ngẫu nhiên đo dần cho tích phân biểu diễn tồn ta nói X q trình Itơ có vi phân Itơ dX - biểu thức hình thức viết sau: dXt = h(t, ω)dt + f (t, ω)dWt 1.2.2.2 Công thức Itơ Định lí 1.1 Cho X q trình Itơ với dX = hdt + f dW Giả sử g(t, x) : R2 → R phiếu định Danh mục đa dạng số lượng cổ phiếu trái phiếu phụ thuộc vào thời gian Với thời gian t cố định, chúng phụ thuộc vào biến thiên giá trị giá cổ phiếu trước thời điểm t không phụ thuộc vào giá cổ phiếu tương lai sau thời điểm t Kí hiệu số xt yt (tại thời điểm t), chúng biến ngẫu nhiên trình (x, y) trình ngẫu nhiên hai biến số Giá trị danh mục t kí hiệu V (t) V (t) = xt S(t) + yt B(t) (2.69) Ta làm việc với giá trị chiết khấu trình ngẫu nhiên Như mục trước, kí hiệu Y phần chiết khấu trình Y xác định Y (t) = Y (t)/B(t) = Y (t)e−rt Đặc biệt giá trị chiết khấu V (t) xác định V (t) = xt S(t) + yt (2.70) Một danh mục gọi danh mục martingale trình giá trị chiết khấu V martingale độ đo Q Trong việc thiết lập trình thời gian rời rạc danh mục martingale danh mục tự cân đối tài chính, nhiên trường hợp thời gian liên tục điều khơng cịn Nhưng ta đưa biểu thức cho trình giá trị V danh mục Theo định nghĩa ta có V (t) = EQ [V (T )|Ft], V (t) = e−r(T −t) EQ [V (T )|Ft] Bây giả thiết r = 0, xét danh mục tự cân đối tài với thời gian rời rạc có giá trị V Kí hiệu Vn (u) giá trị Vn Sn = Sn−1 u, Vn (d) ngược lại, kí hiệu Sn (u) = Sn−1 u Sn (d) = Sn−1 d xn yn không phụ thuộc vào giá trị Sn , ta có: Vn (u) = xn Sn (u) + yn Vn (d) = xn Sn (d) + yn Kí hiệu D toán tử hiệu cho DVn = Vn (u) − Vn (d) DSn = Sn (u) − Sn (d) Do ta có xn = DVn DSn (2.71) Nhắc lại với r = 0, danh mục với thời gian rời rạc tự cân đối tài q trình giá trị V martingale độ đo martingale tương đương Q Giả thiết có danh mục tự cân đối tài cho giá trị cuối VN hàm SN , chẳng hạn VN = f (SN ) Khi ta có Vn = EQ [f (SN )|S0 , , Sn ], theo tính chất Markov S xác suất Q, thu gọn thành hàm theo Sn , chẳng hạn Vn = (Sn ) Khi viết 42 Vn (u) = (Sn−1 u) Vn (d) = (Sn−1 d) Phương trình trở thành xn = (Sn−1 u) − (Sn−1 d) Sn−1 u − Sn−1 d (2.72) Khi u ↓ d ↑ u − d → 0, giả sử miền xác định R đạo hàm vn tồn Khi biểu thức có dạng xn ≈ (Sn−1 ) Kết sở cho định nghĩa danh mục tự cân đối tài thời gian liên tục Trong mục trước ta nêu cách xây dựng giới hạn cho mơ hình CRR Cho trước số N lớn so sánh thị trường có thời gian liên tục khoảng[0, T ] với thị trường CRR ảo có tập thời gian {0, , N}, N T liên hệ công thức N∆N = T Cố định thời điểm t ∈ [0, T ] gọi n thời điểm tương ứng N N thị trường ảo, n = [ Tt N] tN n ≤ t < tn+1 với tn = n T N Kí hiệu QN độ đo martingale tương đương thị trường CRR thứ N Xét giá trị VnN = vnN (SnN ) Giả thiết f hàm liên tục bị chặn Khi từ kết hội ) tụ mục trước ta có vnN (s) hội tụ tới hàm v(t, s) := EQ f ( S(T s) Q xác S(t) suất thỏa mãn biểu thức (2.66) Ta thay s suN sdN Nếu v khả vi biến thứ hai, ta có xấp xỉ vnN (suN ) ≈ v(t, x) + s(uN − 1)vx (t, s), tương tự với vnN (sdN ) Nếu xN n lượng cổ phiếu thời điểm n thị trường CRR thứ N, ta có xấp xỉ xN n = DVnN (s) N DSn ≈ vx (t, s) Định nghĩa 2.1 Một danh mục martingale thị trường Black - Scholes mà trình giá trị V viết V (t) = v(t, S(t)) gọi danh mục tự cân đối tài đại lượng xt đầu tư vào cổ phiếu thời điểm t thỏa mãn xt = vx (t, S(t)) Định nghĩa đưa với ràng buộc lãi suất Tuy nhiên đưa định nghĩa với trường hợp lãi suất khác Xét danh mục với trình giá V xác định V (t) = v(t, S(t)) Q trình giá trị chiết khấu V (t) = v(t, S(t)), hàm v, v liên hệ với công thức v(t, x) = e−rt v(t, ert x) Quan sát thấy thị trường chiết khấu Black - Scholes lãi suất Giả sử có danh mục tự cân đối tài thị trường chiết khấu Ta biết xt = v x (t, S(t)) Ta có xt = vx (t, S(t)) Điều phát biểu "một danh mục tự cân đối tài thị trường Black - Scholes tự cân đối tài thị trường chiết khấu đó" Khi biết danh mục tự cân đối tài nào, ta định nghĩa danh mục ac-bit Một danh mục gọi danh mục ac-bit khoảng [0, T ] tự cân đối tài thỏa mãn P(V (0) = 0) = 1, P(V (T ) ≥ 0) = P(V (T ) > 0) > 43 Mệnh đề 2.4 Thị trường Black - Scholes thị trường khơng có ac-bit Chứng minh Rõ ràng định nghĩa danh mục ac-bit phát biểu trình giá trị chiết khấu Vì P vàQ hai độ đo tương đương nên ta có Q(V (0) = 0) = 1, Q(V (T ) ≥ 0) = Q(V (T ) > 0) > Giả sử có danh mục tự cân đối tài Vì giá trị chiết khấu V martingale Q, ta có V (0) = V (0) = EQ V (T ) Nếu Q(V (T ) ≥ 0) = Q(V (T ) > 0) > ta có EQ V (T ) > 0, tức V (0) > 0, danh mục khơng có ac-bit Khi thấy thị trường Black - Scholes khơng có ac-bit, ta thừa nhận ngun lí định giá sau Nếu có hai loại tài sản thời điểm T cho thu hoạch giá trung bình chúng thời điểm t trước T Đó khái niệm ngun lí định giá khơng có ac-bit Xét quyền chọn có thu hoạch thời điểm T X Khi X biến ngẫu nhiên FT đo Ở ta xét quyền chọn có dạng X = F (S(T )), với F hàm đo R Giả sử quyền chọn có kì vọng hữu hạn độ đo Q Ta nói quyền chọn phòng hộ (hedging) hay tự đáp ứng (replicating) có danh mục tự cân đối tài (xt , yt ) (t ∈ [0, T ]) cho giá trị cuối danh mục V (T ) = X Q - hầu chắn Theo ngun lí định giá khơng có ac-bit, giá trung bình quyền chọn có khả phịng hộ thời điểm t ≤ T với giá V (t) danh mục phòng hộ thời điểm Theo định nghĩa danh mục tự cân đối tài ta có V (t) − EQ (V (T )|Ft ), V (t) = e−r(T −t) EQ (V (T )|Ft), tức giá trung bình thời điểm t quyền chọn có khả phịng hộ e−r(T −t) EQ (V (T )|Ft ) Ta biết trình giá V quyền chọn viết V (t) = v(t, S(t)), ta cần trình S trình Markov xác suất Q Vì S(t) = s exp((r − 21 σ )t+σW Q (t)) W Q trình Markov Vì V (t) = EQ (F (S(T ))|Ft ), ta thấy kì vọng có điều kiện thu gọn thành EQ (F (S(T ))|S t ) Khi v(t, x) = EQ (F (S(T ))|S t = x), ta có v(t, S(t)) = V (t) V (t) = ert v(t, S(t)) hay v(t, x) = v(t, xe−rt )ert Tiếp theo ta xác định hàm v Ta đưa hàm phụ f xác định bởi: f (x) = e−rT F (seσx+(r− σ )T ) (2.73) Vậy ta có F (S(T )) = f (W Q (T )) Với hàm phụ w khác xác định w(t, y) = EQ [f (W Q (T )) | W Q (t) = y], ta có w(t, y) = v(t, seσy− σ t ) Khi V (t) = v(t, S(t)) nghiệm phương trình đạo hàm riêng Black - Scholes vt (t, x) + σ x2 vxx (t, x) + rxvx (t, x) − rv(t, x) = 0, 44 (2.74) với điều kiện biên v(T, x) = F (x) Đối với phương trình (2.74), đặt √ T −t ln x + u= σ r − σ2 τ = T − t Giả sử v hàm cho v(t, x) = erτ v(u, τ ) Khi phương trình (2.74) trở thành: ∂v ∂2v = τ ∂u2 Đây phương trình truyền nhiệt với hàm phải tìm v(u, 0) = e−rT max(u − σ(r−σ2 /2) √ x, 0) Theo phương pháp toán lý cổ điển phương pháp tách biến, ta tìm lời giải v tìm v(t, x) = V Cuối ta có V = St φ(d1 ) − Ke−r(T −t) φ(d2 ) với d1 = log(St /K)+(r+ 21 σ2 )(T −t) √ σ T −t √ d2 = d2 (t, s) = d1 (t, s) − σ T − t Đây công thức Black - Scholes định giá quyền chọn trường hợp thời gian liên tục 2.4.4 Danh mục tự cân đối tài phịng hộ Xét danh mục (xt , yt ) với giá trị V , V (t) = xt S(t) + yt B(t) Giả sử V nửa martingale liên tục độ đo xác suất P ta xét vi phân ngẫu nhiên V Định nghĩa 2.2 Một danh mục gọi tự cân đối tài thỏa mãn điều kiện khả tích EQ t T x(u)2 du < ∞ với t ∈ [0, T ] ta có V (t) = V (0) + t xu dS(u) + ys dB(s) Q- hầu chắn Giống với thời gian rời rạc, định nghĩa phát biểu cách tương đương trình giá trị chiết khấu Ta có mệnh đề sau Mệnh đề 2.5 Một danh mục gọi tự cân đối tài với t ∈ [0, T ] ta có V (t) = V (0) + t xu dS(u) Q- hầu chắn, tức trình V martingale Q Mệnh đề nói q trình giá trị chiết khấu danh mục tự cân đối tài martingale vàEQ V (T )2 < ∞ Mệnh đề nói trình martingale xem q trình giá trị danh mục tự cân đối tài 45 Mệnh đề 2.6 Cho trình V martingale Q, giả sử tồn hàm v cho V (t) = v(t, S(t)) Khi danh mục xác định xt = vx (t, S(t)) yt = V (t) − xt S(t) danh mục tự cân đối tài giá trị chiết khấu V Chứng minh Từ phần trước ta biết v nghiệm phương trình đạo hàm riêng vt (t, x) + 21 σ x2 vxx (t, x) = Ta có dV (t) = vt (t, S(t))dt + vx (t, S(t))dS(t) + 12 σ S(t)2 vxx (t, S(t))dt Các số hạng chứa dt bị triệt tiêu, phương trình trở thành dV (t) = vx (t, S(t))dS(t) Chọn xt = vx (t, S(t)) yT = V (t) − xt S(t), ta điều cần chứng minh Mệnh đề có hệ sau Hệ 2.1 Mọi quyền chọn X = F (S(T )) với EQ |X| < ∞ phịng hộ Chứng minh Ta biết tồn hàm v cho martingale EQ [X|Ft ] viết v(t, S(t)) = F (S(T )), suy điều phải chứng minh Tích phân Itơ sử dụng để tìm chiến lược phịng hộ quyền chọn phức, quyền chọn có cấu trúc đặc biệt Chúng phụ thuộc vào S(T ) tích phân xác định S(t) Một ví dụ cho kiểu quyền chọn quyền chọn mua châu Á với thời điểm đáo hạn T giá thực K, thu hoạch ( T1 T S(t)dt − K)+ Đặt Z(t) = t g(u, S(u))du với hàm g : R2 → R Xét quyền chọn F (S(T ), Z(T )) Giả sử phịng hộ quyền ( với danh mục tự cân đối tài chính) Khi giá trị chiết khấu danh mục với giá chiết khấu quyền chọn martingale Vậy ta có V (t) = EQ [F (S(T ), Z(T ))|Ft] Nếu biểu diễn V (t) = v(t, S(t), Z(t)) với hàm v thuận tiện Ta tính tốn với kì vọng có điều kiện F (S(T ), T g(u, S(u))du = t g(u, S(u))du T g(u, S(u))du) Phân tích S(T ) = T t S(T ) S(t) S(t) g(u, S(u))du Khi S(t) = s Z(t) = z kì ) vọng có điều kiện trở thành kì vọng khơng điều kiện EQ F ( S(T s, z + S(t) T t s)du), g(u, S(u) S(t) biểu thức s z Giống quyền chọn đơn, ta v nghiệm phương trình đạo hàm riêng với điều kiện biên Định lí 2.4 Cho v hàm trơn t, z, x nghiệm phương trình đạo hàm riêng vt (t, x, z) + xrvx (t, x, z) + σ x2 vxx (t, x, z) − rv(t, x, z) = 0, 46 (2.75) với điều kiện biên v(T, x, z) = F (x, z) Danh mục gồm xt = vx (t, S(t), Z(t)) yt = (v(t, S(t), Z(t)) − xt S(t))e−rt danh mục tự cân đối tài phịng hộ cho quyền chọn F (S(T ), Z(T )) Chứng minh Áp dụng công thức Itô nhiều chiều cho trình V (t) = v(t, S(t), Z(t)) ta có dV (t) = vt dt+vx dS(t)+vz dZ(t)+ 21 vxx d S t = vt dt+vx rS(t)dt+vx σS(t)dW (t)+ vz g(t, S(t))dt + 12 xxx σ S(t)2 dt = rV (t)dt + vx σS(t)dW (t) Do giá trị chiết khấu V (t) = e−rt V (t) thỏa mãn dV (t) = −rV (t)dt + e−rt dV (t) = e−rt vx σS(t)dW (t) = vx dS(t) (2.76) (2.77) (2.78) Do có danh mục khẳng định định lí ta có V (t) = xt S(t) + yt giá trị chiết khấu danh mục, dV (t) = xt dS(t), tức danh mục tự cân đối tài Từ điều kiện biên ta thu v(T, S(T ), Z(T )) = F (S(T ), Z(T )), danh mục phòng hộ cho quyền chọn F (S(T ), Z(T )) Ta có hệ trực tiếp sau Hệ 2.2 Mọi quyền chọn F (S(T ), Z(T )) thỏa mãn điều kiện khả tích phịng hộ Danh mục phịng hộ xác định định lí (2.4) 2.5 Hàm lỗ - lãi số tính chất Xét mơ hình CRR mà đó, St = S0 uJt dk−Jt , t = kδt ∈ [0 T ]δt , với Jkδt = i=1 k với p = δJiδt , (δJiδt )i=1 n biến ngẫu nhiên độc lập Bernoulli, δJiδt )i=1 n ❀ B(1, p), R−d , u−d R = erδt , < d < R < u, tất biến ngẫu nhiên Jkδt biến ngẫu nhiên Nhị thức, Jkδt ❀ B(k, p), tất nhiên khơng độc lập Kí hiệu (Ω, P) khơng gian xác suất hữu hạn, biến (δJiδt )i=1 n xác định Ta giả sử mục trước r = 0, R = 1, d < < u Đặt FtS := σ(Sδt , S2δt , , Skδt ), t = kδt, xét lọc F(S) := (FtS )t∈[0 T ]δt Dễ thấy FtS = FtJ := σ(Jδt , J2δt , , Jkδt ) = FtδJ := σ(δJδt , , δJkδt) Ta định nghĩa δSt := St − St−δt = St−δt (uδJt d1−δJt − 1), tất nhiên ta có FtS = σ(δSδt , , δSkδt ) = FtδS Bây dễ thấy S E(St | Ft−δt ) = St−δt 47 (2.79) S δJ S S Thật vậy, St−δt ∈ Ft−δt = Ft−δt , δJt độc lập Ft−δt , E(St | Ft−δt )= δJ δJ E(St−δt uδJt d1−δJt | Ft−δt ) = St−δt E(uδJt d1−δJt | Ft−δt ) = St−δt , E(uδJt d1−δJt ) = pu + (1 − p)d = 1−d u u−d + u−1 d u−d = Công thức (2.5) chứng tỏ (St )t∈[0 T ]δt martingale Ví dụ 2.9 • Từ cơng thức (2.5), áp dụng mệnh đề trước, với r = 0, mơ hình S := (St )t∈[0 T ]δt (P, F(S))-martingale • Từ định lí định giá quyền chọn, mơ hình CRR, r = giá quyền chọn kiểu Âu (Vanilla hay ngoại lai) (P, F(S))-martingale Thật vậy, r = Πt = E(ΠT | FtS ) nên với s ≤ t [0 T ] FsS ⊂ FtS , ta có E(Πt | FtS ) = E(E(ΠT | FtS ) | FsS ) = E(ΠT | FsS ) = Πs 2.5.1 Lãi - lỗ chiến lược khả đoán Khi xác định phòng hộ quyền chọn, đại lượng αt cổ phiếu danh mục phòng hộ xếp tăng dần, thời điểm t − δt, biết St−δt Một trình (αt )t∈[0 T ]δt gọi F(S)- khả đoán Định nghĩa 2.3 Cho F = (Ft )t∈[0 T ] lọc Ω Một q trình F- thích nghi (αt )t∈(0 T ]δt gọi F- khả đoán với t ∈ (0 T ]δt , αt Ft−δt đo Định nghĩa 2.4 Cho F = (Ft )t∈(0 T ] lọc Ω α := (αt )t∈(0 T ]δt q trình F- khả đốn Hàm lãi - lỗ chiến lược α thay đổi S trình (P &LSt (α))t∈(0 T ]δt xác định bởi: P &LSt (α) := s∈(0 t]δt αs δSs , với δS = Ss − St−δt (2.80) Tại thời điểm s − δt, ta giữ αs cổ phiếu mức giá Ss−δt , thời điểm s, giá S thay đổi δS = Ss − Ss−δt , ta có lãi lỗ αs δSs , ta lại giữ αs+δt bước (và biết thơng tin FsS ) Do P &LSt (α) tổng lãi lỗ đến thời điểm t St − S0 P &LSt (1), lãi - lỗ chiến lược mua nắm giữ (P &LSt (α))t∈[0 T ] tích phân ngẫu nhiên Itơ: T k(s) αs I{s≤t} dµs , với µs := j=0 48 n j p (1 − p)k(s)−j δS0 uj dk(s)−j , j αs = αk(s) , s ∈ [k(s)δt, (k(s) + 1)δt), k(s) ∈ N Kí hiệu t P &LSt (α) := αs dSs (2.81) Đối với tích phân Itơ, hàm P &L mơ hình CRR có tính chất bật sau Định lí 2.5 Với chiến lược F(S)- khả đoán (αt )t∈[0 T ]δt , trình lãi - lỗ (P &LSt (α))t∈∈[0 T ]δt (P, P(S))- martingale Chứng minh P &LSt (α) := s∈[0 t] αs δSs FtS - tương thích, ta có: s∈[0 t+δt] αs δSs − s∈[0 t] αs δSs = αt+δt St+δt F(S) - tương thích Hơn αt+δt ∈ FtS , E(δP &LSt+δt (α) | FtS ) = E(αt+δt δSt+δt (α) | FtS ) = αt+δt E(δSt+δt (α) | FtS ) = 2.5.2 Biểu diễn martingale Ta biết α tích phân ngẫu nhiên chiến lược khả đốn, tích phân ngẫu nhiên thiết martingale Vậy martingale cho trước có tương ứng với hàm P &L chiến lược khả đoán hay khơng? Định nghĩa định lí sau giúp giải câu hỏi Định nghĩa 2.5 Cho F(S) lọc (P, F(S))- martingale S = (St )t∈[0 T ]δt M = (Mt )t∈[0 T ] (P, F(S))- martingale Một S- biểu diễn M q trình F(S)-khả đốn α = (αt )t∈[0 T ] cho với t ta có: t Mt − M0 = P &LSt (α) = αs dSs Định nghĩa 2.6 Cho S = (St )t∈[0 T ] (P, F(S))- martingale Ta nói có tính chất biểu diễn martingale (P, F(S))- martingale M = (Mt )t∈[0 T ] thừa nhận S- biểu diễn khả đốn Định lí 2.6 Một mơ hình CRR S = (St )t∈[0 T ]δt ln có tính chất biểu diễn martingale (MRP) Để chứng minh định lí ta cần bổ đề sau Bổ đề 2.1 Với kδt = t hàm đặc trưng f : Rk → R, với mơ hình CRR (St )t∈[0 T ] ta có S E(f (Sδt , , St−δt , St ) | Ft−δt ) = pf (Sδt , , St−δt , St−δt u)+(1−p)f (Sδt , , St−δt , St−δt d) 49 S Chứng minh St = St−δt Ut , với Ut := uδJt d1−δt ∈ {u, d} độc lập với Ft−δt Ta định nghĩa X = f (Sδt , , St−δt , St ) Y := pf (Sδt , , St−δt , St−δt u)+(1−p)f (Sδt , , St−δt , St−δt d) Ta phải với A ∈ Ft−δt E(XIA ) = E(Y IA ), Ω hữu hạn nên có S thể kiểm tra tính chất trường hợp A nguyên tử Ft−δt đủ, tức A = {Sδt = sδt , , St−δt = st−δt } Khi ta có E(XIA ) = E(f (Sδt , , St−δt , St )I{Sδt =sδt , ,St−δt=st−δt } ) = E(f (sδt , , st−δt , st−δt U t )I{Sδt =sδt , ,St−δt=st−δt } ) = E(f (sδt , , st−δt , st−δt U t ))E(I{Sδt =sδt , ,St−δt=st−δt } ) tính độc lập = pf (sδt , , st−δt , st−δt u) + (1 − p)f (sδt , , st−δt , st−δt d)E(IA ) Ut := uδJt d1−δJt , với δJt ❀ B(1, p), = E(pf (sδt , , st−δt , st−δt u) + (1 − p)f (sδt , , st−δt , st−δt d)IA ) E tuyến tính, = E(pf (Sδt , , St−δt , St−δt u) + (1 − p)f (Sδt , , St−δt , St−δt d)IA ) = E(Y IA ) Bây ta xác định chiến lược α = (αt )t∈[0 T ] = (αkδt )k=1 n công thức quy nạp theo k Lấy α0 = giả sử αs xác định với s ≤ (k −1)δt ∈ [0 T ]δt Do M(k−1)δt − M0 = s∈(0 (k−1)δt ]αs δSs S Ta cần chọn αkδt ∈ F(k−1)δt cho αkδt δSkδt = δMkδt = m(kδt, Sδt , , S(k−1)δt ) (2.82) với hàm đặc trưng m(t, s1 , , sk−1) Áp dụng bổ đề trên, với S M martingale nên ta có: + − S St−δt = E(St | Ft−δt ) = pSt−δt u + (1 − p)St−δt d =: pSt−δt + (1 − p)St−δt Vì Mt ∈ FtS nên tồn f : Rk → R cho Mt = f (Sδt , , St ), S Mt−δt = E(Mt | Ft−δt ) = pf (Sδt , , St−δt , St−δt u) + (1 − p)f (Sδt , , St−δt , St−δt d) + − =: pMt−δt + (1 − p)Mt−δt Suy + − p(Mt−δt − Mt−δt ) = (p − 1)(Mt−δt − Mt−δt ) + − p(St−δt − St−δt ) = (p − 1)(St−δt − St−δt ), + − Mt−δt − Mt−δt Mt−δt − Mt−δt = =: α + − St−δt − St−δt St−δt − St−δt (2.83) S Dễ thấy α ∈ Ft−δt , St = St−δt Ut với Ut ∈ {u, d}, ta suy từ (2.83) với giá trị Ut ta có αδSkδt = α(St−δt Ut − St−δt ) = f (Sδt , , St−δt , St−δt Ut ) − Mt−δt = δMt 50 S Vì ta chọn αkδt := α Ft−δt đo Nhận xét Với Mt = E(X | FtS ) giá trị danh mục đầu tư phịng hộ quyền chọn Âu hàm thu hoạch X FtS đo tỉ số αkδt + − Mt−δt − Mt−δt =α= + − St−δt − St−δt (2.84) gọi tỉ số phòng hộ quyền chọn (tỉ số hiệu hai giá trị có quyền chọn với hiệu hai giá trị có tài sản) Do tỉ số đại lượng dự báo giá tài sản mà danh mục đầu tư phòng hộ chứa đựng thời điểm Trong chương đầu ta giới thiệu thị trường khơng hồn hảo, tức mơ hình cổ phiếu mà tính chất FTS - đo với thu hoạch Πt khơng phịng hộ, tức khơng có q trình Ft - khả đốn α = (αt )t≤T cho P &LST (α) = Πt − Π0 , với phần bù tối thiểu Π0 (khơng ngẫu nhiên) Trong mơ thế, phương pháp định giá quyền chọn giá trị danh mục đầu tư phòng hộ rủi ro khơng cịn áp dụng nữa, phải khái quát thành gọi phương pháp Acbit (kinh doanh chênh lệch giá) Xét toán Stanley Pliska - nhà sáng lập tài đại, gồm bước δt = T , S0 = 5, Sδt nhận giá trị 3, 4, Xét phái sinh S, có hàm thu hoạch π(Sδt ) Nếu ta muốn phòng hộ rủi ro với α cổ phiếu khoản không rủi ro β, α, β thỏa mãn:     3α + βR = π(3) R = erδt = (giả sử r = 0) 4α + βR = π(4)    6α + βR = π(6) Hệ có nghiệm π(6) − 3π(4) + 2π(3) = Ví dụ cho thấy hồn hảo mơ hình CRR liên quan đến luật phân phối δSt+δt biết Ft phân phối Nhị thức 2.5.3 Hàm P &L martingale Vẫn giả sử Ω hữu hạn, P({ω}) > với ω ∈ Ω có số hữu hạn thời điểm t ∈ T := [0 T ]δt , nδt = T , gọi S trình ngẫu nhiên S : Ω × T → R, S(ω, t) =: St (ω) Mơ hình hóa thơng tin có sẵn t đại số Ft ⊆ P(Ω), cho biến ngẫu nhiên St Ft - đo (tức giá cổ phiếu t phụ thuộc vào thơng tin có sẵn t), FtS ⊆ Ft không thiết FtS = Ft Một thị trường gọi ba (Ω, S, F) 51 Như ta xây dựng chiến lược khả đốn q trình α = (αt )t∈[0 T ] , tức αt ∈ Ft−δt với t ∈ [0 T ]δt hàm P &L S xác định P &LSt (α) = s∈[0 T ] αs δSs , δSs = Ss − Ss−δt Mệnh đề 2.7 Cho (Ω, S, F) thị trường đó, P∗ xác suất Ω, kí hiệu E ∗ kì vọng P∗ Khi đó, S (P∗ , F)- martingale E ∗ (P < (α)) = với chiến lược F- khả đốn Chứng minh Ta S martingale Vì FtS ⊆ Ft với t nên S F - tương thích Với t0 ∈ [0 T ]δt A ∈ Ft0 , ta xác định αt = αtA,t0 sau: IA t = t0 + δt ≥ αtA,t0 := t = t0 + δt ≥ có nghĩa A t = t0 mua cổ phiếu bán sau t = t + δt Do αt đặc trưng t = t0 + δt Ft0 đo t = t0 + δt, α = (αt ) F - khả đoán Bây ta có P &LST (α) = αt δSt = IA δSt0 +δt , t∈[0 T ] theo giả thiết: = E∗ (P &LST (α)) = E∗ (IA δSt0 +δt ), điều với t0 ∈ [0 T ] A ∈ Ft0 bất kì, E∗ (δSt0 +δt | Ft0 ) = với t0 ∈ [0 T ] Do S martingale Ngược lại, S (P∗ , F) - martingale E∗ (δSs | Fs−δt ) = 0, s ∈ [0 T ] Gọi α chiến lược F - khả đốn, αs Fs−δt đo Áp dụng tính chất kì vọng có điều kiện điều kiện Ft−δt : E∗ (P &LST (α)) = E∗ ( αs δSs ) = s∈[0 T ] = s∈[0 T ] s∈[0 T ] E∗ (E∗ (αs δSs | Fs−δt )) E∗ (αs E∗ (δSs | Fs−δt )) = 52 2.5.4 Thị trường khơng có Acbit (Không kinh doanh chênh lệch giá) Định nghĩa 2.7 Ta nói chiến lược F- khả đốn α chiến lược Acbit (hay Acbit) thị trường (Ω, S, F) P &LST (α) ≥ 0, tồn ω0 ∈ Ω cho P &LST (α)(ω0 ) > Nói cách khác, chiến lược Acbit chiến lược khả đoán mà ta bắt đầu khơng có tiền mà phải vay khoản αδt S0 , kết thúc khơng cịn nợ với giá trị ω ∈ Ω (P &LST (α) ≥ 0), thu lãi ω0 ∈ Ω Như đề cập, mơ hình Acbit dường khơng dễ nhận ra, ta quan tâm đến thị trường khơng có Acbit (Ω, S, F) Định lí 2.7 Một thị trường (Ω, S, F) khơng Acbit tồn xác suất P∗ , P∗ ({ω}) > với ω ∈ Ω bất kì, cho S = (St )t∈[0 T ] (P∗ , F)martingale Ví dụ 2.10 Vẫn xét ví dụ Pliska, δt = T, S0 = 5, Sδt ∈ {3; 4; 6} Đặt p = P∗ {Sδt = 3}; q = P∗ {Sδt = 4}, − p − q = P∗ {Sδt = 6} Giả sử F0 = {∅, Ω}, S = (St )t∈[0 T ] (P∗ , F)- martingale = S0 = E∗ (Sδt | F0 ) = E∗ (Sδt ) = 3p + 4q + 6(1 − p − q) = − 3p − 2q ⇔ q = − p 2 Cuối cùng, S martingale 3p + 2q = P∗ {Sδt = 3} = p ∈ (0; 13 ), dẫn tới q = P∗ {Sδt = 4} ∈ (0; 21 ) − p − q = P∗ {Sδt = 6} ∈ ( 12 ; 32 ) Do theo định lí trên, mơ hình Pliska không Acbit p ∈ (0; 13 ) =: (p− ; p+ ) Mệnh đề 2.8 Giả sử S (P∗ , F)- martingale α chiến lược F- khả đốn Khi P &L(α) (P∗ , F)- martingale 2.5.5 Sự tồn P∗ Bổ đề 2.2 Nếu tồn xác suất P∗ cho S (P∗ , F)- martingale thị trường (Ω, S, F) hữu hạn không Acbit Chứng minh Đặt α = (αt ) chiến lược F khả đoán, theo mệnh đề P &L(α) (P∗ , F) martingale Do P &L0 (α) = E∗ (P < (α) | F0 ), theo định nghĩa, P &L0 (α) = 0, E∗ (P < (α)) = E∗ (E(P < (α)) | F0 ) = E∗ (P &L0 (α)) = E∗ (0) = Do α không ac-bit 53 Ta chứng minh chiều nghịch bổ đề Giả sử thị trường (Ω, S, F) khơng có ac-bit, ta cần xây dựng xác suất P∗ mà xác suất giả thiết mệnh đề 2.3 đúng, tức kì vọng E∗ (P < (α)) hàm cuối chiến lược khả đốn Nhắc lại định lí tách Haln - Banach: Cho H ⊆ Rd không gian đầy đủ Rd Γ ∩ Γ = ∅ tồn ánh xạ tuyến tính Λ : Rd → R cho Λ(h) = với h ∈ H Λ(γ) > với γ ∈ Γ Áp dụng định lí tách cho trường hợp Rd = RΩ , không gian hữu hạn chiều tất biến ngẫu nhiên Ω, xét hai tập con: H := {P < (α) | α F khả đoán } Γ := {X ∈ (R+ )Ω | ω∈Ω X(ω) = 1} Rõ ràng H, K thỏa mãn điều kiện định lí tách, đặc biệt thị trường (Ω, S, F) khơng có ac-bit cho ta điều kiện H ∩ Γ = ∅ Gọi Λ : RΩ → R ánh xạ tuyến tính tách tương ứng, xác định λω , ω ∈ Ω cho với X ∈ Rd bất kì, Λ(X) = ω∈Ω λω X(ω) Ω (tọa độ Λ sở khơng gian dạng tuyến tính R gồm phép chiếu: X → X(ω), ω ∈ Ω) Ta kiểm tra P∗ xác định P∗ (ω) = pω = λ |Λ| ω , với Λ| := ω∈Ω λω Thật vậy, xét ω0 ∈ Ω, biến ngẫu nhiên I{ω0 } ∈ Γ thỏa mãn < Λ(I{ω0 } ) = λω0 , pω > ∀ω ∈ Ω ω∈Ω pω = Điều định nghĩa xác suất P∗ cho P∗ ({ω}) > với ω ∈ Ω có E∗ (X) = p∗ω X(ω) = ω∈Ω Λ(X), |Λ| Vì E∗ (P < (α)) = với chiến lược α khả đốn P < (α) ∈ H ⊆ Ker(Λ), theo mệnh đề (2.7) S (P∗ , F) martingale 54 Kết luận Luận văn giải cơng việc là: • Trình bày lí thuyết phân tích định giá tài sản tài có chứa đựng yếu tố ngẫu nhiên • Chỉ mối liên hệ trường hợp thời gian rời rạc liên tục mơ hình định giá quyền chọn • Cung cấp nhiều tốn áp dụng thực tế định giá phòng hộ tài sản tài Tuy nhiên thời gian thực khơng nhiều kiến thức cịn hạn chế, luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót, em mong nhận góp ý thầy bạn đọc để luận văn hoàn chỉnh 55 Tài liệu tham khảo [1] Trần Trọng Nguyên (2010) Bài giảng tốn tài [2] Trần Hùng Thao (2009) Nhập mơn tốn tài chính, NXB Khoa học kĩ thuật [3] Hồng Đình Tuấn (2011) Mơ hình phân tích định giá tài sản tài chính, tập 1, NXB Khoa học kĩ thuật [4] Hồng Đình Tuấn (2011) Mơ hình phân tích định giá tài sản tài chính, tập 2, NXB Khoa học kĩ thuật [5] Marc, Francine Diener (2007) Discrete stochastic models for finance [6] Francine Diener (2009) Continuous time models in Finance and Stochastic calculas [7] P.J.C Spreij (2012) Introduction to stochastic finance in continuous time 56 ... trình bày số kiến thức chuẩn bị cần thiết, bao gồm q trình ngẫu nhiên, tích phân ngẫu nhiên, khái niệm thị trường tài cấu trúc • Chương chương chính, trình bày số mơ hình ngẫu nhiên tài chính, bao... mơ hình nhiều cấp độ từ đơn giản đến phức tạp khác nhau, đáng ý cơng trình J Cox, A Ross M Rubinstein năm 1976 Trong năm gần đây, có nhiều tài liệu nghiên cứu mơ hình ngẫu nhiên này, nhiên số. .. với trường hợp thời gian liên tục Mục đích luận văn hệ thống lại cách số mơ hình ngẫu nhiên tài chính, mối liên hệ số mơ hình rời rạc liên tục, cụ thể hợp đồng quyền chọn Luận văn cung cấp toán